A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. A vonalak relatív helyzete

Adjunk meg egy bizonyos egyenest, amelyet lineáris egyenlet határoz meg, és egy pontot, amelyet a koordinátái (x0, y0) határoznak meg, és nem ezen az egyenesen fekszik. Olyan pontot kell találni, amely egy adott egyenes mentén szimmetrikus lenne egy adott pontra, vagyis egybeesne vele, ha a síkot ezen az egyenes mentén gondolatilag kettéhajlítjuk.

Utasítás

1. Nyilvánvaló, hogy mindkét pontnak - az adott és a kívánt - egy egyenesen kell feküdnie, és ennek az egyenesnek merőlegesnek kell lennie az adottra. A feladat első része tehát annak az egyenesnek az egyenletének feltárása, amely merőleges lenne egy adott egyenesre, és egyúttal átmenne egy adott ponton.

2. Egy egyenes kétféleképpen adható meg. Egy egyenes kanonikus egyenlete így néz ki: Ax + By + C = 0, ahol A, B és C állandók. Egyenes vonalat lineáris függvénnyel is meghatározhatunk: y = kx + b, ahol k a szögkitevő, b az elmozdulás Ez a két módszer felcserélhető, és egymásra léphetünk. Ha Ax + By + C = 0, akkor y = – (Ax + C)/B. Más szóval, egy y = kx + b lineáris függvényben a k szögkitevő -A/B, a b eltolás pedig -C/B. Az adott feladatnál kényelmesebb az egyenes kanonikus egyenlete alapján okoskodni.

3. Ha két egyenes merőleges egymásra, és az első egyenes egyenlete Ax + By + C = 0, akkor a 2. egyenes egyenlete Bx – Ay + D = 0, ahol D állandó. A D egy bizonyos értékének észleléséhez emellett tudni kell, hogy a merőleges egyenes melyik ponton halad át. Ebben az esetben ez a pont (x0, y0), tehát D-nek teljesítenie kell a Bx0 – Ay0 + D = 0 egyenlőséget, azaz D = Ay0 – Bx0.

4. A merőleges egyenes felfedezése után ki kell számítani annak a pontnak a koordinátáit, ahol metszéspontja az adott. Ehhez meg kell oldani egy lineáris egyenletrendszert: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Megoldása megadja azokat a számokat (x1, y1), amelyek koordinátáiként szolgálnak az egyenesek metszéspontja.

5. A kívánt pontnak az észlelt egyenesen kell lennie, és a metszésponttól való távolságának meg kell egyeznie a metszéspont és a pont távolságával (x0, y0). Az (x0, y0) pontra szimmetrikus pont koordinátáit tehát az egyenletrendszer megoldásával találhatjuk meg: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. De meg tudod csinálni könnyebben is. Ha az (x0, y0) és (x, y) pontok egyenlő távolságra vannak az (x1, y1) ponttól, és mindhárom pont ugyanazon az egyenesen fekszik, akkor: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0. Következésképpen x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük az első rendszer második egyenletébe, és leegyszerűsítjük a kifejezéseket, könnyen megbizonyosodhatunk arról, hogy a jobb oldala megegyezik a bal oldalával. Ezen túlmenően nincs értelme az első egyenletet tovább vizsgálni, mivel ismert, hogy az (x0, y0) és (x1, y1) pontok kielégítik azt, és az (x, y) pont nyilvánvalóan ugyanazon az egyenesen fekszik. .

A probléma megfogalmazása. Keresse meg egy pontra szimmetrikus pont koordinátáit a síkhoz képest.

Megoldási terv.

1. Határozza meg egy adott síkra merőleges és a ponton átmenő egyenes egyenletét . Mivel egy egyenes merőleges egy adott síkra, ezért a sík normálvektorát vehetjük irányvektorának, azaz.

.

Ezért az egyenes egyenlete a következő lesz

.

2. Találd meg a lényeget egy egyenes metszéspontja és síkok (lásd 13. feladat).

3. Pont annak a szakasznak a felezőpontja, ahol a pont a pontra szimmetrikus pont , Ezért

14. probléma. Keress egy pontot, amely szimmetrikus a pontra a síkhoz képest.

Egy adott síkra merőleges ponton áthaladó egyenes egyenlete a következő lesz:

.

Keressük meg az egyenes és a sík metszéspontját.

Ahol – egy egyenes és egy sík metszéspontja a szakasz közepe, ezért

Azok. .

Homogén sík koordináták. Affin transzformációk a síkon.

Hadd M xÉs nál nél

M(x, nál nélMae (x, nál nél, 1) térben (8. ábra).

Mae (x, nál nél

Mae (x, nál nél HU.

(hx, hy, h), h  0,

Megjegyzés

h(Például, h

Sőt, figyelembe véve h

Megjegyzés

1. példa

b) szögre (9. ábra).

1. lépés.

2. lépés. Forgatás szöggel 

a megfelelő transzformáció mátrixa.

3. lépés.Átvitel az A(a, b)

a megfelelő transzformáció mátrixa.

3. példa

 az x tengely mentén és

1. lépés.

a megfelelő transzformáció mátrixa.

2. lépés.

