A fent tárgyalt példa arra enged következtetni, hogy az elemzéshez használt értékek véletlenszerű okokból függenek, ezért az ilyen változókat ún. véletlen. A legtöbb esetben megfigyelések vagy kísérletek eredményeként merülnek fel, amelyek táblázatba foglalva az első sorba az X valószínűségi változó különböző megfigyelt értékeit, a másodikban pedig a megfelelő gyakoriságokat rögzítik. Ezért hívják ezt a táblázatot X valószínűségi változó empirikus eloszlása vagy variációs sorozat. A variációs sorozatokhoz az átlagot, a diszperziót és a szórást találtuk.

folyamatos, ha értékei teljesen kitöltenek egy bizonyos numerikus intervallumot.

A valószínűségi változót ún diszkrét, ha minden értéke számozható (különösen, ha véges számú értéket vesz fel).

Két dolgot kell megjegyezni jellemző tulajdonságok diszkrét valószínűségi változók eloszlási táblái:

A táblázat második sorában minden szám pozitív;

Összegük eggyel egyenlő.

Az elvégzett kutatásnak megfelelően feltételezhető, hogy a megfigyelések számának növekedésével az empirikus eloszlás megközelíti a táblázatos formában megadott elméleti eloszlást.

Egy diszkrét valószínűségi változó fontos jellemzője a matematikai elvárása.

Matematikai elvárás Az X diszkrét valószínűségi változót, , , ..., .értékeket vesz fel , , ... valószínűséggel, számnak nevezzük:

A várható értéket átlagnak is nevezik.

A valószínűségi változó további fontos jellemzői a variancia (8) és a szórás (9).

ahol: az érték matematikai elvárása X.

. (9)

Az információk grafikus ábrázolása sokkal vizuálisabb, mint a táblázatos, ezért nagyon gyakran használják az MS Excel táblázatok azon képességét, hogy a bennük lévő adatokat különféle diagramok, grafikonok és hisztogramok formájában jelenítsék meg. Tehát a táblázaton kívül egy valószínűségi változó eloszlását is a segítségével ábrázoljuk eloszlási sokszög. Ehhez a koordinátasíkon , , ... koordinátájú pontokat építünk fel, és egyenes szakaszokkal kötjük össze.

Az elosztási téglalap MS Excel segítségével történő lekéréséhez a következőket kell tennie:

1. Válassza az „Insert” ® „Area Chart” fület az eszköztáron.

2. Jobb egérgombbal aktiválja az MS Excel lapon megjelenő diagramterületet, és használja a helyi menü „Adatok kiválasztása” parancsát.

Rizs. 6. Adatforrás kiválasztása

Először is határozzuk meg a diagram adattartományát. Ehhez írja be a C6:I6 tartományt az „Adatforrás kiválasztása” párbeszédpanel megfelelő területére (ez a Series1 frekvenciaértékeket jeleníti meg, 7. ábra).

Rizs. 7. 1. sor hozzáadása

A sorozat nevének megváltoztatásához válassza ki a „Legend elements (series)” terület módosítása gombot (lásd 7. ábra), és nevezze el.

Ha X-tengely címkét szeretne hozzáadni, használja a „Szerkesztés” gombot a „Vízszintes tengely címkéi (kategóriák)” területen.
(8. ábra), és jelölje meg a sorozat értékeit ($C$6:$I$6 tartomány).

Rizs. 8. Az „Adatforrás kiválasztása” párbeszédpanel végső nézete

Gomb kiválasztása az Adatforrás kiválasztása párbeszédpanelen
(8. ábra) lehetővé teszi számunkra, hogy megkapjuk egy valószínűségi változó eloszlásának szükséges sokszögét (9. ábra).

Rizs. 9. Valószínűségi változó eloszlási sokszöge

Végezzünk néhány változtatást az eredményül kapott grafikus információ kialakításán:

Adjunk hozzá egy címkét az X tengelyhez;

Szerkesszük az Y tengely címkéjét;

- Adjunk egy címet az „Eloszlási sokszög” diagramhoz.

Ehhez válasszuk ki az eszköztár területén a „Diagramok kezelése” fület, az „Elrendezés” fület és a megjelenő eszköztárban a megfelelő gombokat: „Chart title”, „Axes titles” (10. ábra).

