A második figyelemre méltó határ kiszámítása. Online számológép Megoldási határok

A "figyelemreméltó határ" kifejezést széles körben használják a tankönyvekben és oktatási segédanyagokban olyan fontos identitások megjelölésére, amelyek jelentősen segítenek. egyszerűsítse a munkáját a határok megtalálásában.

De ahhoz tudjon hozni Ha a figyelemre méltó határa van, alaposan meg kell néznie, mert nem közvetlen formában, hanem gyakran következmények formájában, további kifejezésekkel és tényezőkkel felvértezve. Előbb azonban az elmélet, aztán a példák, és sikerülni fog!

Az első csodálatos határ

Tetszett? Hozzáadás a könyvjelzőkhöz

Az első figyelemre méltó határ a következőképpen van írva (a bizonytalanság $0/0$ formátumban):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Következmények az első figyelemre méltó határtól

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Példamegoldások: 1 csodálatos határ

1. példa Számítsa ki a $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) korlátot.$$

Megoldás. Az első lépés mindig ugyanaz - behelyettesítjük a $x=0$ határértéket a függvénybe, és megkapjuk:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Megkaptuk a $\left[\frac(0)(0)\right]$ formájú bizonytalanságot, amelyet közzé kell tenni. Ha alaposan megnézzük, az eredeti határ nagyon hasonlít az első figyelemre méltó határértékhez, de nem ugyanaz. A mi feladatunk az, hogy hasonlóvá tegyük. Alakítsuk át így – nézzük meg a szinusz alatti kifejezést, tegyük ugyanezt a nevezőben (viszonylagosan szorozzuk meg és osszuk el $3x$-tal), majd csökkentsük és egyszerűsítsük:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

A fenti pont az első figyelemre méltó határérték: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y) ))(y)=1, \text( feltételes csere történt ) y=3x. $$ Válasz: $3/8$.

2. példa Számítsa ki a $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) határértéket.$$

Megoldás. Behelyettesítjük a $x=0$ határértéket a függvénybe, és megkapjuk:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

A $\left[\frac(0)(0)\right]$ alakú bizonytalanságot kaptuk. Alakítsuk át a határt az első csodálatos határértékkel (háromszor!) leegyszerűsítve:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Válasz: $9/16$.

3. példa Keresse meg a $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5) korlátot.$$

Megoldás. Mi van, ha a trigonometrikus függvény alatt összetett kifejezés található? Nem számít, és itt is ugyanúgy járunk el. Először nézzük meg a bizonytalanság típusát, cseréljük be a $x=0$-t a függvénybe, és kapjuk meg:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

A $\left[\frac(0)(0)\right]$ alakú bizonytalanságot kaptuk. Szorozd és oszd $2x^3+3x$-val:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\jobb] = $$

Ismét kaptunk bizonytalanságot, de ebben az esetben ez csak egy töredéke. Csökkentsük a számlálót és a nevezőt $x$-tal:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Válasz: $3/5$.

Második csodálatos határ

A második figyelemre méltó határ a következőképpen van felírva (a $1^\infty$ formátum bizonytalansága):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

A második figyelemre méltó határ következményei

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Példák megoldásokra: 2 csodálatos határ

4. példa Keresse meg a $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) korlátot.$$

Megoldás. Ellenőrizzük a bizonytalanság típusát, cseréljük be a $x=\infty$-t a függvénybe, és kapjuk:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Megkaptuk a $\left$ alakú bizonytalanságot. A határ a második figyelemre méltó dologra csökkenthető. Alakítsuk át:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

A zárójelben lévő kifejezés valójában a második figyelemre méltó határ $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, csak $t= - 3x/2$, szóval

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Válasz:$e^(-2/3)$.

5. példa Keresse meg a $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) korlátot.$ $

Megoldás. Behelyettesítjük a $x=\infty$-t a függvénybe, és megkapjuk a $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ alakú bizonytalanságot. És szükségünk van $\left$-ra. Tehát kezdjük a zárójelben lévő kifejezés átalakításával:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\jobbra)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \jobbra)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\jobbra)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

A zárójelben lévő kifejezés valójában a második figyelemre méltó határ $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, csak $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, ezért

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Számos figyelemre méltó határ van, de a leghíresebb az első és a második figyelemre méltó határ. Ezekben a korlátokban az a figyelemreméltó, hogy széles körben használják őket, és segítségükkel számos problémában találhatunk más határokat is. Ezt fogjuk megtenni a lecke gyakorlati részében. Ahhoz, hogy a problémákat az első vagy a második figyelemre méltó határértékre csökkentve megoldjuk, nem kell felfedni a bennük rejlő bizonytalanságokat, mivel ezeknek a határoknak az értékeit már régóta levezették a nagy matematikusok.

