A szimmetria, mint a külső szépség kritériuma. Arc aszimmetria: kóros rendellenességek okai és korrekciójuk módszerei

)
Időpontja: 2017-10-17 Nézetek: 18 963 Fokozat: 5.0

A képzés célja: korrigálja az arc aszimmetriáját 3 ponton (szemöldök, szem, ajkak).

Az ember arca nem szimmetrikus, akárcsak a test, és ez nem meglepő.

Vannak azonban olyan esetek, amikor az arc aszimmetriája súlyos és pszichológiai kényelmetlenséget okoz. Azonnal hadd tegyek egy fenntartást, hogy nem minden típusú aszimmetriát lehet gyakorlatokkal korrigálni.

Az aszimmetria gyakorlatokkal nem korrigálható, ha:

• csontdeformitások okozzák;
• kóros deformitások;
• nagyon „régi” ideggyulladás az arcidegben;
• bizonyos esetekben a Botex injekciók következményei az úgynevezett mellékhatások.

Az aszimmetria okai

Ezenkívül az arc aszimmetriája nagyban függ a test állapotától. Arc és test kapcsolatáról.

Dióhéjban: gerincferdüléssel, lordózissal, kismedencei torzulásokkal és a mozgásszervi rendszer egyéb elváltozásaival aszimmetria lép fel, és a korrekcióját a sarokkal kell kezdeni!

De az ASZIMMETRIA a túlzott arckifejezések, arckifejezések és viselkedési szokások következménye lehet. Mindez világossá válik, ha például videón alaposan megnézi az arcát.

Mosolyogjon, beszéljen, csak az egyik oldalát rágja meg, vagy folyamatosan emelje fel az egyik szemöldökét. Emlékszel az izommemória létezésére? És emlékszik rád, és folyamatosan felfelé húzza aktív szemöldökét, és az egyik szemét kisebbnek teszi.

Hogyan mérjük az aszimmetriát?

Hogyan ellenőrizhető az arc szimmetriája? Fénykép kell! Vigye el a haját az arcától, és kérje meg, hogy készítsen rólad fényképet. A fotó olyan, mint egy útlevél: nem mosolygunk, nem próbálunk nagyszerűen kinézni a fotón.

Vegyünk egy vonalzót, és húzunk egy vízszintes vonalat a szemek (pupillák), a szemöldökök és az ajkak mentén. Kezdje a szemekkel. Hiszen a belső vízmértékünk (szint) éppen a szemkörnyékben hajlik a horizontra, hogy nyugodtan tudj járni és ne ess el.

Most nézzük a 3 eredményül kapott sort. Lehet, hogy az egyik szemöldök magasabb lesz, a másik alacsonyabb, az ajkak sarkai nem egy vonalban vannak.

Ne feledje, hogy az aszimmetriának vannak elfogadható értékei, és ez teljesen természetes, és nem igényel beállítást.

Ahol eltérések vannak a horizonttól, ott az izmokkal kell dolgozni, és egyesek számára elegendő a viselkedési sztereotípiák kijavítása, és minden a helyére kerül az arcon.

Gyakorlatok az arcra az aszimmetria érdekében

Térjünk át a gyakorlatokra.Egyébként bármelyik komplexummal kombinálhatók: , . Csak add hozzá őket az edzésprogramodhoz. Például közben végezzen gyakorlatokat ugyanazon zóna aszimmetriájának javítására.

A példában az egyoldalú arcaszimmetria korrigálásának lehetőségét mérlegelem, amikor az arc feléhez képest alacsonyabban fekvő része rosszabbul működik, azt kevésbé érzi! Például a bal szemöldök, a bal szem, az ajak bal sarka alacsonyabban helyezkedik el, mint az arc jobb oldalán - az ilyen aszimmetriát EGYOLDALNAK nevezik.

Az arc aszimmetriája lehet átlós vagy összetett. Ilyen esetekben jobb a gyakorlatokat egyénileg kiválasztani.

30 ismétlés javasolt, az utolsó számlálásnál 5 másodperces statikus késleltetés van. Az edzés a „BASE” - alapgyakorlatok elvégzésén alapul, speciális gyakorlatok hozzáadásával egy adott zóna aszimmetriájának korrigálására.

Homlok. A szemöldök helyzetének korrekciója

1. gyakorlat: Emelje fel a szemöldökét

Ez egy alapvető gyakorlat. Végrehajtásakor figyelj a szemöldöködre? Melyik emelkedik rosszabbul? Melyiket érzed kevésbé?

Helyezze ujjait a szemöldöke fölé. Erővel emelje fel a szemöldökét, ujjaival ellenálljon. Ügyeljen arra, hogy a gyakorlat során ne legyenek vízszintes ráncok a homlokon, próbálja meg lazítani a vállát, és engedje le, szorosan rögzítse a bőrt a szemöldök felett. A gyakorlat befejezése után koppintson az ujjaival a homlokára.

Térjünk át egy gyakorlatsorra a különböző szemöldökmagasság-pozíciók korrigálására:

2. gyakorlat: szemöldök felváltva felhúzása

Ujjait helyezze a homlokra, a szemöldök fölé, és enyhén tartsa a bőrt az ujjaival, hogy ne gyűljön össze redőkben. Most felváltva emelje fel a szemöldökét: most balra, most jobbra.

Érezze, hogy melyik szemöldök emelkedik rosszabbul, vagy az egyik szemöldök felhúzásakor feszültség és kényelmetlenség lép fel. A rosszabbul megemelkedő szemöldököt 2 számmal kell meghosszabbítani: 1-emelve, 2-re meghosszabbítva. A gyakorlat befejezése után koppintson az ujjaival a homlokára.

3. gyakorlat: egyik szemöldök felhúzása

Miután talált egy olyan szemöldököt, amely rosszabbul működik és alacsonyabban helyezkedik el, külön kell „tanítania”.

A fent található szemöldököt a kezünkkel rögzítjük, a másikat pedig felemeljük úgy, hogy ujjaink falánkkal a szemöldök feletti bőrt fogjuk meg, hogy ne gyűljön össze redőkben. A gyakorlat befejezése után koppintson az ujjaival a homlokára.

Szemek

Általános videó:

1. gyakorlat: a felső szemhéj erősítése

Ez egy alapvető gyakorlat. Előadás közben figyelje a mutatóujja alatti érzéseket; az egyik ujja alatt a pulzációt; az izomremegés kevésbé lesz kifejezett. Amikor becsukja ezt a szemet, próbálja meg egy kicsit erősebben megnyomni az alsó szemhéjat a felső szemhéjával. FONTOS! Ne nyomja túl erősen az ujjait, és ne feszítse a bőrt különböző irányba!

Ujjainkkal megfogjuk a szemzugokat, és kis erőfeszítéssel becsukjuk a szemünket, a felső szemhéjat rányomva az alsókra. Próbálja meg a szemöldökét a helyén tartani, és ne kúszzon le a felső szemhéja mögé, és lazítsa el a homlokát. Aztán kinyitjuk a szemünket. A gyakorlat befejezése után pislogjon a szemével.

2. gyakorlat: a szemek váltakozó munkája

Egyenként csukjuk be a szemünket. A mutató- és középső ujjat a szem sarkába helyezzük, anélkül, hogy megnyomnánk vagy húznánk a bőrt. Felváltva csukjuk be a szemünket: balra, jobbra, balra... Amikor az egyik szemünket becsukjuk, a másikat nyitva kell tartani. Ügyeljen arra, hogy lazítsa meg a homlokát, hogy a szemöldök ne essen le a felső szemhéjjal együtt. A gyakorlat befejezése után pislogjon a szemével.

Ajkak sarkai

Általános videó:

1. gyakorlat: segít megemelni az ajkak lelógó sarkait

Ez egy alapvető gyakorlat. Ujjaival rögzítse a nasolabialis területet (a száj sarkától az orrlyukig). Emeld felfelé az ajkaid sarkait, mintha mosolyognál, ujjaiddal fejts ki ellenállást, az ajkak sarkainak mozgása felfelé halad a szemed alatt, miközben ajkaid közepe ellazul. Ügyeljen arra, hogy az ujjai ne futjanak végig az arcán; amikor felemeli, az ajka sarka az ujjaira támaszkodik.

2. gyakorlat: az ajkak sarkainak felváltva emelése

Ujjaival rögzítse a nasolabialis területet (a száj sarkától az orrlyukig). Ajkaink sarkait VÁLTOZTATVA emeljük felfelé, mintha az egyik ajkunk sarkával mosolyognánk, ujjainkkal ellenállást fejtünk ki, ajkaink sarkainak mozgása felfelé megy a szemünk alatt, míg ajkaink közepe ellazult. Ügyeljen arra, hogy az ujjai ne futjanak végig az arcán; amikor felemeli, az ajka sarka az ujjaira támaszkodik.

