Egy egyenes egyenlete négy alakban. Az egyenes általános egyenlete

A térbeli egyenes kanonikus egyenletei olyan egyenletek, amelyek egy adott ponton átmenő egyenest egy irányvektorral kollineárisan határozzák meg.

Legyen adott egy pont és egy irányvektor. Egy tetszőleges pont egy egyenesen fekszik l csak akkor, ha a és vektorok kollineárisak, azaz teljesítik a feltételt:

.

A fenti egyenletek az egyenes kanonikus egyenletei.

Számok m , nÉs p az irányvektor vetületei a koordináta tengelyekre. Mivel a vektor nem nulla, akkor minden szám m , nÉs p nem lehet egyszerre nulla. De közülük egy vagy kettő nulla lehet. Az analitikai geometriában például a következő jelölések megengedettek:

,

ami azt jelenti, hogy a vektor vetületei a tengelyekre OyÉs Oz egyenlők nullával. Ezért mind a vektor, mind a kanonikus egyenletek által adott egyenes merőleges a tengelyekre OyÉs Oz, azaz repülőgépek yOz .

1. példa Készítsen egyenleteket egy síkra merőleges térbeli egyenesről és áthaladva ennek a síknak a tengellyel való metszéspontján Oz .

Megoldás. Keresse meg az adott sík metszéspontját a tengellyel! Oz. Mivel a tengely bármely pontja Oz, koordinátái vannak, akkor, feltételezve a sík adott egyenletében x=y= 0, 4-et kapunk z- 8 = 0 vagy z= 2. Ezért az adott sík metszéspontja a tengellyel Oz koordinátákkal rendelkezik (0; 0; 2) . Mivel a kívánt egyenes merőleges a síkra, párhuzamos a normálvektorával. Ezért a normálvektor szolgálhat az egyenes irányítóvektoraként adott repülőgép.

Most írjuk fel a ponton átmenő egyenes kívánt egyenleteit A= (0; 0; 2) a vektor irányában:

Két adott ponton átmenő egyenes egyenletei

Egy egyenes két azon fekvő ponttal határozható meg És Ebben az esetben az egyenes irányítóvektora a vektor lehet. Ekkor az egyenes kanonikus egyenletei formát öltenek

.

A fenti egyenletek két adott ponton átmenő egyenest határoznak meg.

2. példaÍrja fel a és pontokon áthaladó térbeli egyenes egyenletét.

Megoldás. Az elméleti hivatkozásban a fent megadott formában írjuk fel az egyenes kívánt egyenleteit:

.

Mivel , akkor a kívánt egyenes merőleges a tengelyre Oy .

Egyenes, mint a síkok metszésvonala

Egy térbeli egyenes két nem párhuzamos sík metszésvonalaként és olyan pontok halmazaként definiálható, amelyek két lineáris egyenletrendszert teljesítenek.

A rendszer egyenleteit a térbeli egyenes általános egyenleteinek is nevezik.

3. példaÁllítson össze egy egyenes kanonikus egyenleteit az általános egyenletek által megadott térben

Megoldás. Egy egyenes kanonikus egyenleteinek felírásához, vagy ami ugyanaz, egy két adott ponton áthaladó egyenes egyenletének felírásához meg kell találni az egyenes bármely két pontjának koordinátáit. Lehetnek például egy egyenes metszéspontjai bármely két koordinátasíkkal yOzÉs xOz .

Egy egyenes és egy sík metszéspontja yOz van abszcissza x= 0. Ezért ebben az egyenletrendszerben feltételezve x= 0, akkor két változós rendszert kapunk:

Az ő döntése y = 2 , z= 6 együtt x= 0 egy pontot határoz meg A(0; 2; 6) a kívánt sorból. Feltéve, hogy akkor az adott egyenletrendszerben y= 0 , megkapjuk a rendszert

Az ő döntése x = -2 , z= 0 együtt y= 0 egy pontot határoz meg B(-2; 0; 0) egyenes metszéspontja síkkal xOz .

Most írjuk fel a pontokon áthaladó egyenes egyenleteit A(0; 2; 6) és B (-2; 0; 0) :

,

vagy a nevezők -2-vel való elosztása után:

,

A K(x 0; y 0) ponton átmenő és az y = kx + a egyenessel párhuzamos egyenest a következő képlettel találjuk meg:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Ahol k az egyenes meredeksége.

