Az egzakt tárgy tanulmányozása: természetes számok - mik a számok, példák és tulajdonságok. Természetellenes számok

A matematikában számos különböző számkészlet létezik: valós, összetett, egész, racionális, irracionális, ... Mindennapi élet Leggyakrabban természetes számokat használunk, hiszen számláláskor és kereséskor, objektumok számának kijelölésekor találkozunk velük.

Kapcsolatban áll

Milyen számokat nevezünk természetes számoknak?

Tíz számjegyből abszolút bármilyen létező osztály- és rangösszeg írható. Természeti értékeknek azokat tekintjük amelyeket használnak:

• Bármely objektum megszámlálásakor (első, második, harmadik, ... ötödik, ... tizedik).
• A tételek számának megadásakor (egy, kettő, három...)

N értéke mindig egész és pozitív. Nincs legnagyobb N, mert az egész értékek halmaza korlátlan.

Figyelem! A természetes számokat az objektumok számlálásakor vagy mennyiségük megadásakor kapjuk.

Abszolút tetszőleges szám felbontható és számjegyek formájában is bemutatható, például: 8.346.809=8 millió+346 ezer+809 egység.

Állítsa be az N

Az N halmaz a halmazban van valós, egész és pozitív. A halmazok diagramján ezek egymásban helyezkednének el, hiszen a természetes halmaz is ezek része.

A természetes számok halmazát N betű jelöli. Ennek a halmaznak van eleje, de nincs vége.

Van egy kiterjesztett N halmaz is, ahol a nulla is benne van.

A legkisebb természetes szám

A legtöbb matematikai iskolában a legkisebb N értéke egységnek számít, mivel a tárgyak hiánya ürességnek számít.

De a külföldi matematikai iskolákban, például a franciában, természetesnek tartják. A nulla jelenléte a sorozatban megkönnyíti a bizonyítást néhány tétel.

A nullát tartalmazó N értékek sorozatát kiterjesztettnek nevezzük, és az N0 szimbólummal (nulla index) jelöljük.

Természetes számok sorozata

Az N sorozat mind az N számjegyből álló sorozat. Ennek a sorozatnak nincs vége.

A természetes sorozat sajátossága, hogy a következő szám eggyel eltér az előzőtől, azaz nő. De a jelentések nem lehet negatív.

Figyelem! A számolás megkönnyítése érdekében vannak osztályok és kategóriák:

• Egységek (1, 2, 3),
• Tízesek (10, 20, 30),
• Több száz (100, 200, 300),
• Ezrek (1000, 2000, 3000),
• Több tízezer (30 000),
• Százezrek (800.000),
• Milliók (4000000) stb.

Mind N

Minden N a valós, egész, nem negatív értékek halmazában van. Az övék szerves része.

Ezek az értékek a végtelenségig terjednek, tartozhatnak a milliók, milliárdok, kvintilliók stb. osztályaiba.

Például:

• Öt alma, három cica,
• Tíz rubel, harminc ceruza,
• Száz kilogramm, háromszáz könyv,
• Egymillió csillag, hárommillió ember stb.

Sorozat az N-ben

A különböző matematikai iskolákban két intervallum található, amelyekhez az N sorozat tartozik:

nullától a plusz végtelenig, beleértve a végeket, és egytől a plusz végtelenig, beleértve a végeket, vagyis mindent pozitív egész válaszok.

N számjegykészlet lehet páros vagy páratlan. Nézzük a furcsaság fogalmát.

Páratlan (bármilyen páratlan szám 1-re, 3-ra, 5-re, 7-re, 9-re végződik.), ha kettőnek van maradéka. Például 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Mit jelent még az N?

Bármely páros osztályösszeg számokra végződik: 0, 2, 4, 6, 8. Ha páros N-t osztunk 2-vel, akkor nem lesz maradék, vagyis az eredmény a teljes válasz. Például 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Fontos! Egy N számsora nem állhat csak páros vagy páratlan értékekből, hiszen ezeknek váltakozniuk kell: a párost mindig páratlan követi, majd ismét párost, stb.

Tulajdonságok N

Mint minden más halmaznak, az N-nek is megvannak a maga speciális tulajdonságai. Tekintsük az N sorozat tulajdonságait (nem bővítve).

• Az az érték, amelyik a legkisebb, és amely nem követ mást, az egy.
• N egy sorozatot, azaz egy természetes értéket jelent követ egy másikat(egy kivételével – ez az első).
• Ha számítási műveleteket végzünk N számú számjegyen és osztályon (összeadás, szorzás), akkor a válasz mindig természetesnek bizonyul jelentése.
• Permutáció és kombináció használható a számításokhoz.
• Minden további érték nem lehet kisebb, mint az előző. Az N sorozatban is a következő törvény érvényesül: ha az A szám kisebb, mint B, akkor a számsorokban mindig lesz olyan C, amelyre az egyenlőség érvényes: A+C=B.
• Ha két természetes kifejezést veszünk, például A-t és B-t, akkor az egyik kifejezés igaz lesz rájuk: A = B, A nagyobb, mint B, A kisebb, mint B.
• Ha A kisebb, mint B, és B kisebb, mint C, akkor ebből az következik hogy A kisebb, mint C.
• Ha A kisebb, mint B, akkor ebből az következik, hogy ha hozzájuk adjuk ugyanazt a kifejezést (C), akkor A + C kisebb, mint B + C. Az is igaz, hogy ha ezeket az értékeket megszorozzuk C-vel, akkor AC kisebb, mint AB.
• Ha B nagyobb, mint A, de kisebb, mint C, akkor igaz: B-A kisebb, mint C-A.

Figyelem! A fenti egyenlőtlenségek mindegyike ellenkező irányban is érvényes.

