Clipper adh számítása Newton módszerével. Numerikus módszerek nemlineáris egyenletek megoldására

Newton-módszer (tangens módszer)

Legyen az f(x)=0 egyenlet gyöke a szakaszon elválasztva, az első és második derivált f’(x) ill. f""(x) folytonosak és állandó előjelűek xÎ esetén.

Legyen a gyökérfinomítás valamelyik lépésében az x n gyökér következő közelítése (kiválasztva) . Ezután tegyük fel, hogy a h n korrekcióval kapott következő közelítés , a gyökér pontos értékéhez vezet

x = xn + hn. (1.2.3-6)

Számolás h n kis érték, az f(х n + h n)-t Taylor sorozat formájában ábrázoljuk, lineáris kifejezésekre korlátozva magunkat

f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n). (1.2.3-7)

Ha figyelembe vesszük, hogy f(x) = f(x n + h n) = 0, akkor f(x n) + h n f ’(x n) » 0-t kapunk.

Ezért h n » - f(x n)/ f’(x n). Cseréljük ki az értéket h n(1.2.3-6)-ban és a gyökér pontos értéke helyett xújabb közelítést kapunk

Az (1.2.3-8) képlet lehetővé teszi, hogy megkapjuk az x 1, x 2, x 3 ... közelítések sorozatát, amely bizonyos feltételek mellett a gyök pontos értékéhez konvergál. x, vagyis

A Newton-módszer geometriai értelmezése az alábbiak
(1.2.3-6. ábra). Vegyük x 0 kezdeti közelítésnek a b szakasz jobb végét, és készítsünk érintőt az y = f(x) függvény grafikonján a megfelelő B 0 pontban. Az érintőnek az x tengellyel való metszéspontját új, pontosabb x 1 közelítésnek vesszük. Ennek az eljárásnak a többszöri megismétlése lehetővé teszi, hogy megkapjuk az x 0, x 1, x 2 közelítések sorozatát. , . . ., amely a gyökér pontos értékére irányul x.

A Newton-módszer számítási képlete (1.2.3-8) geometriai konstrukcióból nyerhető. Tehát egy derékszögű háromszögben x 0 B 0 x 1 láb
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga. Tekintettel arra, hogy a B 0 pont a függvény grafikonján van f(x), a hipotenuszt pedig az f(x) gráf B 0 pontban lévő érintője alkotja, azt kapjuk

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Ez a képlet egybeesik az (1.2.3-8) n-edik közelítéssel.

Az 1.2.3-6. ábrából jól látható, hogy az a pont kezdeti közelítésként való kiválasztása oda vezethet, hogy a következő x 1 közelítés azon a szegmensen kívül lesz, amelyen a gyök el van választva. x. Ebben az esetben a folyamat konvergenciája nem garantált. Általános esetben a kezdeti közelítés megválasztása a következő szabály szerint történik: a kezdeti közelítést egy x 0 О pontnak kell venni, amelynél f(x 0)×f''(x 0)>0 , azaz a függvény és második deriváltjának előjelei egyeznek.

A Newton-módszer konvergenciájának feltételeit a következő tétel fogalmazza meg.

Ha az egyenlet gyökét a szakaszon elválasztjuk, és f’(x 0) és f’(x) eltérnek a nullától, és megtartják előjeleiket, amikor xО, akkor ha egy ilyen pontot választunk kezdeti közelítésnek x 0 О , Mit f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , akkor az egyenlet gyöke f(x)=0 bármilyen pontossággal kiszámítható.

A Newton-módszer hibabecslését a következő kifejezés határozza meg:

(1.2.3-11)

hol a legkisebb érték nál nél

Legmagasabb érték nál nél

A számítási folyamat leáll, ha ,

hol van a megadott pontosság.

Ezenkívül a következő kifejezések feltételül szolgálhatnak egy adott pontosság eléréséhez, amikor a gyökér finomítását Newton módszerével végezzük:

A Newton-módszer algoritmusának diagramja az ábrán látható. 1.2.3-7.

Az eredeti f(x) egyenlet bal oldala és származéka f'(x) az algoritmusban külön szoftvermodulként van kialakítva.

Rizs. 1.2.3-7. Newton-módszer algoritmus diagramja

1.2.3-3. példa Finomítsa az x-ln(x+2) = 0 egyenlet gyökereit Newton-módszerrel, feltéve, hogy ennek az egyenletnek a gyökerei el vannak választva az x 1 О[-1.9;-1.1] és x 2 О [-0,9;2 ].

Az f’(x) = 1 – 1/(x+2) első deriváltja minden szakaszon megtartja előjelét:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 xО-nél [-0,9; 2].

A második derivált f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 bármely x esetén.

Így a konvergencia feltételei teljesülnek. Mivel f""(x)>0 a megengedett értékek teljes tartományában, akkor a kezdeti közelítés gyökerének tisztázása érdekében x 1 válasszon x 0 = -1,9 (mivel f(-1,9)×f”(-1,9)>0). Megkapjuk a közelítések sorozatát:

A számításokat folytatva az első négy közelítésből a következő sorrendet kapjuk: -1,9; –1,8552, -1,8421; -1,8414 . Az f(x) függvény értéke az x=-1,8414 pontban egyenlő: f(-1,8414)=-0,00003 .

Az x 2 О[-0.9;2] gyök tisztázásához a 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) értéket választjuk kezdeti közelítésnek. Az x 0 = 2 alapján a közelítések sorozatát kapjuk: 2,0;1,1817; 1,1462; 1.1461. Az f(x) függvény értéke az x=1,1461 pontban egyenlő: f(1,1461)= -0,00006.

A Newton-módszernek nagy a konvergencia rátája, de minden lépésben nem csak a függvény értékét, hanem a deriváltját is ki kell számítani.

Akkordmódszer

Az akkordmódszer geometriai értelmezése az alábbiak
(1.2.3-8. ábra).

Rajzoljunk egy szakaszt az A és B pontokon keresztül. A következő x 1 közelítés a húr 0x tengellyel való metszéspontjának abszcissza. Szerkesszük meg az egyenes szakasz egyenletét:

Állítsuk be y=0-t, és keressük meg az x=x 1 értéket (következő közelítés):

Ismételjük meg a számítási folyamatot, hogy megkapjuk a következő közelítést a gyökérhez - x 2 :

Esetünkben (1.2.11. ábra) és az akkordmódszer számítási képlete így fog kinézni

Ez a képlet akkor érvényes, ha a b pontot fix pontnak vesszük, és az a pont kezdeti közelítésként működik.

Tekintsünk egy másik esetet (1.2.3-9. ábra), amikor .

