A parametrikusan adott második derivált megkeresése. Paraméteres módon definiált függvény deriváltja

Eddig a síkon lévő egyenesek egyenleteit vettük figyelembe, amelyek közvetlenül kapcsolják össze ezen egyenesek pontjainak aktuális koordinátáit. A vonal megadásának azonban gyakran más módja is használatos, amelyben az aktuális koordinátákat egy harmadik változó függvényének tekintjük.

Legyen adott egy változó két függvénye

ugyanazokra a t értékekre tekintve. Ekkor a t ezen értékei közül bármelyik megfelel egy bizonyos értéknek és egy bizonyos y értéknek, következésképpen egy bizonyos pontnak. Amikor a t változó a függvények (73) tartományából származó összes értéken átfut, a pont a síkban lévő C egyenest írja le. A (73) egyenleteket ezen egyenes paraméteres egyenleteinek, a változót pedig paraméternek nevezzük.

Tegyük fel, hogy a függvénynek van egy inverz függvénye Ha ezt a függvényt behelyettesítjük a (73) egyenletek közül a második egyenletbe, megkapjuk az egyenletet

y függvényként kifejezve

Egyezzünk meg abban, hogy ezt a függvényt a (73) egyenletek paraméteresen adják meg. Az ezen egyenletekről a (74) egyenletre való átmenetet a paraméter eliminálásának nevezzük. A paraméteresen definiált függvények mérlegelésekor a paraméter kizárása nemcsak hogy nem szükséges, de gyakorlatban sem mindig lehetséges.

Sok esetben sokkal kényelmesebb, ha a paraméterek különböző értékei vannak, a (73) képletekkel kiszámítani az y argumentum és függvény megfelelő értékeit.

Vegye figyelembe a példákat.

Példa 1. Legyen egy tetszőleges pontja egy körnek, amelynek középpontja R origó és sugara van. Ennek a pontnak a derékszögű x és y koordinátáit a poláris sugara és polárszöge fejezi ki, amit itt t-vel jelölünk, a következőképpen: lásd I. fejezet, 3. §, 3. pont):

A (75) egyenleteket a kör paraméteres egyenleteinek nevezzük. A paraméter bennük a polárszög, amely 0-tól változik.

Ha a (75) egyenleteket négyzetre emeljük és tagonként összeadjuk, akkor az azonosság miatt a paraméter megszűnik, és a derékszögű koordinátarendszerben a köregyenletet kapjuk, amely két elemi függvényt határoz meg:

Ezen függvények mindegyike paraméteresen van megadva a (75) egyenletekkel, de ezeknek a függvényeknek a paraméterváltoztatási tartománya eltérő. Az elsőnek ; ennek a függvénynek a grafikonja a felső félkör. A második függvény grafikonja az alsó félkör.

2. példa Tekintsünk egyszerre egy ellipszist

és egy kör, amelynek középpontja az origó és a sugara a (138. ábra).

Az ellipszis minden M pontjához hozzárendeljük a kör egy N pontját, amelynek abszcissza megegyezik az M ponttal, és vele az Ox tengelyének ugyanazon az oldalán található. Az N pont és így az M pont helyzetét teljesen meghatározza a pont t poláris szöge. Ebben az esetben a közös abszcisszára a következő kifejezést kapjuk: x \u003d a. Az ellipszis egyenletből megtaláljuk az M pont ordinátáját:

Az előjelet azért választottuk, mert az M pontban lévő ordinátának és az N pontban lévő ordinátának azonos előjelekkel kell rendelkeznie.

Így az alábbi paraméteres egyenleteket kapjuk az ellipszisre:

Itt a t paraméter 0-ról -ra változik.

3. példa. Tekintsünk egy kört, amelynek középpontja az a) pontban van, és sugara a, és amely nyilvánvalóan érinti az x tengelyt az origóban (139. ábra). Tegyük fel, hogy ez a kör csúszás nélkül gördül az x tengely mentén. Ekkor a kör M pontja, amely a kezdeti pillanatban egybeesett az origóval, egy egyenest ír le, amelyet cikloidnak nevezünk.

