Feltételes extrémák és a Lagrange-szorzók módszere. Lagrange-szorzó módszer

Rövid elmélet

A Lagrange-szorzók módszere egy klasszikus módszer a matematikai programozás (különösen a konvex) problémák megoldására. Sajnos a módszer gyakorlati alkalmazása során jelentős számítási nehézségek adódhatnak, szűkítve a felhasználási területet. A Lagrange-módszert elsősorban azért tekintjük itt, mert ez egy olyan apparátus, amelyet aktívan alkalmaznak a gyakorlatban széles körben alkalmazott modern numerikus módszerek igazolására. Ami a Lagrange-függvényt és a Lagrange-szorzókat illeti, ezek független és rendkívül fontos szerepet töltenek be nemcsak a matematikai programozás elméletében és alkalmazásaiban.

Tekintsünk egy klasszikus optimalizálási problémát:

Ennek a feladatnak a megszorításai között nincsenek egyenlőtlenségek, nincsenek feltételek a változók nem-negativitására, diszkrétségére és a függvények és folytonosak, és legalább másodrendű parciális deriváltjaik vannak.

A probléma megoldásának klasszikus megközelítése egy egyenletrendszert (szükséges feltételeket) ad, amelyet annak a pontnak kell teljesítenie, amely a függvénynek lokális szélsőértéket biztosít azon pontok halmazán, amelyek kielégítik a korlátokat (konvex programozási probléma esetén a talált pont egyben lesz a globális szélsőpont).

Tegyük fel, hogy az (1) függvénynek van egy lokális feltételes szélsőértéke a pontban, és a mátrix rangja egyenlő -val. Ezután a szükséges feltételeket a következőképpen írhatjuk fel:

a Lagrange függvény; a Lagrange-szorzók.

Elegendő feltételek vannak arra is, hogy a (3) egyenletrendszer megoldása meghatározza a függvény szélsőpontját. Ezt a kérdést a Lagrange-függvény második differenciáljának előjelének vizsgálata alapján oldjuk meg. A megfelelő feltételek azonban elsősorban elméleti érdekek.

Az (1), (2) probléma megoldásához a következő eljárást adhatja meg a Lagrange-szorzó módszerrel:

1) állítsa össze a Lagrange-függvényt (4);

2) keresse meg a Lagrange-függvény parciális deriváltjait az összes változóra vonatkozóan, és tegye egyenlővé

nulla. Így egy (3) egyenletekből álló rendszert kapunk.. Oldjuk meg a kapott rendszert (ha lehetségesnek bizonyul!), és így keressük meg a Lagrange-függvény összes stacionárius pontját;

3) a koordináták nélkül felvett stacionárius pontokból válassza ki azokat a pontokat, amelyekben a függvény feltételes lokális szélsőségekkel rendelkezik korlátozások jelenlétében (2). Ezt a választást például úgy kell meghozni, hogy megfelelő feltételeket biztosítanak egy helyi szélsőséghez. A vizsgálat gyakran leegyszerűsödik, ha a probléma meghatározott feltételeit alkalmazzák.

Példa a probléma megoldására

A feladat

A cég kétféle árut állít elő mennyiségben és . A hasznos költségfüggvényt a reláció határozza meg. Ezen áruk árai a piacon egyenlőek, ill.

Határozza meg, hogy mekkora kibocsátás mellett éri el a maximális profitot, és mennyivel egyenlő, ha az összköltség nem haladja meg

Problémái vannak a megoldási folyamat megértésében? Az oldalon van egy szolgáltatás Problémamegoldás módszerekkel optimális megoldások megrendelésre

A probléma megoldása

A probléma gazdasági és matematikai modellje

Profit függvény:

Költségkorlátok:

A következő gazdasági és matematikai modellt kapjuk:

Ráadásul a feladat értelmének megfelelően

Lagrange-szorzó módszer

Állítsuk össze a Lagrange függvényt:

I. rendű parciális származékokat találunk:

Összeállítjuk és megoldjuk az egyenletrendszert:

Azóta

Maximális haszon:

Válasz

Ezért egységeket kell előállítani. 1. típusú áruk és egységek. 2. típusú áruk. Ebben az esetben a nyereség maximális és 270 lesz.
Példát adunk a másodfokú konvex programozás feladatának grafikus módszerrel történő megoldására.

