Határozott integrál részpéldákkal. Integrálok megoldása online

Korábban egy adott függvényhez különféle képletektől és szabályoktól vezérelve megtaláltuk a származékát. A deriváltnak számos alkalmazása van: ez a mozgás sebessége (vagy általánosabban bármely folyamat sebessége); a függvény grafikonjának érintőjének meredeksége; a derivált segítségével megvizsgálhatja a függvényt monotonitásra és szélsőségekre; Segít az optimalizálási problémák megoldásában.

De az ismert mozgástörvény alapján a sebesség megtalálásának problémája mellett van egy fordított probléma is - a mozgástörvény ismert sebességből való visszaállításának problémája. Tekintsünk egyet ezek közül a problémák közül.

1. példa Egy anyagi pont egyenes vonal mentén mozog, mozgásának sebességét t időpontban a v=gt képlet adja meg. Találd meg a mozgás törvényét.
Megoldás. Legyen s = s(t) a kívánt mozgástörvény. Ismeretes, hogy s"(t) = v(t). Tehát a probléma megoldásához egy s = s(t) függvényt kell választani, amelynek deriváltja egyenlő gt-vel. Könnyen kitalálható, hogy \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) Valóban
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Válasz: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Azonnal megjegyezzük, hogy a példa helyesen van megoldva, de hiányosan. A következőt kaptuk: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Valójában a feladatnak végtelenül sok megoldása van: bármely \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \ alakú függvény, ahol C tetszőleges állandó, szolgálhat mozgás, mivel \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \jobbra)" = gt \)

A probléma pontosabbá tételéhez a kiindulási helyzetet kellett rögzítenünk: meg kell adni a mozgó pont koordinátáját egy adott időpontban, például t = 0-nál. Ha mondjuk s(0) = s 0, akkor az s(t) = (gt 2)/2 + C egyenlőséget kapjuk: s(0) = 0 + C, azaz C = s 0. Most a mozgás törvénye egyértelműen meghatározott: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

A matematikában a kölcsönösen inverz műveleteket különböző nevekkel látják el, speciális jelöléseket alkalmaznak, például: négyzetesítés (x 2) és a négyzetgyök kivonása (\(\sqrt(x) \)), szinusz (sin x) és arcszinusz ( arcsin x) stb. Az adott függvény deriváltjának megtalálásának folyamatát nevezzük különbségtétel, és az inverz művelet, azaz a függvény keresésének folyamata adott deriválttal, - integráció.

Maga a "származék" kifejezés "világi módon" igazolható: az y \u003d f (x) függvény "új y" \u003d f "(x) függvényt hoz a világba". Az y \u003d f (x) függvény úgy működik, mintha „szülőként” működne, de a matematikusok természetesen nem „szülőnek” vagy „termelőnek” nevezik, azt mondják, hogy ez az y függvényhez képest = f" (x) , az elsődleges kép vagy antiderivatív.

Meghatározás. Az y = F(x) függvényt antideriváltának nevezzük az y = f(x) függvényre az X intervallumon, ha \(x \in X \) teljesíti az F"(x) = f(x) egyenlőséget

A gyakorlatban az X intervallumot általában nem adják meg, hanem implikálják (mint a függvény természetes tartománya).

Mondjunk példákat.
1) Az y \u003d x 2 függvény az y \u003d 2x függvény antideriváltja, mivel bármely x esetén az (x 2) "\u003d 2x egyenlőség igaz
2) Az y \u003d x 3 függvény az y \u003d 3x 2 függvény antideriváltja, mivel bármely x esetén az (x 3)" \u003d 3x 2 egyenlőség igaz
3) Az y \u003d sin (x) függvény az y \u003d cos (x) függvény antideriváltja, mivel bármely x esetén a (sin (x)) "= cos (x) egyenlőség igaz

Az antiderivatívák, valamint a származékok megtalálásakor nemcsak képleteket, hanem néhány szabályt is használnak. Közvetlenül kapcsolódnak a származékok számításának megfelelő szabályaihoz.

Tudjuk, hogy egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltak összegével. Ez a szabály létrehoz egy megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.

1. szabály Egy összeg antiderivatívája egyenlő az antiderivatívák összegével.

Tudjuk, hogy a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből. Ez a szabály létrehoz egy megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.

2. szabály Ha F(x) az f(x) antideriváltája, akkor kF(x) a kf(x) antideriváltája.

