Što je čvor međusobno prostih brojeva. Najveći zajednički djelitelj

Prirodni brojevi a i b nazivaju se istoprostorni, ako je njihov najveći zajednički djelitelj 1 (gcd(a ; b ) = 1). Drugim riječima, ako brojevi a i b nemaju zajedničkih djelitelja osim 1, tada su međusobno prosti.

Primjeri parova međusobno prostih brojeva: 2 i 5, 13 i 16, 35 i 88 itd. Možete navesti nekoliko međusobno prostih brojeva, na primjer, brojevi 7, 9, 16 su međusobno prosti.

Često se međusobno prosti brojevi označavaju na sljedeći način: (a, b) \u003d 1. Na primjer, (23, 30) \u003d 1. Ova oznaka je, takoreći, kratica za oznaku najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva (NOT (23, 30) \u003d 1), i kaže da je njihov najveći zajednički djelitelj 1.

Dva susjedna prirodna broja uvijek će biti međusobno prosti. Na primjer, 15 i 16 su par relativno prostih brojeva, baš kao i 16 i 17. To je lako razumjeti ako uzmemo u obzir "pravilo" da ako su dva prirodna broja a i b djeljiva istim prirodnim brojem većim od 1 ( n > 1), onda i njihova razlika mora biti djeljiva s ovim brojem n (ovdje mislimo da su a, b i njihova razlika podijeljeni cijelim brojem, odnosno da su višekratnici broja n). Ali ako su a i b dva susjedna broja (neka a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Također iz definicije međusobno prostih brojeva i prostih brojeva proizlazi da različiti prosti brojevi uvijek su međusobno prosti. Uostalom, jedini djelitelji bilo kojeg prostog broja su on sam i 1.

Svojstva međusobno prostih brojeva

• Najmanji zajednički višekratnik (LCM) para međusobno prostih brojeva jednak je njihovom umnošku. Na primjer, (3, 8) = 1 (što znači relativno prost broj), tako da je njihov LCM 3 × 8 = 24 (LCM (3, 8) = 24). Doista, nećete pronaći manji broj od 24 koji je višekratnik i 3 i 8.
• Ako su brojevi a i b međusobno prosti i broj c je višekratnik i a i b, tada će taj broj također biti višekratnik umnoška ab. Ovo se može napisati na sljedeći način: ako c a i c b , tada c ab . Na primjer, (3, 10) = 1, broj 60 je višekratnik i 3 i 10, a također je i višekratnik 30 (3 × 10).
• Ako su brojevi a i b međusobno prosti i broj c se uzme kao višekratnik b (c b ), tada će umnožak ac također biti višekratnik b (ac b ). Na primjer, (2, 17) = 1, neka je c = 34. Broj 34 je višekratnik b = 17, tada je ac = 2 × 34 = 68. Provjera: 68 ÷ 17 = 4, tj. djeljiv je, što znači da je 68 višekratnik 17.

Obično postoji više svojstava nego što je ovdje navedeno. Osim toga, svojstva međusobno prostih brojeva formulirana su na različite načine. Također je ponekad potrebno dokazati ova svojstva (u ovom slučaju se ne daju nikakvi dokazi).

Najveći zajednički djelitelj međusobno prostih brojeva uvijek je jedan.

Primjeri čvorova relativno prostih brojeva.

GCD brojeva 11 i 7

Brojevi 11 i 7 su prosti i istovremeno prosti.

Brojevi 11 i 7 nemaju drugih zajedničkih djelitelja osim 1.

gcd(11, 7) = 1

GCD brojeva 11 i 15

Brojevi 11 i 15 su relativno prosti. U ovom slučaju, 11 je prost broj, a 15 je složeni broj.

Djelitelji broja 11 su 1 i 11.

Djelitelji broja 15 su 1, 3, 5, 15.

Kao što vidite, jedini zajednički faktor brojeva 11 i 15 je broj 1. Jedinica je, dakle, GCD brojeva 11 i 15:

gcd(11, 15) = 1

GCD brojeva 10 i 21

Brojevi 10 i 21 su relativno prosti. U ovom slučaju, i broj 10 i broj 21 su složeni.

Čimbenici broja 10 su 1, 2, 5, 10.

Činitelji broja 21 su 1, 3, 7, 21.

Kao što vidite, jedini zajednički faktor brojeva 10 i 21 je broj 1. Jedinica je, dakle, GCD brojeva 10 i 21:

gcd(21, 10) = 1

GCD brojeva 16 i 23

Brojevi 16 i 23 su relativno prosti. U ovom slučaju, 23 je prost broj, a 16 je složeni broj.

Zadatak: Pronađite GCD i LCM brojeva na najprikladniji način:

a) 12 i 40; b) 9 i 40; c) 12. i 72.

Za zadatak se daje 5 minuta.

Koji je najbolji način za izvođenje svake vježbe?

Raspad slajda.

a) Pogodnije je rješavati metodom dekompozicije na proste faktore

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

GCD(12;40)=2 2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

b) Imaju li brojevi 9 i 40 zajedničke djelitelje? (je, 1.)

Kako se zovu ovi brojevi? ? (Koprime.)

