Egységes véletlenszerű eloszlás. Egyenletes eloszlású valószínűségi változó átalakítása normál eloszlásúvá

Példaként egy folytonos valószínűségi változóra vegyünk egy X valószínűségi változót, amely egyenletesen eloszlik az (a; b) intervallumon. Az X valószínűségi változóról azt mondjuk, hogy egyenlően elosztott az (a; b) intervallumon, ha eloszlássűrűsége nem állandó ezen az intervallumon:

A normalizálási feltételből meghatározzuk a c konstans értékét. Az eloszlási sűrűséggörbe alatti területnek egyenlőnek kell lennie az egységgel, de esetünkben ez egy téglalap területe, amelynek alapja (b - α) és c magassága (1. ábra).

Rizs. 1 Egyenletes eloszlási sűrűség
Innen megtaláljuk a c konstans értékét:

Tehát egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó sűrűsége egyenlő

Most keressük meg az eloszlásfüggvényt a képlet segítségével:
1) számára
2) számára
3) 0+1+0=1 esetén.
És így,

Az eloszlásfüggvény folyamatos és nem csökken (2. ábra).

Rizs. 2 Egyenletes eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

Meg fogjuk találni egyenletes eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárása képlet szerint:

Az egyenletes eloszlás diszperziója képlettel számítjuk ki, és egyenlő

1. számú példa. A mérőeszköz skálaosztás értéke 0,2. A műszer leolvasásait a legközelebbi egész osztásra kerekítjük. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a számlálás során hiba történik: a) kisebb, mint 0,04; b) nagy 0,02
Megoldás. A kerekítési hiba egy valószínűségi változó, amely egyenletesen oszlik el a szomszédos egész osztások között. Tekintsük ilyen felosztásnak a (0; 0,2) intervallumot (a. ábra). A kerekítés elvégezhető mind a bal oldali szegély felé - 0, mind pedig a jobb oldali - 0,2 felé, ami azt jelenti, hogy kétszer 0,04-nél kisebb vagy egyenlő hiba történhet, amelyet figyelembe kell venni a valószínűség kiszámításakor:



P = 0,2 + 0,2 = 0,4

A második esetben a hibaérték mindkét osztáshatáron meghaladhatja a 0,02-t, azaz lehet 0,02-nél nagyobb vagy 0,18-nál kisebb is.


Akkor egy ilyen hiba valószínűsége:

2. példa. Feltételezték, hogy az ország gazdasági helyzetének stabilitása (háborúk, természeti katasztrófák stb. hiánya) az elmúlt 50 évben a népesség életkor szerinti megoszlásának jellege alapján ítélhető meg: nyugodt helyzetben meg kell egyenruha. A vizsgálat eredményeként az egyik országra vonatkozóan a következő adatokat kaptuk.

Van ok azt hinni, hogy instabilitás volt az országban?

A megoldást számológéppel végezzük Hipotézisek tesztelése. Táblázat a mutatók kiszámításához.

Csoportok	Az intervallum felezőpontja, x i	Mennyiség, f i	x i * f i	Akkumulált frekvencia, S	|x - x av |*f	(x - x átlag) 2 *f	Frekvencia, f i /n
0 - 10	5	0.14	0.7	0.14	5.32	202.16	0.14
10 - 20	15	0.09	1.35	0.23	2.52	70.56	0.09
20 - 30	25	0.1	2.5	0.33	1.8	32.4	0.1
30 - 40	35	0.08	2.8	0.41	0.64	5.12	0.08
40 - 50	45	0.16	7.2	0.57	0.32	0.64	0.16
50 - 60	55	0.13	7.15	0.7	1.56	18.72	0.13
60 - 70	65	0.12	7.8	0.82	2.64	58.08	0.12
70 - 80	75	0.18	13.5	1	5.76	184.32	0.18
		1	43		20.56	572	1

Elosztóközpont jelzői.
Súlyozott átlag


Változási mutatók.
Abszolút variációk.
A változási tartomány az elsődleges sorozatjellemző maximális és minimális értéke közötti különbség.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Diszperzió- átlagértéke körül jellemzi a szóródás mértékét (a szóródás mértékét, azaz az átlagtól való eltérést).


Szórás.