Az egyenes egyenletnek ebben az esetben a formája van

A következő közelítés x 1 y = 0-nál

Ekkor az akkordmódszer visszatérő képlete erre az esetre a formát tartalmazza

Megjegyzendő, hogy az akkordmódszerben a fix pont annak a szakasznak a vége, amelyre az f (x)∙f¢¢ (x)>0 feltétel teljesül.

Így ha az a pontot fix pontnak vesszük , akkor x 0 = b a kezdeti közelítés, és fordítva.

Az elégséges feltételek, amelyek biztosítják az f(x) = 0 egyenlet gyökének húrképlettel történő kiszámítását, ugyanazok lesznek, mint a tangens módszernél (Newton-módszer), csak a kezdeti közelítés helyett egy fix pontot választanak. Az akkordmódszer a Newton-módszer módosítása. A különbség az, hogy Newton módszerében a következő közelítés az érintő metszéspontja a 0X tengellyel, az akkordmódszerben pedig - az akkord metszéspontja a 0X tengellyel - a közelítések különböző oldalakról konvergálnak a gyökhöz. .

Az akkordmódszer hibabecslését a kifejezés adja meg

(1.2.3-15)

Az akkordmódszerrel végzett iterációs folyamat befejezésének feltétele

(1.2.3-16)

M1 esetben<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

Példa 1.2.3-4. Tisztázzuk az e x – 3x = 0 egyenlet gyökerét, a szakaszon 10 -4 pontossággal elválasztva!

Nézzük meg a konvergencia feltételét:

Következésképpen fix pontnak a=0-t kell választani, kezdeti közelítésnek pedig x 0 =1-et kell venni, mivel f(0)=1>0 és f(0)*f"(0)>0.

2. Newton-módszer nemlineáris egyenletrendszerek megoldására.

Ez a módszer sokkal gyorsabb konvergenciával rendelkezik, mint az egyszerű iterációs módszer. Newton módszere az (1.1) egyenletrendszerre a függvénybővítésen alapul

, Ahol
(2.1)

a Taylor sorozatba, a második és magasabb rendű származékokat tartalmazó kifejezéseket el kell vetni. Ez a megközelítés lehetővé teszi, hogy egy nemlineáris rendszer (1.1) megoldását több lineáris rendszer megoldásával helyettesítsük.

Tehát az (1.1) rendszert Newton módszerével oldjuk meg. A D régióban válasszon egy pontot
és nevezzük az eredeti rendszer pontos megoldásának nulla közelítésének. Most bontsuk ki a (2.1) függvényeket Taylor-sorozattá a pont szomszédságában. Lesz

Mert a (2.2) bal oldalának el kell tűnnie az (1.1) szerint, majd a (2.2) jobb oldalának is el kell tűnnie. Ezért a (2.2)-ből megvan

A (2.3) pontban szereplő összes parciális deriváltot a pontban kell kiszámítani.

A (2.3) egy lineáris algebrai egyenletrendszer ismeretlenekre, ez a rendszer Cramer módszerével megoldható, ha fő determinánsa nem nulla és a mennyiségek megtalálhatók

Most finomíthatjuk a nulla közelítést úgy, hogy az első közelítést a koordinátákkal megszerkesztjük

azok.
. (2.6)

Nézzük meg, hogy a (2.6) közelítést kellő pontossággal kaptuk-e meg. Ehhez ellenőrizzük az állapotot

,
(2.7)

Ahol egy előre meghatározott kis pozitív szám (az a pontosság, amellyel az (1.1) rendszert meg kell oldani). Ha a (2.7) feltétel teljesül, akkor az (1.1) rendszer közelítő megoldásaként (2.6) választjuk és végezzük el a számításokat. Ha a (2.7) feltétel nem teljesül, akkor a következő műveletet hajtjuk végre. A (2.3) rendszerben ahelyett
vegyük a frissített értékeket

, (2.8)

azok. tegyük a következőket

. (2.9)

Ezt követően a (2.3) rendszer egy lineáris algebrai egyenletrendszer lesz a mennyiségekre. Ezen mennyiségek meghatározása után a következő második közelítés
az (1.1) rendszer megoldásához a képletek segítségével találjuk meg

Most nézzük meg az állapotot (2.7)

Ha ez a feltétel teljesül, akkor a számításokat úgy fejezzük be, hogy a második közelítést vesszük az (1.1) rendszer közelítő megoldásaként.
. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor folytatjuk a következő közelítés megszerkesztését, figyelembe véve (2.3)
Addig kell közelítéseket építeni, amíg a feltétel nem teljesül.

Az (1.1) rendszer megoldására szolgáló Newton-módszer munkaképletei a formába írhatók.

Számítsa ki a sorozatot

Itt
megoldást jelentenek a rendszerre

Fogalmazzuk meg a számítási algoritmust a (2.11)-(2.13) képletekkel!

1. Válasszunk a D régióhoz tartozó nulla közelítést.

2. A lineáris algebrai egyenletrendszerben (2.13) állítjuk be
,A.

3. Oldjuk meg a (2.13) rendszert és keressük meg a mennyiségeket!
.

4. A (2.12) képletekben feltesszük
és számítsuk ki a következő közelítés összetevőit.

5. Ellenőrizzük a (2.7) feltételt a következőkre: (Lásd a több mennyiség maximumának kiszámítására szolgáló algoritmust.)

6. Ha ez a feltétel teljesül, akkor a számításokat úgy fejezzük be, hogy az (1.1) rendszer közelítő megoldásaként a közelítést választjuk. Ha ez a feltétel nem teljesül, folytassa a 7. lépéssel.

7. Tegyük fel
mindenkinek .

8. Végezzük el a 3. lépést, az elhelyezést
.

Geometriailag ez az algoritmus a következőképpen írható fel:

Algoritmus. Több mennyiség maximumának kiszámítása.

Példa. Vegyük fontolóra Newton módszerének használatát egy két egyenletrendszer megoldására.

Newton módszerével oldja meg a következő nemlineáris egyenletrendszert egy pontossággal!

, (2.14)

Itt
. Válasszuk a nulla közelítést
, amely a D tartományhoz tartozik. Szerkesszünk meg egy lineáris algebrai egyenletrendszert (2.3). Úgy fog kinézni

(2.15)

Jelöljük

Oldjuk meg a (2.15) rendszert az ismeretlenekre vonatkozóan
, például a Cramer-módszer. A Cramer-képleteket a formába írjuk

(2.17)

ahol a rendszer fő meghatározója (2.15)

(2.18)

és a (2.15) rendszer segéddeterminánsainak alakja

.

