Sorolja fel az összeadás tulajdonságait olvasás közben. Egész számok összeadás, szorzás, kivonás és osztás tulajdonságai

Egy kockás papírra rajzoljunk egy 5 cm-es és 3 cm-es oldalú téglalapot, amelyet 1 cm-es oldalú négyzetekre osztunk (143. ábra). Számoljuk meg a téglalapban található cellák számát. Ezt meg lehet tenni például így.

Az 1 cm oldalú négyzetek száma 5 * 3. Minden ilyen négyzet négy cellából áll. Ezért a cellák teljes száma (5 * 3) * 4.

Ugyanaz a probléma másként is megoldható. A téglalap mind az öt oszlopa három négyzetből áll, amelyek oldala 1 cm, ezért egy oszlop 3 * 4 cellát tartalmaz. Ezért összesen 5 * (3 * 4) cella lesz.

A cellák számlálása a 143. ábrán kétféleképpen szemlélteti szorzás asszociatív tulajdonsága az 5-ös, 3-as és 4-es számokhoz. Nálunk van: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Ha két szám szorzatát meg szeretné szorozni egy harmadik számmal, az első számot megszorozhatja a második és harmadik szám szorzatával.

(ab)c = a(bc)

A szorzás kommutatív és kombinatív tulajdonságaiból az következik, hogy több szám szorzásakor a tényezők felcserélhetők és zárójelbe helyezhetők, ezáltal meghatározható a számítások sorrendje.

Például a következő egyenlőségek igazak:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

A 144. ábrán az AB szakasz a fent tárgyalt téglalapot téglalapra és négyzetre osztja.

Kétféleképpen számoljuk meg az 1 cm oldalú négyzetek számát.

Egyrészt a kapott négyzet 3 * 3-at tartalmaz, a téglalap pedig 3 * 2-t. Összesen 3 * 3 + 3 * 2 négyzetet kapunk. Másrészt ennek a téglalapnak mind a három sorában 3 + 2 négyzet található. Ekkor teljes számuk 3 * (3 + 2).

Egyenlő 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 szemlélteti az összeadáshoz viszonyított szorzás elosztó tulajdonsága.

Ha egy számot meg szeretne szorozni két szám összegével, megszorozhatja ezt a számot minden egyes összeadással, és összeadhatja a kapott szorzatokat.

Szó szerinti formában ez a tulajdonság a következőképpen van írva:

a(b + c) = ab + ac

A szorzás összeadáshoz viszonyított eloszlási tulajdonságából az következik

ab + ac = a(b + c).

Ez az egyenlőség lehetővé teszi, hogy a P = 2 a + 2 b képlet megtalálja egy téglalap kerületét a következő formában:

P = 2 (a + b).

Vegye figyelembe, hogy a terjesztési tulajdonság három vagy több kifejezésre érvényes. Például:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

A szorzás kivonáshoz viszonyított eloszlási tulajdonsága is igaz: ha b > c vagy b = c, akkor

a(b − c) = ab − ac

Példa 1 . Számítsa ki kényelmes módon:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) A szorzás kommutatív, majd asszociatív tulajdonságait használjuk:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Nálunk van:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Példa 2 . Egyszerűsítse a kifejezést:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m − 13 m.

1) A szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonságait felhasználva kapjuk:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) A szorzás kivonáshoz viszonyított eloszlási tulajdonságát felhasználva kapjuk:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Példa 3 . Írja fel az 5 (2 m + 7) kifejezést úgy, hogy ne legyen benne zárójel!

A szorzásnak az összeadáshoz viszonyított eloszlási tulajdonsága szerint van:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Ezt az átalakulást ún nyitó zárójelek.

Példa 4 . Számítsa ki a 125 * 24 * 283 kifejezés értékét kényelmes módon.

Megoldás. Nekünk van:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Példa 5 . Hajtsa végre a szorzást: 3 nap 18 óra * 6.

Megoldás. Nekünk van:

3 nap 18 óra * 6 = 18 nap 108 óra = 22 nap 12 óra.

