Háromszögek, szögek és oldalak típusai. A háromszög tulajdonságai

Ma a Geometria országába megyünk, ahol különböző típusú háromszögekkel ismerkedünk meg.

Tekintsük a geometriai alakzatokat, és keressük meg közöttük az „extrát” (1. ábra).

Rizs. 1. Illusztráció például

Látjuk, hogy az 1., 2., 3., 5. ábrák négyszögek. Mindegyiknek saját neve van (2. ábra).

Rizs. 2. Négyszögek

Ez azt jelenti, hogy az „extra” alak egy háromszög (3. ábra).

Rizs. 3. Illusztráció például

A háromszög olyan ábra, amely három olyan pontból áll, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen, és három szakaszból, amelyek páronként összekötik ezeket a pontokat.

A pontokat ún a háromszög csúcsai, szegmensek - az övé a felek. A háromszög oldalai kialakulnak A háromszög csúcsaiban három szög van.

A háromszög fő jellemzői a következők három oldal és három sarok. A szög nagysága szerint a háromszögek hegyes, négyszögletes és tompa alakú.

Egy háromszöget hegyesszögűnek nevezünk, ha mindhárom szöge hegyesszögű, azaz kisebb, mint 90° (4. ábra).

Rizs. 4. Hegyesszögű háromszög

Egy háromszöget téglalapnak nevezünk, ha az egyik szöge 90° (5. ábra).

Rizs. 5. Derékszögű háromszög

Egy háromszöget tompaszögnek nevezünk, ha az egyik szöge tompaszögű, azaz nagyobb, mint 90° (6. ábra).

Rizs. 6. Tompa háromszög

Az egyenlő oldalak száma alapján a háromszögek egyenlő oldalúak, egyenlő szárúak, léptékűek.

Egyenlőszárú háromszög az, amelynek két oldala egyenlő (7. ábra).

Rizs. 7. Egyenlőszárú háromszög

Ezeket az oldalakat ún oldalsó, harmadik oldal - alapján. Egy egyenlő szárú háromszögben az alapszögek egyenlőek.

Vannak egyenlő szárú háromszögek akut és tompa(8. ábra) .

Rizs. 8. Hegyes és tompa egyenlőszárú háromszögek

Egyenlő oldalú háromszög az, amelynek mindhárom oldala egyenlő (9. ábra).

Rizs. 9. Egyenlő oldalú háromszög

Egyenlő oldalú háromszögben minden szög egyenlő. Egyenlő oldalú háromszögek Mindig hegyesszögű.

A léptékű háromszög olyan, amelynek mindhárom oldala különböző hosszúságú (10. ábra).

Rizs. 10. Skála háromszög

Végezze el a feladatot. Osszuk három csoportba ezeket a háromszögeket (11. ábra).

Rizs. 11. A feladat illusztrációja

Először is osszuk el a szögek nagysága szerint.

Hegyes háromszögek: 1. sz., 3. sz.

Derékszögű háromszögek: 2. sz., 6. sz.

Tompa háromszögek: 4. sz., 5. sz.

Ugyanazokat a háromszögeket csoportokba osztjuk az egyenlő oldalak száma szerint.

Skála háromszögek: 4., 6. sz.

Egyenlőszárú háromszögek: 2., 3., 5. sz.

Egyenlő oldalú háromszög: 1. sz.

Nézd meg a képeket.

Gondolja át, hogy az egyes háromszögek melyik huzaldarabból készültek (12. ábra).

Rizs. 12. A feladat illusztrációja

Lehet így gondolkodni.

Az első drótdarabot három egyenlő részre osztjuk, így egyenlő oldalú háromszöget készíthetünk belőle. A képen harmadikként látható.

A második huzaldarab három különböző részre van osztva, így skálázható háromszög készíthető belőle. A képen először látható.

A harmadik huzaldarab három részre van osztva, ahol két rész azonos hosszúságú, ami azt jelenti, hogy egyenlő szárú háromszöget lehet belőle készíteni. A képen másodikként látható.

Ma az órán különböző típusú háromszögekről tanultunk.

