A célfüggvény optimális értékét ún. Tesztek az aktuális tudás ellenőrzéséhez

A harmadik sort elosztjuk az 5-tel egyenlő kulcselemmel, így az új táblázat harmadik sorát kapjuk.

Az alaposzlopok az egységoszlopoknak felelnek meg.

Egyéb táblázatértékek számítása:

„BP – Alapterv”:

; ;

"x1": ; ;

"x5": ; .

Az indexkarakterlánc értékei nem negatívak, ezért az optimális megoldást kapjuk: , ; .

Válasz: a legyártott termékek értékesítéséből származó maximális, 160/3 egységnek megfelelő nyereséget kizárólag a második típusú termékek 80/9 egységnyi mennyiségben történő előállítása biztosítja.

2. feladat

Adott egy nemlineáris programozási probléma. Keresse meg a célfüggvény maximumát és minimumát grafikus-analitikai módszerrel. Állítsa össze a Lagrange-függvényt, és mutassa meg, hogy a szélső pontokban a minimum (maximum) elegendő feltétele teljesül.

Mert a rejtjel utolsó számjegye 8, ekkor A=2; B=5.

Mert a rejtjel utolsó előtti számjegye 1, akkor válassza az 1. feladatot.

Megoldás:

1) Rajzoljuk meg az egyenlőtlenségrendszer által meghatározott területet!

Ez a terület az ABC háromszög csúcskoordinátákkal: A(0; 2); B(4; 6) és C(16/3; 14/3).

A célfüggvény szintjei olyan körök, amelyek középpontja a (2; 5) pontban van. A sugarak négyzetei a célfüggvény értékei lesznek. Ekkor az ábra azt mutatja, hogy a célfüggvény minimális értékét a H pontban érjük el, a maximumot - vagy az A pontban, vagy a C pontban.

A célfüggvény értéke az A pontban: ;

A célfüggvény értéke a C pontban: ;

Ez azt jelenti, hogy a függvény legmagasabb értékét az A(0; 2) pontban érjük el, és egyenlő 13-mal.

Keressük meg a H pont koordinátáit.

Ehhez vegye figyelembe a rendszert:

ó

ó

Egy egyenes akkor érinti a kört, ha az egyenletnek egyedi megoldása van. Egy másodfokú egyenletnek egyedi megoldása van, ha a diszkrimináns 0.

Akkor ; ; - a függvény minimális értéke.

2) Állítsuk össze a Lagrange függvényt, hogy megtaláljuk a minimális megoldást:

Nál nél x 1 =2.5; x 2 =4.5 kapunk:

ó

A rendszernek van megoldása a -nál, azaz. a szélsőséghez elegendő feltétel teljesül.

Állítsuk össze a Lagrange függvényt, hogy megtaláljuk a maximális megoldást:

Elegendő feltételek az extrémumhoz:

Nál nél x 1 =0; x 2 =2 kapunk:

ó ó

A rendszernek is van megoldása, pl. a szélsőséghez elegendő feltétel teljesül.

Válasz: a célfüggvény minimumát akkor érjük el ; ; a célfüggvény maximumát érjük el ; .

3. feladat

Két vállalkozás részesül pénzeszközökben az összegben d egységek. Az első vállalkozás egy évre történő kiosztásánál x egységnyi alap bevételt biztosít k 1 x egységek, és ha egy második vállalkozáshoz rendelik y alapegységeket, bevételt biztosít k 1 y egységek. Az első vállalkozás év végén fennálló pénzeszközök egyenlege egyenlő nx, és a másodikhoz az én. Hogyan lehet elosztani az összes pénzt 4 év alatt úgy, hogy a teljes bevétel a legnagyobb legyen? Oldja meg a problémát dinamikus programozási módszerrel.

i=8, k=1.

A=2200; k1=6; k2=1; n=0,2; m=0,5.

Megoldás:

A teljes 4 éves időszakot 4 szakaszra osztjuk, amelyek mindegyike egy év. Számozzuk meg a szakaszokat az első évtől kezdve. Legyen X k és Y k a k. szakaszban az A és B vállalkozások számára allokált pénzeszközök. Ekkor az X k + Y k = a k összeg a k – abban a szakaszban felhasznált pénzeszközök teljes összege és az előző k – 1 szakasz maradéka. Az első szakaszban az összes allokált pénzeszköz felhasználásra kerül, és a 1 = 2200 egység . a k – abban a szakaszban befolyó bevétel X k és Y k egység allokációjával 6X k + 1Y k lesz. legyen az utolsó szakaszokban kapott maximális bevétel k-tól kezdve – ez a szakasz legyen f k (a k) egység. Írjuk fel az optimalitás elvét kifejező funkcionális Bellman-egyenletet: bármilyen legyen is a kezdeti állapot és a kezdeti megoldás, a következő megoldásnak optimálisnak kell lennie a kiindulási állapot eredményeként kapott állapothoz képest:

Minden szakaszhoz ki kell választani az X k értéket és az értéket Yk=ak- Xk. Ezt figyelembe véve a bevételt a k. szakaszban találjuk:

A Bellman-féle funkcionális egyenlet a következő lesz:

Tekintsük az összes szakaszt, kezdve az utolsóval.

(mivel a lineáris függvény maximumát az x 4 = a 4 szakasz végén érjük el);

Szerkesszük meg a síkon a lineáris egyenlőtlenségek rendszerének megvalósítható megoldásait, és geometriailag keressük meg a célfüggvény minimális értékét.