Alternatív képlet:
Az M 1 (x 1 ; y 1) ponton átmenő és az Ax+By+C=0 egyenessel párhuzamos egyenest az egyenlet ábrázolja

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Írd fel a K() ponton átmenő egyenes egyenletét ;) párhuzamos az y = egyenessel x + .

1. példa. Állítsa össze az M 0 (-2,1) ponton átmenő egyenes egyenletét, és ezzel egyidejűleg:
a) párhuzamos a 2x+3y -7 = 0 egyenessel;
b) a 2x+3y -7 = 0 egyenesre merőlegesen.
Megoldás . Képzeljük el a meredekség egyenletét a következőképpen: y = kx + a . Ehhez az y kivételével az összes értéket átvisszük a jobb oldalra: 3y = -2x + 7 . Ezután a jobb oldalt elosztjuk a 3-as együtthatóval. A következőt kapjuk: y = -2/3x + 7/3
Határozzuk meg a K(-2;1) ponton átmenő NK egyenletet, amely párhuzamos az y = -2 / 3 x + 7 / 3 egyenessel
Az x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 behelyettesítésével a következőt kapjuk:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
vagy
y = -2/3 x -1/3 vagy 3y + 2x +1 = 0

2. példa. Írja fel a 2x + 5y = 0 egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét, amely a koordinátatengelyekkel együtt egy háromszöget alkot, amelynek területe 5!
Megoldás . Mivel az egyenesek párhuzamosak, a kívánt egyenes egyenlete 2x + 5y + C = 0. Egy derékszögű háromszög területe, ahol a és b a lábai. Keresse meg a kívánt egyenes és a koordinátatengelyek metszéspontjait:
;
.
Tehát A(-C/2,0), B(0,-C/5). Helyettesítse a képletben a területet: . Két megoldást kapunk: 2x + 5y + 10 = 0 és 2x + 5y - 10 = 0 .

3. példa. Írja fel a ponton (-2; 5) átmenő egyenes és az 5x-7y-4=0 párhuzamos egyenes egyenletét!
Megoldás. Ez az egyenes az y = 5/7 x – 4/7 (itt a = 5/7) egyenlettel ábrázolható. A kívánt egyenes egyenlete y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), azaz. 7(y-5)=5(x+2) vagy 5x-7y+45=0.

4. példa. A 3. példát (A=5, B=-7) a (2) képlet segítségével megoldva 5(x+2)-7(y-5)=0-t kapunk.

5. számú példa. Írja fel a ponton (-2;5) átmenő egyenes és a 7x+10=0 párhuzamos egyenes egyenletét!
Megoldás. Itt A=7, B=0. A (2) képletből 7(x+2)=0, azaz. x+2=0. Az (1) képlet nem alkalmazható, mivel ez az egyenlet nem oldható meg y-ra (ez az egyenes párhuzamos az y tengellyel).

Az egyenes menjen át az M 1 (x 1; y 1) és M 2 (x 2; y 2) pontokon. Az M 1 ponton áthaladó egyenes egyenlete y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Ahol k - még ismeretlen együttható.

Mivel az egyenes áthalad az M 2 (x 2 y 2) ponton, ennek a pontnak a koordinátáinak meg kell felelniük a (10.6) egyenletnek: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Innen megtaláljuk a talált érték helyettesítése k a (10.6) egyenletbe az M 1 és M 2 pontokon áthaladó egyenes egyenletét kapjuk:

Feltételezzük, hogy ebben az egyenletben x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ha x 1 \u003d x 2, akkor az M 1 (x 1, y I) és M 2 (x 2, y 2) pontokon áthaladó egyenes párhuzamos az y tengellyel. Az egyenlete az x = x 1 .

Ha y 2 \u003d y I, akkor az egyenes egyenlete y \u003d y 1-ként írható fel, az M 1 M 2 egyenes párhuzamos az x tengellyel.

Egyenes egyenlete szakaszokban

Az egyenes metsze az Ox tengelyt az M 1 (a; 0) pontban, és az Oy tengelyt az M 2 (0; b) pontban. Az egyenlet a következő formában lesz:
azok.
. Ezt az egyenletet ún szakaszokban lévő egyenes egyenlete, mert az a és b számok azt jelzik, hogy az egyenes mely szakaszokat vágja le a koordinátatengelyeken.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete, merőleges egy adott vektorra

Határozzuk meg egy adott Mo (x O; y o) ponton átmenő egyenes egyenletét, amely merőleges egy adott n = (A; B) nem nulla vektorra.

