Gauss-féle fordított módszer. Gauss-módszer (az ismeretlenek egymást követő kizárása)

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel. Tegyük fel, hogy megoldást kell találnunk a rendszerre n lineáris egyenletek -val n ismeretlen változók
amelynek főmátrixának determinánsa nullától eltérő.

A Gauss-módszer lényege ismeretlen változók szekvenciális kiiktatásából áll: először kiküszöböljük x 1 a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve, tovább van kizárva x 2 minden egyenletből, kezdve a harmadikkal, és így tovább, amíg csak az ismeretlen változó marad az utolsó egyenletben x n. A rendszer egyenleteinek egy ilyen transzformációját az ismeretlen változók egymás utáni kiküszöbölésére az ún. közvetlen Gauss-módszer. A Gauss-módszer előrelépésének befejezése után az utolsó egyenletből találjuk x n, ezt az értéket felhasználva az utolsó előtti egyenletből számítjuk ki xn-1, és így tovább, az első talált egyenletből x 1. Az ismeretlen változók kiszámításának folyamatát, amikor a rendszer utolsó egyenletéből az első egyenletbe lépünk, az ún. a Gauss-módszer inverze.

Röviden írjuk le az ismeretlen változók kiküszöbölésére szolgáló algoritmust.

Feltételezzük, hogy , mivel ezt mindig elérhetjük a rendszer egyenleteinek átrendezésével. Távolítsa el az ismeretlen változót x 1 a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve. Ehhez adja hozzá az első egyenletet szorozva a rendszer második egyenletéhez, adja hozzá az első szorzatot a harmadik egyenlethez, és így tovább, nth az egyenlethez hozzáadjuk az elsőt, megszorozva -val. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol és .

Ugyanerre az eredményre jutnánk, ha kifejeznénk x 1 a rendszer első egyenletében szereplő egyéb ismeretlen változókon keresztül, és az így kapott kifejezést behelyettesítettük az összes többi egyenletbe. Tehát a változó x 1 minden egyenletből kizárva, a másodiktól kezdve.

Ezután hasonlóan járunk el, de csak a kapott rendszer egy részével, amelyet az ábrán jelölünk

Ehhez adja hozzá a másodikat szorozva a rendszer harmadik egyenletéhez, a másodikat szorozva adja hozzá a negyedik egyenlethez, és így tovább, nth az egyenlethez hozzáadjuk a másodikat, megszorozva -val. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol és . Tehát a változó x 2 a harmadiktól kezdve minden egyenletből kizárva.

Ezután folytatjuk az ismeretlen kiküszöbölését x 3, ebben az esetben is hasonlóan járunk el az ábrán jelölt rendszerrésszel

Tehát folytatjuk a Gauss-módszer közvetlen haladását, amíg a rendszer fel nem veszi a formát

Ettől a pillanattól kezdve a Gauss-módszer fordítottját kezdjük: számolunk x n az utolsó as egyenletből a kapott érték felhasználásával x n találunk xn-1 az utolsó előtti egyenletből és így tovább, azt találjuk x 1 az első egyenletből.

Példa.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss módszer.

A 16-18. század eleje óta a matematikusok intenzíven elkezdték tanulmányozni a függvényeket, aminek köszönhetően életünkben annyi minden megváltozott. A számítástechnika egyszerűen nem létezne e tudás nélkül. Különféle fogalmakat, tételeket és megoldási technikákat hoztak létre összetett problémák, lineáris egyenletek és függvények megoldására. A lineáris egyenletek és rendszereik megoldásának egyik ilyen univerzális és racionális módszere és technikája a Gauss-módszer volt. Mátrixok, rangjuk, determináns - mindent ki lehet számítani bonyolult műveletek használata nélkül.

Mi az a SLAU

A matematikában létezik az SLAE fogalma - lineáris algebrai egyenletrendszer. Írd őt körül? Ez egy m egyenlet halmaza a szükséges n ismeretlen mennyiséggel, amelyeket általában x, y, z vagy x 1, x 2 ... x n vagy más szimbólumokként jelölnek. Egy adott rendszer Gauss-módszerrel történő megoldása az összes ismeretlen ismeretlen megtalálását jelenti. Ha egy rendszerben ugyanannyi ismeretlen és egyenlet van, akkor n-edrendű rendszernek nevezzük.