Lineáris feladat megoldása grafikus módszerrel
Egy két változós lineáris programozási probléma (LPP) megoldására szolgáló grafikus módszert vizsgálunk. A feladat példáján részletes leírást adunk a rajz felépítéséről és a megoldás megtalálásáról.

Wilson készletgazdálkodási modell
A probléma megoldásának példáján a készletgazdálkodás fő modelljét (Wilson-modell) tekintjük. Kiszámítják a modell olyan mutatóit, mint a rendelési tétel optimális mérete, az éves raktározási költségek, a szállítások közötti intervallum és a megrendelés időpontja.

Közvetlen költségarány mátrix és bemeneti-kimeneti mátrix
A probléma megoldásának példáján a Leontiev interszektorális modellt vizsgáljuk. Megjelenik a közvetlen anyagköltségek együtthatóinak mátrixa, az "input-output" mátrix, a közvetett költségek együtthatóinak mátrixa, a végső fogyasztás és a bruttó kibocsátás vektorai.

VAL VEL A Lagrange-módszer lényege, hogy a feltételes szélsőségfeladatot a feltétel nélküli extrémum probléma megoldására redukálja. Tekintsünk egy nemlineáris programozási modellt:

(5.2)

Ahol
jól ismert funkciók,

A
együtthatókat kapnak.

Vegyük észre, hogy a feladatnak ebben a megfogalmazásában a megszorításokat egyenlőségek adják meg, és nincs feltétele annak, hogy a változók nenegatívak legyenek. Ezenkívül feltételezzük, hogy a függvények
folyamatosak az első parciális származékaikkal.

Alakítsuk át az (5.2) feltételeket úgy, hogy az egyenlőségek bal vagy jobb része tartalmazza nulla:

(5.3)

Állítsuk össze a Lagrange függvényt. Tartalmazza a célfüggvényt (5.1) és a megszorítások (5.3) jobb oldalát, az együtthatókkal együtt
. Annyi Lagrange-együttható lesz, ahány megszorítás van a feladatban.

Az (5.4) függvény szélsőpontjai az eredeti probléma szélsőpontjai és fordítva: az (5.1)-(5.2) feladat optimális terve a Lagrange-függvény globális szélsőpontja.

Valóban, hadd találják meg a megoldást
feladat (5.1)-(5.2), akkor az (5.3) feltételek teljesülnek. Cseréljük ki a tervet
az (5.4) függvénybe, és ellenőrizze az egyenlőség (5.5) érvényességét.

Így ahhoz, hogy az eredeti probléma optimális tervét megtaláljuk, meg kell vizsgálni a Lagrange-függvényt egy szélsőségre. A függvény szélsőértékekkel rendelkezik azokon a pontokon, ahol a parciális deriváltjai egyenlők nulla. Az ilyen pontokat ún helyhez kötött.

Meghatározzuk az (5.4) függvény parciális deriváltjait.

,

.

Egyenlítés után nulla származékaiból kapjuk a rendszert m+n egyenleteket m+n ismeretlen

,(5.6)

Általános esetben az (5.6)-(5.7) rendszernek több megoldása lesz, amelyek a Lagrange függvény összes maximumát és minimumát tartalmazzák. A globális maximum vagy minimum kiemelése érdekében a célfüggvény értékeit minden talált pontban kiszámítjuk. Ezen értékek közül a legnagyobb a globális maximum, a legkisebb pedig a globális minimum. Bizonyos esetekben lehetséges a használata elégséges feltételek a szigorú szélsőséghez folyamatos függvények (lásd az alábbi 5.2. feladatot):

legyen a függvény
folytonos és kétszer differenciálható stacionárius pontjának valamely szomszédságában (azok.
)). Akkor:

A ) Ha
, (5.8)

Hogy a függvény szigorú maximumpontja
;

b) Ha
, (5.9)

Hogy a függvény szigorú minimumpontja
;

G ) Ha
,

akkor az extrémum jelenlétének kérdése nyitva marad.