A példa megoldása során az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási tulajdonságát használtuk:

3 nap 18 óra * 6 = (3 nap + 18 óra) * 6 = 3 nap * 6 + 18 óra * 6 = 18 nap + 108 óra = 18 nap + 96 óra + 12 óra = 18 nap + 4 nap + 12 óra = 22 nap 12 óra.

Ebben a műveletben számos eredmény figyelhető meg. Ezeket az eredményeket ún természetes számok összeadásának tulajdonságai. Ebben a cikkben részletesen elemezzük a természetes számok hozzáadásának tulajdonságait, betűkkel írjuk őket, és magyarázó példákat adunk.

Oldalnavigáció.

Természetes számok összeadásának kombinatív tulajdonsága.

Most adjunk egy példát a természetes számok összeadásának asszociatív tulajdonságára.

Képzeljünk el egy helyzetet: az első almafáról 1 alma, a második almafáról 2 alma és további 4 alma esett le. Most nézzük meg ezt a helyzetet: 1 alma és további 2 alma esett le az első almafáról, és 4 alma esett le a második almafáról. Nyilvánvaló, hogy az első és a második esetben is ugyanannyi alma lesz a földön (ez ellenőrizhető újraszámítás). Vagyis az 1-es szám 2-es és 4-es összegével való összeadásának eredménye megegyezik az 1-es és 2-es számok 4-es számmal való összeadásának eredményével.

A vizsgált példa lehetővé teszi, hogy megfogalmazzuk a természetes számok összeadásának kombinatív tulajdonságát: ahhoz, hogy egy adott számhoz hozzáadjunk két szám adott összegét, ehhez a számhoz hozzáadhatjuk az adott összeg első tagját, és hozzáadhatjuk a szám második tagját. adott összeget a kapott eredményhez. Ez a tulajdonság a következő betűkkel írható: a+(b+c)=(a+b)+c, ahol a, b és c tetszőleges természetes számok.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az a+(b+c)=(a+b)+c egyenlőség „(” és „)” zárójeleket tartalmaz. A kifejezésekben a zárójelek jelzik a műveletek végrehajtásának sorrendjét - először a zárójelben lévő műveleteket hajtják végre (erről bővebben a részben írunk). Más szavakkal, azok a kifejezések, amelyeknek az értékeit először értékelik, zárójelbe kerülnek.

E bekezdés végén megjegyezzük, hogy az összeadás asszociatív tulajdonsága lehetővé teszi számunkra, hogy egyértelműen meghatározzuk három, négy vagy több természetes szám összeadása.

A nulla és a természetes szám összeadásának tulajdonsága, a nulla és a nulla összeadásának tulajdonsága.

Tudjuk, hogy a nulla NEM természetes szám. Tehát miért döntöttünk úgy, hogy megvizsgáljuk a nulla és a természetes szám összeadásának tulajdonságát ebben a cikkben? Ennek három oka van. Először is: ez a tulajdonság akkor használatos, amikor természetes számok összeadása egy oszlopban. Másodszor: ez a tulajdonság akkor használatos, amikor természetes számok kivonása. Harmadszor: ha feltételezzük, hogy a nulla valaminek a hiányát jelenti, akkor a nulla és a természetes szám összeadásának jelentése egybeesik két természetes szám összeadásának jelentése.

Végezzünk el néhány érvelést, amely segít megfogalmazni a nulla és a természetes szám összeadásának tulajdonságát. Képzeljük el, hogy a dobozban nincsenek objektumok (azaz 0 objektum van a dobozban), és egy objektum kerül bele, ahol a bármely természetes szám. Vagyis hozzáadtunk 0-t és egy objektumot. Nyilvánvaló, hogy a művelet után tárgyak vannak a dobozban. Ezért a 0+a=a egyenlőség igaz.

Hasonlóképpen, ha egy doboz tartalmaz egy elemet, és 0 elemet adnak hozzá (vagyis nem adnak hozzá elemeket), akkor a művelet után egy elem lesz a dobozban. Tehát a+0=a .

Most megadhatjuk a nulla és a természetes szám összeadásának tulajdonságának megfogalmazását: két szám összege, amelyek közül az egyik nulla, egyenlő a második számmal. Matematikailag ez a tulajdonság a következő egyenlőségként írható fel: 0+a=a vagy a+0=a, ahol a egy tetszőleges természetes szám.