Bibliográfia

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 1. rész - M.: „Felvilágosodás”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 2. rész. - M.: „Felvilágosodás”, 2012.
3. M.I. Moro. Matematika órák: Módszertani ajánlások tanároknak. 3. évfolyam. - M.: Oktatás, 2012.
4. Szabályozó dokumentum. A tanulási eredmények nyomon követése és értékelése. - M.: „Felvilágosodás”, 2011.
5. „Oroszország iskolája”: Programok az általános iskola számára. - M.: „Felvilágosodás”, 2011.
6. S.I. Volkova. Matematika: tesztfeladatok. 3. évfolyam. - M.: Oktatás, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Tesztek. - M.: „Vizsga”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Házi feladat

1. Egészítse ki a mondatokat!

a) A háromszög olyan alakzatból áll, amely ... nem egy egyenesen helyezkedik el, és ... amelyek ezeket a pontokat páronként összekötik.

b) A pontokat ún … , szegmensek - az övé … . A háromszög oldalai a háromszög csúcsaiban alakulnak ki ….

c) A szög nagysága szerint a háromszögek ... , ... , ... .

d) Az egyenlő oldalak száma alapján a háromszögek ... , ... , ... .

2. Rajzolj

a) derékszögű háromszög;

b) hegyesszögű háromszög;

c) tompa háromszög;

d) egyenlő oldalú háromszög;

e) skála háromszög;

e) egyenlő szárú háromszög.

3. Készítsen feladatot a lecke témájában barátainak.

A legegyszerűbb sokszög, amelyet az iskolában tanulmányoznak, egy háromszög. A tanulók számára érthetőbb, és kevesebb nehézségbe ütközik. Annak ellenére, hogy vannak különböző típusú háromszögek, amelyek különleges tulajdonságokkal rendelkeznek.

Milyen alakzatot nevezünk háromszögnek?

Három pont és szegmens alkotja. Az elsőket csúcsnak, a másodikat oldalnak nevezzük. Ezenkívül mindhárom szegmenst úgy kell összekötni, hogy szögek alakuljanak ki közöttük. Innen származik a „háromszög” alak neve.

Különbségek a nevek között a sarkokban

Mivel lehetnek hegyesek, tompaszögűek és egyenesek, a háromszögek típusát ezek a nevek határozzák meg. Ennek megfelelően az ilyen alakoknak három csoportja van.

• Első. Ha egy háromszög minden szöge hegyes, akkor hegyesnek nevezzük. Minden logikus.

• Második. Az egyik szög tompa, ami azt jelenti, hogy a háromszög tompa. Nem is lehetne egyszerűbb.

• Harmadik. Van egy 90 fokkal egyenlő szög, amit derékszögnek nevezünk. A háromszög téglalap alakú lesz.

Különbségek a nevek között az oldalakon

Az oldalak jellemzőitől függően a következő típusú háromszögeket különböztetjük meg:

az általános eset a scalene, amelyben minden oldal tetszőleges hosszúságú;

egyenlő szárúak, amelyeknek két oldala azonos számértékekkel rendelkezik;

egyenlő oldalú, minden oldalának hossza azonos.

Ha a probléma nem határoz meg egy adott típusú háromszöget, akkor tetszőleges háromszöget kell rajzolnia. Amelyben minden sarok éles, és az oldalak különböző hosszúságúak.

Minden háromszögben közös tulajdonságok

1. Ha összeadjuk a háromszög összes szögét, akkor 180º-nak megfelelő számot kapunk. És nem mindegy, hogy milyen típusú. Ez a szabály mindig érvényes.
2. A háromszög bármely oldalának számértéke kisebb, mint a másik kettőé összeadva. Ráadásul ez nagyobb, mint a különbségük.
3. Minden külső szögnek van egy értéke, amelyet két olyan belső szög hozzáadásával kapunk, amelyek nem szomszédosak. Sőt, mindig nagyobb, mint a vele szomszédos belső.
4. A legkisebb szög mindig a háromszög kisebbik oldalával szemben van. És fordítva, ha az oldal nagy, akkor a szög a legnagyobb.

Ezek a tulajdonságok mindig érvényesek, függetlenül attól, hogy milyen típusú háromszögeket veszünk figyelembe a feladatokban. A többi konkrét tulajdonságokból következik.

Egy egyenlő szárú háromszög tulajdonságai

• Az alappal szomszédos szögek egyenlőek.
• Az alaphoz húzott magasság egyben a medián és a felező.
• A háromszög oldalsó oldalaira épített magasságok, mediánok és felezők rendre megegyeznek egymással.