Hogyan nevezzük a szorzás összetevőit?

Sok egyszerű, sőt összetett probléma esetén a válasz megtalálása a tanulók képességeitől függ

Egész számok Nagyon ismerősek és természetesek számunkra. És ez nem meglepő, hiszen a velük való ismerkedés életünk első éveiben intuitív szinten kezdődik.

A cikkben található információk alapvető megértést adnak a természetes számokról, feltárják céljukat, és elsajátítják a természetes számok írásának és olvasásának készségeit. Az anyag jobb megértése érdekében a szükséges példákat és illusztrációkat közöljük.

Oldalnavigáció.

Természetes számok – általános ábrázolás.

Az alábbi vélemény nem nélkülözi a józan logikát: az objektumok számlálási feladatának (első, második, harmadik objektum stb.) és az objektumok számának (egy, kettő, három objektum, stb.) jelzésének a felmerülése oda vezetett, hogy megoldására szolgáló eszköz létrehozása, ez volt az eszköz egész számok.

Ebből a mondatból kiderül a természetes számok fő célja– a vizsgált tételsorba tartozó tételek számáról vagy egy adott cikk sorszámáról információt hordozzon.

Ahhoz, hogy egy személy természetes számokat használhasson, azoknak valamilyen módon hozzáférhetőnek kell lenniük mind az észlelés, mind a reprodukálás számára. Ha mindegyik természetes számot megszólaltatja, akkor füllel érzékelhetővé válik, ha pedig természetes számot ábrázol, akkor láthatóvá válik. Ezek a természetes számok közvetítésének és érzékelésének legtermészetesebb módjai.

Kezdjük tehát elsajátítani a természetes számok ábrázolásának (írásának) és hangzásának (olvasásának) készségeit, miközben megtanuljuk jelentésüket.

Természetes szám decimális jelölése.

Először is el kell döntenünk, hogy miből indulunk ki a természetes számok írásakor.

Emlékezzünk a következő karakterek képeire (vesszővel elválasztva jelenítjük meg őket): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . A bemutatott képek felvétele az ún számok. Azonnal állapodjunk meg, hogy rögzítés közben ne fordítsuk meg, ne döntsük meg, vagy más módon ne torzítsuk el a számokat.

Most egyezzünk meg abban, hogy bármely természetes szám jelölésében csak a jelzett számjegyek lehetnek jelen, más szimbólumok nem. Állapodjunk meg abban is, hogy a természetes számok jelölésében a számjegyek azonos magasságúak, egymás után sorba vannak rendezve (szinte behúzás nélkül), és a bal oldalon a számjegytől eltérő számjegy található. 0 .

Íme néhány példa a természetes számok helyes írására: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (kérjük, vegye figyelembe: a számok közötti behúzások nem mindig azonosak, erről bővebben az áttekintés során lesz szó). A fenti példákból világosan látszik, hogy egy természetes szám jelölése nem feltétlenül tartalmazza az összes számjegyet 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; a természetes szám írásában szereplő számjegyek egy része vagy mindegyike megismétlődhet.

Hozzászólások 014 , 0005 , 0 , 0209 nem természetes számok rekordjai, mivel a bal oldalon van egy számjegy 0 .

Az ebben a bekezdésben leírt összes követelmény figyelembevételével felírt természetes számot hívjuk természetes szám decimális jelölése.

Továbbá nem teszünk különbséget a természetes számok és írásuk között. Magyarázzuk meg: a szövegben a továbbiakban olyan kifejezéseket fogunk használni, mint „adva egy természetes szám 582 ", ami azt jelenti, hogy adott egy természetes szám, amelynek jelölése alakja van 582 .

Természetes számok az objektumok számának értelmében.

Eljött az idő, hogy megértsük az írott természetes szám kvantitatív jelentését. A természetes számok jelentését az objektumok számozása szempontjából a természetes számok összehasonlítása című cikk tárgyalja.

Kezdjük a természetes számokkal, amelyek bejegyzései egybeesnek a számjegyek bejegyzéseivel, vagyis a számokkal 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 És 9 .

Képzeljük el, hogy kinyitottuk a szemünket és láttunk valami tárgyat, például így. Ebben az esetben leírhatjuk, amit látunk 1 tétel. Az 1-es természetes szám így olvasható: egy"(az „egy” szám deklinciója, valamint más számok a bekezdésben adjuk meg), a számhoz 1 másik nevet vettek fel - " Mértékegység».

Az „egység” kifejezés azonban a természetes szám mellett többértékű 1 , nevezzen valamit, mint egészet. Például a sok közül bármelyik elem nevezhető egységnek. Például minden alma egy almahalmazból egy egység, egy madárrajból származó madárnyáj is egység, stb.

Most kinyitjuk a szemünket és látjuk: . Vagyis egy tárgyat látunk és egy másik tárgyat. Ebben az esetben leírhatjuk, amit látunk 2 tantárgy. Természetes szám 2 , olvas " kettő».

Hasonlóképpen, - 3 tárgy (olvasd el három" tantárgy), - 4 (« négy") tantárgy, - 5 (« öt»), - 6 (« hat»), - 7 (« hét»), - 8 (« nyolc»), - 9 (« kilenc") elemeket.

Tehát a figyelembe vett helyzetből természetes számok 1 , 2 , 3 , …, 9 jelezze Mennyiség tételeket.

Olyan szám, amelynek jelölése egybeesik egy számjegy jelölésével 0 , úgynevezett " nulla" A nulla szám NEM természetes szám, de általában a természetes számokkal együtt tekintik. Ne feledje: a nulla valaminek a hiányát jelenti. Például a nulla elem nem egyetlen elem.