Levezetjük a cikloid parametrikus egyenleteit úgy, hogy t paraméternek vesszük az MSW kör forgásszögét, amikor fix pontját O pozícióból M pozícióba mozgatjuk. Ekkor az M pont koordinátáira és y-jára a következő kifejezéseket kapjuk:

Tekintettel arra, hogy a kör csúszás nélkül gördül a tengely mentén, az OB szakasz hossza megegyezik a VM ív hosszával. Mivel a VM ív hossza egyenlő az a sugár és a t középponti szög szorzatával, akkor . Ezért . De ezért,

Ezek az egyenletek a cikloid paraméteres egyenletei. Ha a t paramétert 0-ról körre változtatja, az egy teljes fordulatot tesz. Az M pont a cikloid egyik ívét írja le.

A t paraméter kizárása itt nehézkes kifejezésekhez vezet, és gyakorlatilag nem praktikus.

A vonalak parametrikus definícióját különösen gyakran használják a mechanikában, és az idő a paraméter szerepét tölti be.

4. példa Határozzuk meg egy lövedékből kilőtt lövedék röppályáját, amelynek kezdeti sebessége a horizonthoz képest a szöget zár be. A légellenállást és a lövedék méreteit anyagi pontnak tekintve figyelmen kívül hagyjuk.

Válasszunk egy koordináta-rendszert. A koordináták origójához vesszük a lövedék kiindulási pontját a csőtorkolatból. Irányítsuk az Ox tengelyt vízszintesen, az Oy tengelyt pedig függőlegesen, és helyezzük őket egy síkra a pisztoly torkolatával. Ha nem lenne gravitációs erő, akkor a lövedék az Ox tengellyel a szöget bezáró egyenes mentén mozogna, és t időpontra már bejárta volna az utat. . A föld gravitációja miatt a lövedéknek ebben a pillanatban egy értékkel függőlegesen le kell ereszkednie, ezért a valóságban a t időpontban a lövedék koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

Ezek az egyenletek állandók. Amikor t változik, a lövedék pályapontjának koordinátái is megváltoznak. Az egyenletek a lövedékpálya paraméteres egyenletei, amelyekben a paraméter az idő

Kifejezés az első egyenletből és behelyettesítése a

a második egyenlet, a lövedék röppályájának egyenletét a következő formában kapjuk meg: Ez a parabola egyenlete.

Tekintsük egy olyan egyenes definícióját a síkon, amelyben az x, y változók a harmadik t változó (úgynevezett paraméter) függvényei:

Minden értékhez t valamilyen intervallumból bizonyos értékek felelnek meg xÉs y, és, tehát a sík bizonyos M(x, y) pontja. Amikor t végigfut egy adott intervallum összes értéken, majd a ponton M (x, y) ír le néhány sort L. A (2.2) egyenleteket az egyenes paraméteres egyenleteinek nevezzük L.

Ha az x = φ(t) függvény inverz t = Ф(x), akkor ezt a kifejezést az y = g(t) egyenletbe behelyettesítve y = g(Ф(x)) kapjuk, ami megadja y függvényében x. Ebben az esetben a (2.2) egyenletek definiálják a függvényt y paraméteresen.

1. példa Hadd M (x, y) a sugarú kör tetszőleges pontja Rés középpontjában az origó áll. Hadd t- a tengely közötti szög Ökörés sugár OM(Lásd a 2.3. ábrát). Akkor x, y keresztül fejezték ki t:

A (2.3) egyenletek a kör paraméteres egyenletei. Zárjuk ki a t paramétert a (2.3) egyenletekből. Ehhez az egyenleteket négyzetre emeljük és összeadjuk, így kapjuk: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) vagy x 2 + y 2 \u003d R 2 - a köregyenlet a derékszögű koordinátarendszerben. Két függvényt határoz meg: E függvények mindegyikét paraméteres egyenletek (2.3) adják meg, de az első függvényre és a másodikra.

2. példa. Paraméteres egyenletek

definiáljon egy ellipszist féltengelyekkel a, b(2.4. ábra). A paraméter eltávolítása az egyenletekből t, megkapjuk az ellipszis kanonikus egyenletét:

3. példa. Cikloidnak nevezzük azt az egyenest, amelyet egy körön fekvő pont ír le, ha ez a kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén (2.5. ábra). Mutassuk be a cikloid paraméteres egyenleteit. Legyen a gördülőkör sugara a, pont M, amely a cikloidot írja le, a mozgás kezdete egybeesett az origóval.