Az egyenlő oldalú háromszög tulajdonságai

Ha van ilyen ábra, akkor az összes fentebb leírt tulajdonság igaz lesz. Mert az egyenlő oldalú mindig egyenlő szárú lesz. De nem fordítva: egy egyenlő szárú háromszög nem feltétlenül egyenlő oldalú.

• Minden szöge egyenlő egymással, és értéke 60º.
• Egy egyenlő oldalú háromszög bármely mediánja a magassága és a felezőpontja. Ráadásul mind egyenlőek egymással. Értékük meghatározásához van egy képlet, amely az oldal és a 3 négyzetgyökének szorzatából áll, osztva 2-vel.

Derékszögű háromszög tulajdonságai

• Két hegyesszög összeadva 90º.
• A hypotenus hossza mindig nagyobb, mint bármelyik lábé.
• A hipotenuszhoz húzott medián számértéke egyenlő a felével.
• A láb azonos értékkel egyenlő, ha 30°-os szöggel szemben helyezkedik el.
• A 90º-os csúcsból húzott magasságnak van bizonyos matematikai függése a lábaktól: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Itt: a, b - lábak, n - magasság.

Problémák a különböző típusú háromszögekkel

1. sz. Adott egy egyenlő szárú háromszög. A kerülete ismert és egyenlő 90 cm. Meg kell találnunk az oldalait. Kiegészítő feltételként: az oldalsó oldal 1,2-szer kisebb, mint az alap.

A kerület értéke közvetlenül függ a keresendő mennyiségektől. Mindhárom oldal összege 90 cm. Most meg kell emlékezni a háromszög jelére, amely szerint egyenlő szárú. Vagyis a két oldal egyenlő. Létrehozhat egy egyenletet két ismeretlennel: 2a + b = 90. Itt a az oldal, b az alap.

Most itt az ideje egy további feltételnek. Ezt követően a második egyenletet kapjuk: b = 1,2a. Ezt a kifejezést helyettesítheti az elsővel. Kiderül: 2a + 1,2a = 90. Transzformációk után: 3,2a = 90. Innen a = 28,125 (cm). Most már könnyű kideríteni az alapot. Ezt a legjobb a második feltételből megtenni: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Az ellenőrzéshez három értéket adhat hozzá: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Úgy van.

Válasz: A háromszög oldalai 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

2. sz. Egy egyenlő oldalú háromszög oldala 12 cm, ki kell számítani a magasságát.

Megoldás. A válasz megtalálásához elég visszatérni ahhoz a pillanathoz, ahol a háromszög tulajdonságait leírták. Ez a képlet egy egyenlő oldalú háromszög magasságának, mediánjának és felezőjének meghatározásához.

n = a * √3 / 2, ahol n a magasság és a az oldal.

A behelyettesítés és a számítás a következő eredményt adja: n = 6 √3 (cm).

Ezt a képletet nem kell megjegyezni. Elég megjegyezni, hogy a magasság két téglalap alakúra osztja a háromszöget. Sőt, kiderül, hogy egy láb, és a benne lévő hipotenusz az eredeti oldala, a második láb az ismert oldal fele. Most le kell írnia a Pitagorasz-tételt, és le kell vezetnie a magasság képletét.

Válasz: magassága 6√3 cm.

3. sz. Adott MKR egy háromszög, amelyben a K szög 90 fokot tesz ki. Az MR és KR oldalak ismertek, ezek rendre 30, illetve 15 cm. Meg kell találnunk a P szög értékét.

Megoldás. Ha rajzot készít, világossá válik, hogy az MR a hipotenusz. Ráadásul kétszer akkora, mint a KR oldala. Ismét a tulajdonságokhoz kell fordulnia. Az egyik a szögekhez kapcsolódik. Ebből világosan látszik, hogy a KMR szög 30º. Ez azt jelenti, hogy a kívánt P szög 60° lesz. Ez egy másik tulajdonságból következik, amely szerint két hegyesszög összegének 90º-nak kell lennie.

Válasz: P szög 60º.

4. sz. Meg kell találnunk egy egyenlő szárú háromszög összes szögét. Ismeretes, hogy az alapnál bezárt külső szög 110º.