A sorozat minden értéke legfeljebb 23,92-vel tér el a 43-as átlagtól
Az eloszlás típusára vonatkozó hipotézisek tesztelése.
4. A hipotézis tesztelése kb egyenletes eloszlásÁltalános népesség.
Az X egyenletes eloszlására vonatkozó hipotézis tesztelése érdekében, i.e. törvény szerint: f(x) = 1/(b-a) az (a,b) intervallumban
szükséges:
1. Becsülje meg az a és b paramétereket - annak az intervallumnak a végeit, amelyben az X lehetséges értékeit megfigyelték, a képletekkel (a * jel a paraméterbecsléseket jelöli):

2. Határozza meg az f(x) = 1/(b * - a *) várható eloszlás valószínűségi sűrűségét!
3. Keresse meg az elméleti frekvenciákat:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)* (x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)* (b * - x s-1)
4. Hasonlítsa össze az empirikus és elméleti gyakoriságokat a Pearson-kritérium segítségével, a szabadsági fokok számát k = s-3 felvéve, ahol s a kezdeti mintavételi intervallumok száma; ha kis frekvenciák és így maguk az intervallumok kombinációját hajtottuk végre, akkor s a kombináció után fennmaradó intervallumok száma.

Megoldás:
1. Keresse meg az egyenletes eloszlás a * és b * paramétereinek becsléseit a következő képletekkel:


2. Határozza meg a feltételezett egyenletes eloszlás sűrűségét:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Keressük az elméleti frekvenciákat:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0,0121(10-1,58) = 0,1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0,0121(84,42-70) = 0,17
A maradék n s egyenlő lesz:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)

én	n i	n*i	n i - n * i	(n i - n* i) 2	(n i - n * i) 2 /n * i
1	0.14	0.1	0.0383	0.00147	0.0144
2	0.09	0.12	-0.0307	0.000943	0.00781
3	0.1	0.12	-0.0207	0.000429	0.00355
4	0.08	0.12	-0.0407	0.00166	0.0137
5	0.16	0.12	0.0393	0.00154	0.0128
6	0.13	0.12	0.0093	8.6E-5	0.000716
7	0.12	0.12	-0.000701	0	4.0E-6
8	0.18	0.17	0.00589	3.5E-5	0.000199
Teljes	1				0.0532

Határozzuk meg a kritikus tartomány határát. Mivel a Pearson-statisztika az empirikus és az elméleti eloszlás közötti különbséget méri, minél nagyobb a megfigyelt K obs értéke, annál erősebb az érv a fő hipotézis ellen.
Ezért a statisztika kritikus tartománya mindig jobbkezes: ha a valószínűségi sűrűsége állandó ezen a szegmensen, és azon kívül egyenlő 0-val (azaz egy valószínűségi változóval). x a szegmensre koncentrálva [ a, b], amelyen állandó sűrűségű). E meghatározás szerint a sűrűség egyenletesen oszlik el a szegmensen [ a, b] valószínűségi változó x a következő formában van:

Ahol Val vel van egy bizonyos szám. Könnyű megtalálni azonban a valószínűségi sűrűség tulajdonságot használva a [ szegmensre koncentrált valószínűségi változókra a, b]:
. Ebből következik, hogy
, ahol
. Ezért a sűrűség egyenletesen oszlik el a szegmensen [ a, b] valószínűségi változó x a következő formában van:

.

Ítélje meg az n.s.v. eloszlásának egységességét. x az alábbi megfontolások alapján lehetséges. Egy folytonos valószínűségi változó egyenletes eloszlású a [ a, b], ha csak ebből a szegmensből vesz fel értékeket, és ebből a szegmensből bármelyik számnak nincs előnye a szegmens többi számához képest abban az értelemben, hogy ennek a valószínűségi változónak az értéke lehet.

Az egyenletes eloszlású véletlenszerű változók olyan értékeket tartalmaznak, mint a szállítási várakozási idő a megállóban (állandó forgalmi intervallum mellett a várakozási idő egyenletesen oszlik el ezen az intervallumon), a szám egész számra kerekítésének hibája (egyenletesen elosztva [−0.5 , 0.5 ]) és mások.

Az elosztási függvény típusa F(x) a, b] valószínűségi változó x ismert valószínűségi sűrűséggel keresve f(x) kapcsolatuk képletével
. A megfelelő számítások eredményeként a következő képletet kapjuk az eloszlásfüggvényre F(x) egyenletesen elosztott szegmens [ a, b] valószínűségi változó x :

.

