Hogyan lehet a helytelen törtet tizedes törtté alakítani. Műveletek közönséges törtekkel

Minden tört két típusra oszlik: közönséges és decimális. Az ilyen típusú törteket közönségesnek nevezzük: 9/8,3/4,1/2,1 3/4. Van egy felső szám (számláló) és egy alsó szám (nevező). Ha a számláló kisebb, mint a nevező, a törtet megfelelőnek, ellenkező esetben a törtet helytelennek nevezzük. Az olyan törtek, mint az 1 7/8, egy egész részből (1) és egy tört részből (7/8) állnak, és vegyesnek nevezzük.

Tehát a törtek a következők:

1. Rendes
   1. Helyes
   2. Rossz
   3. Vegyes
2. Decimális

Hogyan készítsünk tizedesjegyet törtből

Egy alapfokú iskolai matematika tantárgy azt tanítja, hogyan kell a tört tizedesjegyre konvertálni. Minden rendkívül egyszerű: el kell osztania a számlálót a nevezővel „manuálisan”, vagy ha nagyon lusta, akkor egy mikroszámológép segítségével. Íme egy példa: 2/5=0,4;3/4=0,75; 1/2=0,5. Nem sokkal nehezebb egy helytelen törtet tizedesvessé konvertálni. Példa: 1 3/4= 7/4= 1,75. Az utolsó eredményt osztás nélkül is megkaphatjuk, ha figyelembe vesszük, hogy 3/4 = 0,75, és összeadunk egyet: 1 + 0,75 = 1,75.

Azonban nem minden közönséges tört ilyen egyszerű. Például próbáljuk meg átalakítani az 1/3-ot közönséges törtekből tizedesjegyekké. Még az is, akinek matematikából C-je volt (ötös rendszerben), észreveszi, hogy bármeddig tart is az osztás, nulla és vessző után végtelen számú hármas lesz 1/3 = 0,3333…. . Szokásos így olvasni: nulla pont, három pontban. Ennek megfelelően írjuk le: 1/3=0,(3). Hasonló helyzet áll elő, ha az 5/6-ot tizedes törtté próbáljuk átalakítani: 5/6=0,8(3). Az ilyen törteket végtelen periodikusnak nevezzük. Íme egy példa a 3/7 törtre: 3/7= 0,42857142857142857142857142857143…, azaz 3/7=0.(428571).

Tehát egy közönséges tört tizedesvessé konvertálása eredményeként a következőket kaphatja:

1. nem periodikus tizedes tört;
2. periodikus tizedes tört.

Meg kell jegyezni, hogy vannak végtelen nem periodikus törtek is, amelyeket a következő műveletek végrehajtásával kapunk: n-edik gyök felvétele, logaritmus, potenciálás. Például √3= 1,732050807568877… . A híres szám: π≈ 3,1415926535897932384626433832795…. .

Most szorozzuk meg 3-at 0-val,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. Kiderült, hogy a 0,(9) az írási egység másik formája. Hasonlóképpen, 9=9/9,16=16,0 stb.

A cikk címében feltett kérdéssel ellentétes kérdés is jogos: „hogyan lehet tizedes törtet szabályossá alakítani”. Erre a kérdésre egy példa ad választ: 0,5= 5/10=1/2. Az utolsó példában az 5/10-es tört számlálóját és nevezőjét 5-tel csökkentettük. Vagyis egy tizedesből köztörtté alakításához 10-es nevezőjű törtként kell ábrázolnia.

Érdekes lesz megnézni ezt a videót arról, hogy mik a törtek:

A tizedes tört közönséges törtté alakításáról itt olvashat:

Tört átalakítása tizedessé

Tegyük fel, hogy a 11/4 törtet tizedesjegyre szeretnénk konvertálni. Ennek legegyszerűbb módja a következő:

