Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x. Diskretna slučajna varijabla i njena funkcija distribucije

Diskretno slučajno varijablama se nazivaju slučajne varijable koje uzimaju samo vrijednosti koje su međusobno udaljene, a koje se mogu unaprijed nabrojati.
zakon raspodjele
Zakon distribucije slučajne varijable je relacija koja uspostavlja odnos između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti.
Raspon distribucije diskretne slučajne varijable je popis njegovih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti.
Funkcija raspodjele diskretne slučajne varijable naziva se funkcija:
,
koji za svaku vrijednost argumenta x određuje vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od ovog x.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable
,
gdje je vrijednost diskretne slučajne varijable; - vjerojatnost prihvaćanja vrijednosti X slučajne varijable.
Ako slučajna varijabla poprimi prebrojiv skup mogućih vrijednosti, tada:
.
Matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u n neovisnih pokusa:
,

Disperzija i standardna devijacija diskretne slučajne varijable
Disperzija diskretne slučajne varijable:
ili .
Varijanca broja pojavljivanja događaja u n neovisnih ispitivanja
,
gdje je p vjerojatnost da će se događaj dogoditi.
Standardna devijacija diskretne slučajne varijable:
.

Primjer 1
Napravite zakon raspodjele vjerojatnosti za diskretnu slučajnu varijablu (d.r.v.) X – broj k od najmanje jedne “šestice” u n = 8 bacanja para kocki. Nacrtajte poligon distribucije. Odredite numeričke karakteristike distribucije (način distribucije, matematičko očekivanje M(X), varijanca D(X), standardna devijacija s(X)). Riješenje: Uvedimo oznaku: događaj A - "tijekom bacanja para kocki šestica se pojavila barem jednom." Da bismo pronašli vjerojatnost P(A) = p događaja A, prikladnije je prvo pronaći vjerojatnost P(Ā) = q suprotnog događaja Ā – „prilikom bacanja para kocki šestica se nije pojavila niti jednom".
Budući da je vjerojatnost da se ne pojavi "šestica" pri bacanju jedne kocke 5/6, tada prema teoremu množenja vjerojatnosti
P(Ā) = q = = .
Odnosno,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Ispitivanja u zadatku provode se prema Bernoullijevoj shemi, stoga je d.r.v. veličina x- broj k ispadanje barem jedne šestice pri bacanju dviju kockica pokorava se binomnom zakonu distribucije vjerojatnosti:

gdje je = broj kombinacija iz n na k.

Prikladno je rasporediti izračune koji su provedeni za ovaj problem u obliku tablice:
Distribucija vjerojatnosti d.r.v. x º k (n = 8; str = ; q = )

k
PN(k)

Poligon (poligon) distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable x prikazano na sl.:

Riža. Poligon distribucije vjerojatnosti d.r.v. x=k.
Okomita linija prikazuje matematičko očekivanje distribucije M(x).

Nađimo numeričke karakteristike distribucije vjerojatnosti d.r.v. x. Način distribucije je 2 (ovdje P 8(2) = 0,2932 maksimalno). Matematičko očekivanje, po definiciji, je:
M(x) = = 2,4444,
gdje xk = k je vrijednost koju prihvaća d.r.v. x. disperzija D(x) raspodjele nalazimo po formuli:
D(x) = = 4,8097.
Standardna devijacija (RMS):
s( x) = = 2,1931.

Primjer2
Diskretna slučajna varijabla x dano zakonom raspodjele

Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je.

Riješenje. Ako je , tada (treće svojstvo).
Ako tada . Stvarno, x može uzeti vrijednost 1 s vjerojatnošću 0,3.
Ako tada . Doista, ako zadovoljava nejednakost
, onda je jednaka vjerojatnosti događaja koji se može izvesti kada xće imati vrijednost 1 (vjerojatnost ovog događaja je 0,3) ili vrijednost 4 (vjerojatnost ovog događaja je 0,1). Budući da su ova dva događaja nekompatibilna, tada je, prema teoremu zbrajanja, vjerojatnost događaja jednaka zbroju vjerojatnosti 0,3 + 0,1=0,4. Ako tada . Doista, događaj je izvjestan, dakle, njegova je vjerojatnost jednaka jedinici. Dakle, funkcija distribucije može se analitički napisati na sljedeći način:

Grafik ove funkcije:
Nađimo vjerojatnosti koje odgovaraju tim vrijednostima. Prema uvjetu, vjerojatnosti kvara uređaja su jednake: tada su vjerojatnosti da će uređaji biti u funkciji tijekom jamstvenog roka jednake:




Zakon raspodjele ima oblik:

Definicija 2.3. Slučajna varijabla označena s X naziva se diskretnom ako ima konačan ili prebrojiv skup vrijednosti, tj. skup je konačan ili prebrojiv skup.