Ráadásul az (5.6)-(5.7) rendszer egyes megoldásai negatívak is lehetnek. Ami nincs összhangban a változók gazdasági jelentésével. Ebben az esetben elemezni kell a negatív értékek nullával való helyettesítésének lehetőségét.

A Lagrange-szorzók gazdasági jelentése. Optimális szorzóérték
megmutatja, hogy mennyit fog változni a kritérium értéke Z az erőforrás növelésekor vagy csökkentésekor j egységenként, hiszen

A Lagrange-módszer akkor is alkalmazható, ha a megszorítások egyenlőtlenségek. Tehát a függvény szélsőértékének megtalálása
feltételek mellett

,

több szakaszban történik:

1. Határozzuk meg a célfüggvény stacionárius pontjait, amelyekre megoldják az egyenletrendszert!

.

2. Állópontok közül azokat választjuk ki, amelyek koordinátái megfelelnek a feltételeknek

3. Az (5.1)-(5.2) egyenlőségi megszorításokkal a probléma megoldására a Lagrange-módszert alkalmazzuk.

4. A második és harmadik szakaszban talált pontokat globális maximumra vizsgáljuk: ezeken a pontokon összehasonlítjuk a célfüggvény értékeit - a legnagyobb érték az optimális tervnek felel meg.

Feladat 5.1 Oldjuk meg az első részben tárgyalt 1.3. feladatot Lagrange módszerrel. A vízkészletek optimális eloszlását egy matematikai modell írja le

.

Állítsa össze a Lagrange függvényt

Keresse meg ennek a függvénynek a feltétel nélküli maximumát. Ehhez kiszámítjuk a parciális deriváltokat, és egyenlővé tesszük őket nullával

,

Így egy alakú lineáris egyenletrendszert kaptunk

Az egyenletrendszer megoldása a vízkészletek öntözött területek közötti elosztásának optimális terve

, .

Mennyiségek
százezer köbméterben mérve.
- százezer köbméter öntözővízre jutó nettó bevétel összege. Ezért 1 m 3 öntözővíz határára az
den. egységek

Az öntözésből származó többlet nettó bevétel maximuma lesz

160 12,26 2 +7600 12,26-130 8,55 2 +5900 8,55-10 16,19 2 +4000 16,19=

172391.02 (den. egység)

Feladat 5.2 Nemlineáris programozási feladat megoldása

A korlátozást a következőképpen ábrázoljuk:

.

Állítsa össze a Lagrange-függvényt, és határozza meg parciális deriváltjait

.

A Lagrange-függvény stacionárius pontjainak meghatározásához a parciális deriváltjait nullával kell egyenlővé tenni. Ennek eredményeként egy egyenletrendszert kapunk

.

Az első egyenletből következik

. (5.10)

Kifejezés behelyettesítjük a második egyenletbe

,

amelyből két megoldás létezik :

És
. (5.11)

Ezeket a megoldásokat a harmadik egyenletbe behelyettesítve kapjuk

,
.

A Lagrange-szorzó és az ismeretlen értékei kiszámítása az (5.10)-(5.11) kifejezésekkel:

,
,
,
.

Így két szélsőséges pontot kaptunk:

;
.

Annak megállapítására, hogy ezek a pontok maximum vagy minimum pontok-e, a szigorú szélsőség (5.8)-(5.9) elégséges feltételeit használjuk. Előkifejezés for , amelyet a matematikai modell megszorításából kapunk, behelyettesítjük a célfüggvénybe

,

. (5.12)

A szigorú szélsőség feltételeinek ellenőrzéséhez meg kell határoznunk az (5.11) függvény második deriváltjának előjelét az általunk talált szélsőpontokban
És
.

,
;

.

És így, (·)
az eredeti probléma minimumpontja (
), A (·)
- maximum pont.