3. lépés.

végre megkapjuk

Megjegyzés

[R], [D], [M], [T],

Hadd M- a sík tetszőleges pontja koordinátákkal xÉs nál nél, adott egyenes koordináta-rendszerhez viszonyítva. Ennek a pontnak a homogén koordinátái az egyidejűleg nem nulla x 1, x 2, x 3 számok tetszőleges hármasa, amelyek az adott x és y számokhoz kapcsolódnak a következő összefüggésekkel:

A számítógépes grafikai feladatok megoldása során a homogén koordinátákat általában a következőképpen adjuk meg: tetszőleges ponthoz M(x, nál nél) a síkhoz pontot rendelnek Mae (x, nál nél, 1) térben (8. ábra).

Vegye figyelembe, hogy az origót, a 0(0, 0, 0) pontot összekötő egyenes tetszőleges pontja a ponttal Mae (x, nál nél, 1), megadható a (hx, hy, h) alakú számhármasával.

A hx, hy koordinátájú vektor a 0 (0, 0, 0) pontokat összekötő egyenes irányvektora. Mae (x, nál nél, 1). Ez az egyenes az (x, y, 1) pontban metszi a z = 1 síkot, amely egyértelműen meghatározza a koordinátasík (x, y) pontját. HU.

Így egy tetszőleges (x, y) koordinátájú pont és egy alakzatú számhármas halmaz között

(hx, hy, h), h  0,

létrejön egy (egy az egyhez) megfeleltetés, amely lehetővé teszi, hogy a hx, hy, h számokat tekintsük ennek a pontnak az új koordinátáinak.

Megjegyzés

A projektív geometriában széles körben használt homogén koordináták lehetővé teszik az úgynevezett nem megfelelő elemek (lényegében azok, amelyekben a projektív sík eltér az ismert euklideszi síktól) hatékony leírását. A bevezetett homogén koordináták által nyújtott új lehetőségekről a fejezet negyedik részében olvashat bővebben.

A homogén koordináták projektív geometriájában a következő jelölést fogadjuk el:

x:y:1, vagy általánosabban x1:x2:x3

(ne felejtsük el, hogy itt feltétlenül szükséges, hogy az x 1, x 2, x 3 számok ne egyidejűleg nullává váljanak).

A homogén koordináták használata a legegyszerűbb feladatok megoldásánál is kényelmesnek bizonyul.

Fontolja meg például a léptékváltozással kapcsolatos kérdéseket. Ha a megjelenítő eszköz csak egész számokkal működik (vagy ha csak egész számokkal kell dolgoznia), akkor tetszőleges érték esetén h(Például, h= 1) homogén koordinátákkal rendelkező pont

elképzelhetetlen. A h ésszerű megválasztásával azonban biztosítható, hogy ennek a pontnak a koordinátái egész számok legyenek. Pontosabban, h = 10 a vizsgált példában

Nézzünk egy másik esetet. Annak elkerülése érdekében, hogy a transzformációs eredmények aritmetikai túlcsorduláshoz vezessenek, egy koordinátájú ponthoz (80000 40000 1000) vegyünk például h=0,001-et. Ennek eredményeként (80 40 1) kapjuk.

A megadott példák bemutatják a homogén koordináták használatának hasznosságát a számítások elvégzésekor. A homogén koordináták számítógépes grafikában való bevezetésének fő célja azonban a geometriai transzformációk során történő alkalmazásuk kétségtelenül kényelme.

A homogén koordináták hármasainak és harmadrendű mátrixainak felhasználásával egy sík bármely affin transzformációja leírható.

Sőt, figyelembe véve h= 1, hasonlítson össze két bejegyzést: * szimbólummal jelölt és a következő mátrix:

Könnyen belátható, hogy az utolsó reláció jobb oldalán lévő kifejezések szorzata után mindkét képletet (*) és a helyes numerikus egyenlőséget 1=1 kapjuk.

Megjegyzés

A szakirodalomban néha más jelölést használnak - oszlopos jelölést:

Ez a jelölés egyenértékű a fenti soronkénti jelöléssel (és transzponálással nyerhető belőle).

Egy tetszőleges affin transzformációs mátrix elemei nem hordoznak kifejezett geometriai jelentést. Ezért ennek vagy annak a leképezésnek a megvalósításához, vagyis a megfelelő mátrix elemeinek egy adott geometriai leírás szerinti megtalálásához speciális technikákra van szükség. Ennek a mátrixnak a felépítése jellemzően a vizsgált probléma összetettségének és a fent leírt speciális eseteknek megfelelően több szakaszra oszlik.

Minden szakaszban egy mátrixot keresnek, amely megfelel a fenti A, B, C vagy D esetek egyikének, amelyek jól meghatározott geometriai tulajdonságokkal rendelkeznek.

Írjuk fel a megfelelő harmadrendű mátrixokat.

A. Forgatási mátrix

B. Dilatációs mátrix

B. Reflexiós mátrix

D. Átviteli mátrix (fordítás)

Nézzünk példákat a sík affin transzformációira.

1. példa

Szerkesszünk forgatási mátrixot az A pont körül (a,b) szögre (9. ábra).

1. lépés.Átvitel a vektorba – A (-a, -b), hogy a forgási középpontot a koordináták origójához igazítsa;

a megfelelő transzformáció mátrixa.

2. lépés. Forgatás szöggel 

a megfelelő transzformáció mátrixa.

3. lépés.Átvitel az A(a, b) a forgásközéppont visszaállítása az előző helyzetébe;

a megfelelő transzformáció mátrixa.

Szorozzuk meg a mátrixokat a leírt sorrendben:

Ennek eredményeként azt találjuk, hogy a kívánt transzformáció (mátrix jelöléssel) így fog kinézni:

A kapott mátrix elemeit (főleg az utolsó sorban) nem olyan könnyű megjegyezni. Ugyanakkor a három szorzott mátrix mindegyike könnyen összeállítható a megfelelő leképezés geometriai leírásából.