A cikk következő bekezdéseiben továbbra is feltárjuk a természetes számok jelentését a mennyiségek jelzése szempontjából.

Egyjegyű természetes számok.

Nyilvánvalóan az egyes természetes számok rögzítése 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 egy karakterből áll - egy számból.

Meghatározás.

Egyjegyű természetes számok– ezek természetes számok, amelyek írása egy előjelből - egy számjegyből áll.

Soroljuk fel az összes egyjegyű természetes számot: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Összesen kilenc egyjegyű természetes szám van.

Két- és háromjegyű természetes számok.

Először definiáljunk kétjegyű természetes számokat.

Meghatározás.

Kétjegyű természetes számok– természetes számok, amelyek rögzítése két előjelből áll - két számjegyből (különböző vagy azonos).

Például egy természetes szám 45 – kétjegyű számok 10 , 77 , 82 szintén kétjegyű, ill 5 490 , 832 , 90 037 – nem kétszámjegyű.

Találjuk ki, milyen jelentést hordoznak a kétjegyű számok, miközben a már ismert egyjegyű természetes számok kvantitatív jelentésére építünk.

Kezdésként mutassuk be a fogalmat tíz.

Képzeljük el ezt a helyzetet – kinyitottuk a szemünket, és egy kilenc tárgyból és még egy tárgyból álló halmazt láttunk. Ebben az esetben arról beszélnek 1 tíz (egy tucat) tétel. Ha egy tízet és egy másik tízet együtt tekintünk, akkor arról beszélnek 2 tízesek (két tucat). Ha hozzáadunk még egy tízet a két tízhez, akkor három tízesünk lesz. Ezt a folyamatot folytatva négy tízest, öt tízest, hat tízest, hét tízest, nyolc tízest és végül kilenc tízest kapunk.

Most áttérhetünk a kétjegyű természetes számok lényegére.

Ehhez tekintsünk egy kétjegyű számot két egyjegyű számnak – az egyik a kétjegyű szám jelölésében a bal oldalon, a másik a jobb oldalon található. A bal oldali szám a tízesek számát, a jobb oldali pedig az egyeseket jelöli. Sőt, ha egy kétjegyű szám jobb oldalán számjegy található 0 , akkor ez az egységek hiányát jelenti. Ez az egész lényege a kétjegyű természetes számoknak a mennyiségek jelzése szempontjából.

Például egy kétjegyű természetes szám 72 megfelel 7 több tucat és 2 egységek (vagyis 72 alma egy hét tucat almából és további két almából álló halmaz), és a szám 30 válaszol 3 több tucat és 0 nincsenek mértékegységek, vagyis olyan egységek, amelyek nincsenek tízesre vonva.

Válaszoljunk a kérdésre: "Hány kétjegyű természetes szám van?" Válasz: őket 90 .

Térjünk át a háromjegyű természetes számok definíciójára.

Meghatározás.

Természetes számok, amelyek jelölése abból áll 3 jelek – 3 számok (különböző vagy ismétlődő) hívódnak háromjegyű.

Példák természetes háromjegyű számokra 372 , 990 , 717 , 222 . Egész számok 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nem háromjegyűek.

A háromjegyű természetes számok jelentésének megértéséhez szükségünk van a fogalomra több száz.

A tíz tízes halmaz az 1 száz (száz). Száz és száz az 2 több száz. Kétszáz és másik száz az háromszáz. És így tovább, van négyszáz, ötszáz, hatszáz, hétszáz, nyolcszáz és végül kilencszáz.

Most nézzünk egy háromjegyű természetes számot három egyjegyű természetes számként, amelyek egymást követik jobbról balra a háromjegyű természetes szám jelölésében. A jobb oldali szám az egységek számát, a következő szám a tízesek számát, a következő szám pedig a százasok számát jelöli. Számok 0 írásban a háromjegyű szám tízes és (vagy) egységek hiányát jelenti.

Így egy háromjegyű természetes szám 812 megfelel 8 több száz, 1 tíz és 2 egységek; szám 305 - háromszáz ( 0 tízesek, azaz nincsenek olyan tízesek, amelyek ne egyesülnének százba) és 5 egységek; szám 470 – négyszázhét tízes (nincs olyan egység, amely ne lenne tízesbe összevonva); szám 500 – ötszázas (nincs olyan, hogy a tízes ne legyen százas, és nincs olyan egység, amely ne lenne összevonva tízessé).

Hasonlóképpen definiálhatunk négyjegyű, ötjegyű, hatjegyű stb. természetes számok.

Többjegyű természetes számok.

Tehát térjünk át a többértékű természetes számok meghatározására.

Meghatározás.

Többjegyű természetes számok- ezek természetes számok, amelyek jelölése kettőből vagy háromból vagy négyből áll, stb. jelek. Más szavakkal, a többjegyű természetes számok kétjegyűek, háromjegyűek, négyjegyűek stb. számok.

Mondjuk rögtön, hogy egy tízszázból álló halmaz az ezer, ezerezer az egymillió, ezer millió az egymilliárd, ezer milliárd az egytrillió. Ezer billió, ezerezer billió és így tovább is lehet saját nevet adni, de erre nincs különösebb szükség.

Tehát mit jelentenek a többjegyű természetes számok?

Nézzünk egy többjegyű természetes számot egyjegyű természetes számokként, amelyek jobbról balra követik egymást. A jobb oldali szám az egységek számát jelöli, a következő szám a tízesek száma, a következő a százak száma, majd az ezres szám, majd a tízezres, majd a százezres szám, majd a szám milliók, majd a tízmilliók, majd a százmilliók, majd – a milliárdok száma, azután – a tízmilliárdok száma, majd – a százmilliárdok, azután a billiók, azután a tíztilliárdok, majd – több száz billió és így tovább.

Például egy többjegyű természetes szám 7 580 521 megfelel 1 Mértékegység, 2 több tucat, 5 több száz, 0 ezrek, 8 tízezrek, 5 százezrek és 7 milliókat.

Így megtanultuk csoportosítani az egységeket tízesre, tízesre százra, százasra ezresre, ezresre tízezresre, és így tovább, és rájöttünk, hogy a többjegyű természetes szám jelölésében szereplő számok a megfelelő számot jelzik. csoportok felett.

Természetes számok, osztályok olvasása.

Már említettük az egyjegyű természetes számok olvasási módját. Tanuljuk meg fejből a következő táblázatok tartalmát.

Hogyan olvashatók a fennmaradó kétjegyű számok?

Magyarázzuk meg egy példával. Olvassuk a természetes számot 74 . Mint fentebb megtudtuk, ez a szám megfelel 7 több tucat és 4 egységek, azaz 70 És 4 . Rátérünk az imént rögzített táblázatokra, és a számra 74 így olvassuk: „Hetvennégy” (az „és” kötőszót nem ejtjük ki). Ha el kell olvasnia egy számot 74 a mondatban: „Nem 74 alma" (genitív kisbetű), akkor így fog hangzani: "Nincs hetvennégy alma." Egy másik példa. Szám 88 - Ezt 80 És 8 , ezért ezt olvassuk: „Nyolcvannyolc”. És itt van egy példa egy mondatra: „Nyolcvannyolc rubelre gondol.”

Térjünk át a háromjegyű természetes számok olvasására.

Ehhez meg kell tanulnunk még néhány új szót.

Meg kell mutatni, hogy a maradék háromjegyű természetes számokat hogyan olvassuk. Ebben az esetben az egy- és kétjegyű számok olvasásában a már megszerzett készségeinket használjuk.

Nézzünk egy példát. Olvassuk a számot 107 . Ez a szám megfelel 1 száz és 7 egységek, azaz 100 És 7 . Az asztalokhoz fordulva ezt olvassuk: „Százhét”. Most mondjuk a számot 217 . Ez a szám 200 És 17 ezért ezt olvassuk: „Kétszáztizenhét”. Hasonlóképpen, 888 - Ezt 800 (nyolcszáz) és 88 (nyolcvannyolc) ezt olvassuk: „Nyolcszáznyolcvannyolc”.

Térjünk át a többjegyű számok olvasására.

Az olvasáshoz egy többjegyű természetes szám rekordját jobbról indulva háromjegyű csoportokra osztjuk, és a bal szélső ilyen csoportban lehet 1 , vagy 2 , vagy 3 számok. Ezeket a csoportokat ún osztályok. A jobb oldali osztály neve osztályú egységek. Az őt követő osztályt (jobbról balra) hívjuk ezres osztály, következő osztály - milliós osztály, következő - milliárdos osztály, jön a következő billió osztály. A következő osztályok nevét megadhatja, de természetes számokat, amelyek jelölése abból áll 16 , 17 , 18 stb. A jeleket általában nem olvassák el, mivel füllel nagyon nehezen észlelhetők.

Nézzen meg példákat a többjegyű számok osztályokra osztására (az egyértelműség kedvéért az osztályokat egy kis behúzással választjuk el): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Tegyük a felírt természetes számokat egy táblázatba, amely megkönnyíti az olvasásuk megtanulását.

Egy természetes szám olvasásához osztályonként balról jobbra hívjuk az alkotó számokat, és adjuk hozzá az osztály nevét. Ugyanakkor nem ejtjük ki az egységek osztályának nevét, és kihagyjuk azokat az osztályokat is, amelyek három számjegyből állnak 0 . Ha az osztálybejegyzés bal oldalán szám szerepel 0 vagy két számjegy 0 , akkor figyelmen kívül hagyjuk ezeket a számokat 0 és olvassa le a számok elvetésével kapott számot 0 . Például, 002 „kettőként” kell olvasni, és 025 - mint a „huszonötben”.

Olvassuk a számot 489 002 a megadott szabályok szerint.

Balról jobbra olvasunk,

• olvassa el a számot 489 , amely az ezres osztályt képviseli, „négyszáznyolcvankilenc”;
• add hozzá az osztály nevét, „négyszáznyolcvankilencezer”-et kapunk;
• tovább az általunk látott egységek osztályában 002 , a bal oldalon nullák vannak, ezért figyelmen kívül hagyjuk őket 002 "kettőnek" kell olvasni;
• nem kell hozzáadni az egységosztály nevét;
• a végén megvan 489 002 - „négyszáznyolcvankilencezer-kettő”.

Kezdjük el olvasni a számot 10 000 501 .

• A milliós osztály bal oldalán a számot látjuk 10 , olvassa el a „tízet”;
• add hozzá az osztály nevét, „tíz milliónk” van;
• akkor látjuk a bejegyzést 000 az ezres osztályban, mivel mindhárom számjegy számjegy 0 , akkor kihagyjuk ezt az órát, és továbblépünk a következőre;
• az egységek osztálya a számot jelöli 501 , amelyet „ötszázegy” olvasunk;
• És így, 10 000 501 - tízmillió-ötszázegy.

Tegyük ezt részletes magyarázat nélkül: 1 789 090 221 214 - "egybillió hétszáznyolcvankilenc milliárd kilencvenmillió kétszázhuszonegyezerkétszáztizennégy."

Tehát a többjegyű természetes számok olvasásának készségének alapja a többjegyű számok osztályokra bontásának képessége, az osztályok nevének ismerete és a háromjegyű számok olvasásának képessége.