Külön figyeljünk arra, hogy természetes szám és nulla összeadásakor az összeadás kommutatív tulajdonsága igaz marad, azaz a+0=0+a.

Végül fogalmazzuk meg a nulla nullához adásának tulajdonságát (ez teljesen nyilvánvaló, és nem igényel további megjegyzéseket): két szám összege, amelyek mindegyike nulla, egyenlő nullával. vagyis 0+0=0 .

Itt az ideje, hogy kitaláljuk, hogyan kell csinálni természetes számok összeadása.

Bibliográfia.

• Matematika. Bármilyen tankönyv az általános oktatási intézmények 1., 2., 3., 4. évfolyama számára.
• Matematika. Bármilyen tankönyv az általános oktatási intézmények 5. osztálya számára.

A lecke témája: „Az összeadás tulajdonságai”. Ebben megismerkedhet az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságaival, konkrét példákkal megvizsgálva azokat. Nézze meg, milyen esetekben könnyítheti meg a számítási folyamatot. A tesztpéldák segítenek meghatározni, hogy mennyire sajátította el a tanult anyagot.

Lecke: Az összeadás tulajdonságai

Nézze meg figyelmesen a kifejezést:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Meg kell találnunk az értékét. Csináljuk.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

A kifejezés eredménye: 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Mondja, kényelmes volt számolni? Nem volt túl kényelmes a számítás. Nézd meg újra a számokat ebben a kifejezésben. Lehetséges-e felcserélni őket, hogy kényelmesebb legyen a számítás?

Ha másképp rendezzük át a számokat:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

A kifejezés végeredménye 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Látjuk, hogy a kifejezések eredménye megegyezik.

A feltételek felcserélhetők, ha ez kényelmes a számításokhoz, és az összeg értéke nem változik.

A matematikában van egy törvény: Összeadás kommutatív törvénye. Kimondja, hogy a feltételek átrendezése nem változtat az összegen.

Fjodor bácsi és Sharik vitatkozott. Sharik megtalálta a kifejezés jelentését, ahogy írták, és Fjodor bácsi azt mondta, hogy ismer egy másik, kényelmesebb számítási módot. Látsz jobb módszert a számításra?

Sharik úgy oldotta meg a kifejezést, ahogy le volt írva. És Fjodor bácsi azt mondta, hogy ismeri a törvényt, amely lehetővé teszi a kifejezések felcserélését, és felcserélte a 25-ös és a 3-as számokat.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Látjuk, hogy az eredmény ugyanaz marad, de a számítás sokkal könnyebbé vált.

Tekintse meg a következő kifejezéseket, és olvassa el őket.

6 + (24 + 51) = 81 (6-hoz add hozzá 24 és 51 összegét)
Van valami kényelmes módszer a számításra?
Azt látjuk, hogy ha 6-ot és 24-et összeadunk, kerek számot kapunk. Mindig könnyebb hozzátenni valamit egy kerek számhoz. Tegyük zárójelbe a 6-os és 24-es számok összegét.
(6 + 24) + 51 = …
(adjunk hozzá 51-et a 6-os és 24-es számok összegéhez)

Számítsuk ki a kifejezés értékét, és nézzük meg, hogy megváltozott-e a kifejezés értéke?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Látjuk, hogy a kifejezés jelentése ugyanaz marad.

Gyakoroljunk még egy példával.

(27 + 19) + 1 = 47 (adjunk hozzá 1-et a 27 és 19 számok összegéhez)
Milyen számokat célszerű csoportosítani egy kényelmes módszer kialakításához?
Kitaláltad, hogy ezek a 19 és 1 számok. Tegyük zárójelbe a 19 és 1 számok összegét.
27 + (19 + 1) = …
(27-hez add hozzá a 19-es és az 1-es számok összegét)
Keressük meg ennek a kifejezésnek a jelentését. Emlékezzünk arra, hogy először a zárójelben lévő műveletet hajtjuk végre.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Kifejezésünk jelentése ugyanaz marad.