3. példa

Készítsen nyújtási mátrixot nyújtási együtthatókkal az x tengely mentén és az ordináta tengelye mentén és a középponttal az A(a, b) pontban.

1. lépés.Átvitel az -A(-a, -b) vektorba, hogy a nyújtási középpontot a koordináták origójához igazítsa;

a megfelelő transzformáció mátrixa.

2. lépés. Nyújtás a koordinátatengelyek mentén  és  együtthatókkal; a transzformációs mátrixnak van formája

3. lépés.Átvitel az A(a, b) vektorba, hogy a feszültség középpontja visszakerüljön az előző helyzetébe; a megfelelő transzformáció mátrixa –

Mátrixok szorzása ugyanabban a sorrendben

végre megkapjuk

Megjegyzés

Hasonló módon való érvelés, vagyis a javasolt transzformáció mátrixokkal alátámasztott szakaszokra bontása[R], [D], [M], [T], geometriai leírásából bármilyen affin transzformáció mátrixát megszerkeszthetjük.

A Shift összeadás, a méretezés és az elforgatás pedig szorzással valósul meg.

Méretezési transzformáció (dilatáció) az eredethez képest a következő formában van:

vagy mátrix formában:

Ahol Dx,Dy a méretezési tényezők a tengelyek mentén, és

- skálázó mátrix.

Ha D > 1, akkor tágulás következik be, ha 0<=D<1- сжатие

Forgatás transzformáció az eredethez képest a következő formában van:

vagy mátrix formában:

ahol φ a forgásszög, és

- forgási mátrix.

Megjegyzés: A forgatási mátrix oszlopai és sorai egymásra merőleges egységvektorok. Valójában a sorvektorok hosszának négyzete egyenlő eggyel:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 és (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

sorvektorok skaláris szorzata pedig az

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Mivel a vektorok skaláris szorzata A · B = |A| ·| B| ·cosψ, ahol | A| - vektor hossza A, |B| - vektor hossza B, és ψ a köztük lévő legkisebb pozitív szög, akkor két 1 hosszúságú sorvektor skaláris szorzatának 0 egyenlőségéből következik, hogy a köztük lévő szög 90°.

Ó-ó-ó-ó-ó... hát kemény, mintha egy mondatot olvasna fel magának =) A lazítás azonban később segít, főleg, hogy ma megvettem a megfelelő kiegészítőket. Ezért folytassuk az első szakaszt, remélem, hogy a cikk végére megtartom a vidám hangulatot.

Két egyenes egymáshoz viszonyított helyzete

Ez az a helyzet, amikor a közönség kórusban énekel. Két egyenes lehet:

1) egyezés;

2) párhuzamos legyen: ;

3) vagy egyetlen pontban metszi egymást: .

Segítség a babáknak : Kérjük, emlékezzen a matematikai metszéspontra, nagyon gyakran fog megjelenni. A jelölés azt jelenti, hogy az egyenes a pontban metszi az egyenest.

Hogyan határozható meg két vonal egymáshoz viszonyított helyzete?

Kezdjük az első esettel:

Két egyenes akkor és csak akkor esik egybe, ha a hozzájuk tartozó együtthatók arányosak, vagyis van egy olyan „lambda” szám, amelyre az egyenlőségek teljesülnek

Tekintsük az egyeneseket, és készítsünk három egyenletet a megfelelő együtthatókból: . Minden egyenletből az következik, hogy tehát ezek az egyenesek egybeesnek.

Valóban, ha az egyenlet összes együtthatója szorozzuk meg –1-gyel (előjelek változása), és az egyenlet összes együtthatójával 2-vel vágva ugyanazt az egyenletet kapod: .

A második eset, amikor a vonalak párhuzamosak:

Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha a változók együtthatói arányosak: , De.

Példaként vegyünk két egyenest. Ellenőrizzük a változók megfelelő együtthatóinak arányosságát:

Ez azonban teljesen nyilvánvaló.

És a harmadik eset, amikor a vonalak metszik egymást:

Két egyenes akkor és csak akkor metszi egymást, ha a változók együtthatói NEM arányosak, azaz NINCS olyan „lambda”-érték, hogy az egyenlőségek teljesüljenek

Tehát az egyenesekhez egy rendszert hozunk létre:

Az első egyenletből az következik, hogy , a második egyenletből pedig: , ami azt jelenti a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a változók együtthatói nem arányosak.

Következtetés: a vonalak metszik egymást

Gyakorlati problémáknál használhatja az imént tárgyalt megoldási sémát. Egyébként nagyon emlékeztet a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére szolgáló algoritmusra, amit az órán megnéztünk A vektorok lineáris (függetlenségének) fogalma. A vektorok alapja. De van egy civilizáltabb csomagolás is:

1. példa

Nézze meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét:

Megoldás egyenesek irányítóvektorainak tanulmányozása alapján:

a) Az egyenletekből megtaláljuk az egyenesek irányvektorait: .

, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak, és az egyenesek metszik egymást.

Minden esetre kirakok egy követ táblákkal a kereszteződésbe:

A többiek átugranak a kövön, és követik tovább, egyenesen Kascsejhez, a Halhatatlanhoz =)

b) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

A vonalak irányvektora megegyezik, ami azt jelenti, hogy párhuzamosak vagy egybeesnek. Itt nem kell a meghatározót számolni.