Az első csodálatos határ Egy végtelenül kicsi ív szinuszának ugyanazon ívhez viszonyított arányának határértéke, radián mértékkel kifejezve:

Térjünk át a problémák megoldására az első figyelemre méltó határnál. Megjegyzés: ha a határjel alatt trigonometrikus függvény található, ez szinte biztos jele annak, hogy ez a kifejezés az első figyelemre méltó határértékre redukálható.

1. példa Találd meg a határt.

Megoldás. Helyette helyettesítés x a nulla bizonytalansághoz vezet:

.

A nevező szinusz, ezért a kifejezés az első figyelemre méltó határig hozható. Kezdjük az átalakítást:

.

A nevező három X szinusza, de a számlálóban csak egy X van, ami azt jelenti, hogy három X-et kell kapnia a számlálóban. Miért? Bemutatjuk a 3 x = aés kapd meg a kifejezést .

És elérkeztünk az első figyelemre méltó határ egy változatához:

mert nem mindegy, hogy ebben a képletben melyik betű (változó) áll X helyett.

Megszorozzuk X-et hárommal, és azonnal elosztjuk:

.

Az első észrevehető határértéknek megfelelően lecseréljük a tört kifejezést:

Most végre megoldhatjuk ezt a határt:

.

2. példa Találd meg a határt.

Megoldás. A közvetlen helyettesítés ismét a „nulla osztva nullával” bizonytalansághoz vezet:

.

Az első figyelemre méltó határérték megszerzéséhez szükséges, hogy a számlálóban a szinusz jel alatti x és a nevezőben csak az x azonos együtthatóval rendelkezzen. Legyen ez az együttható egyenlő 2-vel. Ehhez képzeljük el x aktuális együtthatóját az alábbiak szerint, törtekkel végrehajtva, így kapjuk:

.

3. példa Találd meg a határt.

Megoldás. Behelyettesítéskor ismét a „nulla osztva nullával” bizonytalanságot kapjuk:

.

Valószínűleg már érted, hogy az eredeti kifejezésből megkaphatod az első csodálatos határt szorozva az első csodálatos határértékkel. Ehhez a számlálóban lévő x és a nevezőben lévő szinusz négyzetét azonos tényezőkre bontjuk, és hogy az x-re és a szinuszra azonos együtthatókat kapjunk, a számlálóban lévő x-et elosztjuk 3-mal, és azonnal megszorozzuk 3. kapjuk:

.

4. példa Találd meg a határt.

Megoldás. Ismét megkapjuk a „nulla osztva nullával” bizonytalanságot:

.

Megkaphatjuk az első két figyelemre méltó határérték arányát. A számlálót és a nevezőt is elosztjuk x-szel. Ezután, hogy a szinuszok és xek együtthatói egybeesjenek, megszorozzuk a felső x-et 2-vel, és azonnal elosztjuk 2-vel, az alsó x-et pedig megszorozzuk 3-mal és azonnal osztjuk 3-mal.

5. példa Találd meg a határt.

Megoldás. És ismét a „nulla osztva nullával” bizonytalansága:

A trigonometriából emlékszünk, hogy az érintő a szinusz és a koszinusz aránya, a nulla koszinusza pedig eggyel egyenlő. Elvégezzük az átalakításokat és megkapjuk:

.

6. példa. Találd meg a határt.

Megoldás. A határjel alatti trigonometrikus függvény ismét az első figyelemre méltó határérték használatát javasolja. A szinusz és a koszinusz arányaként ábrázoljuk.

A fenti cikkből megtudhatod, hogy mi a limit és mivel eszik - ez NAGYON fontos. Miért? Lehet, hogy nem érti, mik a determinánsok, és sikeresen megoldja őket; előfordulhat, hogy egyáltalán nem érti, mi az a származék, és „A”-val találja meg őket. De ha nem érti, mi a határ, akkor a gyakorlati feladatok megoldása nehéz lesz. Szintén jó ötlet lenne megismerkedni a mintamegoldásokkal és a tervezési javaslataimmal. Minden információ egyszerű és hozzáférhető formában jelenik meg.