Vegyünk egy tetszőleges M(x; y) pontot az egyenesen, és tekintsük az M 0 M (x - x 0; y - y o) vektort (lásd 1. ábra). Mivel az n és M o M vektorok merőlegesek, skaláris szorzatuk nulla: azaz

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

A (10.8) egyenletet nevezzük egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete adott vektorra merőlegesen .

Az egyenesre merőleges n = (A; B) vektort normálnak nevezzük ennek az egyenesnek a normálvektora .

A (10.8) egyenlet átírható így Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ahol A és B a normálvektor koordinátái, C \u003d -Ax o - Vu o - szabad tag. (10.9) egyenlet az egyenes általános egyenlete(lásd a 2. ábrát).

Fig.1 Fig.2

Az egyenes kanonikus egyenletei

,

Ahol
annak a pontnak a koordinátái, amelyen az egyenes áthalad, és
- irányvektor.

A másodrendű kör görbéi

A kör egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő sík összes pontjának halmaza, amelyet középpontnak nevezünk.

Sugárkör kanonikus egyenlete R egy pontra összpontosítva
:

Különösen, ha a tét közepe egybeesik az origóval, akkor az egyenlet így fog kinézni:

Ellipszis

Az ellipszis egy síkban lévő pontok halmaza, mindegyiktől két adott pont távolságának összege És , amelyeket gócoknak nevezünk, állandó érték
, nagyobb, mint a gócok közötti távolság
.

Annak az ellipszisnek a kanonikus egyenlete, amelynek fókuszai az ökör tengelyén vannak, és amelynek origója középen van a gócok között, a következő alakú:
G de a a fő féltengely hossza; b a kis féltengely hossza (2. ábra).

Egy síkon lévő egyenes egyenlete.

Mint ismeretes, a sík bármely pontját két koordináta határozza meg valamilyen koordinátarendszerben. A koordinátarendszerek a bázis és az eredet megválasztásától függően eltérőek lehetnek.

Meghatározás. Vonalegyenlet az y = f(x) összefüggés az ezt az egyenest alkotó pontok koordinátái között.

Megjegyzendő, hogy az egyenes egyenlet kifejezhető parametrikus módon, azaz minden pont minden koordinátája valamilyen független paraméteren keresztül fejeződik ki. t.

Tipikus példa egy mozgó pont pályája. Ebben az esetben az idő paraméter szerepét tölti be.

Egyenlet egy síkon.

Meghatározás. A sík bármely egyenese megadható elsőrendű egyenlettel

Ah + Wu + C = 0,

ráadásul az A, B állandók nem egyenlők egyszerre nullával, azaz. A 2 + B 2  0. Ezt az elsőrendű egyenletet nevezzük az egyenes általános egyenlete.

Az A, B és C állandók értékétől függően a következő speciális esetek lehetségesek:

C \u003d 0, A  0, B  0 - a vonal az origón halad át

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - a vonal párhuzamos az Ox tengellyel

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - a vonal párhuzamos az Oy tengellyel

B \u003d C \u003d 0, A  0 - az egyenes egybeesik az Oy tengellyel

A \u003d C \u003d 0, B  0 - az egyenes egybeesik az Ox tengellyel

Az egyenes egyenlete az adott kezdeti feltételektől függően többféle formában is bemutatható.

Egy egyenes egyenlete egy ponttal és egy normálvektorral.

Meghatározás. A derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy (A, B) komponensű vektor merőleges az Ax + By + C = 0 egyenlet által adott egyenesre.

Példa. Határozzuk meg a vektorra merőleges A (1, 2) ponton átmenő egyenes egyenletét (3, -1).

Állítsuk össze az A \u003d 3 és B \u003d -1 pontokban az egyenes egyenletét: 3x - y + C \u003d 0. A C együttható megtalálásához behelyettesítjük az adott A pont koordinátáit a kapott kifejezésbe.

A következőt kapjuk: 3 - 2 + C \u003d 0, ezért C \u003d -1.