Határozzuk meg a koordinátákat x, y pont M miután a kör egy szögben elfordult t
(2.5. ábra), t = ÐMCB. Ívhossz MB egyenlő a szakasz hosszával OB, mivel a kör csúszás nélkül gördül, így

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - költség = a(1 - költség).

Tehát megkapjuk a cikloid parametrikus egyenleteit:

A paraméter megváltoztatásakor t 0-tól 2π a kört egy fordulattal elforgatjuk, míg a pontot M leírja a cikloid egyik ívét. A (2.5) egyenletek meghatározzák y függvényében x. Bár a funkció x = a(t - sint) van egy inverz függvénye, de nem elemi függvényekkel van kifejezve, tehát a függvény y = f(x) nem elemi függvényekkel fejezzük ki.

Tekintsük a paraméteresen megadott függvény differenciálását a (2.2) egyenletekkel. Az x = φ(t) függvénynek egy bizonyos t változási intervallumon inverz függvénye van t = Ф(x), Akkor y = g(Ф(x)). Hadd x = φ(t), y = g(t) származékai vannak, és x"t≠0. A komplex függvény differenciálási szabálya szerint y"x=y"t×t"x. Az inverz függvénydifferenciálási szabály alapján tehát:

A kapott (2.6) képlet lehetővé teszi, hogy egy paraméteresen megadott függvény deriváltját megtaláljuk.

4. példa Legyen a függvény y, attól függ x, paraméteresen van beállítva:

Megoldás. .
5. példa Keresse meg a Slope-t k a cikloid érintője a paraméter értékének megfelelő M 0 pontban.
Megoldás. A cikloid egyenletekből: y" t = asint, x" t = a(1 - költség), Ezért

Érintő meredeksége egy pontban M0 egyenlő az at értékkel t 0 \u003d π/4:

FUNKCIÓDIFFERENCIÁL

Legyen a függvény egy pontban x0 származéka van. A-prioritás:
ezért a határ tulajdonságaival (1.8. szakasz) , ahol a végtelenül kicsi a ∆x → 0. Innen

Δy = f "(x0)Δx + α × Δx. (2.7)

Mivel Δx → 0, a (2.7) egyenlőség második tagja infinitezimálisan magasabb rendű, összehasonlítva , ezért Δy és f "(x 0) × Δx ekvivalensek, végtelenül kicsik (f "(x 0) ≠ 0 esetén).

Így a Δy függvény növekménye két tagból áll, amelyek közül az első f "(x 0) × Δx fő rész Δy lépések, lineárisak Δx-hez képest (f "(x 0) ≠ 0 esetén).

Differenciális az f(x) függvényt az x 0 pontban a függvény növekményének fő részének nevezzük, és ezt jelöljük: dy vagy df(x0). Ennélfogva,

df (x0) =f "(x0) × Δx. (2.8)

1. példa Keresse meg egy függvény differenciálját dyés a Δy függvény növekménye az y \u003d x 2 függvényre, ha:
1) önkényes xés Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx = 0,1.

Megoldás

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Ha x 0 = 20, Δx = 0,1, akkor Δy \u003d 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

A (2.7) egyenlőséget a következő formában írjuk:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

A Δy növekmény eltér a differenciáltól dyΔx-hez képest infinitezimálisan magasabb rendűre, ezért a közelítő számításoknál a Δy ≈ dy közelítő egyenlőséget használjuk, ha Δx elég kicsi.

Figyelembe véve, hogy Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), egy közelítő képletet kapunk:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

2. példa. Hozzávetőlegesen számoljon.

Megoldás. Fontolgat:

A (2.10) képlet segítségével megkapjuk:

Ezért ≈ 2,025.

Tekintsük a differenciál geometriai jelentését df(x0)(2.6. ábra).

Rajzolja meg az y = f (x) függvény grafikonjának érintőjét az M 0 (x0, f (x 0)) pontban, legyen φ a KM0 érintő és az Ox tengely közötti szög, majd f "(x 0) ) = tgφ. ΔM0NP-ből:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). De PN az érintő ordináta növekménye, amikor x x 0-ról x 0 + Δx értékre változik.

Ezért az f(x) függvény differenciálja az x 0 pontban egyenlő az érintő ordináta növekményével.

Keressük meg a függvény differenciálját
y=x. Mivel (x)" = 1, akkor dx = 1 × Δx = Δx. Feltételezzük, hogy az x független változó differenciája egyenlő a növekményével, azaz dx = Δx.