						2∙2∙5∙5

Sikerült, mert ebben az esetben a nevező prímtényezőkre bontása csak kettőből áll. Ezt a bővítést kiegészítettük még két ötössel, kihasználtuk, hogy 10 = 2∙5, és tizedes törtet kaptunk. Egy ilyen eljárás nyilvánvalóan akkor és csak akkor lehetséges, ha a nevező prímtényezőkre való felbontása nem tartalmaz mást, mint kettőt és ötöst. Ha a nevező kiterjesztésében más prímszám is szerepel, akkor az ilyen tört nem konvertálható tizedesvesszővé. Ennek ellenére megpróbáljuk ezt megtenni, de csak más módon, amelyet ugyanazon 11/4 tört példáján fogunk megismerni. Osszuk el 11-et 4-gyel a „sarok” segítségével:

A válaszsorban megkaptuk a teljes részt (2), és megvan a maradék is (3). Korábban itt fejeztük be az osztást, de most már tudjuk, hogy az osztalék (11) jobb oldalára tehetünk egy vesszőt és néhány nullát, amit most gondolatban meg is teszünk. A tizedesvessző után a tizedik hely következik. Az osztaléknál ebben a számjegyben megjelenő nulla hozzáadódik a kapott maradékhoz (3):

Most úgy folytatódhat a megosztás, mintha mi sem történt volna. Ne felejtse el vesszőt tenni a teljes rész után a válaszsorban:

Most hozzáadunk egy nullát a maradékhoz (2), amely az osztalék századik helyén van, és befejezzük az osztást:

Ennek eredményeként, mint korábban,

Most próbáljuk meg pontosan ugyanígy kiszámítani, hogy a 27/11 tört hányaddal egyenlő:

A válaszsorban a 2,45-ös számot, a maradék sorban az 5-ös számot kaptuk. De már találkoztunk ilyen maradékkal. Ezért azonnal kijelenthetjük, hogy ha egy „sarokkal” folytatjuk a felosztást, akkor a válaszsorban a következő szám 4 lesz, majd jön az 5, majd ismét 4 és újra 5, és így tovább, a végtelenségig. :

27 / 11 = 2,454545454545...

Megkaptuk az ún időszakos tizedes tört 45-ös ponttal. Az ilyen törteknél egy tömörebb jelölést használnak, amelyben a pontot csak egyszer írják le, de zárójelben van:

2,454545454545... = 2,(45).

Általánosságban elmondható, hogy ha egy természetes számot egy „sarokkal” osztunk a másikkal, a választ tizedes tört alakban írjuk, akkor csak két kimenetel lehetséges: (1) előbb vagy utóbb a maradék sorban nullát kapunk. , (2) vagy lesz ott olyan maradék, amivel már korábban is találkoztunk (a lehetséges maradékok halmaza korlátozott, hiszen nyilván mindegyik kisebb, mint az osztó). Az első esetben az osztás eredménye egy véges tizedes tört, a második esetben egy periodikus tört.

A periodikus tizedes tört átalakítása

Adjunk meg egy pozitív periodikus tizedes törtet nulla egész számmal, például:

a = 0,2(45).

Hogyan alakíthatom vissza ezt a törtet közönséges törtté?

Szorozzuk meg 10-zel k, Ahol k a tizedesvessző és az időszak kezdetét jelző kezdő zárójel közötti számjegyek száma. Ebben az esetben k= 1 és 10 k = 10:

a∙ 10 k = 2,(45).

Az eredményt megszorozzuk 10-zel n, Ahol n- az időszak „hossza”, azaz a zárójelek közé tett számjegyek száma. Ebben az esetben n= 2 és 10 n = 100:

a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Most számoljuk ki a különbséget

a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Mivel a minuend és a részrész tört része megegyezik, akkor a különbség tört része egyenlő nullával, és egyszerű egyenlethez jutunk a:

a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Ezt az egyenletet a következő transzformációk segítségével oldjuk meg:

a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Szándékosan még nem végezzük el a számításokat, hogy jól látható legyen, hogyan lehet ezt az eredményt azonnal leírni, kihagyva a közbenső argumentumokat. A számlálóban lévő minuend (245) a szám tört része

a = 0,2(45)

ha törli a zárójeleket a bejegyzésében. A számlálóban (2) lévő részrész a szám nem periodikus része A, amely a vessző és a nyitó zárójel között található. A nevező (10) első tényezője egy egység, amelyhez annyi nulla van hozzárendelve, ahány számjegy van a nem periodikus részben ( k). A nevező második tényezője (99) annyi kilenc, ahány számjegy van a periódusban ( n).

