A függvények extrém, legnagyobb és legkisebb értékei. Címke: helyi extrémum

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Azt mondják, $f$-nak van helyi maximum az $x_(0) \in E$ pontban, ha van a $x_(0)$ pontnak olyan $U$ szomszédsága, hogy minden $x \in U$-ban a $f\left(x\right) egyenlőtlenség ) \leqslant f teljesül \left(x_(0)\right)$.

A helyi maximumot nevezzük szigorú , ha a $U$ környéket úgy lehet kiválasztani, hogy minden $x \in U$-ban, amely különbözik $x_(0)$-tól, legyen $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Meghatározás
Legyen $f$ valós függvény a $E \subset \mathbb(R)^(n)$ nyílt halmazon. Azt mondják, $f$-nak van helyi minimum az $x_(0) \in E$ pontban, ha van a $x_(0)$ pontnak olyan $U$ szomszédsága, hogy minden $x \in U$-ban a $f\left(x\right) egyenlőtlenség ) \geqslant f teljesül \left(x_(0)\right)$.

A helyi minimumot szigorúnak nevezzük, ha egy $U$ szomszédság kiválasztható úgy, hogy minden $x \in U$-ban, amely különbözik $x_(0)$-tól $f\left(x\right) > f\left(x_) ( 0)\jobbra)$.

A lokális szélsőség egyesíti a lokális minimum és a lokális maximum fogalmát.

Tétel (a differenciálható függvény szélsőértékének szükséges feltétele)
Legyen $f$ valós függvény a $E \subset \mathbb(R)^(n)$ nyílt halmazon. Ha az $x_(0) \in E$ pontban a $f$ függvénynek helyi szélsőértéke van ezen a ponton, akkor a $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ A nullával egyenlő differenciál egyenlő azzal, hogy mindegyik egyenlő nullával, azaz. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Egydimenziós esetben ez – . Jelöljük $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, ahol $h$ egy tetszőleges vektor. A $\phi$ függvény olyan $t$ értékekhez van definiálva, amelyek abszolút értékükben kellően kicsik. Ezenkívül differenciálható a következőhöz képest: és $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Legyen $f$ helyi maximuma x $0$ pontban. Ez azt jelenti, hogy a $\phi$ függvénynek $t = 0$-ban van egy lokális maximuma, és Fermat tétele szerint $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Tehát azt kaptuk, hogy $df \left(x_(0)\right) = 0$, azaz. a $f$ függvény a $x_(0)$ pontban egyenlő nullával bármely $h$ vektoron.

Meghatározás
Pontok, ahol a differenciál nulla, azaz. azokat, amelyekben minden parciális derivált nulla, stacionáriusnak nevezzük. Kritikus pontok Az $f$ függvények azok a pontok, ahol az $f$ nem differenciálható, vagy egyenlő nullával. Ha a pont stacionárius, akkor ebből nem következik, hogy a függvénynek ezen a ponton van extrémuma.

1. példa
Legyen $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Ezután $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, tehát a $\left(0,0\right)$ stacionárius pont, de a függvénynek ezen a ponton nincs extrémuma. Valójában $f \left(0,0\right) = 0$, de könnyen belátható, hogy a $\left(0,0\right)$ pont bármely környezetében a függvény pozitív és negatív értékeket is felvesz.

2. példa
A $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ függvénynek van egy stacionárius pontja az origójában, de egyértelmű, hogy ezen a ponton nincs szélsőség.

Tétel (elegendő feltétel az extrémumhoz).
Legyen a $f$ függvény kétszer folytonosan differenciálható a $E \subset \mathbb(R)^(n)$ nyílt halmazon. Legyen $x_(0) \in E$ egy állópont, és $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Akkor

1. ha $Q_(x_(0))$ – , akkor a $x_(0)$ pontban lévő $f$ függvénynek van lokális szélsőértéke, azaz minimuma, ha az alak pozitív határozott, és maximuma, ha a forma negatív határozott;
2. ha a $Q_(x_(0))$ másodfokú alak definiálatlan, akkor a $x_(0)$ pontban lévő $f$ függvénynek nincs szélsőértéke.