Az ábrákon a valószínűségi sűrűség grafikonjai láthatók f(x) és elosztási funkciók f(x) egyenletesen elosztott szegmens [ a, b] valószínűségi változó x :

Egy egyenletes eloszlású szegmens elvárása, szórása, szórása, módusa és mediánja [ a, b] valószínűségi változó x valószínűségi sűrűséggel számolva f(x) a szokásos módon (és egészen egyszerűen az egyszerű megjelenés miatt f(x) ). Az eredmény a következő képletek:

és a divat d(x) tetszőleges szám a [ a, b].

Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy egy egyenletes eloszlású szakaszt találunk [ a, b] valószínűségi változó x az intervallumban
, teljesen bent fekszik [ a, b]. Az eloszlásfüggvény ismert formáját figyelembe véve a következőt kapjuk:

Így az egyenletes eloszlású szegmens eltalálásának valószínűsége [ a, b] valószínűségi változó x az intervallumban
, teljesen bent fekszik [ a, b], nem függ ennek az intervallumnak a helyzetétől, hanem csak a hosszától függ, és ezzel egyenesen arányos.

Példa. A buszközlekedés 10 perc. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy buszmegállóba érkező utas 3 percnél kevesebbet vár a buszra? Mennyi az átlagos várakozási idő egy buszra?

Normális eloszlás

Ezzel az eloszlással a leggyakrabban a gyakorlatban találkozhatunk, és kivételes szerepet játszik a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában, illetve ezek alkalmazásaiban, mivel a természettudományok, közgazdaságtan, pszichológia, szociológia, hadtudományok stb. számos valószínűségi változója ilyen eloszlású. Ez az eloszlás egy korlátozó törvény, amelyhez sok más eloszlási törvény is közelít (bizonyos természetes körülmények között). A normál eloszlási törvény segítségével leírjuk azokat a jelenségeket is, amelyek számos független, bármilyen természetű véletlenszerű tényező hatásának vannak kitéve, és ezek eloszlási törvényei. Térjünk át a definíciókra.

A folytonos valószínűségi változót elosztottnak nevezzük normál törvény (vagy Gauss törvénye), ha a valószínűségi sűrűsége a következő alakú:

,

hol vannak a számok AÉs σ (σ>0 ) ennek az eloszlásnak a paraméterei.

Mint már említettük, a Gauss-féle valószínűségi változók eloszlási törvényének számos alkalmazása van. E törvény szerint megoszlik a műszerek mérési hibái, a célpont középpontjától való eltérés a lövéskor, a gyártott alkatrészek mérete, az emberek súlya és magassága, az éves csapadék, az újszülöttek száma és még sok más.

A normális eloszlású valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének adott képlete, mint mondtuk, két paramétert tartalmaz AÉs σ , és ezért olyan függvénycsaládot határoz meg, amely e paraméterek értékétől függően változik. Ha a függvénytanulmányozás és a grafikonok ábrázolásának szokásos matematikai módszereit alkalmazzuk egy normális eloszlás valószínűségi sűrűségére, akkor a következő következtetéseket vonhatjuk le.

azok inflexiós pontjai.

A kapott információk alapján valószínűségi sűrűséggráfot készítünk f(x) normál eloszlás (ezt Gauss-görbének nevezik - ábra).

Nézzük meg, hogyan hat a paraméterek megváltoztatása AÉs σ a Gauss-görbe alakjához. Nyilvánvaló (ez látható a normál eloszlási sűrűség képletéből), hogy a paraméter változása A nem változtatja meg a görbe alakját, hanem csak a tengely mentén jobbra vagy balra tolásához vezet x. Függőség σ nehezebb. A fenti vizsgálatból jól látható, hogy a maximum értéke és az inflexiós pontok koordinátái hogyan függenek a paramétertől σ . Ezenkívül minden paraméternél ezt figyelembe kell vennünk AÉs σ a Gauss-görbe alatti terület 1 marad (ez a valószínűségi sűrűség általános tulajdonsága). A fentiekből az következik, hogy a paraméter növelésével σ a görbe laposabbá válik és a tengely mentén megnyúlik x. Az ábra a paraméter különböző értékeinek Gauss-görbéit mutatja σ (σ 1 < σ< σ 2 ) és ugyanaz a paraméterérték A.