Számításaink most befejeződhetnek:

Itt a számláló az időszakot, a nevező pedig annyi kilencet tartalmaz, ahány számjegy van a periódusban. 9-cel való csökkentés után a kapott tört egyenlő

Ugyanúgy,

A tört olyan szám, amely egy vagy több egységből áll. A matematikában háromféle tört létezik: közös, vegyes és decimális.

• 
  Közönséges törtek

A közönséges törtet olyan arányként írjuk fel, amelyben a számláló azt tükrözi, hogy hány részt vettünk ki a számból, a nevező pedig azt, hogy az egység hány részre van felosztva. Ha a számláló kisebb, mint a nevező, akkor van egy megfelelő tört, például: ½, 3/5, 8/9.

Ha a számláló egyenlő vagy nagyobb, mint a nevező, akkor helytelen törttel van dolgunk. Például: 5/5, 9/4, 5/2 A számláló elosztása véges számot eredményezhet. Például 40/8 = 5. Ezért bármely egész szám felírható közönséges helytelen törtként vagy ilyen törtek sorozataként. Tekintsük az azonos szám bejegyzéseit több különböző alakban.

• Vegyes frakciók

Általában egy vegyes tört a következő képlettel ábrázolható:

Így egy vegyes törtet egész számként és közönséges saját törtként írunk fel, és egy ilyen jelölést az egész és tört részének összegeként kell érteni.

• Tizedesjegyek

A tizedes tört egy speciális típusa, amelyben a nevező 10 hatványaként ábrázolható. Vannak végtelen és véges tizedesjegyek. Az ilyen típusú tört írásakor először a teljes részt jelzi, majd a tört részt elválasztón (pont vagy vessző) keresztül rögzíti.

Egy törtrész jelölését mindig a mérete határozza meg. A decimális jelölés így néz ki:

A különböző típusú törtek közötti átváltás szabályai

• Vegyes tört átalakítása közönséges törtté

A vegyes tört csak nem megfelelő törtté alakítható. A fordításhoz az egész részt ugyanarra a nevezőre kell hozni, mint a tört részt. Általában így fog kinézni:
Nézzük meg ennek a szabálynak a használatát konkrét példák segítségével:

• Közönséges tört átalakítása vegyes törtté

A nem megfelelő tört egyszerű osztással vegyes törtté alakítható, így a teljes rész és a maradék (törtrész) keletkezik.

Például alakítsuk át a 439/31 törtet vegyesre:
​​

• Törtek konvertálása

Egyes esetekben a tört tizedesjegyre konvertálása meglehetősen egyszerű. Ebben az esetben a tört alapvető tulajdonságát alkalmazzuk: a számlálót és a nevezőt megszorozzuk ugyanazzal a számmal, hogy az osztó 10-es hatványra kerüljön.

Például:

Bizonyos esetekben előfordulhat, hogy a hányadost sarkokkal osztva vagy számológéppel kell megtalálnia. És néhány tört nem csökkenthető utolsó tizedesjegyre. Például az 1/3 tört, amikor elosztjuk, soha nem adja meg a végeredményt.

Rendkívül széles körben és az emberi tevékenység legkülönfélébb területein alkalmazzák őket, legyen az tudományos és alkalmazott számítástechnika, különféle berendezések fejlesztése és üzemeltetése, gazdasági számítások stb. Különböző okok miatt gyakran szükséges elvégezni decimális konverzió, valamint a fordított folyamat. Meg kell jegyezni, hogy hasonló átalakítás viszonylag könnyen előállíthatók bizonyos szabályok és technikák szerint, amelyek a matematikában sok száz éve léteznek.

Tizedes tört átalakítása prím törtté

Tizedes átváltás a „közönséges” törtbe ez elég könnyű és egyszerű. Ehhez a következő technikát alkalmazzuk: az új tört számlálójának az eredeti szám tizedespontjától jobbra található számot, nevezőként pedig a tízes számot használjuk, a számmal egyenlő hatványig. a számláló számjegyeiből. Ami a fennmaradó teljes részt illeti, változatlan marad. Ha az egész rész egyenlő nullával, akkor a transzformáció után egyszerűen kimarad.