Megoldás. Mivel csak a külső szög van megadva, ezt kell használni. Kibontott szöget zár be a belsővel. Ez azt jelenti, hogy összesen 180º-t fognak adni. Ez azt jelenti, hogy a háromszög alapjának szöge 70º lesz. Mivel egyenlő szárú, a második szög is azonos értékű. A harmadik szög kiszámítása hátra van. Az összes háromszögre jellemző tulajdonság szerint a szögek összege 180º. Ez azt jelenti, hogy a harmadik 180º - 70º - 70º = 40º lesz.

Válasz: a szögek 70º, 70º, 40º.

5. sz. Ismeretes, hogy egy egyenlő szárú háromszögben az alappal átellenes szög 90º. Az alapon egy pont van bejelölve. A derékszöggel összekötő szakasz 1:4 arányban osztja fel. Meg kell találni a kisebb háromszög összes szögét.

Megoldás. Az egyik szög azonnal meghatározható. Mivel a háromszög derékszögű és egyenlő szárú, az alapjában fekvő háromszög mindegyike 45º, azaz 90º/2.

A második segít megtalálni a feltételben ismert összefüggést. Mivel egyenlő 1 és 4 között, a részek, amelyekre fel van osztva, csak 5. Ez azt jelenti, hogy egy háromszög kisebb szögének meghatározásához 90º/5 = 18º szükséges. A harmadikat ki kell deríteni. Ehhez le kell vonnia a 45º-ot és a 18º-ot a 180º-ból (a háromszög összes szögének összege). A számítások egyszerűek, és a következőt kapod: 117º.

Ma a Geometria országába megyünk, ahol különböző típusú háromszögekkel ismerkedünk meg.

Tekintsük a geometriai alakzatokat, és keressük meg közöttük az „extrát” (1. ábra).

Rizs. 1. Illusztráció például

Látjuk, hogy az 1., 2., 3., 5. ábrák négyszögek. Mindegyiknek saját neve van (2. ábra).

Rizs. 2. Négyszögek

Ez azt jelenti, hogy az „extra” alak egy háromszög (3. ábra).

Rizs. 3. Illusztráció például

A háromszög olyan ábra, amely három olyan pontból áll, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen, és három szakaszból, amelyek páronként összekötik ezeket a pontokat.

A pontokat ún a háromszög csúcsai, szegmensek - az övé a felek. A háromszög oldalai kialakulnak A háromszög csúcsaiban három szög van.

A háromszög fő jellemzői a következők három oldal és három sarok. A szög nagysága szerint a háromszögek hegyes, négyszögletes és tompa alakú.

Egy háromszöget hegyesszögűnek nevezünk, ha mindhárom szöge hegyesszögű, azaz kisebb, mint 90° (4. ábra).

Rizs. 4. Hegyesszögű háromszög

Egy háromszöget téglalapnak nevezünk, ha az egyik szöge 90° (5. ábra).

Rizs. 5. Derékszögű háromszög

Egy háromszöget tompaszögnek nevezünk, ha az egyik szöge tompaszögű, azaz nagyobb, mint 90° (6. ábra).

Rizs. 6. Tompa háromszög

Az egyenlő oldalak száma alapján a háromszögek egyenlő oldalúak, egyenlő szárúak, léptékűek.

Egyenlőszárú háromszög az, amelynek két oldala egyenlő (7. ábra).

Rizs. 7. Egyenlőszárú háromszög

Ezeket az oldalakat ún oldalsó, harmadik oldal - alapján. Egy egyenlő szárú háromszögben az alapszögek egyenlőek.

Vannak egyenlő szárú háromszögek akut és tompa(8. ábra) .

Rizs. 8. Hegyes és tompa egyenlőszárú háromszögek

Egyenlő oldalú háromszög az, amelynek mindhárom oldala egyenlő (9. ábra).

Rizs. 9. Egyenlő oldalú háromszög

Egyenlő oldalú háromszögben minden szög egyenlő. Egyenlő oldalú háromszögek Mindig hegyesszögű.

A léptékű háromszög olyan, amelynek mindhárom oldala különböző hosszúságú (10. ábra).

