Ha a mutatók azonosak, de az okok eltérőek. lecke "A hatáskörök szorzása és megosztása"

Minden egyes aritmetikai művelet néha túl nehézkessé válik a megíráshoz, és megpróbálják leegyszerűsíteni. Egyszer ez volt a helyzet az összeadási művelettel. Az embereknek ugyanazt a típust kellett ismételten hozzáadniuk, például száz perzsa szőnyeg árának kiszámításához, amelyek ára egyenként 3 aranyérme. 3+3+3+…+3 = 300. Nehézsége miatt úgy döntöttek, hogy a jelölést 3 * 100 = 300-ra rövidítik. Valójában a „háromszor száz” jelölés azt jelenti, hogy egyet kell venni százhármast, és összeadjuk őket. A szorzás felkapott és általános népszerűségre tett szert. De a világ nem áll meg, és a középkorban felmerült az igény az azonos típusú többszörözés elvégzésére. Emlékszem egy régi indiai rejtvényre egy bölcsről, aki a következő mennyiségben kért búzaszemeket az elvégzett munka jutalmaként: a sakktábla első mezőjéért egy szem, a másodikért kettőt, a harmadikért négyet kért, az ötödik - nyolc, és így tovább. Így jelent meg a hatványok első szorzata, mert a szemek száma a sejtszám hatványának kettővel egyenlő volt. Például az utolsó cellában 2*2*2*...*2 = 2^63 szem lenne, ami egy 18 karakter hosszúságú számnak felel meg, ami valójában a rejtvény jelentése.

A hatványozás művelete meglehetősen gyorsan megfogott, és gyorsan felmerült az összeadás, kivonás, osztás és hatványszorzás elvégzésének szükségessége is. Ez utóbbit érdemes részletesebben megfontolni. A képességek hozzáadásának képlete egyszerű és könnyen megjegyezhető. Ezen kívül nagyon könnyen érthető, hogy honnan származnak, ha a teljesítményműveletet szorzás váltja fel. De először meg kell értened néhány alapvető terminológiát. Az a^b kifejezés (értsd: „a b hatványára”) azt jelenti, hogy az a számot önmagával kell megszorozni b-szeresével, ahol „a”-t a hatvány alapjának, „b”-t pedig hatványkitevőnek nevezzük. Ha a fokok alapjai megegyeznek, akkor a képleteket egészen egyszerűen levezetjük. Konkrét példa: keresse meg a 2^3 * 2^4 kifejezés értékét. Ahhoz, hogy megtudja, mi történjen, a megoldás megkezdése előtt meg kell találnia a választ a számítógépen. Ha beírja ezt a kifejezést bármely online számológépbe, keresőbe, beírja a „hatványok szorzása különböző bázisokkal és azonos” vagy egy matematikai csomagot, a kimenet 128 lesz. Most írjuk ki ezt a kifejezést: 2^3 = 2*2*2, és 2^4 = 2 *2*2*2. Kiderült, hogy 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Kiderül, hogy az azonos bázisú hatványok szorzata egyenlő a két előző hatvány összegével egyenlő hatványra emelt bázissal.

Azt gondolhatnánk, hogy ez véletlen, de nem: minden más példa csak megerősítheti ezt a szabályt. Így általában a képlet így néz ki: a^n * a^m = a^(n+m) . Van egy szabály, hogy a nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel. Itt emlékeznünk kell a negatív hatványok szabályára: a^(-n) = 1 / a^n. Vagyis ha 2^3 = 8, akkor 2^(-3) = 1/8. Ezzel a szabállyal igazolhatja az a^0 = 1 egyenlőség érvényességét: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) redukálható és egy marad. Innen származik az a szabály, hogy az azonos bázisú hatványok hányadosa ezzel az alappal egyenlő az osztó és osztó hányadosával egyenlő mértékben: a^n: a^m = a^(n-m) . Példa: egyszerűsítse a 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) kifejezést. A szorzás kommutatív művelet, ezért először össze kell adni a szorzási kitevőket: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Ezután foglalkoznia kell a negatív erővel való megosztással. Ki kell vonni az osztó kitevőjét az osztalék kitevőjéből: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Kiderül, hogy a fokszám negatívmal való osztása megegyezik a hasonló pozitív kitevővel való szorzás műveletével. Tehát a végső válasz a 8.