Optimális terv:

,
,
,

.

Ma a leckében megtanuljuk, hogyan kell megtalálni feltételes vagy ahogy más néven is hívják, relatív szélsőségek több változó függvényei, és mindenekelőtt természetesen a feltételes szélsőségekről lesz szó két funkciójaÉs három változó, amelyek a tematikus problémák túlnyomó többségében megtalálhatók.

Mit kell most tudnod és mit kell tenned? Annak ellenére, hogy ez a cikk a téma "szélén" van, nem kell sok minden az anyag sikeres beolvasztásához. Ezen a ponton a fő irányadónak kell lennie a tér felületei, meg tudja találni részleges származékok (legalábbis középszinten)és a könyörtelen logika szerint megérteni feltétlen szélsőségek. De még ha alacsony a képzettsége is, ne rohanjon távozni - minden hiányzó tudás/készség valóban „felvehető az út során”, és sok órányi kínlódás nélkül.

Először magát a fogalmat elemezzük, és egyúttal kifejezzük a leggyakoribb megismétlését felületek. Szóval, mi az a feltételes szélsőség? ... A logika itt sem kevésbé könyörtelen =) A függvény feltételes szélsőértéke a szó szokásos értelmében vett szélsőség, amely akkor érhető el, ha egy bizonyos feltétel (vagy feltételek) teljesül.

Képzelj el egy tetszőleges "ferde" repülőgép V Descartes-rendszer. Egyik sem extrémum itt nem látszik. De ez egyelőre. Fontolgat elliptikus henger, az egyszerűség kedvéért - a tengellyel párhuzamos végtelen kerek "cső". Nyilvánvaló, hogy ez a "cső" "kiválik" a gépünkből ellipszis, ami felül a maximumot, alul a minimumot eredményezi. Más szóval, a síkot meghatározó függvény szélsőségeket ér el tekintettel arra hogy azt az adott körhenger keresztezte. Ez "feltéve"! Egy másik elliptikus henger, amely ezt a síkot keresztezi, szinte biztosan eltérő minimumot és maximumot eredményez.

Ha nem túl világos, akkor a helyzet reálisan szimulálható (de fordított sorrendben): vegyen egy fejszét, menjen ki és vágja le ... nem, a Greenpeace később nem bocsát meg - jobb, ha a lefolyócsövet „darálóval” vágja el =). A feltételes minimum és feltételes maximum attól függ, hogy milyen magasságban és mi alatt (nem vízszintes) ferdén vágjuk.

Ideje matematikai öltözékbe tenni a számításokat. Fontolgat elliptikus paraboloid, amely abszolút minimum pontban. Most keressük meg a szélsőséget tekintettel arra. Ez repülőgép párhuzamos a tengellyel, ami azt jelenti, hogy "kivág" a paraboloidból parabola. Ennek a parabolának a teteje lesz a feltételes minimum. Ráadásul a gép nem halad át az origón, ezért a pont üzemen kívül marad. Nem küldtél be képet? Menjünk a linkekre! Sok-sokszor kell még.

Kérdés: hogyan lehet megtalálni ezt a feltételes szélsőséget? A megoldás legegyszerűbb módja az egyenlet (amelyet - feltétel vagy kapcsolódási egyenlet) fejezze ki, például: - és cserélje be a függvénybe:

Ennek eredményeként egy változó függvényét kapjuk, amely egy parabolát határoz meg, amelynek csúcsát csukott szemmel "kiszámoljuk". Találjuk ki kritikus pontok:

- kritikus pont.

Ezután a legegyszerűbb a használata második elégséges extrémum feltétel:

Különösen: , tehát a függvény a pontban éri el a minimumát. Közvetlenül kiszámolható: , de mi inkább akadémikus módon megyünk. Keressük meg a "játék" koordinátáját:
,

írjuk fel a feltételes minimum pontot, győződjön meg róla, hogy valóban a síkban fekszik (eleget tesz a kényszeregyenletnek):

és számítsuk ki a függvény feltételes minimumát:
tekintettel arra ("adalék" kötelező!!!).

A vizsgált módszer minden kétséget kizáróan alkalmazható a gyakorlatban, azonban számos hátránya van. Először is, a probléma geometriája korántsem mindig világos, másrészt gyakran nem kifizetődő az „x” vagy „y” kifejezés a kommunikáció egyenletéből. (ha egyáltalán van lehetőség kifejezni valamit). És most megvizsgálunk egy univerzális módszert a feltételes szélsőségek megtalálására, az úgynevezett Lagrange-szorzó módszer:

1. példa

Keresse meg a függvény feltételes szélsőértékét az argumentumok megadott kapcsolódási egyenletéhez.

Felismeri a felületeket? ;-) …örülök, hogy látom a boldog arcotokat =)

Egyébként ennek a problémának a megfogalmazásából világossá válik, hogy miért hívják a feltételt kapcsolódási egyenlet- függvény argumentumok csatlakoztatva járulékos feltétel, vagyis a talált szélsőpontoknak szükségszerűen egy körhengerhez kell tartozniuk.

Megoldás: az első lépésben ábrázolnia kell a kényszeregyenletet a formában, és meg kell alkotnia Lagrange funkció:
, hol van az úgynevezett Lagrange-szorzó.

A mi esetünkben és:

A feltételes szélsőségek megtalálásának algoritmusa nagyon hasonló a "hétköznapi" keresési sémájához. szélsőségek. Találjuk ki részleges származékok Lagrange függvények, míg a "lambda" konstansként kezelendő:

Készítsük el és oldjuk meg a következő rendszert:

A labdát a szokásos módon oldják ki:
az általunk kifejezett első egyenletből ;
a második egyenletből fejezzük ki .

Helyettesítse be a kommunikáció egyenletét, és hajtson végre egyszerűsítéseket:

Ennek eredményeként két állópontot kapunk. Ha akkor:

ha akkor:

Könnyen belátható, hogy mindkét pont koordinátája kielégíti az egyenletet . A lelkiismeretes emberek teljes ellenőrzést is végezhetnek: ehhez helyettesíteni kell a rendszer első és második egyenletébe, majd tegyük ugyanezt a halmazzal . Mindennek össze kell illeszkednie.

Ellenőrizzük a talált stacionárius pontok elégséges szélsőfeltételének teljesülését. Három megközelítést fogok megvizsgálni a probléma megoldására:

1) Az első módszer egy geometriai igazolás.

Számítsuk ki a függvény értékeit stacionárius pontokban:

Ezután felírunk egy hozzávetőlegesen a következő tartalmú kifejezést: a sík körhengerrel való metszete egy ellipszis, amelynek tetején elérjük a maximumot, alul pedig a minimumot. Így a nagyobb érték feltételes maximum, a kisebb pedig feltételes minimum.

Ha lehetséges, jobb ezt a módszert használni - ez egyszerű, és a tanárok ezt a megoldást tartják számon. (nagy plusz, hogy megmutattad a probléma geometriai jelentésének megértését). Azonban, mint már említettük, messze nem mindig világos, hogy mi és hol metszi egymást, majd egy analitikus ellenőrzés segít:

2) A második módszer másodrendű differenciáljelek használatán alapul. Ha kiderül, hogy egy stacionárius pontban , akkor ott a függvény maximumot ér el, de ha - akkor minimumot.

Találjuk ki másodrendű parciális származékok:

és hozza létre ezt a különbséget:

Mert ez azt jelenti, hogy a függvény a pontban éri el a maximumát;
esetén, akkor a függvény eléri a minimumot a pontban .

A vizsgált módszer nagyon jó, de hátránya, hogy bizonyos esetekben szinte lehetetlen meghatározni a 2. differenciál előjelét (általában ez akkor történik, ha és/vagy eltérő előjelűek). És akkor a "nehéztüzérség" jön a megmentésre:

3) Tegye különbséget az "x" és az "y" tekintetében a kapcsolódási egyenletet:

és tegye a következőket szimmetrikus mátrix:

Ha egy stacionárius ponton van , akkor a függvény oda ér ( Figyelem!) minimum, ha – akkor maximum.

Írjunk mátrixot az értékre és a megfelelő pontra:

Számoljuk ki döntő:
, tehát a függvénynek a pontban van maximuma.

Hasonlóan az értékhez és a ponthoz:

Így a függvénynek minimuma van a pontban.

Válasz: tekintettel arra, hogy:

Az anyag részletes elemzése után egyszerűen csak ajánlani tudok néhány tipikus önvizsgálati feladatot:

2. példa

Határozza meg a függvény feltételes szélsőértékét, ha argumentumait az egyenlet kapcsolja össze

3. példa

Keresse meg a függvény szélsőértékét a feltétel alatt

És ismét erősen javaslom a feladatok geometriai lényegének megértését, különösen az utolsó példánál, ahol az elégséges állapot elemző igazolása nem ajándék. Ne feledje, melyik 2. rendű sor beállítja az egyenletet, és mit felület ez a vonal térben generál. Elemezze, hogy a henger melyik görbén metszi a síkot, és ezen a görbén hol lesz minimum és hol maximum.

Megoldások és válaszok az óra végén.

A vizsgált problémát széles körben használják különféle területeken, különösen - nem megyünk messzire, a geometriában. Oldjuk meg mindenki kedvenc, fél literes problémáját (lásd a cikk 7. példájátExtrém feladatok ) második út:

4. példa

Mekkora legyen egy hengeres konzervdoboz mérete, hogy a doboz elkészítéséhez a legkevesebb anyag kerüljön felhasználásra, ha a doboz térfogata

Megoldás: vegyünk egy változó alapsugárt , egy változó magasságot, és állítsuk össze a kanna teljes felületének területének függvényét:
(két burkolat területe + oldalfelület)

Paraméter neve	Jelentése
Cikk tárgya:	Lagrange módszer.
Rubrika (tematikus kategória)	Matematika

A polinom megtalálása azt jelenti, hogy meghatározzuk az együttható értékét . Ehhez az interpolációs feltétel segítségével lineáris algebrai egyenletrendszert (SLAE) alkothat.

Ennek az SLAE-nek a determinánsát általában Vandermonde-determinánsnak nevezik. A Vandermonde-determináns nem egyenlő nullával, ha for , vagyis abban az esetben, ha a keresőtáblában nincsenek egyező csomópontok. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, vitatható, hogy az SLAE-nek van megoldása, és ez a megoldás egyedülálló. Az SLAE megoldása és az ismeretlen együtthatók meghatározása szerkeszthetünk interpolációs polinomot.

Az interpoláció feltételeit eleget tevő polinom, ha Lagrange-módszerrel interpolál, n-edik fokú polinomok lineáris kombinációjaként készül:

A polinomokat ún alapvető polinomok. Azért, hogy Lagrange polinom teljesíti az interpolációs feltételeket, rendkívül fontos, hogy az alábbi feltételek teljesüljenek az alappolinomjaira:

Mert .

Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor a következőkkel rendelkezünk:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, az alappolinomokra adott feltételek teljesülése azt jelenti, hogy az interpolációs feltételek is teljesülnek.

Határozzuk meg az alappolinomok alakját a rájuk rótt megszorítások alapján.

1. feltétel: nál nél .

2. feltétel: .

Végül az alappolinomhoz a következőket írhatjuk:

Ezután az alappolinomok eredő kifejezését behelyettesítve az eredeti polinomba, megkapjuk a Lagrange-polinom végső alakját:

Az at Lagrange-polinom egy bizonyos formáját általában lineáris interpolációs képletnek nevezik:

.

A Lagrange-polinomot általában másodfokú interpolációs képletnek nevezik:

Lagrange módszer. - koncepció és típusok. A "Lagrange-módszer" kategória osztályozása és jellemzői. 2017, 2018.

- Lagrange-módszer (egy tetszőleges állandó változtatásának módszere).

Lineáris távirányítók. Meghatározás. típusvezérlés, azaz. lineáris az ismeretlen függvényhez és deriváltjához képest lineárisnak nevezzük. Egy ilyen típusú megoldáshoz két módszert kell figyelembe venni: a Lagrange-módszert és a Bernoulli-módszert. Tekintsünk egy homogén DE-t.

- Lineáris távirányító, homogén és heterogén. Az általános megoldás fogalma. Lagrange-féle konstansszorzat variációs módszere.

Meghatározás. A DU-t homogénnek nevezzük, ha az f-i az argumentumaikhoz viszonyítva f-i-ként ábrázolható Példa. Az F-edik homogén f-edik mérést nevezzük, ha Példák: 1) - 1. rendű homogenitás. 2) - a homogenitás 2. rendje. 3) - a homogenitás nulla rendje (csak homogén... .

- 8. előadás. Parciális deriváltak alkalmazása: feladatok szélsőséghez. Lagrange módszer.

Az extrém feladatok nagy jelentőséggel bírnak a gazdasági számításokban. Ez egy számítás például a maximális bevételről, nyereségről, minimális költségről, több változótól függően: erőforrások, termelési eszközök stb. A függvények szélsőségeinek megtalálásának elmélete... .

- T.2.3. DE magasabb rendű. Egyenlet a teljes differenciálokban. T.2.4. Lineáris DE másodrendű állandó együtthatókkal. Lagrange módszer.

3. 2. 1. DE elválasztható változókkal S.R. 3. A természettudományban, a technikában és a közgazdaságtanban gyakran kell empirikus képletekkel számolni, pl. statisztikai adatok feldolgozása alapján összeállított képletek vagy ...

Tekintsünk egy elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletet:
(1) .
Az egyenlet megoldásának három módja van:

• állandó variációs módszer (Lagrange).

Tekintsük egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldását a Lagrange-módszerrel.

Állandó variációs módszer (Lagrange)

Az állandó variációs módszerben az egyenletet két lépésben oldjuk meg. Az első lépésben egyszerűsítjük az eredeti egyenletet, és megoldjuk a homogén egyenletet. A második lépésben a megoldás első szakaszában kapott integrációs állandót egy függvényre cseréljük. Ezután keressük az eredeti egyenlet általános megoldását.

Tekintsük az egyenletet:
(1)

1. lépés A homogén egyenlet megoldása

A homogén egyenletre keresünk megoldást:

Ez egy elválasztható egyenlet

Változók elválasztása – szorozzuk dx-el, osztjuk y-vel:

Integráljuk:

Integrál y felett - táblázatos:

Akkor

Potencírozza:

Cseréljük ki az e C állandót C-re, és vegyük ki a modulus előjelét, ami az állandóval való szorzásra redukálódik ±1, amelyet a C-be foglalunk:

2. lépés Cserélje ki a C állandót a függvényre

Most cseréljük le a C állandót x függvényére:
c → u (x)
Vagyis megoldást fogunk keresni az eredeti egyenletre (1) mint:
(2)
Megtaláljuk a származékot.

A komplex függvény differenciálási szabálya szerint:
.
A termékdifferenciálási szabály szerint:

.
Behelyettesítjük az eredeti egyenletbe (1) :
(1) ;

.
Két kifejezés lecsökkent:
;
.
Integráljuk:
.
Csere be (2) :
.
Ennek eredményeként megkapjuk az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet általános megoldását:
.

Példa egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldására Lagrange módszerrel

oldja meg az egyenletet

Megoldás

Megoldjuk a homogén egyenletet:

Változók elválasztása:

Szorozzuk meg:

Integráljuk:

Táblázat integrálok:

Potencírozza:

Cseréljük ki az e C állandót C-re, és távolítsuk el a modulus előjeleit:

Innen:

Cseréljük le a C állandót x függvényével:
c → u (x)

Megtaláljuk a származékot:
.
Behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
;
;
Vagy:
;
.
Integráljuk:
;
Egyenlet megoldás:
.