A talált értékeket behelyettesítjük (2.16)-ba, és megkeressük az első közelítés összetevőit
a (2.15) rendszer megoldásához.

Vizsgáljuk meg az állapotot

, (2.19)

ha ez a feltétel teljesül, akkor úgy fejezzük be a számításokat, hogy az első közelítést a (2.15) rendszer közelítő megoldásának vesszük, azaz.
. Ha a (2.19) feltétel nem teljesül, akkor beállítjuk
,
és alkossunk egy új lineáris algebrai egyenletrendszert (2.15). Miután megoldottuk, megtaláljuk a második közelítést
. Nézzük meg. Ha ez a feltétel teljesül, akkor közelítő megoldásként választjuk a (2.15) rendszert.
. Ha a bekapcsolt feltétel nem teljesül, beállítjuk
,
és készítse el a következő rendszert (2.15), hogy megtalálja
stb.

Feladatok

Minden feladathoz szükséges:

Készítsen programot a módszer numerikus megvalósítására a javasolt algoritmus szerint!

Szerezze meg a számítási eredményeket.

Ellenőrizze az eredményeket.

Adott egy két nemlineáris egyenletrendszer.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

3. fejezet Numerikus módszerek lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldására.

A munka célja. Bevezetés néhány közelítő módszerbe az SLAE-k megoldásához és azok számszerű megvalósításához PC-n.

Előzetes megjegyzések. Az SLAE megoldására szolgáló összes módszert általában két nagy csoportra osztják. Az első csoportba azok a módszerek tartoznak, amelyeket általában pontosnak neveznek. Ezek a módszerek lehetővé teszik bármely rendszer számára, hogy véges számú aritmetikai művelet után megtalálja az ismeretlenek pontos értékét, amelyek mindegyikét pontosan hajtják végre.

A második csoportba minden olyan módszer tartozik, amely nem pontos. Ezeket iteratívnak, numerikusnak vagy közelítőnek nevezik. Az ilyen módszerek alkalmazásakor a pontos megoldást a közelítések végtelen folyamatának eredményeként kapjuk meg. Az ilyen módszerek vonzó tulajdonsága az önkorrekció és a PC-n való egyszerű megvalósítás.

Nézzünk meg néhány közelítő módszert az SLAE-ek megoldására, és alkossunk algoritmusokat ezek numerikus megvalósításához. Az SLAE közelítő megoldását kapjuk pontossággal, ahol valami nagyon kis pozitív szám.

1. Iterációs módszer.

Adjuk meg a SLAE-t a formában

(1.1)

Ez a rendszer mátrix formában írható fel

, (1.2)

Ahol
- az (1.1) rendszerben lévő ismeretlenek együtthatóinak mátrixa,
- ingyenes tagok oszlopa,
- a rendszer ismeretleneinek oszlopa (1.1).

. (1.3)

Oldjuk meg az (1.1) rendszert iterációs módszerrel. Ehhez a következő lépéseket hajtjuk végre.

Először. Válasszuk a nulla közelítést

(1.4)

az (1.1) rendszer pontos (1.3) megoldásához. A nulla közelítés összetevői tetszőleges számok lehetnek. De célszerűbb bármelyik nullát venni a nulla közelítés összetevőihez
, vagy ingyenes rendszerfeltételek (1.1)

Másodszor. A nulla közelítés összetevőit behelyettesítjük az (1.1) rendszer jobb oldalába, és kiszámítjuk

(1.5)

Az (1.5) bal oldali mennyiségek az első közelítés összetevői
Az első közelítést eredményező műveleteket iterációnak nevezzük.

Harmadik. Ellenőrizzük a nulla és az első közelítéseket

(1.6)

Ha minden (1.6) feltétel teljesül, akkor az (1.1) rendszer közelítő megoldásához vagy a -t választjuk, vagy nem számít, mert legfeljebb annyiban különböznek egymástól, és fejezzük be a számításokat. Ha legalább egy feltétel (1.6) nem teljesül, akkor továbblépünk a következő műveletre.

Negyedszer. Végezzük el a következő iterációt, azaz. az (1.1) rendszer jobb oldalába behelyettesítjük az első közelítés komponenseit és kiszámítjuk a második közelítés komponenseit
, Ahol

Ötödször. Ellenőrizzük
és tovább, azaz. Ellenőrizzük az (1.6) feltételt ezekre a közelítésekre. Ha minden (1.6) feltétel teljesül, akkor az (1.1) rendszer közelítő megoldásához a -t választjuk, vagy nem számít, mert legfeljebb annyiban különböznek egymástól. Ellenkező esetben a következő iterációt úgy készítjük el, hogy a második közelítés komponenseit behelyettesítjük az (1.1) rendszer jobb oldalába.

Az iterációkat két szomszédos közelítésig kell építeni
és legfeljebb annyiban különböznek egymástól.

Az iterációs módszer munkaképlete az (1.1) rendszer megoldásához a következőképpen írható fel

Az (1.7) képlet numerikus megvalósításának algoritmusa a következő lehet.

Az (1.1) rendszer iterációs módszerének konvergenciájához elegendő feltétel a forma

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Egyszerű iterációs módszer.

Adjuk meg a lineáris algebrai egyenletrendszert (SLAE) a formában

(2.1)

A (2.1) rendszer egyszerű iterációs módszerrel történő megoldásához először formára kell redukálni

(2.2)

A rendszerben (2.2) A -edik egyenlet a (2.1) rendszer -edik egyenlete, feloldva a -edik ismeretlenre (
).

A (2.1) rendszer megoldásának módszerét, amely a (2.2) rendszerre redukálásból, majd a (2.2) rendszer iterációs módszerrel történő megoldásából áll, a (2.1) rendszer egyszerű iterációs módszerének nevezzük.

Így a (2.1) rendszer megoldására szolgáló egyszerű iterációs módszer munkaképletei alakot kapnak

(2.3)

A (2.3) képletek a formába írhatók

A (2.1) rendszer egyszerű iterációs módszerének (2.4) képletek szerinti numerikus megvalósításának algoritmusa a következő lehet.

Ez az algoritmus geometriailag is felírható.

A (2.1) rendszer egyszerű iterációs módszerének konvergenciájához elegendő feltétel a forma

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Stacionárius Seidel módszer.

Az SLAE-ek megoldására szolgáló Seidel módszer abban különbözik az iterációs módszertől, hogy miután találtunk valamilyen közelítést a -edik komponensre, azonnal felhasználjuk a következő komponens megtalálásához.
,
, …, -edik komponens. Ez a megközelítés lehetővé teszi a Seidel-módszer magasabb konvergenciaarányát, mint az iterációs módszer.