Razmotrimo primjere diskretnih slučajnih varijabli.

1. Dva novčića se bacaju jednom. Broj grbova u ovom eksperimentu je slučajna varijabla x. Njegove moguće vrijednosti su 0,1,2, tj. je konačan skup.

2. Bilježi se broj poziva hitne pomoći u određenom vremenskom razdoblju. Slučajna vrijednost x– broj poziva. Njegove moguće vrijednosti su 0, 1, 2, 3, ..., tj. =(0,1,2,3,...) je prebrojiv skup.

3. U grupi ima 25 učenika. Neki dan se bilježi broj učenika koji su došli na nastavu – slučajna varijabla x. Njegove moguće vrijednosti su: 0, 1, 2, 3, ..., 25 tj. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Iako svih 25 ljudi u primjeru 3 ne može propustiti nastavu, ali slučajna varijabla x može uzeti ovu vrijednost. To znači da vrijednosti slučajne varijable imaju različite vjerojatnosti.

Razmotrimo matematički model diskretne slučajne varijable.

Neka se izvede slučajni eksperiment koji odgovara konačnom ili prebrojivom prostoru elementarnih događaja. Razmotrimo preslikavanje ovog prostora na skup realnih brojeva, tj. svakom elementarnom događaju pridružujemo neki realni broj , . Skup brojeva u ovom slučaju može biti konačan ili prebrojiv, tj. ili

Sustav podskupova, koji uključuje bilo koji podskup, uključujući podskup s jednom točkom, tvori -algebru numeričkog skupa (- konačno ili prebrojivo).

Budući da je svaki elementarni događaj povezan s određenim vjerojatnostima p i(u slučaju konačnih svih ), i , tada možemo dodijeliti određenu vjerojatnost svakoj vrijednosti slučajne varijable p i, tako da .

Neka x je proizvoljan realan broj. Označiti R X (x) vjerojatnost da slučajna varijabla x poprimilo vrijednost jednaku x, tj. P X (x) \u003d P (X \u003d x). Zatim funkcija R X (x) može uzeti pozitivne vrijednosti samo za te vrijednosti x, koji pripadaju konačnom ili prebrojivom skupu , a za sve ostale vrijednosti, vjerojatnost te vrijednosti P X (x)=0.

Dakle, definirali smo skup vrijednosti, -algebra kao sustav bilo kojih podskupova i za svaki događaj ( X=x) usporedio je vjerojatnost za bilo koji, tj. izgradio prostor vjerojatnosti.

Na primjer, prostor elementarnih događaja eksperimenta koji se sastoji od dva puta bacanja simetričnog novčića sastoji se od četiri elementarna događaja: , gdje

Kad je novčić bačen dvaput, ispale su dvije rešetke; pri dva puta bačenom novčiću ispala su dva grba;

Pri prvom bacanju novčića ispala je rešetka, a pri drugom grb;

Pri prvom bacanju novčića ispao je grb, a pri drugom rešetka.

Neka je slučajna varijabla x je broj ispadanja rešetke. Definiran je na i skupu njegovih vrijednosti . Svi mogući podskupovi, uključujući one s jednom točkom, čine - algebru, tj. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Vjerojatnost događaja ( X=x i}, і = 1,2,3 , definiramo ga kao vjerojatnost pojavljivanja događaja koji je njegov prototip:

Dakle, na elementarne događaje ( X = x i) postavite numeričku funkciju R X, dakle .

Definicija 2.4. Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable je skup parova brojeva (x i , p i), gdje su x i moguće vrijednosti slučajne varijable, a p i su vjerojatnosti s kojima ona poprima te vrijednosti, i .