1. tétel. Ha y = F(x) az y = f(x) függvény antideriváltja, akkor az y = f(kx + m) függvény antideriváltja a \(y=\frac(1)(k)F függvény (kx+m) \)

2. tétel. Ha y = F(x) egy antideriválta egy y = f(x) függvényre egy X intervallumon, akkor az y = f(x) függvénynek végtelen sok antideriváltája van, és mindegyik y = F(x) alakú. + C.

Integrációs módszerek

Változó helyettesítési módszer (helyettesítési módszer)

A helyettesítési integrációs módszer egy új integrációs változó (vagyis egy helyettesítés) bevezetéséből áll. Ebben az esetben az adott integrál egy új integrállá redukálódik, amely táblázatos vagy rá redukálható. Nincsenek általános módszerek a helyettesítések kiválasztására. A helyettesítés helyes meghatározásának képességét a gyakorlat sajátítja el.
Legyen szükséges a \(\textstyle \int F(x)dx \ integrál kiszámítása. Csináljunk egy \(x= \varphi(t) \) behelyettesítést, ahol \(\varphi(t) \) egy olyan függvény, amelynek folytonos deriváltja van.
Ekkor \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) és a határozatlan integrál integrációs képlet invariancia tulajdonsága alapján megkapjuk a helyettesítési integrációs képletet:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Olyan kifejezések integrálása, mint \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Ha m páratlan, m > 0, akkor célszerűbb a behelyettesítést sin x = t-re tenni.
Ha n páratlan, n > 0, akkor kényelmesebb a cos x = t helyettesítést elvégezni.
Ha n és m páros, akkor célszerűbb a tg x = t helyettesítést elvégezni.

Integráció alkatrészek szerint

Integrálás részenként – a következő képlet alkalmazásával az integrációhoz:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
vagy:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Egyes függvények határozatlan integráljainak (antideriváltjainak) táblázata

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x + C $$

Integráció alkatrészek szerint. Megoldási példák

Szia ismét. Ma a leckében megtanuljuk, hogyan kell integrálni részenként. Az integrálszámítás egyik sarokköve a részek szerinti integrálás módszere. A teszten, vizsgán szinte mindig felajánlják a hallgatónak a következő típusú integrálok megoldását: a legegyszerűbb integrál (lásd a cikket) vagy egy integrál a változó megváltoztatására (lásd a cikket) vagy az integrál éppen részenkénti integráció módja.

Mint mindig, kéznél kell lennie: Integrálok táblázataés Származékos táblázat. Ha még mindig nincsenek meg, akkor látogassa meg oldalam raktárát: Matematikai képletek és táblázatok. Nem fogok belefáradni az ismétlésbe - jobb mindent kinyomtatni. Igyekszem minden anyagot következetesen, egyszerűen és közérthetően bemutatni, a részenkénti integráció nem okoz különösebb nehézséget.

Milyen problémát old meg az alkatrészekkel történő integráció? Az alkatrészenkénti integráció módszere egy nagyon fontos problémát old meg, lehetővé teszi néhány olyan függvény integrálását, amelyek nem szerepelnek a táblázatban, munka funkciókat, és bizonyos esetekben - és privát. Mint emlékszünk, nincs kényelmes képlet: . De van ilyen: az alkatrészek személyes integrációjának képlete. Tudom, tudom, te vagy az egyetlen - vele együtt fogjuk dolgozni az egész leckét (ez már könnyebb).

És azonnal a lista a stúdióban. A következő típusú integrálokat részenként veszik fel:

1) , , - logaritmus, logaritmus szorozva valamilyen polinommal.

2) ,egy exponenciális függvény, szorozva valamilyen polinommal. Ide tartoznak az olyan integrálok is, mint - egy exponenciális függvény szorozva egy polinommal, de a gyakorlatban ez 97 százalék, az integrál alatt egy csinos „e” betű pompázik. ... a cikk valami líraira sikeredett, na igen ... megjött a tavasz.

3) , , trigonometrikus függvények, megszorozva valamilyen polinommal.

4) , - inverz trigonometrikus függvények („ívek”), „ívek”, szorozva valamilyen polinommal.

Ezenkívül néhány tört részenként történik, a megfelelő példákat is részletesen megvizsgáljuk.