Nézzük meg a paraméterek valószínűségi jelentését AÉs σ normális eloszlás. Már a Gauss-görbe számon átmenő függőleges vonalhoz viszonyított szimmetriájából A a tengelyen x világos, hogy az átlagérték (azaz a matematikai elvárás M(X)) egy normális eloszlású valószínűségi változó egyenlő A. Ugyanezen okokból a módusznak és a mediánnak is egyenlőnek kell lennie az a számmal. A megfelelő képletekkel végzett pontos számítások ezt igazolják. Ha a fent írt kifejezést arra használjuk f(x) behelyettesítjük a varianciaképletbe
, akkor az integrál (elég bonyolult) számítása után megkapjuk a számot a válaszban σ 2 . Így egy valószínűségi változóhoz x A normál törvény szerint elosztva a következő főbb numerikus jellemzőket kaptuk:

Ezért a normális eloszlás paramétereinek valószínűségi jelentése AÉs σ következő. Ha az r.v. xAÉs σ A σ.

Keressük most az eloszlásfüggvényt F(x) valószínűségi változóhoz x, a normáltörvény szerint elosztva, a valószínűségi sűrűség fenti kifejezésével f(x) és képlet
. Cserekor f(x) az eredmény egy „el nem vett” integrál. Bármi, amit meg lehet tenni a kifejezés egyszerűsítése érdekében F(x), Ez a függvény a következőképpen ábrázolja:

,

Ahol F(x)− ún Laplace függvény, amelynek a formája van

.

Az integrál, amelyen keresztül a Laplace-függvény kifejeződik, szintén nem vették fel (de mindegyikre x ez az integrál megközelítőleg kiszámítható bármilyen előre meghatározott pontossággal). Kiszámolni azonban nem szükséges, mivel bármely valószínűségszámítási tankönyv végén található egy táblázat a függvény értékeinek meghatározásához. F(x) adott értéknél x. A következőkben szükségünk lesz a Laplace-függvény furcsasági tulajdonságára: Ф(−х)=−F(x) minden számhoz x.

Határozzuk meg most annak a valószínűségét, hogy egy normális eloszlású r.v. xértéket vesz fel a megadott numerikus intervallumból (α, β) . Az eloszlásfüggvény általános tulajdonságaiból Р(α< x< β)= F(β) − F(α) . Helyettesítés α És β a fenti kifejezésbe F(x) , kapunk

.

A fentebb leírtak szerint, ha az r.v. x normális eloszlású paraméterekkel AÉs σ , akkor az átlagos értéke A, és a szórása egyenlő σ. Ezért átlagos ezen r.v értékeinek eltérése. számból tesztelve A egyenlő σ. De ez az átlagos eltérés. Ezért nagyobb eltérések is lehetségesek. Nézzük meg, mennyire lehetségesek bizonyos eltérések az átlagértéktől. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó értéke a normális törvény szerint oszlik el x eltér az átlagos értékétől M(X)=a kisebb, mint egy bizonyos δ számmal, azaz. R(| x− a|<δ ): . És így,

.

Behelyettesítés ebbe az egyenlőségbe δ=3σ, megkapjuk annak a valószínűségét, hogy az r.v. x(egy tesztben) kevesebb, mint háromszorosával tér el az átlagértéktől σ (az átlagos eltéréssel, mint emlékszünk, egyenlő σ ): (jelentése F(3) a Laplace-függvényértékek táblázatából vettük). Majdnem 1 ! Ekkor az ellenkező esemény valószínűsége (hogy az érték nem kevesebbel tér el, mint 3σ) egyenlő 1 −0.997=0.003 , ami nagyon közel áll 0 . Ezért ez az esemény „szinte lehetetlen” − rendkívül ritkán fordul elő (átlagosan 3 időtúllépés 1000 ). Ez az érvelés a jól ismert „három szigma-szabály” indoklása.

Három szigma szabály. Normál eloszlású valószínűségi változó egyetlen tesztben gyakorlatilag nem tér el tovább az átlagától, mint 3σ.

Hangsúlyozzuk még egyszer, hogy egy tesztről beszélünk. Ha egy valószínűségi változónak sok tesztje van, akkor nagyon valószínű, hogy egyes értékei távolabb kerülnek az átlagtól, mint 3σ. Ezt erősítik meg a következők

Példa. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó 100 próbája során x legalább egy értéke el fog térni az átlagtól a szórás háromszorosával? Mi a helyzet 1000 teszttel?