Ha x egy tetszőleges szám, akkor a (2.8) egyenlőségből df(x) = f "(x)dx, ahonnan .
Így az y = f(x) függvény deriváltja egyenlő a differenciáljának az argumentum differenciáljához viszonyított arányával.

Tekintsük egy függvény differenciáljának tulajdonságait.

Ha u(x), v(x) differenciálható függvények, akkor a következő képletek érvényesek:

Ezen képletek bizonyítására az összeg, a szorzat és a hányados származékos képleteit használjuk. Bizonyítsuk be például a (2.12) képletet:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Tekintsük egy komplex függvény differenciálját: y = f(x), x = φ(t), azaz. y = f(φ(t)).

Ekkor dy = y" t dt, de y" t = y" x ×x" t , tehát dy =y" x x" t dt. Figyelembe véve,

hogy x" t = dx, azt kapjuk, hogy dy = y" x dx = f "(x)dx.

Így az y \u003d f (x) komplex függvény differenciáljának, ahol x \u003d φ (t), alakja dy \u003d f "(x) dx, ugyanaz, mint amikor x független változó. Ez a tulajdonság nak, nek hívják alak invariáns differenciál A.

Legyen a függvény paraméteres módon megadva:
(1)
ahol valamilyen paraméter nevű változó található. És legyen a függvényeknek deriváltjai a változó valamely értékénél. Ráadásul a függvénynek van egy inverz függvénye is a pont valamely környezetében. Ekkor az (1) függvénynek van egy deriváltja a pontban, amelyet paraméteres formában a következő képletek határoznak meg:
(2)

Itt és a függvények származékai és a változó (paraméter) vonatkozásában. Gyakran a következő formában írják őket:
;
.

Ekkor a (2) rendszer a következőképpen írható fel:

Bizonyíték

Feltétel szerint a függvénynek inverz függvénye van. Jelöljük úgy
.
Ekkor az eredeti függvény összetett függvényként ábrázolható:
.
Keressük meg a deriváltját az összetett és inverz függvények differenciálási szabályainak alkalmazásával:
.

A szabály bevált.

Bizonyítás a második módon

Keressük meg a deriváltot a második módon, a függvény deriváltjának meghatározása alapján a pontban:
.
Bemutatjuk a jelölést:
.
Ekkor az előző képlet a következő alakot veszi fel:
.

Használjuk azt a tényt, hogy a függvénynek van egy inverz függvénye a pont közelében.
Bemutatjuk a jelölést:
; ;
; .
Osszuk el a tört számlálóját és nevezőjét:
.
Nál nél , . Akkor
.

A szabály bevált.

Magasabb rendek származékai

A magasabb rendű származékok megtalálásához többszöri differenciálást kell végrehajtani. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy paraméteres módon megadott függvény második deriváltját a következő formában:
(1)

A (2) képlet szerint megtaláljuk az első deriváltot, amelyet szintén paraméteresen határozunk meg:
(2)

Jelölje az első deriváltot változóval:
.
Ezután, hogy megtalálja a függvény második deriváltját a változóhoz képest, meg kell találnia a függvény első deriváltját a változóhoz képest. Egy változó változótól való függését is paraméteres módon határozzuk meg:
(3)
Összehasonlítva (3) az (1) és (2) képletekkel, azt kapjuk, hogy:

Most fejezzük ki az eredményt az és függvényekkel. Ehhez helyettesítjük és alkalmazzuk a tört származékának képletét:
.
Akkor
.

Innen megkapjuk a függvény második deriváltját a változóhoz képest:

Paraméteres formában is megadják. Ne feledje, hogy az első sor a következőképpen is írható:
.

Folytatva a folyamatot, lehetőség van függvények deriváltjaira egy harmadik és magasabb rendű változóból.

Megjegyzendő, hogy a derivált jelölését nem lehet bevezetni. Ezt így lehet írni:
;
.

1. példa

Keresse meg egy paraméteres módon megadott függvény deriváltját:

Megoldás

Megtaláljuk a származékait és a vonatkozásban.
A származékok táblázatából a következőket találjuk:
;
.
Jelentkezünk:

.
Itt .

.
Itt .

Kívánt származék:
.

Válasz

2. példa

Keresse meg a paraméterrel kifejezett függvény deriváltját:

Megoldás

Nyissuk meg a zárójeleket a hatványfüggvények és gyökök képleteivel:
.