Egy természetes szám számjegyei, a számjegy értéke.

Természetes szám írásakor az egyes számjegyek jelentése a helyzetétől függ. Például egy természetes szám 539 megfelel 5 több száz, 3 több tucat és 9 egységeket, ezért az ábra 5 szám írásában 539 a százasok számát határozza meg, számjegy 3 – a tízesek száma és a számjegy 9 - egységek száma. Ugyanakkor azt mondják, hogy az ábra 9 bekerül egységek számjegyés szám 9 van egység számjegy értéke, szám 3 bekerül tízes helyés szám 3 van tízes helyiérték, és az ábra 5 - V százas helyés szám 5 van százas helyiérték.

És így, kisülés- egyrészt ez egy számjegy pozíciója egy természetes szám jelölésében, másrészt ennek a számjegynek a pozíciója által meghatározott értéke.

A kategóriák neveket kapnak. Ha jobbról balra nézi a természetes számok jelölésében szereplő számokat, akkor ezek a következő számjegyeknek felelnek meg: egységek, tízek, százak, ezrek, tízezrek, százezrek, milliók, tízmilliók és hamar.

Kényelmes megjegyezni a kategóriák nevét, amikor táblázatos formában jelennek meg. Írjunk fel egy táblázatot, amely 15 kategória nevét tartalmazza!

Figyeljük meg, hogy egy adott természetes szám számjegyeinek száma megegyezik a szám írásában részt vevő karakterek számával. Így a rögzített táblázat tartalmazza az összes természetes szám számjegyeinek nevét, amelyek rögzítése legfeljebb 15 karaktert tartalmazhat. A következő rangoknak is megvannak a saját neveik, de nagyon ritkán használják őket, így nincs értelme említeni őket.

A számjegytáblázat segítségével kényelmesen meg lehet határozni egy adott természetes szám számjegyeit. Ehhez be kell írni ezt a természetes számot ebbe a táblázatba úgy, hogy minden számjegyben legyen egy számjegy, és a jobb szélső számjegy az egységszámjegyben legyen.

Mondjunk egy példát. Írjunk fel egy természetes számot 67 922 003 942 a táblázatba, és ezeknek a számoknak a számjegyei és jelentése jól láthatóvá válnak.

A szám ebben a számban az 2 a mértékegységek helye, számjegye áll 4 – a tízes helyen, számjegy 9 – százas helyen stb. Érdemes odafigyelni a számokra 0 , amely a tízezres és százezres kategóriában található. Számok 0 ezekben a számjegyekben a számok egységeinek hiányát jelenti.

Érdemes megemlíteni a többjegyű természetes szám úgynevezett legalsó (junior) és legmagasabb (legjelentősebb) számjegyét is. Legalacsonyabb (junior) fokozat bármely többjegyű természetes szám egységjegye. A természetes szám legmagasabb (legjelentősebb) számjegye az a számjegy, amely a szám rögzítésében a jobb szélső számjegynek felel meg. Például a 23 004 természetes szám alacsonyabb rendű számjegye az egységszámjegy, a legmagasabb számjegye pedig a tízezres számjegy. Ha egy természetes szám jelölésében számjegyekkel haladunk balról jobbra, akkor minden következő számjegyet alacsonyabb (fiatalabb) az előző. Például az ezrek rangja alacsonyabb, mint a tízezreké, és még inkább az ezrek rangja, mint a százezreké, millióké, tízmillióké stb. Ha egy természetes szám jelölésénél számjegyenként haladunk jobbról balra, akkor minden következő számjegyet magasabb (idősebb) az előző. Például a százas számjegy régebbi, mint a tízes számjegy, és még inkább, mint a mértékegységek számjegye.

Egyes esetekben (például összeadás vagy kivonás végrehajtásakor) nem magát a természetes számot használják, hanem ennek a természetes számnak a számjegyeinek összegét.

Röviden a decimális számrendszerről.

Megismerkedtünk tehát a természetes számokkal, a bennük rejlő jelentéssel, és a természetes számok tízjegyű írásmódjával.

Általában a számok előjelekkel történő írásának módszerét hívják számrendszer. Egy számjegy jelentése a számjelölésben függhet a helyétől, vagy nem. Olyan számrendszereket hívunk, amelyekben egy számban lévő számjegy értéke a helyétől függ helyzeti.

Így az általunk vizsgált természetes számok és felírásuk módja arra utal, hogy helyzetszámrendszert használunk. Megjegyzendő, hogy ebben a számrendszerben a számnak különleges helye van 10 . Valóban, a számolás tízesével történik: tíz egységet tízbe, egy tucat tízet százba, egy tucat százat ezressé, és így tovább. Szám 10 hívott alapján adott számrendszert, és magát a számrendszert hívják meg decimális.

A decimális számrendszeren kívül más is létezik, például az informatikában a bináris helyzetszámrendszert használják, az időmérésnél pedig a hatszázas számrendszerrel találkozunk.

Bibliográfia.

• Matematika. Bármilyen tankönyv az általános oktatási intézmények 5. osztálya számára.

Egész számok– számok, amelyeket az objektumok számlálására használnak . Bármely természetes szám felírható tíz használatával számok: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ezt a számtípust ún. decimális

Az összes természetes szám sorozatát nevezzük természetes mellette .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

A legtöbb kicsi természetes szám egy (1). A természetes sorozatban minden következő szám 1-gyel nagyobb, mint az előző. Természetes sorozat végtelen, nincs benne legnagyobb szám.

Egy számjegy jelentése a számrekordban elfoglalt helyétől függ. Például a 4-es szám jelentése: 4 egység, ha a számrekord utolsó helyén van (egységek helyén); 4 tíz, ha az utolsó előtti helyen áll (a tízes helyen); 4 több száz, ha a végétől a harmadik helyen áll (V százas hely).