Adjuk meg a SLAE-t a formában

(3.1)

Hadd
- nulla közelítés a pontos megoldáshoz
rendszerek (3.1). És hadd találják meg közelítés
. Határozzuk meg az összetevőket
közelítés képletekkel

(3.2)

A (3.2) képletek kompakt formában is felírhatók

,
,
(3.3)

A (3.1) rendszer (3.3) képletekkel történő megoldására szolgáló Seidel-módszer numerikus megvalósításának algoritmusa a következő lehet.

1. Válasszunk pl.
,

2. Tegyük fel .

3. Számoljunk mindenkinek.

4. Mindenkinél ellenőrizzük a feltételeket
.

5. Ha a 4. bekezdésben szereplő összes feltétel teljesül, akkor a (3.1) rendszer közelítő megoldásaként választjuk a vagy a vagy a lehetőséget, és befejezzük a számításokat. Ha a 4. lépésben legalább egy feltétel nem teljesül, folytassa a 6. lépéssel.

6. Tegyük le, és folytassuk a 3. lépéssel.

Ez az algoritmus geometriailag is felírható.

A Seidel-módszer konvergenciájának elégséges feltétele a (3.1) rendszerre a következő formában van
, .

4. Nem stacionárius Seidel-módszer.

Az SLAE (3.1) megoldásának ez a módszere még nagyobb sebességet biztosít a Seidel módszer konvergenciájához.

Valahogy megkeressük a (3.1) rendszer th és th közelítésének összetevőit.

Számítsuk ki a korrekciós vektort

Számítsuk ki az értékeket

, (4.2)

Rendezzük a mennyiségeket
, csökkenő sorrendben.

Ugyanebben a sorrendben írjuk át az egyenleteket a (3.1) rendszerben és az ismeretleneket ebben a rendszerben: LineárisalgebraÉs nemlineáris ... MenedzsmentMert laboratórium művekÁltal ... módszertani utasítás MertgyakorlatiművekÁltal Merthallgatók ...

Oktatási irodalom (természettudományi és műszaki) 2000-2011 OP ciklus – 10 év CD ciklus – 5 év

Irodalom

... TermészetesTudományokáltalában 1. Csillagászat [Szöveg]: kézikönyv Mert ... Számszerűmód: LineárisalgebraÉs nemlineáris ... MenedzsmentMert laboratórium művekÁltal ... módszertani utasítás MertgyakorlatiművekÁltal"közlekedésgazdaságtan" tudományág Merthallgatók ...

- természettudományok (1)

oktatóanyag

... menedzsmentMerthallgatókés tanárok, szánt Mert nem csak tanulásra használható módmunka... Termelés gyakorlati valós adatokat használó készségek. Módszeres ajánlásokat Által teszt teljesítése munkaÁltal ez...

- természettudományok - fizikai és matematikai tudományok - kémiai tudományok - földtudományok (geodéziai geofizikai geológiai és földrajzi tudományok)

Dokumentum

... Merthallgatóktermészetesen- ... művekÁltal„Genetika és szelekció” tudományág, amely ennek aktuális problémáival foglalkozik Tudományok. Rendszerezett független MunkahallgatókÁltal elméleti és gyakorlati ... lineáris, nemlineáris, dinamikus. Minden mód ...

- természettudományok - fizikai és matematikai tudományok - kémiai tudományok - földtudományok (geodéziai geofizikai geológiai és földrajzi tudományok) (7)

Tankönyvek listája

Eremin meghatározója lineárisÉs nemlineárisalgebra : lineárisÉs nemlineáris programozás: új módszer/Eremin, Mikhail... Merthallgatókés egyetemi geológiai szakok tanárai. kh-1 1794549 99. D3 P 693 GyakorlatimenedzsmentÁltal ...

A Newton-módszer (más néven tangens módszer) egy iteratív numerikus módszer egy adott függvény gyökének (nulla) meghatározására. A módszert először Isaac Newton (1643-1727) angol fizikus, matematikus és csillagász javasolta, akinek a neve alatt vált híressé.

A módszert Isaac Newton írta le a De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Ról ről végtelen sorozatok egyenleteinek elemzése), 1669-ben Barrow-nak címezve, valamint a De metodis fluxionum et serierum infinitarum (latinul: A fluxusok és végtelen sorozatok módszere) vagy a Geometria analytica ( lat.Elemző geometria) Newton összegyűjtött műveiben, amelyek 1671-ben készültek. A módszer leírása azonban jelentősen eltért a jelenlegi bemutatásától: Newton módszerét kizárólag polinomokra alkalmazta. Nem x n egymás utáni közelítését számolta, hanem polinomok sorozatát, és ennek eredményeként x közelítő megoldását kapta.

A módszert először John Wallis Algebra című értekezésében publikálta 1685-ben, akinek kérésére maga Newton is leírta röviden. 1690-ben Joseph Raphson leegyszerűsített leírást közölt Analysis aequationum universalis (lat. Egyenletek általános elemzése). Raphson Newton módszerét tisztán algebrainak tekintette, és a használatát polinomokra korlátozta, de a módszert az egymást követő x n közelítések segítségével írta le a Newton által használt polinomok nehezebben érthető sorozata helyett.

Végül 1740-ben Thomas Simpson a Newton-módszert elsőrendű iteratív módszerként írta le nemlineáris egyenletek megoldására az itt vázolt deriváltokkal. Ugyanebben a publikációban Simpson általánosította a módszert egy két egyenletrendszer esetére, és megjegyezte, hogy Newton módszere optimalizálási problémák megoldására is alkalmazható a derivált vagy gradiens nullapontjának megtalálásával.

Ezzel a módszerrel a függvény gyökének megtalálásának feladata a függvény grafikonján ábrázolt érintő x tengelyével való metszéspont megtalálásának feladatára redukálódik.

1. ábra . Funkcióváltási grafikon

Egy függvény grafikonjának bármely pontjában húzott érintővonalat ennek a függvénynek a vizsgált pontban lévő deriváltja határozza meg, amelyet viszont az α () szög érintője határoz meg. Az érintőnek az abszcissza tengellyel való metszéspontját a következő összefüggés alapján határozzuk meg egy derékszögű háromszögben: a szög érintőjederékszögű háromszögben a háromszög szemközti oldalának a szomszédos oldalához viszonyított aránya határozza meg. Így minden lépésben megszerkesztjük a függvény grafikonjának érintőjét a következő közelítés pontjában . Az érintő metszéspontja a tengellyelÖkör lesz a következő megközelítési pont. A vizsgált módszer szerint a gyökér hozzávetőleges értékének kiszámítása onén- Az iterációkat a következő képlet szerint hajtjuk végre:

Az egyenes meredeksége minden lépésnél a lehető legjobb módon kerül beállításra, azonban figyelni kell arra, hogy az algoritmus nem veszi figyelembe a grafikon görbületét, ezért a számítási folyamat során az ismeretlen marad. milyen irányba térhet el a grafikon.