Najjednostavniji oblik određivanja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tablica koja navodi moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerojatnosti:

			…		…
			…		…

Takva se tablica naziva serija distribucije. Da bi serija distribucije bila zornija, prikazana je grafički: na osi Oh staviti točkice x i te iz njih povući okomice duljina p i. Rezultirajuće točke se spajaju i dobiva se poligon, koji je jedan od oblika zakona raspodjele (sl. 2.1).

Stoga, da biste postavili diskretnu slučajnu varijablu, trebate postaviti njezine vrijednosti i odgovarajuće vjerojatnosti.

Primjer 2.2. Prihvatnik gotovine u stroju se aktivira svaki put kada padne novčić s vjerojatnošću R. Nakon što proradi, novčići se ne spuštaju. Neka x- broj kovanica koje se moraju spustiti prije nego što se aktivira prihvatnik novca na automatu. Konstruirajte niz distribucije diskretne slučajne varijable x.

Riješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable x: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ... Nađimo vjerojatnosti ovih vrijednosti: str 1 je vjerojatnost da će ladica s novcem proraditi pri prvom spuštanju, i p 1 =p; p 2 - vjerojatnost da će biti napravljena dva pokušaja. Da biste to učinili, potrebno je da: 1) pri prvom pokušaju prijemnik novca ne radi; 2) u drugom pokušaju - uspjelo je. Vjerojatnost ovog događaja je (1–r)r. Na sličan način i tako dalje, . Raspon distribucije x poprimit će oblik

	1	2	3	…	do	…
	R	qp	q 2 str		q r -1 str

Imajte na umu da su vjerojatnosti r do oblikuju geometrijsku progresiju s nazivnikom: 1–p=q, q<1, pa se ova distribucija vjerojatnosti naziva geometrijski.

Nadalje pretpostavimo da je matematički model konstruiran eksperiment opisan diskretnom slučajnom varijablom x, te razmotriti izračun vjerojatnosti pojavljivanja proizvoljnih događaja .

Neka proizvoljni događaj sadrži konačan ili prebrojiv skup vrijednosti x i: A= {x 1 , x 2 ,..., x i , ...) .Događaj ALI može se prikazati kao unija nekompatibilnih događaja oblika : . Zatim, primjenjujući Kolmogorovljev aksiom 3 , dobivamo

budući da smo vjerojatnosti pojavljivanja događaja odredili jednakima vjerojatnostima događanja događaja koji su njihovi prototipovi. To znači da vjerojatnost bilo kojeg događaja , , može se izračunati formulom jer se ovaj događaj može prikazati kao unija događaja, gdje .

Zatim funkcija distribucije F(h) = R(–<Х<х) nalazi se prema formuli. Slijedi da funkcija distribucije diskretne slučajne varijable x je diskontinuirana i skokovito raste, tj. to je stepenasta funkcija (sl. 2.2):

Ako je skup konačan, tada je i broj članova u formuli konačan; ako je prebrojiv, tada je i broj članova prebrojiv.

Primjer 2.3. Tehnički uređaj sastoji se od dva elementa koji rade neovisno jedan o drugom. Vjerojatnost kvara prvog elementa u vremenu T je 0,2, a vjerojatnost kvara drugog elementa je 0,1. Slučajna vrijednost x- broj neuspješnih elemenata u vremenu T. Naći funkciju distribucije slučajne varijable i izgraditi njen graf.

Riješenje. Prostor elementarnih događaja eksperimenta, koji se sastoji u proučavanju pouzdanosti dvaju elemenata tehničkog uređaja, određen je s četiri elementarna događaja , , , : – oba su elementa u dobrom stanju; - prvi element je ispravan, drugi je neispravan; - prvi element je neispravan, drugi je ispravan; – oba elementa su neispravna. Svaki od elementarnih događaja može se izraziti elementarnim događajima prostora i , gdje je – prvi element ispravan; - prvi element nije u redu; – drugi element je upotrebljiv; - Drugi element nije u funkciji. Tada , a budući da elementi tehničkog uređaja rade neovisno jedan o drugom, tada

8. Kolika je vjerojatnost da vrijednosti diskretne slučajne varijable pripadaju intervalu?

x; značenje F(5); vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti vrijednosti iz intervala. Konstruirajte poligon distribucije.