Ennek a leckének a céljaira a következő tananyagokra lesz szükségünk: Csodálatos határokÉs Trigonometrikus képletek. Az oldalon megtalálhatóak. A legjobb, ha kinyomtatja a kézikönyveket - ez sokkal kényelmesebb, és emellett gyakran offline módban kell hivatkoznia rájuk.

Mi olyan különleges a figyelemre méltó korlátokban? Ezekben a határértékekben az a figyelemreméltó, hogy a híres matematikusok legnagyobb elméi bizonyították őket, és a hálás leszármazottaknak nem kell szörnyű korlátoktól szenvedniük trigonometrikus függvények, logaritmusok, hatványok halomával. Vagyis a határok megtalálásakor elméletileg igazolt, kész eredményeket fogunk használni.

Számos csodálatos korlát létezik, de a gyakorlatban az esetek 95%-ában a részidős hallgatóknak két csodálatos korlátja van: Az első csodálatos határ, Második csodálatos határ. Meg kell jegyezni, hogy ezek történelmileg kialakult nevek, és amikor például „az első figyelemre méltó határról” beszélnek, akkor ez egy nagyon konkrét dolgot ért, és nem valami, a plafonról vett véletlenszerű határt.

Az első csodálatos határ

Tekintsük a következő határértéket: (a „ő” natív betű helyett a görög „alfa” betűt fogom használni, ez az anyag bemutatása szempontjából kényelmesebb).

A határok megtalálására vonatkozó szabályunk szerint (lásd a cikket Korlátok. Példák megoldásokra) megpróbálunk nullát behelyettesíteni a függvénybe: a számlálóban nullát kapunk (a nulla szinusza nulla), a nevezőben pedig nyilván nulla is van. Így a forma bizonytalanságával állunk szemben, amit szerencsére nem kell nyilvánosságra hozni. A matematikai elemzés során bebizonyosodik, hogy:

Ezt a matematikai tényt ún Az első csodálatos határ. Nem fogok elemző bizonyítást adni a határnak, de megvizsgáljuk annak geometriai jelentését a leckében. végtelenül kicsi függvények.

A gyakorlati feladatokban gyakran másként is elrendezhetők a funkciók, ez nem változtat semmit:

- ugyanaz az első csodálatos határ.

De a számlálót és a nevezőt nem tudod magad átrendezni! Ha az alakban határértéket adunk meg, akkor azt ugyanabban a formában kell megoldani anélkül, hogy bármit átrendeznénk.

A gyakorlatban nem csak változó, hanem elemi függvény vagy komplex függvény is működhet paraméterként. Az egyetlen fontos dolog az, hogy nullára hajlamos.

Példák:
, , ,

Itt , , , , és minden rendben van - az első csodálatos határ érvényes.

De a következő bejegyzés eretnekség:

Miért? Mivel a polinom nem nullára, hanem ötre hajlik.

Egyébként egy gyors kérdés: mi a határ? ? A válasz a lecke végén található.

A gyakorlatban nem minden olyan zökkenőmentes, szinte soha nem ajánlják fel egy diáknak, hogy oldjon meg egy ingyenes limitet és kapjon könnyű bérletet. Hááát... írom ezeket a sorokat, és eszembe jutott egy nagyon fontos gondolat - elvégre jobb, ha fejből emlékezünk a „szabad” matematikai definíciókra, képletekre, ez felbecsülhetetlen segítséget jelenthet a tesztben, amikor a kérdés „kettő” és „három” között kell dönteni, és a tanár úgy dönt, hogy feltesz egy egyszerű kérdést a tanulónak, vagy felajánl egy egyszerű példa megoldását („talán még tudja, mit?!”).

Térjünk át gyakorlati példákra:

1. példa

Találd meg a határt

Ha szinust észlelünk a határban, akkor ennek azonnal el kell gondolkodnia az első figyelemreméltó határérték alkalmazásának lehetőségéről.