Megtaláljuk a származékot:

.

Megtaláljuk a származékot. Ehhez bevezetünk egy változót, és alkalmazzuk a komplex függvény deriváltjának képletét.

.

Megtaláljuk a kívánt származékot:
.

Válasz

3. példa

Keresse meg az 1. példában paraméteresen megadott függvény második és harmadik deriváltját:

Megoldás

Az 1. példában megtaláltuk az elsőrendű származékot:

Bemutatjuk a jelölést. Ekkor a függvény deriváltja a -hoz képest. Parametrikusan van beállítva:

Ahhoz, hogy megtaláljuk a második deriváltot -re vonatkozóan, meg kell találnunk az első deriváltot -ra vonatkozóan.

tekintetében megkülönböztetünk.
.
Az 1. példában megtaláltuk a származékot:
.
A másodrendű derivált az alábbiak tekintetében egyenlő az elsőrendű származékkal:
.

Megtaláltuk tehát a másodrendű deriváltot a parametrikus alakra vonatkozóan:

Most megtaláljuk a harmadik rend deriváltját. Bemutatjuk a jelölést. Ezután meg kell találnunk a függvény első deriváltját, amelyet paraméteres módon adunk meg:

Megtaláljuk a deriváltot a -ra vonatkozóan. Ehhez átírjuk egyenértékű formában:
.
Tól től
.

A harmadrendű derivált az alábbiak tekintetében egyenlő az elsőrendű származékkal:
.

Megjegyzés

Lehetőség van nem bevezetni a és változókat, amelyek a és származékai, ill. Akkor így írhatod:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Válasz

A parametrikus ábrázolásban a másodrendű derivált alakja a következő:

A harmadik rend származéka.

A függvény többféleképpen definiálható. Ez a beállításkor használt szabálytól függ. A függvénydefiníció explicit alakja y = f (x) . Vannak esetek, amikor a leírása lehetetlen vagy kényelmetlen. Ha van egy pár (x; y) halmaz, amelyet ki kell számítani a t paraméterre az (a; b) intervallumon keresztül. Az x = 3 rendszer megoldásához cos t y = 3 sin t 0 ≤ t mellett< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Paraméteres függvény meghatározása

Ebből az következik, hogy x = φ (t) , y = ψ (t) t ∈ (a ; b) esetén van definiálva, és van egy inverz függvénye t = Θ (x) x = φ (t) esetén, akkor egy y = ψ (Θ (x)) alakú függvény parametrikus egyenletének beállításáról beszélünk.

Vannak esetek, amikor egy függvény tanulmányozásához meg kell keresni a deriváltot x-re vonatkozóan. Tekintsük az y x " = ψ " (t) φ " (t) alakú parametrikusan adott függvény deriváltjának képletét, beszéljünk a 2. és n-edrendű deriváltról.

Paraméteresen adott függvény deriváltjának képletének deriválása

Megvan, hogy x = φ (t) , y = ψ (t) , t ∈ a esetén definiálható és differenciálható; b , ahol x t " = φ " (t) ≠ 0 és x = φ (t) , akkor van egy t = Θ (x) alakú inverz függvény.

Először is át kell térnie a paraméteres feladatról egy explicit feladatra. Ehhez egy y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) alakú komplex függvényt kell kapni, ahol van egy x argumentum.

Az összetett függvény deriváltjának megtalálására vonatkozó szabály alapján azt kapjuk, hogy y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

Ez azt mutatja, hogy t = Θ (x) és x = φ (t) inverz függvények a Θ "(x) = 1 φ" (t) inverz függvény képletből, akkor y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Térjünk át arra, hogy több példát is megoldjunk egy derivált táblázat segítségével a differenciálás szabálya szerint.

1. példa

Határozzuk meg az x = t 2 + 1 y = t függvény deriváltját.

Megoldás

Feltétel szerint φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, így azt kapjuk, hogy φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. A származtatott képletet kell használni, és a választ a következő formában kell írni:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

Válasz: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Amikor egy függvény deriváltjával dolgozunk, a t paraméter az x argumentum kifejezését adja meg ugyanazon a t paraméteren keresztül, hogy ne veszítse el a kapcsolatot a derivált értékei és a paraméteresen megadott függvény értékei között azzal az argumentummal, amelyre ezek a paraméterek. az értékek megfelelnek.