1. Poznata je funkcija distribucije F(x) diskretne slučajne varijable x:

Navedite zakon raspodjele slučajne varijable x u obliku tablice.

1. S obzirom na zakon raspodjele slučajne varijable x:

x	–28	–20	–12	–4
str	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Vjerojatnost da trgovina ima certifikate kvalitete za cijeli asortiman proizvoda je 0,7. Komisija je provjerila dostupnost certifikata u četiri trgovine u kotaru. Sastaviti zakon raspodjele, izračunati matematičko očekivanje i varijancu broja prodavaonica u kojima prilikom provjere nisu pronađeni certifikati kvalitete.

1. Za određivanje prosječnog vremena gorenja električnih žarulja u seriji od 350 identičnih kutija, iz svake kutije uzeta je za ispitivanje po jedna električna žarulja. Odozdo procijenite vjerojatnost da se prosječno vrijeme gorenja odabranih električnih žarulja razlikuje od prosječnog vremena gorenja cijele serije za apsolutnu vrijednost manju od 7 sati, ako je poznato da je standardna devijacija vremena gorenja električnih žarulja u svakoj kutiji je manje od 9 sati.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,002. Odredite vjerojatnost da će među 500 veza biti:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x. Nacrtajte funkcije i . Izračunajte srednju vrijednost, varijancu, modus i medijan slučajne varijable x.

1. Automatski stroj izrađuje valjke. Smatra se da je njihov promjer normalno raspoređena slučajna varijabla s prosječnom vrijednošću od 10 mm. Kolika je standardna devijacija ako se s vjerojatnošću od 0,99 promjer nalazi u rasponu od 9,7 mm do 10,3 mm.

Uzorak A: 6 9 7 6 4 4

Uzorak B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opcija 17.

1. Među 35 dijelova, 7 je nestandardnih. Odredite vjerojatnost da su dva slučajno odabrana dijela standardna.

1. Baci tri kocke. Odredite vjerojatnost da je zbroj točaka na ispuštenim plohama višekratnik broja 9.

1. Riječ "AVANTURA" sastoji se od kartica na kojima je napisano jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da slova izvađena redoslijedom pojavljivanja tvore riječ: a) AVANTURA; b) HVATANJE.

1. Urna sadrži 6 crnih i 5 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:
1. 2 bijele kuglice;
2. manje od 2 bijele kuglice;
3. barem jednu crnu kuglu.

1. ALI u jednom testu je 0,4. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:
1. događaj ALI pojavit će se 3 puta u seriji od 7 neovisnih ispitivanja;
2. događaj ALI pojavit će se najmanje 220 i ne više od 235 puta u nizu od 400 izazova.

1. Tvornica je poslala 5000 visokokvalitetnih proizvoda u bazu. Vjerojatnost oštećenja svakog proizvoda u transportu je 0,002. Nađite vjerojatnost da se na putu ne oštete više od 3 proizvoda.

1. Prva urna sadrži 4 bijele i 9 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 3 crne kuglice. Iz prve urne nasumično su izvučene 3 kuglice, a iz druge 4. Odredite vjerojatnost da su sve izvučene kuglice iste boje.

1. S obzirom na zakon raspodjele slučajne varijable x:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijancu.

1. U kutiji je 10 olovaka. Nasumično su izvučene 4 olovke. Slučajna vrijednost x je broj plavih olovaka među odabranima. Nađite zakon njegove raspodjele, početni i središnji moment 2. i 3. reda.

1. Odjel tehničkog nadzora provjerava neispravnost 475 proizvoda. Vjerojatnost da je proizvod neispravan je 0,05. Nađite s vjerojatnošću 0,95 granice koje će sadržavati broj neispravnih proizvoda među testiranim.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,003. Odredite vjerojatnost da će među 1000 veza biti:
1. najmanje 4 neispravna spoja;
2. više od dvije netočne veze.

1. Slučajna varijabla dana je funkcijom gustoće distribucije:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x. Nacrtajte funkcije i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu, modus i medijan slučajne varijable X.