Használjuk a Taylor-képlet szerinti bővítést (12.7 292. o.). Figyelembe véve, hogy a $x_(0)$ pont elsőrendű parciális deriváltjai nullával egyenlőek, megkapjuk a $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ jobb) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ ahol $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ és $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ $h \rightarrow 0$ esetén, akkor a jobb oldal pozitív lesz bármely kellően kis hosszúságú $h$ vektorra.
Tehát arra a következtetésre jutottunk, hogy a $x_(0)$ pont egy bizonyos környezetében a $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ egyenlőtlenség teljesül, ha csak $ x \neq x_ (0)$ ($x=x_(0)+h$\jobbra tesszük). Ez azt jelenti, hogy a $x_(0)$ pontban a függvénynek szigorú lokális minimuma van, így tételünk első része bizonyítást nyer.
Tegyük fel most, hogy a $Q_(x_(0))$ határozatlan alak. Ezután vannak $h_(1)$, $h_(2)$ vektorok úgy, hogy $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 USD. Ekkor megkapjuk a $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Kellően kicsi $t>0$ esetén a jobb oldali oldala pozitív. Ez azt jelenti, hogy a $x_(0)$ pont bármely környezetében a $f$ függvény a $f \left(x\right)$ értéket nagyobb, mint $f \left(x_(0)\right)$.
Hasonlóképpen azt találjuk, hogy a $x_(0)$ pont bármely környezetében a $f$ függvény kisebb értékeket vesz fel, mint $f \left(x_(0)\right)$. Ez az előzővel együtt azt jelenti, hogy a $x_(0)$ pontban az $f$ függvénynek nincs szélsőértéke.

Tekintsük ennek a tételnek egy speciális esetét két változó $f \left(x,y\right)$ függvényére, amely a $\left(x_(0),y_(0)\right pont valamelyik szomszédságában van definiálva. )$ és az első és másodrendű folytonos parciális deriváltokkal. Tegyük fel, hogy a $\left(x_(0),y_(0)\right)$ egy állópont, és jelölje a $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\jobbra), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Ekkor az előző tétel a következő alakot veszi fel.

Tétel
Legyen $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Akkor:

1. ha $\Delta>0$, akkor a $f$ függvénynek van egy lokális szélsőértéke a $\left(x_(0),y_(0)\right)$ pontban, azaz minimum, ha $a_(11)> 0$ , és maximum, ha $a_(11)<0$;
2. ha $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Példák problémamegoldásra

Algoritmus sok változó függvényének szélsőértékének megtalálására:

1. Állandó pontok megtalálása;
2. Keresse meg a 2. rendű differenciálművet az összes állópontban
3. A sokváltozós függvény szélsőértékének elégséges feltételét felhasználva minden stacionárius pontban figyelembe vesszük a másodrendű különbséget

1. Vizsgálja meg a $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ extrémum függvényét.
   Megoldás

   Keressük meg az elsőrendű parciális származékokat: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Állítsuk össze és oldjuk meg a rendszert: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(esetek) \Jobbra \begin(esetek)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(esetek) \Jobbra \begin(esetek)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(esetek)$$ A 2. egyenletből a következőt fejezzük ki: $x=4 \cdot y^(2)$ - behelyettesítjük az 1. egyenletbe: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \jobbra )^(2)-2 \cdot y=0$$ $16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Ennek eredményeként 2 stacionárius pontot kapunk:
   1) $y=0 \jobbra nyíl x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Nézzük meg, hogy teljesül-e egy szélsőség elégséges feltétele:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) A $M_(1)= \left(0,0\right)$ ponthoz:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) A $M_(2)$ ponthoz:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, ami azt jelenti, hogy a $M_(2)$ pontban szélsőség van, és mivel $A_(2)> 0$, akkor ez a minimum.
   Válasz: A $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ pont a $f$ függvény minimális pontja.
   

2. Vizsgálja meg a $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ szélsőség függvényét.
   Megoldás

   Keressük az állópontokat: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Állítsuk össze és oldjuk meg a rendszert: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Jobbra \begin(esetek)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(esetek) \Jobbra \begin(esetek) y = 2\\y + x = 1\end(esetek) \Jobbra x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ egy állópont.
   Ellenőrizzük, hogy teljesül-e az extrémum elégséges feltétele: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Válasz: nincsenek szélsőségek.
   