Egy parametrikusan adott függvény másodrendű deriváltjának meghatározásához az eredményül kapott függvényen az elsőrendű derivált képletét kell használni, akkor azt kapjuk, hogy

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"(t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

2. példa

Határozzuk meg az adott x = cos (2 t) y = t 2 függvény 2. és 2. rendű deriváltját!

Megoldás

Feltétel alapján azt kapjuk, hogy φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Majd átalakítás után

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

Ebből következik, hogy y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Azt kapjuk, hogy az 1. rendű derivált alakja x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Megoldásához a másodrendű derivált képletet kell alkalmazni. Olyan kifejezést kapunk, mint

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Ezután állítsa be a 2. rendű deriváltot a parametrikus függvény segítségével

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Hasonló megoldás más módszerrel is megoldható. Akkor

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 sin (2 t) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Ezért ezt kapjuk

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 \u003d \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Válasz: y "" x \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Hasonlóan magasabb rendű deriváltokat találunk parametrikusan meghatározott függvényekkel.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Logaritmikus differenciálás

Elemi függvények származékai

A megkülönböztetés alapszabályai

Funkció differenciál

A függvény növekményének fő lineáris része A D x függvény differenciálhatóságának meghatározásában

D f=f(x)-f(x 0)=A(x-x 0)+o(x-x 0), x®x 0

függvény differenciáljának nevezzük f(x) azon a ponton x 0 és jelölve

df(x 0)=f¢(x 0)D x=A D x.

A különbség a ponttól függ x 0 és D növekményből x. D-n x miközben független változónak tekintjük, így minden pontban a differenciál a D növekmény lineáris függvénye x.

Ha függvénynek tekintjük f(x)=x, akkor megkapjuk dx= D x, dy=Adx. Ez összhangban van a Leibniz-jelöléssel

A differenciál geometriai értelmezése az érintő ordináta növekményeként.

Rizs. 4.3

1) f= const , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Következmény. (vö(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢= c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 és a derivált akkor létezik f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

A rövidség kedvéért jelöljük u=u(x), u 0 =u(x 0), akkor

Áthaladni a határig D-nél x® 0 megkapjuk a szükséges egyenlőséget.

5) Komplex függvény deriváltja.

Tétel. Ha vannak f¢(x 0), g¢(x 0)és x 0 =g(t 0), majd valamilyen környéken t 0 összetett függvény f(g(t)), a t pontban differenciálható 0 És

Bizonyíték.

f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)-g(t 0))+ a( g(t))(g(t)-g(t 0)).

Osszuk el ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát ( t - t 0) és adja át a határt at t®t 0 .

6) Az inverz függvény deriváltjának kiszámítása.

Tétel. Legyen f folyamatos és szigorúan monoton on[a,b]. Legyen az x pontban 0 Î( a,b)létezik f¢(x 0)¹ 0 , akkor az x=f inverz függvény -1 (y)az y pontban van 0 származéka egyenlő

Bizonyíték. Hisszük f szigorúan monoton növekvő, akkor f -1 (y) folyamatos, monoton növekszik a [ f(a),f(b)]. Tegyük fel y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0=D x,

y-y 0=D y. A D inverz függvény folytonossága miatt y®0 Þ D x®0, megvan

A határértékre lépve megkapjuk a szükséges egyenlőséget.

7) A páros függvény deriváltja páratlan, a páratlan függvény deriváltja páros.

Valóban, ha x®-x 0 , Az - x® x 0 , Ezért

Páros függvényhez páratlan függvényhez

1) f= const, f¢(x)=0.

2) f(x)=x, f¢(x)=1.

3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) f(x)=a x ,(egy x)¢ = x ln a.

5) ln a.

6) f(x)=ln x ,

Következmény. (a páros függvény deriváltja páratlan)

7) (x m )¢= m x m-1 , x>0, x m =e m ln x .

8) (bűn x)¢= kötözősaláta x,

9) (cos x)¢=- bűn x,(kötözősaláta x)¢= (bűn( x+ p/2)) ¢= kötözősaláta( x+ p/2)=-bűn x.

10) (tg x)¢= 1/cos 2 x.

11) (ctg x)¢= -1/sin2 x.

16) sh x, ch x.

f(x),, honnan az következik f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .

Ugyanazt a képletet különbözőképpen lehet előállítani f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.