1. Slučajna varijabla dana je funkcijom distribucije:

1. Po uzorku ALI riješiti sljedeće zadatke:
1. napraviti varijacijsku seriju;

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

Mod i medijan;

Uzorak A: 0 0 2 2 1 4

1. izračunati numeričke karakteristike varijacijskog niza:

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

· standardna devijacija;

mod i medijan;

Uzorak B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opcija 18.

1. Od 10 listića 2 su dobitna. Odredite vjerojatnost da će jedna od pet nasumično izvučenih listića biti dobitna.

1. Baci tri kocke. Odredite vjerojatnost da je zbroj bačenih bodova veći od 15.

1. Riječ "PERIMETAR" sastoji se od kartica na kojima je napisano jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da izbačena slova tvore riječ: a) OPSEG; b) METAR.

1. Urna sadrži 5 crnih i 7 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:
1. 4 bijele kuglice;
2. manje od 2 bijele kuglice;
3. barem jednu crnu kuglu.

1. Vjerojatnost događaja ALI u jednom testu je 0,55. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:
1. događaj ALI pojavit će se 3 puta u nizu od 5 izazova;
2. događaj ALI pojavit će se najmanje 130 i ne više od 200 puta u nizu od 300 izazova.

1. Vjerojatnost curenja u konzervi konzervirane hrane je 0,0005. Nađite vjerojatnost da dvije od 2000 staklenki cure.

1. Prva urna sadrži 4 bijele i 8 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 4 crne kuglice. 2 kuglice su nasumično izvučene iz prve urne i 3 kuglice su nasumično izvučene iz druge urne. Odredite vjerojatnost da su sve izvučene kuglice iste boje.

1. Među dijelovima koji stižu na montažu, s prvog stroja 0,1% je neispravno, s drugog - 0,2%, s trećeg - 0,25%, s četvrtog - 0,5%. Produktivnost strojeva se prema tome odnosi kao 4:3:2:1. Nasumično uzet dio pokazao se standardnim. Nađite vjerojatnost da je predmet napravljen na prvom stroju.

1. S obzirom na zakon raspodjele slučajne varijable x:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijancu.

1. Električar ima tri žarulje od kojih svaka ima kvar s vjerojatnošću 0,1 .. Žarulje se zavrnu u grlo i pusti se struja. Kada se struja uključi, neispravna žarulja odmah pregori i zamijeni se drugom. Odredite zakon raspodjele, matematičko očekivanje i varijancu broja ispitanih žarulja.

1. Vjerojatnost pogađanja mete je 0,3 za svaki od 900 neovisnih hitaca. Koristeći Chebyshevljevu nejednadžbu, procijenite vjerojatnost da će meta biti pogođena najmanje 240 puta, a najviše 300 puta.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,002. Odredite vjerojatnost da će među 800 veza biti:
1. najmanje tri neispravna spoja;
2. više od četiri netočna povezivanja.

1. Slučajna varijabla dana je funkcijom gustoće distribucije:

Nađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte srednju vrijednost, varijancu, modus i medijan slučajne varijable X.

1. Slučajna varijabla dana je funkcijom distribucije:

1. Po uzorku ALI riješiti sljedeće zadatke:
1. napraviti varijacijsku seriju;
2. izračunati relativne i akumulirane frekvencije;
3. sastaviti empirijsku funkciju distribucije i izgraditi njezin graf;
4. izračunati numeričke karakteristike varijacijskog niza:

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

· standardna devijacija;

mod i medijan;

Uzorak A: 4 7 6 3 3 4

1. Za uzorak B riješite sljedeće probleme:
1. napraviti grupiranu varijacijsku seriju;
2. izgraditi histogram i poligon frekvencija;
3. izračunati numeričke karakteristike varijacijskog niza:

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

· standardna devijacija;

mod i medijan;

Uzorak B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opcija 19.

1. Na gradilištu radi 16 žena i 5 muškaraca. 3 osobe su nasumično odabrane prema broju osoblja. Nađite vjerojatnost da su sve odabrane osobe muškarci.

2. Bacaju se četiri novčića. Nađite vjerojatnost da će samo dva novčića imati grb.

3. Riječ "PSIHOLOGIJA" sastoji se od kartica na kojima je napisano jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da izvađena slova tvore riječ: a) PSIHOLOGIJA; b) OSOBLJE.