Vannak példák arra, hogy a hatalom nem kanonikus megszorzása történik. A hatványok különböző alapokkal való szorzása gyakran sokkal nehezebb, sőt néha lehetetlen. Néhány példát kell adni a különböző lehetséges technikákra. Példa: egyszerűsítse a 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 kifejezést. Nyilvánvalóan létezik a hatványok szorzása különböző alapokon. De meg kell jegyezni, hogy minden bázis három különböző hatványa. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Az (a^n) ^m = a^(n*m) szabályt használva a kifejezést kényelmesebb formában kell átírnia: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Válasz: 3^11. Azokban az esetekben, ahol különböző alapok vannak, az a^n * b^n = (a*b) ^n szabály egyenlő mutatókra érvényes. Például 3^3 * 7^3 = 21^3. Ellenkező esetben, ha az alapok és a kitevők eltérőek, a teljes szorzás nem hajtható végre. Néha részben egyszerűsítheti vagy igénybe veheti a számítástechnikát.

Fokozatképletek komplex kifejezések redukálására és egyszerűsítésére, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.

Szám c van n-egy szám hatványa a Amikor:

Műveletek fokozatokkal.

1. A fokokat ugyanazzal az alappal megszorozva a mutatóik összeadódnak:

a m·a n = a m + n .

2. Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk, kitevőjüket levonjuk:

3. 2 vagy több tényező szorzatának mértéke egyenlő ezen tényezők fokszámainak szorzatával:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:

(a/b) n = a n /b n.

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

(a m) n = a m n .

Mindegyik fenti képlet igaz balról jobbra és fordítva.

Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Egy arány gyöke egyenlő az osztalék és a gyökosztó hányadával:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:

4. Ha növeli a gyökér fokát be n egyszer és egyben beépül n A hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha a gyökér fokát csökkenti n egyszerre vonjuk ki a gyökeret n-gyökszám hatványa, akkor a gyök értéke nem változik:

Egy fok negatív kitevővel. Egy bizonyos, nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával, amelynek kitevője megegyezik a nem pozitív kitevő abszolút értékével:

Képlet a m:a n =a m - n nem csak arra használható m> n, hanem azzal is m< n.

Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m:a n =a m - n igazságossá vált, amikor m=n, nulla fok megléte szükséges.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely nullával nem egyenlő szám hatványa nulla kitevővel egyenlő eggyel.

Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Valós szám emelésére A fokig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m- ennek a számnak a hatványa A.

A matematika diploma fogalmát a 7. évfolyamon vezetik be algebra órán. És ezt követően a matematika tanulmányozásának teljes ideje alatt ezt a fogalmat aktívan használják különféle formáiban. A diploma meglehetősen nehéz téma, amely megköveteli az értékek memorizálását, valamint a helyes és gyors számolás képességét. A fokozatok gyorsabb és jobb munkavégzéséhez a matematikusok fokozattulajdonságokat dolgoztak ki. Segítenek csökkenteni a nagy számításokat, bizonyos mértékig egy hatalmas példát egyetlen számmá alakítanak át. Nincs olyan sok tulajdonság, és mindegyik könnyen megjegyezhető és a gyakorlatban alkalmazható. Ezért a cikk tárgyalja a diploma alapvető tulajdonságait, valamint azt, hogy hol alkalmazzák őket.

A fokozat tulajdonságai

Megvizsgáljuk a fokok 12 tulajdonságát, beleértve az azonos bázisú fokok tulajdonságait is, és mindegyik tulajdonságra példát adunk. Ezen tulajdonságok mindegyike segít a fokozatokkal kapcsolatos problémák gyorsabb megoldásában, és megóvja Önt számos számítási hibától.

1. ingatlan.

Sokan gyakran megfeledkeznek erről a tulajdonságról, és hibákat követnek el, amikor a nulla hatványhoz tartozó számot nullával ábrázolják.

2. ingatlan.

3. ingatlan.

Emlékeztetni kell arra, hogy ez a tulajdonság csak számok szorzásakor használható, összeggel nem működik! És nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy ez és a következő tulajdonságok csak az azonos bázisú hatványokra vonatkoznak.

4. ingatlan.