Rizs. 10. Skála háromszög

Végezze el a feladatot. Osszuk három csoportba ezeket a háromszögeket (11. ábra).

Rizs. 11. A feladat illusztrációja

Először is osszuk el a szögek nagysága szerint.

Hegyes háromszögek: 1. sz., 3. sz.

Derékszögű háromszögek: 2. sz., 6. sz.

Tompa háromszögek: 4. sz., 5. sz.

Ugyanazokat a háromszögeket csoportokba osztjuk az egyenlő oldalak száma szerint.

Skála háromszögek: 4., 6. sz.

Egyenlőszárú háromszögek: 2., 3., 5. sz.

Egyenlő oldalú háromszög: 1. sz.

Nézd meg a képeket.

Gondolja át, hogy az egyes háromszögek melyik huzaldarabból készültek (12. ábra).

Rizs. 12. A feladat illusztrációja

Lehet így gondolkodni.

Az első drótdarabot három egyenlő részre osztjuk, így egyenlő oldalú háromszöget készíthetünk belőle. A képen harmadikként látható.

A második huzaldarab három különböző részre van osztva, így skálázható háromszög készíthető belőle. A képen először látható.

A harmadik huzaldarab három részre van osztva, ahol két rész azonos hosszúságú, ami azt jelenti, hogy egyenlő szárú háromszöget lehet belőle készíteni. A képen másodikként látható.

Ma az órán különböző típusú háromszögekről tanultunk.

Bibliográfia

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 1. rész - M.: „Felvilágosodás”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova és mások Matematika: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 2. rész. - M.: „Felvilágosodás”, 2012.
3. M.I. Moro. Matematika órák: Módszertani ajánlások tanároknak. 3. évfolyam. - M.: Oktatás, 2012.
4. Szabályozó dokumentum. A tanulási eredmények nyomon követése és értékelése. - M.: „Felvilágosodás”, 2011.
5. „Oroszország iskolája”: Programok az általános iskola számára. - M.: „Felvilágosodás”, 2011.
6. S.I. Volkova. Matematika: tesztfeladatok. 3. évfolyam. - M.: Oktatás, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Tesztek. - M.: „Vizsga”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Házi feladat

1. Egészítse ki a mondatokat!

a) A háromszög olyan alakzatból áll, amely ... nem egy egyenesen helyezkedik el, és ... amelyek ezeket a pontokat páronként összekötik.

b) A pontokat ún … , szegmensek - az övé … . A háromszög oldalai a háromszög csúcsaiban alakulnak ki ….

c) A szög nagysága szerint a háromszögek ... , ... , ... .

d) Az egyenlő oldalak száma alapján a háromszögek ... , ... , ... .

2. Rajzolj

a) derékszögű háromszög;

b) hegyesszögű háromszög;

c) tompa háromszög;

d) egyenlő oldalú háromszög;

e) skála háromszög;

e) egyenlő szárú háromszög.

3. Készítsen feladatot a lecke témájában barátainak.

Szabványos megnevezések

Háromszög csúcsokkal A, BÉs C jelzésű (lásd az ábrát). A háromszögnek három oldala van:

A háromszög oldalainak hosszát kis latin betűk (a, b, c) jelölik:

Egy háromszögnek a következő szögei vannak:

A megfelelő csúcsok szögértékeit hagyományosan görög betűkkel (α, β, γ) jelölik.

A háromszögek egyenlőségének jelei

Egy háromszög az euklideszi síkon egyedileg (kongruenciáig) határozható meg az alábbi alapelemhármasokkal:

1. a, b, γ (két oldal egyenlősége és a közöttük lévő szög);
2. a, β, γ (egyenlőség az oldalon és két szomszédos szög);
3. a, b, c (három oldal egyenlősége).

A derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei:

1. a láb és a hypotenus mentén;
2. két lábon;
3. a láb és a hegyesszög mentén;
4. a hypotenusa és a hegyesszög mentén.

A háromszög egyes pontjai „párosítva” vannak. Például van két olyan pont, ahonnan minden oldal 60°-os vagy 120°-os szögben látható. Úgy hívják Torricelli pöttyök. Két olyan pont is van, amelyek oldalaira vetületei egy szabályos háromszög csúcsaiban vannak. ez - Apollonius rámutat. Pontokat és hasonlókat hívnak Brocard pontok.