Rizs. 10. A valószínűségi változó eloszlási sokszögének végső képe

Véletlen változó olyan mennyiség, amely kísérlet eredményeként olyan vagy olyan értéket vehet fel, amely előre nem ismert. Vannak véletlen változók nem folyamatos (diszkrét)És folyamatos típus. A nem folytonos mennyiségek lehetséges értékei előre felsorolhatók. A folyamatos mennyiségek lehetséges értékeit nem lehet előre felsorolni és folyamatosan pótolni egy bizonyos hiányt.

Példa diszkrét valószínűségi változókra:

1) Ahányszor a címer három érmefeldobásban megjelenik. (lehetséges értékek 0;1;2;3)

2) A címer megjelenési gyakorisága ugyanabban a kísérletben. (lehetséges értékek)

3) A meghibásodott elemek száma egy öt elemből álló eszközben. (Lehetséges értékek 0;1;2;3;4;5)

Példák folytonos valószínűségi változókra:

1) Az ütközési pont abszcisszán (ordinátája) lövéskor.

2) Távolság a becsapódási pont és a cél középpontja között.

3) A készülék üzemideje (rádiólámpa).

A véletlenszerű változókat nagybetűkkel, lehetséges értékeit pedig megfelelő kis betűkkel jelöljük. Például X a három lövéssel elért találatok száma; lehetséges értékek: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Tekintsünk egy X nem folytonos valószínűségi változót X 1, X 2, ..., X n lehetséges értékekkel. Ezen értékek mindegyike lehetséges, de nem biztos, és az X érték mindegyiket felveheti bizonyos valószínűséggel. A kísérlet eredményeként X értéke ezen értékek valamelyikét veszi fel, vagyis az összeférhetetlen események teljes csoportjának egyike fog bekövetkezni.

Jelöljük ezeknek az eseményeknek a valószínűségét p betűkkel a megfelelő indexekkel:

Mivel az összeférhetetlen események egy teljes csoportot alkotnak, akkor

vagyis egy valószínűségi változó összes lehetséges értékének valószínűségének összege egyenlő 1-gyel. Ez a teljes valószínűség valahogy eloszlik az egyes értékek között. Egy valószínűségi változó valószínűségi szempontból teljes mértékben leírható, ha ezt az eloszlást definiáljuk, vagyis pontosan megadjuk, hogy az egyes események mekkora valószínűséggel rendelkeznek. (Ez létrehozza a valószínűségi változók úgynevezett eloszlásának törvényét.)

Valószínűségi változó eloszlásának törvénye minden olyan összefüggés, amely kapcsolatot létesít egy valószínűségi változó lehetséges értékei és a megfelelő valószínűség között. (Egy valószínűségi változóról azt mondjuk, hogy egy adott eloszlási törvény hatálya alá tartozik)

A valószínűségi változó eloszlási törvényének megadásának legegyszerűbb formája egy táblázat, amely felsorolja a valószínűségi változó lehetséges értékeit és a megfelelő valószínűségeket.

Asztal 1.

Véletlen változók. Eloszlási sokszög

Véletlen változók: diszkrét és folytonos.

A sztochasztikus kísérlet során elemi események tere jön létre - a kísérlet lehetséges eredményei. Úgy gondolják, hogy az elemi események ezen a tere adott véletlenszerű érték X, ha adott egy törvény (szabály), amely szerint minden elemi eseményhez szám tartozik. Így az X valószínűségi változó az elemi események terén definiált függvénynek tekinthető.

■ Véletlen változó- olyan mennyiség, amely minden vizsgálat során felvesz egy vagy másik számértéket (előre nem tudni, hogy melyik), véletlenszerű, előre nem vehető okok függvényében. A véletlenszerű változókat a latin ábécé nagybetűi jelölik, a valószínűségi változók lehetséges értékeit pedig kis betűk jelölik. Tehát kockadobáskor az x számhoz kapcsolódó esemény történik, ahol x a dobott pontok száma. A pontok száma egy valószínűségi változó, és az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok ennek az értéknek a lehetséges értékei. Az a távolság, amelyet a lövedék megtesz, amikor fegyverből kilőnek, szintén véletlenszerű változó (az irányzék felszerelésétől, a szél erősségétől és irányától, a hőmérséklettől és egyéb tényezőktől függően), és ennek az értéknek a lehetséges értékei hozzátartoznak. egy bizonyos intervallumra (a; b).