Az iteratív folyamat befejezésének feltétele a következő feltétel teljesülése:

Ahol ˗ megengedett hiba a gyökér meghatározásában.

A módszer másodfokú konvergenciával rendelkezik. A konvergencia másodfokú sebessége azt jelenti, hogy a közelítésben szereplő helyes előjelek száma minden iterációval megduplázódik.

Matematikai indoklás

Legyen adott egy valós függvény, amely a vizsgált területen meghatározott és folyamatos. Meg kell találni a kérdéses függvény valódi gyökerét.

Az egyenlet levezetése az egyszerű iterációk módszerén alapul, amely szerint az egyenletet bármely függvényre ekvivalens egyenletre redukáljuk. Vezessük be a kontrakciós leképezés fogalmát, amelyet a reláció határoz meg.

A módszer legjobb konvergenciája érdekében a feltételnek a következő közelítés pontjában teljesülnie kell. Ez a követelmény azt jelenti, hogy a függvény gyökének meg kell felelnie a függvény szélsőértékének.

Az összehúzódási térkép származékaa következőképpen van meghatározva:

Adjuk meg ebből a kifejezésből a változótfigyelemmel arra a korábban elfogadott nyilatkozatra, hogy amikor az állapot biztosítása szükséges. Ennek eredményeként egy kifejezést kapunk a változó meghatározásához:

Ezt figyelembe véve a tömörítési funkció a következő:

Így az egyenlet numerikus megoldásának megtalálására szolgáló algoritmus egy iteratív számítási eljárásra redukálódik:

Algoritmus egy nemlineáris egyenlet gyökének megtalálásához a módszer segítségével

1. Állítsa be a függvény gyökér közelítő értékének kezdőpontját, valamint a számítási hiba (kis pozitív szám) és a kezdeti iterációs lépés ().

2. Számítsa ki a függvény gyökének hozzávetőleges értékét a következő képlet szerint:

3. Ellenőrizzük a gyökér hozzávetőleges értékét a megadott pontossághoz, a következő esetekben:

Ha két egymást követő közelítés különbsége kisebb lesz, mint a megadott pontosság, akkor az iteratív folyamat véget ér.

Ha két egymást követő közelítés különbsége nem éri el a kívánt pontosságot, akkor folytatni kell az iteratív folyamatot, és tovább kell lépni a vizsgált algoritmus 2. lépéséhez.

Példa egyenletek megoldására

módszer szerintNewton egy változós egyenletre

Példaként vegyünk egy nemlineáris egyenlet megoldását a módszerrelNewton egy változós egyenletre. Első közelítésként a gyököt kell pontosan megkeresni.

Lehetőség nemlineáris egyenlet megoldására szoftvercsomagbanMathCADa 3. ábrán mutatjuk be.

A számítási eredményeket, nevezetesen a gyökér közelítő értékének változásának dinamikáját, valamint az iterációs lépéstől függő számítási hibákat grafikus formában mutatjuk be (lásd 2. ábra).

2. ábra. Számítási eredmények Newton módszerével egy változós egyenletre

A megadott pontosság biztosításához, amikor az egyenlet gyökének közelítő értékét keresi a tartományban, 4 iterációt kell végrehajtani. Az utolsó iterációs lépésben a nemlineáris egyenlet gyökének közelítő értékét a következő érték határozza meg: .

3. ábra . Programlista beMathCad

Newton módszerének módosításai egy változós egyenletre

A Newton-módszernek számos olyan módosítása létezik, amelyek célja a számítási folyamat egyszerűsítése.

Egyszerűsített Newton-módszer

A Newton-módszernek megfelelően minden iterációs lépésnél ki kell számítani az f(x) függvény deriváltját, ami a számítási költségek növekedéséhez vezet. Az egyes számítási lépésekben a derivált kiszámításához kapcsolódó költségek csökkentése érdekében a képlet x n pontjában lévő f’(x n) deriváltot az x 0 pontban lévő f’(x 0) deriváltra cserélheti. Ezzel a számítási módszerrel a gyökér hozzávetőleges értékét a következő képlet határozza meg:Módosított Newton-módszer

Newton különbségi módszere

Ennek eredményeként az f(x) függvény gyökének hozzávetőleges értékét a Newton-féle differencia módszer kifejezése határozza meg:

Newton kétlépéses módszere

A Newton-módszernek megfelelően minden iterációs lépésben ki kell számítani az f(x) függvény deriváltját, ami nem mindig kényelmes és néha gyakorlatilag lehetetlen. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy egy függvény deriváltját különbségi aránnyal (közelítő érték) helyettesítse:

Ennek eredményeként az f(x) függvény gyökének hozzávetőleges értékét a következő kifejezés határozza meg:

Ahol

5. ábra . Newton kétlépéses módszere

A szekáns módszer egy kétlépéses módszer, vagyis egy új közelítésaz előző két iteráció határozza megÉs . A módszernek két kezdeti közelítést kell megadniaÉs . A módszer konvergencia rátája lineáris lesz.

• Vissza
• Előre

Ha megjegyzését szeretné hozzáfűzni a cikkhez, kérjük, regisztráljon az oldalon.

Egy n nemlineáris algebrai vagy transzcendentális egyenletből álló, n alakú ismeretlennel rendelkező egyenletrendszer megoldásának problémája

	f 1(x 1, x 2, … x n) = 0,
	f 2(x 1, x 2, … x n) = 0,
	……………………
	f n (x 1 , x 2 ,… x n ) = 0,

széles körben elterjedt a számítástechnikai gyakorlatban. Hasonló egyenletrendszerek merülhetnek fel például nemlineáris fizikai rendszerek numerikus modellezése során a stacionárius állapotok keresésének szakaszában. Számos esetben a (6.1) formájú rendszereket közvetetten, valamilyen más számítási probléma megoldása során kapjuk meg. Például, amikor egy több változóból álló függvényt próbálunk minimalizálni, megkereshetjük azokat a pontokat a többdimenziós térben, ahol a függvény gradiense nulla. Ebben az esetben meg kell oldani a (6.1) egyenletrendszert a bal oldallal - a gradiens vetületei a koordináta tengelyekre.