A logaritmusok integráljai

1. példa

Klasszikus. Időnként ez az integrál megtalálható a táblázatokban, de nem kívánatos kész választ használni, mivel a tanárnak tavasszal beriberije van, és sokat szidni fog. Mivel a szóban forgó integrál semmiképpen sem táblázatos – részekre bontva. Mi döntünk:

A megoldást köztes magyarázatokra megszakítjuk.

Az alkatrészek szerinti integráció képletét használjuk:

A képletet balról jobbra alkalmazzuk

A bal oldalt nézzük:. Nyilvánvaló, hogy a mi példánkban (és az összes többiben, amelyet figyelembe fogunk venni) valamit jelölni kell -val, valamit pedig -vel.

A vizsgált típusú integrálokban mindig a logaritmust jelöljük.

Technikailag a megoldás kialakítása a következőképpen valósul meg, az oszlopba írjuk:

Vagyis mert a logaritmust jelöltük, és - a fennmaradó részt integrand.

Következő lépés: keresse meg a differenciálművet:

A differenciál majdnem megegyezik a deriválttal, az előző leckékben már tárgyaltuk, hogyan találjuk meg.

Most megtaláljuk a függvényt. A függvény megtalálásához integrálni kell jobb oldal alacsonyabb egyenlőség:

Most megnyitjuk a megoldásunkat, és megszerkesztjük a képlet jobb oldalát: .
Egyébként itt van egy példa a végső megoldásra apró megjegyzésekkel:

Az egyetlen pillanat a szorzatban, azonnal átrendeztem, és mivel a szorzót szokás a logaritmus elé írni.

Amint látható, a részenkénti integráció képlet alkalmazása lényegében két egyszerű integrálra redukálta a megoldásunkat.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy bizonyos esetekben rögtön utána A képlet alkalmazásakor szükségszerűen egyszerűsítést kell végrehajtani a fennmaradó integrál alatt - a vizsgált példában az integrandust "x"-szel csökkentettük.

Csináljunk egy ellenőrzést. Ehhez a válasz származékát kell vennie:

Megkapjuk az eredeti integrandust, ami azt jelenti, hogy az integrál helyesen van megoldva.

Az ellenőrzés során a termékdifferenciálási szabályt alkalmaztuk: . És ez nem véletlen.

Integrálás alkatrész képlet szerint és képlet Ez két egymással ellentétes szabály.

2. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Az integrandus a logaritmus és a polinom szorzata.
Mi döntünk.

Még egyszer részletesen leírom a szabály alkalmazásának menetét, a jövőben a példák rövidebben kerülnek bemutatásra, és ha nehézségei vannak a megoldás során, akkor vissza kell térnie a lecke első két példájához. .

Mint már említettük, ehhez szükséges a logaritmus kijelölése (az a tény, hogy fokban van, nem számít). jelöljük a fennmaradó részt integrand.

Egy oszlopba írjuk:

Először megtaláljuk a különbséget:

Itt egy komplex függvény differenciálási szabályát használjuk . Nem véletlen, hogy a téma legelső óráján Határozatlan integrál. Megoldási példák Arra koncentráltam, hogy az integrálok elsajátításához "rá kell fogni" a deriváltokra. A származékos termékeknek többször is szembe kell nézniük.

Most megtaláljuk a függvényt, ehhez integráljuk jobb oldal alacsonyabb egyenlőség:

Az integrációhoz a legegyszerűbb táblázatos képletet alkalmaztuk

Most készen áll a képlet alkalmazására . "Csillaggal" nyitjuk meg, és a jobb oldalnak megfelelően "tervezzük meg" a megoldást:

Az integrál alatt ismét van egy polinom a logaritmuson! Ezért a megoldást ismét megszakítják, és másodszor is alkalmazzák a részenkénti integráció szabályát. Ne felejtsük el, hogy hasonló helyzetekben a logaritmust mindig jelöljük.

Jó lenne, ha ezen a ponton szóban meg tudnád találni a legegyszerűbb integrálokat és származékokat.

(1) Ne tévesszen meg a táblákban! Itt nagyon gyakran elveszik egy mínusz, de vegye figyelembe, hogy a mínusz érvényes mindenkinek zárójel , és ezeket a zárójeleket megfelelően kell kinyitni.

(2) Bontsa ki a zárójeleket. Az utolsó integrált egyszerűsítjük.

(3) Vegyük az utolsó integrált.

(4) A válasz „fésülködése”.

Nem ritka, hogy kétszer (vagy akár háromszor) kell alkalmazni a részenkénti integráció szabályát.

És most néhány példa egy független megoldásra:

3. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Ezt a példát a változó metódus megváltoztatásával (vagy a differenciáljel alá szummálással) oldjuk meg! És miért ne – megpróbálhatod részekre szedni, kapsz egy vicces dolgot.

4. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

De ezt az integrált részek (az ígért tört) integrálják.

Ezek önmegoldó példák, megoldások és válaszok a lecke végén.

Úgy tűnik, hogy a 3,4 példákban az integrandusok hasonlóak, de a megoldási módok eltérőek! Pontosan ez a fő nehézség az integrálok elsajátításában - ha rossz módszert választasz az integrál megoldására, akkor órákig bíbelődhetsz vele, mint egy igazi rejtvénynél. Ezért minél többet old meg különféle integrálokat, annál jobb, annál könnyebb lesz a teszt és a vizsga. Ráadásul a második évben differenciálegyenletek lesznek, integrálok és deriváltak megoldásában szerzett tapasztalat nélkül ott nincs mit tenni.

Logaritmus alapján talán több mint elég. Uzsonnára arra is emlékszem, hogy a műszaki hallgatók logaritmusnak hívják a női melleket =). Egyébként hasznos fejből ismerni a fő elemi függvények grafikonjait: szinusz, koszinusz, arctangens, kitevő, harmadik, negyedik fokú polinomok stb. Nem, természetesen óvszer a földgömbön
Nem húzom, de most sok mindenre fog emlékezni a szakaszból Grafikonok és függvények =).

A kitevő integráljai szorozva a polinommal

Általános szabály:

5. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Ismert algoritmussal részenként integráljuk:

Ha nehézségei vannak az integrállal, akkor térjen vissza a cikkhez Változómódosítási módszer határozatlan integrálban.

Az egyetlen más teendő, hogy "fésüljük" a választ:

De ha a számítási technikája nem túl jó, hagyja meg válaszként a legjövedelmezőbb lehetőséget. vagy akár

Vagyis a példa akkor tekinthető megoldottnak, amikor az utolsó integrált vettük. Nem lesz hiba, más kérdés, hogy a tanár kérheti a válasz egyszerűsítését.

6. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Ez egy „csináld magad” példa. Ezt az integrált részek kétszer integrálják. Különös figyelmet kell fordítani a jelekre - könnyen összetéveszthető bennük, erre is emlékezünk - összetett funkció.

A kiállítóról nem nagyon lehet többet mondani. Csak annyit tudok hozzátenni, hogy az exponenciális és a természetes logaritmus kölcsönösen inverz függvények, ez nekem a felsőbb matematika szórakoztató grafikonjainak témája =) Állj meg, ne aggódj, az előadó józan.

Trigonometrikus függvények integráljai polinommal szorozva

Általános szabály: mindig a polinomot jelöli

7. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Integrálás részenként:

Hmmm... és nincs mit kommentálni.

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy példa a „csináld magad” megoldásra

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Egy másik példa törttel. Az előző két példához hasonlóan a polinomot a.

Integrálás részenként:

Ha nehézségei vagy félreértései vannak az integrál megtalálásával kapcsolatban, akkor azt javaslom, hogy vegyen részt az órán Trigonometrikus függvények integráljai.

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez egy „csináld magad” példa.

Tipp: a részenkénti integráció módszer használata előtt alkalmazzon valamilyen trigonometrikus képletet, amely két trigonometrikus függvény szorzatát egyetlen függvénnyel alakítja. A képlet az alkatrészenkénti integráció módszerének alkalmazása során is használható, akinek ez kényelmesebb.

Ebben a bekezdésben talán minden benne van. Valamiért eszembe jutott egy sor a Fizika és Matematika Tanszék himnuszából „És a szinuszgráf hullám után hullám fut az abszcissza tengely mentén” ....

Inverz trigonometrikus függvények integráljai.
Inverz trigonometrikus függvények integráljai polinommal szorozva

Általános szabály: mindig az inverz trigonometrikus függvényt jelöli.

Emlékeztetlek arra, hogy az inverz trigonometrikus függvények közé tartozik az arcszinusz, az arkkoszinusz, az arctangens és az arckotangens. A rövidség kedvéért "íveknek" fogom hivatkozni rájuk.