Összesen: a kívánt egyenlet: 3x - y - 1 \u003d 0.

Két ponton átmenő egyenes egyenlete.

Legyen adott két M 1 (x 1, y 1, z 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2) pont a térben, majd az ezeken a pontokon áthaladó egyenes egyenlete:

Ha bármelyik nevező nullával egyenlő, akkor a megfelelő számlálót nullára kell állítani.

Egy síkon a fentebb írt egyenes egyenlete leegyszerűsödik:

ha x 1  x 2 és x \u003d x 1, ha x 1 \u003d x 2.

Töredék
=k hívják lejtési tényező egyenes.

Példa. Határozzuk meg az A(1, 2) és B(3, 4) pontokon átmenő egyenes egyenletét!

A fenti képletet alkalmazva a következőket kapjuk:

Egy egyenes egyenlete egy ponttal és egy meredekséggel.

Ha az Ax + Vy + C = 0 egyenes általános egyenlete a következő alakhoz vezet:

és kijelölni
, akkor a kapott egyenletet nevezzük meredekségű egyenes egyenletek.

Egy ponton lévő egyenes és egy irányítóvektor egyenlete.

A normálvektoron átmenő egyenes egyenletét figyelembe vevő ponthoz hasonlóan megadhatja egy ponton keresztüli egyenes hozzárendelését és egy egyenes irányítóvektorát.

Meghatározás. Minden nem nulla vektor ( 1 ,  2), melynek összetevői teljesítik az A 1 + B 2 = 0 feltételt, az egyenes irányító vektorának nevezzük.

Ah + Wu + C = 0.

Példa. Határozzuk meg az egyenes egyenletét egy irányvektorral! (1, -1) és áthaladva az A(1, 2) ponton.

A kívánt egyenes egyenletét a következő formában keressük: Ax + By + C = 0. A definíció szerint az együtthatóknak teljesíteniük kell a feltételeket:

1A + (-1)B = 0, azaz. A = B.

Ekkor az egyenes egyenlete a következő: Ax + Ay + C = 0, vagy x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2 esetén С/A = -3-at kapunk, azaz. kívánt egyenlet:

Egyenes egyenlete szakaszokban.

Ha az Ah + Wu + C egyenes általános egyenletében 0 C 0, akkor –C-vel elosztva kapjuk:
vagy

, Ahol

Az együtthatók geometriai jelentése az, hogy az együttható A az egyenes és az x tengellyel való metszéspont koordinátája, és b- az egyenes és az Oy tengely metszéspontjának koordinátája.

Példa. Adott az x - y + 1 = 0 egyenes általános egyenlete. Keresse meg ennek az egyenesnek az egyenletét a szakaszokban!

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Egy egyenes normálegyenlete.

Ha az Ax + Wy + C egyenlet mindkét oldala 0 osztva a számmal
, ami az úgynevezett normalizáló tényező, akkor megkapjuk

xcos + ysin - p = 0 -

egy egyenes normálegyenlete.

A normalizáló tényező  előjelét úgy kell megválasztani, hogy С< 0.

p az origóból az egyenesbe ejtett merőleges hossza,  pedig a merőleges által az Ox tengely pozitív irányával bezárt szög.

Példa. Adott a 12x - 5y - 65 = 0 egyenes általános egyenlete. Ehhez a sorhoz különféle típusú egyenleteket kell felírni.

ennek az egyenesnek az egyenlete szakaszokban:

ennek az egyenesnek a meredekséggel való egyenlete: (oszd 5-tel)

egy egyenes normál egyenlete:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Meg kell jegyezni, hogy nem minden egyenes ábrázolható egyenlettel szegmensekben, például a tengellyel párhuzamos vagy az origón áthaladó egyenesek.

Példa. Az egyenes egyenlő pozitív szakaszokat vág le a koordinátatengelyeken. Írja fel egy egyenes egyenletét, ha az ezen szakaszok által alkotott háromszög területe 8 cm 2!

Az egyenes egyenlete a következőképpen alakul:
a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nem felel meg a feladat feltételének.

Teljes:
vagy x + y - 4 = 0.

Példa.Írja fel az A ponton (-2, -3) átmenő egyenes egyenletét és az origót!

Az egyenes egyenlete a következőképpen alakul:
, ahol x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Egy sík vonalai közötti szög.