Ha a nevezőben egy számot negatív hatványra emelünk, akkor kivonáskor a nevező fokát zárójelbe vesszük, hogy a további számításokban helyesen változtassuk az előjelet.

A tulajdonság csak osztásnál működik, kivonásnál nem!

5. ingatlan.

6. ingatlan.

Ez a tulajdonság fordítva is alkalmazható. Egy számmal bizonyos mértékig osztva ez a szám a mínusz hatványhoz.

7. ingatlan.

Ez a tulajdonság összegre és különbözetre nem alkalmazható! Az összeg vagy a különbözet ​​hatványra emelése a hatványtulajdonságok helyett inkább rövidített szorzóképleteket használ.

8. ingatlan.

9. ingatlan.

Ez a tulajdonság minden olyan tört hatványra működik, amelynek számlálója eggyel egyenlő, a képlet ugyanaz lesz, csak a gyök hatványa változik a hatvány nevezőjétől függően.

Ezt a tulajdonságot gyakran fordítva is használják. Egy szám tetszőleges hatványának gyöke ábrázolható úgy, hogy ez a szám egy hatványa osztva a gyök hatványával. Ez a tulajdonság nagyon hasznos olyan esetekben, amikor egy szám gyökere nem kinyerhető.

10. ingatlan.

Ez a tulajdonság nem csak négyzetgyökökkel és másodhatványokkal működik. Ha a gyökér foka és a gyökér emelésének mértéke egybeesik, akkor a válasz radikális kifejezés lesz.

11. ingatlan.

Ezt az ingatlant a megoldáskor időben látnia kell, hogy megkímélje magát a hatalmas számításoktól.

12. ingatlan.

Ezen tulajdonságok mindegyike többször is találkozik a feladatok során, megadható tiszta formában, vagy szükség lehet néhány átalakításra és más képletek használatára. Ezért a helyes döntéshez nem elég csak a tulajdonságokat ismerni, más matematikai ismereteket kell gyakorolni és beépíteni.

A fokok alkalmazása és tulajdonságaik

Aktívan használják az algebrában és a geometriában. A matematika szaknak külön, fontos helye van. Segítségükkel exponenciális egyenleteket és egyenlőtlenségeket oldanak meg, a matematika más ágaihoz kapcsolódó egyenleteket és példákat gyakran hatványok bonyolítják. A hatványok segítenek elkerülni a nagy és hosszadalmas számításokat, a hatványokat könnyebb lerövidíteni és kiszámítani. De ahhoz, hogy nagy, vagy nagyszámú hatványokkal dolgozhasson, nemcsak az erő tulajdonságait kell ismernie, hanem az alapokkal is hozzáértően kell dolgoznia, ki kell tudnia bővíteni azokat, hogy megkönnyítse a feladatát. A kényelem kedvéért ismernie kell a hatványra emelt számok jelentését is. Ez csökkenti a megoldáshoz szükséges időt, így nincs szükség hosszadalmas számításokra.

A logaritmusban kiemelt szerepet játszik a fok fogalma. Mivel a logaritmus lényegében egy szám hatványa.

A hatványhasználat másik példája a rövidített szorzóképletek. A fokok tulajdonságai nem használhatók fel bennük, speciális szabályok szerint bővülnek, de minden rövidített szorzási képletben változatlanul vannak fokozatok.

A diplomákat a fizikában és a számítástechnikában is aktívan használják. Az SI rendszerbe való minden átalakítás hatványok felhasználásával történik, és a jövőben a feladatok megoldásánál a hatvány tulajdonságait használják fel. A számítástechnikában a kettő hatványait aktívan használják a számolás kényelmére és a számok érzékelésének egyszerűsítésére. További számítások a mértékegységek átszámításához vagy a feladatok számításai, csakúgy, mint a fizikában, a fokok tulajdonságaival történnek.

A fokok nagyon hasznosak a csillagászatban is, ahol ritkán látni a fok tulajdonságait, de magukat a fokokat aktívan használják a különböző mennyiségek és távolságok jelölésének lerövidítésére.

A fokokat a mindennapi életben is használják a területek, térfogatok és távolságok kiszámításakor.

A fokokat nagyon nagy és nagyon kis mennyiségek rögzítésére használják bármely tudományterületen.

Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek

A fokok tulajdonságai pontosan az exponenciális egyenletekben és az egyenlőtlenségekben foglalnak el különleges helyet. Ezek a feladatok nagyon gyakoriak mind az iskolai tanfolyamokon, mind a vizsgákon. Mindegyiket a fok tulajdonságainak alkalmazásával oldjuk meg. Az ismeretlen mindig magában a fokban található, így az összes tulajdonság ismeretében egy ilyen egyenlet vagy egyenlőtlenség megoldása nem nehéz.

Az utolsó videó leckében megtanultuk, hogy egy bizonyos bázis foka egy olyan kifejezés, amely önmagában reprezentálja az alap szorzatát, a kitevővel megegyező mennyiségben. Vizsgáljuk meg most az erők legfontosabb tulajdonságait és műveleteit.

Például szorozzunk meg két különböző hatványt ugyanazzal az alappal:

Mutassuk be ezt a munkát teljes egészében:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Ennek a kifejezésnek az értékét kiszámítva a 32-es számot kapjuk. Másrészt, amint az ugyanabból a példából látható, a 32 ábrázolható ugyanannak a bázisnak (kettőnek) szorzataként, ötször felvéve. És valóban, ha számoljuk, akkor:

Tehát magabiztosan megállapíthatjuk, hogy:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ez a szabály sikeresen működik bármilyen mutató és bármilyen okból. A hatványszorzásnak ez a tulajdonsága abból a szabályból következik, hogy a kifejezések jelentése a szorzat transzformációi során megmarad. Bármely a bázisra két (a)x és (a)y kifejezés szorzata egyenlő a(x + y). Más szavakkal, ha bármilyen azonos bázisú kifejezést állítunk elő, az eredményül kapott monom teljes foka az első és a második kifejezés fokszámainak összeadásával keletkezik.

A bemutatott szabály több kifejezés szorzásakor is remekül működik. A fő feltétel, hogy mindenkinek ugyanazok az alapjai legyenek. Például:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Nem lehet fokozatokat összeadni, sőt bármilyen hatalomalapú közös akciót végrehajtani egy kifejezés két elemével, ha ezek alapjai eltérőek.
Ahogy videónk is mutatja, a szorzási és osztási folyamatok hasonlósága miatt a szorzatban a hatványok összeadásának szabályai tökéletesen átkerülnek az osztási eljárásba. Tekintsük ezt a példát:

Alakítsuk át a kifejezést tagonként a teljes formájába, és csökkentsük ugyanazokat az elemeket az osztóban és az osztóban:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Ennek a példának a végeredménye nem annyira érdekes, mert már a megoldás során egyértelmű, hogy a kifejezés értéke egyenlő a kettő négyzetével. A kettőt pedig úgy kapjuk meg, hogy kivonjuk a második kifejezés mértékét az első mértékéből.

A hányados mértékének meghatározásához ki kell vonni az osztó mértékét az osztalék mértékéből. A szabály azonos alapon működik minden értékére és minden természeti erejére. Absztrakció formájában a következőket kapjuk:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Az azonos alapok fokokkal való osztásának szabályából a nulla fok definíciója következik. Nyilvánvalóan a következő kifejezés így néz ki:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Másrészt, ha vizuálisabb módon végezzük a felosztást, a következőket kapjuk:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Egy tört összes látható elemének redukálásakor mindig az 1/1 kifejezést kapjuk, azaz egyet. Ezért általánosan elfogadott, hogy bármely nulla hatványra emelt bázis egyenlő eggyel:

Függetlenül attól, hogy a.

Abszurd lenne azonban, ha a 0 (ami még mindig 0-t ad minden szorzásnál) valahogy egyenlő lenne eggyel, így a (0) 0 (nulla a nulla hatványhoz) alakú kifejezésnek egyszerűen nincs értelme, és a képletnek ( a) 0 = 1 adjunk hozzá egy feltételt: „ha a nem egyenlő 0-val.”

Oldjuk meg a gyakorlatot. Keressük meg a kifejezés értékét:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Mivel az alap mindenhol ugyanaz, és egyenlő 34-gyel, a végső érték ugyanazt a bázist kapja egy fokozattal (a fenti szabályok szerint):

Más szavakkal:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Válasz: a kifejezés egyenlő eggyel.