Megoldás. Legyen az esemény A azt jelenti, hogy egy valószínűségi változó tesztelésekor xértéke többel tért el az átlagtól 3σ. Amint az imént tisztázódott, ennek az eseménynek a valószínűsége p=P(A)=0,003. 100 ilyen vizsgálatot végeztek. Meg kell találnunk annak a valószínűségét, hogy az esemény A történt legalább alkalommal, i.e. származott 1 előtt 100 egyszer. Ez egy tipikus Bernoulli áramköri probléma a paraméterekkel n=100 (független vizsgálatok száma), p=0,003(az esemény valószínűsége A egy próba alatt) q=1− p=0.997 . Meg kell találni R 100 (1≤ k≤100) . Ebben az esetben természetesen könnyebb először megkeresni az ellenkező esemény valószínűségét R 100 (0) − annak valószínűsége, hogy az esemény A még egyszer sem történt meg (azaz 0-szor). Figyelembe véve az esemény valószínűsége és az ellentét közötti kapcsolatot, a következőt kapjuk:

Nem is olyan kevés. Megtörténhet (átlagosan minden negyedik ilyen tesztsorozatban előfordul). Nál nél 1000 ugyanazt a sémát használó tesztek során megállapítható, hogy legalább egy eltérés valószínűsége nagyobb, mint 3σ, egyenlő: . Tehát nagy bizalommal számíthatunk legalább egy ilyen eltérésre.

Példa. Egy bizonyos korcsoportba tartozó férfiak testmagassága normálisan, matematikai elvárásokkal oszlik meg a, és szórása σ . Milyen arányban vannak az öltönyök k növekedést be kell számítani az adott korcsoport össztermelésébe, ha k A növekedést a következő határok határozzák meg:

1 magasság : 158 − 164 cm2 magasság : 164 - 170 cm3 magasság : 170 - 176 cm 4 magasság : 176 - 182 cm

Megoldás. Oldjuk meg a problémát a következő paraméterértékekkel: a=178,σ=6,k=3 . Legyen r.v. x − egy véletlenszerűen kiválasztott férfi magassága (az adott paraméterekkel normálisan eloszlik). Határozzuk meg, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott férfinak mekkora a valószínűsége 3 -a magasság. A Laplace-függvény páratlanságának felhasználása F(x)és az értékek táblázata: P(170 Ezért a teljes termelési mennyiségben biztosítani kell 0.2789*100%=27.89% ruhák 3 -a magasság.

Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlása x, a szegmens összes értékét figyelembe véve , hívott egyenruha, ha a valószínűségi sűrűsége ezen a szegmensen állandó és azon kívül nulla. Így egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége x, egyenletesen oszlik el a szegmensen , a következő formában van:

Határozzuk meg várható érték, diszperzióés egyenletes eloszlású valószínűségi változóra.

, , .

Példa. Egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó minden értéke az intervallumon fekszik . Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó az intervallumba esik (3;5) .

a=2, b=8, .

Binomiális eloszlás

Hagyd előállítani n teszteket, és az esemény bekövetkezésének valószínűségét A minden próbában egyenlő pés független más vizsgálatok (független vizsgálatok) eredményétől. Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége óta A egy tesztben egyenlő p, akkor annak be nem következésének valószínűsége egyenlő q=1-p.

Legyen az esemény A bejött n tesztek m egyszer. Ez az összetett esemény felírható termékként:

.

Akkor annak a valószínűsége n tesztelő esemény A jönni fog m alkalommal, a következő képlettel számítva:

vagy (1)

Az (1) képletet ún Bernoulli képlete.

Hadd x– egy valószínűségi változó, amely megegyezik az esemény előfordulásának számával A V n tesztek, amelyek az értékeket valószínűségekkel veszik fel:

Egy valószínűségi változó eloszlásának eredő törvényét ún binomiális eloszlás törvénye.

x				m		n
P

Várható érték, diszperzióÉs szórás A binomiális törvény szerint elosztott valószínűségi változókat a következő képletek határozzák meg:

, , .

Példa. Három lövést adnak le a célpontra, és minden lövés eltalálásának valószínűsége 0,8. Tekintsünk egy valószínűségi változót x– a célponton elért találatok száma. Keresse meg eloszlási törvényét, matematikai elvárását, szórását és szórását.

p=0,8, q=0,2, n=3, , , .

- 0 találat valószínűsége;

Egy találat esélye;

Két találat esélye;

- három találat valószínűsége.