Meghatározás. Ha két egyenest y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , akkor a vonalak közötti hegyesszöget a következőképpen határozzuk meg

.

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2 .

Két egyenes merőleges, ha k 1 = -1/k 2 .

Tétel. Ax + Vy + C = 0 és A egyenesek 1 x + B 1 y + C 1 = 0 párhuzamos, ha az A együtthatók arányosak 1 =  A, B 1 =  B. Ha C 1 =  C, akkor a vonalak egybeesnek.

Két egyenes metszéspontjának koordinátáit ezen egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként találjuk meg.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete

merőleges erre az egyenesre.

Meghatározás. Az M 1 (x 1, y 1) ponton átmenő és az y \u003d kx + b egyenesre merőleges egyenest a következő egyenlet ábrázolja:

Egy pont és egy egyenes távolsága.

Tétel. Ha egy pont M(x 0 , y 0 ), akkor az Ax + Vy + C = 0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg

.

Bizonyíték. Legyen az M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból az adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:

Az x 1 és y 1 koordináták az egyenletrendszer megoldásaként találhatók:

A rendszer második egyenlete egy adott M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete, amely merőleges egy adott egyenesre.

Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 + C = 0,

majd megoldva a következőket kapjuk:

Ezeket a kifejezéseket az (1) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy:

.

A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x - 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y - 3 = 0 egyenesek merőlegesek.

Megtaláljuk: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, ezért a vonalak merőlegesek.

Példa. Az A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) háromszög csúcsai adottak. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!

Megtaláljuk az AB oldal egyenletét:
; 4x = 6y-6;

2x - 3y + 3 = 0;

A kívánt magassági egyenlet: Ax + By + C = 0 vagy y = kx + b.

k = . Ekkor y =
. Mert a magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet:
ahol b = 17. Összesen:
.

Válasz: 3x + 2y - 34 = 0.

Analitikus geometria a térben.

Vonalegyenlet a térben.

A térbeli egyenes egyenlete egy pont által és

irányvektor.

Vegyünk egy tetszőleges egyenest és egy vektort (m, n, p) párhuzamos az adott egyenessel. Vektor hívott útmutató vektor egyenes.

Vegyünk két tetszőleges M 0 (x 0, y 0, z 0) és M(x, y, z) pontot az egyenesen.

z

M1

Jelöljük ezeknek a pontoknak a sugárvektorait mint És , ez nyilvánvaló - =
.

Mert vektorok
És kollineárisak, akkor az összefüggés igaz
= t, ahol t valamilyen paraméter.

Összességében ezt írhatjuk: = + t.

Mert ezt az egyenletet az egyenes bármely pontjának koordinátái kielégítik, akkor a kapott egyenlet: egy egyenes paraméteres egyenlete.

Ez a vektoregyenlet koordináta alakban ábrázolható:

Ezt a rendszert átalakítva és a t paraméter értékeit egyenlővé téve egy térbeli egyenes kanonikus egyenleteit kapjuk:

.

Meghatározás. Iránykoszinusz közvetlenek a vektor iránykoszinuszai , amely a következő képletekkel számítható ki:

;

.

Innen kapjuk: m: n: p = cos : cos : cos.

Az m, n, p számokat nevezzük lejtési tényezők egyenes. Mert nem nulla vektor, m, n és p nem lehet egyszerre nulla, de ezek közül egy vagy kettő lehet nulla. Ebben az esetben az egyenes egyenletében a megfelelő számlálókat nullával kell egyenlővé tenni.

Egyenlet egy egyenes térben haladva

két ponton keresztül.

Ha két tetszőleges M 1 (x 1, y 1, z 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2) pontot egy térbeli egyenesen jelölünk, akkor ezeknek a pontoknak a koordinátáinak meg kell felelniük a fent kapott egyenes:

.

Ezenkívül az M 1 pontra írhatjuk:

.

Ezeket az egyenleteket együtt megoldva a következőt kapjuk:

.

Ez a tér két pontján áthaladó egyenes egyenlete.

Egyenes térbeli általános egyenletei.

Az egyenes egyenlete két sík metszésvonalának egyenletének tekinthető.

Amint azt fentebb tárgyaltuk, egy vektor formájú síkot a következő egyenlettel lehet megadni:

+ D = 0, ahol

- normál sík; - a sík tetszőleges pontjának sugárvektora.