Koliki je GCD ovih brojeva ? (gcd(9;40) = 1)

Koliki je LCM ovih brojeva ? (LCM(9;40) = 9 40=360.)

c) Što možete reći o brojevima 12 i 72 ? (72 podijeljeno s 12) Koje pravilo znamo? (ako je jedan broj djeljiv s drugim, onda je GCD = najmanji broj, a LCM - najveći)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Podatke koje ste dobili provjerite standardom koji leži na učiteljevom stolu.

FO: Ocjenjuju se prema kriterijima napisanim u standardnom listu. Stavljanje kvačice uz kriterij.

7 krpelja - visoka razina

6-4 krpelja - prosječna razina

1-3 krpelja - niska razina

Fizmututka

Brzo ustao, nasmiješio se,

Podignuo se više.

Pa, ispravi ramena

Podignite, spustite.

Skreni desno, skreni lijevo

Rukama dodirujte koljena.

Sjedni, ustani, sjedni, ustani

I trčali su na mjestu.

Pitanje učitelja: Gdje već koristimo svoje znanje o GCD i LCM brojevima?

Prilikom rješavanja problema.

Ispred njih na učiteljičinom stolu stoji „Kamilica zadataka“ koja se sastoji od 21 latice.

Crvena latica - zadaci razine C.

Žuta latica - zadaci razine B.

Zelena latica - zadaci razine A.

	Maša je u trgovini kupila jaja za Medvjeda. Na putu do šume shvatila je da je broj jaja djeljiv sa 2,3,5,10 i 15. Koliko je jaja kupila Maša?
	Od 210 bordo, 126 bijelih, 294 crvene ruže prikupljeno je buketa, au svakom buketu jednak je broj ruža iste boje. Koji je najveći broj buketa napravljen od ovih ruža i koliko je ruža svake boje u jednom buketu?
	List kartona ima oblik pravokutnika, čija je duljina 48 cm, a širina 40 cm.Ovaj list mora biti izrezan bez otpada na jednake kvadrate. Koji se najveći kvadrati mogu dobiti od ovog lista i koliko?
	Koliko vojnika maršira mimohodom ako marširaju u formaciji od 12 ljudi u stroju i prestroje se u kolonu od 18 ljudi u redu?
	Tri turistička izleta brodom započinju iz lučkog grada, od kojih prvi traje 15 dana, drugi 20 i treći 12 dana. Vraćajući se u luku, brodovi istog dana ponovno kreću na putovanje. Motorni brodovi danas su isplovili iz luke na sve tri rute. Za koliko dana će prvi put ploviti zajedno?Koliko će putovanja obaviti svaki brod?
	Kamin u sobi mora biti postavljen završnim pločicama u obliku kvadrata. Koliko je pločica potrebno za kamin od 195 ͯ 156 cm i koje su najveće veličine pločica?
	Volodjin korak je 75 cm, a Katjin korak 60 cm.Na kojoj najmanjoj udaljenosti će oboje napraviti cijeli broj koraka?
	Za novogodišnje darove kupili smo 180 jabuka, 90 naranči i 900 slatkiša. Sva su djeca dobila iste darove. Koji je najveći broj identičnih darova sastavljen od ovog voća i slatkiša?
	Okućnica veličine 54 ͯ 48 m oko perimetra mora biti ograđena, za to je potrebno postaviti betonske stupove u pravilnim razmacima. Koliko stupova treba donijeti za gradilište i na kojoj će maksimalnoj udaljenosti jedan od drugog stajati?
	Pronađite: LCM(360;252).
	Za novogodišnje darove kupljeno je 78 čokoladica, 156 medenjaka, 52 pakiranja keksa, 104 naranče i 130 jabuka. Koji je najveći broj identičnih darova koje možete skupiti?
	Potrebno je izraditi kutiju s kvadratnim dnom za slaganje kutija dimenzija 16 ͯ 20 cm. Koja bi trebala biti najkraća stranica kvadratnog dna da kutije stanu u ravninu s kutijom?
	Izračunajte GCD(720,216), LCM(720,216).
	Koliki je omjer LCM (308.264) prema GCM (308.264)?
	Za aranžman jelke kupili su orahe, slatkiše i medenjake - ukupno 760 komada. Uzeli su 80 oraha više nego slatkiša, a 120 medenjaka manje nego oraha. Koji se najveći broj istovjetnih darova za djecu može napraviti od ove zalihe?
	Pronađite LCM(84,160,96),
	Pronađite kvocijent LCM(24, 2004) podijeljen s GCM istih brojeva.
	Odredi najmanji prirodni broj koji je višekratnik broja 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Pronađite GCD (56, 72).
	Na stolu su knjige čiji je broj manji od 100. Koliko ima knjiga ako se zna da se mogu vezati u pakete od 3, 4 i 5 komada?
	Trgovina je donijela manje od 600, ali više od 500 tanjura. Kad su ih počeli slagati u desetke, tada 3 ploče nisu bile dovoljne da bi došli do punog broja desetica, a kad su ih počeli slagati u desetke (po 12 ploča), tada je ostalo 7 ploča. Koliko ste tanjura donijeli u trgovinu?

F D: Pretežni broj latica u crvenoj boji označava visoku razinu asimilacije, žuto - prosječnu razinu asimilacije i zeleno - nisku razinu asimilacije.