Az x 1 x 2 koordinátarendszerben egyeneseket építünk

Megtaláljuk a rendszer által meghatározott félsíkokat. Mivel a rendszer egyenlőtlenségei a megfelelő félsík bármely pontjára teljesülnek, elegendő ezeket bármelyik pontra ellenőrizni. A (0;0) pontot használjuk. Helyettesítsük be a koordinátáit a rendszer első egyenlőtlenségébe. Mert , akkor az egyenlőtlenség olyan félsíkot határoz meg, amely nem tartalmazza a (0;0) pontot. Hasonlóképpen definiáljuk a fennmaradó félsíkokat is. A megvalósítható megoldások halmazát a kapott félsíkok közös részeként találjuk - ez az árnyékolt terület.

Építünk egy vektort és egy rá merőleges nullaszintű egyenest.

Az (5) egyenest a vektor irányába mozgatva látjuk, hogy a tartomány maximális pontja a (3) egyenes és a (2) egyenes metszéspontjának A pontjában lesz. Megtaláljuk a megoldást az egyenletrendszerre:

Ez azt jelenti, hogy megkaptuk a pontot (13;11) és.

Az (5) egyenest a vektor irányába mozgatva látjuk, hogy a tartomány minimumpontja az (1) egyenes és a (4) egyenes metszéspontjának B pontjában lesz. Megtaláljuk a megoldást az egyenletrendszerre:

Ez azt jelenti, hogy megkaptuk a pontot (6;6) és.

2. Egy bútorgyártó cég kombinált szekrényeket és számítógépasztalokat gyárt. Gyártásuknak az alapanyagok (jó minőségű táblák, szerelvények) elérhetősége és az azokat feldolgozó gépek üzemideje korlátozza. Minden szekrényhez 5 m2 tábla szükséges, egy asztalhoz - 2 m2. A szerelvények ára 10 dollár egy szekrényért, és 8 dollár egy asztalért. A cég havonta legfeljebb 600 m2 táblát és 2000 dollár értékű kiegészítőket kaphat beszállítóitól. Minden szekrény 7 óra gépi üzemet igényel, az asztal pedig 3 órát. Összesen 840 gép üzemóra vehető igénybe havonta.

Hány kombinált szekrényt és számítógépasztalt kell egy cégnek havonta legyártania a profit maximalizálása érdekében, ha egy szekrény 100 dollár hasznot hoz, és minden asztal 50 dollárt hoz?

• 1. Készítse el a feladat matematikai modelljét, és oldja meg a szimplex módszerrel!
• 2. Készítse el a duális feladat matematikai modelljét, írja le a megoldását az eredeti megoldása alapján!
• 3. Állapítsa meg a felhasznált források szűkösségi fokát és igazolja az optimális terv jövedelmezőségét.
• 4. Feltárja a termelési kibocsátás további növelésének lehetőségeit az egyes erőforrástípusok felhasználásától függően.
• 5. Mérje fel egy új típusú termék - könyvespolc - bevezetésének megvalósíthatóságát, ha egy polc gyártása 1 m 2 tábla és kiegészítő 5 dollárba kerül, és 0,25 óra gépüzemre és az értékesítésből származó nyereségre van szükség. egy polc 20 dollár.
• 1. Építsünk matematikai modellt erre a problémára:

Jelöljük x 1-gyel a szekrények, x 2-vel az asztalok gyártási mennyiségét. Hozzunk létre egy korlátozásrendszert és egy célfüggvényt:

A feladatot szimplex módszerrel oldjuk meg. Írjuk kanonikus formában:

Írjuk fel a feladat adatait táblázat formájában:

Asztal 1

Mert Most minden delta nagyobb, mint nulla, ekkor az f célfüggvény értékének további növelése lehetetlen, és megkaptuk az optimális tervet.

Bevezetés

Az emberi fejlődés jelenlegi szakaszát az a tény jellemzi, hogy az energia korát felváltja a számítástechnika kora. Az új technológiák intenzív bevezetése zajlik az emberi tevékenység minden területén. Valós probléma van az információs társadalomba való átmenettel, amelynél az oktatás fejlesztésének prioritássá kell válnia. A társadalom tudásszerkezete is változik. Az egyén kreatív fejlődéséhez hozzájáruló alapvető ismeretek egyre fontosabbá válnak a gyakorlati életben. Fontos még a megszerzett tudás konstruktívsága, a célnak megfelelő strukturálás képessége. A tudás alapján alakulnak ki a társadalom új információs forrásai. Az új ismeretek formálásának és elsajátításának szigorú rendszerszemléletű módszertanon kell alapulnia, amelyen belül kiemelt helyet foglal el a modellszemlélet. A modellszemlélet lehetőségei rendkívül szerteágazóak, mind az alkalmazott formális modellek, mind a modellezési módszerek megvalósításának módszerei tekintetében. A fizikai modellezés lehetővé teszi, hogy megbízható eredményeket kapjunk meglehetősen egyszerű rendszerekre.

Jelenleg lehetetlen megnevezni az emberi tevékenység olyan területét, ahol a modellezési módszereket ilyen vagy olyan mértékben ne alkalmaznák. Ez különösen vonatkozik a különféle rendszerek menedzselésére, ahol a fő folyamatok a kapott információk alapján történő döntéshozatal.

1. A probléma megfogalmazása

minimális célfüggvény

Oldja meg a feladat 16. számú opciója szerint a megoldási poligon által meghatározott kényszerrendszerre a célfüggvény minimumának megtalálásának feladatát! A megoldási sokszög az 1. ábrán látható:

1. ábra - A probléma megoldásainak sokszöge

Az alábbiakban bemutatjuk a kényszerrendszert és a probléma célfüggvényét:

A problémát a következő módszerekkel kell megoldani:

Grafikus módszer LP problémák megoldására;

Algebrai módszer LP feladatok megoldására;

Simplex módszer LP problémák megoldására;

Módszer az LP problémákra elfogadható megoldás megtalálására;

A kettős LP probléma megoldása;

Elágazó és kötött módszer egész számú LP feladatok megoldására;

Gomori módszer egész számú LP problémák megoldására;

Balázs módszer a Boole-féle LP feladatok megoldására.