Megkapjuk az elosztási törvényt:

x
P	0,008	0,096	0,384	0,512

Feladatok

1. Egy érmét 7-szer kell feldobni. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 4-szer fejjel lefelé landol.

2. Egy érmét 8-szor kell feldobni. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a címer legfeljebb háromszor jelenik meg.

3. A cél eltalálásának valószínűsége fegyverből való lövés esetén p=0,6. Határozza meg az összes találat számának matematikai elvárását 10 lövés esetén!

4. Határozza meg a 20 darab vásárlása esetén nyerő sorsjegyek számának matematikai elvárását, és egy szelvényen a nyerési valószínűség 0,3!

Az eloszlásfüggvény ebben az esetben az (5.7) szerint a következő formában lesz:

ahol: m – matematikai elvárás, s – szórás.

A normál eloszlást Gauss német matematikus után Gauss-nak is nevezik. Azt a tényt, hogy egy valószínűségi változó normális eloszlású paraméterekkel: m, a következőképpen jelöljük: N (m,s), ahol: m =a =M ;

A képletekben gyakran a matematikai elvárást jelölik A . Ha egy valószínűségi változót az N(0,1) törvény szerint osztunk el, akkor normalizált vagy standardizált normálváltozónak nevezzük. A hozzá tartozó elosztási függvény alakja:

.

Egy normális eloszlás sűrűséggráfja, amelyet normálgörbének vagy Gauss-görbének nevezünk, az 5.4. ábrán látható.

Rizs. 5.4. Normál eloszlási sűrűség

Egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek sűrűség alapján történő meghatározását egy példa segítségével vizsgáljuk.

6. példa.

A folytonos valószínűségi változót az eloszlási sűrűség határozza meg: .

Határozza meg az eloszlás típusát, határozza meg az M(X) matematikai elvárást és a D(X) varianciát!

A megadott eloszlássűrűséget (5.16) összevetve megállapíthatjuk, hogy a normál eloszlási törvény m = 4 adott. Ezért a matematikai elvárás M(X)=4, variancia D(X)=9.

Szórás s=3.

A Laplace függvény, amelynek alakja:

,

az (5.17) normális eloszlásfüggvényhez kapcsolódik, a reláció:

F 0 (x) = Ф(x) + 0,5.

A Laplace-függvény páratlan.

Ф(-x)=-Ф(x).

A Ф(х) Laplace-függvény értékeit táblázatba foglaljuk, és a táblázatból vettük az x értékének megfelelően (lásd az 1. függeléket).

A folytonos valószínűségi változó normális eloszlása ​​fontos szerepet játszik a valószínűségszámításban és a valóság leírásában, igen elterjedt a véletlenszerű természeti jelenségekben. A gyakorlatban nagyon gyakran találkozunk olyan valószínűségi változókkal, amelyek pontosan sok véletlenszerű tag összegzésének eredményeként jönnek létre. A mérési hibák elemzése különösen azt mutatja, hogy ezek különböző típusú hibák összege. A gyakorlat azt mutatja, hogy a mérési hibák valószínűségi eloszlása ​​közel áll a normál törvényhez.

A Laplace-függvény segítségével megoldható egy adott intervallumba esés valószínűsége és egy normál valószínűségi változó adott eltérése.

Ezt a kérdést régóta részletesen tanulmányozták, és a legszélesebb körben alkalmazott módszer a polárkoordináta-módszer, amelyet George Box, Mervyn Muller és George Marsaglia javasoltak 1958-ban. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy egy független, normális eloszlású valószínűségi változópárt kapjunk 0 matematikai elvárással és 1 szórással az alábbiak szerint:

Ahol Z 0 és Z 1 a kívánt értékek, s = u 2 + v 2, u és v pedig a (-1, 1) intervallumon egyenletesen elosztott valószínűségi változók, úgy választva, hogy a 0 feltétel teljesüljön.< s < 1.
Sokan gondolkodás nélkül használják ezeket a képleteket, és sokan nem is sejtik a létezésüket, hiszen kész implementációkat használnak. De vannak, akiknek kérdéseik vannak: „Honnan jött ez a képlet? És miért kapsz egyszerre pár mennyiséget?” A következőkben ezekre a kérdésekre próbálok egyértelmű választ adni.