Először megpróbáljuk behelyettesíteni a 0-t a határjel alatti kifejezésbe (ezt gondolatban vagy piszkozatban tesszük):

Tehát bizonytalan a forma feltétlenül jelezze döntés meghozatalában. A határjel alatti kifejezés hasonló az első csodálatos határhoz, de ez nem pontosan az, hanem a szinusz alatt van, hanem a nevezőben.

Ilyenkor az első figyelemre méltó határt magunknak kell megszerveznünk, mesterséges technikával. A gondolatmenet a következő lehetne: „a szinusz alatt van, ami azt jelenti, hogy a nevezőbe is be kell jutnunk.”
És ez nagyon egyszerűen történik:

Vagyis a nevezőt ebben az esetben mesterségesen megszorozzuk 7-tel, és elosztjuk ugyanazzal a héttel. Most a felvételünk ismerős formát öltött.
Ha a feladatot kézzel készítjük, célszerű egy egyszerű ceruzával megjelölni az első figyelemre méltó határt:

Mi történt? Valójában a bekarikázott kifejezésünk egységgé alakult, és eltűnt a műben:

Most már csak meg kell szabadulni a háromszintes töredéktől:

Aki elfelejtette a többszintű törtek egyszerűsítését, kérjük, frissítse a kézikönyvben található anyagot Forró képletek iskolai matematika tanfolyamhoz .

Kész. Végső válasz:

Ha nem szeretne ceruzajeleket használni, akkor a megoldást így írhatja le:

“

Használjuk az első csodálatos határt

“

2. példa

Találd meg a határt

Ismét egy törtet és egy szinust látunk a határban. Próbáljuk meg nullával helyettesíteni a számlálót és a nevezőt:

Valóban van bennünk bizonytalanság, és ezért meg kell próbálnunk megszervezni az első csodálatos határt. A leckében Korlátok. Példák megoldásokra figyelembe vettük azt a szabályt, hogy ha bizonytalanságunk van, akkor a számlálót és a nevezőt faktorizálnunk kell. Itt ugyanarról van szó, a fokozatokat szorzatként (szorzóként) ábrázoljuk:

Az előző példához hasonlóan ceruzával körberajzoljuk a figyelemre méltó határértékeket (itt kettő van belőlük), és jelezzük, hogy ezek hajlamosak egységet alkotni:

Valójában kész a válasz:

A következő példákban nem fogok művészetet csinálni a Paintben, arra gondolok, hogyan kell helyesen elkészíteni a megoldást egy jegyzetfüzetben - már érted.

3. példa

Találd meg a határt

A határjel alatti kifejezésben nullát cserélünk:

Bizonytalanság merült fel, amelyet nyilvánosságra kell hozni. Ha van érintő a határértékben, akkor azt szinte mindig a jól ismert trigonometrikus képlet segítségével alakítják át szinuszra és koszinuszra (egyébként a kotangenssel is nagyjából ugyanezt teszik, lásd módszertani anyagot Forró trigonometrikus képletek Az oldalon Matematikai képletek, táblázatok és referenciaanyagok).

Ebben az esetben:

A nulla koszinusza egyenlő eggyel, és könnyű megszabadulni tőle (ne felejtsd el megjelölni, hogy egyre hajlamos):

Így ha a limitben a koszinusz SZORZÓ, akkor durván fogalmazva egységgé kell alakítani, ami eltűnik a szorzatban.

Itt minden egyszerűbbnek bizonyult, szorzások és osztások nélkül. Az első figyelemre méltó határ is eggyel változik, és eltűnik a termékben:

Ennek eredményeként a végtelent kapjuk, és ez megtörténik.

4. példa

Találd meg a határt

Próbáljuk meg nullával helyettesíteni a számlálót és a nevezőt:

A bizonytalanságot megkapjuk (a nulla koszinusza, mint emlékszünk, egyenlő eggyel)

A trigonometrikus képletet használjuk. Írd fel! Valamilyen oknál fogva nagyon gyakoriak az e képletet használó korlátok.

Vigyük át az állandó tényezőket a határ ikonon túlra:

Szervezzük meg az első csodálatos határt:

Itt csak egy figyelemre méltó határunk van, amely eggyé válik, és eltűnik a termékben:

Szabaduljunk meg a háromemeletes szerkezettől:

A limit valóban megoldott, jelezzük, hogy a maradék szinusz nullára hajlik:

5. példa

Találd meg a határt

Ez a példa bonyolultabb, próbálja meg kitalálni saját maga:

Egyes határok egy változó megváltoztatásával az 1. figyelemre méltó határig csökkenthetők, erről kicsit később olvashatsz a cikkben A határértékek megoldásának módszerei.