Közvetlen

Bármely háromszögben a súlypont, az ortocentrum és a körülírt kör középpontja ugyanazon az egyenesen fekszik, ún. Euler vonala.

A körülírt kör középpontján és a Lemoine-ponton áthaladó egyenest nevezzük Brocard tengely. Az Apollonius-pontok ráfekszenek. A Torricelli pont és a Lemoine pont is ugyanazon az egyenesen fekszik. A háromszög szögeinek külső felezőinek alapjai ugyanazon az egyenesen fekszenek, ún külső felezők tengelye. Az derékszögű háromszög oldalait tartalmazó egyenesek és a háromszög oldalait tartalmazó egyenesek metszéspontjai szintén ugyanazon az egyenesen fekszenek. Ezt a vonalat hívják ortocentrikus tengely, merőleges az Euler egyenesre.

Ha egy háromszög körülírt körén veszünk egy pontot, akkor a háromszög oldalaira eső vetületei ugyanazon az egyenesen lesznek, ún. Simson egyenes ez a pont. A Simson-féle átlósan ellentétes pontokból álló egyenesek merőlegesek.

Háromszögek

• Olyan háromszöget nevezünk, amelynek csúcsai egy adott ponton keresztül vannak húzva cevian háromszög ez a pont.
• Olyan háromszöget nevezünk, amelynek csúcsai egy adott pont vetületei az oldalakra gyep vagy pedál háromszög ez a pont.
• Az a háromszög, amelynek csúcsai a csúcsokon át húzott egyenesek második metszéspontjában és a körülírt körrel adott pontban vannak, ún. kerületi háromszög. A kerületi háromszög hasonló a gyep háromszögéhez.

Körök

• Beírt kör- egy kör, amely a háromszög mindhárom oldalát érinti. Ő az egyetlen. A beírt kör középpontját ún incenter.
• Circumcircle- a háromszög mindhárom csúcsán áthaladó kör. A körülírt kör is egyedi.
• Kerülje el- a háromszög egyik oldalát érintő kör és a másik két oldal folytatása. Három ilyen kör van egy háromszögben. Radikális középpontjuk a mediális háromszög beírt körének középpontja, ún Spiker álláspontja.

A háromszög három oldalának felezőpontjai, három magasságának alapjai és a csúcsát az ortocentrummal összekötő három szakasz felezőpontjai egy körön vannak, az ún. kilenc pontból álló kör vagy Euler kör. A kilencpontos kör középpontja az Euler-egyenesen fekszik. Egy kilenc pontból álló kör érint egy beírt kört és három kört. A beírt kör és a kilenc pontból álló kör közötti érintési pontot nevezzük Feuerbach pont. Ha minden csúcsból a háromszögből kifelé fektetjük az oldalakat tartalmazó egyeneseket, a szemközti oldalakkal egyenlő hosszúságú ortéziseket, akkor a kapott hat pont ugyanazon a körön található - Conway kör. Bármely háromszögbe három kör írható úgy, hogy mindegyik érinti a háromszög két oldalát és két másik kört. Az ilyen köröket hívják Malfatti körök. A hat háromszög körülírt köreinek középpontjai, amelyekre a háromszöget mediánok osztják, egy körön helyezkednek el, amelyet ún. Lamun kerülete.

Egy háromszögnek három köre van, amelyek érintik a háromszög és a körülírt kör két oldalát. Az ilyen köröket hívják félig feliratos vagy Verrier körök. A Verrier-körök érintési pontjait a körülírt körrel összekötő szakaszok egy pontban metszik egymást, ún. Verrier álláspontja. Egy homotétium középpontjaként szolgál, amely a körülírt kört írt körré alakítja. A Verrier-körök és az oldalak érintkezési pontjai egy egyenesen fekszenek, amely átmegy a beírt kör középpontján.

A beírt kör érintési pontjait a csúcsokkal összekötő szakaszok egy pontban metszik egymást, ún. Gergonne pont, és a csúcsokat a körkörök érintési pontjaival összekötő szakaszok Nagel pont.