A vektorjelölésben a (6.1) rendszer kompaktabb formában is felírható

A függvények vektoroszlopában a () T szimbólum a transzponálási műveletet jelöli

Nemlineáris egyenletrendszer megoldásainak megtalálása sokkal összetettebb feladat, mint egyetlen nemlineáris egyenlet megoldása. Ennek ellenére a nemlineáris egyenletek megoldásának számos iteratív módszere kiterjeszthető nemlineáris egyenletrendszerekre is.

Egyszerű iterációs módszer

A nemlineáris egyenletrendszerek egyszerű iterációs módszere lényegében az azonos nevű módszer általánosítása egy egyenletre. Azon alapul, hogy a (6.1) egyenletrendszert a formára redukáljuk

x 1 = g 1 (x 1, x 2, … , x n) , x 2 = g 2 (x 1, x 2, … , x n) ,

……………………

x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,

és az iterációkat a képletek szerint hajtjuk végre

x 1 (k + 1 )= g 1 (x 1 (k ), x 2 (k ), ... , x n (k )), x 2 (k + 1 ) = g 2 (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) ,

……………………………

x n (k + 1) = g n (x 1 (k), x 2 (k), ..., x n (k)).

Itt a felső index a közelítő számot jelöli. Az iteratív folyamat (6.3) némi kezdeti közelítéssel kezdődik

(x 1 (0) ,x 2 (0) ,… ,x n (0) ) és folytassa a növekmény modulokig

minden argumentum egy k-iteráció után nem lesz kisebb egy adott ε értéknél: x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

Bár az egyszerű iterációs módszer közvetlenül a megoldáshoz vezet, és könnyen programozható, két jelentős hátránya van. Az egyik a lassú konvergencia. Egy másik, hogy ha a kezdeti közelítést a valódi megoldástól távol választjuk (X 1,X 2,…,X n), akkor a konvergencia

módszer nem garantált. Nyilvánvaló, hogy a kezdeti közelítés megválasztásának problémája, amely még egyetlen egyenlet esetében sem egyszerű, nagyon bonyolulttá válik a nemlineáris rendszerek esetében.

Nemlineáris egyenletrendszer megoldása:

	(x...		) =0
F n (x 1...		x n) = 0 .

Nincsenek közvetlen módszerek általános formájú nemlineáris rendszerek megoldására. A (4.1) rendszer csak bizonyos esetekben oldható meg közvetlenül. Például két egyenlet esetén néha lehetséges az egyik ismeretlent a másikkal kifejezni, és így a problémát egy nemlineáris egyenlet megoldására redukálni egy ismeretlenhez képest.

Az iteratív módszereket általában nemlineáris egyenletrendszerek megoldására használják.

Newton módszere

Egy F(x) = 0 egyenlet esetén a Newton-módszer algoritmusát könnyen megkaptuk, ha az y = F(x) görbére írtuk az érintőegyenleteket. Az egyenletrendszerek Newton-módszere az F 1 (x 1 ...x n) függvények Taylor sorozatban való kiterjesztésének és a következő kifejezéseket tartalmazó

a meglévő másodrendű (és magasabb rendű) származékokat elvetik. Legyen a (4.1) rendszer ismeretleneinek közelítő értéke egyenlő

felelős a 1 ,a 2 ,.....,a n . A feladat a lépések megkeresése (by

szerkesztések) ezekre az értékekre	x 1, x 2,...,	x n , aminek köszönhetően a rendszer megoldása
a témák a következők lesznek:
x 1 = a 1+ x 1,	x 2 = a 2+	x 2, .... ,x n = a n + x n.

Bővítsük ki a (4.1) egyenletek bal oldalát a Taylor-sor kiterjesztésének figyelembevételével, korlátozva magunkat a relatív lineáris tagjaira.

pontosan lépésekben:
F1 (x1 ... xn ) ≈ F1 (a1 ... an ) +	∂ F 1	x 1+		+ ∂ F 1		xn,
	∂x			∂x
F2 (x1 ... xn ) ≈ F2 (a1 ... an ) +	∂ F 2	x 1+			∂ F 2	xn,
	∂x				∂x
...................................
F n(x 1 ... x n) ≈ F n(a 1 ... a n) +	∂Fn	x 1+			∂Fn	xn
	∂x				∂x

A (4.1) rendszerbe behelyettesítve a következő lineáris algebrai egyenletrendszert kapjuk növekményre:

∂ F 1			∂ F 1			+ ∂ F 1			= −F ,
∂x			∂x			∂x
∂ F 2			∂ F 2				∂ F 2		= −F ,
∂x			∂x				∂x
..............................
∂Fn			∂Fn				∂Fn		= −F .
∂x			∂x				∂x
Értékek F 1...				származékai				-ra számítanak

x 2 = a 2, …x n = a n.

A (4.3) rendszer determinánsa a jakobi:

∂ F 1		∂ F 1
∂x		∂x
∂ F 2		∂ F 2
J = ∂ x		∂x.

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1 = a 1,

Ahhoz, hogy a rendszer egyedi megoldása létezhessen, a jakobinak minden iterációnál nullától eltérőnek kell lennie.

Így az egyenletrendszer Newton-módszerrel történő megoldásának iteratív folyamata abból áll, hogy a lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásával minden iterációnál meghatározzuk az x 1, x 2, ..., x n növekményt az ismeretlenek értékéhez. 4.3). A számolás leáll, ha minden növekmény abszolút értékben kicsi lesz: maxx i< ε . В ме-

Newton módszerében a kezdeti közelítés jó megválasztása is fontos a jó konvergencia biztosításához. A konvergencia romlik, ahogy a rendszerben lévő egyenletek száma nő.

Példaként vegyük fontolóra a Newton-módszer használatát egy két egyenletrendszer megoldására:

∂ ∂ F 1. x

A jobb oldali mennyiségek kiszámítása x = a,y = b.

Ha a feltételek teljesülnek		y-b		< εи		x−a			adott M-re, akkor
x és y értékek jelennek meg,	másképp								kimenet történik
x , y , M .



Kulcsszavak:

A munka célja: nemlineáris egyenletek megoldásának módszereit tanulmányozza és kísérleti munkában tesztelje.

Munkacélok:

1. Elemezze a szakirodalmat, és válassza ki a legracionálisabb módszereket a nemlineáris egyenletek megoldására, lehetővé téve minden érettségiző számára, hogy mélyen tanulmányozza és asszimilálja ezt a témát.
2. Módszertan kidolgozása nemlineáris egyenletek IKT segítségével történő megoldására.
3. Fedezze fel a nemlineáris egyenletek megoldásának módszereit:

‒ Lépésmódszer

‒ Felezési módszer

‒ Newton módszere

Bevezetés.