A legnépszerűbb módszerek az SLAE megoldására

A középfokú oktatási intézményekben különféle módszereket tanulmányoznak az ilyen rendszerek megoldására. Leggyakrabban ezek egyszerű egyenletek, amelyek két ismeretlenből állnak, így a válasz megtalálása nem sok időt vesz igénybe. Ez olyan lehet, mint egy helyettesítési módszer, amikor az egyik egyenletből egy másikat származtatunk, és behelyettesítünk az eredetibe. Vagy a tagonkénti kivonás és összeadás módszere. De a Gauss-módszert a legegyszerűbbnek és leguniverzálisabbnak tekintik. Lehetővé teszi egyenletek megoldását tetszőleges számú ismeretlennel. Miért tekinthető racionálisnak ez a konkrét technika? Ez egyszerű. A mátrix módszerben az a jó, hogy nem kell többször átírni a felesleges szimbólumokat ismeretlenekké, elég az együtthatókon aritmetikai műveleteket végrehajtani - és megbízható eredményt kapunk.

Hol használják az SLAE-ket a gyakorlatban?

Az SLAE megoldása a függvények grafikonjain lévő egyenesek metszéspontjai. Csúcstechnológiás számítógépes korunkban azoknak az embereknek, akik szorosan részt vesznek a játékok és egyéb programok fejlesztésében, tudniuk kell, hogyan oldják meg az ilyen rendszereket, mit képviselnek és hogyan ellenőrizzék a kapott eredmény helyességét. Leggyakrabban a programozók speciális lineáris algebra-számítógépeket fejlesztenek ki, amelyek egy lineáris egyenletrendszert tartalmaznak. A Gauss-módszer lehetővé teszi az összes létező megoldás kiszámítását. Más egyszerűsített képleteket és technikákat is alkalmaznak.

SLAU kompatibilitási kritérium

Egy ilyen rendszer csak akkor oldható meg, ha kompatibilis. Az érthetőség kedvéért ábrázoljuk az SLAE-t Ax=b formában. Van megoldása, ha rang(A) egyenlő rang(A,b). Ebben az esetben (A,b) egy kiterjesztett alakmátrix, amelyet az A mátrixból szabad tagokkal átírva kaphatunk. Kiderült, hogy a lineáris egyenletek megoldása a Gauss-módszerrel meglehetősen egyszerű.

Talán néhány jelölés nem teljesen világos, ezért mindent egy példával kell megvizsgálni. Tegyük fel, hogy van egy rendszer: x+y=1; 2x-3y=6. Csak két egyenletből áll, amelyekben 2 ismeretlen van. A rendszernek csak akkor lesz megoldása, ha mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával. Mi az a rang? Ez a rendszer független vonalainak száma. Esetünkben a mátrix rangja 2. Az A mátrix az ismeretlenek közelében elhelyezkedő együtthatókból áll majd, és a „=” jel mögött elhelyezkedő együtthatók is beleférnek a kiterjesztett mátrixba.

Miért ábrázolhatók az SLAE-k mátrix formában?

A bizonyított Kronecker-Capelli-tétel szerinti kompatibilitási kritérium alapján egy lineáris algebrai egyenletrendszer ábrázolható mátrix formában. A Gauss-kaszkád módszerrel megoldhatja a mátrixot, és egyetlen megbízható választ kaphat az egész rendszerre. Ha egy közönséges mátrix rangja egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, de kisebb, mint az ismeretlenek száma, akkor a rendszernek végtelen számú válasza van.

Mátrix transzformációk

Mielőtt rátérne a mátrixok megoldására, tudnia kell, milyen műveleteket lehet végrehajtani az elemeiken. Számos elemi átalakítás létezik:

• A rendszer mátrix formájú átírásával és megoldásával a sorozat összes elemét meg lehet szorozni ugyanazzal az együtthatóval.
• A mátrix kanonikus formájúvá alakításához két párhuzamos sort felcserélhet. A kanonikus forma azt jelenti, hogy minden mátrixelem, amely a főátló mentén helyezkedik el, egyes lesz, a fennmaradó elemek pedig nullák.
• A mátrix párhuzamos sorainak megfelelő elemei egymáshoz adhatók.

Jordan-Gauss módszer

A lineáris homogén és inhomogén egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldásának lényege az ismeretlenek fokozatos kiküszöbölése. Tegyük fel, hogy van egy két egyenletrendszerünk, amelyben két ismeretlen van. Ezek megtalálásához ellenőriznie kell a rendszer kompatibilitását. Az egyenletet a Gauss-módszer nagyon egyszerűen megoldja. Fel kell írni az egyes ismeretlenek közelében elhelyezkedő együtthatókat mátrix formában. A rendszer megoldásához ki kell írni a kiterjesztett mátrixot. Ha valamelyik egyenlet kevesebb ismeretlent tartalmaz, akkor a hiányzó elem helyére „0”-t kell tenni. A mátrixra minden ismert transzformációs módszert alkalmazunk: szorzást, osztást számmal, a sorozat megfelelő elemeinek összeadását és egyebeket. Kiderül, hogy minden sorban meg kell hagyni egy változót „1” értékkel, a többit nullára kell csökkenteni. A pontosabb megértés érdekében érdemes a Gauss-módszert példákkal átgondolni.