Összeadás kombinációs törvénye: két szomszédos tag helyettesíthető az összegükkel.

Most gyakoroljuk mindkét törvény használatát. Ki kell számítanunk a kifejezés értékét:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Először is használjuk az összeadás kommutatív tulajdonságát, amely lehetővé teszi az addendek felcserélését. Cseréljük fel a 14-es és a 2-es feltételeket.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Most használjuk a kombináció tulajdonságot, amely lehetővé teszi, hogy két szomszédos tagot az összegükkel helyettesítsünk.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Először megtudjuk a 38 és a 2 összegének értékét.

Az összeg most 14 és 6.

3. Pedagógiai ötletek fesztiválja „Nyílt lecke” ().

Készítse el otthon

1. Számítsa ki a tagok összegét különböző módokon:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Értékelje a kifejezések eredményeit:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Számítsa ki az összeget kényelmes módon:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Meghatároztuk az egész számok összeadását, szorzását, kivonását és osztását. Ezeknek a műveleteknek (műveleteknek) számos jellemző eredménye van, amelyeket tulajdonságoknak nevezünk. Ebben a cikkben megvizsgáljuk az egész számok összeadásának és szorzásának alapvető tulajdonságait, amelyekből ezen műveletek összes többi tulajdonsága következik, valamint az egész számok kivonásának és osztásának tulajdonságait.

Oldalnavigáció.

Az egész számok összeadásának számos más nagyon fontos tulajdonsága van.

Az egyik a nulla létezésével kapcsolatos. Az egész számok összeadásának ez a tulajdonsága azt mondja ki nulla hozzáadása bármely egész számhoz nem változtatja meg azt a számot. Írjuk fel az összeadás ezen tulajdonságát betűkkel: a+0=a és 0+a=a (ez az egyenlőség az összeadás kommutatív tulajdonsága miatt igaz), a tetszőleges egész szám. Azt is hallhatja, hogy az egész nullát semleges elemnek nevezik. Mondjunk egy-két példát. A −78 és nulla egész szám összege −78; Ha a 999 pozitív egész számot nullához adjuk, az eredmény 999.

Most megadjuk az egész számok összeadásának egy másik tulajdonságának megfogalmazását, amely bármely egész szám ellentétes számának meglétéhez kapcsolódik. Bármely ellentétes egész szám összege nulla. Adjuk meg ennek a tulajdonságnak a szó szerinti alakját: a+(−a)=0, ahol a és −a ellentétes egész számok. Például a 901+(−901) összeg nulla; hasonlóképpen a −97 és 97 ellentétes egészek összege nulla.

Az egész számok szorzásának alapvető tulajdonságai

Az egész számok szorzása rendelkezik a természetes számok szorzásának minden tulajdonságával. Soroljuk fel ezen tulajdonságok főbb jellemzőit.

Ahogyan a nulla semleges egész szám az összeadás szempontjából, az egy semleges egész szám az egész számok szorzása szempontjából. vagyis bármely egész szám eggyel való szorzása nem változtatja meg a szorzandó számot. Tehát 1·a=a, ahol a tetszőleges egész szám. Az utolsó egyenlőség átírható a·1=a-ra, így megadhatjuk a szorzás kommutatív tulajdonságát. Mondjunk két példát. Az 556 egész szám 1-gyel szorzata 556; az egyik és a negatív egész –78 szorzata egyenlő –78-cal.

Az egész számok szorzásának következő tulajdonsága a nullával való szorzással kapcsolatos. Bármely a egész szám nullával való szorzata nulla, azaz a·0=0 . A 0·a=0 egyenlőség az egész számok szorzásának kommutatív tulajdonsága miatt is igaz. Abban a speciális esetben, amikor a=0, nulla és nulla szorzata nullával egyenlő.

Egész számok szorzására az előzővel való fordított tulajdonság is igaz. Azt állítja két egész szám szorzata egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Literális formában ez a tulajdonság a következőképpen írható fel: a·b=0, ha vagy a=0, vagy b=0, vagy a és b egyszerre nulla.