Példa. Számítsa ki egy függvény deriváltját! f=x x .

=x x = x x = x x = x x(ln x + 1).

Pontok helye egy síkon

a függvény grafikonjának nevezzük, paraméteresen megadva. Beszélnek a függvény parametrikus definíciójáról is.

Megjegyzés 1. Ha x, y folyamatos tovább [a,b] És x(t) szigorúan monoton a szegmensen (például szigorúan monoton növekvő), majd a [ a,b], a=x(a) ,b=x b) függvény meghatározott f(x)=y(t(x)), ahol t(x) – függvény inverze x(t)-re. Ennek a függvénynek a grafikonja megegyezik a függvény grafikonjával

Ha a terjedelem paraméteresen meghatározott függvény véges számú szegmensre osztható ,k= 1,2,…,n, amelyek mindegyikén a függvény x(t) szigorúan monoton, akkor a parametrikusan meghatározott függvény véges számú közönséges függvényre bomlik fk(x)=y(t -1 (x)) hatótávolságokkal [ x(a k), x(b k)] emelkedő területekre x(t) és domainekkel [ x(b k), x(a k)] a függvény csökkenő szakaszaihoz x(t). Az így kapott függvényeket egy paraméteresen meghatározott függvény egyértékű ágainak nevezzük.

Az ábra egy paraméteresen meghatározott függvény grafikonját mutatja

A választott paraméterezéssel a definíciós tartomány öt szakaszra oszlik, amelyek a sin(2 t), pontosan: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , és ennek megfelelően a gráf öt, ezeknek a szakaszoknak megfelelő egyértékű ágra bomlik fel.

Rizs. 4.4

Rizs. 4.5

Kiválaszthat egy másik paraméterezést ugyanazon a ponton

Ebben az esetben csak négy ilyen ág lesz. A szigorú monotonitású területeknek felelnek meg tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ funkciókat bűn (2 t).

Rizs. 4.6

A sin függvény monotonitásának négy szakasza(2 t) hosszú szakaszon.

Rizs. 4.7

Mindkét grafikon képe egy ábrán lehetővé teszi egy paraméteresen adott függvény grafikonjának közelítő ábrázolását, mindkét függvény monotonitási területeinek felhasználásával.

Vegyük például a szegmensnek megfelelő első ágat tÎ . A szakasz végén a függvény x= bűn (2 t) -1 értékeket vesz fel és 1 , tehát ez az ág a [-1,1]-en lesz meghatározva. Ezt követően meg kell nézni a második funkció monotonitási területeit y= kötözősaláta( t), Neki van a monotonitás két területe . Ez lehetővé teszi, hogy azt mondjuk, hogy az első ágnak két monotonitási szegmense van. Miután megtalálta a grafikon végpontjait, összekötheti azokat egyenes vonalakkal, hogy jelezze a grafikon monotóniájának jellegét. Miután ezt minden ágnál megtettük, megkapjuk a gráf egyértékű ágainak monotónia területeit (az ábrán pirossal vannak kiemelve)

Rizs. 4.8

Az első egyetlen ág f 1 (x)=y(t(x)) szakasznak megfelelő számára lesz meghatározva xн[-1,1] . Az első egyetlen ág tÎ , xО[-1,1].

A másik három ágnak is a [-1,1] tartománya lesz .

Rizs. 4.9

Második ág tÎ xО[-1,1].

Rizs. 4.10

Harmadik ág tÎ xн[-1,1]

Rizs. 4.11

Negyedik ág tÎ xн[-1,1]

Rizs. 4.12

Megjegyzés 2. Ugyanannak a függvénynek különböző paraméteres hozzárendelései lehetnek. A különbségek magukra a funkciókra vonatkozhatnak x(t),y(t) , és a definíciós tartományok ezeket a funkciókat.

Példa ugyanazon függvény különböző paraméteres hozzárendelésére

És tн[-1, 1] .

3. megjegyzés. Ha x,y folyamatosan világít , x(t)- szigorúan monoton a szegmensen és vannak származékai y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, akkor létezik f¢(x 0)= .

Igazán, .

Az utolsó állítás egy paraméteresen meghatározott függvény egyértékű ágaira is kiterjed.

4.2 A magasabb rendű származékok és differenciálok

Magasabb származékok és differenciálok. A paraméteresen megadott függvények differenciálása. Leibniz-képlet.