Ellipszisek, parabolák és hiperbolák

Beírt kúp (ellipszis) és annak perspektívája

Egy háromszögbe végtelen számú kúp (ellipszis, parabola vagy hiperbola) írható. Ha beírunk egy tetszőleges kúpot egy háromszögbe, és az érintőpontokat összekötjük egymással szemközti csúcsokkal, akkor az így kapott egyenesek egy pontban metszik egymást, ún. kilátás priccs. A sík bármely olyan pontjához, amely nem fekszik az oldalán vagy annak meghosszabbításán, ezen a ponton van egy beírt kúp és egy perspector.

A leírt Steiner-ellipszis és a gócokon áthaladó cevók

Egy ellipszist beleírhat egy háromszögbe, amely középen érinti az oldalakat. Az ilyen ellipszist nevezzük feliratú Steiner-ellipszis(perspektívája a háromszög súlypontja lesz). A körülírt ellipszist, amely az oldalakkal párhuzamos csúcsokon áthaladó egyeneseket érinti, ún. a Steiner-ellipszis írja le. Ha egy háromszöget affin transzformációval („ferdítéssel”) szabályos háromszöggé alakítunk, akkor a beírt és körülírt Steiner-ellipszis beírt és körülírt körré alakul. A leírt Steiner-ellipszis fókuszpontjain (Scutin-pontok) keresztül húzott Chevian-vonalak egyenlőek (Scutin-tétel). Az összes leírt ellipszis közül a leírt Steiner ellipszis területe a legkisebb, és az összes feliratos ellipszis közül a beírt Steiner ellipszis területe a legnagyobb.

Brocard ellipszis és vizsgálója - Lemoine pont

Olyan ellipszist nevezünk, amelynek fókuszai a Brocard-pontokban vannak Brocard ellipszis. Perspektívája a Lemoine-pont.

A beírt parabola tulajdonságai

Kiepert parabola

A beírt parabolák kilátásai a leírt Steiner-ellipszisen vannak. Egy beírt parabola fókusza a körülírt körön van, és a direktrix áthalad az ortocentrumban. Egy háromszögbe írt parabolát, amelynek az Euler-irányelve az ún. Kiepert parabola. Perspektívája a körülírt kör és a körülírt Steiner-ellipszis negyedik metszéspontja, ún. Steiner pont.

Kiepert hiperbolája

Ha a leírt hiperbola átmegy a magasságok metszéspontján, akkor egyenlő oldalú (azaz aszimptotái merőlegesek). Egy egyenlő oldalú hiperbola aszimptotáinak metszéspontja a kilenc pontból álló körön található.

Átváltozások

Ha a csúcsokon és az oldalakon nem fekvő pontokon átmenő egyenesek és azok kiterjesztései a megfelelő felezőkhöz képest tükröződnek, akkor a képeik is egy pontban metszik egymást, amit ún. izogonálisan konjugált az eredeti (ha a pont a körülírt körön feküdt, akkor a kapott egyenesek párhuzamosak lesznek). Számos figyelemreméltó pontpár izogonálisan konjugált: a körülírt középpont és az ortocentrum, a centroid és a Lemoine-pont, a Brocard-pontok. Az Apollonius-pontok izogonálisan konjugáltak a Torricelli-pontokhoz, és a beírt kör középpontja izogonálisan konjugált önmagához. Az izogonális ragozás hatására az egyenesek körülírt kúpokká alakulnak, a körülírt kúpok pedig egyenesekké. Így a Kiepert-hiperbola és a Brocard-tengely, a Jenzabek-hiperbola és az Euler-egyenes, a Feuerbach-hiperbola és a beírt és körülírt körök középvonala izogonálisan konjugált. Az izogonálisan konjugált pontok háromszögeinek körülírt körei egybeesnek. A beírt ellipszisek gócai izogonálisan konjugáltak.

Ha szimmetrikus cevian helyett olyan cevian-t veszünk, amelynek alapja olyan távol van az oldal közepétől, mint az eredetié, akkor az ilyen cevianok is egy ponton metszik egymást. A kapott transzformációt ún izotómiás konjugáció. Az egyeneseket is leírt kúpokká alakítja. A Gergonne és Nagel pontok izotómiailag konjugáltak. Az affin transzformációk során az izotómiailag konjugált pontok izotómiailag konjugált pontokká alakulnak. Izotómiás konjugációval a leírt Steiner-ellipszis a végtelenül távoli egyenesbe megy.