Egy egyszerű példa a 2x2 rendszer megoldására

Kezdésként vegyünk egy egyszerű algebrai egyenletrendszert, amelyben 2 ismeretlen lesz.

Írjuk át egy kiterjesztett mátrixba.

Ennek a lineáris egyenletrendszernek a megoldásához mindössze két műveletre van szükség. A mátrixot kanonikus formára kell hoznunk, hogy a főátló mentén legyenek olyanok. Így a mátrixformából visszalépve a rendszerbe a következő egyenleteket kapjuk: 1x+0y=b1 és 0x+1y=b2, ahol b1 és b2 a kapott válasz a megoldási folyamatban.

1. A kiterjesztett mátrix megoldásának első lépése a következő lesz: az első sort meg kell szorozni -7-tel, és hozzá kell adni a megfelelő elemeket a második sorhoz, hogy megszabaduljunk egy ismeretlentől a második egyenletben.
2. Mivel az egyenletek Gauss-módszerrel történő megoldása magában foglalja a mátrix kanonikus formára való redukálását, ezért ugyanazokat a műveleteket kell végrehajtani az első egyenlettel, és el kell távolítani a második változót. Ehhez kivonjuk a második sort az elsőből, és megkapjuk a szükséges választ - az SLAE megoldását. Vagy az ábrán látható módon a második sort megszorozzuk -1-gyel, és a második sor elemeit hozzáadjuk az első sorhoz. Ez ugyanaz.

Mint látjuk, rendszerünket a Jordan-Gauss módszerrel oldottuk meg. Átírjuk a kívánt formában: x=-5, y=7.

Példa egy 3x3-as SLAE megoldásra

Tegyük fel, hogy van egy bonyolultabb lineáris egyenletrendszerünk. A Gauss-módszer lehetővé teszi a válasz kiszámítását még a legzavarosabbnak tűnő rendszerre is. Ezért a számítási módszertanba való mélyebb elmélyülés érdekében áttérhetünk egy összetettebb példára, három ismeretlennel.

Az előző példához hasonlóan átírjuk a rendszert egy kiterjesztett mátrix formájában, és elkezdjük a kanonikus formába hozni.

A rendszer megoldásához sokkal több műveletet kell végrehajtania, mint az előző példában.

1. Először az első oszlopban egyetlen elemet kell beállítani, a többi nullát. Ehhez szorozza meg az első egyenletet -1-gyel, és adja hozzá a második egyenletet. Fontos megjegyezni, hogy az első sort az eredeti formájában írjuk át, a másodikat pedig már módosított formában.
2. Ezután eltávolítjuk ugyanezt az első ismeretlent a harmadik egyenletből. Ehhez szorozza meg az első sor elemeit -2-vel, és adja hozzá a harmadik sorhoz. Most az első és a második sor át van írva eredeti formájában, a harmadik pedig már változtatásokkal. Amint az eredményből látható, az elsőt a mátrix főátlójának elején kaptuk, a többi pedig nulla. Még néhány művelet, és a Gauss-módszerrel készült egyenletrendszer megbízhatóan megoldódik.
3. Most műveleteket kell végrehajtania a sorok többi elemén. A harmadik és a negyedik művelet egybe kombinálható. A második és harmadik sort el kell osztanunk -1-gyel, hogy megszabaduljunk az átlón lévő negatívoktól. A harmadik sort már a szükséges formára hoztuk.
4. Ezután a második sort kanonikus formára hozzuk. Ehhez a harmadik sor elemeit megszorozzuk -3-mal, és hozzáadjuk a mátrix második sorához. Az eredményből jól látható, hogy a második sor is a szükséges formára redukálódik. Még néhány műveletet kell végrehajtani, és eltávolítani az ismeretlenek együtthatóit az első sorból.
5. Ahhoz, hogy egy sor második eleméből 0 legyen, meg kell szoroznia a harmadik sort -3-mal, és hozzá kell adnia az első sorhoz.
6. A következő döntő lépés a második sor szükséges elemeinek hozzáadása az első sorhoz. Így megkapjuk a mátrix kanonikus formáját, és ennek megfelelően a választ.

Mint látható, az egyenletek Gauss-módszerrel történő megoldása meglehetősen egyszerű.

Példa egy 4x4-es egyenletrendszer megoldására

Néhány bonyolultabb egyenletrendszer a Gauss-módszerrel is megoldható számítógépes programok segítségével. Az ismeretlenek együtthatóit be kell írni a meglévő üres cellákba, és maga a program lépésről lépésre kiszámítja a kívánt eredményt, részletesen leírva az egyes műveleteket.