1. PÉLDA

Ötven pont huszonöt ötven pont egy és huszonöt osztva százzal ötven pont egynegyed.

Tört tizedesjegyre konvertálása

Tört átalakítása tizedessé, valójában az ellenkezője tizedes tört törtté alakítása. Megvalósítása szintén nem okoz nehézséget, és valójában egy meglehetősen egyszerű aritmetikai művelet. Azért, hogy törtet tizedesvessé alakítani bizonyos szabályoknak megfelelően el kell osztani a számlálót a nevezőjével.

1. PÉLDA

Meg kell valósítani tört átalakításöt nyolcad in decimális.

Az ötöt nyolccal osztva azt kapjuk decimális nulla pont hatszázhuszonöt ezrelék.

=

0.625

Tört tizedesjegyre konvertálása eredményének kerekítése

Meg kell jegyezni, hogy ellentétben egy olyan folyamattal, mint pl decimális konverzió, ez az eljárás gyakran korlátlan ideig tarthat. Ilyen esetekben azt mondják, hogy az eljárás eredménye tört tizedesvesszővé alakítása nem biztos, hogy pontos. A gyakorlat azonban azt mutatja, hogy az esetek túlnyomó többségében nem szükséges tökéletesen pontos eredményt elérni. Általános szabály, hogy az osztási folyamat akkor ér véget, amikor már megszerezte azoknak a tizedes törteknek az értékét, amelyek az egyes esetekben gyakorlati jelentőséggel bírnak.

1. PÉLDA

Egy kilogramm súlyú vajat kilenc egyenlő súlyú darabra kell felvágni. Az eljárás végrehajtásakor kiderül, hogy mindegyikük tömege 1/9 kilogramm. Ha az összes szabály szerint történik átalakítás ez közönséges tört V tizedes tört, akkor kiderül, hogy a kapott részek tömege egy kilogramm periódusában nulla egész és egy.

A kerekítés az aritmetikában előírt szabványos szabályok szerint történik: ha az „eldobott” számjegyek közül az első értéke 5 vagy több, akkor az utolsó jelentős számjegyet eggyel növeljük. Ellenkező esetben változatlan marad.

2. PÉLDA

Tört konvertálása egy nyolcad tizedes törtig.

Ha egyet osztunk nyolccal, az eredmény nulla pont százhuszonöt ezred, vagy kerekítve - nulla pont tizenhárom század.

A nem megfelelő tört a közönséges tört írásának egyik formátuma. Mint minden közönséges törtnek, a sor (számláló) felett van egy szám, alatta pedig a nevező. Ha a számláló nagyobb, mint a nevező, ez a hibás tört jellemzője. A vegyes frakciót át lehet alakítani ebbe a formába. A tizedesjegy ábrázolható szabálytalan jelöléssel is, de csak akkor, ha az elválasztó pontot nullától eltérő szám előzi meg.

Utasítás

Vegyes tört formátumban a számlálót és a nevezőt szóköz választja el a teljes résztől. Egy ilyen bejegyzés átalakításához először szorozza meg annak egész részét (a szóköz előtti számot) a tört rész nevezőjével. Adja hozzá a kapott értéket a számlálóhoz. Az így kiszámított érték lesz a hibás tört számlálója, és a vegyes tört nevezőjét változtatás nélkül a nevezőjébe helyezi. Például az 5 7/11 normál rendhagyó formátumban a következőképpen írható: (5*11+7)/11 = 62/11.

A tizedes tört helytelen közönséges jelöléssé alakításához határozza meg a tizedespont utáni számjegyek számát, amely elválasztja az egész részt a tört résztől - ez egyenlő a tizedesponttól jobbra lévő számjegyek számával. Használja a kapott számot annak a hatványnak a mutatójaként, amelyre tízet kell emelnie, hogy kiszámítsa a nem megfelelő tört nevezőjét. A számlálót számítások nélkül kapjuk meg - csak távolítsa el a vesszőt a tizedes törtből. Például, ha az eredeti tizedes tört 12,585, a megfelelő szabálytalan tört számlálójának tartalmaznia kell a 10³ = 1000 számot, a nevezőnek pedig - 12585: 12,585 = 12585/1000.