3. gyakorlat: az ajak egyik sarkának felemelése

Ujjainkkal rögzítjük a nasolabialis zónát (a szájzugtól az orrlyukig) az ajaksarok oldaláról, ami alatta található. A száj másik sarkát egyszerűen rögzítjük a kezünkkel, hogy ne keveredjen bele a munkába. Ajkaink sarkát felfelé emeljük, mintha az egyik ajkunk sarkával mosolyognánk, ujjainkkal ellenállást fejtünk ki, ajkunk sarkának mozgása felfelé megy a szem alatt, miközben ajkaink közepe ellazul. . Ügyeljen arra, hogy az ujjai ne futjanak végig az arcán; amikor felemeli, az ajka sarka az ujjaira támaszkodik.

P.S. Egyéni programokat fejlesztek arcépítő tréninghez és Skype-on tartok órákat. Ha érdekel -

Az arc aszimmetriájának kialakulása valamiféle szenzációvá vált, mivel az aszimmetria ritkán észlelhető. Kiderült, hogy az emberek az aszimmetria mértékében éppúgy különböznek, mint az arcvonásaikban. Ezt nemcsak a mérések igazolták, hanem a jobb és bal oldali felek fényképeiből összeállított portrék (nyomtatáskor az egyiket fejjel lefelé kell fordítani) összehasonlítása egy közönséges, pontosan elölről készült személyportréval. Az eredmények teljesen más arcok.

Nincs tökéletes szimmetria a világon. Hiba az arc szimmetriáját szépsége nélkülözhetetlen feltételének tekinteni. Az örökletes tulajdonságok keveréke nem tükröződik vissza a gyermek arcán. Az arc szépségének értékeléséhez fontos a vonások és az enyhe aszimmetria kombinációja, amely egyébként minden ember arcának velejárója, és egyáltalán nem von le a portré érdemeiből. Még a Milói Vénusz és Apollo Belvedere szoborképein sem teljes a szimmetria az arcuk. Jó okkal mondhatjuk, hogy nincs egyetlen olyan arc sem, ahol a jobb és a bal fél vitathatatlanul szigorú szimmetriája lenne. Valószínűleg ezért írta Claudius Galenus, hogy „az igazi szépség a cél tökéletességében fejeződik ki, és minden rész elsődleges célja a szerkezet célszerűsége”. Kétségtelenül igaza volt P. F. Lesgaftnak, amikor azt írta, hogy „az összes izom és izomcsoport harmonikus fejlődésével az arc elveszíti határozott arckifejezését. Az arcvonások egyénisége a megfelelő izmok gyakori használatával érhető el.”

Michelle Monaghan

Tehát tényként kell felismernünk az arc aszimmetriáját, vagyis a jobb és bal felének eltérését: az egyik általában szélesebb, a másik keskenyebb, az egyik magasabb, a másik alacsonyabb. . Az aszimmetria oka a legtöbb esetben a koponyacsontok szerkezeti elemeinek egyenlőtlensége. Az emberi arcon a fokozott aszimmetriát az arckifejezések sajátossága (fiziológiai aszimmetria) határozza meg.

Naomi Watts

Vannak tudományos munkák, amelyekben a tudósok az arc aszimmetriájának alábbi mintáit azonosítják. Ha az arc egyik fele magasabb, akkor keskenyebb is. Ebben az esetben a szemöldök magasabban helyezkedik el, mint az arc másik, szélesebb felén, és a palpebrális repedés nagyobb. Úgy tűnik, hogy a szem egésze felfelé fordul. Az arc bal fele általában magasabban van, mint a jobb. Sok szerző még mindig úgy véli, hogy az arc jobb fele nagyobb, mint a bal, élesebben kiemelkedik, és férfiasságot fejez ki. A bal fele általában lágyabb, tükrözi a nőiességet.

Kate Bosworth

Az arc aszimmetriáját régóta megfigyelték, mint a test általános aszimmetriáját. A portré arcát a fénykép pontos felével és annak tükörképével próbálták helyreállítani. A jobb és a bal fele különböző képeket hozott létre. Nem egyeztek az eredeti verzióval. A mimikai aszimmetriának, bár az arckoponya jobb és bal felének aránytalanságaira rétegezik, szintén megvannak a maga sajátosságai. Megállapítást nyert, hogy a jobb oldali arcizmok idegi szabályozása gazdagabb, a fej és a szem jobb oldali mozgása könnyebben reprodukálódik. Még a jobb szem hunyorogása is megszokottabbnak bizonyul.

Az orvostudományok kandidátusa, plasztikai sebész ""

Leonardo da Vinci még a 15. században olyan rajzokat készített, amelyek az emberi arc és test „isteni” arányait ábrázolják, amelyek máig mérvadóak (1. ábra). Ezek az arányok azonban nem veszik figyelembe azt a tényt, hogy az élő természetben nincsenek abszolút szimmetrikus objektumok: mindegyikben mindig a szimmetria és az aszimmetria egysége van.

Rizs. 1.

A történelem során az emberek megpróbálták „mérni” a szépséget, matematikai képletekkel vagy geometriai arányokkal leírni, ezáltal lehetővé téve annak újrateremtését. Így az ókori Görögországban a természetben megfigyelhető rend és harmónia az istenek és istennők ragyogó képeiben személyesült meg, gyönyörű szobrokban örökítették meg.

A görög szobrászok szerint a szimmetria a természetes testek és az emberi test harmóniáját, arányosságát, harmóniáját jellemzi. Ezért a szimmetria és a szépség fogalma azonos. Elég csak felidézni az építészeti emlékek szigorúan szimmetrikus felépítését, a hagyományos díszek természetesen ismétlődő mintáit, a görög vázák elképesztő harmóniáját (2. kép).

Az emberi arc és test aszimmetriájának tényét az ókori világ művészei és szobrászai ismerték, és felhasználták arra, hogy kifejező és spiritualitást adjanak az általuk készített alkotásokhoz.

Az aszimmetria szembetűnő példája a Milói Vénusz arca (3. ábra). A szimmetria hívei bírálták a női szépség általánosan elfogadott mércéjének formáinak aszimmetriáját, és úgy vélték, hogy Vénusz arca szebb lenne, ha szimmetrikus lenne. A kompozíciós fényképeket nézve azonban azt látjuk, hogy ez nem így van.

A „szimmetria” fogalma közvetlenül kapcsolódik a harmóniához. Az ógörög συμμετρία (arányosság) szóból származik, és valami harmonikus és arányos dolgot jelent egy tárgyban. A „tükör” szimmetria fogalma az emberekre is vonatkozik. Ez a szimmetria a fő forrása a jó arányú emberi test esztétikai csodálatának.

Ez a szimmetria nemcsak szép, hanem funkcionális is. Így a szimmetrikus végtagok lehetővé teszik a könnyű mozgást a térben, a szemek elhelyezkedése lehetővé teszi a megfelelő vizuális kép kialakítását, az egyenes orrsövény pedig a megfelelő légzést. Az élő szervezetek szimmetriája azonban a fejlődés és a működés egyenetlenségei miatt nem jelentkezik matematikai pontossággal.

Az arc szimmetriája és a szépség szabványai

Az idő múlásával a szépség szabványai változtak, de az arc viszonyait és arányait, és ennek megfelelően vonzerejét meghatározó elvek és paraméterek ősidők óta megmaradtak. Ahhoz, hogy egy arc harmonikus legyen, a különböző részeit bizonyos arányban össze kell kapcsolni, amivel teljes egyensúly érhető el. Az arc egyetlen része sem létezik vagy működik a többitől elszigetelten. Az arc bármely részének bármely változása valós vagy látszólagos hatással lesz a többi rész észlelésére és az arc egészére.

Természetes, hogy az emberi arc minden aránya csak hozzávetőleges esztétikai szempontból több okból is:

• Először is, az arc arányai az ember életkorától, nemétől és fizikai fejlettségétől függően változnak, és nagymértékben meghatározzák az egyéni szerkezeti jellemzők.
• Másodszor, az arányosság megítélése a fej helyzetétől függően nehezebbé válik
• A harmadik nehézség az emberi arc aszimmetriájában rejlik, ami gyakran az orr alakjában, a szemrések és a szemöldökök helyzetében, valamint a szájzug helyzetében nyilvánul meg. Az arc két oldala nem hoz létre ugyanazt a tükörképet, még akkor sem, ha az arcot tökéletesen helyesnek érzékeljük.

Így az arc aszimmetriájának ténye, amelyet a jobb és a bal fél egyenlőtlensége fejez ki, amelyek közül az egyik általában szélesebb és magasabb, a másik keskenyebb és alacsonyabb, ma általánosan elfogadott.

A 4. ábrán bemutatott fényképekből jól látható, hogy az abszolút szimmetrikus arcok egyértelműen eltérnek a természetes aszimmetriájú arc eredeti képétől. Véleményünk szerint „szintetikus” a szimmetrikus arcok kevésbé tűnnek vonzónak, mint az eredeti fényképeken, bár a legtöbbre értékelt színészek arcát válogattuk össze az összetett portrék készítéséhez. Ezen túlmenően ezeket az arcokat a legtöbb embernél megfigyeltnél kifejezettebb szimmetria különbözteti meg, de az enyhe aszimmetria csak hangsúlyozza vonzerejüket.

Szépség az aszimmetriában?

Tehát a mindannyiunkban rejlő aszimmetria valóban szép vagy sem? Teljesen nyilvánvaló, hogy nem tartjuk vonzónak az arc szerkezetében a szimmetria jelentős megsértését. A szimmetriától való kis eltérések azonban nem vezetnek be diszharmóniát, hanem csak kedvezően emelik ki az egyéniséget.

A plasztikai sebészhez forduló betegek többsége nem veszi észre az arc és a test arányának aszimmetriáját. Ezért a sebész egyik fontos feladata a konzultáció során, hogy felhívja a páciens figyelmét arányainak sajátosságaira, és részletesen leírja a műtét következtében várható változásokat. Az arc aszimmetriájának korrekcióját nagyban megkönnyíti a minimálisan invazív módszerek alkalmazása, mint pl.

Tehát a kifejezett aszimmetriát általában nem esztétikusnak tekintik, és ilyen esetekben a szimmetrikusabb megjelenés vágya teljesen természetes, és a plasztikai sebészet indikációjaként szolgálhat. Az arc enyhe aszimmetriája azonban csak vonzóvá és egyedivé teszi, ezért nem szabad abszolút szimmetriára törekedni.

A szimmetria és az arányosság fontos összetevői az ember külső szépségének, és bizonyos esetekben az egészség mutatói. De nem mindenki tudja, hogyan kell felmérni az arc és a test arányait és szimmetriáját. Pontosan erről fogunk beszélni.

Egy hosszú orr egyáltalán nem ronthatja el az ember megjelenését? Határozottan igen. Ha az orr arányos az arcával.

Az arc arányának felméréséhez a tükörhöz kell mennie, és meg kell mérnie három távolságot:
a homlokon lévő hajszáltól az orrnyeregig
az orrnyeregtől a felső ajakig
a felső ajaktól az állig.

Ha egyenlőek, akkor egy arányos arc boldog tulajdonosa vagy.

Ha nem, akkor aránytalanság van, ami egyáltalán nem ok a csüggedésre. Először is, ez tartalmazhatja az arc bizonyos vonzerejét és eredetiségét, másodszor pedig az arányok megváltoztathatók.

Az első távolság növelése vagy csökkentése frizura segítségével érhető el, valamint a szemöldök bizonyos formája. A második távolságot szinte mindig az orr hosszának változtatásával korrigálják. A harmadik távolság vizuálisan befolyásolható a megfelelően kiválasztott rúzssal vagy egy tartósabb intézkedéssel - ajakfeltöltéssel.

Az arc szimmetriáját is könnyű felmérni. Figyelni kell a páros anatómiai képződmények elhelyezkedésére és alakjára: szemöldök, szem, fül, nasolabialis redők.

Ha ugyanazon a szinten helyezkednek el és azonos alakúak, akkor az arc szimmetrikus. Az arc szimmetriája nem csak esztétikai szempontból nagyon fontos. Hirtelen felszakadása számos súlyos neurológiai betegség fontos diagnosztikai jele.

A test arányait legkönnyebben a térfogata alapján lehet megítélni: mellkas, derék és csípő.

Egy arányos testalkatú emberben a mellkas térfogata dominál. Geometriailag az ideális férfialak a fejjel lefelé fordított egyenlőszárú háromszög.

Egy arányos női alakban a mellkas és a csípő térfogata megközelítőleg megegyezik egymással. És a derékbőség 1/3-ával kisebb legyen, mint ez a két térfogat. Elég csak felidézni a jól ismert szabványt: 90cm -60cm-90cm. A 120cm-80cm-120cm arány azonban nem kevésbé arányos. Az ideál geometriai kifejezése a homokóra alakzat.

Vizuálisan a szükséges arányokat ruházattal, fűzővel és bizonyos fizikai gyakorlatokkal érik el. Vannak azonban olyan problémás területek, amelyeket meglehetősen nehéz korrigálni, például a hírhedt „gerincnadrág” - a combok oldalsó felületének felső része. Itt hatékonyan segíthet a megfelelően elvégzett zsírleszívás.

A test szimmetriáját a páros képződmények is értékelik. A kulcscsontok, a mellbimbók, a lapockák, az elülső felső csípőtüskék és a fari redők legyenek azonos szinten.

Érdemes tudni, hogy a test szimmetriájának látható megsértése mindig ok a mozgásszervi rendszer alapos vizsgálatára.

Általánosságban elmondható, hogy ha bármilyen paraméter alapján értékeljük megjelenésünket, legyen az arányosság, szimmetria vagy valami más, akkor nem kell túlzottan válogatósnak lenned.

Bizonyos vonások, tökéletlenségek, aránytalanságok azok, amelyek megkülönböztetnek minket egymástól, és ezért egyedivé tesznek bennünket.

Egyelőre ne derítsük ki, hogy valóban létezik-e abszolút szimmetrikus személy. Természetesen mindenkinek lesz anyajegye, hajszála vagy más részlete, ami megtöri a külső szimmetriát. A bal szem sohasem pontosan ugyanaz, mint a jobb, és a szájzugok különböző magasságban vannak, legalábbis a legtöbb ember számára. Ezek azonban csak kisebb következetlenségek. Senki sem vonja kétségbe, hogy külsőleg az ember szimmetrikusan épül fel: a bal kéz mindig megfelel a jobbnak, és mindkét kéz pontosan ugyanaz! Állj meg. Itt érdemes megállni. Ha valóban teljesen egyforma lenne a kezünk, bármikor kicserélhetnénk. Lehetséges lenne mondjuk transzplantációval a bal tenyeret átültetni a jobb kézre, vagy egyszerűbben a bal kesztyűt a jobb kézre illeszteni, de valójában nem ez a helyzet.

Nos, persze mindenki tudja, hogy a kezünk, fülünk, szemünk és más testrészeink között ugyanaz a hasonlóság, mint egy tárgy és annak tükörben való tükröződése között. Az Ön előtt álló könyv a szimmetria és a tükörtükrözés kérdéseivel foglalkozik.

Sok művész nagyon odafigyelt az emberi test szimmetriájára és arányaira, legalábbis addig, amíg az a vágy nem hajtotta őket, hogy alkotásaiban minél közelebbről kövessék a természetet. Ismeretesek az Albrecht Dürer és Leonardo da Vinci által összeállított prodortius-kánonok. E kánonok szerint az emberi test nemcsak szimmetrikus, hanem arányos is. Leonardo felfedezte, hogy a test egy körbe és egy négyzetbe illeszkedik. Dürer egyetlen mértéket keresett, amely bizonyos kapcsolatban állna a törzs vagy a láb hosszával (a kar hosszát a könyökig tartotta ilyen mértéknek).

A modern festészeti iskolákban a fej függőleges méretét leggyakrabban egyetlen mértéknek tekintik. Egy bizonyos feltevés mellett feltételezhetjük, hogy a test hossza nyolcszor akkora, mint a fej. Első pillantásra ez furcsának tűnik. De nem szabad elfelejtenünk, hogy a legtöbb magas embernek hosszúkás koponyája van, és éppen ellenkezőleg, ritkán találkozni alacsony, kövér férfival, hosszúkás fejjel.

A fej mérete nemcsak a test hosszával arányos, hanem a többi testrész méretével is. Minden ember erre az elvre épül, ezért is hasonlítunk általában egymásra. (A hasonlóságra vagy a hasonlatosságra néhány oldalon visszatérünk.) Az arányaink azonban csak megközelítőleg konzisztensek, ezért az emberek csak hasonlóak, de nem egyformák. Mindenesetre mindannyian szimmetrikusak vagyunk! Ráadásul egyes művészek különösen hangsúlyozzák ezt a szimmetriát alkotásaikban.

A TÖKÉLETES SZIMMETRIA UNÁLÓ

És a ruházatban az ember általában igyekszik fenntartani a szimmetria benyomását: a jobb ujj a balnak, a jobb nadrágszár a balnak felel meg.

A kabát és az ing gombjai pontosan középen ülnek, és ha eltávolodnak tőle, akkor szimmetrikus távolságra. Egy nőnek csak ritkán van elég bátorsága ahhoz, hogy valóban aszimmetrikus ruhát vegyen fel (a továbbiakban látni fogjuk, mennyire megengedettek a szimmetriától való erős eltérések).

De ennek az általános szimmetriának a hátterében, apró részletekben szándékosan megengedjük az aszimmetriát, például a hajunkat oldalsó elválasztásban fésüljük - bal vagy jobb oldalon. Vagy mondjuk egy aszimmetrikus zsebet helyezünk a mellkasra egy öltönyön, amit gyakran egy sál hangsúlyoz ki. Vagy csak az egyik kezének gyűrűsujjára gyűrűt tenni. A rendeléseket és a jelvényeket csak a mellkas egyik oldalán viselik (általában a bal oldalon).

A teljes hibátlan szimmetria elviselhetetlenül unalmasnak tűnik. Az ettől való kis eltérések adnak jellegzetes, egyéni vonásokat. Albrecht Durer híres önarcképe első pillantásra teljesen szimmetrikusnak tűnik. De ha közelebbről megnézzük, észrevesz egy kis aszimmetrikus részletet, amely élénkséget és vitalitást ad a képnek: egy hajszál az elválás közelében.

Ugyanakkor néha az ember megpróbálja hangsúlyozni és megerősíteni a bal és a jobb közötti különbséget. A középkorban a férfiak egy időben különböző színű szárú nadrágot viseltek (például az egyik piros, a másik fekete vagy fehér). És manapság népszerűek voltak a fényes foltokkal vagy színes foltokkal ellátott farmernadrágok. De az ilyen divat mindig rövid életű. Csak a tapintatos, a szimmetriától való szerény eltérések maradnak meg sokáig.

MI A HASONLÓSÁG?

Gyakran mondjuk, hogy két ember hasonlít egymásra. A gyerekek általában úgy néznek ki, mint a szüleik (legalábbis a nagymamáik szerint). Hasonló, de nem ugyanaz!

Próbáljuk megérteni, mit értünk hasonlóságon vagy hasonlóságon a matematikában. Hasonló ábrák esetén a megfelelő szegmensek arányosak egymással. Esetünkben ezt a helyzetet a következőképpen fogalmazhatjuk meg: a hasonló orrok alakja megegyezik, de méretük eltérő lehet. Ebben az esetben az orr minden egyes részének (például az orrnyeregnek) arányosnak kell lennie az összes többi részével.

Ez a hasonlóság törvénye néha akadozik. Például egy ilyen problémában:

Az A torony magassága 10 m, tőle X távolságban van egy hatméteres B torony. Ha az A torony lábától és tetejétől egyenes vonalakat húzunk a B torony tetején keresztül, akkor ezek találkoznak, ill. , a C torony lába és teteje, melynek magassága 15 m. Mekkora a távolság az A toronytól a B toronyig?

Úgy tűnik, hogy a probléma megoldásához elegendő egy iránytűt és egy vonalzót felvenni. De rögtön kiderül, hogy végtelen számú válasz lesz. Más szóval, nem lehet egyértelmű választ adni az X értékére vonatkozó kérdésre.

Ebben a könyvben gyakran találkozik majd gondolkodást igénylő problémákkal. Ennek van egy bizonyos pedagógiai jelentése. Az ilyen jellegű problémák, még ha nincs is rájuk megoldás, mint amilyen a fentebb javasoltunk, valamilyen, tudásunk határain belüli problémához kapcsolódnak. Többnyire éppen ezek azok a korlátok, amelyek előtt a híres „józan ész” enged, és csak a szigorúan vett matematikai logikai gondolkodás, a természettudományokkal párosulva vezethet a helyes döntéshez.

Térjünk vissza az emberre: az élőlények összehasonlításakor egyértelműen érezhető a hasonlóság, ha arányaik egybeesnek. Ezért a gyerekek és a felnőttek hasonlóak lehetnek. Bár bármely testrész tömege és mérete – legyen az orr vagy száj – eltérő, a hasonló egyedek aránya azonos.

A hasonlóság szembetűnő példája a távolság vizuális becslése a hüvelykujj segítségével. Ily módon a katonák és a tengerészek megbecsülik a távolságot két pont között a földön vagy a tengeren, összehasonlítva azokat egy ujj vagy ököl szélességével. A legegyszerűbb esetben becsukják az egyik szemüket, és nyitott szemmel egy kinyújtott kéz ujját nézik, és azt irányzékként használják.

Ha egy kinyújtott kéz hüvelykujjával látunk (egyszer a bal, a másikat a jobb szemmel), az ujj körülbelül 6°-ot "ugrál"

Ha kinyitja az előzőleg csukott szemét (és becsukja a másikat), az ujj látható távolságra elmozdul oldalra. Fokozatban kifejezve ez a távolság 6°. És ráadásul ennek az „ugrásnak” a nagysága (a megengedett hibán belül) minden ember számára azonos! Tehát a jobb oldali társaság, egy két méter magas srác, és a legkisebb - a balszárny, mindössze hatvan méter magas, az ujj ezen „ugrásait” összehasonlítva ugyanazt az értéket kapja.

Ennek a jelenségnek az oka végső soron az emberek hasonlóságában rejlik, és természetesen a látásunkat irányító optika törvényeiben.

Az „ökölszabály” is ismert – a szó legszó szerinti értelmében – a szög nagyságának durva becslésére. Ha egy szemünkkel egy kinyújtott kéz öklére nézünk (ezúttal ugyanazzal a szemmel), akkor az ököl szélessége 10°, a phalangusok két csontja közötti távolság pedig 3° lesz. Az oldalra nyújtott ököl és hüvelykujj 15°-os lesz. Ezeket a méréseket kombinálva megközelítőleg megmérheti a talajon lévő összes szöget.

És végül még egy szögmérték testünkről, ami hasznos lehet a háztartási munkához. A kinyújtott tenyér hüvelyk- és kisujja közötti szög 90°. Ez valószínűtlennek tűnik, de Ön azonnal mindent ellenőrizhet, ha tenyere kinyújtott ujjait könyvünk sarkára helyezi. Helyezze a kisujját pontosan párhuzamosan az egyik éllel, és mozgassa lefelé a kezét addig, amíg a hüvelykujja is az alsó élre nem támaszkodik. biztos vagy ebben?

Természetesen itt a hiba néha viszonylag nagynak bizonyul, hiszen a kéz életkorától és fejlettségétől függően a hüvelykujj különböző távolságokra állítható hátra. De az első teszthez, amely lehetővé teszi annak eldöntését, hogy a mért szög jelentősen eltér-e a derékszögtől, ez a módszer meglehetősen megfelelő.

VONALORSZÁG ÉS SÍKORSZÁG

A képzelőerővel felruházott emberek már régóta észrevették, hogy a kétdimenziós térre oly szigorú kongruencia törvényei a gyakorlatban gyakran megkövetelik egy harmadik dimenzió használatát.

A hivatalos fogadás terítésekor a szalvétákat általában háromszögbe hajtják. De amint összegyűjti ezeket a háromszögeket egy halomba, egymásra, rájön, hogy ezeknek a háromszögeknek két típusa van: némelyik azonnal „illeszkedik” egymáshoz, míg másokat „jobb oldalra” kell fordítani. ” Hasonló probléma lép fel kis alkatrészek bélyegzésekor, amikor valaki megpróbálja egymásra rakni a kész terméket.

A költők és írók hajlamosak többé-kevésbé valószínű helyzetekről fantáziálni. Így vannak olyan művek, amelyekben az életet kétdimenziós térben ábrázolják (ahol nem lehet megfordítani a „szalvétát”).

Egyes szerzők még ennél is tovább mennek, és megpróbálják elképzelni az életet az egydimenziós térben, az Egyenes Országban - Linelandben. Linelandben csak vékony fapálcák laknak, amelyek a legegyszerűbb esetben sem különböznek egymástól. Azonban amint fejet adsz nekik (azonnal a gyufa jut eszembe!), azonnal két lehetőségük van.

Illetve az összes gyufa feje ugyanabba az irányba néz – akkor a kombinálásuk nem okoz nehézséget. Vagy néhány gyufa úgy fekszik, hogy a feje balra, néhány pedig jobbra. A linelandi matematikusnak nincs gyakorlati képessége arra, hogy a „baloldali” egyezéseket „jobbra” alakítsa. De egy matematikus a Land of Flatness - Flatlandról, akinek még egy dimenziója van, azonnal talál egy egyszerű megoldást: megfordítja a gyufát a síkban.

Egyes írók szerint azonban az élet Síkföldön nem ilyen egyszerű. Képzeljük el, hogy ennek az országnak a lakói kis téglalapok, amelyeknek az egyik sarkában egy szem (és csak egy szemük van). Ilyen téglalapot természetesen csak síkban lehet látni, és soha nem sikerül felülről néznie ezt a síkot. Tehát egyetlen laposföldi sem fogja tudni elképzelni, hogyan is néz ki valójában: ehhez már háromdimenziós térből kell látni. A laposföldiek házai hasonlóak lennének, mint a gyerekrajzokon. Azzal a különbséggel, hogy az ajtók oldalt lennének, és csak egy síkban nyílnának. De az ajtópántokat a síkon kívül, felette vagy alatta kellene elkészíteni. Emellett komplex tartórendszerre lenne szükség, hogy a ház fala ne omoljon le, amikor a lakók ki akarják nyitni az ajtót. Két síkföldi pedig csak akkor tudott egymásra nézni, ha egyiküknek sikerült a fejére állnia.

A helyzet még bonyolultabb lenne, ha Síkföldön két nép lakna. Mondjuk bal- és jobbkezes síkvidékiek. Nagy fantázia kell ahhoz, hogy elképzeljük egy ilyen helyzet összes lehetséges következményét, főleg, ha figyelembe vesszük, hogy hozzászoktunk a három dimenzióban való gondolkodáshoz!

Mivel Lineland és Flatland is humoros színben került az írók elé, nem meglepő, hogy Angliában e témában irodalom keletkezett.

1880-ban Edwin Ebony Abbott angoltanár írt egy könyvet Síkföldről és lakóiról ( Abbott E. E. Flatland. A könyvben: Abbott E. E. Flatland. Burger D. Sferlandia. -M.: Mir, 1976). Abbott Flatlanderje, miután álomban Linelandben találta magát, hiába próbálja meggyőzni az ott lakókat egy repülőgép létezéséről.

Az akció során az egyik laposföldinek sikerül megértenie a háromdimenziós teret, amiért „a őrültek legőrültebbjeként” ismerik el.

Több mint húsz évvel később, 1907-ben C. G. Hinton kiadta a The Flatland Incident című regényét. Ebben két síkföldi ember háborúzik. Mivel minden síkföldi ugyanabba az irányba néz, az egyik ember mindig reménytelenül hátrányos helyzetbe kerül: nem tud megfordulni és visszavágni a megfelelő irányba - a gyűlölt ellenség állandóan a nyakában ül. De a végén a jó győz. Néhány okos fej észreveszi, hogy Flatland egy labdán található, és ezért megkerülheti azt, és az ellenséges vonalak mögé kerülhet.

A regény szerzője arra a hallgatólagos feltételezésre építi fel történetét, hogy a síkvidékiek csak bizonyos általános irányok mentén mozoghatnak, amelyek kizárják az oldalirányú kitérőket, és lehetetlen megdönteni az ellenséget.

Amint látható, a kétdimenziós térben való élettel kapcsolatban a legkifinomultabb elméleteket terjesztették elő, de ezek soha nem találtak alkalmazásra. Feltételezhető, hogy ezek a könyvek és szerzőik már régen feledésbe merültek volna, ha Linelandre és Flatlandre nem lett volna annyira szükség a tükörreflexió elméletének magyarázatához, és ha az intelligenciaproblémák összeállítóinak nem kellett volna újra és újra Flatlandhoz fordulniuk, hogy ötleteket merítsenek. kétdimenziósságából (egyébként nem is olyan régen készült Magyarországon egy rajzfilm az iskolás Adoljar síkföldi útjáról).

A laposföldiek többek között gördülő platformokon szállítják az árukat a körökre. Minden alkalommal, amikor a rakomány áthalad a körön, az ott lévő szállítótiszt előregördíti a kört, és az emelvény elé helyezi.

Itt sok érdekes probléma merül fel. De minket csak egy dolog érdekel: ha a keréktengely 10 m/perc sebességgel mozog, milyen sebességgel mozog a teher?

Földi autónkról tudjuk, hogy egyetlen kerék (pontosabban egyetlen keréktengely sem) tud gyorsabban mozogni, mint az egész autó. De síkvidéki járműveken a kerék nincs mereven a rakományhoz kötve. Ha belegondolunk, nem nehéz belátni, hogy a terhelés itt két mozdulatból áll.

Először is, a kerék forgástengelyével együtt mozog (ez ugyanaz, mint egy autó). Ezenkívül a terhelés továbbra is a kerék kerülete körül gördül, ugyanakkor a tengely forgási sebességével megegyező sebességgel. Ezért általában a teher a kerék sebességének kétszeresével gördül. Természetesen a rakománynak gyorsabban kell haladnia, mert a kerekek mindig hátramaradnak, és folyamatosan előre kell mozgatni őket.

Egyes olvasók azt gondolják: „A probléma valóban érdekes, de mi van?”

A síkvidéki közlekedés működési elve azonban megállja a helyét technológiánkban. Így egy tervező, aki egy ajtót tervez egy kis helyiségben (például egy kis lift közelében), kénytelen elhagyni a zsanérokat. Az ajtót két részre osztja (persze, ha ilyen trükköt talál ki!), amelyek párhuzamosan futnak egymással. Az ajtó egyik fele a görgő tengelyéhez van rögzítve, a második pedig a görgő kerülete mentén mozog. Míg az egyik fele az ajtó felét mozgatja, addig a másik az ajtó teljes szélességében (dupla sebességgel) átfut.

Ne nézzük le Flatlandot és az írók fantáziáját. Tegyük fel, hogy a laposföldiek valójában a labda felszínén élnek. Ez a felület olyan nagy, hogy a lakók nem veszik észre a görbületét. Természetesen azt gondolják, hogy síkon élnek, hiszen nem tudnak elképzelni egy gömböt: a harmadik dimenzió ugyanis elvileg ismeretlen számukra. Ezért a síkvidéki professzorok síkvidéki matematikát dolgoznak ki, amelyet az iskolákban tanulnak. Az ottani gyerekek megjegyzik például a következő definíciót: két párhuzamos egyenes véges távolságra metszi egymást. Vagy: egy háromszög szögeinek összege meghaladja a 180°-ot. Mi, a háromdimenziós tér emberei tudjuk, hogy a gömbfelület egy kétdimenziós nem euklideszi tér, amely nem illeszkedik a szokásos euklideszi geometriába.

A földgömbre nézve azt látjuk, hogy két, az Egyenlítővel párhuzamos meridián a póluson metszi egymást. A földgömbre nézve az is látható, hogy két meridián 90°-os szöget zár be az egyenlítővel. A pólus metszéspontjában egy másik szög jelenik meg. És mindhárom szög összege mindenképpen nagyobb, mint 180°. De a szegény síkvidékiek mindezt persze el sem tudják képzelni. Biztosak benne, hogy repülőn élnek.

Egy szkeptikus matematikus, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) komolyan azon töprengett, vajon mi, emberek is a síkvidékiek helyzetében vagyunk-e. Talán – gondolta Gauss – mi is egy nemeuklideszi világban élünk, de ezt egyszerűen nem vesszük észre. Ha ez így lenne, akkor a tér görbült lenne (amit persze nem tudtunk elképzelni), és egy kellően nagy háromszögnek 180°-tól eltérő szögösszege lenne. Gauss megmérte a Brocken, Inselberg és Hohe Hagen közötti háromszöget, de nem talált jelentős eltérést a 180°-tól. Ez persze nem szolgálhatott vitathatatlan bizonyítékként, hiszen a háromszög még mindig túl kicsi lehet.

Nem lehet azonban egyszerűen összehasonlítani a nem euklideszi teret a relativitáselméletben tárgyalt térrel. Te és én, a laposföldiek és Gauss egy tisztán geometriai, térbeli problémáról beszélünk, és arról, hogy bizonyos axiómák igazak-e (például két párhuzamos egyenes metszéspontja a végtelenben). A relativitáselmélet hívei az időt negyedik térbeli koordinátaként vezetik be.

A KONGRUENCIÁRÓL

Két síkfigura egybevágó, ha minden szögük és a megfelelő pontok közötti szakaszuk egyenlő.

Az iskolában a háromszögek kongenciájára vonatkozó tételeket tanulunk. Megállapították például, hogy a háromszögek területe egyenlő, ha van egy oldaluk és két szomszédos szög egybeesik. Ez azt jelenti, hogy bár használhat egy oldalt és két szomszédos szöget háromszögek készítéséhez, a háromszögeknek minden részükben egyeznie kell.

A köznyelvi beszédben (amit ebben a könyvben használunk) azt mondhatjuk, hogy az egybevágó síkok pontosan egymásra vannak rakva, vagy fordítva, ha az egyik síkfigura pontosan rá van rakva a másikra, akkor kongruensek. Ugyanez igaz a háromdimenziós testekre is: ha kombinálhatók, akkor kongruensek.

Nézd meg a képen látható háromszögeket. Mindegyik egybevágó. Nyilvánvalóan mindkét balra helyezett háromszög elfér, ha egyszerűen mozgatja őket. De a jobb oldalon elhelyezett háromszög, bár egybevágó a két bal oldalival, nem tudjuk csak a síkban való mozgással kombinálni velük. Akárhogyan is forgatjuk a síkban, soha nem fog igazodni egyik bal oldali háromszöghez sem. Ennek eléréséhez fel kell emelni a háromszöget a sík fölé, el kell forgatni a térben és vissza kell tenni a síkra. De ha összehasonlítjuk az eltolással és invertálással kombinált háromszögek egymáshoz viszonyított helyzetét, akkor látni fogjuk, hogy mindkét esetben a különböző oldalaik egybeesnek. Nyíráskor az egyik papírháromszög alsó felülete átfedi a második háromszög felső felületét. A papírlap felületének térbeli tájolása nem változott. Ebben az esetben azonos kongruenciáról beszélünk. Ha térben elforgatva a papír mindkét felső felülete egy vonalban van, akkor a lapos alakzatokat tükörkongruensnek nevezzük.

Az egybevágó lapos figurák, amelyeket egyenrangúnak érzékelünk, és amelyek síkban eltolva vagy térben elforgatva kombinálhatók egymással.

HÁROMSZÖGEK KONGRUENCIÁJA

A kongruencia a geometriai lapos alakzatok azon tulajdonsága, hogy méretben és alakban egybeesnek egymással.

Azonosan egybevágó ábrák azok, amelyek forgatással és/vagy eltolással kombinálhatók egymással.

A tükör-kongruens figurák azok, amelyek kombinációja további tükörtükrözési műveletet igényel.

A háromszög egybevágóságának négy jele van. A háromszögek egybevágóak, ha:

1) egy háromszög három oldala egyenlő a másik három oldalával (S, S, S);

2) az egyik háromszög két oldala és a közéjük zárt belső szöge egyenlő két oldallal és a közéjük zárt másik háromszög belső szögével (S, Ny, S);

3) az egyik háromszög két oldala és a nagyobbikkal szemközti belső szög egyenlő a másik háromszög két oldalával és a másik háromszög nagyobbjával ellentétes szöge (S, S, W);

4) az egyik háromszög oldala és mindkét vele szomszédos belső szöge egyenlő a másik háromszög oldalával és mindkét vele szomszédos belső szöge (Ny, S, W).

HASONLÓSÁG

A lapos figurák alakjuk, de méretük nem egybeesését hasonlóságnak nevezzük.

Az egyik ábra minden szöge egy hasonló ábra azonos szögének felel meg.

Az ilyen ábrákon a megfelelő szegmensek arányosak.

Eltolással, forgatással és (vagy) tükrözéssel két hasonló figura homotetikus helyzetbe hozható. Ebben a helyzetben mindkét ábra megfelelő oldala párhuzamos egymással.

AXIÁLIS SZIMMETRIA

A síkot egy s egyenes osztja két félsíkra. Ha most elforgatunk egy félsíkot az 5. egyenes körül 180°-kal, akkor ennek a félsíknak minden pontja egybe fog esni a másik félsík pontjaival.

Az s egyenest szimmetriatengelynek nevezzük.

Tekintettel arra, hogy a fordított félsíkon a pontok eredeti helyzetükhöz képest tükörhelyzetben vannak, ezt az inverziót tükörreflexiónak is nevezik. Ha az egyik félsíkra vonalakat húzunk, amelyek bizonyos forgásirányokat jeleznek, akkor a tükörtükrözés után ez az irány az ellenkezőjére változik. Ezért egyetlen tükrözési művelet tükör-kongruens ábrákat hoz létre. Két ilyen művelet azonos egybevágó ábrákat eredményez. Eltolásnak vagy forgatásnak felelnek meg.

SUGÁRSZIMMETRIA

A sugárszimmetrikus alakzatokat az S pont körüli forgatással lehet egymáshoz igazítani. Ezt a pontot szimmetriaközéppontnak nevezzük.

Forgatáskor az ábrák megfelelő pontjai egyesülnek. A forgásirány nem változik. Az így visszatükröződő alak azonosan kongruens.

A későbbi elforgatási műveletek semmilyen módon nem befolyásolják az ábrák azonosságát. 180°-os elforgatási szögnél centrális szimmetriáról beszélünk.

KOCKA TRÜK

A tanárok szerint a kockákkal való játék fejleszti a térbeli képzelőerőt. Így a szülők megvásárolják utódládáikat fényes kockákkal, amelyeket népszerű mesék képtöredékei borítanak. Ha ezeket a kockákat megfelelő módon hajtogatja, látni fogja a Piroska a szürke farkassal vagy a Hófehérke a hét törpével.

Valójában az ilyen típusú kockák és feladványok nem csak a gyerekekben fejlesztik a térbeli képzeletet, hanem mindenkiben – kicsiktől idősekig. Néha különböző formájú rönkökből hajtogathatunk egy-egy kockát.

Ezeket az egyes elemeket közelebbről megvizsgálva úgy tűnik, hogy közülük legalább kettő azonos formájú és méretű, de úgy kapcsolódnak egymáshoz, mint egy bal és jobb kesztyű. Az ilyen típusú rejtvények készítői nyilván remélik, hogy a játékosok nem fogják azonnal észrevenni ezt a különbséget. Ha emlékszünk rá, hányszor kevertük össze a jobb és bal kesztyűt, el kell ismernünk, hogy ezek a remények nem alaptalanok.

Ezeket az elemeket szinte lehetetlen kombinálni. Megjegyzendő, hogy amikor itt (vagy valahol lent) a „gyakorlatilag lehetséges” kifejezést használjuk, akkor egy ilyen feladat gyakorlati megvalósítását értjük.

De vannak olyan matematikai vagy fizikai módszerek is, amelyek lehetővé teszik az elemek kombinálását, legalábbis elméletileg vagy külső jelek szerint - ez további megfontolás tárgya lesz. És mivel az egyik elem egy másikkal való kombinálásáról beszéltünk, egy fontos körülményt különösen meg kell jegyezni. Síkföldön lehetséges lenne a sík figurákat úgy kombinálni, hogy kiemelik őket a síkból és elforgatják őket a térben. Linelandben ugyanígy csak még egy dimenzióra lenne szükség: egy elforgatásra a síkban, és a szegmensek kompatibilisek lesznek.

De térbeli épületeket csak térben tudunk forgatni! És mivel a negyedik dimenzió minden Gauss-féle okoskodás ellenére is zárva van előttünk, még elképzelni is nehéz, hogy a „tégláinkat” mennyire praktikusan (!) tudjuk a háromdimenziós téren kívül máshova is kihelyezni úgy, hogy egymáshoz illeszkedjenek!

A mindennapi életben nagyon gyakran kell hasonló rejtvényeket megoldanunk (hangsúlyozom: praktikusan oldjuk meg, ne játsszunk!), például különféle tárgyak összepakolásánál. Vagy képzeljük el például a központi fűtés radiátorait. Némelyiküknél a beállító szelep a bal oldalon, míg másokon a jobb oldalon található. Hogyan lehet több radiátort csatlakoztatni egy akkumulátorhoz?

A hűtőket, tűzhelyeket és egyéb háztartási cikkeket általában jobb- és balkezes fogantyúkkal, kulcsokkal és csapokkal tervezik. Az ilyen tárgyak negyedik dimenzióban való elforgatásának fantasztikus képessége nagyon tetszene mindenkinek, aki szállításukkal és felszerelésükkel foglalkozik.

NÉZZE MEG A SZÓTÁRBA!

A könyv elején szimmetrikus lénynek neveztük az embert. Ezt követően a „szimmetria” kifejezést már nem használták. Azt azonban már bizonyára észrevette, hogy minden olyan esetben, amikor a vonalszakaszok, lapos alakzatok vagy tértestek hasonlóak voltak, de további műveletek nélkül lehetetlen, „gyakorlatilag” lehetetlen volt ezeket kombinálni, a szimmetria jelenségével találkoztunk. Ezek az elemek megfeleltek egymásnak, mint egy festmény és annak tükörképe. Mint a bal és a jobb kéz. Ha vesszük a fáradságot, hogy belenézzünk az „Idegen szavak szótárába”, azt találjuk, hogy a szimmetria alatt „arányosság, teljes megfelelés az egész részeinek elrendezésében a középvonalhoz, középponthoz képest... ponthoz (szimmetriaközépponthoz), egyeneshez (szimmetriatengelyhez) vagy síkhoz (szimmetriasíkhoz) viszonyított pontok, amelyekben minden két megfelelő pont ugyanazon a szimmetriaközépponton átmenő egyenesen helyezkedik el, ugyanazon a merőlegesen a szimmetria tengelye vagy síkja azonos távolságra van tőlük..." ( Idegen szavak szótára: Szerk. 7., átdolgozva. -M.; Orosz nyelv 1980, p. 465)

És ez még nem minden, ahogy az idegen szavakkal gyakran előfordul, a „szimmetria” szónak sok jelentése van. Pontosan ez az előnye az ilyen kifejezéseknek: olyan esetekben használhatók, amikor nem akarunk egyértelmű definíciót adni, vagy egyszerűen nem ismerünk egyértelmű különbséget két objektum között.

Az „arányos” kifejezést egy személyre, képre vagy bármilyen tárgyra vonatkozóan használjuk, ha kisebb következetlenségek nem teszik lehetővé a „szimmetrikus” szó használatát.

Mivel referenciakönyvekben turkálunk, vessünk egy pillantást az Enciklopédiai szótárra ( Szovjet enciklopédikus szótár - M.: Szovjet enciklopédia, 1980, p. 1219-1220). Itt hat cikket találunk, amelyek a "szimmetria" szóval kezdődnek. Ezenkívül ez a szó sok más cikkben is megjelenik.

A matematikában a „szimmetria” szónak legalább hét jelentése van (köztük szimmetrikus polinomok, szimmetrikus mátrixok). A logikában szimmetrikus kapcsolatok vannak. A szimmetria fontos szerepet játszik a krisztallográfiában (erről ebben a könyvben olvashat bővebben). Érdekesen értelmezik a biológiában a szimmetria fogalmát. A szimmetria hat különböző típusát írja le. Megtudjuk például, hogy a ctenoforok diszimmetrikusak, míg a snapdragon virágok kétoldali szimmetrikusak. Meg fogjuk találni, hogy a szimmetria létezik a zenében és a koreográfiában (táncban). Itt az ütemek váltakozásától függ. Kiderült, hogy sok népdal és tánc szimmetrikusan épül fel.

Tehát meg kell állapodnunk abban, hogy milyen szimmetriáról beszélünk. A vizsgált objektumok természetétől függetlenül a fő érdeklődésünk a tükörszimmetria lesz - a bal és jobb oldal szimmetriája. Látni fogjuk, hogy ez a látszólagos korlát messze a tudomány és a technológia világába visz minket, és lehetővé teszi számunkra, hogy időről időre teszteljük agyunk képességeit (mivel ez a szimmetriára programozott).

PONTOK ÉS VONALAK JÁTÉKA

Még nem hagytuk el Linelandet és Flatlandot. Ennek pedig különleges oka van. Még ha nincsenek is ott lakók, akkor maguk az egyenesek és síkok egészen valóságosak!

Gondoljunk bele, hogyan állnak a dolgok szimmetriával egy egyenes vonalon. Két egyezés segítségével nagyon egyszerűen elképzelhetünk két lehetséges esetet. (A helyzet néhány aspektusát már korábban megvizsgáltuk.) A gyufák egy irányban fekhetnek a fejükkel. Aztán könnyen összeillenek. Vagy úgy, hogy a fejek (vagy hegyek) egymás felé nézzenek. Ebben az esetben az egyenesnek van egy pontja, ahol a tükröt úgy lehet elhelyezni, hogy a gyufa a tükröződéséhez igazodjon. Más szóval, az egyenesen van egy szimmetriaközéppont. El kell képzelnünk, hogy a tükör egy pontba illeszkedik, és egy fél egyenes szakasz tükröződik benne. A matematikai érvelésben ez teljesen lehetséges.

A lapos figurák a szimmetriatengelyekben „visszaverődnek”.

Amikor síkon építünk, a tükrünk továbbra is pont maradhat, esetleg egyenes. Valószínűleg helyesebb, ha fordított sorrendben mondjuk: egy egyenes vagy egy pont tükörként fog szolgálni. Hiszen ha valahol van egy egyenes, akkor lehetséges rajta egy pont szimmetriaközéppont.

A síkfelek tükörtükrözése ugyanúgy néz ki, mint a valódi síkok: a síkot egy egyenes – a tükör – köré forgatva kombinálható a visszaverődéssel, innen ered a „szimmetriatengely” kifejezés.

Egy körnek végtelen számú szimmetriatengelye van. "Clover Leaf" - csak egy

Tehát most már tudjuk, mi a szimmetriaközéppont és a szimmetriatengely, és azt is, hogy egy objektum (vegyük ezt a semleges szót) szimmetrikus, ha az egyik fele kapcsolatban van a másikkal, mint egy kép és a tükörképe.

Egy körnek végtelen számú szimmetriatengelye van, és mindegyik egy közös szimmetriaközépponton halad át. Más ábrák esetében a szimmetriatengelyek száma véges, de mégis minden tengely (kettő vagy több) átmegy a szimmetria középpontján. Ez azt jelenti, hogy a figurát el tudjuk forgatni egy bizonyos szögben (maximum 180°), és ismét pontosan ugyanott fog feküdni, mint az elforgatás előtt.

Folytassuk a tükörszimmetriával kapcsolatos okoskodásunkat. Könnyen megállapítható, hogy tükör segítségével minden szimmetrikus síkfigura önmagához igazítható. Meglepő, hogy az olyan összetett alakzatok is szimmetrikusak, mint az ötágú csillag vagy az egyenlő oldalú ötszög. Mivel ez a tengelyek számából következik, nagy szimmetria jellemzi őket. És fordítva: nem olyan könnyű megérteni, hogy egy ilyen szabályosnak tűnő alak, akár egy ferde paralelogramma, miért aszimmetrikus. Elsőre úgy tűnik, hogy az egyik oldalával párhuzamosan futhat egy szimmetriatengely. De amint szellemileg megpróbálod használni, azonnal meggyőződsz arról, hogy ez nem így van. A spirál is aszimmetrikus.

Furcsa módon egy ilyen látszólag „szimmetrikus” alaknak, mint egy paralelogrammának, nemcsak szimmetriatengelyei vannak, hanem általában tükörszimmetriája is.

Míg a szimmetrikus figurák teljesen megfelelnek a tükröződésüknek, addig az aszimmetrikusak ettől eltérnek: jobbról balra csavarodó spirálból a tükörben balról jobbra csavarodó spirált kapsz. Ezt az ingatlant gyakran használják tömeges játékokban és televíziós versenyeken. A játékosokat megkérjük, hogy nézzenek a tükörbe, és rajzoljanak valami aszimmetrikus figurát, például egy spirált. Ezután rajzolja meg újra a „pontosan ugyanazt” a spirált, de a tükör nélkül. Mindkét rajz összehasonlítása azt mutatja, hogy a spirálok eltérőek: az egyik balról jobbra, a másik jobbról balra csavarodik.

De ami itt a gyakorlati életben viccnek tűnik, az nemcsak a gyerekeknek, hanem a felnőtteknek is sok nehézséget okoz. A gyerekek gyakran kifordítva írnak néhány betűt. A latin N úgy néz ki, mint I, S és Z helyett S és Z. Ha figyelmesen megnézzük a latin ábécé betűit (és ezek is lényegében lapos alakok!), látni fogjuk köztük a szimmetrikus ill. aszimmetrikus. Az olyan betűknek, mint az N, S, Z, nincs egyetlen szimmetriatengelyük (ahogyan az F, G, J, L, P, Q és R). De N, S és Z különösen könnyen írható „fordítva” ( Szimmetria-középpontjuk van. - kb. szerkeszteni). Az összes többi nagybetűnek legalább egy szimmetriatengelye van. Az A, M, T, U, V, W és Y betűk a hosszirányú szimmetriatengely mentén kettéoszthatók. A B, C, D, E, I, K betűk a keresztirányú szimmetriatengely. A H, O és X betűknek két egymásra merőleges szimmetriatengelye van.

Ha tükör elé helyezzük a betűket, párhuzamosan a vonallal, észrevehetjük, hogy azok is leolvashatók a tükörben, amelyeknek a szimmetriatengelye vízszintesen fut. De azok, akiknek a tengelye függőleges vagy hiányzik, „olvashatatlanná” válnak.

Érdekes kérdés, hogy a hosszanti tengelyű betűk miért viselkednek másképp, mint a kereszttengelyűek. Talán te is elgondolkozol ezen. Ennek a jelenségnek az okát később tárgyaljuk.

Vannak gyerekek, akik bal kézzel írnak, és minden betűjük tükrözött, tükröződő formában jön ki. Leonardo da Vinci naplói tükörbetűvel íródnak. Valószínűleg nincs olyan nyomós ok, amely arra kényszerítene bennünket, hogy úgy írjunk leveleket, ahogyan szoktuk. Nem valószínű, hogy a tükörbetűtípust nehezebb elsajátítani, mint a szokásos.

A helyesírás sem lenne könnyebb, és néhány szó, mint például az OTTO, egyáltalán nem változna. Vannak nyelvek, amelyekben a karakterek körvonala a szimmetria jelenlétén alapul. Tehát a kínai írásban a hieroglifa az igazi közepét jelenti.

Az építészetben a szimmetriatengelyeket használják az építészeti tervezés kifejezésére. A mérnöki tudományban a szimmetriatengelyeket a legvilágosabban ott jelölik ki, ahol meg kell becsülni a nulla pozíciótól való eltérést, például egy teherautó vagy egy hajó kormánykerekén.

VILÁGUNK A TÜKÖRBEN

Linelandtől kaptuk a szimmetriaközéppont ötletét, Flatlandtól pedig a szimmetriatengely gondolatát. A térbeli testek háromdimenziós világában, ahol élünk, ennek megfelelően szimmetriasíkok vannak. A „tükörnek” mindig egy dimenziója van kisebb, mint a tükröződő világnak. A kerek testeket nézve azonnal látható, hogy szimmetriasíkjuk van, de hogy pontosan hányat, azt nem mindig könnyű eldönteni.

Tegyünk egy labdát a tükör elé, és kezdjük el lassan forgatni: a tükörben látható kép semmiben sem fog eltérni az eredetitől, persze ha a golyó felületén nem lesz semmi jellegzetes. Egy ping-pong labda számtalan szimmetriasíkot mutat. Vegyünk egy kést, vágjuk le a golyó felét és tegyük a tükör elé. A tükörkép ezt a felét ismét egész labdává teszi.

De ha veszünk egy földgömböt, és figyelembe vesszük a szimmetriáját, figyelembe véve a rajta jelölt földrajzi körvonalakat, akkor egyetlen szimmetriasíkot sem találunk.

Síkföldön egy számtalan szimmetriatengellyel rendelkező alak egy kör volt. Ezért nem kell meglepődnünk azon, hogy a térben hasonló tulajdonságok rejlenek a labdában. De ha egy kör egyfajta, akkor a háromdimenziós világban végtelen számú szimmetriasíkkal rendelkező testek egész sora létezik: egy egyenes henger körrel az alján, egy kúp kör vagy félgömb alakú. alap, labda vagy labdaszegmens. Vagy vegyünk példákat az életből: cigaretta, szivar, pohár, kúp alakú kilós torta fagyival, drótdarab, pipa.

Ha közelebbről megvizsgáljuk ezeket a testeket, észrevesszük, hogy így vagy úgy mindegyik egy körből áll, végtelen számú szimmetriatengelyen keresztül számtalan szimmetriasík létezik. A legtöbb ilyen testnek (ezeket forradalomtesteknek nevezzük) természetesen van egy szimmetriaközéppontja (kör középpontja), amelyen legalább egy szimmetriatengely áthalad.

Például jól látható a fagylalttölcsér tengelye. A kör közepétől (a fagylaltból kilógó!) a tölcsérkúp éles végéig fut. Egy test szimmetriaelemeinek összességét egyfajta szimmetria-mértékként fogjuk fel. A labda kétségtelenül a szimmetria szempontjából a tökéletesség felülmúlhatatlan megtestesítője, ideális. Az ókori görögök a legtökéletesebb testnek, a kört pedig természetesen a legtökéletesebb lapos alaknak tekintették.

Általában véve ezek az ötletek a mai napig elfogadhatóak. Továbbá a görög filozófusok arra a következtetésre jutottak, hogy az Univerzumot kétségtelenül egy matematikai ideál mintájára kell építeni. Ebből a következtetésből hibák adódtak, amelyek következményeit később tárgyaljuk. Nyilvánvaló, hogy az ókori görögöknek még nem volt fagylaltfelfújása! Ellenkező esetben egy ilyen prózai objektum, amelynek számtalan szimmetriasíkja van, megzavarhatja harmonikus rendszerüket.

Ha összehasonlításképpen megnézünk egy kockát, látni fogjuk, hogy kilenc szimmetriasíkja van. Közülük három felezi a lapjait, hat pedig áthalad a csúcsokon. Egy labdához képest ez persze nem elég.

Vannak-e olyan testek, amelyek a síkok számát tekintve köztes helyzetet foglalnak el a gömb és a kocka között? Kétségtelenül – igen. Csak emlékeznünk kell arra, hogy egy kör lényegében sokszögekből áll. Ezen mentünk keresztül az iskolában a π szám kiszámításakor. Ha minden n-szög fölé egy n-szögű gúlát állítunk, n szimmetriasíkot tudunk rajta keresztül rajzolni.

Lehetne egy 32 oldalas szivart kitalálni, aminek megfelelő szimmetriája lenne!

De ha ennek ellenére a kockát szimmetrikusabb tárgynak érzékeljük, mint a hírhedt fagylaltkilót, akkor ez a felület szerkezetének köszönhető. A labdának csak egy felülete van. A kockában hat van - a lapok számának megfelelően, és mindegyik lapot egy négyzet képviseli. A fagylalttölcsér két felületből áll: egy körből és egy kúp alakú héjból.

Több mint két évezreden át (valószínűleg a közvetlen észlelésnek köszönhetően) hagyományosan az „arányos” geometriai testeket részesítik előnyben. Platón (Kr. e. 427-347) görög filozófus felfedezte, hogy szabályos egybevágó lapos figurákból csak öt háromdimenziós testet lehet felépíteni.

Négy szabályos (egyenlő oldalú) háromszögből egy tetraédert (tetraédert) kapunk. Nyolc szabályos háromszögből építhet egy oktaédert (oktaédert), és végül húsz szabályos háromszögből - egy ikozaédert. És csak négy, nyolc vagy húsz egyforma háromszögből lehet háromdimenziós geometriai testet előállítani. Négyzetekből csak egy térfogati alakot készíthet - egy hatszöget (hexaédert), az egyenlő oldalú ötszögekből pedig egy dodekaédert (dodekaédert).

És mi az, ami a mi háromdimenziós világunkban teljesen nélkülözi a tükörszimmetriát?

Ha Síkföldön lapos spirál volt, akkor a mi világunkban minden bizonnyal csigalépcső vagy csigafúró lesz. Ezen kívül még ezernyi aszimmetrikus dolog és tárgy van a minket körülvevő életben és technikában. A csavarnak általában jobbmenete van. De néha a bal oldali is megtalálható. Így a nagyobb biztonság érdekében a propánpalackokat balmenetes menettel látják el, így nem lehet rájuk csavarni egy szűkítő szelepet, amelyet például egy másik gázos palackhoz szánnak. A hétköznapokban ez azt jelenti, hogy kempingezéskor, tábori tűzhelyen való főzés előtt mindig ki kell próbálni, hogy a hengert melyik irányba csavarják ki.

Egyrészt a labda és a kocka, másrészt a csigalépcső között még mindig sok a szimmetria fokozata. Fokozatosan kivonhatjuk a kockából a szimmetriasíkokat, a tengelyeket és a középpontot, amíg el nem érjük a teljes aszimmetria állapotát.

Mi, emberek, ennek a szimmetria-sorozatnak majdnem a végén állunk, és csak egyetlen szimmetriasík osztja testünket bal és jobb felére. Szimmetriafokunk megegyezik például a közönséges földpátéval (olyan ásvány, amely csillámmal és kvarccal együtt gneiszt vagy gránitot képez).

ÖT PLATÓNI SZILÁRD ANYAG

Szabályos poliéderekre a következő állítások igazak:

1. Bármely poliéderben (beleértve a szabályosakat is), az egy csúcsban konvergáló élek közötti összes szög összege mindig kisebb, mint 360°.

2. Euler-tétel konvex poliéderekre

ahol e a csúcsok száma, ƒ a lapok száma és k az élek száma.

A szabályos poliéderek lapjai csak a következő szabályos sokszögek lehetnek:

3, 4 vagy 5 egyenlő oldalú háromszög 60°-os szöggel. Hat ilyen háromszög már 60° X 6 = 360°-ot ad, és ezért nem korlátozhat poliéderes szöget.

Három négyzet (90° X 3 = 270°), 3 szabályos ötszög (108° X 3 = 324°), 3 szabályos hatszög (120° X 3 = 360°) határoz meg egy poliéder szöget.

Az Euler-tételből és az arcok alakjából az következik, hogy csak 5 szabályos poliéder létezik:

Öt szabályos poliéder táblázat

Arcformák	Szám				Plátói szilárd anyagok
	lapok az egyik csúcsban	csúcsok	arcok	borda
Egyenlő oldalú háromszögek	3	4	4	6	Tetraéder
Azonos	4	6	8	12	Oktaéder
Azonos	5	12	20	30	Ikozaéder
Négyzetek	3	8	6	12	Hexaéder (kocka)
Helyes ötszögek	3	20	12	20	Pentagon-dodekaéder

(A Pentagon dodekaéder bármely lapja egy ötszögletű alak, amelyben négy oldal egyenlő egymással, de különbözik az ötödiktől. - kb. fordítás)