Először is hadd emlékeztessem önöket arra, hogy mi a valószínűségi sűrűség, a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és az inverz függvény. Tegyük fel, hogy van egy bizonyos valószínűségi változó, amelynek eloszlását az f(x) sűrűségfüggvény adja meg, és amelynek alakja a következő:

Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy egy adott valószínűségi változó értéke az (A, B) intervallumban lesz, egyenlő az árnyékolt terület területével. Ennek következtében a teljes árnyékolt terület területének egyenlőnek kell lennie eggyel, mivel a valószínűségi változó értéke minden esetben az f függvény definíciójának tartományába esik.
Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a sűrűségfüggvény integrálja. És ebben az esetben a hozzávetőleges megjelenése a következő lesz:

Itt azt jelenti, hogy a valószínűségi változó értéke kisebb lesz, mint A B valószínűséggel. Ennek következtében a függvény soha nem csökken, és értékei az intervallumban vannak.

Az inverz függvény olyan függvény, amely egy argumentumot ad vissza az eredeti függvényhez, ha az eredeti függvény értékét átadjuk abba. Például az x 2 függvénynél az inverz a gyökér kinyerésének függvénye, sin(x) esetén az arcsin(x) stb.

Mivel a legtöbb pszeudovéletlen számgenerátor csak egyenletes eloszlást állít elő kimenetként, gyakran szükség van arra, hogy ezt egy másikra konvertálják. Ebben az esetben normál Gauss-féleképpen:

Az egyenletes eloszlás bármely mássá történő átalakítására szolgáló összes módszer alapja az inverz transzformációs módszer. A következőképpen működik. Találunk egy függvényt, amely inverz a kívánt eloszlás függvényével, és a (0, 1) intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változót adunk át argumentumként. A kimeneten a kívánt eloszlású értéket kapjuk. Az érthetőség kedvéért a következő képet közlöm.

Így egy egységes szegmens az új eloszlásnak megfelelően mintegy elkenődik, egy inverz függvényen keresztül egy másik tengelyre vetítve. De a probléma az, hogy a Gauss-eloszlás sűrűségének integrálját nem könnyű kiszámítani, ezért a fenti tudósoknak csalniuk kellett.

Létezik egy khi-négyzet eloszlás (Pearson eloszlás), amely k független normális valószínűségi változó négyzetösszegének eloszlása. Abban az esetben, ha k = 2, ez az eloszlás exponenciális.

Ez azt jelenti, hogy ha egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy pont véletlenszerű X és Y koordinátái normális eloszlásúak, akkor ezeknek a koordinátáknak a poláris rendszerré alakítása után (r, θ) a sugár négyzete (az origótól a pontig mért távolság) exponenciális törvény szerint lesz elosztva, mivel a sugár négyzete a koordináták négyzeteinek összege (a Pitagorasz törvénye szerint). Az ilyen pontok eloszlási sűrűsége a síkon így fog kinézni:

Mivel minden irányban egyenlő, a θ szög egyenletes eloszlású lesz a 0 és 2π közötti tartományban. Ennek a fordítottja is igaz: ha a poláris koordináta-rendszerben két független valószínűségi változó (egyenletesen elosztott szög és exponenciálisan elosztott sugár) segítségével definiálunk egy pontot, akkor ennek a pontnak a derékszögű koordinátái független normál valószínűségi változók lesznek. És sokkal könnyebb exponenciális eloszlást nyerni egy egyenletesből ugyanazzal az inverz transzformációs módszerrel. Ez a sarki Box-Muller módszer lényege.
Most származtatjuk a képleteket.

(1)

r és θ megszerzéséhez két, a (0, 1) intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változót kell generálni (nevezzük őket u-nak és v-nek), amelyek közül az egyik (mondjuk v) eloszlását exponenciálisra kell konvertálni megkapja a sugarat. Az exponenciális eloszlási függvény így néz ki:

Inverz függvénye:

Mivel az egyenletes eloszlás szimmetrikus, a transzformáció hasonlóan fog működni a függvénnyel

A khi-négyzet eloszlási képletből az következik, hogy λ = 0,5. Helyettesítsük be λ, v-t ebbe a függvénybe, és kapjuk meg a sugár négyzetét, majd magát a sugarat:

A szöget úgy kapjuk meg, hogy az egységszegmenst 2π-re nyújtjuk:

Most behelyettesítjük r-t és θ-t az (1) képletbe, és megkapjuk:

(2)

