Keresse meg a függvény legnagyobb növekedési sebességét! Hogyan találjuk meg egy függvény gradiensét

Gradiens funkciókat– olyan vektormennyiség, amelynek meghatározása a függvény parciális deriváltjainak meghatározásával függ össze. A gradiens iránya jelzi a függvény leggyorsabb növekedési útját a skalármező egyik pontjától a másikig.

Utasítás

1. Egy függvény gradiensének problémájának megoldására differenciálszámítási módszereket alkalmaznak, nevezetesen három változóra vonatkozóan elsőrendű parciális deriváltokat keresnek. Feltételezzük, hogy maga a függvény és valamennyi parciális deriváltja rendelkezik a folytonosság tulajdonságával a függvény definíciós tartományában.

2. A gradiens egy vektor, amelynek iránya az F függvény leggyorsabb növekedésének irányát jelzi. Ehhez a grafikonon kiválasztunk két M0 és M1 pontot, amelyek a vektor végei. A gradiens nagysága megegyezik a függvény növekedési sebességével az M0 pontból az M1 pontba.

3. A függvény ennek a vektornak minden pontjában differenciálható, ezért a vektor koordinátatengelyekre vonatkozó vetületei annak valamennyi parciális deriváltja. Ekkor a gradiens képlete így néz ki: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, ahol i, j, k az egységvektor koordinátái . Más szóval, egy függvény gradiense egy olyan vektor, amelynek koordinátái a parciális deriváltjai grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Példa 1. Legyen adott az F = sin(x z?)/y függvény. A gradiensét a (?/6, 1/4, 1) pontban kell érzékelni.

5. Megoldás: Határozzuk meg az egyes változókra vonatkozó parciális deriváltokat: F'_х = 1/y сos(х z?) z?; F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?); F '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Helyettesítsd be a pont híres koordinátaértékeit: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Alkalmazza a függvény gradiens képletét:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. 2. példa. Keresse meg az F = y arсtg (z/x) függvény gradiensének koordinátáit az (1, 2, 1) pontban!

9. Megoldás.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

A skaláris mező gradiens egy vektormennyiség. Ennek megtalálásához tehát meg kell határozni a megfelelő vektor összes komponensét a skalármező felosztásának ismerete alapján.

Utasítás

1. Olvassa el egy felsőbb matematikai tankönyvben, hogy mi a skalármező gradiense. Mint tudják, ennek a vektormennyiségnek van egy iránya, amelyet a skalárfüggvény maximális lecsengési sebessége jellemez. Ennek a vektormennyiségnek az értelmezését indokolja a komponenseinek meghatározására szolgáló kifejezés.

2. Ne feledje, hogy bármely vektort összetevőinek nagysága határozza meg. Egy vektor komponensei valójában ennek a vektornak a vetületei egyik vagy másik koordinátatengelyre. Tehát, ha háromdimenziós teret vesszük, akkor a vektornak három összetevőből kell állnia.

3. Írja le, hogyan határozzák meg egy adott mező gradiensének számító vektor összetevőit! Egy ilyen vektor összes koordinátája egyenlő a skaláris potenciál deriváltjával ahhoz a változóhoz képest, amelynek koordinátáját számítjuk. Azaz, ha ki kell számítani a mező gradiensvektor „x” komponensét, akkor meg kell különböztetni a skalárfüggvényt az „x” változóhoz képest. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a származéknak részlegesnek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a differenciálás során az abban részt nem vevő többi változót állandónak kell tekinteni.

4. Írjon egy kifejezést a skaláris mezőre! Mint ismeretes, ez a kifejezés csak több változó skalárfüggvényét jelenti, amelyek egyben skaláris mennyiségek is. A skalárfüggvény változóinak számát a tér mérete korlátozza.

5. Differenciáld a skalárfüggvényt az egyes változókra vonatkozóan. Ennek eredményeként három új funkciót kap. Írjon be tetszőleges függvényt a skalármező gradiensvektor kifejezésébe. A kapott függvények mindegyike tulajdonképpen egy adott koordináta egységvektorának indikátora. Így a végső gradiensvektornak polinomnak kell kinéznie, amelynek kitevői a függvény deriváltjai formájában vannak.

A gradiens ábrázolással kapcsolatos kérdések mérlegelésekor a függvényeket általában skaláris mezőknek tekintjük. Ezért szükséges a megfelelő jelölés bevezetése.