■ Diszkrét valószínűségi változó– olyan valószínűségi változó, amely bizonyos valószínűséggel különálló, izolált lehetséges értékeket vesz fel. Egy diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma lehet véges vagy végtelen.

■ Folyamatos valószínűségi változó– egy valószínűségi változó, amely minden értéket felvehet valamilyen véges vagy végtelen intervallumból. Egy folytonos valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma végtelen.

Például a dobott pontok száma kockadobáskor, a teszt pontszáma diszkrét valószínűségi változók; a távolság, amelyet a lövedék repül a fegyverből való kilövéskor, az oktatási anyag elsajátításának ideje mutató mérési hibája, az ember magassága és súlya folytonos valószínűségi változók.

Valószínűségi változó eloszlási törvénye– egy valószínűségi változó lehetséges értékei és azok valószínűségei közötti megfelelés, pl. Minden lehetséges x i érték hozzá van rendelve ahhoz a p i valószínűséghez, amellyel a valószínűségi változó felveheti ezt az értéket. A valószínűségi változó eloszlási törvénye megadható táblázatos formában (táblázat formájában), analitikusan (képlet formájában) és grafikusan.

Legyen egy diszkrét X valószínűségi változó x 1, x 2, …, x n értékeket p 1, p 2, …, p n valószínűséggel, azaz. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Ha táblázatban megadjuk ennek a mennyiségnek az eloszlási törvényét, akkor a táblázat első sora tartalmazza az x 1 , x 2 , ..., x n lehetséges értékeket, a második sor pedig ezek valószínűségét tartalmazza.

x	x 1	x 2	…	x n
p	1. o	p2	…	p n

A teszt eredményeként egy diszkrét X valószínűségi változó a lehetséges értékek közül csak egyet vesz fel, ezért az X=x 1, X=x 2, ..., X=x n események páronként összeférhetetlenek teljes csoportját alkotják. eseményeket, és ezért ezen események valószínűségeinek összege eggyel egyenlő, azaz. p 1 + p 2 +… + p n =1.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye. Eloszlási sokszög (poligon).

Mint tudják, a valószínűségi változó olyan változó, amely az esettől függően bizonyos értékeket vehet fel. A véletlenszerű változókat a latin ábécé nagybetűivel (X, Y, Z), értékeiket pedig a megfelelő kisbetűkkel (x, y, z) jelöljük. A véletlen változókat nem folytonosra (diszkrét) és folytonosra osztják.

A diszkrét valószínűségi változó olyan valószínűségi változó, amely csak egy véges vagy végtelen (megszámlálható) értékhalmazt vesz fel bizonyos nem nulla valószínűséggel.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye egy olyan függvény, amely összekapcsolja egy valószínűségi változó értékeit a megfelelő valószínűségekkel. Az elosztási törvényt a következő módok egyikén lehet megadni.

1. Az elosztási törvényt a táblázat segítségével adhatjuk meg:

ahol λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) az F(x) eloszlásfüggvény felhasználásával, amely minden x értékre meghatározza annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz. F(x) = P(X< x).

Az F(x) függvény tulajdonságai

3. Az eloszlási törvény grafikusan megadható - eloszlási sokszöggel (sokszöggel) (lásd 3. feladat).

Vegye figyelembe, hogy bizonyos problémák megoldásához nem szükséges ismerni az elosztási törvényt. Bizonyos esetekben elegendő egy vagy több olyan szám ismerete, amelyek az elosztási törvény legfontosabb jellemzőit tükrözik. Ez lehet egy szám, amely egy valószínűségi változó „átlagértékét” jelenti, vagy olyan szám, amely egy valószínűségi változó átlagos értékétől való eltérésének átlagos nagyságát mutatja. Az ilyen számokat egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek nevezzük.