Az alábbiakban egy ilyen példa megoldására vonatkozó lépésről lépésre ismertetjük.

Első lépésben az üres cellákba beírjuk az ismeretlenekhez tartozó szabad együtthatókat és számokat. Így ugyanazt a kiterjesztett mátrixot kapjuk, amelyet kézzel írunk.

És minden szükséges aritmetikai művelet végrehajtásra kerül, hogy a kiterjesztett mátrixot a kanonikus formájába hozza. Meg kell értenünk, hogy az egyenletrendszerre adott válasz nem mindig egész szám. Néha a megoldás törtszámokból adódik.

A megoldás helyességének ellenőrzése

A Jordan-Gauss módszer biztosítja az eredmény helyességének ellenőrzését. Annak érdekében, hogy megtudja, az együtthatók helyesen vannak-e kiszámítva, csak be kell cserélnie az eredményt az eredeti egyenletrendszerbe. Az egyenlet bal oldalának meg kell egyeznie az egyenlőségjel mögötti jobb oldallal. Ha a válaszok nem egyeznek, akkor újra kell számolnia a rendszert, vagy meg kell próbálnia egy másik, Ön által ismert SLAE-megoldási módszert alkalmazni, mint például a helyettesítés vagy a tagonkénti kivonás és összeadás. Végtére is, a matematika olyan tudomány, amelynek rengeteg különböző megoldási módja van. De ne feledje: az eredménynek mindig ugyanannak kell lennie, függetlenül attól, hogy milyen megoldási módot használt.

Gauss módszer: a leggyakoribb hibák az SLAE megoldása során

Lineáris egyenletrendszerek megoldása során leggyakrabban olyan hibák fordulnak elő, mint például az együtthatók helytelen átvitele mátrix formába. Vannak olyan rendszerek, amelyekben néhány ismeretlen hiányzik az egyik egyenletből, majd egy kiterjesztett mátrixba történő adatátvitelkor elveszhetnek. Ennek eredményeként ennek a rendszernek a megoldása során előfordulhat, hogy az eredmény nem felel meg a ténylegesnek.

Egy másik nagy hiba lehet a végeredmény helytelen kiírása. Világosan meg kell érteni, hogy az első együttható megfelel az első ismeretlennek a rendszerből, a második - a másodiknak, és így tovább.

A Gauss-módszer részletesen leírja a lineáris egyenletek megoldását. Ennek köszönhetően könnyű elvégezni a szükséges műveleteket és megtalálni a megfelelő eredményt. Ezenkívül ez egy univerzális eszköz bármilyen bonyolultságú egyenletre megbízható válasz megtalálásához. Talán ezért használják olyan gyakran SLAE-k megoldása során.

A Gauss-módszer meghatározása és leírása

A lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló Gauss-transzformációs módszer (más néven ismeretlen változók egyenletből vagy mátrixból történő szekvenciális eltávolításának módszere) egy klasszikus módszer algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldására. Ezt a klasszikus módszert olyan problémák megoldására is használják, mint az inverz mátrixok előállítása és a mátrix rangjának meghatározása.

A Gauss-módszerrel végzett transzformáció abból áll, hogy apró (elemi) szekvenciális változtatásokat hajtanak végre egy lineáris algebrai egyenletrendszeren, ami a változók eltávolításához vezet felülről lefelé, egy új háromszög alakú egyenletrendszer kialakításával, amely ekvivalens az eredetivel. egy.

1. definíció

A megoldásnak ezt a részét hívják előrehaladott Gauss-megoldásnak, mivel az egész folyamat fentről lefelé halad.

Miután az eredeti egyenletrendszert háromszög alakúra redukáltuk, a rendszer összes változója alulról felfelé található (azaz az első talált változók pontosan a rendszer vagy mátrix utolsó sorain találhatók). A megoldás ezen részét a Gauss-megoldás inverzeként is ismerik. Algoritmusa a következő: először az egyenletrendszer vagy mátrix aljához legközelebb eső változókat számítják ki, majd a kapott értékeket magasabbra helyettesítik, és így egy másik változót találnak, és így tovább.