A 0 szám azt jelenti ebbe a kategóriába tartozó egységek hiánya egy szám decimális jelölésében. Ez a szám jelölésére is szolgál. nulla" Ez a szám azt jelenti, hogy "nincs". A 0:3-as állás egy futballmérkőzésen azt jelenti, hogy az első csapat egyetlen gólt sem szerzett az ellenféllel szemben.

Nulla ne tartalmazza természetes számokhoz. És valóban, a tárgyak számlálása soha nem kezdődik elölről.

Ha egy természetes szám jelölése egy előjelből áll – egy számjegy, akkor hívják félreérthetetlen. Azok. félreérthetetlentermészetes szám– természetes szám, amelynek jelölése egy előjelből áll – egy számjegy. Például az 1, 6, 8 számok egyjegyűek.

Két számjegyűtermészetes szám– természetes szám, amelynek jelölése két karakterből – két számjegyből – áll.

Például a 12, 47, 24, 99 számok kétjegyű számok.

Ezenkívül az adott számban lévő karakterek száma alapján más számoknak is nevet adnak:

326, 532, 893 számok – háromjegyű;

számok 1126, 4268, 9999 – négyjegyű stb.

Kétjegyű, háromjegyű, négyjegyű, ötjegyű stb. hívják a számokat többjegyű számok .

A többjegyű számok olvasásához jobbról kezdődően három-három számjegyű csoportokra osztják őket (a bal szélső csoport egy vagy két számjegyből állhat). Ezeket a csoportokat ún osztályok.

Millió– ez ezerezer (1000 ezer), 1 millió vagy 1 000 000 van ráírva.

Milliárd, ezermillió- ez 1000 millió. 1 milliárdnak vagy 1 000 000 000-nek van írva.

A jobb oldali első három számjegy adja az egységek osztályát, a következő három – az ezres osztályt, majd jönnek a milliók, milliárdok stb. (1. ábra).

Rizs. 1. Millions osztály, ezres osztály és egységosztály (balról jobbra)

A 15389000286 számot a bitrácsba írjuk (2. ábra).

Rizs. 2. Bitrács: 15 milliárd 389 millió 286 szám

Ez a szám 286 egységet tartalmaz a befektetési jegyek osztályában, nulla egység az ezres osztályban, 389 egység a milliós osztályban, és 15 egység a milliárdos osztályban.

Meghatározás

A természetes számok olyan számok, amelyek az objektumok számlálására szolgálnak. A természetes számok rögzítéséhez 10 arab számot (0–9) használnak, amelyek a matematikai számításoknál általánosan elfogadott decimális számrendszer alapját képezik.

Természetes számok sorozata

A természetes számok 1-től kezdődő sorozatot alkotnak, amely lefedi az összes pozitív egész halmazát. Ez a sorozat az 1,2,3,.... számokból áll. Ez azt jelenti, hogy a természetes sorozatban:

1. Van egy legkisebb szám és nincs legnagyobb.
2. Minden következő szám 1-gyel nagyobb, mint az előző (maga az egység kivételével).
3. Mivel a számok a végtelenbe hajlanak, korlátlanul nőnek.

A természetes számok sorozatába néha 0 kerül, ez elfogadható, és akkor beszélnek róla kiterjesztett természetes sorozat.

Természetes számok osztályai

A természetes szám minden számjegye egy bizonyos számjegyet fejez ki. Az utolsó mindig a szám egységeinek száma, az előtte lévő a tízesek száma, a végétől a harmadik a százasok száma, a negyedik az ezresek száma, és így tovább.

• a 276. számban: 2 százas, 7 tízes, 6 egyes
• az 1098-as számban: 1 ezer, 9 tízes, 8 egység; Itt hiányzik a százas hely, mert nullaként van kifejezve.

Nagy és nagyon nagy számok esetén stabil trendet láthat (ha jobbról balra, azaz az utolsó számjegytől az elsőig vizsgálja a számot):

• a szám utolsó három számjegye egység, tíz és száz;
• az előző három egység, tíz- és százezer;
• az előttük lévő három (azaz a szám 7., 8. és 9. számjegye, a végétől számítva) egységek, tíz- és százmilliók stb.

Vagyis minden alkalommal, amikor három számjeggyel, azaz egységekkel, egy nagyobb név tízesével és százával van dolgunk. Az ilyen csoportok osztályokat alkotnak. Ha pedig az első három osztállyal kell foglalkozni a hétköznapokban gyakrabban-ritkábban, akkor a többit is érdemes sorolni, mert nem mindenki emlékszik fejből a nevére.

• A milliós osztályt követő, 10-12 számjegyű számokat képviselő 4. osztályt milliárdnak (vagy milliárdnak) nevezzük;
• 5. évfolyam – billió;
• 6. évfolyam – kvadrillió;
• 7. évfolyam – ötmilliárd;
• 8. évfolyam – sextillion;
• 9. évfolyam – septillion.

Természetes számok összeadása

A természetes számok összeadása olyan aritmetikai művelet, amely lehetővé teszi, hogy olyan számot kapjunk, amely ugyanannyi egységet tartalmaz, mint amennyi az összeadandó számokban van.

Az összeadás jele a „+” jel. Az összeadott számokat összeadásnak, a kapott eredményt pedig összegnek nevezzük.

Kis számokat szóban adunk össze (összeadunk), írásban az ilyen műveleteket egy sorba írjuk.

A fejben nehezen felvehető többjegyű számokat általában egy oszlopba adják. Ehhez a számokat egymás alá írják, az utolsó számjegyhez igazítva, vagyis az egyeseket a mértékegységek helye alá, a százasokat a százasok alá írják, és így tovább. Ezután páronként össze kell adnia a számjegyeket. Ha a számjegyek összeadása egy tízes átmenettel történik, akkor ezt a tízet a bal oldali számjegy (vagyis a következő) feletti egységként rögzítjük, és összeadjuk ennek a számjegynek a számjegyeivel.

Ha nem 2, hanem több szám kerül egy oszlopba, akkor a hely számjegyeinek összegzésekor nem 1 tíz, hanem több is feleslegesnek bizonyulhat. Ebben az esetben az ilyen tízesek száma átkerül a következő számjegyre.

Természetes számok kivonása

A kivonás egy aritmetikai művelet, az összeadás inverze, amely arra a tényre vezethető vissza, hogy a rendelkezésre álló összeg és az egyik kifejezés felhasználásával egy másik - egy ismeretlen kifejezést kell találnia. Azt a számot, amelyből kivonják, minuendnek nevezzük; a kivonandó szám kivonható. A kivonás eredményét különbségnek nevezzük. A kivonás műveletének jelölésére használt jel a „–”.

Amikor az összeadásra lépünk, a rész- és a különbség összeadásokká, a minuend pedig összegekké alakul. Az összeadást általában a kivonás helyességének ellenőrzésére használják, és fordítva.

Itt 74 a minuend, 18 a részfej, 56 a különbség.

A természetes számok kivonásának előfeltétele a következő: a minuendnek nagyobbnak kell lennie, mint a kivonási számnak. Csak ebben az esetben a kapott különbség is természetes szám. Ha a kivonás műveletét kiterjesztett természetes sorozatra hajtjuk végre, akkor megengedett, hogy a minuend egyenlő legyen a kivonóval. És a kivonás eredménye ebben az esetben 0 lesz.

Megjegyzés: ha a részösszeg egyenlő nullával, akkor a kivonási művelet nem változtatja meg a minuend értékét.

A többjegyű számok kivonása általában egy oszlopban történik. A számokat ugyanúgy írjuk, mint az összeadásnál. A megfelelő számjegyekre kivonás történik. Ha kiderül, hogy a minuend kisebb, mint a részarend, akkor az előző (bal oldalon található) számjegyből vesznek egyet, ami az átvitel után természetesen 10-re változik. Ezt a tízet összeadják az adott számjegy számával. bányásznak, majd a kivonás végrehajtásra kerül. Ezután a következő számjegy kivonásakor ügyeljen arra, hogy a csökkentett számjegy 1-gyel kevesebb legyen.

Természetes számok szorzata

A természetes számok szorzata (vagy szorzása) egy aritmetikai művelet, amely tetszőleges számú azonos tag összegének megtalálását jelenti. A szorzási művelet írásához használja a „·” jelet (néha „×” vagy „*”). Például: 3·5=15.

A szorzás művelete nélkülözhetetlen, ha nagyszámú tagot kell összeadni. Például, ha a 4-es számot 7-szer kell összeadni, akkor a 4-et 7-tel szorozni könnyebb, mint a következő összeadást: 4+4+4+4+4+4+4.

A szorzott számokat faktoroknak, a szorzás eredményét szorzatnak nevezzük. Ennek megfelelően a „termék” kifejezés a kontextustól függően egyaránt kifejezheti a szorzás folyamatát és annak eredményét.

A többjegyű számokat egy oszlopba szorozzák. Ehhez a számokat ugyanúgy írjuk, mint az összeadásnál és a kivonásnál. Javasoljuk, hogy először a 2 szám közül a leghosszabbat írja le (fent). Ebben az esetben a szorzási folyamat egyszerűbb és ezért racionálisabb lesz.

Oszlopban történő szorzáskor a második szám minden egyes számjegyét a végétől kezdve sorban megszorozzuk az 1. szám számjegyeivel. Miután megtalálta az első ilyen terméket, írja le az egységszámjegyeket, és tartsa szem előtt a tízes számjegyet. Ha a 2. szám számjegyét megszorozza az 1. szám következő számjegyével, a szem előtt tartott számjegy hozzáadódik a termékhez. És ismét írja le a kapott eredmény egységszámát, és emlékezzen a tízes számra. Az 1. szám utolsó számjegyével megszorozva az így kapott számot teljes egészében leírjuk.

A második szám 2. számjegye számjegyének szorzásának eredményét a második sorba írjuk, 1 cellával jobbra tolva. Stb. Ennek eredményeként egy „létra” keletkezik. Az összes eredményül kapott számsort össze kell adni (az oszlopösszeadás szabálya szerint). Az üres cellákat nullákkal kitöltöttnek kell tekinteni. Az így kapott összeg a végtermék.

jegyzet

1. Bármely természetes szám szorzata 1-gyel (vagy 1-gyel egy számmal) egyenlő magával a számmal. Például: 376·1=376; 1·86=86.
2. Ha az egyik vagy mindkét tényező 0, akkor a szorzat 0. Például: 32·0=0; 0,845=845; 0·0=0.

Természetes számok osztása

Az osztás egy olyan aritmetikai művelet, amelynek segítségével egy ismert szorzat és az egyik tényező adott egy másik – ismeretlen – tényezőt találhatunk. Az osztás a szorzás inverze, és annak ellenőrzésére szolgál, hogy a szorzás helyesen történt-e (és fordítva).

Az elosztott számot osztaléknak nevezzük; az osztandó szám az osztó; az osztás eredményét hányadosnak nevezzük. Az osztásjel a „:” (néha, ritkábban „÷”).

Itt 48 az osztalék, 6 az osztó, 8 a hányados.

Nem minden természetes szám osztható fel egymás között. Ebben az esetben ossza el a maradékkal. Abból áll, hogy az osztóhoz olyan tényezőt választanak ki, hogy az osztóval való szorzata olyan szám legyen, amely értékében a lehető legközelebb áll az osztalékhoz, de annál kisebb. Az osztót megszorozzuk ezzel a tényezővel, és kivonjuk az osztalékból. A különbség a felosztás hátralévő része lesz. Egy osztó és egy tényező szorzatát nem teljes hányadosnak nevezzük. Figyelem: az egyenlegnek kisebbnek kell lennie, mint a kiválasztott szorzó! Ha a maradék nagyobb, ez azt jelenti, hogy a szorzót rosszul választották meg, és növelni kell.

A 7-hez kiválasztunk egy tényezőt. Ebben az esetben az 5-ös szám. Megtaláljuk a hiányos hányadost: 7·5=35. Kiszámoljuk a maradékot: 38-35=3. 3 óta<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

A többjegyű számok egy oszlopba vannak osztva. Ehhez az osztalékot és az osztót egymás mellé írjuk, az osztót függőleges és vízszintes vonallal elválasztva. Az osztalékban az első számjegy vagy az első néhány számjegy (jobb oldalon) elkülönítve van, aminek olyan számot kell képviselnie, amely minimálisan elegendő az osztóval való osztáshoz (vagyis ennek a számnak nagyobbnak kell lennie az osztónál). Ehhez a számhoz egy hiányos hányadost kell kiválasztani, a maradékkal való osztás szabályában leírtak szerint. A parciális hányados megtalálásához használt szorzó számjegye az osztó alá van írva. A hiányos hányadost az osztandó szám alá írjuk, jobbra igazítva. Találd meg a különbségüket. Vegye le az osztalék következő számjegyét úgy, hogy a különbség mellé írja. A kapott számhoz a részhányadost ismét úgy találjuk meg, hogy az osztó alá írjuk a kiválasztott szorzó számjegyét az előző mellé. Stb. Az ilyen műveleteket addig hajtják végre, amíg az osztalék számjegyei el nem fogynak. Ezt követően a felosztás befejezettnek tekintendő. Ha az osztalékot és az osztót eggyel osztjuk (maradék nélkül), akkor az utolsó különbség nullát ad. Ellenkező esetben a fennmaradó számot kapjuk meg.

Hatványozás

A hatványozás egy matematikai művelet, amely tetszőleges számú azonos szám szorzását foglalja magában. Például: 2·2·2·2.

Az ilyen kifejezések a következő formában vannak írva: egy x,

Ahol a- egy szám önmagával szorozva, x– az ilyen tényezők száma.

Prím- és összetett természetes számok

Az 1 kivételével minden természetes szám legalább 2 számra osztható – egyre és önmagára. E kritérium alapján a természetes számokat prímszámra és összetettre osztják.

A prímszámok olyan számok, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Azokat a számokat, amelyek e két számnál többel oszthatók, összetett számoknak nevezzük. A kizárólag önmagával osztható egység nem egyszerű és nem összetett.

A prímszámok: 2,3,5,7,11,13,17,19 stb. Példák összetett számokra: 4 (osztható 1,2,4-gyel), 6 (osztható 1,2,3,6-tal), 20 (osztható 1,2,4,5,10,20-zal).

Minden összetett szám prímtényezőkké alakítható. Prímtényezők alatt annak osztóit értjük, amelyek prímszámok.

Példa prímtényezősre:

Természetes számok osztói

Az osztó olyan szám, amellyel egy adott szám maradék nélkül osztható.

E definíció szerint a természetes prímszámoknak 2, az összetett számoknak több mint 2 osztójuk van.

Sok számnak vannak közös tényezői. A közös osztó olyan szám, amely az adott számokat maradék nélkül osztja el.

• A 12 és 15 számok közös osztója 3
• A 20-as és 30-as számok közös osztói 2,5,10

Különösen fontos a legnagyobb közös osztó (GCD). Ez a szám különösen hasznos a törtek redukálásához. Ennek megtalálásához a megadott számokat prímtényezőkre kell bontani, és a legkisebb hatványukban vett közös prímtényezőik szorzataként kell ábrázolni.

Meg kell találnia a 36 és 48 számok gcd-jét.

Természetes számok oszthatósága

Nem mindig lehet szemmel meghatározni, hogy egy szám osztható-e egy másikkal maradék nélkül. Ilyen esetekben hasznosnak bizonyul a megfelelő oszthatósági teszt, vagyis egy olyan szabály, amellyel pillanatok alatt megállapítható, hogy a számok oszthatók-e maradék nélkül. A „” jel az oszthatóság jelzésére szolgál.

Legkisebb közös többszörös

Ez a mennyiség (jelölése LOC) az a legkisebb szám, amely osztható a megadottak mindegyikével. Az LCM a természetes számok tetszőleges halmazára található.

A NOC, a GCD-hez hasonlóan, jelentős gyakorlati jelentéssel bír. Tehát az LCM-et úgy kell megtalálni, hogy a közönséges törteket közös nevezőre hozzuk.

Az LCM-et úgy határozzák meg, hogy adott számokat prímtényezőkké alakítanak. Ennek kialakításához vegyünk egy szorzatot, amely az előforduló (legalább 1 számra) prímtényezők mindegyikéből áll, maximálisan ábrázolva.

Meg kell találnia a 14-es és 24-es számok LCM-jét.

Átlagos

A természetes számok tetszőleges (de véges) számának számtani átlaga ezeknek a számoknak az összege osztva a tagok számával:

A számtani átlag egy numerikus halmaz átlagos értéke.

A megadott számok: 2,84,53,176,17,28. Meg kell találni a számtani átlagukat.