4. Urna sadrži 6 crnih i 7 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:

a. 3 bijele kuglice;

b. manje od 3 bijele kuglice;

c. barem jednu bijelu kuglu.

5. Vjerojatnost događaja ALI u jednom testu je 0,5. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:

a. događaj ALI pojavit će se 3 puta u nizu od 5 neovisnih ispitivanja;

b. događaj ALI pojavit će se najmanje 30 i ne više od 40 puta u nizu od 50 izazova.

6. Postoji 100 strojeva iste snage, koji rade neovisno jedan o drugom u istom režimu, pri čemu im je pogon uključen 0,8 radnih sati. Koja je vjerojatnost da će u bilo kojem trenutku između 70 i 86 strojeva biti uključeno?

7. Prva urna sadrži 4 bijele i 7 crnih kuglica, a druga urna sadrži 8 bijelih i 3 crne kuglice. 4 kuglice se nasumično izvlače iz prve urne i 1 kuglica iz druge urne. Odredite vjerojatnost da među izvučenim kuglicama budu samo 4 crne kuglice.

8. Svakodnevno se autosalonu isporučuju tri marke automobila u količinama: Moskvich - 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% svih uvezenih automobila. Među automobilima marke Moskvich, 0,5% ima uređaj protiv krađe, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Nađite vjerojatnost da automobil odveden na ispitivanje ima protuprovalni uređaj.

9. Na segmentu se slučajno biraju brojevi i . Odredite vjerojatnost da ovi brojevi zadovoljavaju nejednakosti.

10. Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x:

x
str	0,1	0,2	0,3	0,4

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x; značenje F(2); vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti vrijednosti iz intervala. Konstruirajte poligon distribucije.

ZAKON DISTRIBUCIJE I KARAKTERISTIKE

SLUČAJNE VRIJEDNOSTI

Slučajne varijable, njihova klasifikacija i metode opisa.

Slučajna vrijednost je veličina koja kao rezultat pokusa može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, ali nije unaprijed poznato koju. Za slučajnu varijablu, dakle, mogu se specificirati samo vrijednosti, od kojih će jedna nužno uzeti kao rezultat eksperimenta. Ove vrijednosti će se nazivati ​​mogućim vrijednostima slučajne varijable. Budući da slučajna varijabla kvantitativno karakterizira slučajni rezultat eksperimenta, može se smatrati kvantitativnom karakteristikom slučajnog događaja.

Slučajne varijable obično se označavaju velikim slovima latinične abecede, na primjer, X..Y..Z, a njihove moguće vrijednosti odgovarajućim malim slovima.

Postoje tri vrste slučajnih varijabli:

diskretna; Stalan; Mješoviti.

Diskretna naziva se takva slučajna varijabla, čiji broj mogućih vrijednosti čini prebrojiv skup. S druge strane, prebrojiv skup je skup čiji se elementi mogu numerirati. Riječ "diskretan" dolazi od latinske riječi discretus, što znači "diskontinuiran, koji se sastoji od zasebnih dijelova".

Primjer 1. Diskretna slučajna varijabla je broj neispravnih dijelova X u seriji nfl. Doista, moguće vrijednosti ove slučajne varijable su niz cijelih brojeva od 0 do n.

Primjer 2. Diskretna slučajna varijabla je broj hitaca prije prvog pogotka u metu. Ovdje, kao u primjeru 1, moguće vrijednosti mogu biti numerirane, iako je u graničnom slučaju moguća vrijednost beskonačno velik broj.

stalan naziva se slučajna varijabla, čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval numeričke osi, koji se ponekad naziva interval postojanja ove slučajne varijable. Dakle, na bilo kojem konačnom intervalu postojanja, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačno velik.

Primjer 3. Kontinuirana slučajna varijabla je mjesečna potrošnja električne energije u poduzeću.

Primjer 4. Kontinuirana slučajna varijabla je pogreška u mjerenju visine pomoću visinomjera. Neka je iz principa rada visinomjera poznato da se pogreška nalazi u području od 0 do 2 m. Dakle, interval postojanja ove slučajne varijable je interval od 0 do 2 m.