A Gauss-módszer algoritmusának leírása

Az egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő általános megoldásának műveletsora abból áll, hogy az SLAE alapján felváltva alkalmazzuk az előre és hátra ütéseket a mátrixra. Legyen a kezdeti egyenletrendszer a következő:

$\begin(esetek) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(esetek)$

Az SLAE Gauss-módszerrel történő megoldásához fel kell írni az eredeti egyenletrendszert mátrix formájában:

$A = \begin(pmátrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmátrix)$, $b =\begin(pmátrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Az $A$ mátrixot főmátrixnak nevezzük, és a sorrendben felírt változók együtthatóit reprezentálja, a $b$ mátrixot pedig a szabad tagok oszlopának nevezzük. Az $A$ mátrixot, amelyet egy sávon keresztül írunk egy szabad kifejezések oszlopával, kiterjesztett mátrixnak nevezzük:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Most elemi transzformációkat használva az egyenletrendszeren (vagy a mátrixon, mivel ez kényelmesebb), a következő alakra kell hozni:

$\begin(esetek) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(esetek)$ (1)

Az (1) transzformált egyenletrendszer együtthatóiból kapott mátrixot lépésmátrixnak nevezzük, a lépésmátrixok általában így néznek ki:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Ezeket a mátrixokat a következő tulajdonságok jellemzik:

1. Minden nulla sora nem nulla sorok után következik
2. Ha egy $k$ számú mátrix egy sora nem nulla, akkor ugyanennek a mátrixnak az előző sorában kevesebb nulla van, mint ebben a $k$ sorszámú sorában.

A lépésmátrix megszerzése után be kell cserélni a kapott változókat a fennmaradó egyenletekre (a végétől kezdve), és meg kell szerezni a változók fennmaradó értékeit.

Alapszabályok és megengedett transzformációk a Gauss-módszer használatakor

Amikor ezzel a módszerrel egyszerűsít egy mátrixot vagy egyenletrendszert, csak elemi transzformációkat kell használnia.

Az ilyen transzformációkat olyan műveleteknek tekintjük, amelyek egy mátrixra vagy egyenletrendszerre alkalmazhatók anélkül, hogy megváltoztatnák a jelentését:

• több sor átrendezése,
• a mátrix egyik sorából egy másik sor hozzáadása vagy kivonása,
• egy karakterlánc szorzása vagy osztása olyan állandóval, amely nem egyenlő nullával,
• a rendszer kiszámítása és egyszerűsítése során kapott, csak nullákból álló sort törölni kell,
• El kell távolítania a szükségtelen arányos vonalakat is, és a rendszer számára az egyetlen olyan együtthatót kell kiválasztania, amely alkalmasabb és kényelmesebb a további számításokhoz.

Minden elemi transzformáció reverzibilis.

A lineáris egyenletek egyszerű Gauss-transzformációk módszerével történő megoldása során felmerülő három fő eset elemzése

Három eset fordul elő, amikor a Gauss-módszert használják rendszerek megoldására:

1. Amikor a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása
2. Az egyenletrendszernek van megoldása és egyedi, és a mátrixban a nullától eltérő sorok és oszlopok száma megegyezik egymással.
3. A rendszernek van egy bizonyos számú vagy halmaza lehetséges megoldási lehetőség, és a benne lévő sorok száma kevesebb, mint az oszlopok száma.

Egy inkonzisztens rendszerű megoldás eredménye

Ennél az opciónál, amikor egy mátrixegyenletet Gauss-módszerrel oldunk meg, jellemző, hogy valamilyen egyenest kapunk az egyenlőség teljesítésének lehetetlenségével. Ezért, ha legalább egy hibás egyenlőség előfordul, a kapott és az eredeti rendszereknek nincs megoldása, függetlenül a bennük lévő többi egyenlettől. Példa inkonzisztens mátrixra:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Az utolsó sorban egy lehetetlen egyenlőség keletkezett: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Egyenletrendszer, amelynek csak egy megoldása van

Ezeknek a rendszereknek a lépésmátrixsá redukálása és a nullákkal rendelkező sorok eltávolítása után ugyanannyi sor és oszlop van a fő mátrixban. Íme egy ilyen rendszer legegyszerűbb példája:

$\begin(esetek) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(esetek)$

Írjuk fel mátrix formájában:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Ahhoz, hogy a második sor első celláját nullára hozzuk, a felső sort megszorozzuk $-2$-tal és kivonjuk a mátrix alsó sorából, a felső sort pedig eredeti formájában hagyjuk, ennek eredményeként a következőt kapjuk :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Ez a példa felírható rendszerként:

$\begin(esetek) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(esetek)$

Az alsó egyenlet a következő értéket adja a $x$-hoz: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Helyettesítsük be ezt az értéket a felső egyenletbe: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, így kapjuk: $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Egy rendszer sok lehetséges megoldással

Ezt a rendszert a benne lévő oszlopok számánál kisebb számú jelentős sor jellemzi (a fő mátrix sorait vesszük figyelembe).

Egy ilyen rendszerben a változókat két típusra osztják: alap és ingyenes. Egy ilyen rendszer átalakításakor a benne foglalt fő változókat a bal oldalon az „=” jelig kell hagyni, a többi változót pedig az egyenlőség jobb oldalára kell mozgatni.

Egy ilyen rendszernek csak egy bizonyos általános megoldása van.

Elemezzük a következő egyenletrendszert:

$\begin(esetek) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(esetek)$

Írjuk fel mátrix formájában:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

A mi feladatunk, hogy általános megoldást találjunk a rendszerre. Ennél a mátrixnál a bázisváltozók $y_1$ és $y_3$ lesznek ($y_1$ esetén - mivel ez az első, $y_3$ esetén pedig - a nullák után található).

Alapváltozónak pontosan azokat választjuk, amelyek a sorban az elsők, és nem egyenlők nullával.

A többi változót szabadnak nevezzük, az alapváltozókat rajtuk kell kifejeznünk.

Az úgynevezett fordított lökettel alulról felfelé elemezzük a rendszert, ehhez először a rendszer alsó sorából adjuk meg a $y_3$ kifejezést:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Most behelyettesítjük a kifejezett $y_3$-t a $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ rendszer felső egyenletébe: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 $

A $y_1$ $y_2$ és $y_4$ szabad változókkal fejezzük ki:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6 $

A megoldás kész.

1. példa

Oldja meg a slough-t Gauss-módszerrel. Példák. Példa egy 3:3 mátrix által adott lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldására

$\begin(esetek) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(esetek)$

A rendszerünket kiterjesztett mátrix formájában írjuk fel:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Most a kényelem és a praktikum kedvéért át kell alakítani a mátrixot úgy, hogy az 1$ a legkülső oszlop felső sarkában legyen.

Ehhez az 1. sorhoz hozzá kell adni a középső sort, megszorozva $-1$-tal, és magát a középső sort úgy kell írni, ahogy van, kiderül:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(tömb)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(tömb) $

Szorozzuk meg a felső és az utolsó sort $-1$-al, és cseréljük fel az utolsó és középső sort is:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

És ossza el az utolsó sort 3 dollárral:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

A következő, az eredetivel ekvivalens egyenletrendszert kapjuk:

$\begin(esetek) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(esetek)$

A felső egyenletből kifejezzük $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1 $.

2. példa

Példa egy 4:4-es mátrix segítségével definiált rendszer Gauss-módszerrel történő megoldására

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Az elején felcseréljük az utána következő felső sorokat, hogy 1$-t kapjunk a bal felső sarokban:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Most szorozza meg a felső sort $-2 $-al, és adja hozzá a 2. és 3. A 4.-hez hozzáadjuk az 1. sort, megszorozva $-3$-tal:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Most a 3. sorhoz hozzáadjuk a 2. sort szorozva $4$-tal, a 4. sorhoz pedig a 2. sort szorozva $-1$-tal.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

A 2-es sort megszorozzuk $-1$-tal, a 4-es sort pedig elosztjuk $3$-ral, és lecseréljük a 3-ast.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 és 10 \\ \end(array)$

Most hozzáadjuk az utolsó sorhoz az utolsó előtti egységet, megszorozva $-5$-tal.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Megoldjuk a kapott egyenletrendszert:

$\begin(esetek) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(esetek)$

1. Lineáris algebrai egyenletrendszer

1.1 Lineáris algebrai egyenletrendszer fogalma

Az egyenletrendszer olyan feltétel, amely több egyenlet egyidejű végrehajtásából áll több változóra vonatkozóan. Az m egyenletet és n ismeretlent tartalmazó lineáris algebrai egyenletrendszert (a továbbiakban: SLAE) a következő formájú rendszernek nevezzük:

ahol az a ij számokat rendszeregyütthatóknak, a b i számokat szabad tagoknak nevezzük, a ijÉs b i(i=1,…, m; b=1,…, n) néhány ismert számot és x-et jelent 1 ,…, x n– ismeretlen. Az együtthatók kijelölésében a ij az első i index az egyenlet számát jelöli, a második j pedig annak az ismeretlennek a száma, amelynél ez az együttható áll. Meg kell találni az x n számokat. Kényelmes egy ilyen rendszert kompakt mátrix formában írni: AX=B. Itt A a rendszeregyütthatók mátrixa, amelyet főmátrixnak nevezünk;

– ismeretlenek oszlopvektora xj.
a bi szabad kifejezések oszlopvektora.

Az A*X mátrixok szorzata definiált, mivel az A mátrixban annyi oszlop van, ahány sor az X mátrixban (n darab).

Egy rendszer kiterjesztett mátrixa a rendszer A mátrixa, kiegészítve egy szabad tagok oszlopával

1.2 Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása

Az egyenletrendszer megoldása a számok (változók értéke) rendezett halmaza, amikor változók helyett helyettesítjük őket, a rendszer minden egyenlete valódi egyenlőséggé alakul.