Nyilvánvaló, hogy az ismeretlenek együtthatói arányosak, és .

Nézzük meg, hogy igaz-e az egyenlőség:

És így,

c) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

Számítsuk ki a determinánst, amely ezeknek a vektoroknak a koordinátáiból áll:
, ezért az irányvektorok kollineárisak. A vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek.

A „lambda” arányossági együttható jól látható közvetlenül a kollineáris irányvektorok arányából. Ez azonban maguknak az egyenletek együtthatóinak segítségével is megtalálható: .

Most nézzük meg, hogy az egyenlőség igaz-e. Mindkét ingyenes feltétel nulla, tehát:

A kapott érték kielégíti ezt az egyenletet (általában bármely szám kielégíti).

Így a vonalak egybeesnek.

Válasz:

Hamarosan megtanulja (vagy már megtanulta), hogy a szóban megvitatott problémát szó szerint, pillanatok alatt megoldja. Ebben a tekintetben nem látom értelmét, hogy bármit is ajánljak egy önálló megoldásra, jobb, ha egy másik fontos téglát rakunk a geometriai alapba:

Hogyan készítsünk egy adott vonallal párhuzamos egyenest?

Ha nem ismeri ezt a legegyszerűbb feladatot, a Rabló Nightingale szigorúan megbünteti.

2. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet a ponton átmenő párhuzamos egyenesre!

Megoldás: Jelöljük az ismeretlen sort a betűvel. Mit mond róla az állapot? Az egyenes átmegy a ponton. Ha pedig az egyenesek párhuzamosak, akkor nyilvánvaló, hogy a „tse” egyenes irányvektora a „de” egyenes megszerkesztésére is alkalmas.

Kivesszük az irányvektort az egyenletből:

Válasz:

A példa geometriája egyszerűnek tűnik:

Az analitikai tesztelés a következő lépésekből áll:

1) Ellenőrizzük, hogy az egyenesek azonos irányvektorral rendelkeznek-e (ha az egyenes egyenlete nincs megfelelően egyszerűsítve, akkor a vektorok kollineárisak lesznek).

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet.

A legtöbb esetben az analitikus tesztelés könnyen elvégezhető szóban. Nézze meg a két egyenletet, és sokan gyorsan meghatározzák az egyenesek párhuzamosságát minden rajz nélkül.

A független megoldások példái ma kreatívak lesznek. Mert akkor is versenyeznie kell Baba Yagával, és ő, tudod, mindenféle találós kérdés szerelmese.

3. példa

Írjon egyenletet az if egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenesre

Van racionális és nem is annyira racionális módja a megoldásnak. A legrövidebb út a lecke végén van.

Kicsit dolgoztunk párhuzamos vonalakkal, és később visszatérünk rájuk. Az egybeeső vonalak esete kevéssé érdekes, ezért vegyünk egy olyan problémát, amely nagyon ismerős az iskolai tantervből:

Hogyan találjuk meg két egyenes metszéspontját?

Ha egyenes pontban metszi egymást, akkor a koordinátái a megoldás lineáris egyenletrendszerek

Hogyan találjuk meg a vonalak metszéspontját? Oldja meg a rendszert.

Tessék két ismeretlennel rendelkező két lineáris egyenletrendszer geometriai jelentése- ez két metsző (leggyakrabban) egyenes egy síkon.

4. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját

Megoldás: A megoldásnak két módja van - grafikus és analitikus.

A grafikus módszer az, hogy egyszerűen megrajzoljuk a megadott vonalakat, és közvetlenül a rajzból megtudjuk a metszéspontot:

Íme a lényeg: . Az ellenőrzéshez be kell cserélni a koordinátáit az egyenes minden egyenletébe, oda és oda is illeszkedniük kell. Más szóval, egy pont koordinátái a rendszer megoldása. Lényegében egy grafikus megoldást néztünk meg lineáris egyenletrendszerek két egyenlettel, két ismeretlennel.

A grafikus módszer természetesen nem rossz, de vannak észrevehető hátrányai. Nem, nem az a lényeg, hogy a hetedikesek döntsenek így, hanem az, hogy időbe telik egy helyes és PONTOS rajz elkészítése. Ráadásul néhány egyenest nem olyan egyszerű megépíteni, és maga a metszéspont is valahol a harmincadik birodalomban található a notebook lapon kívül.

Ezért célszerűbb analitikus módszerrel megkeresni a metszéspontot. Oldjuk meg a rendszert:

A rendszer megoldásához az egyenletek tagonkénti összeadásának módszerét alkalmaztuk. A releváns készségek fejlesztéséhez vegyen leckét Hogyan lehet egyenletrendszert megoldani?

Válasz:

Az ellenőrzés triviális – a metszéspont koordinátáinak ki kell elégíteniük a rendszer minden egyenletét.

5. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját, ha metszik egymást.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A feladatot kényelmes több szakaszra osztani. Az állapot elemzése azt sugallja, hogy szükséges:
1) Írja fel az egyenes egyenletét!
2) Írja fel az egyenes egyenletét!
3) Állapítsa meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét!
4) Ha az egyenesek metszik egymást, akkor keressük meg a metszéspontot.

A cselekvési algoritmus kidolgozása számos geometriai feladatra jellemző, erre fogok ismételten összpontosítani.