Időkorlát: 0

Navigáció (csak munkaszámok)

4 feladatból 0 teljesítve

Információ

Töltse ki ezt a kvízt, hogy tesztelje tudását az imént olvasott témában: Többváltozós függvények helyi szélsősége.

Korábban már letetted a tesztet. Nem indíthatod újra.

Tesztbetöltés...

A teszt megkezdéséhez be kell jelentkeznie vagy regisztrálnia kell.

Ennek elindításához el kell végeznie a következő teszteket:

eredmények

Helyes válaszok: 0 a 4-ből

A te időd:

Lejárt az idő

0 pontból 0 pontot szerzett (0)

Eredményed felkerült a ranglistára

1. A válasszal
2. Nézőjellel

4/1. feladat

1 .

Pontok száma: 1

Vizsgálja meg a $f$ függvényt a szélsőségekre: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Jobb


Rossz


1. 4/2. feladat

   2 .

   Pontok száma: 1

   Van a $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ függvénynek szélsősége

>> Extrém

A függvény szélsőértéke

Az extrémum definíciója

Funkció y = f(x)-t hívjuk növekvő (csökkenő) egy bizonyos intervallumban, ha x 1-re< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Ha az y = f (x) differenciálható függvény növekszik (csökken) egy intervallumon, akkor a deriváltja ezen az f intervallumon " (x)> 0

(f"(x)< 0).

Pont x O hívott helyi maximum pont (minimális) f (x) függvény, ha van a pont szomszédsága x o, amelynek minden pontjára igaz az f (x) egyenlőtlenség≤ f (x o ) (f (x )≥ f (x o )).

A maximum és minimum pontokat hívjuk szélsőséges pontok, és a függvény értékei ezeken a pontokon az ő szélsőségek.

Extrém pontok

Az extrémumhoz szükséges feltételek . Ha a lényeg x O az f (x) függvény szélsőpontja, akkor vagy f " (x o ) = 0 vagy f(x o ) nem létezik. Az ilyen pontokat ún kritikai, maga a függvény pedig a kritikus pontban van definiálva. Egy függvény szélsőpontját a kritikus pontjai között kell keresni.

Az első elégséges feltétel. Hadd x O - kritikus pont. Ha f" (x ) ponton való áthaladáskor x O módosítja a plusz jelet mínuszra, majd a pontra x o a függvénynek van maximuma, egyébként minimuma. Ha a kritikus ponton áthaladva a derivált nem vált előjelet, akkor a pontban x O nincs szélsőség.

Második elégséges feltétel. Legyen az f(x) függvény
f" (x ) pont közelében x O a második derivált pedig magában a pontban x o. Ha f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o az f (x) függvény lokális minimum (maximum) pontja. Ha =0, ​​akkor vagy az első elégséges feltételt kell használnia, vagy magasabbakat kell bevonnia.

Egy szakaszon az y = f (x) függvény akár a kritikus pontokon, akár a szakasz végein elérheti minimális vagy maximum értékét.

Példa 3.22.

Megoldás. Mert f " (

Egy függvény szélsőértékének megtalálásának problémái

3.23. példa. a

Megoldás. xÉs y y
0 ≤ x≤
> 0, és mikor x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkciókat kv. egységek).

3.24. példa. p ≈

Megoldás. p o
S"
R=2, H=16/4=4.

Példa 3.22.Határozzuk meg az f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 függvény szélsőértékét.

Megoldás. Mert f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), akkor az x 1 = 2 és x 2 = 3 függvény kritikus pontjai. Extréma csak ezeken a pontokon lehet. Mivel az x 1 = 2 ponton áthaladva a derivált előjelét pluszból mínuszba változtatja, akkor ezen a ponton a függvénynek van maximuma. Az x 2 = 3 ponton áthaladva a derivált az előjelét mínuszról pluszra változtatja, így az x 2 = 3 pontban a függvénynek minimuma van. A pontokban a függvényértékek kiszámítása után
x 1 = 2 és x 2 = 3, akkor megtaláljuk a függvény szélsőértékét: maximum f (2) = 14 és minimum f (3) = 13.

3.23. példa.A kőfal közelében téglalap alakú területet kell építeni úgy, hogy három oldalról dróthálóval legyen elkerítve, a negyedik oldal pedig a fal mellett legyen. Erre van a lineáris méteres háló. Milyen képarány mellett lesz a webhely legnagyobb területe?

Megoldás.Jelöljük az emelvény oldalait -vel xÉs y. A telek területe S = xy. Hadd y- ez a fal melletti oldal hossza. Ekkor feltétel szerint teljesülnie kell a 2x + y = a egyenlőségnek. Ezért y = a - 2x és S = x (a - 2x), ahol
0 ≤ x≤ a /2 (a terület hossza és szélessége nem lehet negatív). S " = a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4-nél, innen
y = a - 2 × a/4 =a/2. Mert a x = a /4 az egyetlen kritikus pont, nézzük meg, hogy ezen a ponton áthaladva változik-e a derivált előjele. x a /4 S "> 0, és mikor x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkciókat S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kv. egységek). Mivel S folyamatos bekapcsolt állapotban van, és értékei az S(0) és S(a /2) végén egyenlők nullával, akkor a talált érték lesz a függvény legnagyobb értéke. Így a lelőhely legkedvezőbb oldalaránya a feladat adott feltételei mellett y = 2x.

3.24. példa.V=16 űrtartalmú zárt hengeres tartály gyártása szükséges p ≈ 50 m 3. Mekkora legyen a tartály mérete (R sugár és H magasság), hogy a gyártáshoz a legkevesebb anyag kerüljön felhasználásra?

Megoldás.A henger teljes felülete S = 2 p R(R+H). Ismerjük a henger térfogatát V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Tehát S(R) = 2 p (R 2 +16/R). Megtaláljuk ennek a függvénynek a származékát:
S"(R) = 2 p (2R-16/R2) = 4 p (R-8/R2). S" (R) = 0, ha R3 = 8, ezért
R=2, H=16/4=4.

MAXIMÁLIS ÉS MINIMUM PONTOK

pontok, ahol a legnagyobb vagy legkisebb értéket veszi fel a definíciós tartományban; az ilyen pontokat nevezzük abszolút maximum vagy abszolút minimum pontjait is. Ha f egy topológián van definiálva X tér, majd a pont x 0 hívott helyi maximum pontja (helyi minimum), ha van ilyen pont x 0, hogy a szóban forgó funkció korlátozására ezen a környéken az a pont x 0 az abszolút maximum (minimum) pont. Vannak szigorú és nem szigorú maximum (minimum) pontok (abszolút és helyi). Például az úgynevezett pont egy f függvény nem szigorú (szigorú) lokális maximumának pontja, ha létezik a pontnak ilyen szomszédsága x 0, ami mindenkire érvényes (illetve f(x) x 0). )/

A véges dimenziós tartományokon definiált függvényeknél a differenciálszámítás szempontjából feltételek és előjelek vannak ahhoz, hogy egy adott pont lokális maximum (minimum) pont legyen. Legyen az f függvény a számtengely x 0 pontjának egy bizonyos környezetében definiálva. Ha x 0 - egy nem szigorú lokális maximum (minimum) pontja és ezen a ponton létezik f"( x 0), akkor egyenlő nullával.

Ha egy adott f függvény egy pont szomszédságában differenciálható x 0, kivéve talán magát ezt a pontot, ahol folytonos, és az f" deriváltot a pont mindkét oldalán x 0 ezen a környéken megtartja az állandó jelet, akkor annak érdekében x 0 szigorú lokális maximum (lokális minimum) pont volt, szükséges és elégséges, hogy a derivált előjelet váltson pluszról mínuszra, azaz f" (x)>0 esetén x<.x 0és f"(x)<0 при x>x 0(mínuszból pluszba: f"(X) <0 x-nél<x 0és f"(x)>0 at x>x 0). Azonban nem minden függvényre, amely egy pont közelében differenciálható x 0, a derivált változó előjeléről beszélhetünk ezen a ponton. . "

Ha az f függvénynek egy pontja van x 0 t származékai, majd annak érdekében x 0 szigorú lokális maximum pont volt, szükséges és elégséges, hogy te páros legyen és f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

Legyen az f( x 1 ..., x n] egy pont n-dimenziós környezetében van definiálva, és ezen a ponton differenciálható. Ha x (0) egy nem szigorú lokális maximum (minimum) pontja, akkor az f függvény ebben a pontban egyenlő nullával. Ez a feltétel ekvivalens az f függvény 1. rendű parciális deriváltjainak nullával való egyenlőségével ezen a ponton. Ha egy függvénynek van 2. folytonos parciális deriváltja x(0) pontban, akkor az összes 1. deriváltja x(0) pontban eltűnik, és az x(0) pontban lévő másodrendű differenciál negatív (pozitív) másodfokú alak, akkor x (0) szigorú helyi maximum (minimum) pontja. Ismeretesek az M. és M.T. differenciálható függvények feltételei, amikor az argumentumok változására bizonyos korlátozások vonatkoznak: a kapcsolódási egyenletek teljesülnek. A bonyolultabb szerkezetű valós függvény maximumának (minimumának) szükséges és elégséges feltételeit a matematika speciális ágaiban vizsgálják: pl. konvex elemzés, matematikai programozás(Lásd még Maximalizálás és funkciók minimalizálása). Az osztókon definiált M. és m.t. függvényeket tanulmányozzuk variációszámítás általában, a M. és m.t. a függvénytereken definiált függvényekhez, azaz a be variációszámítás. Különféle módszerek léteznek a mágnesesség és m.t. numerikus közelítő meghatározására is.

Megvilágított.: Il'in V.A., Poznya to E.G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. kiadás, 1. rész, M., 1971; KudrjavcevL. L. D. Kudrjavcev.

Matematikai enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Nézze meg, mi a "MAXIMÁLIS ÉS MINIMUM PONT" ​​más szótárakban:

Pontryagin diszkrét maximum elve az idő-diszkrét vezérlési folyamatokhoz. Egy ilyen folyamat esetében előfordulhat, hogy a véges különbség operátora nem teljesül, bár a folytonos analógja esetében, amelyet úgy kapunk, hogy a véges különbség operátort egy differenciális operátorral helyettesítjük... ... Matematikai Enciklopédia

Az elemző modul egyik fő tulajdonságát kifejező tétel. funkciókat. Legyen f(z) komplex változók reguláris analitikus vagy holomorf függvénye egy D-komplex számtér tartományában, amely különbözik egy konstanstól, olvadáspont... Matematikai Enciklopédia

A valódi értékeket felvevő függvény legnagyobb és ennek megfelelően legkisebb értékei. Meghívjuk a vizsgált függvény definíciós tartományának azt a pontját, ahol maximumot vagy minimumot vesz fel. maximum pont vagy minimum pont... ... Matematikai Enciklopédia

Lásd: Egy függvény maximuma és minimuma, egy pont maximuma és minimuma... Matematikai Enciklopédia

Egy folytonos függvény értéke, amely a maximum vagy minimum (lásd Maximum és Minimum pont). Az lE kifejezés... Matematikai Enciklopédia

Indikátor- (Indikátor) Az indikátor olyan információs rendszer, anyag, eszköz, eszköz, amely bármilyen paraméter változását megjeleníti Forex devizapiaci chart indikátorok, mik ezek és honnan tölthetők le? MACD indikátorok leírása,... ... Befektetői Enciklopédia

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd Extremum (jelentések). Az extrémum (lat. extremum extreme) a matematikában egy függvény maximális vagy minimális értéke egy adott halmazon. A végpont elérése... ... Wikipédia

A differenciálszámítás a matematikai elemzés egyik ága, amely a derivált és a differenciál fogalmát, valamint a függvények tanulmányozására való alkalmazását vizsgálja. Tartalom 1 Egy változó függvényeinek differenciálszámítása ... Wikipédia

Lemniszkátus és fókuszai A Bernoulli-féle lemniszkát egy sík algebrai görbe. A pontok helye, termék ... Wikipédia

Eltérés- (Divergencia) Divergencia mint indikátor Kereskedési stratégia MACD divergenciával Tartalom Tartalom 1. rész. on. 2. szakasz. Eltérés hogyan. A divergencia egy olyan kifejezés a közgazdaságtanban, amely a divergens mentén történő mozgásra utal... ... Befektetői Enciklopédia

Egy függvény változását egy bizonyos ponton úgy definiáljuk, mint a függvény növekményének határát az argumentum növekményéig, amely nullára hajlik. Ennek megtalálásához használja a derivált táblázatot. Például az y = x3 függvény deriváltja egyenlő lesz y’ = x2-vel.