Zakon raspodjele slučajnih varijabli.

Slučajna varijabla se smatra potpuno određenom ako su njene moguće vrijednosti naznačene na numeričkoj osi i ako je utvrđen zakon distribucije.

Zakon raspodjele slučajne varijable naziva se relacija koja uspostavlja odnos između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti.

Kaže se da je slučajna varijabla raspodijeljena prema danom zakonu ili podložna danom zakonu distribucije. Broj vjerojatnosti, funkcija distribucije, gustoća vjerojatnosti, karakteristična funkcija koriste se kao zakoni distribucije.

Zakon raspodjele daje potpuni vjerojatni opis slučajne varijable. Prema zakonu raspodjele, moguće je prije iskustva prosuditi koje će se moguće vrijednosti slučajne varijable pojavljivati ​​češće, a koje rjeđe.

Za diskretnu slučajnu varijablu zakon raspodjele može se dati u obliku tablice, analitički (u obliku formule) i grafički.

Najjednostavniji oblik određivanja zakona raspodjele diskretne slučajne varijable je tablica (matrica) u kojoj su uzlaznim redoslijedom navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerojatnosti, tj.

Takva se tablica naziva niz distribucije diskretne slučajne varijable. jedan

Događaji X 1 , X 2 ,..., X n , koji se sastoje u činjenici da će, kao rezultat testa, slučajna varijabla X poprimiti vrijednosti x 1 , x 2 ,... x n, respektivno , nedosljedne su i jedine moguće (jer su u tablici navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable), tj. čine kompletnu grupu. Stoga je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1. Dakle, za bilo koju diskretnu slučajnu varijablu

(Ova jedinica je nekako raspoređena među vrijednostima slučajne varijable, otuda i izraz "distribucija").

Niz distribucije može se grafički prikazati ako se vrijednosti slučajne varijable nanesu duž apscisne osi, a njihove odgovarajuće vjerojatnosti duž ordinatne osi. Spoj dobivenih točaka čini isprekidanu liniju, koja se naziva poligon ili poligon distribucije vjerojatnosti (slika 1).

Primjer Igra se lutrija: auto u vrijednosti od 5000 den. jedinica, 4 televizora u vrednosti od 250 den. jedinica, 5 videorekordera u vrijednosti od 200 den. jedinice Ukupno je prodano 1000 ulaznica za 7 den. jedinice Nacrtajte zakon raspodjele čistog dobitka koji je dobio sudionik lutrije koji je kupio jedan listić.

Riješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable X - neto dobitak po listiću - su 0-7 = -7 den. jedinice (ako listić nije dobio), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jedinice (ako je ulaznica osvojila videorekorder, televizor ili auto). S obzirom da je od 1000 listića broj nedobitnih 990, a naznačeni dobici su 5, 4 i 1 redom, a koristeći klasičnu definiciju vjerojatnosti, dobivamo.

Na ovoj stranici prikupili smo primjere rješavanja obrazovnih problemi na diskretnim slučajnim varijablama. Ovo je prilično opsežan odjeljak: proučavaju se različiti zakoni distribucije (binomni, geometrijski, hipergeometrijski, Poisson i drugi), svojstva i numeričke karakteristike, grafički prikazi mogu se izgraditi za svaku seriju distribucije: poligon (poligon) vjerojatnosti, funkcija distribucije .

U nastavku ćete pronaći primjere odluka o diskretnim slučajnim varijablama, u kojima je potrebno primijeniti znanje iz prethodnih odjeljaka teorije vjerojatnosti za izradu zakona distribucije, a zatim izračunati matematičko očekivanje, varijancu, standardnu ​​devijaciju, izgraditi funkciju distribucije , odgovoriti na pitanja o DSV-u itd. P.

Primjeri popularnih zakona distribucije vjerojatnosti:

Kalkulatori za karakteristike DSV

• Izračun matematičkog očekivanja, varijance i standardne devijacije DSV-a.

Riješeni problemi u vezi s DSV-om

Distribucije bliske geometrijskim

Zadatak 1. Na putu automobila nalaze se 4 semafora od kojih svaki zabranjuje daljnje kretanje automobila s vjerojatnošću 0,5. Nađite broj distribucije broja semafora koje je automobil prošao prije prve stanice. Koliko je matematičko očekivanje i varijanca ove slučajne varijable?