Teljes megoldás és válasz a lecke végén:

Még egy pár cipő sem volt elkopva, mielőtt a lecke második részéhez értünk:

Merőleges vonalak. Távolság egy ponttól egy vonalig.
Az egyenesek közötti szög

Kezdjük egy tipikus és nagyon fontos feladattal. Az első részben megtanultuk, hogyan kell ezzel párhuzamos egyenest építeni, most pedig a csirkecombokon lévő kunyhó 90 fokkal elfordul:

Hogyan készítsünk egy adott vonalra merőleges egyenest?

6. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írjon fel egy egyenletet, amely merőleges a ponton átmenő egyenesre!

Megoldás: Feltétel alapján ismert, hogy . Jó lenne megtalálni a vonal irányító vektorát. Mivel a vonalak merőlegesek, a trükk egyszerű:

Az egyenletből „eltávolítjuk” a normálvektort: ​​, amely az egyenes irányítóvektora lesz.

Állítsuk össze az egyenes egyenletét egy pont és egy irányvektor segítségével:

Válasz:

Bővítsük ki a geometriai vázlatot:

Hmmm... Narancssárga ég, narancssárga tenger, narancssárga teve.

Az oldat analitikai ellenőrzése:

1) Az egyenletekből kivesszük az irányvektorokat és a segítségével vektorok skaláris szorzata arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenesek valóban merőlegesek: .

Egyébként használhatsz normál vektorokat is, ez még egyszerűbb.

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet .

A teszt ismét könnyen elvégezhető szóban.

7. példa

Ha ismert az egyenlet, keresse meg a merőleges egyenesek metszéspontját! és időszak.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A feladatban több cselekvés is található, így célszerű pontról pontra megfogalmazni a megoldást.

Izgalmas utunk folytatódik:

Távolság ponttól vonalig

Egyenes folyósáv van előttünk, és az a feladatunk, hogy a legrövidebb úton jussunk el hozzá. Nincsenek akadályok, és a legoptimálisabb útvonal a merőlegesen való mozgás lesz. Vagyis a pont és az egyenes távolsága a merőleges szakasz hossza.

A geometriában a távolságot hagyományosan a görög „rho” betűvel jelölik, például: – az „em” pont és a „de” egyenes közötti távolság.

Távolság ponttól vonalig képlettel fejezzük ki

8. példa

Keresse meg egy pont és egy egyenes távolságát

Megoldás: mindössze annyit kell tennie, hogy gondosan behelyettesíti a számokat a képletbe, és elvégzi a számításokat:

Válasz:

Készítsük el a rajzot:

A pont és az egyenes közötti távolság pontosan megegyezik a piros szakasz hossza. Ha kockás papírra rajzot készít 1 egységnyi léptékben. = 1 cm (2 cella), akkor a távolság közönséges vonalzóval mérhető.

Vegyünk egy másik feladatot ugyanazon a rajzon:

A feladat egy olyan pont koordinátáinak megtalálása, amely szimmetrikus a pontra az egyeneshez képest . Javaslom, hogy a lépéseket saját maga hajtsa végre, de felvázolom a megoldási algoritmust köztes eredményekkel:

1) Keress egy egyenest, amely merőleges az egyenesre!

2) Keresse meg az egyenesek metszéspontját: .

Ebben a leckében mindkét műveletet részletesen tárgyaljuk.

3) A pont a szakasz felezőpontja. Ismerjük a középső és az egyik vég koordinátáit. Által egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak képletei találunk .

Érdemes lenne ellenőrizni, hogy a távolság is 2,2 egység.

Számítási nehézségek adódhatnak itt, de a toronyban nagy segítség a mikrokalkulátor, amely lehetővé teszi a közönséges törtek kiszámítását. Sokszor tanácsoltam már, és újra fogom ajánlani.

Hogyan lehet megtalálni a távolságot két párhuzamos egyenes között?

9. példa

Keresse meg a távolságot két párhuzamos egyenes között

Ez egy újabb példa arra, hogy döntsön egyedül. Adok egy kis tippet: végtelenül sokféleképpen lehet ezt megoldani. A lecke végén tájékoztató, de jobb, ha megpróbálod magad kitalálni, úgy gondolom, hogy a találékonyságod jól fejlődött.

Szög két egyenes között

Minden sarok egy karám:


A geometriában két egyenes közötti szöget a KISEBB szögnek vesszük, amiből automatikusan következik, hogy nem lehet tompa. Az ábrán a piros ív által jelzett szög nem tekinthető a metsző vonalak közötti szögnek. És a „zöld” szomszédja ill ellentétes orientációjú"málna" sarok.

Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a 4 szög bármelyike ​​tekinthető köztük lévő szögnek.

Miben különböznek a szögek? Irányultság. Először is alapvetően fontos a szög „görgetési” iránya. Másodszor, egy negatív orientációjú szöget mínuszjellel írunk, például ha .

Miért mondtam ezt neked? Úgy tűnik, a szokásos szögfogalommal boldogulunk. Az a helyzet, hogy azok a képletek, amelyekkel szögeket keresünk, könnyen negatív eredményt eredményezhetnek, és ez nem érheti meglepetésként. A mínuszjelű szög sem rosszabb, és nagyon sajátos geometriai jelentéssel bír. A rajzon negatív szög esetén feltétlenül jelölje a tájolását nyíllal (óramutató járásával megegyező irányba).