Második csodálatos határ

A matematikai elemzés elméletében bebizonyosodott, hogy:

Ezt a tényt ún második csodálatos határ.

Referencia: irracionális szám.

A paraméter nemcsak változó, hanem összetett függvény is lehet. Csak az a fontos, hogy a végtelenbe törekedjen.

6. példa

Találd meg a határt

Ha a határjel alatti kifejezés fokban van, ez az első jele annak, hogy meg kell próbálnia alkalmazni a második csodálatos határt.

De először, mint mindig, megpróbálunk egy végtelenül nagy számot behelyettesíteni a kifejezésbe, ennek elvét a leckében tárgyaljuk. Korlátok. Példák megoldásokra.

Könnyen észrevehető, hogy mikor fok alapja , kitevője pedig , azaz bizonytalan a forma:

Ez a bizonytalanság pontosan megmutatkozik a második figyelemre méltó határ segítségével. De, mint gyakran megtörténik, a második csodálatos határ nem egy ezüsttálcán fekszik, és mesterségesen kell megszervezni. A következőképpen érvelhet: ebben a példában a paraméter a , ami azt jelenti, hogy az indikátorban is rendszerezni kell. Ehhez az alapot hatványra emeljük, és hogy a kifejezés ne változzon, hatványra emeljük:

Ha a feladatot kézzel végezzük, ceruzával jelöljük:

Szinte minden készen van, az iszonyatos fokozatból szép levél lett:

Ebben az esetben magát a limit ikont mozgatjuk a jelzőre:

7. példa

Találd meg a határt

Figyelem! Ez a fajta korlátozás nagyon gyakran előfordul, kérjük, nagyon figyelmesen tanulmányozza ezt a példát.

Próbáljunk meg egy végtelenül nagy számot behelyettesíteni a határjel alatti kifejezésbe:

Az eredmény a bizonytalanság. De a második figyelemre méltó határ a forma bizonytalanságára vonatkozik. Mit kell tenni? Átalakítanunk kell a fokozat alapját. Így okoskodunk: a nevezőben van , ami azt jelenti, hogy a számlálóban is rendszereznünk kell.

Bizonyíték:

Először bizonyítsuk be a tételt a sorozat esetére

Newton binomiális képlete szerint:

Feltéve, hogy megkapjuk

Ebből az (1) egyenlőségből az következik, hogy n növekedésével a jobb oldalon lévő pozitív tagok száma nő. Ráadásul az n növekedésével a szám csökken, így az értékek is növekednek. Ezért a sorrend növekszik, és (2)*Megmutatjuk, hogy korlátos. Cseréljük le az egyenlőség jobb oldalán lévő minden zárójelet eggyel, a jobb oldal megnő, és megkapjuk az egyenlőtlenséget

Erősítsük meg a kapott egyenlőtlenséget, a törtek nevezőiben álló 3,4,5, ... helyére cseréljük a 2-es számot: A zárójelben lévő összeget a geometriai haladás tagjainak összegének képletével keressük: Ebből adódóan (3)*

Tehát a sorozat felülről korlátos, és a (2) és (3) egyenlőtlenségek teljesülnek: Ezért a Weierstrass-tétel (egy sorozat konvergenciájának kritériuma) alapján a sorozat monoton növekszik és korlátozott, ami azt jelenti, hogy van egy határa, amelyet e betű jelöl. Azok.

Tudva, hogy a második figyelemre méltó határ igaz x természetes értékeire, igazoljuk a második figyelemre méltó határt valós x-re, azaz bebizonyítjuk, hogy . Nézzünk két esetet:

1. Legyen x minden értéke két pozitív egész szám közé: ,ahol az x egész része. => =>

Ha , akkor Ezért a határérték szerint Nekünk van

A határértékek meglétének kritériuma (köztes függvény határa körül) alapján

2. Hagyjuk . Végezzük el a − x = t behelyettesítést, akkor

Ebből a két esetből az következik valódi x-hez.

Következmények:

9 .) Infinitezimálisok összehasonlítása. A végtelen kicsinyek ekvivalensekkel való helyettesítésének tétele a határértékben és a tétel az infinitezimálisok fő részére.