Mint minden közönséges frakciót, ezeket is lehet és kell csökkenteni. Ehhez, miután az előző két lépésben leírt módszerekkel megkapta az eredményt, próbálja meg kiválasztani a számláló és a nevező legnagyobb közös osztóját. Ha ezt megteheti, ossza el azzal, amit a törtvonal mindkét oldalán talált. A második lépés példájában ez az osztó az 5-ös szám lesz, így a nem megfelelő tört csökkenthető: 12,585 = 12585/1000 = 2517/200. De az első lépésből származó példában nincs közös osztó, így nem kell csökkenteni a kapott helytelen törtet.

Videó a témáról

A tizedes törtek kényelmesebbek az automatizált számításokhoz, mint a természetes törtek. Bármilyen természetes töredék akár pontosságvesztés nélkül, akár meghatározott számú tizedesjegy pontossággal természetes számokká konvertálható, a számláló és a nevező közötti kapcsolattól függően.

Utasítás

Ha szükséges, kerekítse az eredményt a szükséges számú tizedesjegyre. A kerekítés szabályai a következők: ha a törölni kívánt legmagasabb számjegy 0-tól 4-ig terjedő számjegyet tartalmaz, akkor a következő legmagasabb számjegy (ami nem kerül törlésre) nem változik, ha pedig 5-től 9-ig, akkor a következővel növekszik. egy. Ha ezen műveletek közül az utolsót a 9-es számjegynek vetjük alá, akkor az egység egy másik, még magasabb rangú számjegybe kerül, például egy oszlopba. Felhívjuk figyelmét, hogy a rendelkezésre álló ismerős helyek számára kerekítés nem mindig hajtja végre ezt a műveletet. Néha vannak rejtett bitek a memóriájában, amelyek nem jelennek meg a jelzőn. A logaritmikus, alacsony pontosságú (akár két tizedesjegyig), gyakran jobban kezeli a megfelelő irányú kerekítést.

Ha azt tapasztalja, hogy egy bizonyos számsor ismétlődik egy tizedesvessző után, tegye ezt a sorozatot zárójelbe. Azt mondják róla, hogy "" található, mert időszakosan ismétlődik. Például, szám 53.7854785478547854... 53,(7854)-ként írható fel.

Egy megfelelő tört, amelynek értéke nagyobb egynél, két részből áll: egy egész számból és egy törtből. Először osszuk el a tört számlálóját a nevezőjével. Ezután adja hozzá az osztás eredményét az egész részhez. Ezt követően, ha szükséges, kerekítse az eredményt a kívánt számú tizedesjegyre, vagy keresse meg a periodicitást és jelölje ki zárójelben.

A tizedes törtek használata egyszerű. Számológépek és számos számítógépes program felismeri őket. De néha szükség van például egy arány felállítására. Ehhez a tizedes törtet normál törtté kell konvertálnia. Ez nem lesz nehéz, ha egy rövid kirándulást tesz az iskolai tantervbe.

Utasítás

Csökkentse az eredmény töredékét. Ehhez a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal az osztóval kell elosztani. Ebben az esetben ez az "5" szám. Tehát az „5/10” „1/2”-re alakul.

Válasszunk ki egy számot úgy, hogy a nevezővel való szorzás eredménye 10 legyen. Indoklás visszafelé: lehet-e a 4-et 10-re fordítani? Válasz: nem, mert a 10 nem osztható 4-gyel. Akkor 100? Igen, a 100-at maradék nélkül osztjuk 4-gyel, az eredmény 25. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt 25-tel, és írjuk le a választ decimális formában:
¼ = 25/100 = 0,25.

A kiválasztási módszert nem mindig lehet használni, van még két lehetőség. Az elvük gyakorlatilag ugyanaz, csak a felvétel különbözik. Az egyik a tizedesjegyek fokozatos kiosztása. Példa: alakítsa át a törtet 1/8-ra.