Hogyan lehet megtalálni a szöget két egyenes között? Két munkaképlet létezik:

10. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget

MegoldásÉs 1. módszer

Tekintsünk két, általános formában egyenletekkel meghatározott egyenest:

Ha egyenes nem merőleges, Azt orientált A köztük lévő szög a következő képlettel számítható ki:

Nagyon figyeljünk a nevezőre – pontosan ez skaláris szorzat egyenesek irányító vektorai:

Ha , akkor a képlet nevezője nulla lesz, és a vektorok merőlegesek, az egyenesek pedig merőlegesek lesznek. Éppen ezért fenntartással éltek az egyenesek nem merőlegességével kapcsolatban a megfogalmazásban.

A fentiek alapján célszerű a megoldást két lépésben formalizálni:

1) Számítsuk ki az egyenesek irányvektorainak skaláris szorzatát:
, ami azt jelenti, hogy a vonalak nem merőlegesek.

2) Keresse meg az egyenesek közötti szöget a következő képlet segítségével:

Az inverz függvény segítségével könnyen megtalálhatja magát a szöget. Ebben az esetben az arctangens páratlanságát használjuk (lásd. Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai):

Válasz:

Válaszában megadjuk a pontos értéket, valamint egy hozzávetőleges értéket (lehetőleg fokban és radiánban is), számológéppel kiszámítva.

Hát mínusz, mínusz, nem nagy ügy. Íme egy geometriai ábra:

Nem meglepő, hogy a szög negatív orientációjúnak bizonyult, mert a feladatfelvetésben az első szám egy egyenes, és a szög „kicsavarása” pontosan ezzel kezdődött.

Ha valóban pozitív szöget szeretne kapni, akkor fel kell cserélnie a vonalakat, vagyis ki kell vennie az együtthatókat a második egyenletből , és vegyük az együtthatókat az első egyenletből. Röviden, egy közvetlenvel kell kezdenie .

Egy térbeli egyenes mindig meghatározható két nem párhuzamos sík metszésvonalaként. Ha az egyik sík egyenlete a második sík egyenlete, akkor az egyenes egyenlete a következő

Itt nem kollineáris
. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek egyenesen a térben.

Az egyenes kanonikus egyenletei

Bármely nem nulla vektort, amely egy adott egyenesen vagy azzal párhuzamosan fekszik, ennek az egyenesnek az irányvektorának nevezzük.

Ha a lényeg ismert
egyenes és irányvektora
, akkor az egyenes kanonikus egyenletei a következő alakúak:

. (9)

Egy egyenes paraméteres egyenletei

Legyen adott az egyenes kanonikus egyenlete

.

Innen megkapjuk az egyenes paraméteres egyenleteit:

(10)

Ezek az egyenletek hasznosak egy egyenes és egy sík metszéspontjának megtalálásához.

Két ponton átmenő egyenes egyenlete
És
a következő formában van:

.

Az egyenesek közötti szög

Az egyenesek közötti szög

És

egyenlő az irányvektoraik közötti szöggel. Ezért a (4) képlet segítségével kiszámítható:

Párhuzamos vonalak feltétele:

.

A síkok merőlegességének feltétele:

Egy pont távolsága az egyenestől

P mondjuk a pont adott
és egyenes

.

Az egyenes kanonikus egyenleteiből ismerjük a pontot
, amely egy egyeneshez tartozik, és annak irányvektora
. Ezután a pont távolsága
egyenesből egyenlő a vektorokra épített paralelogramma magasságával És
. Ennélfogva,

.

A vonalak metszéspontjának feltétele

Két nem párhuzamos vonal

,

akkor és csak akkor metszik egymást

.

Egy egyenes és egy sík egymáshoz viszonyított helyzete.

Legyen adott az egyenes
és repülőgép. Sarok közöttük a képlettel lehet megtalálni

.

73. probléma.Írja fel az egyenes kanonikus egyenleteit!

(11)

Megoldás. A (9) egyenes kanonikus egyenleteinek felírásához ismernünk kell bármely, az egyeneshez tartozó pontot és az egyenes irányvektorát.

Keressük meg a vektort , párhuzamos ezzel a vonallal. Mivel e síkok normálvektoraira merőlegesnek kell lennie, azaz.

,
, Azt

.

Az egyenes általános egyenleteiből azt kapjuk
,
. Akkor

.

A lényeg óta
egy egyenes tetszőleges pontja, akkor annak koordinátáinak meg kell felelniük az egyenes egyenleteinek, és ezek közül az egyik megadható, pl.
, megtaláljuk a másik két koordinátát a (11) rendszerből:

Innen,
.

Így a kívánt egyenes kanonikus egyenletei a következő alakúak:

vagy
.

74. probléma.

És
.

Megoldás. Az első sor kanonikus egyenleteiből a pont koordinátái ismertek
az egyeneshez tartozó, és az irányvektor koordinátái
. A második egyenes kanonikus egyenleteiből a pont koordinátái is ismertek
és az irányvektor koordinátái
.

A párhuzamos egyenesek távolsága megegyezik a pont távolságával
a második egyenestől. Ezt a távolságot a képlet számítja ki

.

Keressük meg a vektor koordinátáit
.

Számítsuk ki a vektorszorzatot!
:

.

75. probléma. Találj egy pontot szimmetrikus pont
viszonylag egyenes

.

Megoldás. Írjuk fel egy adott egyenesre merőleges és egy ponton átmenő sík egyenletét . Normál vektorként veheted egy egyenes irányító vektorát. Akkor
. Ennélfogva,

Találjunk egy pontot
ennek az egyenesnek és a P síknak a metszéspontja. Ehhez a (10) egyenlet segítségével felírjuk az egyenes parametrikus egyenleteit, azt kapjuk

Ennélfogva,
.

Hadd
pont szimmetrikus a pontra
ehhez a vonalhoz képest. Aztán pont
középpont
. Egy pont koordinátáinak megtalálása A szakasz felezőpontjának koordinátáihoz a képleteket használjuk:

,
,
.

Így,
.

76. probléma.Írd fel egy egyenesen átmenő sík egyenletét!
És

a) egy ponton keresztül
;

b) merőleges a síkra.

Megoldás.Írjuk fel ennek az egyenesnek az általános egyenleteit. Ehhez vegyünk két egyenlőséget:

Ez azt jelenti, hogy a kívánt sík egy generátoros síkköteghez tartozik, és az egyenlete a (8) formában írható fel:

a) Keressük meg
És attól a feltételtől, hogy a sík áthalad a ponton
, ezért koordinátáinak ki kell elégíteniük a sík egyenletét. Helyettesítsük be a pont koordinátáit
egy csomó sík egyenletébe:

Talált érték
Helyettesítsük be a (12) egyenletbe. megkapjuk a kívánt sík egyenletét:

b) Keressük meg
És attól a feltételtől, hogy a kívánt sík merőleges a síkra. Adott sík normálvektora
, a kívánt sík normálvektora (lásd egy csomó sík egyenletét (12).

Két vektor akkor és csak akkor merőleges, ha pontszorzata nulla. Ennélfogva,

Helyettesítsük a talált értéket
egy csomó sík egyenletébe (12). Megkapjuk a kívánt sík egyenletét:

Önállóan megoldandó problémák

77. probléma. Hozd a vonalegyenlet kanonikus alakját:

1)
2)

78. probléma.Írja fel egy egyenes paraméteres egyenleteit!
, Ha:

1)
,
; 2)
,
.

79. probléma. Írja fel a ponton áthaladó sík egyenletét!
merőleges egy egyenesre

80. probléma.Írd fel egy ponton átmenő egyenes egyenleteit!
merőleges a síkra.

81. probléma. Keresse meg az egyenesek közötti szöget:

1)
És
;

2)
És

82. probléma. Párhuzamos egyenesek bizonyítása:

És
.

83. probléma. Igazolja az egyenesek merőlegességét:

És

84. probléma. Számítsa ki a pont távolságát
egyenesből:

1)
; 2)
.

85. probléma. Számítsa ki a párhuzamos egyenesek távolságát:

És
.

86. probléma. Az egyenes egyenleteiben
paraméter meghatározása hogy ez az egyenes metszi az egyenest, és megtaláljuk a metszéspontjukat.

87. probléma. Mutasd meg, hogy egyenes
párhuzamos a síkkal
, és az egyenes
ebben a síkban fekszik.

88. probléma. Találj egy pontot szimmetrikus pont a síkhoz képest
, Ha:

1)
, ;

2)
, ;.

89. probléma.Írd fel egy pontból leejtett merőleges egyenletét!
közvetlenül
.

90. probléma. Találj egy pontot szimmetrikus pont
viszonylag egyenes
.

A feladat egy olyan pont koordinátáinak megtalálása, amely szimmetrikus a pontra az egyeneshez képest . Javaslom, hogy a lépéseket saját maga hajtsa végre, de felvázolom a megoldási algoritmust köztes eredményekkel:

1) Keress egy egyenest, amely merőleges az egyenesre!

2) Keresse meg az egyenesek metszéspontját: .

Ebben a leckében mindkét műveletet részletesen tárgyaljuk.

3) A pont a szakasz felezőpontja. Ismerjük a középső és az egyik vég koordinátáit. Által egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak képletei találunk .

Érdemes lenne ellenőrizni, hogy a távolság is 2,2 egység.

Számítási nehézségek adódhatnak itt, de a toronyban nagy segítség a mikrokalkulátor, amely lehetővé teszi a közönséges törtek kiszámítását. Sokszor tanácsoltam már, és újra fogom ajánlani.

Hogyan lehet megtalálni a távolságot két párhuzamos egyenes között?

9. példa

Keresse meg a távolságot két párhuzamos egyenes között

Ez egy újabb példa arra, hogy döntsön egyedül. Adok egy kis tippet: végtelenül sokféleképpen lehet ezt megoldani. A lecke végén tájékoztató, de jobb, ha megpróbálod magad kitalálni, úgy gondolom, hogy a találékonyságod jól fejlődött.

Szög két egyenes között

Minden sarok egy karám:


A geometriában két egyenes közötti szöget a KISEBB szögnek vesszük, amiből automatikusan következik, hogy nem lehet tompa. Az ábrán a piros ív által jelzett szög nem tekinthető a metsző vonalak közötti szögnek. És a „zöld” szomszédja ill ellentétes orientációjú"málna" sarok.

Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a 4 szög bármelyike ​​tekinthető köztük lévő szögnek.

Miben különböznek a szögek? Irányultság. Először is alapvetően fontos a szög „görgetési” iránya. Másodszor, egy negatív orientációjú szöget mínuszjellel írunk, például ha .

Miért mondtam ezt neked? Úgy tűnik, a szokásos szögfogalommal boldogulunk. Az a helyzet, hogy azok a képletek, amelyekkel szögeket keresünk, könnyen negatív eredményt eredményezhetnek, és ez nem érheti meglepetésként. A mínuszjelű szög sem rosszabb, és nagyon sajátos geometriai jelentéssel bír. A rajzon negatív szög esetén feltétlenül jelölje a tájolását nyíllal (óramutató járásával megegyező irányba).