Hasonlítsa össze a megoldási eredményeket különböző módszerekkel, és vonjon le megfelelő következtetéseket a munkáról.

2. A lineáris programozási probléma grafikus megoldása

A lineáris programozási feladatok grafikus megoldását olyan esetekben alkalmazzuk, amikor az ismeretlenek száma nem haladja meg a hármat. Kényelmes az oldatok tulajdonságainak kvalitatív kutatásához, és más módszerekkel (algebrai, elágazó és kötött stb.) együtt használják. A módszer ötlete a lineáris egyenlőtlenségek rendszerének grafikus megoldásán alapul.

Rizs. 2 Az LP feladat grafikus megoldása

Minimális pont

Két A1 és A2 ponton átmenő egyenes egyenlete:

AB: (0;1); (3;3)

VS: (3;3); (4;1)

CD: (4;1); (3;0)

EA: (1;0); (0;1)

CF: (0;1); (5;2)

korlátozásokkal:

Lineáris programozási feladat megoldása algebrai szimplex módszerrel

Egy algebrai módszer alkalmazása egy probléma megoldására megköveteli az LP probléma reprezentációjának általánosítását. Az egyenlőtlenségek formájában megadott eredeti korlátozási rendszer szabványos jelöléssé alakul át, amikor a korlátozásokat egyenlőségek formájában adjuk meg. A korlátozási rendszer szabványos űrlapmá alakítása a következő lépéseket tartalmazza:

Alakítsa át az egyenlőtlenségeket úgy, hogy a bal oldalon változók és szabad tagok legyenek, a jobb oldalon pedig 0, azaz. úgy, hogy a bal oldal nagyobb vagy egyenlő nullával;

Vezessünk be további változókat, amelyek száma megegyezik a kényszerrendszerben lévő egyenlőtlenségek számával;

A hozzáadott változók nem-negativitására vonatkozó további korlátozások bevezetésével cserélje ki az egyenlőtlenség jeleit szigorú egyenlőségjelekre.

Egy LP feladat algebrai módszerrel történő megoldásakor egy feltételt adunk hozzá: a célfüggvénynek minimálisra kell törekednie. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor a célfüggvényt ennek megfelelően kell átalakítani (-1-gyel szorozni), és megoldani a minimalizálási feladatot. A megoldás megtalálása után helyettesítse be a változók értékeit az eredeti függvénybe, és számítsa ki annak értékét.

Egy probléma algebrai módszerrel történő megoldása akkor tekinthető optimálisnak, ha az összes alapváltozó értéke nem negatív, és a szabad változók együtthatói a célfüggvény egyenletében szintén nem negatívak. Ha ezek a feltételek nem teljesülnek, akkor az egyenlőtlenségek rendszerét át kell alakítani, egyes változókat másokkal kifejezve (változó szabad és alapváltozók), hogy a fenti megszorítások teljesüljenek. Az összes szabad változó értékét nullának tekintjük.

Az algebrai módszer a lineáris programozási feladatok megoldására az egyik leghatékonyabb módszer kis léptékű feladatok kézi megoldására, mert nem igényel nagyszámú számtani számítást. Ennek a módszernek a gépi megvalósítása bonyolultabb, mint például a szimplex módszernél, mert Az algebrai módszert alkalmazó megoldási algoritmus bizonyos mértékig heurisztikus, és a megoldás hatékonysága nagymértékben függ a személyes tapasztalatoktól.

Szabad változók

St. sáv - kiegészítő készlet

A nem-negativitás feltételei teljesülnek, így megtaláltuk az optimális megoldást.

3. Lineáris programozási feladat megoldása szimplex tábla segítségével

Megoldás: Tegyük a problémát szabványos formára megoldáshoz egy szimplex tábla segítségével.

A rendszer összes egyenletét a következő alakra redukáljuk:

Egy szimplex táblát készítünk:

A táblázat minden cellájának felső sarkába beírjuk az egyenletrendszerből származó együtthatókat;

Az F sorban a maximális pozitív elemet választjuk, kivéve, hogy ez lesz az általános oszlop;

Az általános elem megtalálása érdekében kapcsolatot építünk ki minden pozitív számára. 3/3; 9/1;- minimális arány az x3 sorban. Ezért - az általános karakterlánc és =3 - az általános elem.

Azt találjuk, hogy =1/=1/3. Bevisszük a cella alsó sarkába, ahol az általános elem található;

Az általános sor minden üres alsó sarkába beírjuk a cella felső sarkában lévő érték szorzatát by;

Jelölje ki az általános vonal felső sarkait;

Az általános oszlop összes alsó sarkába beírjuk a felső sarokban lévő érték szorzatát - és kiválasztjuk a kapott értékeket;

A táblázat többi cellája a megfelelő kiválasztott elemek szorzataként kerül kitöltésre;

Ezután készítünk egy új táblázatot, amelyben az általános oszlop és sor elemeinek celláinak megnevezései felcserélődnek (x2 és x3);

Azok az értékek, amelyek korábban az alsó sarokban voltak, a korábbi általános sor és oszlop felső sarkába vannak írva;

Az előző táblázatban szereplő cellák felső és alsó sarkának értékeinek összege a többi cella felső sarkába van írva

4. Lineáris programozási feladat megoldása elfogadható megoldás megtalálásával

Adjunk meg egy lineáris algebrai egyenletrendszert:

Feltételezhetjük, hogy minden van, ellenkező esetben a megfelelő egyenletet megszorozzuk -1-gyel.