Egyenlítse ezt a deriváltot nullával (ebben az esetben x2=0).

Keresse meg az adott változó értékét! Ezek azok az értékek, amelyeknél az adott derivált 0 lesz. Ehhez helyettesítsen tetszőleges számokat a kifejezésben x helyett, amelynél a teljes kifejezés nullává válik. Például:

2-2x2 = 0
(1-x)(1+x) = 0
x1 = 1, x2 = -1

Ábrázolja a kapott értékeket a koordináta egyenesen, és számítsa ki a derivált előjelét minden kapott értékhez. A koordinátavonalon pontok vannak jelölve, amelyeket origónak veszünk. Az intervallumok értékének kiszámításához helyettesítsen tetszőleges értékeket, amelyek megfelelnek a kritériumoknak. Például a -1 intervallum előtti előző függvényhez kiválaszthatja a -2 értéket. A -1 és 1 közötti értékeknél 0-t, 1-nél nagyobb értékeknél pedig a 2-t választhatja. Helyettesítse be ezeket a számokat a deriváltba, és találja meg a derivált előjelét. Ebben az esetben az x = -2 derivált egyenlő lesz -0,24-gyel, azaz. negatív, és ezen az intervallumon mínuszjel lesz. Ha x=0, akkor az érték 2 lesz, és erre az intervallumra egy előjel kerül. Ha x=1, akkor a derivált is egyenlő lesz -0,24-gyel, és mínusz kerül.

Ha a koordinátaegyenes egy pontján áthaladva a derivált az előjelét mínuszról pluszra változtatja, akkor ez egy minimumpont, ha pedig pluszból mínuszba, akkor ez egy maximumpont.

Videó a témáról

Hasznos tanács

A származék megtalálásához olyan online szolgáltatások állnak rendelkezésre, amelyek kiszámítják a szükséges értékeket, és megjelenítik az eredményt. Az ilyen oldalakon akár 5. rendű származékokat is találhat.

Források:

• A származékos ügyletek kiszámítására szolgáló szolgáltatások egyike
• a függvény maximális pontja

A függvény maximális pontjait a minimumpontokkal együtt szélsőséges pontoknak nevezzük. Ezeken a pontokon a függvény megváltoztatja a viselkedését. Az extrém értékeket korlátozott numerikus időközönként határozzák meg, és mindig lokálisak.

Utasítás

A lokális szélsőségek megtalálásának folyamatát függvénynek nevezzük, és a függvény első és második deriváltjának elemzésével hajtjuk végre. A vizsgálat megkezdése előtt győződjön meg arról, hogy az argumentumértékek megadott tartománya az érvényes értékekhez tartozik. Például az F=1/x függvénynél az x=0 argumentum nem érvényes. Vagy az Y=tg(x) függvény argumentumának értéke nem lehet x=90°.

Győződjön meg arról, hogy az Y függvény differenciálható a teljes adott intervallumon. Keresse meg Y első deriváltját." Nyilvánvalóan a lokális maximum pont elérése előtt a függvény növekszik, a maximumon áthaladva pedig csökkenővé válik. Az első derivált fizikai jelentésében a függvény változási sebességét jellemzi. függvény. Amíg a függvény növekszik, ennek a folyamatnak a sebessége pozitív érték. A lokális maximumon való átmenet során a függvény csökkenni kezd, és a függvény változási sebessége negatívvá válik. A változás sebességének átmenete a függvény nullán át a lokális maximum pontján történik.