Egész számok szorzásának eloszlási tulajdonsága az összeadáshoz képest

Az egész számok együttes összeadása és szorzása lehetővé teszi, hogy figyelembe vegyük a szorzásnak az összeadáshoz viszonyított eloszlási tulajdonságát, amely összekapcsolja a két jelzett műveletet. Az összeadás és a szorzás együttes alkalmazása további lehetőségeket nyit meg, amelyeket elszalanánk, ha az összeadást a szorzástól elkülönítve tekintenénk.

Tehát a szorzás összeadáshoz viszonyított eloszlási tulajdonsága kimondja, hogy egy a egész szám és két a és b egész szám szorzata egyenlő az a b és a c szorzatok összegével, azaz a·(b+c)=a·b+a·c. Ugyanez a tulajdonság más formában is felírható: (a+b)c=ac+bc .

Az egész számok összeadáshoz viszonyított szorzásának eloszlási tulajdonsága az összeadás kombinatív tulajdonságával együtt lehetővé teszi, hogy meghatározzuk egy egész szám szorzatát három vagy több egész szám összegével, majd az egész számok összegének szorzását az összeggel.

Azt is vegyük figyelembe, hogy az egész számok összeadásának és szorzásának összes többi tulajdonsága az általunk jelzett tulajdonságokból nyerhető, vagyis ezek a fent jelzett tulajdonságok következményei.

Az egész számok kivonásának tulajdonságai

A kapott egyenlőségből, valamint az egész számok összeadási és szorzási tulajdonságaiból az egész számok kivonásának következő tulajdonságai következnek (a, b és c tetszőleges egész számok):

• Az egész számok kivonása általában NINCS kommutatív tulajdonsággal: a−b≠b−a.
• Az egyenlő egész számok különbsége nulla: a−a=0.
• Az a tulajdonsága, hogy egy adott egész számból kivonjuk két egész szám összegét: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Az a tulajdonsága, hogy két egész szám összegéből kivonunk egy egész számot: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• A szorzás eloszlási tulajdonsága a kivonáshoz viszonyítva: a·(b–c)=a·b–a·c és (a–b)·c=a·c–b·c.
• És az egész számok kivonásának minden egyéb tulajdonsága.

Egész számok felosztásának tulajdonságai

Az egész számok osztásának jelentését tárgyalva rájöttünk, hogy az egész számok osztása a szorzás fordított művelete. A következő definíciót adtuk: az egész számok felosztása egy ismert szorzatból és egy ismert tényezőből ismeretlen tényezőt találni. Vagyis a c egész számot az a egész szám b egész számmal való osztásának hányadosának nevezzük, ha a c·b szorzat egyenlő a-val.

Ez a definíció, valamint az egész számokra vonatkozó műveletek fentebb tárgyalt tulajdonságai lehetővé teszik az egész számok következő tulajdonságainak érvényességének megállapítását:

• Egy egész szám sem osztható nullával.
• A nulla nullától eltérő tetszőleges egész számmal való osztásának tulajdonsága: 0:a=0.
• Az egyenlő egészek felosztásának tulajdonsága: a:a=1, ahol a bármely nullától eltérő egész szám.
• Egy tetszőleges a egész szám eggyel való osztásának tulajdonsága: a:1=a.
• Általában az egész számok felosztása NINCS kommutatív tulajdonsággal: a:b≠b:a .
• Két egész szám összegének és különbségének egy egész számmal való osztásának tulajdonságai: (a+b):c=a:c+b:c és (a-b):c=a:c-b:c, ahol a, b , és c olyan egész számok, amelyekben a és b is osztható c-vel, c pedig nem nulla.
• Az a tulajdonsága, hogy két a és b egész szám szorzatát egy nullától eltérő c egész számmal osztjuk: (a·b):c=(a:c)·b, ha a osztható c-vel; (a·b):c=a·(b:c) , ha b osztható c -vel; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) ha a és b is osztható c-vel.
• Az a tulajdonsága, hogy egy a egész számot osztunk két b és c egész szám szorzatával (az a , b és c számok olyanok, hogy lehetséges a osztása b c-vel): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
• Az egész számok osztó bármely egyéb tulajdonsága.