Bemutatjuk a segédváltozókat:

Bevezetünk egy segédfunkciót is

Korlátozások (2) és feltételek mellett minimalizáljuk a rendszert.

SZABÁLY AZ ENGEDÉLYEZHETŐ MEGOLDÁS KERESÉSÉRE: Az (1) rendszer elfogadható megoldásának megtalálásához a (2) korlátozások mellett minimalizáljuk a (3) formát, xj-t szabad ismeretlennek, xj-t pedig alapnak.

Egy probléma szimplex módszerrel történő megoldása során két eset fordulhat elő:

min f=0, akkor minden i-nek nullának kell lennie. És a kapott xj értékei az (1) rendszer elfogadható megoldását jelentik.

min f>0, azaz az eredeti rendszernek nincs megvalósítható megoldása.

Forrás rendszer:

A probléma előző témakörében szereplő feltételét használjuk.

Vezessünk be további változókat:

Az eredeti feladatra találtunk egy elfogadható megoldást: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. A kapott megvalósítható megoldás alapján szimplex módszerrel megtaláljuk az eredeti probléma optimális megoldását. Ehhez a fent kapott táblázatból egy új szimplex táblát készítünk, eltávolítva a sort és a segédfeladat célfüggvényét tartalmazó sort:

A megszerkesztett szimplex táblát elemezve azt látjuk, hogy az eredeti probléma optimális megoldása már megvan (a célfüggvénynek megfelelő sorban szereplő elemek negatívak). Így a segédprobléma megoldása során talált megvalósítható megoldás egybeesik az eredeti probléma optimális megoldásával:

6. Kettős lineáris programozási probléma

Az eredeti kényszerrendszert és a feladat célfüggvényét az alábbi ábra mutatja.

korlátozásokkal:

Megoldás: Tegyük szabványos formára a korlátozások rendszerét:

Az ezzel kettős probléma a következő formában lesz:

A kettős probléma megoldása egyszerű szimplex módszerrel történik.

Alakítsuk át a célfüggvényt úgy, hogy a minimalizálási probléma megoldódjon, és írjuk fel szabványos formában a kényszerrendszert a szimplex módszerrel történő megoldáshoz.

y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)

y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)

Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??perc

Készítsünk egy kezdeti szimplex táblát a duális LP probléma megoldására.

A szimplex módszer második lépése

Tehát a szimplex módszer harmadik lépésében a minimalizálási probléma optimális megoldását találtuk a következő eredményekkel: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. a duális probléma célfüggvénye, az alap- és szabadváltozók talált értékeit behelyettesítjük a maximalizálási függvénybe:

Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12

Mivel a direkt és a duális probléma célfüggvényének értéke egybeesik, a direkt probléma megoldása megtalálható és egyenlő 12-vel.

Fmin = Фmax = -12

7. Egész számú lineáris programozási feladat megoldása elágazás és kötés módszerrel

Alakítsuk át az eredeti feladatot úgy, hogy az egész feltétel ne teljesüljön, ha hagyományos módszerekkel oldjuk meg.

Egy egészszámú programozási probléma megoldásainak kezdeti sokszöge.

A transzformált megoldási sokszögre egy új korlátozási rendszert szerkesztünk.

Írjuk fel a megszorítások rendszerét algebrai módszerrel megoldandó egyenlőségek formájában.

A megoldás eredményeként az optimális feladatterv született: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. Ez a megoldás nem felel meg a feladatban beállított integritási feltételnek. Az eredeti megoldási sokszöget osszuk két területre, a 3. területet kizárjuk belőle

A problémamegoldások sokszöge megváltozott

Hozzunk létre új korlátozási rendszereket a megoldási sokszög eredményül kapott területeire. A bal oldali terület négyszög (trapéz). Az alábbiakban bemutatjuk a megoldási sokszög bal oldali régiójának korlátozási rendszerét.

Korlátozó rendszer a bal régió számára

A jobb oldali régió a C pontot jelenti.

Az alábbiakban bemutatjuk a helyes döntési terület kényszerrendszerét.

Az új kényszerrendszerek két kiegészítő problémát jelentenek, amelyeket egymástól függetlenül kell megoldani. Oldjunk meg egy egészszámú programozási feladatot a megoldási sokszög bal oldalára.

A megoldás eredményeként az optimális feladatterv született: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Ez a terv teljesíti azt a feltételt, hogy a feladatban szereplő változók egész számok, és az eredeti egész számú lineáris programozási probléma optimális referenciatervének tekinthetők. Nincs értelme a megoldást a megfelelő megoldási régióra végrehajtani. Az alábbi ábra egy egész számú lineáris programozási feladat megoldásának menetét mutatja fa formájában.

Egész számú lineáris programozási feladat megoldásának menete Gomory módszerrel.

Számos gyakorlati alkalmazásban nagy érdeklődésre tart számot egy olyan egészszámú programozási probléma, amelyben lineáris egyenlőtlenségek rendszere és lineáris alakja adott.

Az (1) rendszernek olyan egész megoldást kell találnia, amely minimalizálja az F célfüggvényt, és minden együttható egész szám.

Az egész számú programozási probléma megoldásának egyik módszerét Gomori javasolta. A módszer lényege a folyamatos lineáris programozási módszerek, különösen a szimplex módszer alkalmazása.

1) Simplex módszerrel meghatározzuk az (1), (2) feladat megoldását, amelynél megszűnik az egész megoldás követelménye; ha a megoldás egész számnak bizonyul, akkor az egész probléma kívánt megoldását is megtaláljuk;

2) Ellenkező esetben, ha valamely koordináta nem egész szám, a feladat eredményül kapott megoldását ellenőrzik egy egész megoldás létezésének lehetőségére (egész pontok jelenléte egy megengedett poliéderben):

ha bármely sorban egy tört szabad taggal az összes többi együttható egész számnak bizonyul, akkor a megengedett poliéderben nincsenek egész számok vagy pontok, és az egész programozási feladatnak nincs megoldása;

Ellenkező esetben egy további lineáris megszorítás kerül bevezetésre, amely levágja a megengedett poliéder egy részét, amely kilátástalan az egész programozási probléma megoldására;

3) További lineáris kényszer létrehozásához válassza ki az l-edik sort egy tört szabad taggal, és írja be a további megszorítást

ahol és rendre tört részei az együtthatók és szabad

tag. Vezessünk be egy segédváltozót a (3) kényszerbe:

Határozzuk meg a (4) kényszerben szereplő együtthatókat:

ahol és a legközelebbi egész számok alulról ill.

Gomori bebizonyította, hogy véges számú hasonló lépés egy lineáris programozási problémához vezet, amelynek megoldása egész szám, és így a kívánt.

Megoldás: Vigyük a lineáris kényszerrendszert és a célfüggvényt kanonikus formába:

Határozzuk meg a lineáris kényszerrendszer optimális megoldását, ideiglenesen elvetve az egész feltételt. Ehhez a szimplex módszert használjuk. Az alábbiakban a táblázatokban egymás után bemutatjuk a feladat eredeti megoldását, valamint megadjuk az eredeti táblázat transzformációit a probléma optimális megoldása érdekében:

Boolean LP feladatok megoldása Balázs módszerrel.

Hozzon létre saját verziót egy egész szám lineáris programozási feladathoz Boole-változókkal, az alábbi szabályok figyelembevételével: a feladat legalább 5 változót használ, legalább 4 megszorítást, a megszorítások együtthatói és a célfüggvény tetszőlegesen megválasztott, de pl. úgy, hogy a kényszerrendszer kompatibilis legyen. A feladat az LCLP Boole-változókkal történő megoldása Balazs algoritmussal, és a számítások bonyolultságának csökkenése a probléma megoldásához kapcsolódó kimerítő keresési módszerrel.

Korlátozások végrehajtása

F érték

Szűrési korlátozás:

Számítási erőfeszítés-csökkentés meghatározása

A probléma megoldása a kimerítő keresési módszerrel 6*25=192 számított kifejezés. A probléma megoldása a Balázs-módszerrel 3*6+(25-3)=47 számított kifejezés. A számítások összetettségének teljes csökkenése a probléma kimerítő keresési módszerrel történő megoldásához képest:

Következtetés

Az új információs technológiát megvalósító információs rendszerek tervezési folyamatát folyamatosan fejlesztik. A rendszermérnökök fókuszában egyre inkább az összetett rendszerek állnak, ami megnehezíti a fizikai modellek használatát, és növeli a matematikai modellek és a rendszerek gépi szimulációjának fontosságát. A gépi szimuláció a komplex rendszerek tanulmányozásának és tervezésének hatékony eszközévé vált. A matematikai modellek relevanciája folyamatosan növekszik rugalmasságuk, valós folyamatoknak való megfelelőségük és a modern PC-k alapján történő megvalósítás alacsony költsége miatt. Egyre több lehetőséget biztosítanak a felhasználónak, vagyis a számítógépes technológiát alkalmazó rendszerek modellezésének specialistájának. A modellezés alkalmazása különösen hatékony az automatizált rendszerek tervezésének korai szakaszában, amikor a hibás döntések költsége a legjelentősebb.

A modern számítástechnikai eszközök lehetővé tették a rendszerek tanulmányozása során használt modellek komplexitásának jelentős növelését, lehetővé vált olyan kombinált, elemző és szimulációs modellek felépítése, amelyek figyelembe veszik a valós rendszerekben előforduló tényezők sokféleségét, pl. , a vizsgált jelenségeknek megfelelőbb modellek alkalmazása.

Irodalom:

1. Lyascsenko I.N. Lineáris és nemlineáris programozás / I. N. Lyashchenko, E. A. Karagodova, N. V. Chernikova, N. Z. Shor. - K.: „Felsőiskola”, 1975, 372 p.

2. Útmutató az „Alkalmazott matematika” tantárgy kurzusprojektjének teljesítéséhez a „Számítógépes rendszerek és hálózatok” szakterület hallgatói számára nappali és részidős tanulmányi formák számára / Összeállította: I. A. Balakireva, A. V. Skatkov - Szevasztopol: SevNTU Kiadó , 2003. - 15 p.

3. Útmutató az „Alkalmazott matematika” diszciplína tanulmányozásához, „A globális keresés módszerei és az egydimenziós minimalizálás” fejezet / Összeállítás. A. V. Skatkov, I. A. Balakireva, L. A. Litvinova - Szevasztopol: SevGTU Kiadó, 2000. - 31. o.

4. Útmutató az „Alkalmazott matematika” tudományág tanulmányozásához a „Számítógépes rendszerek és hálózatok” szakterület hallgatói számára. „Egész lineáris programozási problémák megoldása” szakasz nappali és részmunkaidős oktatáshoz / Összeállította: I.A. Balakireva, A.V. Skatkov - Szevasztopol : SevNTU Kiadó, 2000. - 13 p.

5. Akulich I.L. Matematikai programozás példákban és feladatokban:

6. Tankönyv pótlék közgazdász hallgatók számára. szakember. egyetemek.-M.: Felső. iskola, 1986.- 319 p., ill.

7. Andronov S.A. Optimális tervezési módszerek: Előadások szövege / SPbSUAP. Szentpétervár, 2001. 169 p.: ill.

Hasonló dokumentumok

Algoritmus lineáris programozási feladatok megoldására szimplex módszerrel. Lineáris programozási probléma matematikai modelljének felépítése. Lineáris programozási feladat megoldása Excelben. Profit és optimális termelési terv megtalálása.

tanfolyami munka, hozzáadva 2012.03.21


Grafikus problémamegoldás. Matematikai modell készítése. A célfüggvény maximális értékének meghatározása. Megoldás szimplex módszerrel a kanonikus lineáris programozási probléma mesterséges alapjával. A megoldás optimálisságának ellenőrzése.

teszt, hozzáadva: 2016.04.05


A lineáris programozás elméleti alapjai. Lineáris programozási feladatok, megoldási módszerek. Az optimális megoldás elemzése. Egyindexes lineáris programozási feladat megoldása. Problémanyilatkozat és adatbevitel. Modellkészítés és megoldás szakaszai.

tanfolyami munka, hozzáadva 2008.12.09


Matematikai modell felépítése. Közvetlen lineáris programozási probléma megoldásának módszerének kiválasztása, indoklása és leírása szimplex módszerrel, szimplex táblázat felhasználásával. Kettős probléma megfogalmazása és megoldása. A modell érzékenységi elemzése.

tanfolyami munka, hozzáadva 2014.10.31


Matematikai modell felépítése a vállalat számára maximális profit elérése érdekében, a feladat grafikus megoldása. A probléma megoldása a SOLVER kiegészítő segítségével. Az erőforrás-tartalékok változásának elemzése. A célfüggvény együtthatóinak változtatási határainak meghatározása.

tanfolyami munka, hozzáadva 2014.12.17


Matematikai programozás. Lineáris programozás. Lineáris programozási problémák. Grafikus módszer lineáris programozási feladatok megoldására. A lineáris programozási probléma közgazdasági megfogalmazása. Matematikai modell felépítése.

tanfolyami munka, hozzáadva 2008.10.13


Lineáris programozási feladat megoldása grafikus módszerrel, ellenőrzése MS Excelben. Problémamegoldás belső szerkezetének elemzése programban. A termelési terv optimalizálása. A feladat megoldása szimplex módszerrel. Többcsatornás sorban állási rendszer.

teszt, hozzáadva 2012.02.05


Lineáris programozási feladat megoldása szimplex módszerrel: feladat megfogalmazása, közgazdasági és matematikai modell felépítése. A szállítási probléma megoldása potenciálok módszerével: a kiindulási referenciaterv elkészítése, optimális értékének meghatározása.

teszt, hozzáadva 2012.11.04


A nemlineáris programozási probléma megállapítása. Stacionárius pontok és típusuk meghatározása. Szintvonalak felépítése, a célfüggvény háromdimenziós grafikonja és a kényszerek. A feladat grafikus és analitikus megoldása. Felhasználói kézikönyv és algoritmus diagram.

tanfolyami munka, hozzáadva 2012.12.17


Lineáris programozási probléma megoldásának elemzése. Simplex módszer szimplex táblákat használva. LP problémák modellezése és megoldása számítógépen. A probléma optimális megoldásának közgazdasági értelmezése. A közlekedési probléma matematikai megfogalmazása.

Ha egy lineáris programozási feladatnak csak két változója van, akkor grafikusan megoldható.

Tekintsünk egy lineáris programozási problémát két változóval és :
(1.1) ;
(1.2)
Itt tetszőleges számok vannak. A feladat lehet a maximum (max) vagy a minimum (min) megtalálása. A korlátozási rendszer táblákat és táblákat egyaránt tartalmazhat.

A megvalósítható megoldások tartományának felépítése

Az (1) feladat grafikus megoldása a következő.
Először megrajzoljuk a koordinátatengelyeket és kiválasztjuk a léptéket. A kényszerrendszer (1.2) minden egyenlőtlensége meghatároz egy félsíkot, amelyet a megfelelő egyenes határol.

Tehát az első egyenlőtlenség
(1.2.1)
egy egyenes által határolt félsíkot határoz meg. Ennek az egyenesnek az egyik oldalán és a másik oldalán. A nagyon egyenes vonalon. Hogy megtudjuk, melyik oldalon áll fenn az (1.2.1) egyenlőtlenség, választunk egy tetszőleges pontot, amely nem fekszik az egyenesen. Ezután ennek a pontnak a koordinátáit behelyettesítjük (1.2.1) pontba. Ha az egyenlőtlenség fennáll, akkor a félsík tartalmazza a kiválasztott pontot. Ha az egyenlőtlenség nem áll fenn, akkor a félsík a másik oldalon helyezkedik el (nem tartalmazza a kiválasztott pontot). Árnyékolja azt a félsíkot, amelyre az (1.2.1) egyenlőtlenség érvényes.

Ugyanezt tesszük az (1.2) rendszer többi egyenlőtlenségére is. Így árnyékolt félsíkokat kapunk. A megvalósítható megoldások tartományának pontjai minden (1.2) egyenlőtlenséget kielégítenek. Ezért grafikusan a megvalósítható megoldások tartománya (ADA) az összes megszerkesztett félsík metszéspontja. Az ODR árnyékolása. Ez egy konvex sokszög, amelynek lapjai a megszerkesztett egyenesekhez tartoznak. Az ODF lehet egy korlátlan konvex alak, egy szegmens, egy sugár vagy egy egyenes.

Az is előfordulhat, hogy a félsíkok nem tartalmaznak közös pontokat. Ekkor a megvalósítható megoldások tartománya az üres halmaz. Ennek a problémának nincs megoldása.

A módszer egyszerűsíthető. Nem kell minden félsíkot árnyékolni, hanem először meg kell építeni az összes egyenest
(2)
Ezután válasszon ki egy tetszőleges pontot, amely nem tartozik ezen vonalak egyikéhez sem. Helyettesítsük be ennek a pontnak a koordinátáit az (1.2) egyenlőtlenségrendszerbe! Ha minden egyenlőtlenség teljesül, akkor a megvalósítható megoldások területét a megszerkesztett vonalak korlátozzák, és magában foglalja a kiválasztott pontot. A megengedett megoldások területét a vonalak határai mentén árnyékoljuk úgy, hogy az tartalmazza a kiválasztott pontot.

Ha legalább egy egyenlőtlenség nem teljesül, válasszon másik pontot. És így tovább, amíg meg nem találunk egy pontot, amelynek koordinátái kielégítik az (1.2) rendszert.

A célfüggvény szélsőértékének megtalálása

Tehát van egy árnyékolt terület a megvalósítható megoldásokról (ODD). A megszerkesztett egyenesekhez tartozó szakaszokból és sugarakból álló szaggatott vonal határolja (2). Az ODR mindig konvex halmaz. Lehet korlátos vagy korlátlan halmaz bizonyos irányok mentén.

Most megkereshetjük a célfüggvény extrémumát
(1.1) .

Ehhez válasszon egy tetszőleges számot, és építsen egy egyenest
(3) .
A további bemutatás megkönnyítése érdekében feltételezzük, hogy ez az egyenes áthalad az ODS-en. Ezen az egyenesen a célfüggvény állandó és egyenlő a -val. az ilyen egyenest a függvény szintvonalának nevezzük. Ez az egyenes a síkot két félsíkra osztja. Az egyik félsíkon
.
Egy másik félsíkon
.
Vagyis a (3) egyenes egyik oldalán a célfüggvény növekszik. És minél távolabb mozgatjuk a pontot az egyenestől (3), annál nagyobb lesz az érték. A (3) egyenes másik oldalán a célfüggvény csökken. És minél távolabb toljuk el a pontot az egyenestől (3) a másik oldalra, annál kisebb lesz az érték. Ha a (3) vonallal párhuzamos vonalat húzunk, akkor az új egyenes egyben a célfüggvény szintvonala is lesz, de más értékkel.

Így a célfüggvény maximális értékének megtalálásához a (3) egyenessel párhuzamos egyenest kell húzni, attól amennyire lehetséges a növekvő érték irányába, és áthaladva. az ODT legalább egy pontja. A célfüggvény minimális értékének meghatározásához a (3) egyenessel párhuzamos egyenest kell húzni, attól a lehető legtávolabb a csökkenő értékek irányában, és legalább egy ponton áthaladva. az ODT.

Ha az ODR korlátlan, akkor előfordulhat olyan eset, amikor egy ilyen közvetlen vonal nem húzható meg. Vagyis hiába távolítjuk el az egyenest a (3) szintvonaltól a növekedés (csökkenés) irányában, az egyenes mindig átmegy az ODR-en. Ebben az esetben tetszőlegesen nagy (kicsi) lehet. Ezért nincs maximális (minimális) érték. A problémának nincs megoldása.

Tekintsük azt az esetet, amikor a (3) alakú tetszőleges egyenessel párhuzamos szélső egyenes átmegy az ODR sokszög egyik csúcsán. A gráfból meghatározzuk ennek a csúcsnak a koordinátáit. Ezután a célfüggvény maximális (minimális) értékét a következő képlet határozza meg:
.
A probléma megoldása az
.

Előfordulhat olyan eset is, amikor az egyenes párhuzamos az ODR egyik lapjával. Ezután az egyenes áthalad az ODR sokszög két csúcsán. Meghatározzuk ezeknek a csúcsoknak a koordinátáit. A célfüggvény maximális (minimális) értékének meghatározásához használhatja az alábbi csúcsok bármelyikének koordinátáit:
.
A problémának végtelen sok megoldása van. A megoldás a pontok és a pontok közötti szakasz bármely pontja, beleértve a pontokat és magukat.

Példa lineáris programozási feladat megoldására grafikus módszerrel

A feladat

A cég két A és B modell ruháit gyárt. Háromféle szövetet használnak. Egy A modell ruha elkészítéséhez 2 m első típusú szövet, 1 m második típusú szövet és 2 m harmadik típusú szövet szükséges. Egy B modell ruha elkészítéséhez 3 m első típusú szövet, 1 m második típusú szövet, 2 m harmadik típusú szövet szükséges. Az első típusú szövet készlete 21 m, a második típusé 10 m, a harmadik típusé 16 m. Egy A típusú termék kibocsátása 400 den bevételt hoz. egységek, egy terméktípus B - 300 den. egységek

Készítsen termelési tervet, amely a legnagyobb bevételt biztosítja a vállalat számára. Oldja meg a problémát grafikusan.

Megoldás

Legyen a változók és jelölje a legyártott ruhák számát, A és B modelleket. Ekkor az első típusú elfogyasztott szövet mennyisége:
(m)
A második típusú szövet elfogyasztott mennyisége:
(m)
A harmadik típusú szövet elfogyasztott mennyisége:
(m)
Mivel a legyártott ruhák száma nem lehet negatív, ezért
És .
Az előállított ruhák bevétele:
(den. egység)

Ekkor a probléma közgazdasági-matematikai modelljének formája a következő:

Grafikusan oldjuk meg.
Megrajzoljuk a koordinátatengelyeket és.

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
Húzzon egyenes vonalat a (0; 7) és (10,5; 0) pontokon keresztül.

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
Húzzon egyenes vonalat a (0; 10) és (10; 0) pontokon keresztül.

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
Húzzon egyenes vonalat a (0; 8) és (8; 0) pontokon keresztül.

Árnyékoljuk a területet úgy, hogy a pont (2; 2) az árnyékolt részbe essen. Megkapjuk az OABC négyszöget.

(A1.1) .
Nál nél .
Nál nél .
Húzzon egyenes vonalat a (0; 4) és (3; 0) pontokon keresztül.

Megjegyezzük továbbá, hogy mivel a célfüggvény és a célfüggvény együtthatói pozitívak (400 és 300), így növekszik és növekszik. Az egyenessel (A1.1) párhuzamos egyenest húzunk, amennyire csak lehetséges, a növekedés irányába, és az OABC négyszög legalább egy pontján áthaladva. Egy ilyen egyenes áthalad a C ponton. A konstrukcióból meghatározzuk a koordinátáit.
.

A probléma megoldása: ;

Válasz

.
Vagyis a legnagyobb bevétel eléréséhez 8 darab A modell ruhát kell készíteni. A bevétel ebben az esetben 3200 den lesz. egységek

2. példa

A feladat

Oldjon meg egy lineáris programozási feladatot grafikusan.

Megoldás

Grafikusan oldjuk meg.
Megrajzoljuk a koordinátatengelyeket és.

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
Húzzon egyenes vonalat a (0; 6) és (6; 0) pontokon keresztül.

Egyenes vonalat építünk.
Innen.
Nál nél .
Nál nél .
Húzzon egyenes vonalat a (3; 0) és (7; 2) pontokon keresztül.

Egyenes vonalat építünk.
Egyenes vonalat építünk (abszcissza tengely).

A megengedett megoldások tartományát (ADA) a megszerkesztett egyenesek korlátozzák. Hogy megtudjuk, melyik oldalról nézzük meg, hogy a pont az ODT-hez tartozik, mivel kielégíti az egyenlőtlenségek rendszerét:

A megszerkesztett vonalak határai mentén árnyékoljuk a területet úgy, hogy a (4; 1) pont az árnyékolt részbe essen. Az ABC háromszöget kapjuk.

Megszerkesztjük a célfüggvény tetszőleges szintvonalát, pl.
.
Nál nél .
Nál nél .
A (0; 6) és (4; 0) pontokon keresztül egyenes szintvonalat húzunk.
Mivel a célfüggvény a és növelésével növekszik, a szintegyenessel párhuzamos és attól a lehető legtávolabbi egyenest húzzuk a növekedés irányába, és az ABC háromszög legalább egy pontján áthalad. Egy ilyen egyenes áthalad a C ponton. A konstrukcióból meghatározzuk a koordinátáit.
.

A probléma megoldása: ;

Válasz

Példa a megoldás hiányára

A feladat

Oldja meg grafikusan a lineáris programozás feladatát. Keresse meg a célfüggvény maximális és minimális értékét!

Megoldás

Grafikusan oldjuk meg a problémát.
Megrajzoljuk a koordinátatengelyeket és.

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
Húzzon egyenes vonalat a (0; 8) és (2,667; 0) pontokon keresztül.

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
Húzzon egyenes vonalat a (0; 3) és (6; 0) pontokon keresztül.

Egyenes vonalat építünk.
Nál nél .
Nál nél .
Húzzon egyenes vonalat a (3; 0) és (6; 3) pontokon keresztül.

Az egyenesek a koordinátatengelyek.

Az elfogadható megoldások (SDR) tartományát a megszerkesztett egyenesek és koordinátatengelyek korlátozzák. Hogy megtudjuk, melyik oldalról nézzük meg, hogy a pont az ODT-hez tartozik, mivel kielégíti az egyenlőtlenségek rendszerét:

Árnyékoljuk a területet úgy, hogy a pont (3; 3) az árnyékolt részbe essen. Kapunk egy határtalan területet, amelyet az ABCDE szaggatott vonal határol.

Megszerkesztjük a célfüggvény tetszőleges szintvonalát, pl.
(A3.1) .
Nál nél .
Nál nél .
Húzzon egyenes vonalat a (0; 7) és (7; 0) pontokon keresztül.
Mivel a és együtthatói pozitívak, az és növelésével növekszik.

A maximum meghatározásához párhuzamos vonalat kell húzni, amely a lehető legtávolabb van a növekedés irányában, és áthalad az ABCDE régió legalább egy pontján. Mivel azonban a terület nagy és értékei oldalán korlátlan, ilyen egyenes nem húzható. Nem számít, milyen vonalat húzunk, mindig lesznek a régióban olyan pontok, amelyek távolabb vannak a növekedés és a növekedés irányában. Ezért nincs maximum. tetszés szerinti nagyra készítheti.

A minimumot keressük. Az egyenessel párhuzamos (A3.1) egyenest húzunk, attól a lehető legtávolabb a csökkenés irányában, és az ABCDE régió legalább egy pontján áthaladva. Egy ilyen egyenes áthalad a C ponton. A konstrukcióból meghatározzuk a koordinátáit.
.
A célfüggvény minimális értéke:

Válasz

Nincs maximális érték.
Minimális érték
.