Szükséged lesz

• - bumm;
• - toll.

Utasítás

1. Adjuk meg a függvényt három u=f(x, y, z) argumentummal. Egy függvény parciális deriváltja, például x-hez képest, úgy van definiálva, mint az argumentum deriváltja, amelyet a fennmaradó argumentumok rögzítésével kapunk. Hasonló a többi érvhez is. A parciális derivált jelölése a következő formában van írva: df/dx = u’x ...

2. A teljes differenciál egyenlő lesz a du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz. A parciális deriváltok a koordinátatengelyek iránya szerinti deriváltakként értelmezhetők. Következésképpen felmerül a kérdés, hogy az M(x, y, z) pontban meg kell-e találni a deriváltot egy adott s vektor irányához képest (ne felejtsük el, hogy az s irányt az s^o egységvektor határozza meg). Ebben az esetben az argumentumok vektor-differenciálja (dx, dy, dz) = (дscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Figyelembe véve a du teljes differenciál alakját, megállapíthatjuk, hogy az s irányú derivált az M pontban egyenlő: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(béta) +((df/dz)|M) cos(gamma).Ha s= s(sx,sy,sz), akkor iránykoszinuszok (cos(alpha), cos(béta) ), cos(gamma)) kiszámítása (lásd 1a. ábra).

4. Az irányderivált definíciója M pontot változónak tekintve átírható skaláris szorzat formájában: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(béta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Ez a kifejezés objektív lesz skalármezőre. Ha egy függvény könnyen értelmezhető, akkor a gradf olyan vektor, amelynek koordinátái egybeesnek az f(x, y, z) parciális deriváltokkal. gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Itt (i, j, k) a koordinátatengelyek egységvektorai egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben.

5. Ha a Hamilton Nabla differenciálvektor operátort használjuk, akkor a gradf felírható ennek az operátorvektornak az f skalárral való szorzataként (lásd 1b. ábra). A gradf és az irányított derivált kapcsolata szempontjából a (gradf, s^o)=0 egyenlőség elfogadható, ha ezek a vektorok ortogonálisak. Következésképpen a gradf-et gyakran a skalármező leggyorsabb metamorfózisának irányaként határozzák meg. A differenciális műveletek szempontjából pedig (a gradf az egyik) a gradf tulajdonságai pontosan megismétlik a differenciáló függvények tulajdonságait. Különösen, ha f=uv, akkor gradf=(vgradu+u gradv).

Videó a témáról

Gradiens Ez egy olyan eszköz, amely a grafikus szerkesztőkben kitölti a sziluettet az egyik színről a másikra való sima átmenettel. Gradiens sziluettet adhat a hangerőnek, imitálhatja a világítást, egy tárgy felületén megcsillanó fényt, vagy egy fénykép hátterében naplementét. Ezt az eszközt széles körben használják, ezért fényképek feldolgozásához vagy illusztrációk készítéséhez nagyon fontos megtanulni a használatát.

Szükséged lesz

• Számítógép, grafikus szerkesztő Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net vagy más.

Utasítás

1. Nyisson meg egy képet a programban, vagy készítsen egy újat. Készítsen sziluettet, vagy válassza ki a kívánt területet a képen.

2. Kapcsolja be a gradiens eszközt a grafikus szerkesztő eszköztárán. Vigye az egérmutatót arra a pontra a kiválasztott területen vagy sziluetten belül, ahol a színátmenet 1. színe kezdődik. Kattintson és tartsa lenyomva a bal egérgombot. Vigye a kurzort arra a pontra, ahol a színátmenetet a végső színre szeretné váltani. Engedje el a bal egérgombot. A kiválasztott sziluettet színátmenetes kitöltés tölti ki.

3. Gradiens A kitöltés egy bizonyos pontján beállíthatja az átlátszóságot, a színeket és ezek arányát. Ehhez nyissa meg a színátmenet szerkesztő ablakot. A Photoshop szerkesztőablakának megnyitásához kattintson a színátmenet példájára a Beállítások panelen.

4. A megnyíló ablak példák formájában jeleníti meg az elérhető színátmenet-kitöltési lehetőségeket. Az egyik lehetőség szerkesztéséhez jelölje ki azt egy egérkattintással.