Hogyan lehet megtalálni a szöget két egyenes között? Két munkaképlet létezik:

10. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget

MegoldásÉs 1. módszer

Tekintsünk két, általános formában egyenletekkel meghatározott egyenest:

Ha egyenes nem merőleges, Azt orientált A köztük lévő szög a következő képlettel számítható ki:

Nagyon figyeljünk a nevezőre – pontosan ez skaláris szorzat egyenesek irányító vektorai:

Ha , akkor a képlet nevezője nulla lesz, és a vektorok merőlegesek, az egyenesek pedig merőlegesek lesznek. Éppen ezért fenntartással éltek az egyenesek nem merőlegességével kapcsolatban a megfogalmazásban.

A fentiek alapján célszerű a megoldást két lépésben formalizálni:

1) Számítsuk ki az egyenesek irányvektorainak skaláris szorzatát:

2) Keresse meg az egyenesek közötti szöget a következő képlet segítségével:

Az inverz függvény segítségével könnyen megtalálhatja magát a szöget. Ebben az esetben az arctangens páratlanságát használjuk (lásd. Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai):

Válasz:

Válaszában megadjuk a pontos értéket, valamint egy hozzávetőleges értéket (lehetőleg fokban és radiánban is), számológéppel kiszámítva.

Hát mínusz, mínusz, nem nagy ügy. Íme egy geometriai ábra:

Nem meglepő, hogy a szög negatív orientációjúnak bizonyult, mert a feladatfelvetésben az első szám egy egyenes, és a szög „kicsavarása” pontosan ezzel kezdődött.

Ha valóban pozitív szöget szeretne kapni, akkor fel kell cserélnie a vonalakat, vagyis ki kell vennie az együtthatókat a második egyenletből , és vegyük az együtthatókat az első egyenletből. Röviden, egy közvetlenvel kell kezdenie .

Nem titkolom, magam választom ki az egyeneseket a sorrendben, hogy a szög pozitív legyen. Ez szebb, de semmi több.

A megoldás ellenőrzéséhez vegyen egy szögmérőt és mérje meg a szöget.

Második módszer

Ha az egyeneseket meredekségű és egyenletekkel adjuk meg nem merőleges, Azt orientált A köztük lévő szög a következő képlettel határozható meg:

Az egyenesek merőlegességének feltételét az egyenlőség fejezi ki, amelyből egyébként a merőleges egyenesek szögegyütthatói között nagyon hasznos összefüggés következik: , amelyet egyes feladatokban használnak.

A megoldási algoritmus hasonló az előző bekezdéshez. De először írjuk át egyenes vonalainkat a kívánt formában:

Így a lejtők a következők:

1) Ellenőrizzük, hogy a vonalak merőlegesek-e:
, ami azt jelenti, hogy a vonalak nem merőlegesek.

2) Használja a következő képletet:

Válasz:

A második módszer akkor megfelelő, ha az egyenesek egyenleteit kezdetben szögegyütthatóval adjuk meg. Meg kell jegyezni, hogy ha legalább egy egyenes párhuzamos az ordináta tengellyel, akkor a képlet egyáltalán nem alkalmazható, mivel az ilyen egyeneseknél a meredekség nincs meghatározva (lásd a cikket Egyenlet egy síkon).

Van egy harmadik megoldás is. Az ötlet az, hogy a leckében tárgyalt képlet segítségével számítsuk ki az egyenesek irányvektorai közötti szöget Vektorok pontszorzata:

Itt már nem orientált szögről beszélünk, hanem „csak egy szögről”, vagyis minden bizonnyal pozitív lesz az eredmény. A bökkenő az, hogy előfordulhat, hogy tompaszöget kapsz (nem olyan, amilyenre szükséged van). Ebben az esetben le kell foglalnia, hogy az egyenesek közötti szög kisebb legyen, és ki kell vonnia a kapott ív koszinuszát a „pi” radiánokból (180 fok).

Aki akarja, harmadik úton is megoldhatja a problémát. De továbbra is javaslom ragaszkodni az első megközelítéshez, orientált szöggel, mert elterjedt.

11. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Próbáld meg kétféleképpen megoldani.

A mese valahogy kihalt útközben... Mert nincs Kascsej, a Halhatatlan. Ott vagyok én, és nem vagyok különösebben begőzölve. Őszintén szólva, azt hittem, a cikk sokkal hosszabb lesz. De akkor is fogom a nemrég szerzett sapkámat és szemüvegemet, és elmegyek úszni a szeptemberi tóvízbe. Tökéletesen enyhíti a fáradtságot és a negatív energiákat.

Hamarosan találkozunk!

És ne feledd, a Baba Yaga-t nem törölték =)

Megoldások és válaszok:

3. példa:Megoldás : Keressük meg az egyenes irányvektorát :

Állítsuk össze a kívánt egyenes egyenletét a pont segítségével és irányvektor . Mivel az irányvektor egyik koordinátája nulla, egyenlet. írjuk át a következő alakba:

Válasz :

5. példa:Megoldás :
1) Egy egyenes egyenlete tegyünk két pontot :

2) Egy egyenes egyenlete tegyünk két pontot :

3) A változók megfelelő együtthatói nem arányos: , ami azt jelenti, hogy a vonalak metszik egymást.
4) Keressen egy pontot :


jegyzet : itt a rendszer első egyenletét megszorozzuk 5-tel, majd a másodikat tagonként kivonjuk az 1. egyenletből.
Válasz :