Zadatak 2. Lovac puca u divljač prije prvog pogotka, ali ne uspije uputiti više od četiri hica. Napiši zakon raspodjele broja promašaja ako je vjerojatnost pogotka mete jednim hicem 0,7. Pronađite varijancu ove slučajne varijable.

Zadatak 3. Strijelac koji ima 3 patrone gađa metu do prvog pogotka. Vjerojatnosti pogađanja prvog, drugog i trećeg hica su 0,6, 0,5, 0,4, redom. S.V. $\xi$ - broj preostalih patrona. Sastavite niz distribucije slučajne varijable, pronađite matematičko očekivanje, varijancu, standardnu ​​devijaciju r.v., konstruirajte funkciju distribucije r.v., pronađite $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Zadatak 4. Kutija sadrži 7 standardnih i 3 neispravna dijela. Dijelovi se vade uzastopno dok se ne pojavi standardni, bez vraćanja natrag. $\xi$ - broj pronađenih neispravnih dijelova.
Sastavite zakon distribucije za diskretnu slučajnu varijablu $\xi$, izračunajte njeno matematičko očekivanje, varijancu, standardnu ​​devijaciju, nacrtajte poligon distribucije i graf funkcije distribucije.

Zadaci s nezavisnim događajima

Zadatak 5. Na popravni ispit iz teorije vjerojatnosti došla su 3 studenta. Vjerojatnost da će prvi položiti ispit je 0,8, drugi 0,7, treći 0,9. Naći niz distribucije slučajne varijable $\xi$ broja studenata koji su položili ispit, izgraditi graf funkcije distribucije, pronaći $M(\xi), D(\xi)$.

Zadatak 6. Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem je 0,8 i smanjuje se sa svakim hicem za 0,1. Nacrtajte zakon raspodjele broja pogodaka u metu ako se ispale tri hica. Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i S.K.O. ovu slučajnu varijablu. Nacrtajte funkciju distribucije.

Zadatak 7. U metu se ispaljuju 4 hica. U ovom slučaju, vjerojatnost pogotka se povećava na sljedeći način: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Nađite zakon raspodjele slučajne varijable $X$ - broja pogodaka. Odredite vjerojatnost da je $X \ge 1$.

Zadatak 8. Bacaju se dva simetrična novčića, broji se broj grbova na obje gornje strane novčića. Uzimamo u obzir diskretnu slučajnu varijablu $X$ - broj grbova na oba novčića. Zapišite zakon raspodjele slučajne varijable $X$, pronađite njezino matematičko očekivanje.

Ostali zadaci i zakonitosti raspodjele DSW-a

Zadatak 9. Dva košarkaša upućuju tri šuta na koš. Vjerojatnost pogotka za prvog košarkaša je 0,6, za drugog - 0,7. Neka je $X$ razlika između broja uspješnih bacanja prvog i drugog košarkaša. Nađite niz distribucije, način i funkciju distribucije slučajne varijable $X$. Konstruirajte poligon distribucije i nacrtajte funkciju distribucije. Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu i standardnu ​​devijaciju. Odredite vjerojatnost događaja $(-2 \lt X \le 1)$.

Zadatak 10. Broj nerezidentnih brodova koji dnevno stižu radi utovara u određenu luku je slučajna vrijednost $X$, dana na sljedeći način:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) provjerite je li serija distribucije postavljena,
B) pronaći funkciju distribucije slučajne varijable $X$,
C) ako u određenom danu dođe više od tri broda, luka snosi troškove zbog potrebe angažiranja dodatnih vozača i utovarivača. Koja je vjerojatnost da će luka imati dodatne troškove?
D) Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable $X$.

Zadatak 11. Baci 4 kocke. Nađite matematičko očekivanje zbroja bodova koji će pasti na sva lica.

Zadatak 12. Dva igrača naizmjenično bacaju novčić do prvog pojavljivanja grba. Igrač čiji je grb ispao dobiva 1 rubalj od drugog igrača. Pronađite matematičko očekivanje isplate svakog igrača.