5. Az ablak alján egy színátmenet példája jelenik meg széles skála formájában, amelyen a csúszkák találhatók. A csúszkák jelzik azokat a pontokat, ahol a színátmenetnek meg kellett volna határoznia a leválogatást, és a csúszkák közötti intervallumban a szín egyenletesen vált át az első pontban megadott színről a 2. pont színére.

6. A skála tetején található csúszkák állítják be a színátmenet átlátszóságát. Az átlátszóság megváltoztatásához kattintson a kívánt csúszkára. A skála alatt megjelenik egy mező, amelyben megadja a szükséges átlátszósági fokot százalékban.

7. A skála alján található csúszkák állítják be a színátmenet színeit. Az egyikre kattintva kiválaszthatja a kívánt színt.

8. Gradiens több átmeneti szín is lehet. Másik szín beállításához kattintson a skála alján lévő szabad helyre. Egy másik csúszka jelenik meg rajta. Adja meg a kívánt színt. A skála egy példát jelenít meg a gradiensre még egy ponttal. A csúszkákat az egér bal gombjával lenyomva mozgathatja a kívánt kombináció eléréséhez.

9. Gradiens Többféle típus létezik, amelyek formát adhatnak a lapos sziluetteknek. Például annak érdekében, hogy egy kör golyó alakját adja, sugárirányú gradienst használnak, a kúp alakjának megadásához pedig kúp alakú gradienst. Ahhoz, hogy a felület a domborúság illúzióját keltsük, használhatunk tükör színátmenetet, rombusz alakú színátmenettel pedig kiemeléseket hozhatunk létre.

Videó a témáról

Videó a témáról

Ha a tér minden pontjában vagy térrészben egy bizonyos mennyiség értékét határozzák meg, akkor azt mondják, hogy ennek a mennyiségnek a mezője meg van adva. Egy mezőt skalárnak nevezünk, ha a vizsgált mennyiség skalár, azaz. számértéke teljes mértékben jellemzi. Például a hőmérsékleti mező. A skalármezőt az u = /(M) skalárpontfüggvény adja meg. Ha bevezetünk egy derékszögű koordinátarendszert a térbe, akkor három változóból áll x, yt z - az M pont koordinátáinak függvénye: Definíció. A skalármező síkfelülete azon pontok halmaza, ahol az f(M) függvény ugyanazt az értéket veszi fel. Szintfelület egyenlete Példa 1. Skalármező síkfelületeinek megkeresése VEKTORANALÍZIS Skalármező Felületek és szintvonalak Irányderivált Derivált Skalármező gradiens Gradiens alapvető tulajdonságai Gradiens invariáns definíciója Gradiens számítási szabályai -4 A definíció szerint , a sík felület egyenlete a következő lesz. Ez egy olyan gömb egyenlete (Ф 0), amelynek középpontja az origóban van. A skaláris mezőt laposnak nevezzük, ha a mező egy bizonyos síkkal párhuzamos minden síkban azonos. Ha a jelzett síkot az xOy síknak vesszük, akkor a mezőfüggvény nem függ a z koordinátától, azaz csak az x és y argumentum függvénye lesz. pontok halmaza a síkon, ahol az /(x, y) függvénynek van egy és jelentése is. Szintvonal egyenlete - 2. példa Skalármező szintvonalainak megkeresése A szintvonalakat egyenletek adják meg Ha c = 0, akkor egy egyenespárt kapunk, hiperbolacsaládot kapunk (1. ábra). 1.1. Irányi derivált Legyen egy skaláris mező, amelyet az u = /(Af) skalárfüggvény határoz meg. Vegyük az Afo pontot, és válasszuk az I vektor által meghatározott irányt. Vegyünk egy másik M pontot úgy, hogy az M0M vektor párhuzamos legyen az 1. vektorral (2. ábra). Jelöljük A/-vel a MoM vektor hosszát, a D1 mozgásának megfelelő /(Af) - /(Afo) függvény növekményét pedig Di-vel. Az arány határozza meg a skalármező egységnyi hosszonkénti átlagos változási sebességét az adott irányban Legyen most nulla, hogy az M0M vektor mindvégig párhuzamos maradjon az I vektorral Definíció. Ha D/O-ban van véges határa az (5) relációnak, akkor azt az adott Afo pontban lévő függvény deriváltjának nevezzük az adott I irányra, és a 3!^ szimbólummal jelöljük. Tehát definíció szerint Ez a definíció nem kapcsolódik a koordinátarendszer megválasztásához, azaz **változatos jellegű. Keressünk egy kifejezést a derékszögű koordinátarendszerben az irányderiváltra. Legyen a / függvény differenciálható egy pontban. Tekintsük az /(Af) értékét egy pontban. Ekkor a függvény teljes növekménye a következő formában írható fel: ahol és a szimbólumok azt jelentik, hogy a parciális deriváltakat az Afo pontban számítjuk. Ezért itt a jfi, ^ mennyiségek a vektor iránykoszinuszai. Mivel a MoM és I vektorok egyirányúak, irány koszinuszaik azonosak: Mivel M Afo mindig az 1. vektorral párhuzamos egyenesen van, a szögek állandóak, ezért végül a (7) és (8) egyenlőségből megkapjuk az Eamuan-t. 1. A partikuláris deriváltok a függvény deriváltjai a koordinátatengelyek irányai mentén, így-3. Példa. Keresse meg a függvény deriváltját a pont irányában A vektornak van egy hossza. Irányos koszinuszai: A (9) képlet szerint meglesz Az a tény, hogy, azt jelenti, hogy a skaláris mező egy pontban egy adott korirányban - Lapos mező esetén a derivált az I irányhoz képest egy pontban képlettel számítjuk ki, ahol a az I vektor által az Oh tengellyel bezárt szög. Зммчмм 2. Adott Afo pontban az I irányú derivált számítására szolgáló (9) képlet érvényben marad, ha az M pont egy olyan görbe mentén Mo pontra irányul, amelyre az I vektor érinti a PrIShr 4 pontot. Számítsa ki a skalár deriváltját. mező az Afo(l, 1) pontban. e görbe irányában (növekvő abszcissza irányába) tartozó parabolához. A parabola egy pontban lévő iránya ] a parabola érintőjének iránya ebben a pontban (3. ábra). Az Afo pontban a parabola érintője o szöget zárjon be az Ox tengellyel. Akkor honnan származnak az érintő iránykoszinuszai? Számítsuk ki a és a pont értékeit. Most a (10) képlet használatával kapjuk. Határozzuk meg a skalármező deriváltját a kör iránya mentén lévő pontban A kör vektoregyenletének alakja van. Megtaláljuk a kör érintőjének m egységvektorát A pont a paraméter értékének felel meg Az Afo pontban lévő r értéke egyenlő lesz Innen megkapjuk a kör érintőjének iránykoszinuszait a Számítsuk ki az adott skalármező parciális deriváltjainak értékét a pontban, vagyis a kívánt deriváltot. Skalármező gradiens Határozzuk meg a skalármezőt egy skalárfüggvénnyel, amelyről feltételezzük, hogy differenciálható. Meghatározás. A skalármező gradiense egy adott M pontban a grad szimbólummal jelölt vektor, amelyet az egyenlőség határoz meg. Nyilvánvaló, hogy ez a vektor függ mind a függvénytől /, mind attól az M ponttól, ahol a deriváltját számítjuk. Legyen irányegységvektor 1. Ekkor az irányderivált képlete a következő formában írható fel: . Így az u függvény 1 irányú deriváltja egyenlő az u(M) függvény gradiensének és az I irányú 1° egységvektorának skaláris szorzatával. 2.1. A gradiens alapvető tulajdonságai Tétel 1. A skalármező gradiense merőleges a szintfelületre (vagy a szintvonalra, ha a mező sík). (2) Rajzoljunk egy u = const síkfelületet egy tetszőleges M ponton, és válasszunk ezen a felületen egy, az M ponton átmenő L sima görbét (4. ábra). Legyen I vektor érintője az L görbének az M pontban. Mivel a szintfelületen u(M) = u(M|) bármely Mj e L pontra, akkor viszont = (gradu, 1°). Ezért. Ez azt jelenti, hogy a grad és és 1° vektorok merőlegesek, így a grad és vektor merőleges az M pontban lévő síkfelület bármely érintőjére. gradiens a térfüggvény növelésére irányul. Korábban bebizonyítottuk, hogy a skalármező gradiense a síkfelület normálja mentén irányul, amely orientálható akár az u(M) függvény növekedése, akár a csökkenésének irányába. Jelöljük n-nel a szintfelszín ti(M) függvény növekedési irányába orientált normálisát, és keressük meg az u függvény e normális irányába eső deriváltját (5. ábra). Az 5. ábra feltétele szerint van Since-ünk és ezért VEKTORANALÍZIS Skalármező Felületek és szintvonalak Derivatíva irányban A skalármező deriváltja A gradiens alapvető tulajdonságai A gradiens invariáns definíciója A gradiens kiszámításának szabályai Ebből következik, hogy a grad az általunk választott normál n-vel megegyező irányba, azaz az u(M) függvény növekedésének irányába. 3. Tétel. A gradiens hossza megegyezik a mező adott pontjában az irányhoz viszonyított legnagyobb deriválttal (itt az ellenőrzést egy adott M pontban minden lehetséges irány mentén végezzük). Megvan, hogy hol van az 1 vektorok és a grad n közötti szög. Mivel a legnagyobb érték az 1. példa. Határozza meg a skalármező legnagyobb változásának irányát egy pontban, valamint ennek a legnagyobb változásnak a nagyságát a megadott pontban. A skalármező legnagyobb változásának irányát egy vektor jelzi. Ez a vektor határozza meg a mező legnagyobb növekedésének irányát egy pontban. A legnagyobb térváltozás nagysága ezen a ponton 2,2. A gradiens invariáns meghatározása Azokat a mennyiségeket, amelyek a vizsgált objektum tulajdonságait jellemzik, és nem függnek a koordinátarendszer megválasztásától, az adott objektum invariánsainak nevezzük. Például egy görbe hossza ennek a görbének egy invariánsa, de a görbe érintési szöge az Ox tengellyel nem invariáns. A skalármező gradiens fentebb bizonyított három tulajdonsága alapján a gradiens következő invariáns definícióját adhatjuk. Meghatározás. A skaláris térgradiens egy olyan vektor, amely a síkfelületre merőlegesen irányul a térfüggvény növekedésének irányában, és amelynek hossza megegyezik a legnagyobb irányú deriválttal (adott pontban). Legyen egységnyi normálvektor, amely a növekvő tér irányába irányul. Ezután 2. példa Keresse meg a távolság gradiensét - valamilyen fix pont, és M(x,y,z) - az aktuálisat. 4 Megvan, hogy hol van az egységirányvektor. A gradiens kiszámításának szabályai, ahol c egy állandó szám. A megadott képletek közvetlenül a gradiens definíciójából és a származékok tulajdonságaiból származnak. A szorzatdifferenciálás szabálya szerint a bizonyítás hasonló a tulajdonság bizonyításához. Legyen F(u) differenciálható skalárfüggvény. Ekkor 4 A fadiens definíciója szerint alkalmazzuk az összetett függvény differenciálási szabályát a jobb oldalon lévő összes tagra. Konkrétan azt kapjuk, hogy a (6) képlet a 3. példa képletéből következik. Keresse meg az r sugárvektor irányára vonatkozó deriváltot a függvényből A (3) képlet és a képlet segítségével Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy a 4. példa Legyen adott egy sík skaláris mező - távolságok valamelyik pontsíktól ennek a síknak két fix pontjáig. Tekintsünk egy tetszőleges Fj és F] fókuszú ellipszist, és bizonyítsuk be, hogy az ellipszis egyik fókuszából kilépő minden fénysugár az ellipszisről való visszaverődés után a másik fókuszában végződik. A (7) függvény szintvonalai VEKTORANALÍZIS Skalármező Felületek és szintvonalak Irány derivált Skalármező gradiens A gradiens alapvető tulajdonságai A gradiens invariáns definíciója A gradiens kiszámításának szabályai A (8) egyenletek olyan ellipsziscsaládot írnak le, amelynek fókuszpontja F) és Fj. A 2. példa eredménye szerint tehát egy adott mező gradiense egyenlő az r egységvektorokra felépített rombusz átlójának PQ vektorával? és sugárvektorok. az F| fókuszból a P(x, y) pontba húzva és Fj, ezért az ezen sugárvektorok közötti szögfelezőn fekszik (6. ábra). Tooromo 1 szerint a PQ gradiens merőleges a pontban lévő (8) ellipszisre. Ezért a 6. ábra. az ellipszis (8) normálisa bármely pontban felezi az ehhez a ponthoz húzott sugárvektorok közötti szöget. Ebből és abból, hogy a beesési szög egyenlő a visszaverődés szögével, azt kapjuk: az ellipszis egyik fókuszából kilépő, onnan visszaverődő fénysugár minden bizonnyal ennek az ellipszisnek egy másik fókuszába esik.