Egy diszkrét valószínűségi változó alapvető numerikus jellemzői:

Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása (átlagértéke) M(X)=Σ x i p i.
Binomiális eloszlásnál M(X)=np, Poisson eloszlásnál M(X)=λ
Egy diszkrét valószínűségi változó diszperziója D(X)= M 2 vagy D(X) = M(X 2)− 2. Az X–M(X) különbséget egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének nevezzük.
Binomiális eloszlás esetén D(X)=npq, Poisson eloszlás esetén D(X)=λ
Átlagos négyzet eltérés (szórás) σ(X)=√D(X).

· Egy variációsorozat bemutatásának egyértelműsége érdekében a grafikai képei nagy jelentőséggel bírnak. Grafikusan egy variációsorozat ábrázolható sokszögként, hisztogramként és kumulátumként.

· Egy eloszlási sokszöget (szó szerint eloszlási sokszöget) szaggatott vonalnak nevezünk, amely téglalap alakú koordinátarendszerben van felállítva. Az attribútum értéke az abszcisszán, a megfelelő frekvenciák (vagy relatív gyakoriságok) az ordinátán látható. A pontokat (vagy) egyenes szakaszokkal kötjük össze, és egy eloszlási sokszöget kapunk. A sokszögeket leggyakrabban diszkrét variációs sorozatok ábrázolására használják, de használhatók intervallumsorozatokhoz is. Ebben az esetben az ezen intervallumok felezőpontjainak megfelelő pontokat az abszcissza tengelyen ábrázoljuk.

X i	X 1	X 2	…	X n
P i	P 1	P2	…	Pn

Ezt a táblázatot hívják elosztás közelében Véletlen változók.

Az eloszlási sorozat vizuálisabb megjelenése érdekében annak grafikus ábrázolásához folyamodnak: a valószínűségi változó lehetséges értékeit az abszcissza tengely mentén, ezen értékek valószínűségét pedig az ordináta tengelye mentén ábrázolják. (Az érthetőség kedvéért a kapott pontokat egyenes szakaszokkal kötjük össze.)

1. ábra – eloszlási sokszög

Ezt a figurát hívják eloszlási sokszög. Az eloszlási sokszög az eloszlási sorozathoz hasonlóan teljes mértékben jellemzi a valószínűségi változót; az eloszlási törvény egyik formája.

Példa:

egy kísérletet végzünk, amelyben A esemény megjelenhet, de előfordulhat, hogy nem A esemény valószínűsége = 0,3. Vegyünk egy X valószínűségi változót - az A esemény előfordulásának számát egy adott kísérletben. Az X érték eloszlásának sorozatát és sokszögét kell megszerkeszteni.

2. táblázat.

X i
P i	0,7	0,3

2. ábra - Elosztási függvény

Elosztási funkció egy valószínűségi változó univerzális jellemzője. Minden valószínűségi változóra létezik: nem folytonosra és nem folytonosra is. Az eloszlásfüggvény teljes mértékben jellemez egy valószínűségi változót valószínűségi szempontból, vagyis az eloszlási törvény egyik formája.

Ennek a valószínűségi eloszlásnak a kvantitatív jellemzésére célszerű nem az X=x esemény valószínűségét, hanem az X esemény valószínűségét használni.

Az F(x) eloszlásfüggvényt néha kumulatív eloszlásfüggvénynek vagy kumulatív eloszlási törvénynek is nevezik.

Valószínűségi változó eloszlásfüggvényének tulajdonságai

1. Az F(x) eloszlásfüggvény az argumentumának nem csökkenő függvénye, azaz for ;

2. Mínusz végtelenben:

3. Plusz végtelenben:

3. ábra – eloszlási függvény grafikonja

Eloszlási függvény grafikonjaáltalában egy nem csökkenő függvény grafikonja, amelynek értékei 0-tól kezdődnek és 1-ig mennek.

Egy valószínűségi változó eloszlássorozatának ismeretében lehetőség nyílik a valószínűségi változó eloszlásfüggvényének megszerkesztésére.

Példa:

az előző példa feltételeihez állítsa össze a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét.

Szerkesszük meg az X eloszlásfüggvényt:

4. ábra – X eloszlásfüggvény

Elosztási funkció bármely nem folytonos diszkrét valószínűségi változóból mindig van egy nem folytonos lépésfüggvény, amelynek ugrásai a valószínűségi változó lehetséges értékeinek megfelelő pontokon következnek be, és megegyeznek ezen értékek valószínűségével. Az eloszlásfüggvény-ugrások összege 1.

Ahogy egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma növekszik, és a közöttük lévő intervallumok csökkennek, az ugrások száma megnő, és maguk az ugrások kisebbek:

5. ábra

A lépcsőzetes görbe simábbá válik:

6. ábra

A valószínűségi változó fokozatosan közelít a folytonos értékhez, az eloszlásfüggvénye pedig a folytonos függvényhez. Vannak olyan valószínűségi változók is, amelyek lehetséges értékei folyamatosan kitöltenek egy bizonyos intervallumot, de az eloszlásfüggvény nem mindenhol folytonos. És bizonyos pontokon eltörik. Az ilyen valószínűségi változókat kevertnek nevezzük.

7. ábra

14. probléma. A készpénzes lottón 1 1 000 000 rubel nyeremény, 10 100 000 rubel nyeremény kerül kijátszásra. és 100 nyeremény, egyenként 1000 rubel. összesen 10 000 darab jeggyel. Keresse meg a véletlenszerű nyeremények eloszlásának törvényét! x egy sorsjegy tulajdonosának.

Megoldás. Lehetséges értékek ehhez x: x 1 = 0; x 2 = 1000; x 3 = 100000;

x 4 = 1000000. Valószínűségük rendre egyenlő: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Ezért a nyeremények elosztásának törvénye x a következő táblázattal adható meg:

15. probléma. Diszkrét valószínűségi változó x az elosztási törvény adja meg:

Készítsen eloszlási sokszöget.

Megoldás. Építsünk téglalap alakú koordinátarendszert, és ábrázoljuk a lehetséges értékeket az abszcissza tengely mentén x i,és az ordináta tengely mentén - a megfelelő valószínűségek p i. Ábrázoljuk a pontokat M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6;0,4) és M 4 (8;0,3). Ezeket a pontokat egyenes szakaszokkal összekötve megkapjuk a kívánt eloszlási sokszöget.

§2. Valószínűségi változók numerikus jellemzői

A valószínűségi változót teljes mértékben az eloszlási törvénye jellemzi. A valószínűségi változó numerikus jellemzőinek felhasználásával átlagolt leírást kaphatunk

2.1. Várható érték. Diszperzió.

Hagyja, hogy egy valószínűségi változó ennek megfelelően vegyen fel értékeket valószínűségekkel.

Meghatározás. Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása az összes lehetséges értéke és a megfelelő valószínűségek szorzatának összege:

A matematikai várakozás tulajdonságai.

Egy valószínűségi változó átlagérték körüli szórását diszperzió és szórása jellemzi.

Egy valószínűségi változó varianciája a valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérésének matematikai elvárása:

A számításokhoz a következő képletet használjuk

A diszperzió tulajdonságai.

2. , ahol egymástól független valószínűségi változók vannak.

3. Szórás.

16. probléma. Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! Z = X+ 2Y, ha ismertek a valószínűségi változók matematikai elvárásai xÉs Y: M(x) = 5, M(Y) = 3.

Megoldás. A matematikai elvárás tulajdonságait használjuk. Akkor kapjuk:

M(X+ 2Y)= M(x) + M(2Y) = M(x) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

17. probléma. Valószínűségi változó varianciája x egyenlő 3-mal. Határozzuk meg a valószínűségi változók varianciáját: a) –3 X; b) 4 x + 3.

Megoldás. Alkalmazzuk a diszperzió 3., 4. és 2. tulajdonságát. Nekünk van:

A) D(–3x) = (–3) 2 D(x) = 9D(x) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X+ 3) = D(4x) + D(3) = 16D(x) + 0 = 16 . 3 = 48.

18. probléma. Adott egy független valószínűségi változó Y– kockadobáskor szerzett pontok száma. Határozza meg egy valószínűségi változó eloszlási törvényét, matematikai elvárását, szórását és szórását! Y.

Megoldás. Véletlen változók eloszlástáblázata Y a következő formában van:

Akkor M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 + (5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2, 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.