A függvényről azt mondják, hogy a belső pontban van
vidék D helyi maximum(minimális), ha van a pontnak ilyen környéke
, minden pontra
amely az egyenlőtlenséget tartja fenn

Ha egy függvénynek van egy pontja
helyi maximum vagy helyi minimum, akkor azt mondjuk, hogy ezen a ponton megvan helyi extrémum(vagy csak egy véglet).

Tétel (extrémum létezésének szükséges feltétele). Ha a differenciálható függvény végpontot ér el a pontban
, akkor a függvény minden elsőrendű parciális deriváltja ezen a ponton nullává válik.

Meghívjuk azokat a pontokat, ahol az összes elsőrendű parciális derivált eltűnik a függvény stacionárius pontjai
. Ezeknek a pontoknak a koordinátáit a rendszer megoldásával találhatjuk meg egyenletek

.

Az extrémum létezésének szükséges feltétele differenciálható függvény esetén a következőképpen fogalmazható meg röviden:

Vannak esetek, amikor egyes pontokon egyes parciális deriváltok végtelen értékűek vagy nem léteznek (míg a többi egyenlő nullával). Az ilyen pontokat ún a funkció kritikus pontjai. Ezeket a pontokat is „gyanúsnak” kell tekinteni egy extrémum esetében, akárcsak az állókat.

Két változós függvény esetén a szélsőérték szükséges feltétele, nevezetesen a parciális deriváltak (differenciál) nullával való egyenlősége a szélsőpontban, geometriai értelmezésű: a felület érintősíkja
a szélső ponton párhuzamosnak kell lennie a síkkal
.

20. Elegendő feltétel az extrémum létezéséhez

Az extrémum létezéséhez szükséges feltétel egy bizonyos ponton való teljesülése egyáltalán nem garantálja a szélsőség ottani jelenlétét. Példaként vehetjük a mindenhol differenciálható függvényt
. Mind a parciális deriváltjai, mind maga a függvény eltűnik a ponton
. Ennek a pontnak a szomszédságában azonban mindkettő pozitív (nagy
), és negatív (kisebb
) ennek a függvénynek az értékeit. Ezért ezen a ponton definíció szerint nem figyelhető meg szélsőség. Ezért kell ismernünk kellő feltételeket, amelyek mellett a szélsőségnek gyanús pont a vizsgált függvény szélsőpontja.

Tekintsük két változós függvény esetét. Tegyük fel, hogy a függvény
definiált, folytonos és folytonos parciális deriváltjai vannak egészen a másodrendig, beleértve egy pont közelében
, amely a függvény stacionárius pontja
, azaz megfelel a feltételeknek

,
.

Vezessük be a következő jelölést:

Tétel (elegendő feltétel a szélsőség létezéséhez). Hagyja a függvényt
kielégíti a fenti feltételeket, nevezetesen: egy stacionárius pont valamely szomszédságában differenciálható
és magán a ponton kétszer differenciálható
. Aztán ha

Ha
majd a függvény
azon a ponton
elér

helyi maximum nál nél
És

helyi minimum nál nél
.

Általában a funkcióhoz
pontban való létezéshez elegendő feltétel
helyiminimális(maximális) van pozitív(negatív) a második különbség bizonyossága.

Más szóval a következő állítás igaz.

Tétel . Ha azon a ponton
funkcióhoz

bármely nem egyenlő nullával egyidejűleg
, akkor ezen a ponton a függvény rendelkezik minimális(hasonló maximális, Ha
).

18. példa.Keresse meg egy függvény lokális szélsőpontját

Megoldás. Keressük meg a függvény parciális deriváltjait, és egyenlősítsük őket nullával:

Ezt a rendszert megoldva két lehetséges szélsőpontot találunk:

Keressük meg ennek a függvénynek a másodrendű parciális deriváltjait:

Az első állópontban tehát és
Ezért ezen a ponton további kutatásokra van szükség. Funkció értéke
ezen a ponton nulla:
További,

nál nél

A

nál nél

Ezért a pont bármely szomszédságában
funkció
nagynak veszi az értékeket
, és kisebb
, és ezért azon a ponton
funkció
definíció szerint nincs lokális szélsőértéke.

A második állóponton



ezért, ezért, mivel
majd a ponton
a függvénynek van lokális maximuma.