Egy rendszer megoldása az x1=c1, x2=c2,…, xn=cn ismeretlenek n értéke, amelyek behelyettesítésével a rendszer összes egyenlete valódi egyenlőséggé válik. A rendszer bármely megoldása felírható oszlopmátrixként

Egy egyenletrendszert konzisztensnek nevezünk, ha legalább egy megoldása van, és inkonzisztensnek, ha nincs megoldása.

Egy konzisztens rendszert határozottnak mondunk, ha egyetlen megoldása van, és határozatlannak, ha egynél több megoldása van. Ez utóbbi esetben mindegyik megoldását a rendszer egy adott megoldásának nevezzük. Az összes konkrét megoldás halmazát általános megoldásnak nevezzük.

Egy rendszer megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni, hogy kompatibilis-e vagy inkonzisztens. Ha a rendszer konzisztens, keresse meg az általános megoldást.

Két rendszert ekvivalensnek (ekvivalensnek) nevezünk, ha ugyanaz az általános megoldásuk. Más szóval, a rendszerek ekvivalensek, ha az egyik megoldása a másik megoldása, és fordítva.

Egyenértékű vagy ekvivalens transzformációnak nevezzük azt a transzformációt, amelynek alkalmazása egy rendszert az eredetivel egyenértékű új rendszerré alakít. Példák az ekvivalens transzformációkra a következő transzformációk: egy rendszer két egyenletének felcserélése, két ismeretlen felcserélése az összes egyenlet együtthatóival együtt, egy rendszer bármely egyenletének mindkét oldalát megszorozzuk egy nem nulla számmal.

Egy lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezünk, ha minden szabad tag egyenlő nullával:

Egy homogén rendszer mindig konzisztens, mivel x1=x2=x3=…=xn=0 a rendszer megoldása. Ezt a megoldást nullának vagy triviálisnak nevezzük.

2. Gauss eliminációs módszer

2.1 A Gauss-eliminációs módszer lényege

A lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásának klasszikus módszere az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszere. Gauss-módszer(Gauss eliminációs módszernek is nevezik). Ez egy módszer a változók szekvenciális eliminálására, amikor elemi transzformációkkal egy egyenletrendszert egy lépéses (vagy háromszög alakú) ekvivalens rendszerré redukálunk, amelyből az összes többi változót szekvenciálisan megtaláljuk, az utolsótól kezdve szám) változók.

A Gauss-módszert alkalmazó megoldási folyamat két szakaszból áll: előre és hátra mozgásból.

1. Közvetlen löket.

Az első szakaszban az úgynevezett direkt mozgatást hajtják végre, amikor a sorok feletti elemi átalakításokkal a rendszert lépcsőzetes vagy háromszög alakúra hozzuk, vagy megállapítják, hogy a rendszer nem kompatibilis. Ugyanis a mátrix első oszlopának elemei közül válasszunk ki egy nullától eltérő egyet, mozgassuk a legfelső pozícióba a sorok átrendezésével, és az így kapott első sort az átrendezés után vonjuk ki a fennmaradó sorokból, szorozzuk meg egy értékkel. egyenlő az egyes sorok első elemének az első sor első eleméhez viszonyított arányával, nullázva ezzel az alatta lévő oszlopot.

Miután ezek az átalakítások befejeződtek, az első sort és az első oszlopot gondolatban áthúzzuk, és addig folytatjuk, amíg egy nulla méretű mátrix nem marad. Ha bármelyik iterációnál nincs nullától eltérő elem az első oszlop elemei között, akkor lépjen a következő oszlopra, és hajtson végre hasonló műveletet.

Az első szakaszban (közvetlen löket) a rendszer lépcsőzetes (különösen háromszög alakú) formára redukálódik.

Az alábbi rendszer lépcsőzetes formája van:

,

Az aii együtthatókat a rendszer fő (vezető) elemeinek nevezzük.

(ha a11=0, rendezze át a mátrix sorait úgy, hogy a 11 nem egyenlő 0-val. Ez mindig lehetséges, mert különben a mátrix nulla oszlopot tartalmaz, determinánsa nulla, és a rendszer inkonzisztens).

Alakítsuk át a rendszert úgy, hogy az első kivételével minden egyenletből kiküszöböljük az ismeretlen x1-et (a rendszer elemi transzformációit használva). Ehhez meg kell szorozni az első egyenlet mindkét oldalát

és adjuk hozzá tagonként a rendszer második egyenletét (vagy a második egyenletből vonjuk ki tagonként az elsőt, szorozzuk meg -val). Ezután az első egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk és hozzáadjuk a rendszer harmadik egyenletéhez (vagy a harmadikból kivonjuk az első egyenletet szorozva). Így az első sort sorban megszorozzuk egy számmal, és hozzáadjuk én sor, for i= 2, 3, …,n.

Ezt a folyamatot folytatva egy egyenértékű rendszert kapunk:

– az ismeretlenek és a szabad tagok együtthatóinak új értékei a rendszer utolsó m-1 egyenleteiben, amelyeket a képletek határoznak meg:

Így az első lépésben minden, az a 11 első vezető elem alatti együttható megsemmisül

0, a második lépésben megsemmisülnek a második vezetőelem alatt fekvő elemek a 22 (1) (ha a 22 (1) 0) stb. Ezt a folyamatot tovább folytatva végül az (m-1) lépésnél az eredeti rendszert háromszögrendszerré redukáljuk.

Ha a rendszer lépcsőzetes formára redukálása során nulla egyenletek jelennek meg, pl. a 0=0 alakú egyenlőségeket el kell vetni. Ha megjelenik a forma egyenlete

akkor ez a rendszer inkompatibilitását jelzi.

Itt ér véget a Gauss-módszer közvetlen fejlődése.

2. Fordított löket.

A második szakaszban az úgynevezett fordított mozgást hajtják végre, melynek lényege, hogy az összes kapott alapváltozót nem alapváltozókkal fejezzük ki, és egy alapvető megoldási rendszert építsünk fel, vagy ha minden változó alapváltozó. , akkor fejezzük ki numerikusan a lineáris egyenletrendszer egyetlen megoldását.

Ez az eljárás az utolsó egyenlettel kezdődik, amelyből a megfelelő alapváltozót kifejezzük (csak egy van benne), és behelyettesítjük az előző egyenletekbe, és így tovább, felfelé haladva a „lépéseket”.

Minden sor pontosan egy bázisváltozónak felel meg, így az utolsó (legfelső) kivételével minden lépésben a helyzet pontosan megismétli az utolsó sor esetét.

Megjegyzés: a gyakorlatban kényelmesebb nem a rendszerrel dolgozni, hanem annak kiterjesztett mátrixával, az összes elemi transzformációt a sorain végrehajtva. Célszerű, ha az a11 együttható 1-gyel egyenlő (rendezzük át az egyenleteket, vagy osszuk el az egyenlet mindkét oldalát a11-gyel).

2.2 Példák SLAE-k megoldására Gauss-módszerrel

Ebben a részben három különböző példán keresztül bemutatjuk, hogyan oldja meg a Gauss-módszer az SLAE-ket.

Példa 1. Oldjon meg egy 3. rendű SLAE-t.

Állítsuk vissza az együtthatókat a

a második és a harmadik sorban. Ehhez szorozza meg őket 2/3-mal és 1-gyel, és adja hozzá az első sorhoz:

Itt ingyenesen megoldhat egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszer online nagy méretek komplex számokban nagyon részletes megoldással. Számológépünk a szokásos határozott és határozatlan lineáris egyenletrendszereket is meg tudja oldani online a Gauss-módszerrel, amelynek végtelen számú megoldása van. Ebben az esetben a válaszban néhány változó függőségét más, szabadon keresztül kapja meg. A Gauss-megoldás segítségével online is ellenőrizheti az egyenletrendszer konzisztenciáját.

Mátrix mérete: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 374 29 30 31 32 33 34 39 40 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 81 88 8 8 8 9 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 38 3 3 4 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 81 88 8 8 89 9 0 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

A módszerről

Ha lineáris egyenletrendszert online, Gauss-módszerrel old meg, a következő lépéseket hajtjuk végre.

1. Felírjuk a kiterjesztett mátrixot.
2. Valójában a megoldás a Gauss-módszer előre és hátra lépéseire oszlik. A Gauss-módszer közvetlen lépése a mátrix redukciója lépcsőzetes formára. A Gauss-módszer fordított mozgása egy mátrix redukálása speciális lépcsős formára. De a gyakorlatban kényelmesebb azonnal nullázni azt, ami a kérdéses elem felett és alatt van. Számológépünk pontosan ezt a módszert használja.
3. Fontos megjegyezni, hogy a Gauss-módszerrel történő megoldásnál a rendszer inkonzisztenciáját jelzi, ha a mátrixban legalább egy nulla sor jelenléte NEM-nulla jobb oldallal (szabad tagok oszlopa) van. Ebben az esetben a lineáris rendszerre nem létezik megoldás.

A Gauss-algoritmus online működésének legjobb megértéséhez írjon be egy példát, válassza ki a „nagyon részletes megoldás” lehetőséget, és tekintse meg a megoldást online.