Ez a cikk egy síkon elhelyezkedő téglalap alakú koordinátarendszer két megadott pontján átmenő egyenes egyenletének levezetését mutatja be. Levezetjük egy téglalap alakú koordinátarendszer két megadott pontján átmenő egyenes egyenletét. Vizuálisan bemutatunk és megoldunk több példát a tárgyalt anyaghoz kapcsolódóan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mielőtt megkapnánk a két adott ponton áthaladó egyenes egyenletét, néhány tényre figyelni kell. Van egy axióma, amely szerint egy síkon két nem egybeeső ponton keresztül lehet egyenest húzni, és csak egyet. Más szóval, a sík két adott pontját az ezeken a pontokon áthaladó egyenes határozza meg.

Ha a síkot az Oxy téglalap alakú koordinátarendszer adja meg, akkor bármely benne ábrázolt egyenes megfelel a síkon lévő egyenes egyenletének. Összefüggés van az egyenes irányítóvektorával is, ezek az adatok elegendőek egy két adott ponton átmenő egyenes egyenletének felállításához.

Vegyünk egy példát egy hasonló probléma megoldására. Meg kell fogalmazni annak a egyenesnek az egyenletét, amely a derékszögű koordinátarendszerben elhelyezkedő két nem illeszkedő M 1 (x 1, y 1) és M 2 (x 2, y 2) ponton halad át.

Az x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y alakú síkon lévő egyenes kanonikus egyenletében egy O x y téglalap alakú koordinátarendszert egy egyenessel adunk meg, amely egy M koordinátájú pontban metszi. 1 (x 1, y 1) a → = (a x, a y) vezetővektorral.

Meg kell alkotni az a egyenes kanonikus egyenletét, amely két M 1 (x 1, y 1) és M 2 (x 2, y 2) koordinátájú ponton fog áthaladni.

Az a egyenesnek van egy M 1 M 2 → irányítóvektora (x 2 - x 1, y 2 - y 1), mivel az M 1 és M 2 pontokat metszi. Megszereztük a szükséges adatokat ahhoz, hogy a kanonikus egyenletet az M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) irányvektor koordinátáival és a rajtuk fekvő M 1 pontok koordinátáival transzformáljuk. (x 1, y 1) és M 2 (x 2, y 2) . Az x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 vagy x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 alakú egyenletet kapjuk.

Tekintsük az alábbi ábrát.

A számításokat követően felírjuk egy egyenes paraméteres egyenleteit egy olyan síkban, amely két M 1 (x 1, y 1) és M 2 (x 2, y 2) koordinátájú ponton halad át. Az x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ vagy x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ alakú egyenletet kapjuk y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Nézzünk meg közelebbről néhány példát.

1. példa

Írja fel egy M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 koordinátájú ponton átmenő egyenes egyenletét !

Megoldás

Az x 1 , y 1 és x 2 , y 2 koordinátájú két pontban metsző egyenes kanonikus egyenlete x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . A probléma feltétele szerint x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Az x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 egyenletben számértékeket kell helyettesíteni. Innentől azt kapjuk, hogy a kanonikus egyenlet az x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 alakot veszi fel.

Válasz: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ha egy problémát más típusú egyenlettel kell megoldani, akkor kezdetben a kanonikus egyenlethez lehet kapcsolódni, mivel abból könnyebben juthatunk el bármely másikhoz.

2. példa

Állítsa össze az O x y koordinátarendszer M 1 (1, 1) és M 2 (4, 2) koordinátájú pontjain átmenő egyenes általános egyenletét!

Megoldás

Először fel kell írni egy adott egyenes kanonikus egyenletét, amely átmegy az adott két ponton. Az x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 alakú egyenletet kapjuk.

A kanonikus egyenletet a kívánt formára hozzuk, majd kapjuk:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Válasz: x - 3 y + 2 = 0 .