Legyen az a( x) és b( x) – b.m. nál nél x ® x 0 .

DEFINÍCIÓK.

1)a( x) hívott végtelenül magasabb rendű, mint b (x) Ha

Írd le: a( x) = o(b( x)) .

2)a( x) És b( x)hívják azonos rendű infinitezimálisok, Ha

ahol CÎℝ és C¹ 0 .

Írd le: a( x) = O(b( x)) .

3)a( x) És b( x) hívják egyenértékű , Ha

Írd le: a( x) ~ b( x).

4)a( x) infinitezimális k rendű relatívnak nevezzük
teljesen végtelenül kicsi b( x), ha végtelenül kicsi a( x)És(b( x))k ugyanaz a sorrend, pl. Ha

ahol CÎℝ és C¹ 0 .

TÉTEL 6 (az infinitezimálisok ekvivalensekkel való helyettesítéséről).

Hadd a( x), b( x), egy 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. x-nél ® x 0 . Ha a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

Hogy

Bizonyíték: Legyen a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Akkor

TÉTEL 7 (az infinitezimális szám fő részéről).

Hadd a( x)És b( x)– b.m. x-nél ® x 0 , és b( x)– b.m. magasabb rendű mint a( x).

= , a mivel b( x) – magasabb rendű, mint a( x), akkor, azaz tól től világos, hogy a( x) + b( x) ~ a( x)

10) Függvény folytonossága egy pontban (az epszilon-delta nyelvén, geometriai határok) Egyoldali folytonosság. Folytonosság intervallumon, szakaszon. A folytonos függvények tulajdonságai.

1. Alapvető definíciók

Hadd f(x) a pont valamely szomszédságában van meghatározva x 0 .

MEGHATÁROZÁS 1. Funkció f(x) hívott folyamatos egy ponton x 0 ha az egyenlőség igaz

Megjegyzések.

1) Az 5. Tétel 3. pontja értelmében az (1) egyenlőség alakba írható

Feltétel (2) – függvény folytonosságának meghatározása egy ponton az egyoldalú határértékek nyelvén.

2) Az egyenlőség (1) így is írható:

Azt mondják: „ha egy függvény folytonos egy ponton x 0, akkor a határ előjele és a függvény felcserélhető."

2. DEFINÍCIÓ (e-d nyelven).

Funkció f(x) hívott folyamatos egy ponton x 0 Ha"e>0 $d>0 ilyen, Mit

ha xОU( x 0 , d) (azaz | x – x 0 | < d),

majd f(x)ÎU( f(x 0), e) (azaz | f(x) – f(x 0) | < e).

Hadd x, x 0 Î D(f) (x 0 – rögzített, x - tetszőleges)

Jelöljük: D x= x – x 0 – argumentumnövekmény

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – függvény növekedése az x pontban 0

3. DEFINÍCIÓ (geometriai).

Funkció f(x) tovább hívott folyamatos egy ponton x 0 ha ezen a ponton az argumentum egy végtelen kis növekménye megfelel a függvény végtelen kicsi növekményének, azaz

Legyen a függvény f(x) a [ x 0 ; x 0 + d) (a intervallumon ( x 0 – d; x 0 ]).

MEGHATÁROZÁS. Funkció f(x) hívott folyamatos egy ponton x 0 jobb oldalon (bal ), ha az egyenlőség igaz

Ez nyilvánvaló f(x) folyamatos a pontban x 0 Û f(x) folyamatos a pontban x 0 jobbra és balra.

MEGHATÁROZÁS. Funkció f(x) hívott intervallumig folyamatos e ( a; b) ha ennek az intervallumnak minden pontjában folytonos.

Funkció f(x) folytonosnak nevezzük a szakaszon [a; b] ha az intervallumon folyamatos (a; b) és a határpontokon egyirányú folytonossága van(azaz folyamatos a ponton a a jobb oldalon, a ponton b- bal).

11) Töréspontok, besorolásuk

MEGHATÁROZÁS. Ha f függvény(x) az x pont valamelyik szomszédságában definiálva 0 , de ezen a ponton nem folyamatos f(x) az x pontban nem folytonosnak nevezzük 0 , és maga a lényeg x 0 töréspontnak nevezik függvények f(x) .

Megjegyzések.

1) f(x) a pont hiányos környezetében definiálható x 0 .

Ezután vegyük figyelembe a függvény megfelelő egyoldalú folytonosságát.

2) Az Þ pont definíciójából x 0 a függvény töréspontja f(x) két esetben:

a) U( x 0 , d)О D(f) , de érte f(x) az egyenlőség nem áll fenn

b) U * ( x 0 , d)О D(f) .

Az elemi függvényeknél csak a b) eset lehetséges.

Hadd x 0 – függvény töréspontja f(x) .

MEGHATÁROZÁS. x pont 0 hívott töréspont én fajta ha f függvény(x)véges határértékei vannak a bal és a jobb oldalon ezen a ponton.

Ha ezek a határértékek egyenlőek, akkor x pont 0 hívott kivehető töréspont , másképp - ugráspont .

MEGHATÁROZÁS. x pont 0 hívott töréspont II fajta ha az f függvény legalább egyik egyoldali határértéke(x)ezen a ponton egyenlő¥ vagy nem létezik.

12) Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai (Weierstrass (bizonyítás nélkül) és Cauchy tételei

Weierstrass tétele

Legyen tehát folytonos az f(x) függvény az intervallumon

1)f(x) erre korlátozódik

2) f(x) felveszi a legkisebb és legnagyobb értékét az intervallumon

Meghatározás: Az m=f függvény értékét a legkisebbnek nevezzük, ha m≤f(x) bármely x€ D(f) esetén.

Az m=f függvény értékét akkor mondjuk a legnagyobbnak, ha m≥f(x) bármely x € D(f) esetén.

A függvény a szakasz több pontján felveheti a legkisebb/legnagyobb értéket.

f(x 3)=f(x 4)=max

Cauchy-tétel.

Legyen az f(x) függvény folytonos a szakaszon, x pedig az f(a) és f(b) között található szám, akkor van legalább egy x 0 € pont úgy, hogy f(x 0)= g

A második figyelemre méltó határ képlete: lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Egy másik írásmód így néz ki: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Amikor a második figyelemre méltó határról beszélünk, az 1 ∞ formájú bizonytalansággal kell számolnunk, azaz. végtelen mértékig egység.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tekintsük azokat a problémákat, amelyekben hasznos lesz a második figyelemre méltó határ kiszámításának képessége.

1. példa

Határozzuk meg a lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 határértéket.

Megoldás

Helyettesítsük be a szükséges képletet, és végezzük el a számításokat.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

A válaszunk egy volt a végtelenség erejével. A megoldási mód meghatározásához a bizonytalansági táblázatot használjuk. Válasszuk ki a második figyelemre méltó határt, és változtassunk a változókon.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Ha x → ∞, akkor t → - ∞.

Lássuk, mit kaptunk a csere után:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Válasz: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

2. példa

Számítsa ki a lim x → ∞ x - 1 x + 1 x határértéket.

Megoldás

Helyettesítsük be a végtelent, és kapjuk a következőket.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

A válaszban ismét ugyanazt kaptuk, mint az előző feladatban, ezért ismét használhatjuk a második figyelemre méltó határt. Ezután ki kell választanunk a teljes részt a teljesítményfüggvény alapján:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Ezt követően a limit a következő formát ölti:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Változók cseréje. Tegyük fel, hogy t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ha x → ∞, akkor t → ∞.

Ezt követően írjuk fel, hogy mit kaptunk az eredeti limitben:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Ennek az átalakításnak a végrehajtásához a határértékek és a hatványok alapvető tulajdonságait használtuk.

Válasz: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

3. példa

Számítsa ki a határértéket x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Megoldás

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Ezt követően át kell alakítanunk a függvényt a második nagy határérték alkalmazásához. A következőket kaptuk:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Mivel most ugyanazok a kitevőink vannak a tört számlálójában és nevezőjében (hattal egyenlő), a tört határa a végtelenben egyenlő lesz ezen együtthatók arányával nagyobb hatványokon.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

A t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 helyettesítésével egy második figyelemre méltó határértéket kapunk. Mit jelent:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Válasz: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

következtetéseket

1 ∞ bizonytalanság, azaz. A végtelen hatványhoz való egység hatványtörvény-bizonytalanság, ezért az exponenciális hatványfüggvények határainak megtalálására vonatkozó szabályok segítségével feltárható.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt