Oldjon meg egy elsőrendű differenciálegyenletet! Elsőrendű differenciálegyenletek

A differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely magában foglal egy függvényt és annak egy vagy több származékát. A legtöbb gyakorlati feladatban a függvények fizikai mennyiségeket képviselnek, a deriváltok e mennyiségek változási sebességének felelnek meg, és egy egyenlet határozza meg a köztük lévő kapcsolatot.

Ez a cikk bizonyos típusú közönséges differenciálegyenletek megoldási módszereit tárgyalja, amelyek megoldásai a következő formában írhatók fel: elemi függvények, azaz polinomiális, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus, valamint ezek inverz függvényei. Ezen egyenletek közül sok a való életben is előfordul, bár a legtöbb más differenciálegyenlet nem oldható meg ezekkel a módszerekkel, és ezekre a választ speciális függvények vagy hatványsorok formájában írják fel, vagy numerikus módszerekkel találják meg.

A cikk megértéséhez jártasnak kell lennie a differenciál- és integrálszámításban, valamint a parciális deriváltakat is. A differenciálegyenletekre, különösen a másodrendű differenciálegyenletekre alkalmazott lineáris algebra alapjainak ismerete is ajánlott, bár ezek megoldásához elegendő a differenciál- és integrálszámítás ismerete.

Előzetes információ

A differenciálegyenletek kiterjedt osztályozással rendelkeznek. Ez a cikk arról szól közönséges differenciálegyenletek, vagyis olyan egyenletekről, amelyek egy változó függvényét és származékait tartalmazzák. A közönséges differenciálegyenleteket sokkal könnyebb megérteni és megoldani, mint parciális differenciálegyenletek, amelyek több változó függvényeit tartalmazzák. Ez a cikk nem tárgyalja a parciális differenciálegyenleteket, mivel az egyenletek megoldására szolgáló módszereket általában az adott formájuk határozza meg.
- Az alábbiakban néhány példa látható a közönséges differenciálegyenletekre.
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- Az alábbiakban néhány példát mutatunk be a parciális differenciálegyenletekre.
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
Rendelés Egy differenciálegyenlet értékét az ebben az egyenletben szereplő legmagasabb derivált sorrendje határozza meg. A fenti közönséges differenciálegyenletek közül az első elsőrendű, míg a második egy másodrendű egyenlet. Fokozat egy differenciálegyenlet azon legnagyobb hatványa, amelyre ennek az egyenletnek az egyik tagját emeljük.
- Például az alábbi egyenlet harmadrendű és másodfokú.
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ jobb)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
A differenciálegyenlet az lineáris differenciálegyenlet abban az esetben, ha a függvény és minden származéka elsőfokú. Ellenkező esetben az egyenlet nemlineáris differenciálegyenlet. A lineáris differenciálegyenletek abból a szempontból figyelemre méltóak, hogy megoldásaikból olyan lineáris kombinációkat lehet alkotni, amelyek az adott egyenlet megoldásai is lesznek.
- Az alábbiakban néhány példa látható a lineáris differenciálegyenletekre.
- Az alábbiakban néhány példát mutatunk be nemlineáris differenciálegyenletekre. Az első egyenlet a szinusztag miatt nemlineáris.
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (n x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
Közös döntés A közönséges differenciálegyenlet nem egyedi, hanem magában foglalja tetszőleges integrációs állandók. A legtöbb esetben a tetszőleges állandók száma megegyezik az egyenlet sorrendjével. A gyakorlatban ezeknek az állandóknak az értékeit a megadottak alapján határozzák meg kezdeti feltételek, vagyis a függvény és származékai értékei szerint x = 0. (\displaystyle x=0.) A megtaláláshoz szükséges kezdeti feltételek száma privát megoldás differenciálegyenlet, a legtöbb esetben megegyezik az adott egyenlet sorrendjével is.
- Ez a cikk például az alábbi egyenlet megoldásával foglalkozik. Ez egy másodrendű lineáris differenciálegyenlet. Általános megoldása két tetszőleges állandót tartalmaz. Ezen állandók megtalálásához ismerni kell a kezdeti feltételeket x (0) (\displaystyle x(0))És x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Általában a kezdeti feltételeket a ponton adják meg x = 0, (\displaystyle x=0,), bár ez nem szükséges. Ez a cikk azt is tárgyalja, hogyan lehet konkrét megoldásokat találni adott kezdeti feltételekre.
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Lépések

1. rész

Elsőrendű egyenletek

A szolgáltatás használatakor bizonyos információk átkerülhetnek a YouTube-ra.

Elsőrendű lineáris egyenletek. Ez a rész az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldásának módszereit tárgyalja általánosságban és speciális esetekben, amikor néhány tag nullával egyenlő. Tegyünk úgy, mintha y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))És q (x) (\displaystyle q(x)) függvények x. (\displaystyle x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\megjelenítési stílus (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) A matematikai elemzés egyik fő tétele szerint a függvény deriváltjának integrálja is függvény. Így elég egyszerűen integrálni az egyenletet a megoldás megtalálásához. Figyelembe kell venni, hogy a határozatlan integrál kiszámításakor egy tetszőleges állandó jelenik meg.
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) A módszert használjuk a változók szétválasztása. Ez a különböző változókat az egyenlet különböző oldalaira helyezi át. Például áthelyezheti az összes tagot innen y (\displaystyle y) egy, és az összes tagot x (\displaystyle x) az egyenlet másik oldalára. A tagok átvihetők is d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)És d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), amelyek a származékok kifejezései között szerepelnek, azonban nem szabad elfelejteni, hogy ez csak egy szimbólum, amely kényelmes egy összetett függvény megkülönböztetésekor. E tagok megbeszélése, melyek ún differenciálművek, túlmutat e cikk keretein.
- Először is át kell helyeznie a változókat az egyenlőségjel ellenkező oldalára.
  - 1 y d y = − p (x) d x (\megjelenítési stílus (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát. Az integrálást követően mindkét oldalon tetszőleges állandók jelennek meg, amelyek átvihetők az egyenlet jobb oldalára.
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Példa 1.1. Az utolsó lépésben a szabályt alkalmaztuk e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))és lecserélték e C (\displaystyle e^(C)) tovább C (\displaystyle C), mivel ez is egy tetszőleges integrációs állandó.
  - d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(igazítva)))
P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Az általános megoldás megtalálása érdekében bemutattuk integráló tényező függvényében x (\displaystyle x) hogy a bal oldalt közös deriváltra redukáljuk és így megoldjuk az egyenletet.
- Szorozd meg mindkét oldalt μ (x) (\displaystyle \mu (x))
  - μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- Ahhoz, hogy a bal oldalt az általános deriváltra redukáljuk, a következő átalakításokat kell végrehajtani:
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- Az utolsó egyenlőség azt jelenti d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Ez egy olyan integráló tényező, amely elegendő bármely elsőrendű lineáris egyenlet megoldásához. Most levezethetjük a képletet ennek az egyenletnek a megoldásához μ , (\displaystyle \mu ,) bár az edzéshez hasznos az összes köztes számítás elvégzése.
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Példa 1.2. Ez a példa bemutatja, hogyan lehet egy adott megoldást találni egy differenciálegyenletre adott kezdeti feltételek mellett.
  - t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(igazított)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
Elsőrendű lineáris egyenletek megoldása (felvétele: Intuit - National Open University).
Nemlineáris elsőrendű egyenletek. Ez a rész néhány elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet megoldásának módszereit tárgyalja. Bár nincs általános módszer az ilyen egyenletek megoldására, néhányat meg lehet oldani az alábbi módszerekkel.
D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Ha a funkció f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) egy változó függvényeire osztható, ilyen egyenletet nevezünk differenciálegyenlet elválasztható változókkal. Ebben az esetben használhatja a fenti módszert:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
- Példa 1.3.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\megjelenítési stílus (\) kezdődik(igazított)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1) (2))y^(2)&=(\frac (1) (4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(igazítva)))
D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Tegyünk úgy, mintha g (x, y) (\displaystyle g(x,y))És h (x , y) (\displaystyle h(x,y)) függvények x (\displaystyle x)És y. (\displaystyle y.) Akkor homogén differenciálegyenlet egy egyenlet, amelyben g (\displaystyle g)És h (\displaystyle h) vannak homogén függvények ugyanolyan mértékben. Vagyis a függvényeknek ki kell elégíteniük a feltételt g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Ahol k (\displaystyle k) homogenitás fokának nevezzük. Bármely homogén differenciálegyenlet használható megfelelő változók helyettesítése (v = y / x (\displaystyle v=y/x) vagy v = x / y (\displaystyle v=x/y)) alakítsa át elválasztható egyenletté.
- Példa 1.4. A homogenitás fenti leírása homályosnak tűnhet. Nézzük meg ezt a koncepciót egy példán keresztül.
  - d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - Először is meg kell jegyezni, hogy ez az egyenlet nemlineáris a következőhöz képest y. (\displaystyle y.) Azt is látjuk, hogy ebben az esetben lehetetlen a változókat szétválasztani. Ugyanakkor ez a differenciálegyenlet homogén, mivel mind a számláló, mind a nevező homogén 3 hatványával. Ezért változtathatunk a változókon v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
  - d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Ennek eredményeként megvan a következő egyenlete v (\displaystyle v) elválasztható változókkal.
  - v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Ez Bernoulli differenciálegyenlet- egy speciális, elsőfokú nemlineáris egyenlet, melynek megoldása elemi függvényekkel írható fel.
- Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
  - (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- Használjuk a szabályt egy komplex függvény megkülönböztetésére a bal oldalon, és az egyenletet lineáris egyenletté alakítjuk y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) amelyeket a fenti módszerekkel lehet megoldani.
  - d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Ez egyenlet a teljes differenciálokban. Meg kell találni az ún potenciális funkció φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), amely megfelel a feltételnek d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- Ennek a feltételnek a teljesítéséhez rendelkeznie kell teljes származék. A teljes derivált figyelembe veszi a többi változótól való függést. A teljes derivált kiszámításához φ (\displaystyle \varphi )Által x , (\displaystyle x,) azt feltételezzük y (\displaystyle y) attól is függhet x. (\displaystyle x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- A feltételek összehasonlítása ad nekünk M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))És N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Ez tipikus eredmény több változós egyenleteknél, amelyekben a sima függvények vegyes deriváltjai egyenlők egymással. Néha ezt az esetet ún Clairaut tétele. Ebben az esetben a differenciálegyenlet teljes differenciálegyenlet, ha a következő feltétel teljesül:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
- A teljes differenciálegyenletek megoldásának módszere hasonló a potenciális függvények megtalálásához több derivált jelenlétében, amelyet röviden tárgyalunk. Először is integráljuk M (\displaystyle M)Által x. (\displaystyle x.) Mert a M (\displaystyle M) egy függvény és x (\displaystyle x), És y , (\displaystyle y,) az integráció során egy hiányos függvényt kapunk φ , (\displaystyle \varphi ,) néven jelölték meg φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Az eredmény attól is függ y (\displaystyle y) integrációs állandó.
  - φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- Ezek után kapni c (y) (\displaystyle c(y)) tekintetében vehetjük a kapott függvény parciális deriváltját y , (\displaystyle y,) egyenlővé tenni az eredményt N (x, y) (\displaystyle N(x,y))és integrálni. Először is integrálhatja N (\displaystyle N), majd vegyük a parciális deriváltot x (\displaystyle x), amely lehetővé teszi egy tetszőleges függvény megtalálását d(x). (\displaystyle d(x).) Mindkét módszer alkalmas, és általában az egyszerűbb függvényt választják az integrációhoz.
  - N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) részleges (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- 1.5. példa. Felveheti a részleges deriváltokat, és láthatja, hogy az alábbi egyenlet egy teljes differenciálegyenlet.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(igazított)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(igazított)))
  - d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\megjelenítési stílus x^(3)+xy^(2)=C)
- Ha a differenciálegyenlet nem teljes differenciálegyenlet, akkor bizonyos esetekben találhat olyan integráló tényezőt, amely lehetővé teszi, hogy teljes differenciálegyenletté konvertálja. Az ilyen egyenleteket azonban ritkán használják a gyakorlatban, és bár az integráló tényező létezik, előfordul, hogy megtalálja Nem könnyű, ezért ezeket az egyenleteket ez a cikk nem veszi figyelembe.

2. rész

Másodrendű egyenletek

Homogén lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal. Ezeket az egyenleteket a gyakorlatban széles körben alkalmazzák, így megoldásuk elsődleges fontosságú. Ebben az esetben nem homogén függvényekről beszélünk, hanem arról, hogy az egyenlet jobb oldalán 0. A következő részben bemutatjuk, hogyan kell megoldani a megfelelőt. heterogén differenciál egyenletek. Lent a (\displaystyle a)És b (\displaystyle b)állandók.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Karakterisztikus egyenlet. Ez a differenciálegyenlet abból a szempontból figyelemre méltó, hogy nagyon könnyen megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy megoldásai milyen tulajdonságokkal rendelkezzenek. Az egyenletből egyértelmű, hogy y (\displaystyle y)és származékai arányosak egymással. A korábbi példákból, amelyeket az elsőrendű egyenletekről szóló részben tárgyaltunk, tudjuk, hogy csak egy exponenciális függvény rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Ezért lehetséges előterjeszteni ansatz(tanult találgatás) arról, hogy mi lesz ennek az egyenletnek a megoldása.
- A megoldás exponenciális függvény alakja lesz e r x , (\displaystyle e^(rx),) Ahol r (\displaystyle r) egy állandó, amelynek értékét meg kell találni. Helyettesítse be ezt a függvényt az egyenletbe, és kapja meg a következő kifejezést
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- Ez az egyenlet azt jelzi, hogy egy exponenciális függvény és egy polinom szorzatának nullának kell lennie. Ismeretes, hogy a kitevő nem lehet egyenlő nullával a fok egyetlen értékénél sem. Ebből arra következtetünk, hogy a polinom egyenlő nullával. Így a differenciálegyenlet megoldásának problémáját az algebrai egyenlet megoldásának sokkal egyszerűbb feladatára redukáltuk, amelyet egy adott differenciálegyenletre jellemző egyenletnek nevezünk.
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- Két gyökerünk van. Mivel ez a differenciálegyenlet lineáris, általános megoldása részmegoldások lineáris kombinációja. Mivel ez egy másodrendű egyenlet, tudjuk, hogy az igazánáltalános megoldás, és nincs más. Ennek szigorúbb indoklása a megoldás létezéséről és egyediségéről szóló tételekben rejlik, amelyek a tankönyvekben találhatók.
- Hasznos módszer annak ellenőrzésére, hogy két megoldás lineárisan független-e, a számítás Wronskiana. Vronskian W (\displaystyle W) egy olyan mátrix determinánsa, amelynek oszlopai függvényeket és azok egymást követő deriváltjait tartalmazzák. A lineáris algebra tétele kimondja, hogy a Wronski-függvények lineárisan függőek, ha a Wronski egyenlő nullával. Ebben a részben ellenőrizhetjük, hogy két megoldás lineárisan független-e – ehhez meg kell győződnünk arról, hogy a Wronskian nem nulla. A Wronski-féle inhomogén, állandó együtthatójú differenciálegyenletek változó paraméterekkel történő megoldásánál fontos.
  - W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- A lineáris algebra szempontjából egy adott differenciálegyenlet megoldásainak halmaza egy vektorteret alkot, amelynek mérete megegyezik a differenciálegyenlet nagyságrendjével. Ezen a téren lehet bázist választani lineárisan független döntéseket egymástól. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a függvény y (x) (\displaystyle y(x))érvényes lineáris operátor. Derivált van lineáris operátor, mivel a differenciálható függvények terét az összes függvény terévé alakítja. Az egyenleteket homogénnek nevezzük azokban az esetekben, amikor bármely lineáris operátor esetén L (\displaystyle L) megoldást kell találnunk az egyenletre L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)
Most nézzünk tovább néhány konkrét példát. A karakterisztikus egyenlet többszörös gyökének esetét kicsit később, a sorrend redukálásáról szóló részben fogjuk megvizsgálni.
Ha a gyökerek r ± (\displaystyle r_(\pm )) különböző valós számok, a differenciálegyenletnek a következő megoldása van
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\megjelenítési stílus y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
Két összetett gyökér. Az algebra alaptételéből az következik, hogy a valós együtthatós polinomiális egyenletek megoldásainak gyökerei valósak vagy konjugált párokat alkotnak. Ezért ha egy komplex szám r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) akkor a karakterisztikus egyenlet gyöke r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) ennek az egyenletnek a gyökere is. Így a megoldást formába írhatjuk c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) azonban ez egy összetett szám, és gyakorlati problémák megoldásához nem kívánatos.
- Ehelyett használhatja Euler-képlet e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), amely lehetővé teszi a megoldás trigonometrikus függvények formájában történő felírását:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ béta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- Most már konstans helyett c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))írd le c 1 (\displaystyle c_(1)), és a kifejezés i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) kicserélve c 2. (\displaystyle c_(2).) Ezek után a következő megoldást kapjuk:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\béta x))
- Van egy másik módja is a megoldás amplitúdó és fázis szerinti megírásának, ami jobban megfelel a fizikai feladatoknak.
- 2.1. példa. Keressünk megoldást az alábbiakban megadott differenciálegyenletre a megadott kezdeti feltételekkel. Ehhez ki kell venni a kapott oldatot, valamint származéka, és behelyettesítjük őket a kezdeti feltételekbe, ami lehetővé teszi számunkra tetszőleges állandók meghatározását.
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0, r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\fc (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )én)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\megjelenítési stílus x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 ( − 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobb)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra)\end(igazított)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\jobbra))
N-edrendű differenciálegyenletek megoldása állandó együtthatókkal (az Intuit - National Open University felvétele).
Csökkenő sorrend. A sorrendredukció egy módszer differenciálegyenletek megoldására, ha egy lineárisan független megoldás ismert. Ez a módszer abból áll, hogy eggyel csökkentjük az egyenlet sorrendjét, ami lehetővé teszi az egyenlet megoldását az előző részben ismertetett módszerekkel. Legyen ismert a megoldás. A sorrendcsökkentés fő gondolata, hogy megoldást találjunk az alábbi formában, ahol meg kell határozni a funkciót v (x) (\displaystyle v(x)), behelyettesítve a differenciálegyenletbe és megtalálni v(x). (\displaystyle v(x).) Nézzük meg, hogyan lehet a sorrendcsökkentéssel megoldani egy állandó együtthatós és többgyökös differenciálegyenletet.

Több gyökér homogén differenciálegyenlet állandó együtthatókkal. Emlékezzünk vissza, hogy egy másodrendű egyenletnek két lineárisan független megoldással kell rendelkeznie. Ha a karakterisztikus egyenletnek több gyöke van, a megoldások halmaza Nem teret képez, mivel ezek a megoldások lineárisan függőek. Ebben az esetben sorrendcsökkentést kell alkalmazni egy második lineárisan független megoldás megtalálásához.
- Legyen a karakterisztikus egyenletnek több gyöke r (\displaystyle r). Tegyük fel, hogy a második megoldás formába írható y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), és behelyettesítjük a differenciálegyenletbe. Ebben az esetben a legtöbb tag, kivéve a függvény második deriváltjával rendelkező tagot v , (\displaystyle v,) csökkenni fog.
  - v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- 2.2. példa. Adjuk meg a következő egyenletet, amelynek több gyöke van r = − 4. (\displaystyle r=-4.) A helyettesítés során a legtöbb kifejezés lecsökken.
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(igazítva)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(igazított )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(igazított)))
- Hasonlóan az ansatzunkhoz egy állandó együtthatós differenciálegyenlethez, ebben az esetben csak a második derivált lehet nulla. Kétszer integráljuk, és megkapjuk a kívánt kifejezést v (\displaystyle v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- Ekkor egy állandó együtthatós differenciálegyenlet általános megoldása abban az esetben, ha a karakterisztikus egyenletnek több gyöke van, a következő formában írható fel. A kényelem kedvéért ne feledje, hogy a lineáris függetlenség eléréséhez elegendő a második tagot egyszerűen megszorozni x (\displaystyle x). Ez a megoldáshalmaz lineárisan független, így ennek az egyenletnek minden megoldását megtaláltuk.
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Rendeléscsökkentés alkalmazható, ha a megoldás ismert y 1 (x) (\displaystyle y_ (1) (x)), amely megtalálható vagy megadható a problémafelvetésben.
- Formában keresünk megoldást y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))és cseréld be ebbe az egyenletbe:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- Mert a y 1 (\displaystyle y_(1)) egy differenciálegyenlet megoldása, minden kifejezés -vel v (\displaystyle v) csökkentik. A végén az marad elsőrendű lineáris egyenlet. Hogy ezt tisztábban lássuk, változtassunk a változókon w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\jobbra)(\mathrm (d) )x\jobbra))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- Ha az integrálok kiszámíthatók, akkor az általános megoldást elemi függvények kombinációjaként kapjuk. Ellenkező esetben a megoldás integrált formában hagyható.
Cauchy-Euler egyenlet. A Cauchy-Euler egyenlet egy példa egy másodrendű differenciálegyenletre változók együtthatók, aminek pontos megoldásai vannak. Ezt az egyenletet a gyakorlatban például a Laplace-egyenlet gömbkoordinátákban történő megoldására használják.
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Karakterisztikus egyenlet. Mint látható, ebben a differenciálegyenletben minden tag tartalmaz egy teljesítménytényezőt, amelynek mértéke megegyezik a megfelelő derivált sorrendjével.
- Így megpróbálhat megoldást keresni a formában y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) ahol meg kell határozni n (\displaystyle n), mint ahogy exponenciális függvény formájában kerestünk megoldást egy állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletre. A differenciálás és helyettesítés után azt kapjuk
  - x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\megjelenítési stílus x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- A karakterisztikus egyenlet használatához azt kell feltételeznünk x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Pont x = 0 (\displaystyle x=0) hívott szabályos szinguláris pont differenciálegyenlet. Az ilyen pontok fontosak a differenciálegyenletek hatványsoros megoldásánál. Ennek az egyenletnek két gyöke van, amelyek lehetnek különbözőek és valósak, többszörösek vagy összetettek.
  - n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))
Két különböző valódi gyökér. Ha a gyökerek n ± (\displaystyle n_(\pm )) valódiak és különbözőek, akkor a differenciálegyenlet megoldása a következő alakú:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\megjelenítési stílus y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
Két összetett gyökér. Ha a karakterisztikus egyenletnek gyökei vannak n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), a megoldás egy összetett függvény.
- Ahhoz, hogy a megoldást valós függvénnyel alakítsuk át, megváltoztatjuk a változókat x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) vagyis t = ln ⁡ x , (\megjelenítési stílus t=\ln x,)és használja az Euler-képletet. Hasonló műveleteket végeztünk korábban tetszőleges állandók meghatározásakor.
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
- Ekkor az általános megoldás így írható fel
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
Több gyökér. Egy második lineárisan független megoldás eléréséhez ismét csökkenteni kell a sorrendet.
- Elég sok számítást igényel, de az elv ugyanaz marad: helyettesítjük y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) egy egyenletbe, amelynek első megoldása az y 1 (\displaystyle y_(1)). A redukciók után a következő egyenletet kapjuk:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- Ez egy elsőrendű lineáris egyenlet ehhez képest v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Az ő megoldása az v (x) = c 1 + c 2 ln⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Így a megoldás a következő formában írható fel. Ezt meglehetősen könnyű megjegyezni - a második lineárisan független megoldás megszerzéséhez egyszerűen egy további kifejezésre van szükség ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\megjelenítési stílus y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
Inhomogén lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal. Az inhomogén egyenleteknek van alakja L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Ahol f (x) (\displaystyle f(x))- ún ingyenes tag. A differenciálegyenletek elmélete szerint ennek az egyenletnek az általános megoldása egy szuperpozíció privát megoldás y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))És kiegészítő megoldás y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Azonban ebben az esetben egy adott megoldás nem a kezdeti feltételek által adott megoldást jelenti, hanem inkább egy heterogenitás jelenléte által meghatározott megoldást (szabad kifejezés). További megoldás a megfelelő homogén egyenlet megoldása, amelyben f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Az átfogó megoldás e két megoldás szuperpozíciója, mivel L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), és azóta L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) az ilyen szuperpozíció valóban általános megoldás.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
A meghatározatlan együtthatók módszere. A határozatlan együtthatók módszerét olyan esetekben alkalmazzuk, amikor a metszéspont exponenciális, trigonometrikus, hiperbolikus vagy hatványfüggvények kombinációja. Csak ezeknek a függvényeknek garantáltan véges számú lineárisan független deriváltjuk van. Ebben a részben az egyenletre egy speciális megoldást találunk.
- Hasonlítsuk össze a kifejezéseket f (x) (\displaystyle f(x)) feltételekkel, anélkül, hogy figyelmet szentelnénk az állandó tényezőknek. Három eset lehetséges.
  - Nincs két egyforma tag. Ebben az esetben egy speciális megoldás y p (\displaystyle y_(p)) a kifejezések lineáris kombinációja lesz y p (\displaystyle y_(p))
  - f (x) (\displaystyle f(x)) tagot tartalmaz x n (\displaystyle x^(n)) és tagja y c , (\displaystyle y_(c),) Ahol n (\displaystyle n) nulla vagy pozitív egész szám, és ez a tag a karakterisztikus egyenlet egy külön gyökének felel meg. Ebben az esetben y p (\displaystyle y_(p)) függvény kombinációjából fog állni x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) lineárisan független származékai, valamint egyéb kifejezései f (x) (\displaystyle f(x))és ezek lineárisan független származékai.
  - f (x) (\displaystyle f(x)) tagot tartalmaz h (x) , (\displaystyle h(x),) ami egy mű x n (\displaystyle x^(n)) és tagja y c , (\displaystyle y_(c),) Ahol n (\displaystyle n) egyenlő 0-val vagy pozitív egész számmal, és ez a kifejezés megfelel a többszörös a karakterisztikus egyenlet gyöke. Ebben az esetben y p (\displaystyle y_(p)) a függvény lineáris kombinációja x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Ahol s (\displaystyle s)- a gyök többszörössége) és lineárisan független származékai, valamint a függvény többi tagja f (x) (\displaystyle f(x))és lineárisan független származékai.
- Írjuk fel y p (\displaystyle y_(p)) a fent felsorolt kifejezések lineáris kombinációjaként. Ezen együtthatók lineáris kombinációja miatt ezt a módszert „határozatlan együtthatók módszerének” nevezik. Amikor benne van y c (\displaystyle y_(c)) tagok eldobhatók tetszőleges állandók jelenléte miatt y c . (\displaystyle y_(c).) Ezt követően helyettesítjük y p (\displaystyle y_(p)) az egyenletbe, és egyenlőségjelet tesz a hasonló kifejezésekkel.
- Meghatározzuk az együtthatókat. Ebben a szakaszban egy algebrai egyenletrendszert kapunk, amely általában probléma nélkül megoldható. Ennek a rendszernek a megoldása lehetővé teszi számunkra, hogy megkapjuk y p (\displaystyle y_(p))és ezzel oldja meg az egyenletet.
- 2.3. példa. Tekintsünk egy inhomogén differenciálegyenletet, amelynek szabad tagja véges számú lineárisan független származékot tartalmaz. Egy ilyen egyenlet sajátos megoldását a határozatlan együtthatók módszerével találhatjuk meg.
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
  - y p (t) = Ae 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\megjelenítési stílus y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(igazítva)))
  - ( 9 A + 6 A = 2, A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1, B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0, C = 0 (\displaystyle (\begin(esetek)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ vége(esetek)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
Lagrange módszer. A Lagrange-módszer, vagy tetszőleges állandók variációs módszere egy általánosabb módszer inhomogén differenciálegyenletek megoldására, különösen olyan esetekben, amikor a metszéstag nem tartalmaz véges számú lineárisan független derivált. Például ingyenes feltételekkel tan⁡ x (\displaystyle \tan x) vagy x − n (\displaystyle x^(-n)) egy adott megoldás megtalálásához a Lagrange-módszert kell használni. A Lagrange módszerrel akár változó együtthatós differenciálegyenletek is megoldhatók, bár ebben az esetben a Cauchy-Euler egyenletet leszámítva ritkábban alkalmazzák, mivel a kiegészítő megoldás általában nem elemi függvényekkel fejeződik ki.
- Tegyük fel, hogy a megoldás alakja a következő. Származékát a második sorban adjuk meg.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\megjelenítési stílus y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ' = v 1 ' y 1 + v 1 y 1 ' + v 2 ' y 2 + v 2 y 2 ' (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- Mivel a javasolt megoldás tartalmazza kettő ismeretlen mennyiségeket kell előírni további feltétel. Válasszuk ki ezt a kiegészítő feltételt a következő formában:
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- Most megkaphatjuk a második egyenletet. A tagok cseréje és újraelosztása után csoportosíthatja a tagokat v1 (\displaystyle v_(1))és a tagokkal v2 (\displaystyle v_(2)). Ezek a kifejezések csökkennek, mert y 1 (\displaystyle y_(1))És y 2 (\displaystyle y_(2)) a megfelelő homogén egyenlet megoldásai. Ennek eredményeként a következő egyenletrendszert kapjuk
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(igazítva)))
- Ez a rendszer átalakítható mátrix egyenletté A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) amelynek megoldása az x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Mátrixhoz 2 × 2 (\displaystyle 2\x 2) az inverz mátrixot a determinánssal való osztással, az átlós elemek átrendezésével és a nem átlós elemek előjelének megváltoztatásával találjuk meg. Valójában ennek a mátrixnak a meghatározója egy Wronski-féle.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmátrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmátrix)))
- Kifejezések a v1 (\displaystyle v_(1))És v2 (\displaystyle v_(2)) alább adjuk meg. Akárcsak a sorrendredukciós módszernél, ebben az esetben is az integrálás során egy tetszőleges állandó jelenik meg, amely a differenciálegyenlet általános megoldásában egy további megoldást is tartalmaz.
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
A National Open University Intuit előadása "N-edrendű lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatókkal."

Gyakorlati használat

A differenciálegyenletek kapcsolatot hoznak létre egy függvény és egy vagy több deriváltja között. Mivel az ilyen összefüggések rendkívül gyakoriak, a differenciálegyenletek széles körben alkalmazhatók számos területen, és mivel négy dimenzióban élünk, ezek az egyenletek gyakran differenciálegyenletek. magán származékai. Ez a rész az ilyen típusú legfontosabb egyenleteket tárgyalja.

Exponenciális növekedés és hanyatlás. Radioaktív bomlás. Kamatos kamat. A kémiai reakciók sebessége. A gyógyszerek koncentrációja a vérben. Korlátlan népességnövekedés. Newton-Richmann törvény. A való világban sok olyan rendszer létezik, amelyekben a növekedés vagy hanyatlás mértéke egy adott időpontban arányos az adott időpontban lévő mennyiséggel, vagy jól közelíthető egy modellel. Egy adott differenciálegyenlet megoldása, az exponenciális függvény ugyanis az egyik legfontosabb függvény a matematikában és más tudományokban. Általánosabban, szabályozott népességnövekedés esetén a rendszer további kifejezéseket is tartalmazhat, amelyek korlátozzák a növekedést. Az alábbi egyenletben az állandó k (\displaystyle k) lehet nagyobb vagy kisebb nullánál.
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
Harmonikus rezgések. Mind a klasszikus, mind a kvantummechanikában a harmonikus oszcillátor az egyik legfontosabb fizikai rendszer, egyszerűsége és széles körben elterjedt alkalmazása bonyolultabb rendszerek, például egyszerű inga közelítésében. A klasszikus mechanikában a harmonikus rezgéseket egy egyenlet írja le, amely az anyagi pont helyzetét a gyorsulásához köti a Hooke-törvény alapján. Ebben az esetben a csillapítás és a hajtóerő is figyelembe vehető. Az alábbi kifejezésben x ˙ (\displaystyle (\pont (x)))- idő deriváltja x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )- a csillapító erőt leíró paraméter, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- a rendszer szögfrekvenciája, F (t) (\displaystyle F(t))- időfüggő hajtóerő. A harmonikus oszcillátor jelen van az elektromágneses oszcillációs áramkörökben is, ahol nagyobb pontossággal valósítható meg, mint a mechanikus rendszerekben.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\pont (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
Bessel-egyenlet. A Bessel-differenciálegyenletet a fizika számos területén használják, beleértve a hullámegyenlet, a Laplace-egyenlet és a Schrödinger-egyenlet megoldását, különösen hengeres vagy gömbszimmetria jelenlétében. Ez a változó együtthatós másodrendű differenciálegyenlet nem Cauchy-Euler egyenlet, így megoldásai nem írhatók fel elemi függvényként. A Bessel-egyenlet megoldásai a Bessel-függvények, amelyek sok területen való alkalmazásuk miatt jól tanulmányozottak. Az alábbi kifejezésben α (\displaystyle \alpha )- megfelelő konstans sorrendben Bessel-függvények.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
Maxwell-egyenletek. A Lorentz-erő mellett a Maxwell-egyenletek képezik a klasszikus elektrodinamika alapját. Ez a négy parciális differenciálegyenlet az elektromosság számára E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))és mágneses B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) mezőket. Az alábbi kifejezésekben ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- töltéssűrűség, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- áramsűrűség, és ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))És μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- elektromos és mágneses állandók, ill.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\c)\dotnabla(igazítva) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(igazított)))
Schrödinger egyenlet. A kvantummechanikában a Schrödinger-egyenlet a mozgás alapvető egyenlete, amely a részecskék mozgását írja le a hullámfüggvény változásának megfelelően Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) idővel. A mozgásegyenletet a viselkedés írja le Hamiltoni H^(\displaystyle (\hat (H))) - operátor, amely a rendszer energiáját írja le. A Schrödinger-egyenlet egyik jól ismert példája a fizikában az egyetlen nem relativisztikus részecske egyenlete, amely a potenciálnak van alávetve. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Sok rendszert az időfüggő Schrödinger-egyenlet ír le, és az egyenlet bal oldalán E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Ahol E (\displaystyle E)- részecske energia. Az alábbi kifejezésekben ℏ (\displaystyle \hbar )- csökkentett Planck-állandó.
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\jobbra)\Psi )
Hullámegyenlet. A fizika és a technológia nem képzelhető el hullámok nélkül, ezek minden típusú rendszerben jelen vannak. Általában a hullámokat az alábbi egyenlet írja le, amelyben u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) a kívánt funkció, és c (\displaystyle c)- kísérletileg meghatározott állandó. d'Alembert volt az első, aki felfedezte, hogy az egydimenziós esetre a hullámegyenlet megoldása Bármi függvény argumentummal x − c t (\displaystyle x-ct), amely egy tetszőleges alakú hullámot ír le, amely jobbra terjed. Az egydimenziós eset általános megoldása ennek a függvénynek a lineáris kombinációja egy második, argumentumokkal rendelkező függvényrel x + c t (\displaystyle x+ct), amely egy balra terjedő hullámot ír le. Ezt a megoldást a második sorban mutatjuk be.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x, t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\megjelenítési stílus u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
Navier-Stokes egyenletek. A Navier-Stokes egyenletek a folyadékok mozgását írják le. Mivel a folyadékok a tudomány és a technológia szinte minden területén jelen vannak, ezek az egyenletek rendkívül fontosak az időjárás előrejelzésében, a repülőgépek tervezésében, az óceáni áramlatok tanulmányozásában és sok más alkalmazott probléma megoldásában. A Navier-Stokes egyenletek nemlineáris parciális differenciálegyenletek, és a legtöbb esetben nagyon nehéz megoldani őket, mert a nemlinearitás turbulenciához vezet, és a stabil megoldás numerikus módszerekkel történő eléréséhez nagyon kis cellákra kell particionálni, ami jelentős számítási teljesítményt igényel. A hidrodinamika gyakorlati céljaira a turbulens áramlások modellezésére olyan módszereket alkalmaznak, mint az időátlagolás. Még olyan alapvető kérdések, mint a nemlineáris parciális differenciálegyenletek megoldásainak létezése és egyedisége kihívást jelentenek, és a Navier-Stokes egyenletek háromdimenziós megoldásának létének és egyediségének bizonyítása az ezredforduló matematikai problémái közé tartozik. Az alábbiakban látható az összenyomhatatlan folyadékáramlás egyenlete és a folytonossági egyenlet.
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (u)bf (u)bf )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

Sok differenciálegyenlet egyszerűen nem oldható meg a fenti módszerekkel, különösen az utolsó részben említettekkel. Ez azokra az esetekre vonatkozik, amikor az egyenlet változó együtthatókat tartalmaz, és nem Cauchy-Euler egyenlet, vagy ha az egyenlet nemlineáris, kivéve néhány nagyon ritka esetet. A fenti módszerek azonban számos fontos differenciálegyenletet megoldhatnak, amelyekkel gyakran találkozunk a tudomány különböző területein.
A differenciálással ellentétben, amely lehetővé teszi bármely függvény deriváltjának megtalálását, sok kifejezés integrálja nem fejezhető ki elemi függvényekben. Tehát ne vesztegesse az időt azzal, hogy olyan integrált számítson ki, ahol ez lehetetlen. Nézd meg az integrálok táblázatát. Ha egy differenciálegyenlet megoldása nem fejezhető ki elemi függvényekkel, akkor néha integrál formában is ábrázolható, és ebben az esetben nem mindegy, hogy ez az integrál analitikusan kiszámítható-e.

Figyelmeztetések

Kinézet a differenciálegyenlet félrevezető lehet. Az alábbiakban például két elsőrendű differenciálegyenlet látható. Az első egyenlet könnyen megoldható a cikkben leírt módszerekkel. Első ránézésre kisebb változás y (\displaystyle y) tovább y 2 (\displaystyle y^(2)) a második egyenletben nemlineárissá teszi, és nagyon nehéz lesz megoldani.
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Az első sorrendet, amelynek szabványos alakja $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, ahol a $P\left(x\right)$ egy folytonos függvény, lineáris homogénnek nevezzük. A "lineáris" azzal magyarázható, hogy az ismeretlen $y$ függvény és első deriváltja $y"$ lineárisan, azaz első fokon szerepel az egyenletben. A "homogén" név onnan származik, hogy az egyenlet jobb oldalán egy nulla található.

Egy ilyen differenciálegyenlet a változók szétválasztási módszerével oldható meg. Mutassuk be a metódus szabványos alakjában: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, ahol $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\ right)$ és $f_(2)\left(y\right)=y$.

Számítsuk ki a $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $ integrált.

Számítsuk ki a $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right integrált |$ .

Végezzük el az átalakításokat:

A logaritmus definícióját használva a következőt kapjuk: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . Ez az egyenlőség viszont ekvivalens a $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ egyenlőséggel.

A tetszőleges $C=\pm C_(1) $ állandót lecserélve megkapjuk a lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldását: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

A $f_(2) \left(y\right)=y=0$ egyenlet megoldása után speciális megoldásokat találunk. Szokásos ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy a $y=0$ függvény ennek a differenciálegyenletnek egy speciális megoldása.

Ugyanezt a megoldást azonban megkaphatjuk a $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ általános megoldásból is, a $C=0$ beírásával.

Tehát a végeredmény: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Az elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenlet megoldásának általános módszere a következő algoritmusként ábrázolható:

Ennek az egyenletnek a megoldásához először a $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ metódus szabványos alakjában kell bemutatni. Ha ez nem sikerült, akkor ezt a differenciálegyenletet meg kell oldani más módszer.
Kiszámítjuk a $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $ integrált.
Az általános megoldást $y=C\cdot e^(-I) $ alakban írjuk, és szükség esetén egyszerűsítő átalakításokat végzünk.

1. probléma

Keresse meg a $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$ differenciálegyenlet általános megoldását.

Van egy standard alakú lineáris homogén elsőrendű egyenletünk, amelyre $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

Kiszámítjuk a $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $ integrált.

Az általános megoldás alakja: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

Lineáris inhomogén elsőrendű differenciálegyenletek

Meghatározás

Egy elsőrendű differenciálegyenlet, amely szabványos formában ábrázolható: $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, ahol $P\left(x\right)$ és $ Q\left(x\right)$ - ismert folytonos függvények, lineáris inhomogén differenciálegyenletnek nevezik. Az "inhomogén" elnevezést az magyarázza, hogy a differenciálegyenlet jobb oldala nem nulla.

Egy összetett lineáris inhomogén differenciálegyenlet megoldása két egyszerűbb differenciálegyenlet megoldására redukálható. Ehhez a szükséges $y$ függvényt le kell cserélni két $u$ és $v$ segédfüggvény szorzatára, azaz rakjuk be $y=u\cdot v$.

Megkülönböztetjük az elfogadott helyettesítést: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. A kapott kifejezést behelyettesítjük ebbe a differenciálegyenletbe: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ vagy $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ right] =Q\left(x\right)$.

Vegye figyelembe, hogy ha a $y=u\cdot v$ elfogadásra kerül, akkor az egyik segédfüggvény tetszőlegesen kiválasztható a $u\cdot v$ szorzat részeként. Válasszuk a $v$ segédfüggvényt úgy, hogy a szögletes zárójelben lévő kifejezés nulla legyen. Ehhez elég megoldani a $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ differenciálegyenletet a $v$ függvényre, és kiválasztani a legegyszerűbb konkrét megoldást. $v=v\left(x \right)$, nem nulla. Ez a differenciálegyenlet lineárisan homogén, és a fent tárgyalt módszerrel oldható meg.

A kapott $v=v\left(x\right)$ megoldást behelyettesítjük ebbe a differenciálegyenletbe, figyelembe véve, hogy most a szögletes zárójelben lévő kifejezés nulla, és egy másik differenciálegyenletet kapunk, de most tekintettel a $u$ segédfüggvényhez: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Ez a differenciálegyenlet a következőképpen ábrázolható: $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, ami után nyilvánvalóvá válik, hogy lehetővé teszi az azonnali integráció. Ehhez a differenciálegyenlethez általános megoldást kell találni $u=u\left(x,\; C\right)$ formában.

Most megtaláljuk ennek az elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletnek az általános megoldását a következő formában: $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Az elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet megoldásának általános módszere a következő algoritmussal ábrázolható:

Az egyenlet megoldásához először a $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ metódus szabványos alakjában kell ábrázolni. Ha ez nem sikerült, akkor ezt a differenciálegyenletet más módszerrel kell megoldani.
Kiszámítjuk a $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $ integrált, írunk egy konkrét megoldást $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, hajtsa végre az egyszerűsítő átalakításokat, és válassza ki a legegyszerűbb nem nulla opciót a $v\left(x\right)$ számára.
Kiszámoljuk a $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ integrált, ami után a kifejezést $u formában írjuk \left(x, C\right)=I_(2) +C$.
Ennek a lineáris inhomogén differenciálegyenletnek az általános megoldását $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ alakban írjuk fel, és szükség esetén egyszerűsítő transzformációkat hajtunk végre.

2. probléma

Keresse meg a $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$ differenciálegyenlet általános megoldását.

Van egy elsőrendű lineáris inhomogén egyenletünk szabványos formában, amelyre $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ és $Q\left(x\right)=3\cdot x $.

Kiszámítjuk a $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| integrált. $.

Egy adott megoldást $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ alakban írunk, és egyszerűsítő átalakításokat hajtunk végre: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ jobb|) $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. A $v\left(x\right)$ esetén a legegyszerűbb, nullától eltérő opciót választjuk: $v\left(x\right)=x$.

Kiszámítjuk a $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) integrált ) \ cdot dx=3\cdot x $.

Felírjuk a $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$ kifejezést.

Végül felírjuk ennek a lineáris inhomogén differenciálegyenletnek az általános megoldását $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, azaz $y=\left( 3\cdot x+C \jobbra)\cdot x$.

Úgy gondolom, hogy egy olyan dicsőséges matematikai eszköz történetével kellene kezdenünk, mint a differenciálegyenletek. Mint minden differenciál- és integrálszámítást, ezeket az egyenleteket is Newton találta ki a 17. század végén. Ezt a felfedezését annyira fontosnak tartotta, hogy még egy üzenetet is titkosított, amit ma valahogy így lehet lefordítani: „A természet minden törvényét differenciálegyenletek írják le.” Ez túlzásnak tűnhet, de igaz. A fizika, a kémia, a biológia bármely törvénye leírható ezekkel az egyenletekkel.

Euler és Lagrange matematikusok nagymértékben hozzájárultak a differenciálegyenletek elméletének kidolgozásához és megalkotásához. Már a 18. században felfedezték és továbbfejlesztették azt, amit ma felsőfokú egyetemi kurzusokon tanulnak.

Henri Poincarénak köszönhetően új mérföldkő kezdődött a differenciálegyenletek tanulmányozásában. Megalkotta a „differenciálegyenletek kvalitatív elméletét”, amely egy komplex változó függvényeinek elméletével kombinálva jelentősen hozzájárult a topológia - a tér tudományának és tulajdonságainak - megalapozásához.

Mik azok a differenciálegyenletek?

Sokan félnek egy-egy mondattól, de ebben a cikkben részletesen felvázoljuk ennek a nagyon hasznos matematikai apparátusnak a lényegét, amely valójában nem is olyan bonyolult, mint ahogy a névből látszik. Ahhoz, hogy az elsőrendű differenciálegyenletekről beszélhessünk, először meg kell ismerkednünk azokkal az alapfogalmakkal, amelyek eredendően ehhez a definícióhoz kapcsolódnak. És kezdjük a differenciálművel.

Differenciális

Sokan már iskolás koruk óta ismerik ezt a fogalmat. Nézzük azonban meg közelebbről. Képzeld el egy függvény grafikonját. Annyira növelhetjük, hogy bármely szakasza egyenes alakot öltsön. Vegyünk rá két pontot, amelyek végtelenül közel vannak egymáshoz. A koordinátáik (x vagy y) közötti különbség végtelenül kicsi lesz. Ezt differenciálnak nevezik, és a dy (y differenciál) és a dx (x differenciál) előjellel jelöljük. Nagyon fontos megérteni, hogy a differenciál nem véges mennyiség, és ez a jelentése és a fő funkciója.

Most meg kell vizsgálnunk a következő elemet, amely hasznos lesz számunkra a differenciálegyenlet fogalmának magyarázatában. Ez egy származék.

Derivált

Valószínűleg mindannyian hallottuk ezt a fogalmat az iskolában. A derivált az a sebesség, amellyel egy függvény nő vagy csökken. Ebből a meghatározásból azonban sok minden nem világos. Próbáljuk meg magyarázni a derivált differenciálokon keresztül. Térjünk vissza egy olyan infinitezimális szegmenshez, amelynek két pontja van egymástól minimális távolságra. De még ezen a távolságon is sikerül bizonyos mértékben megváltoznia a függvénynek. És ennek a változásnak a leírására egy deriválttal álltak elő, amely egyébként a differenciálok arányaként írható fel: f(x)"=df/dx.

Most érdemes megfontolni a származék alapvető tulajdonságait. Csak három van belőlük:

Egy összeg vagy különbség deriváltja a következő származékok összegeként vagy különbségeként ábrázolható: (a+b)"=a"+b" és (a-b)"=a"-b.
A második tulajdonság a szorzáshoz kapcsolódik. Egy szorzat deriváltja az egyik függvény szorzatának és egy másik függvény deriváltjának összege: (a*b)"=a"*b+a*b".
A különbség deriváltja a következő egyenlőségként írható fel: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Mindezek a tulajdonságok hasznosak lesznek az elsőrendű differenciálegyenletek megoldásához.

Vannak részleges származékok is. Tegyük fel, hogy van egy z függvényünk, amely az x és y változóktól függ. Ahhoz, hogy kiszámítsuk ennek a függvénynek a parciális deriváltját, mondjuk x vonatkozásában, az y változót állandónak kell vennünk, és egyszerűen differenciálni kell.

Integrál

Egy másik fontos fogalom az integrál. Valójában ez pontosan az ellenkezője a származékosnak. Többféle integrál létezik, de a legegyszerűbb differenciálegyenletek megoldásához a legtriviálisabbakra van szükségünk

Tehát tegyük fel, hogy f-nek van némi függése x-től. Kivesszük belőle az integrált, és megkapjuk az F(x) függvényt (gyakran antideriváltnak is nevezik), amelynek deriváltja megegyezik az eredeti függvénnyel. Így F(x)"=f(x). Ebből az is következik, hogy a derivált integrálja egyenlő az eredeti függvénnyel.

A differenciálegyenletek megoldása során nagyon fontos megérteni az integrál jelentését és funkcióját, mivel ezeket nagyon gyakran át kell venni a megoldás megtalálásához.

Az egyenletek természetüktől függően változnak. A következő részben megvizsgáljuk az elsőrendű differenciálegyenletek típusait, majd megtanuljuk a megoldásukat.

Differenciálegyenletek osztályai

A "diffúrok" a bennük szereplő származékok sorrendje szerint vannak felosztva. Így van első, második, harmadik és több rend. Több osztályba is oszthatók: közönséges és részleges származékokra.

Ebben a cikkben az elsőrendű közönséges differenciálegyenleteket tekintjük át. A következő részekben példákat és megoldási módokat is tárgyalunk. Csak az ODE-ket fogjuk figyelembe venni, mivel ezek a leggyakoribb egyenlettípusok. A közönségeseket alfajokra osztják: elválasztható változókkal, homogénekre és heterogénekre. Ezután megtudhatja, hogyan különböznek egymástól, és megtanulják megoldani őket.

Ezen túlmenően ezek az egyenletek kombinálhatók, így egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert kapunk. Megfontoljuk az ilyen rendszereket is, és megtanuljuk megoldani őket.

Miért csak az első rendelést fontolgatjuk? Mert valami egyszerűvel kell kezdeni, és egyszerűen lehetetlen mindent leírni, ami a differenciálegyenletekkel kapcsolatos egy cikkben.

Elválasztható egyenletek

Ezek talán a legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletek. Ide tartoznak a következőképpen felírható példák: y"=f(x)*f(y). Ennek az egyenletnek a megoldásához szükségünk van egy képletre, amely a derivált differenciálarányként ábrázolja: y"=dy/dx. Használatával a következő egyenletet kapjuk: dy/dx=f(x)*f(y). Most rátérhetünk a szabványos példák megoldásának módszerére: a változókat részekre bontjuk, vagyis az y változóval mindent áthelyezünk arra a részre, ahol dy található, és ugyanezt az x változóval. Egy dy/f(y)=f(x)dx alakú egyenletet kapunk, amelyet mindkét oldal integráljának felvételével oldunk meg. Ne feledkezzünk meg a konstansról, amit az integrál felvétele után be kell állítani.

Bármely „diffúra” megoldása az x y-tól való függésének függvénye (esetünkben), vagy ha numerikus feltétel fennáll, akkor a válasz szám formájában. Nézzük meg a teljes megoldási folyamatot egy konkrét példa segítségével:

Mozgassuk a változókat különböző irányokba:

Most vegyük az integrálokat. Mindegyik megtalálható egy speciális integráltáblázatban. És kapunk:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Ha szükséges, kifejezhetjük az "y"-t "x" függvényében. Most azt mondhatjuk, hogy a differenciálegyenletünk megoldott, ha a feltétel nincs megadva. Megadható egy feltétel, például y(n/2)=e. Ezután egyszerűen behelyettesítjük ezeknek a változóknak az értékeit a megoldásba, és megkeressük az állandó értékét. Példánkban ez az 1.

Elsőrendű homogén differenciálegyenletek

Most térjünk át a nehezebb részre. Az elsőrendű homogén differenciálegyenletek általános formában a következőképpen írhatók fel: y"=z(x,y). Megjegyzendő, hogy két változó jobb oldali függvénye homogén, és nem osztható két függőségre : z x-en és z y-n. Ellenőrizzük, hogy az egyenlet homogén-e vagy sem, nagyon egyszerű: becseréljük x=k*x és y=k*y. Most töröljük az összes k-t. Ha ezeket a betűket töröljük , akkor az egyenlet homogén, és nyugodtan hozzákezdhet a megoldásához Előretekintve , mondjuk: ezeknek a példáknak a megoldási elve is nagyon egyszerű.

Cserélnünk kell: y=t(x)*x, ahol t egy bizonyos függvény, amely szintén x-től függ. Ekkor ki tudjuk fejezni a deriváltot: y"=t"(x)*x+t. Mindezt az eredeti egyenletünkbe behelyettesítve és leegyszerűsítve kapunk egy példát t és x elválasztható változókkal. Megoldjuk és megkapjuk a t(x) függést. Amikor megkaptuk, egyszerűen behelyettesítjük az y=t(x)*x-et az előző cserénkbe. Ekkor megkapjuk y függőségét x-től.

Hogy érthetőbb legyen, nézzünk egy példát: x*y"=y-x*e y/x .

A cserével történő ellenőrzéskor minden lecsökken. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet valóban homogén. Most egy másik cserét hajtunk végre, amiről már beszéltünk: y=t(x)*x és y"=t"(x)*x+t(x). Egyszerűsítés után a következő egyenletet kapjuk: t"(x)*x=-e t. Az így kapott példát elválasztott változókkal oldjuk meg, és kapjuk: e -t =ln(C*x). Csak ki kell cserélni t y/x-szel (végül is, ha y =t*x, akkor t=y/x), és megkapjuk a választ: e -y/x =ln(x*C).

Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Ideje egy másik átfogó témára tekinteni. Elsõrendû inhomogén differenciálegyenleteket fogunk elemezni. Miben különböznek az előző kettőtől? Találjuk ki. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános formában a következőképpen írhatók fel: y" + g(x)*y=z(x). Érdemes tisztázni, hogy z(x) és g(x) lehetnek állandó mennyiségek.

És most egy példa: y" - y*x=x 2 .

Két megoldás létezik, és mindkettőt sorban fogjuk megvizsgálni. Az első a tetszőleges állandók változtatásának módszere.

Az egyenlet ily módon történő megoldásához először a jobb oldalt kell egyenlővé tenni nullával, és meg kell oldani a kapott egyenletet, amely az alkatrészek átvitele után a következő alakot ölti:

ln|y|=x2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2.

Most a C 1 konstanst le kell cserélnünk a v(x) függvényre, amit meg kell találnunk.

Cseréljük le a származékot:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

És cserélje be ezeket a kifejezéseket az eredeti egyenletbe:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Láthatja, hogy a bal oldalon két kifejezés törlődik. Ha valamelyik példában ez nem történt meg, akkor valamit rosszul csináltál. Folytassuk:

v"*e x2/2 = x 2 .

Most megoldjuk a szokásos egyenletet, amelyben el kell különítenünk a változókat:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Az integrál kinyeréséhez itt részenkénti integrációt kell alkalmaznunk. Cikkünknek azonban nem ez a témája. Ha érdekli, megtanulhatja, hogyan hajtson végre ilyen műveleteket saját maga. Nem nehéz, és kellő hozzáértéssel és odafigyeléssel nem sok időt vesz igénybe.

Térjünk rá az inhomogén egyenletek megoldásának második módszerére: Bernoulli módszerére. Azt, hogy melyik módszer a gyorsabb és könnyebb, döntse el Ön.

Tehát, amikor egy egyenletet ezzel a módszerrel oldunk meg, be kell cserélnünk: y=k*n. Itt k és n néhány x-függő függvény. Ekkor a derivált így fog kinézni: y"=k"*n+k*n". Mindkét helyettesítést behelyettesítjük az egyenletbe:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Csoportosítás:

k"*n+k*(n"+x*n)=x2.

Most nullával kell egyenlővé tennünk a zárójelben lévőt. Most, ha a két eredményül kapott egyenletet összevonjuk, egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert kapunk, amelyet meg kell oldani:

Az első egyenlőséget közönséges egyenletként oldjuk meg. Ehhez el kell különíteni a változókat:

Vegyük az integrált és kapjuk: ln(n)=x 2 /2. Akkor, ha n-t fejezünk ki:

Most behelyettesítjük a kapott egyenlőséget a rendszer második egyenletébe:

k"*e x2/2 =x 2 .

És átalakítva ugyanazt az egyenlőséget kapjuk, mint az első módszernél:

dk=x 2 /e x2/2 .

A további intézkedésekről szintén nem fogunk beszélni. Érdemes elmondani, hogy az elsőrendű differenciálegyenletek megoldása elsőre jelentős nehézségeket okoz. Ahogy azonban mélyebben belemélyed a témába, úgy kezd egyre jobban bejönni.

Hol használják a differenciálegyenleteket?

A differenciálegyenleteket nagyon aktívan használják a fizikában, mivel szinte az összes alapvető törvényt differenciál formában írják le, és a képletek, amelyeket látunk, ezeknek az egyenleteknek a megoldásai. A kémiában ugyanazon okból használják őket: az alapvető törvényeket a segítségükkel vezetik le. A biológiában differenciálegyenleteket használnak a rendszerek, például a ragadozók és a zsákmányok viselkedésének modellezésére. Használhatók például egy mikroorganizmus kolónia reprodukciós modelljeinek létrehozására is.

Hogyan segíthetnek a differenciálegyenletek az életben?

A válasz erre a kérdésre egyszerű: egyáltalán nem. Ha nem vagy tudós vagy mérnök, akkor valószínűleg nem lesznek hasznosak az Ön számára. Az általános fejlesztéshez azonban nem árt tudni, mi az a differenciálegyenlet, és hogyan kell megoldani. És akkor a fia vagy lánya kérdése: „Mi az a differenciálegyenlet?” nem fog összezavarni. Nos, ha Ön tudós vagy mérnök, akkor maga is megérti ennek a témának a fontosságát bármely tudományban. De a legfontosabb dolog az, hogy most az a kérdés, hogy „hogyan lehet megoldani egy elsőrendű differenciálegyenletet?” mindig tudsz választ adni. Egyetértek, mindig jó, ha megért valamit, amit az emberek még félnek is megérteni.

A tanulás főbb problémái

A téma megértésében a fő probléma a funkciók integrálásának és megkülönböztetésének gyenge készsége. Ha nem vagy jó a deriváltokban és integrálokban, akkor valószínűleg érdemes többet tanulmányozni, elsajátítani az integrálási és differenciálási módszereket, és csak ezután kezdeni a cikkben leírt anyagok tanulmányozását.

Vannak, akik meglepődnek, amikor megtudják, hogy a dx átvihető, mert korábban (az iskolában) azt mondták, hogy a dy/dx tört oszthatatlan. Itt el kell olvasnia a származékkal kapcsolatos szakirodalmat, és meg kell értenie, hogy ez a végtelenül kicsi mennyiségek aránya, amely manipulálható az egyenletek megoldása során.

Sokan nem veszik azonnal észre, hogy az elsőrendű differenciálegyenletek megoldása gyakran nem felvehető függvény vagy integrál, és ez a tévhit sok gondot okoz.

Mit tanulhatsz még a jobb megértés érdekében?

A differenciálszámítás világában való további elmélyülést célszerű speciális tankönyvekkel kezdeni, például a matematikai elemzésről a nem matematikai szakokon tanulók számára. Ezután áttérhet a szakirodalomra.

Érdemes elmondani, hogy a differenciálegyenletek mellett vannak integrálegyenletek is, így mindig lesz mire törekedni és tanulni.

Következtetés

Reméljük, hogy a cikk elolvasása után fogalma lesz arról, hogy melyek a differenciálegyenletek, és hogyan kell helyesen megoldani őket.

Mindenesetre a matematika valamilyen módon hasznunkra válik az életben. Fejleszti a logikát és a figyelmet, amelyek nélkül minden ember keze nélkül marad.

Az a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) alakú elsőrendű egyenletet lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Ha b(x) ≡ 0, akkor az egyenletet homogénnek nevezzük, ellenkező esetben - heterogén. Lineáris differenciálegyenlet esetén a létezés és az egyediség tételének konkrétabb formája van.

A szolgáltatás célja. Egy online számológép segítségével ellenőrizhető a megoldás homogén és inhomogén lineáris differenciálegyenletek y"+y=b(x) formájú.

A megoldáshoz az eredeti kifejezést a következő alakra kell redukálni: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). Például y"-exp(x)=2*y ez lesz y"-2 *y=exp(x) .

Tétel. Legyen a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) folytonos az [α,β] intervallumon, a 1 ≠0 ∀x∈[α,β] esetén. Ekkor bármely (x 0, y 0), x 0 ∈[α,β] pontra van egy egyedi megoldása az egyenletnek, amely kielégíti az y(x 0) = y 0 feltételt, és a teljes [α intervallumon definiálva van. ,β].
Tekintsük az a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 homogén lineáris differenciálegyenletet.
A változókat elválasztva kapjuk a , vagy mindkét oldalt integrálva, Az utolsó relációt, figyelembe véve az exp(x) = e x jelölést, a formába írjuk

Most próbáljunk megoldást találni arra az egyenletre a jelzett formában, amelyben a C állandó helyett a C(x) függvény van behelyettesítve, azaz alakban

Ezt a megoldást az eredetire behelyettesítve a szükséges átalakítások után megkapjuk Ez utóbbit integrálva megvan

ahol C 1 valamilyen új állandó. A kapott kifejezést C(x) helyére behelyettesítve végül megkapjuk az eredeti lineáris egyenlet megoldását
.

Példa. Oldjuk meg az y" + 2y = 4x egyenletet. Tekintsük a megfelelő y" + 2y = 0 homogén egyenletet. Megoldva azt kapjuk, hogy y = Ce -2 x. Most az eredeti egyenletre keresünk megoldást y = C(x)e -2 x formában. Ha y és y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor C"(x) = 4xe 2 x, innen C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 és y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x az eredeti egyenlet általános megoldása. ez a megoldás y 1 ( x) = 2x-1 - a tárgy mozgása erő hatására b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - a tárgy megfelelő mozgása.

2. példa. Keresse meg az y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldását.
Ez nem egy homogén egyenlet. Változtassuk meg a változókat: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x vagy u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
A megoldás két szakaszból áll:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Adja meg az u=0-t, keressen megoldást 3v tan(3x)+v" = 0-ra
Mutassuk be a következő formában: v" = -3v tg(3x)

Integrálva a következőket kapjuk:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. V ismeretében keresse meg u-t a következő feltételből: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Integrálva a következőket kapjuk:
Az y=u v feltételből a következőket kapjuk:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) vagy y = C cos(3x)-cos(2x) cot(3x)

Oktatási intézmény "Belarusz állam

Mezőgazdasági Akadémia"

Felső Matematika Tanszék

ELSŐRENDŰ DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK

Jegyzet számviteli hallgatóknak

levelező oktatási forma (NISPO)

Gorki, 2013

Elsőrendű differenciálegyenletek

A differenciálegyenlet fogalma. Általános és speciális megoldások

Különböző jelenségek tanulmányozása során gyakran nem lehet olyan törvényt találni, amely a független változót és a kívánt függvényt közvetlenül összeköti, de a kívánt függvény és származékai között igen.

A független változót, a kívánt függvényt és származékait összekötő kapcsolatot nevezzük differenciálegyenlet :

Itt x- független változó, y- a szükséges funkció,
- a kívánt függvény származékai. Ebben az esetben az (1) relációnak legalább egy deriválttal kell rendelkeznie.

A differenciálegyenlet sorrendje az egyenletben szereplő legmagasabb derivált sorrendjének nevezzük.

Tekintsük a differenciálegyenletet

. (2)

Mivel ez az egyenlet csak egy elsőrendű deriváltot tartalmaz, ezért ún egy elsőrendű differenciálegyenlet.

Ha a (2) egyenlet a deriváltra nézve feloldható és alakba írható

, (3)

akkor az ilyen egyenletet normál alakú elsőrendű differenciálegyenletnek nevezzük.

Sok esetben ajánlatos egy alakegyenletet figyelembe venni

amelyet úgy hívnak elsőrendű differenciálegyenlet, amelyet differenciál alakban írnak fel.

Mert
, akkor a (3) egyenlet alakba írható
vagy
, ahol számolhatunk
És
. Ez azt jelenti, hogy a (3) egyenletet a (4) egyenletté alakítjuk.

Írjuk fel a (4) egyenletet a formába
. Akkor
,
,
, ahol számolhatunk
, azaz egy (3) alakú egyenletet kapunk. Így a (3) és (4) egyenlet ekvivalens.

Differenciálegyenlet megoldása (2) vagy (3) tetszőleges függvénynek nevezzük
, amely a (2) vagy (3) egyenletbe behelyettesítve azonossággá változtatja:

vagy
.

A differenciálegyenlet összes megoldásának megtalálásának folyamatát nevezzük annak integráció , és a megoldási grafikon
differenciálegyenletnek nevezzük integrálgörbe ezt az egyenletet.

Ha a differenciálegyenlet megoldását implicit formában kapjuk meg
, akkor úgy hívják integrál ennek a differenciálegyenletnek.

Általános megoldás Az elsőrendű differenciálegyenlet alakjának függvénycsaládja
, tetszőleges állandótól függően VAL VEL, amelyek mindegyike egy adott differenciálegyenlet megoldása tetszőleges állandó tetszőleges megengedett értékére VAL VEL. Így a differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van.

Magán döntés A differenciálegyenlet az általános megoldási képletből kapott megoldás egy tetszőleges állandó meghatározott értékére VAL VEL, beleértve
.

Cauchy probléma és geometriai értelmezése

A (2) egyenletnek végtelen számú megoldása van. Ahhoz, hogy ebből a készletből egy megoldást válasszon, amelyet privátnak neveznek, néhány további feltételt is be kell állítania.

A (2) egyenlet adott feltételek melletti megoldásának problémáját nevezzük Cauchy probléma . Ez a probléma az egyik legfontosabb a differenciálegyenletek elméletében.

A Cauchy-probléma a következőképpen fogalmazódik meg: a (2) egyenlet összes megoldása között találjunk olyan megoldást
, amelyben a függvény
a megadott számértéket veszi fel , ha a független változó x a megadott számértéket veszi fel , azaz

,
, (5)

Ahol D– a függvény definíciós tartománya
.

Jelentése hívott a függvény kezdeti értéke , A – a független változó kezdeti értéke . Az (5) feltételt hívjuk kezdeti állapot vagy Zavaros állapot .

Geometriai szempontból a (2) differenciálegyenletre vonatkozó Cauchy-probléma a következőképpen fogalmazható meg: a (2) egyenlet integrálgörbéinek halmazából válassza ki azt, amelyik átmegy egy adott ponton
.

Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

A differenciálegyenletek egyik legegyszerűbb típusa egy elsőrendű differenciálegyenlet, amely nem tartalmazza a kívánt függvényt:

. (6)

Tekintve, hogy
, az egyenletet a formába írjuk
vagy
. Az utolsó egyenlet mindkét oldalát integrálva kapjuk:
vagy

. (7)

Így a (7) a (6) egyenlet általános megoldása.

1. példa . Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!
.

Megoldás . Írjuk fel az egyenletet a formába
vagy
. Integráljuk a kapott egyenlet mindkét oldalát:
,
. Végre leírjuk
.

2. példa . Keresse meg az egyenlet megoldását!
tekintettel arra
.

Megoldás . Keressünk egy általános megoldást az egyenletre:
,
,
,
. Feltétel szerint
,
. Helyettesítsük be az általános megoldásba:
vagy
. Egy tetszőleges állandó talált értékét behelyettesítjük az általános megoldás képletébe:
. Ez a differenciálegyenlet egy sajátos megoldása, amely kielégíti az adott feltételt.

Az egyenlet

(8)

Hívott független változót nem tartalmazó elsőrendű differenciálegyenlet . Írjuk be az űrlapba
vagy
. Integráljuk az utolsó egyenlet mindkét oldalát:
vagy
- a (8) egyenlet általános megoldása.

Példa . Keresse meg az egyenlet általános megoldását!
.

Megoldás . Írjuk fel ezt az egyenletet a következő formában:
vagy
. Akkor
,
,
,
. És így,
ennek az egyenletnek az általános megoldása.

A forma egyenlete

(9)

a változók szétválasztásával integrálódik. Ehhez az egyenletet a formába írjuk
, majd a szorzási és osztási műveletek segítségével olyan alakra hozzuk, hogy az egyik rész csak a függvényt tartalmazza. xés differenciál dx, a második részben pedig a funkciója nál nélés differenciál dy. Ehhez az egyenlet mindkét oldalát meg kell szorozni dxés ossza el vele
. Ennek eredményeként megkapjuk az egyenletet

, (10)

amelyben a változók xÉs nál nél elválasztott. Integráljuk a (10) egyenlet mindkét oldalát:
. Az eredményül kapott összefüggés a (9) egyenlet általános integrálja.

3. példa . Integrálja az egyenletet
.

Megoldás . Alakítsuk át az egyenletet és válasszuk szét a változókat:
,
. Integráljunk:
,
vagy ennek az egyenletnek az általános integrálja.
.

Adjuk meg az egyenletet a formában

Ezt az egyenletet ún elsőrendű differenciálegyenlet elválasztható változókkal szimmetrikus formában.

A változók szétválasztásához az egyenlet mindkét oldalát el kell osztani
:

. (12)

A kapott egyenletet ún elválasztott differenciálegyenlet . Integráljuk a (12) egyenletet:

.(13)

A (13) reláció a (11) differenciálegyenlet általános integrálja.

4. példa . Integráljon differenciálegyenletet.

Megoldás . Írjuk fel az egyenletet a formába

és mindkét részt elosztjuk azzal
,
. Az eredményül kapott egyenlet:
egy elválasztott változó egyenlet. Integráljuk:

,
,

,
. Az utolsó egyenlőség ennek a differenciálegyenletnek az általános integrálja.

5. példa . Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenletre
, megfelel a feltételnek
.

Megoldás . Tekintve, hogy
, az egyenletet a formába írjuk
vagy
. Válasszuk szét a változókat:
. Integráljuk ezt az egyenletet:
,
,
. A kapott összefüggés ennek az egyenletnek az általános integrálja. Feltétel szerint
. Helyettesítsük be az általános integrálba, és keressük meg VAL VEL:
,VAL VEL=1. Aztán a kifejezés
egy adott differenciálegyenlet részleges megoldása, parciális integrálként felírva.

Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Az egyenlet

(14)

hívott elsőrendű lineáris differenciálegyenlet . Ismeretlen funkció
és származéka lineárisan lép be ebbe az egyenletbe, és a függvények
És
folyamatos.

Ha
, akkor az egyenlet

(15)

hívott lineárisan homogén . Ha
, akkor a (14) egyenletet nevezzük lineáris inhomogén .

A (14) egyenlet megoldásához általában azt használjuk helyettesítési módszer (Bernoulli) , melynek lényege a következő.

A (14) egyenlet megoldását két függvény szorzata formájában fogjuk keresni

, (16)

Ahol
És
- néhány folyamatos funkció. Cseréljük
és származéka
a (14) egyenletbe:

Funkció vúgy választjuk ki, hogy a feltétel teljesüljön
. Akkor
. Így a (14) egyenlet megoldásához meg kell oldani a differenciálegyenlet-rendszert

A rendszer első egyenlete egy lineáris homogén egyenlet, és a változók szétválasztási módszerével oldható meg:
,
,
,
,
. Funkcióként
veheted a homogén egyenlet egyik parciális megoldását, pl. nál nél VAL VEL=1:
. Helyettesítsük be a rendszer második egyenletébe:
vagy
.Akkor
. Így az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet általános megoldásának alakja van
.

6. példa . Oldja meg az egyenletet
.

Megoldás . Az egyenletre megoldást keresünk a formában
. Akkor
. Helyettesítsük be az egyenletbe:

vagy
. Funkció vúgy válasszunk, hogy az egyenlőség érvényesüljön
. Akkor
. Oldjuk meg az első egyenletet a változók szétválasztási módszerével:
,
,
,
,. Funkció v Helyettesítsük be a második egyenletbe:
,
,
,
. Ennek az egyenletnek az általános megoldása az
.

A tudás önkontrollának kérdései

Mi az a differenciálegyenlet?

Mi a differenciálegyenlet sorrendje?

Melyik differenciálegyenletet nevezzük elsőrendű differenciálegyenletnek?

Hogyan írható fel egy elsőrendű differenciálegyenlet differenciál alakban?

Mi a differenciálegyenlet megoldása?

Mi az integrálgörbe?

Mi az elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása?

Mit nevezünk differenciálegyenlet parciális megoldásának?

Hogyan fogalmazódik meg a Cauchy-probléma egy elsőrendű differenciálegyenlethez?

Mi a Cauchy-probléma geometriai értelmezése?

Hogyan írjunk fel differenciálegyenletet elválasztható változókkal szimmetrikus formában?

Melyik egyenletet nevezzük elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek?

Milyen módszerrel oldható meg az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet, és mi ennek a módszernek a lényege?

Önálló munkához szükséges feladatok

Differenciálegyenletek megoldása elválasztható változókkal:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

2. Oldja meg az elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

KATEGÓRIÁK

Szűrés

A végtagok ultrahangja

Az ultrahang típusai

Hasi ultrahang

A mellkas ultrahangja

NÉPSZERŰ CIKKEK

	A tagadást nem igékkel (személyes alakban, infinitivusban, gerund alakban) külön írjuk: nem venni, nem volt, nem tudni, lassan
	Előadás, beszámoló az ébredés filozófiájának főbb jellemzőiről
	Szépirodalmi stílus
	A föld gyermekei Bemutató mi vagyunk a föld gyermekei az óvodában
	Előadás a kommunikációs akadályok témában, a munkát a hallgatók fejezték be Kommunikáció nélkül bezárkózunk

2023 „kingad.ru” - az emberi szervek ultrahangvizsgálata