Ezek a képletek már használatra készek. X és Y függetlenek, normál eloszlásúak 1 szórással és 0 matematikai elvárással. Más jellemzőkkel rendelkező eloszlás eléréséhez elegendő a függvény eredményét megszorozni a szórással, és hozzáadni a matematikai elvárást.
De meg lehet szabadulni a trigonometrikus függvényektől, ha a szöget nem közvetlenül, hanem közvetve a kör egy véletlenszerű pontjának derékszögű koordinátáin keresztül adjuk meg. Ezután ezeken a koordinátákon keresztül ki lehet számítani a sugárvektor hosszát, majd meg lehet találni a koszinuszot és a szinust úgy, hogy x-et és y-t elosztunk vele. Hogyan és miért működik?
Válasszunk egy véletlenszerű pontot az egységsugarú körben egyenletesen elosztott pontok közül, és jelöljük e pont sugárvektorának hosszának négyzetét s betűvel:

A kijelölés véletlenszerű, a (-1, 1) intervallumban egyenletesen elosztott téglalap alakú x és y koordináták megadásával történik, valamint a körhöz nem tartozó pontok elvetésével, valamint a sugárvektor szögének középpontjával. nem meghatározott. Vagyis a 0 feltételnek teljesülnie kell< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

A képleteket úgy kapjuk meg, mint a cikk elején. Ennek a módszernek az a hátránya, hogy eldobja a körben nem szereplő pontokat. Vagyis a generált valószínűségi változóknak csak 78,5%-át használjuk fel. A régebbi számítógépeken még mindig nagy előnyt jelentett a trigonometriai függvények hiánya. Most, amikor egy processzorparancs egy pillanat alatt kiszámolja a szinust és a koszinust is, úgy gondolom, hogy ezek a módszerek továbbra is versenyezhetnek.

Személy szerint két kérdésem van még:

• Miért oszlik el egyenletesen az s értéke?
• Miért oszlik el exponenciálisan két normális valószínűségi változó négyzetösszege?

Mivel s a sugár négyzete (az egyszerűség kedvéért a sugarat a véletlenszerű pont helyzetét meghatározó sugárvektor hosszának nevezem), először megtudjuk, hogyan oszlanak meg a sugarak. Mivel a kör egyenletesen van kitöltve, nyilvánvaló, hogy az r sugarú pontok száma arányos az r sugarú kör hosszával. A kör kerülete pedig arányos a sugárral. Ez azt jelenti, hogy a sugarak eloszlási sűrűsége egyenletesen növekszik a kör középpontjától a széleiig. És a sűrűségfüggvény alakja f(x) = 2x a (0, 1) intervallumon. 2-es együttható úgy, hogy az ábra alatti terület eggyel egyenlő legyen. Ha ezt a sűrűséget négyzetre emeljük, akkor egyenletessé válik. Mivel elméletileg ebben az esetben a sűrűségfüggvényt el kell osztani a transzformációs függvény deriváltjával (vagyis x 2). És ez nyilvánvalóan így történik:

Ha hasonló transzformációt végzünk egy normál valószínűségi változóra, akkor négyzetének sűrűségfüggvénye hasonló lesz a hiperbolához. A normál valószínűségi változók két négyzetének összeadása pedig sokkal összetettebb folyamat, amely a kettős integrációhoz kapcsolódik. És azt, hogy az eredmény exponenciális eloszlás lesz, nekem személy szerint csak gyakorlati módszerrel kell ellenőriznem, vagy axiómaként elfogadnom. Az érdeklődőknek pedig azt javaslom, hogy nézzék meg alaposabban a témát, ezekből a könyvekből merítve ismereteket:

• Ventzel E.S. Valószínűségi elmélet
• Knut D.E. A programozás művészete, 2. kötet

Összefoglalva, íme egy példa egy normál eloszlású véletlenszám-generátor implementálására JavaScriptben:

Gauss() függvény ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1,0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1,0 || s == 0,0); var r = Math.sqrt(-2,0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = igaz; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // objektum létrehozása a = g.next(); // generálunk egy értékpárt, és megkapjuk az elsőt b = g.next(); // kapja meg a második c = g.next(); // generáljon újra egy értékpárt, és szerezze be az elsőt
Az átlag (matematikai elvárás) és a dev (szórás) paraméterek nem kötelezőek. Felhívom a figyelmet arra, hogy a logaritmus természetes.