Ha a háromszög oldalai által a körülírt körből levágott szakaszokba egy adott ponton keresztül húzott cevák tövében az oldalakat érintő köröket írunk, majd ezeknek a köröknek az érintőpontjait összekötjük az ellentétes csúcsú körülírt körrel, akkor az ilyen egyenesek egy pontban metszik egymást. Olyan síktranszformációt hívunk, amely az eredeti pontot illeszti a kapott ponthoz izocirkuláris átalakulás. Az izogonális és izotómikus konjugátumok összetétele egy önmagával való izocirkuláris átalakulás összetétele. Ez a kompozíció egy projektív transzformáció, amely a háromszög oldalait a helyükön hagyja, és a külső felezők tengelyét a végtelenben egyenessé alakítja.

Ha egy bizonyos pont Chevian-háromszögének oldalait folytatjuk, és azok metszéspontjait a megfelelő oldalakkal vesszük, akkor a kapott metszéspontok egy egyenesen fognak feküdni, ún. trilineáris poláris kiindulópont. Az ortocentrikus tengely az ortocentrum trilineáris polárisa; a beírt kör középpontjának trilineáris polárisa a külső felezők tengelye. A körülírt kúpon fekvő pontok háromvonalas polárisai egy pontban metszik egymást (a körülírt körnél ez a Lemoine-pont, egy körülírt Steiner-ellipszisnél a súlypont). Egy izogonális (vagy izotómikus) konjugátum és egy trilineáris poláris összetétele dualitás-transzformáció (ha egy pont izogonálisan (izotómiailag) konjugált egy ponthoz egy pont trilineáris polárisán fekszik, akkor egy pont trilineáris polárisa izogonálisan (izotómiailag) ponthoz konjugálva egy pont trilineáris polárisán fekszik).

Kocka

Arányok háromszögben

Jegyzet: ebben a szakaszban, , a hossza a három oldala a háromszög, és , a szögek fekvő rendre szemben ezzel a három oldallal (ellentétes szögek).

Háromszög egyenlőtlenség

Egy nem degenerált háromszögben a két oldala hosszának összege nagyobb, mint a harmadik oldal hossza, egy degenerált háromszögben egyenlő. Más szavakkal, a háromszög oldalainak hossza a következő egyenlőtlenségekkel függ össze:

A háromszög egyenlőtlenség a metrikák egyik axiómája.

Háromszög szögösszeg tétel

Szinusztétel

,

ahol R a háromszög köré körülírt kör sugara. A tételből az következik, hogy ha a< b < c, то α < β < γ.

Koszinusz tétel

Érintőtétel

Egyéb arányok

A metrikus arányok egy háromszögben a következők:

Háromszögek megoldása

A háromszög ismeretlen oldalainak és szögeinek az ismert oldalak alapján történő kiszámítását a történelemben „megoldó háromszögeknek” nevezték. A fenti általános trigonometrikus tételeket használjuk.

Egy háromszög területe

Különleges esetek Jelölés

A területre a következő egyenlőtlenségek érvényesek:

Egy háromszög térbeli területének kiszámítása vektorok segítségével

Legyenek a háromszög csúcsai a , , pontokban.

Vezessük be a területvektort. Ennek a vektornak a hossza megegyezik a háromszög területével, és a háromszög síkjára merőlegesen irányul:

Állítsuk be , ahol , , a háromszög vetületei a koordinátasíkra. Ahol

és hasonlóan

A háromszög területe .

Egy másik lehetőség az oldalak hosszának kiszámítása (a Pitagorasz-tétel segítségével), majd a Heron-képlet segítségével.

Háromszög tételek

Desargues tétele: ha két háromszög perspektivikus (a háromszögek megfelelő csúcsain átmenő egyenesek egy pontban metszik egymást), akkor a megfelelő oldalaik ugyanazon az egyenesen metszik egymást.

Sonda tétele: ha két háromszög perspektivikus és ortológ (egy háromszög csúcsaiból a háromszög megfelelő csúcsaival szemközti oldalra húzott merőlegesek, és fordítva), akkor mindkét ortológia középpontja (e merőlegesek metszéspontja) és a középpont A perspektíva ugyanazon az egyenesen fekszik, merőleges a perspektíva tengelyére (egyenes Desargues tételéből).