Matematikai műveltség nélkül lehetetlen sikeresen elsajátítani a fizika, kémia, biológia és más tárgyak problémamegoldó módszereit. A természettudományok egész komplexuma a matematikai ismeretek alapján épül fel és fejlődik. Például a matematikai fizika számos aktuális problémájának tanulmányozása nemlineáris egyenletek megoldásának szükségességéhez vezet. A nemlineáris egyenletek megoldása szükséges a nemlineáris optikában, a plazmafizikában, a szupravezetés-elméletben és az alacsony hőmérsékletű fizikában. E témában elegendő mennyiségű szakirodalom áll rendelkezésre, de sok tankönyv és cikk nehezen érthető egy középiskolás számára. Ez a cikk olyan nemlineáris egyenletek megoldási módszereit tárgyalja, amelyek felhasználhatók a fizika és a kémia területén alkalmazott problémák megoldására. Érdekes szempont az információs technológia alkalmazása a matematikai egyenletek és problémák megoldásában.

Lépésmódszer.

Legyen szükség egy F(x)=0 alakú nemlineáris egyenlet megoldására. Tegyük fel azt is, hogy egy bizonyos keresési intervallumot kapunk. Meg kell találni az [a,b] h hosszúságú intervallumot, amely az egyenlet első gyökét tartalmazza, a keresési intervallum bal szélétől kezdve.

Rizs. 1. Lépésmódszer

Egy ilyen probléma megoldásának többféle módja van. A lépéses módszer az egyenlőtlenségek megoldásának numerikus módszerei közül a legegyszerűbb, de a nagy pontosság eléréséhez lényegesen csökkenteni kell a lépést, ez pedig nagymértékben megnöveli a számítási időt. Az egyenletek megoldásának algoritmusa ezzel a módszerrel két szakaszból áll.

énszínpad. A gyökér szétválasztása.

Ebben a szakaszban szakaszokat határoznak meg, amelyek mindegyike az egyenletnek csak egy gyökerét tartalmazza. Számos lehetőség van ennek a szakasznak a végrehajtására:

• Behelyettesítjük az X értékeit (lehetőleg elég kis lépéssel), és megnézzük, hol vált előjelet a függvény. Ha a függvény megváltoztatta az előjelét, ez azt jelenti, hogy az X előző és aktuális értéke közötti területen van gyök (ha a függvény nem változtatja meg növekedésének/csökkenésének jellegét, akkor azt mondhatjuk, hogy csak egy van gyökér ebben az intervallumban).
• Grafikus módszer. Készítünk egy gráfot, és kiértékeljük, hogy egy gyök mely intervallumokon található.
• Vizsgáljuk meg egy adott függvény tulajdonságait.

IIszínpad. A gyökerek finomítása.

Ebben a szakaszban tisztázódik a korábban meghatározott egyenlet gyökeinek jelentése. Ebben a szakaszban általában iteratív módszereket használnak. Például a felezés módszere (dichotómia) vagy a Newton-módszer.

Félosztásos módszer

Gyors és meglehetősen egyszerű numerikus módszer egyenletek megoldására, amely az F(x) = 0 egyenlet egyetlen gyökét tartalmazó intervallum szekvenciális szűkítésén alapul a megadott E pontosság eléréséig Ezt a módszert általában másodfokú egyenletek, ill. magasabb fokú egyenletek. Ennek a módszernek azonban van egy jelentős hátránya - ha az [a,b] szegmens egynél több gyökeret tartalmaz, akkor nem lesz képes jó eredményeket elérni.

Rizs. 2. Dichotómia módszer

Ennek a módszernek az algoritmusa a következő:

‒ Határozzuk meg az x gyök új közelítését az [a;b] szakasz közepén: x=(a+b)/2.

‒ Keresse meg a függvény értékeit az a és x pontokban: F(a) és F(x).

‒ Ellenőrizze az F(a)*F(x) feltételt

‒ Folytassa az 1. lépéssel, és ismét ossza ketté a szakaszt. Folytassa az algoritmust az |F(x)| feltételig

Newton módszere

A numerikus megoldási módszerek közül a legpontosabb; nagyon összetett egyenletek megoldására alkalmas, de bonyolítja, hogy minden lépésben deriváltokat kell kiszámítani. az, hogy ha x n valamilyen közelítés az egyenlet gyökéhez , akkor a következő közelítést az f(x) függvény x n pontban húzott érintőjének gyökeként definiáljuk.

Az f(x) függvény érintőegyenlete az x n pontban a következőképpen alakul:

Az érintőegyenletben y = 0 és x = x n +1.

Ekkor a szekvenciális számítások algoritmusa Newton módszerében a következő:

A tangens módszer konvergenciája másodfokú, a konvergencia sorrendje 2.

Így a Newton-tangens módszer konvergenciája nagyon gyors.

Változás nélkül a módszert általánosítjuk az összetett esetre. Ha az x i gyök a második multiplicitás gyöke vagy annál nagyobb, akkor a konvergencia sorrendje leesik és lineárissá válik.

A Newton-módszer hátrányai közé tartozik a lokalitása, hiszen csak akkor garantáltan konvergál egy tetszőleges kezdő közelítésre, ha a feltétel mindenhol teljesül. , ellenkező esetben a konvergencia csak a gyökér bizonyos környezetében következik be.

A Newton-módszert (tangens módszer) általában akkor használják, amikor az egyenletet f(x) = 0 gyökérrel rendelkezik, és a következő feltételek teljesülnek:

1) funkció y=f(x) meghatározott és folyamatos -nál;

2) f(a) f(b) (a függvény különböző előjelű értékeket vesz fel a szegmens végén [ a;b]);

3) származékok f"(x)És f""(x)őrizze meg a jelet az intervallumon [ a;b] (azaz a függvény f(x) vagy nő, vagy csökken a szegmensen [ a;b], miközben megtartja a konvexitás irányát);

A módszer jelentése a következő: a szegmensen [ a;b] ilyen szám van kiválasztva x 0, ahol f(x 0) ugyanaz a jele, mint f""(x 0), azaz a feltétel teljesül f(x 0) f""(x) > 0. Így az abszcissza pontot választjuk ki x 0, amelyben a görbe érintője y=f(x) a szegmensen [ a;b] metszi a tengelyt Ökör. Pontonként x 0 Először is célszerű kiválasztani a szegmens egyik végét.

Tekintsük ezt az algoritmust egy konkrét példa segítségével.

Adjunk egy növekvő függvényt y = f(x) =x 2–2, folytonos a szakaszon (0;2), és rendelkezik f "(x) =2x>0És f ""(x) = 2> 0.

Esetünkben az érintőegyenlet a következőképpen alakul: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). BAN BEN x 0 pontként pontot választunk B1(b; f(b)) = (2,2). Rajzolja meg a függvény érintőjét y = f(x) a B 1 pontban, és jelölje az érintő és a tengely metszéspontját Ökör pont x 1. Megkapjuk az első érintő egyenletét: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Ökör: x 1 =

Rizs. 3. Az f(x) függvény gráfjának első érintőjének szerkesztése

y=f(x) Ökör ponton keresztül x 1, értjük a lényeget B 2 =(1,5; 0,25). Rajzoljon ismét egy érintőt a függvényhez y = f(x) a B 2 pontban, és jelölje az érintő és a metszéspontját Ökör pont x 2.

A második érintő egyenlete: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y=3x-4,25. Az érintő és a tengely metszéspontja Ökör: x 2 =.

Ezután megtaláljuk a függvény metszéspontját y=f(x)és a tengelyre húzott merőleges Ökör x 2 ponton keresztül megkapjuk a B 3 pontot és így tovább.

Rizs. 4. Az f(x) függvény grafikonjának második érintőjének szerkesztése

A gyökér első közelítését a következő képlet határozza meg:

= 1.5.

A gyökér második közelítését a következő képlet határozza meg:

=

A gyökér harmadik közelítését a következő képlet határozza meg:

És így ,én A gyök közelítését a következő képlet határozza meg:

A számításokat addig végezzük, amíg a válaszhoz szükséges tizedesjegyek egyeznek, vagy a megadott e pontosságot el nem érik - amíg az egyenlőtlenség teljesül |xi-xi-1|

Esetünkben hasonlítsuk össze a harmadik lépésben kapott közelítést a valós válasszal. Mint látható, már a harmadik lépésnél 0,000002-nél kisebb hibát kaptunk.

Egyenlet megoldása CAD segítségévelMathCAD

Az alak legegyszerűbb egyenleteire f(x) = 0 a MathCAD megoldást a függvény segítségével találjuk meg gyökér.

gyökér(f (x 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - értéket ad vissza x 1 szegmenshez tartozó [ a, b ] , amelyben a kifejezés vagy függvény f (x ) 0-ra megy. A függvény mindkét argumentumának skalárnak kell lennie. A függvény skalárt ad vissza.

Rizs. 5. Nemlineáris egyenlet megoldása MathCAD-ben (gyökérfüggvény)

Ha hiba történik a függvény alkalmazása következtében, ez azt jelentheti, hogy az egyenletnek nincs gyöke, vagy az egyenlet gyökei messze vannak a kezdeti közelítéstől, a kifejezésnek lokális maxÉs min a kezdeti közelítés és a gyökök között.

A hiba okának megállapításához meg kell vizsgálni a függvény grafikonját f(x). Ez segít kideríteni az egyenlet gyökeinek jelenlétét f(x) = 0, és ha léteznek, akkor hozzávetőlegesen határozza meg értéküket. Minél pontosabban választjuk ki a gyökér kezdeti közelítését, annál gyorsabban találjuk meg a pontos értékét.

Ha a kezdeti közelítés ismeretlen, akkor célszerű a függvényt használni megoldani . Sőt, ha az egyenlet több változót is tartalmaz, akkor a solve kulcsszó után meg kell adni azon változók listáját, amelyekre vonatkozóan az egyenlet megoldódik.

Rizs. 6. Nemlineáris egyenlet megoldása MathCAD-ben (megoldási függvény)

Következtetés

A tanulmány matematikai módszereket és egyenletek megoldását egyaránt vizsgálta programozás segítségével a MathCAD CAD rendszerben. A különböző módszereknek megvannak a maga előnyei és hátrányai. Megjegyzendő, hogy egy adott módszer alkalmazása az adott egyenlet kezdeti feltételeitől függ. Azokat az egyenleteket, amelyek jól megoldhatók az iskolában ismert faktorizációs módszerekkel stb., nincs értelme bonyolultabb módszerekkel megoldani. A fizika és kémia szempontjából fontos, az egyenletek megoldása során összetett számítási műveleteket igénylő alkalmazott matematikai feladatok sikeresen oldhatók meg, például programozás segítségével. Ezeket jó Newton módszerével megoldani.

A gyökök tisztázásához több módszert is használhat ugyanazon egyenlet megoldására. Ez a kutatás képezte ennek a munkának az alapját. Ugyanakkor könnyen belátható, hogy az egyenlet egyes szakaszaiban melyik módszer a legsikeresebb, és melyik módszert jobb nem használni ebben a szakaszban.

A tanult anyag egyrészt segíti a matematikai ismeretek bővítését, elmélyítését, valamint a matematika iránti érdeklődés felkeltését. Másrészt fontos, hogy a műszaki és mérnöki szakma elsajátítását tervezők valós matematikai feladatokat tudjanak megoldani. Ezért ez a munka fontos a továbbtanulás szempontjából (például felsőoktatási intézményben).

Irodalom:

1. Mityakov S. N. Informatika. Oktatási és módszertani anyagkészlet. - N. Novgorod: Nyizsnyij Novgorod. állapot tech. egyetem, 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. A nemlineáris egyenletek elágazási megoldásainak elmélete. M.: Nauka, 1969. - 527 p.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Matematika kézikönyve mérnökök és műszaki főiskolák hallgatói számára - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V.P., Kurbatova E.V. Matematika: tankönyv. - Rostov n/d.: Főnix, 2005.
5. Savin A.P. Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára. - M.: Pedagógia, 1989.
6. Korn G., Korn T. Matematikai kézikönyv tudósok és mérnökök számára. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Szentpétervár: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Felsőfokú matematika a Mathcad alapján. Általános tanfolyam. - Szentpétervár: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Mathcad alapú numerikus módszerek. - Szentpétervár: BHV-Petersburg, 2012.

Kulcsszavak: nemlineáris egyenletek, alkalmazott matematika, CAD MathCAD, Newton módszer, lépéses módszer, dichotómia módszer..

Megjegyzés: A cikk a nemlineáris egyenletek megoldási módszereinek tanulmányozásával foglalkozik, beleértve a MathCAD számítógépes tervezési rendszert is. Megvizsgáljuk a lépéses módszert, a felezési és a Newton-módszereket, részletes algoritmusokat adunk ezeknek a módszereknek az alkalmazására, és elvégezzük ezen módszerek összehasonlító elemzését.