Az algebra órákon az iskolai tankönyvekben ilyen feladatokra volt példa. Az iskolai feladatok abban különböztek egymástól, hogy ismert volt a meredekségi együtthatójú egyenes egyenlete, amelynek alakja y \u003d k x + b. Ha meg kell találnia a k meredekség értékét és a b számot, amelynél az y \u003d k x + b egyenlet definiál egy egyenest az O x y rendszerben, amely átmegy az M 1 (x 1, y 1) és M pontokon 2 (x 2, y 2) , ahol x 1 ≠ x 2 . Amikor x 1 = x 2 , akkor a meredekség felveszi a végtelen értékét, és az M 1 M 2 egyenest egy x - x 1 = 0 alakú általános hiányos egyenlet határozza meg. .

Mert a pontok M 1És M 2 egy egyenesen vannak, akkor koordinátáik kielégítik az y 1 = k x 1 + b és y 2 = k x 2 + b egyenletet. Meg kell oldani az y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b egyenletrendszert k és b vonatkozásában.

Ehhez találjuk a k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 vagy k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Ilyen k és b értékekkel az adott két ponton átmenő egyenes egyenlete a következő alakot ölti: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 vagy y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ilyen nagy számú képlet egyszerre memorizálása nem fog működni. Ehhez növelni kell az ismétlések számát a problémák megoldásában.

3. példa

Írja fel az M 2 (2, 1) és y = k x + b koordinátájú pontokon átmenő meredekségű egyenes egyenletét!

Megoldás

A probléma megoldásához egy meredekségű képletet használunk, amelynek alakja y \u003d k x + b. A k és b együtthatónak olyan értéket kell felvennie, hogy ez az egyenlet egy olyan egyenesnek feleljen meg, amely két M 1 (- 7 , - 5) és M 2 (2, 1) koordinátájú ponton halad át.

pontokat M 1És M 2 egy egyenesen elhelyezkedő, akkor koordinátáik megfordítják az y = k x + b egyenletet a helyes egyenlőségre. Innen azt kapjuk, hogy - 5 = k · (- 7) + b és 1 = k · 2 + b. Vessük össze az egyenletet a - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b rendszerbe, és oldjuk meg.

Csere után azt kapjuk

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Most a k = 2 3 és b = - 1 3 értékeket behelyettesítjük az y = k x + b egyenletbe. Azt kapjuk, hogy az adott pontokon átmenő kívánt egyenlet egy y = 2 3 x - 1 3 alakú egyenlet lesz.

Ez a megoldási mód nagy időráfordítást előre meghatároz. Van mód arra, hogy a feladatot szó szerint két lépésben oldják meg.

Felírjuk az M 2 (2, 1) és M 1 (- 7, - 5) pontokon átmenő egyenes kanonikus egyenletét, amelynek alakja x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Most térjünk át a lejtőegyenletre. Azt kapjuk, hogy: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Válasz: y = 2 3 x - 1 3 .

Ha a háromdimenziós térben van egy O x y z téglalap alakú koordinátarendszer két megadott nem egybeeső ponttal M 1 (x 1, y 1, z 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinátákkal, akkor a A rajtuk áthaladó M egyenes 1 M 2 , akkor ennek az egyenesnek az egyenletét kell megkapni.

Megvan, hogy az x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z alakú kanonikus egyenletek és az x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ parametrikus egyenletek az O x y z koordinátarendszerben olyan egyenest tud felállítani, amely az (x 1, y 1, z 1) koordinátákkal rendelkező pontokon halad át a → = (a x, a y, a z) irányítóvektorral.

Egyenes M 1 M 2 irányvektora M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) , ahol az egyenes átmegy az M 1 (x 1, y 1, z) ponton 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2), ezért a kanonikus egyenlet a következő lehet: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 vagy x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, viszont parametrikus x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ vagy x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Tekintsünk egy ábrát, amely 2 adott térbeli pontot és egy egyenes egyenletét mutatja.

4. példa

Írja fel egy háromdimenziós tér O x y z téglalap alakú koordinátarendszerében meghatározott egyenes egyenletét, amely áthalad a megadott két ponton M 1 (2, - 3, 0) és M 2 (1, - 3, - 5) koordinátákkal. ) .

Megoldás

Meg kell találnunk a kanonikus egyenletet. Mivel háromdimenziós térről beszélünk, ez azt jelenti, hogy amikor egy egyenes áthalad adott pontokon, akkor a kívánt kanonikus egyenlet x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = alakot ölt. z - z 1 z 2 - z 1 .

Feltétel szerint x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Ebből következik, hogy a szükséges egyenletek a következőképpen írhatók fel:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Válasz: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt