L. 2-1 Osnovni pojmovi vektorske algebre. Linearne operacije na vektorima.

Dekompozicija vektora po bazi.

Osnovni pojmovi vektorske algebre

Vektor je skup svih usmjerenih odsječaka iste duljine i smjera
.

Svojstva:

Linearne operacije na vektorima

1.

Pravilo paralelograma:

IZ ummet dva vektora i nazvan vektor , izlazeći iz zajedničkog ishodišta i dijagonala je paralelograma izgrađenog na vektorima i kao sa strane.

Pravilo poligona:

Da biste konstruirali zbroj bilo kojeg broja vektora, trebate staviti početak 2. vektora na kraj 1. člana, početak 3. vektora na kraj 2. člana, i tako dalje. Vektor koji zatvara rezultirajuću poliliniju je zbroj. Njegov početak poklapa se s početkom prvog, a kraj s krajem posljednjeg.

Svojstva:

2.

Vektorski proizvod po broju , naziva se vektor koji zadovoljava uvjete:
.

Svojstva:

3.

razlika vektori i vektor poziva jednak zbroju vektora a vektor nasuprot vektoru , tj.
.

- zakon suprotnog elementa (vektora).

Dekompozicija vektora po bazi

Zbroj vektora određuje se na jedinstven način
(ali samo ). Obrnuta operacija, dekompozicija vektora na nekoliko komponenti, je višeznačna: Da bi to bilo nedvosmisleno, potrebno je naznačiti smjerove u kojima se događa širenje razmatranog vektora, ili, kako kažu, potrebno je naznačiti osnova.

Pri određivanju baze bitan je zahtjev nekomplanarnosti i nekolinearnosti vektora. Da bismo razumjeli značenje ovog zahtjeva, potrebno je razmotriti koncept linearne ovisnosti i linearne neovisnosti vektora.

Proizvoljni izraz oblika: , tzv linearna kombinacija vektori
.

Linearna kombinacija nekoliko vektora naziva se trivijalno ako su mu svi koeficijenti jednaki nuli.

Vektori
nazvao linearno ovisna, ako postoji netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nuli:
(1), pod uvjetom
. Ako jednakost (1) vrijedi samo za sve
istovremeno jednaki nuli, zatim vektori različiti od nule
htjeti linearno neovisni.

Lako je dokazati: bilo koja dva kolinearna vektora su linearno ovisna, a dva nekolinearna vektora su linearno neovisna.

Dokaz započinjemo s prvom tvrdnjom.

Neka vektori i kolinearni. Pokažimo da su linearno ovisni. Dapače, ako su kolinearni, onda se međusobno razlikuju samo po numeričkom faktoru, tj.
, Posljedično
. Budući da je rezultirajuća linearna kombinacija očito netrivijalna i jednaka je "0", tada vektori i linearno ovisna.

Razmotrimo sada dva nekolinearna vektora i . Dokažimo da su linearno neovisni. Konstruiramo dokaz kontradikcijom.

Pretpostavljamo da su linearno ovisni. Tada mora postojati netrivijalna linearna kombinacija
. Hajdemo to pretvarati
, onda
. Dobivena jednakost znači da vektori i su kolinearni, suprotno našoj početnoj pretpostavci.

Slično se može dokazati: bilo koja tri koplanarna vektora su linearno ovisna, a dva nekoplanarna vektora su linearno neovisna.

Vraćajući se na pojam baze i na problem proširenja vektora u određenoj bazi, možemo reći da baza na ravnini i u prostoru formirana je od skupa linearno neovisnih vektora. Takav koncept osnove je opći, jer primjenjiv je na prostor bilo kojeg broja dimenzija.

Izraz poput:
, naziva se dekompozicija vektora po vektorima ,…,.

Ako razmatramo bazu u trodimenzionalnom prostoru, onda je dekompozicija vektora osnova
bit će
, gdje
-vektorske koordinate.

U problemu proširenja proizvoljnog vektora u neku bazu vrlo je važna sljedeća izjava: bilo koji vektormogu se na jedinstven način rastaviti u zadanoj bazi
. Drugim riječima, koordinate
za bilo koji vektor u odnosu na osnovu
definira se nedvosmisleno.

Uvođenje baze u prostoru i na ravnini omogućuje pripisivanje svakom vektoru uređena trojka (par) brojeva – njegove koordinate. Ovaj vrlo važan rezultat, koji omogućuje uspostavljanje veze između geometrijskih objekata i brojeva, omogućuje analitički opis i proučavanje položaja i kretanja fizičkih objekata.

Kombinacija točke i baze naziva se koordinatni sustav.

Ako su vektori koji čine bazu jedinični i u paru okomiti, tada se naziva koordinatni sustav pravokutan, i osnovu ortonormalan.

L. 2-2 Produkt vektora

Dekompozicija vektora po bazi

Razmotrimo vektor
, dana svojim koordinatama:
.

- komponente vektora u smjerovima baznih vektora
.

Izražavanje oblika
naziva se dekompozicija vektora osnova
.

Na sličan način se može razgraditi osnova
vektor
:

.

Kosinusi kutova koje čini razmatrani vektor s baznim vektorima
nazvao kosinus smjera

;
;
.

Skalarni produkt vektora.

Skalarni produkt dva vektora i naziva se broj jednak umnošku modula tih vektora s kosinusom kuta između njih

Skalarni umnožak dva vektora može se smatrati umnoškom modula jednog od tih vektora i ortogonalne projekcije drugog vektora na smjer prvog
.

Svojstva:

Ako su poznate koordinate vektora
i
, zatim, proširivši vektore u smislu baze
:
i
, pronaći

, jer
,
, onda

.

.

Uvjet okomitosti vektora:
.

Uvjet kolinearnosti za rektore:
.

Umnožak vektora

ili

vektorska umjetnost po vektoru takav se vektor naziva
, koji zadovoljava uvjete:

Svojstva:

Razmatrana algebarska svojstva omogućuju pronalaženje analitičkog izraza za umnožak u smislu koordinata sastavnih vektora u ortonormiranoj bazi.

dano:
i
.

jer ,
,
,
,
,
,
, onda

. Ova se formula može napisati kraće, u obliku determinante trećeg reda:

.

Mješoviti umnožak vektora

Mješoviti umnožak triju vektora ,i zove se broj jednak vektorskom umnošku
, pomnoženo skalarno s vektorom .

Sljedeća jednakost je istinita:
, pa je napisan mješoviti proizvod
.

Kao što slijedi iz definicije, rezultat mješovitog umnoška tri vektora je broj. Ovaj broj ima jasno geometrijsko značenje:

Modul mješovitih proizvoda
jednak je obujmu paralelopipeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište ,i .

Svojstva mješovitog proizvoda:

Ako vektori ,,dati su u ortonormiranoj bazi
njihove koordinate, izračun miješanog proizvoda provodi se prema formuli

.

Doista, ako
, onda

;
;
, onda
.

Ako vektori ,,su komplanarni, tada je vektorski produkt
okomito na vektor . I obrnuto, ako
, tada je volumen paralelopipeda nula, a to je moguće samo ako su vektori komplanarni (linearno ovisni).

Stoga su tri vektora koplanarna ako i samo ako je njihov mješoviti produkt nula.

Linearna ovisnost i linearna neovisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sustav

U publici su kolica s čokoladama, a danas će svaki posjetitelj dobiti slatki par - analitičku geometriju s linearnom algebrom. Ovaj članak će dotaknuti dva dijela više matematike odjednom, a vidjet ćemo kako se slažu u jednom omotu. Odmorite se, jedite Twix! ... kvragu, pa svađati se gluposti. Iako je u redu, neću poentirati, na kraju treba imati pozitivan stav prema učenju.

Linearna ovisnost vektora, linearna neovisnost vektora, vektorska osnova i drugi pojmovi nemaju samo geometrijsko tumačenje, nego, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stajališta linearne algebre nije uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravnini ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor, za koji sam upravo otišao na Gismeteo: - temperatura i atmosferski tlak, respektivno. Primjer je, naravno, netočan s gledišta svojstava vektorskog prostora, ali ipak nitko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću vas zamarati teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumjeti definicije i teoremi. Novi pojmovi (linearna ovisnost, neovisnost, linearna kombinacija, baza, itd.) primjenjivi su na sve vektore s algebarskog gledišta, ali će primjeri biti dani geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Uz probleme analitičke geometrije, razmotrit ćemo i neke tipične zadatke algebre. Da biste svladali gradivo, preporučljivo je upoznati se s lekcijama Vektori za lutke i Kako izračunati determinantu?

Linearna ovisnost i neovisnost ravninskih vektora.
Ravninska baza i afini koordinatni sustav

Razmotrite ravninu vašeg računalnog stola (samo stol, noćni ormarić, pod, strop, što god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite ravninsku osnovu. Grubo govoreći, ploča stola ima duljinu i širinu, pa je intuitivno jasno da su za izgradnju baze potrebna dva vektora. Jedan vektor očito nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na temelju odabrane osnove postaviti koordinatni sustav(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim stavkama na stolu.

Nemojte se iznenaditi, u početku će objašnjenja biti na prstima. Štoviše, na vašem. Molim mjesto kažiprst lijeve ruke na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sada mjesto mali prst desne ruke na rubu stola na isti način – tako da bude usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješi se, super izgledaš! Što se može reći o vektorima? Vektori podataka kolinearni, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, dobro, ili obrnuto: , gdje je broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo množenja vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravninu računalnog stola? Očito ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-natrag unutra sama smjer, dok ravnina ima duljinu i širinu.

Takvi se vektori nazivaju linearno ovisna.

Referenca: Riječi "linearni", "linearni" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama, izrazima nema kvadrata, kubova, drugih potencija, logaritama, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stupanj) izrazi i ovisnosti.

Dva vektora u ravnini linearno ovisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih bude bilo koji kut osim 0 ili 180 stupnjeva. Dva vektora u ravninilinearno ne ovisni su ako i samo ako nisu kolinearni. Dakle, osnova je primljena. Ne treba vam biti neugodno što je baza ispala "kosa" s neokomitim vektorima različitih duljina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da za njegovu konstrukciju nije pogodan samo kut od 90 stupnjeva, a ne samo jedinični vektori jednake duljine

Bilo koje ravninski vektor jedini način prošireno u smislu osnove:
, gdje su realni brojevi . Brojevi se nazivaju vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Kažu i to vektorpredstavljen u obliku linearna kombinacija bazni vektori. Odnosno, izraz se zove vektorska dekompozicijaosnova ili linearna kombinacija bazni vektori.

Na primjer, može se reći da je vektor proširen u ortonormalnu bazu ravnine ili se može reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Idemo formulirati definicija osnove formalno: ravninska osnova je par linearno neovisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravninski vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna točka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redoslijedom. baze To su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, mali prst lijeve ruke ne može se pomaknuti na mjesto malog prsta desne ruke.

Osnovu smo shvatili, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem stolu računala. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju cijelom ravninom. Dakle, kako dodijeliti koordinate tim malim prljavim točkicama na stolu preostalim od divljeg vikenda? Potrebno je polazište. A takva referentna točka je svima poznata točka - ishodište koordinata. Razumijevanje koordinatnog sustava:

Počet ću od "školskog" sustava. Već na uvodnom satu Vektori za lutke Naglasio sam neke od razlika između pravokutnog koordinatnog sustava i ortonormirane baze. Evo standardne slike:

Kada se govori o pravokutni koordinatni sustav, tada najčešće označavaju ishodište, koordinatne osi i mjerilo po osi. Pokušajte u tražilicu upisati "pravokutni koordinatni sustav" i vidjet ćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osima poznatim iz 5.-6. razreda i o crtanju točaka na ravninu.

S druge strane, stječe se dojam da se pravokutni koordinatni sustav može dobro definirati u terminima ortonormirane baze. I gotovo da jest. Tekst glasi ovako:

podrijetlo, i ortonormalan osnovni skup Kartezijev koordinatni sustav ravnine . Odnosno, pravokutni koordinatni sustav definitivno definirana je jednom točkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima se često (ali daleko ne uvijek) crtaju i vektori i koordinatne osi.

Mislim da svatko razumije da uz pomoć točke (ishodišta) i ortonormirane baze BILO KOJA TOČKA ravnine i BILO KOJI VEKTOR ravnine mogu se dodijeliti koordinate. Slikovito rečeno, “u avionu se sve može nabrojati”.

Moraju li koordinatni vektori biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu duljinu različitu od nule. Razmotrimo točku i dva ortogonalna vektora proizvoljne duljine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalni. Ishodište koordinata s vektorima definira koordinatna mreža, a svaka točka ravnine, svaki vektor ima svoje koordinate u zadanoj bazi. Na primjer, ili. Očita je neugodnost što koordinatni vektori općenito imaju različite duljine osim jedinice. Ako su duljine jednake jedan, tada se dobiva uobičajena ortonormirana baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i dolje u afinim bazama ravnine i prostora, razmatraju se jedinice duž osi UVJETNO. Na primjer, jedna jedinica duž apscise sadrži 4 cm, jedna jedinica duž ordinate sadrži 2 cm. Ovaj podatak dovoljan je za pretvorbu "nestandardnih" koordinata u "naše uobičajene centimetre", ako je potrebno.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno - je li kut između baznih vektora nužno jednak 90 stupnjeva? Ne! Kao što kaže definicija, bazni vektori moraju biti samo nekolinearni. Prema tome, kut može biti bilo što osim 0 i 180 stupnjeva.

Točka na ravnini tzv podrijetlo, i nekolinearni vektori, , set afini koordinatni sustav ravnine :

Ponekad se ovaj koordinatni sustav naziva kosi sustav. Točke i vektori prikazani su kao primjeri na crtežu:

Kao što razumijete, afini koordinatni sustav još je manje prikladan, formule za duljine vektora i segmenata, koje smo razmatrali u drugom dijelu lekcije, u njemu ne rade. Vektori za lutke, mnoge ukusne formule povezane s skalarni produkt vektora. Ali vrijede pravila za zbrajanje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u tom smislu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinog koordinatnog sustava Kartezijev pravokutni sustav. Stoga se ona, ona sama, najčešće mora vidjeti. ... Ipak, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima je prikladno imati kosi (ili neki drugi, npr. polarni) koordinatni sustav. Da, i humanoidi, takvi sustavi mogu se svidjeti =)

Prijeđimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji vrijede i za pravokutni koordinatni sustav i za opći afini slučaj. Ovdje nema ništa komplicirano, sav je materijal dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravninskih vektora?

Tipična stvar. Da bi dva ravninska vektora su kolinearne, potrebno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.U biti, ovo je koordinata po koordinata preciziranje očitog odnosa.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Čine li vektori bazu? ?

Riješenje:
a) Pronađi postoji li za vektore koeficijent proporcionalnosti, tako da su ispunjene jednakosti:

Svakako ću vam ispričati o "špak" verziji primjene ovog pravila, koja u praksi prilično dobro funkcionira. Ideja je odmah nacrtati proporciju i vidjeti je li točna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

Skraćujemo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Odnos se može napraviti i obrnuto, ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje se može koristiti činjenica da se kolinearni vektori linearno izražavaju jedan kroz drugi. U ovom slučaju postoje jednakosti . Njihova valjanost može se lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravninska vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Provjeravamo kolinearnost vektora . Kreirajmo sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da je , iz druge jednadžbe slijedi da je , što znači, sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno neovisni i čine bazu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Sastavite omjer od odgovarajućih koordinata vektora :
, stoga su ovi vektori linearno neovisni i čine bazu.

Obično recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Kao ovo: . Ili ovako: . Ili ovako: . Kako ovdje proći kroz proporciju? (Stvarno, ne možete dijeliti s nulom). Iz tog sam razloga pojednostavljeno rješenje nazvao "foppish".

Odgovor: a), b) oblik.

Mali kreativni primjer za samostalno rješenje:

Primjer 2

Pri kojoj vrijednosti vektora parametara će biti kolinearni?

U otopini uzorka parametar se nalazi kroz udio.

Postoji elegantan algebarski način provjere kolinearnosti vektora. Sistematizirajmo naše znanje i samo ga dodajmo kao petu točku:

Za dva vektora u ravnini, sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:

2) vektori čine bazu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nije nula.

Odnosno, sljedeće suprotne tvrdnje su ekvivalentne:
1) vektori su linearno ovisni;
2) vektori ne čine bazu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, jednaka je nuli.

Jako, jako se nadam da ste u ovom trenutku već razumjeli sve uvjete i izjave na koje ste naišli.

Pogledajmo pobliže novu, petu točku: dva vektora u ravnini su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:. Da biste koristili ovu značajku, naravno, morate biti u mogućnosti pronaći odrednice.

Mi ćemo odlučiti Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, pa su ti vektori kolinearni.

b) Dva ravninska vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, stoga su vektori linearno neovisni i čine bazu.

Odgovor: a), b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelnost segmenata, ravnih linija. Razmotrite nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokažite da je četverokut paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe za izgradnjom crteža u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Zapamtite definiciju paralelograma:
Paralelogram Naziva se četverokut u kojem su suprotne stranice po parovima paralelne.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelnost suprotnih strana i .

Dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor (“po školi” - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očita, ali bolje je odluku donijeti pravilno, uz dogovor. Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ti vektori kolinearni, i .

Zaključak: Nasuprotne stranice četverokuta su po parovima paralelne, pa je on po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i različitih figura:

Primjer 4

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokažite da je četverokut trapez.

Za strožu formulaciju dokaza, bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako izgleda.

Ovo je zadatak za samostalno odlučivanje. Cjelovito rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se iz aviona polako preselimo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost prostornih vektora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva prostorna vektora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Utvrdite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

a) ;
b)
u)

Riješenje:
a) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sustav nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" se izrađuje provjerom omjera. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

Odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su točke za samostalnu odluku. Isprobajte ga na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora i preko determinante trećeg reda, ova metoda je obrađena u članku Umnožak vektora.

Slično kao u slučaju ravnine, razmatrani alati mogu se koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i pravaca.

Dobrodošli u drugi odjeljak:

Linearna ovisnost i neovisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna baza i afini koordinatni sustav

Mnoge pravilnosti koje smo razmatrali na ravnini vrijedit će i za svemir. Pokušao sam minimizirati sažetak teorije, budući da je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučam da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i pojmovi.

Sada, umjesto ravnine računalnog stola, promotrimo trodimenzionalni prostor. Prvo, stvorimo njegovu osnovu. Netko je sada unutra, netko vani, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, duljine i visine. Stoga su za konstrukciju baze potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, gledaju u različitim smjerovima, imaju različite duljine i imaju različite kutove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Usput, ne morate to demonstrirati učiteljima, bez obzira kako vrtite prste, ali ne možete pobjeći od definicija =)

Zatim postavljamo važno pitanje, čine li bilo koja tri vektora bazu trodimenzionalnog prostora? Pritisnite čvrsto s tri prsta na ploču računala. Što se dogodilo? Tri vektora nalaze se u istoj ravnini i, grubo rečeno, izgubili smo jednu od mjera - visinu. Takvi vektori su komplanarni i, posve očito, da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravnini, mogu biti u paralelnim ravninama (samo nemojte to raditi prstima, samo je Salvador Dali ispao tako =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarni ako postoji ravnina s kojom su paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravnina ne postoji, vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora uvijek su linearno ovisna, odnosno linearno se izražavaju jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, ponovno zamislite da leže u istoj ravnini. Prvo, vektori nisu samo koplanarni, već mogu biti i kolinearni, tada se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako npr. vektori nisu kolinearni, tada se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala prethodnog odjeljka).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora uvijek su linearno neovisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očito, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno neovisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti u određenom redoslijedu, dok bilo koji vektor prostora jedini način proširuje u zadanoj bazi , gdje su koordinate vektora u zadanoj bazi

Kao podsjetnik, također možete reći da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija bazni vektori.

Pojam koordinatnog sustava uvodi se na potpuno isti način kao i za ravninski slučaj, dovoljna je jedna točka i bilo koja tri linearno neovisna vektora:

podrijetlo, i nekoplanarni vektori, uzeti u određenom redoslijedu, set afini koordinatni sustav trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, izgrađeni koordinatni sustav omogućuje nam definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje točke u prostoru. Slično ravnini, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi u afinom koordinatnom sustavu prostora.

Najpoznatiji i najprikladniji poseban slučaj afinog koordinatnog sustava, kao što svatko može pogoditi, je pravokutni prostorni koordinatni sustav:

točka u prostoru tzv podrijetlo, i ortonormalan osnovni skup Kartezijev koordinatni sustav prostora . poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovno sistematiziramo informacije:

Za tri prostorna vektora, sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:
1) vektori su linearno neovisni;
2) vektori čine bazu;
3) vektori nisu koplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, različita je od nule.

Suprotne izjave, mislim, razumljive su.

Linearna ovisnost/neovisnost prostornih vektora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (točka 5). Preostali praktični zadaci bit će naglašeno algebarskog karaktera. Vrijeme je da objesite geometrijski štap na čavao i zamahnete bejzbolskom palicom linearne algebre:

Tri prostorna vektora su komplanarne ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli: .

Skrećem vam pozornost na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već i u redovima (vrijednost determinante se od toga neće promijeniti - pogledajte svojstva determinanti). Ali puno je bolje u stupcima, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su pomalo zaboravili metode za izračunavanje determinanti, ili su možda uopće slabo orijentirani, preporučujem jednu od svojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite čine li sljedeći vektori bazu trodimenzionalnog prostora:

Riješenje: Zapravo se cijelo rješenje svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno neovisni (nisu koplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovor: ovi vektori čine bazu

b) Ovo je točka za neovisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj će vrijednosti parametra vektori biti komplanarni?

Riješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:

U biti, potrebno je riješiti jednadžbu s determinantom. Letimo u nule kao zmajevi u jerboe - najisplativije je otvoriti odrednicu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i svodimo stvar na najjednostavniju linearnu jednadžbu:

Odgovor: na

Ovdje je lako provjeriti, za to trebate zamijeniti dobivenu vrijednost u izvornu determinantu i uvjeriti se da ponovnim otvaranjem istog.

Zaključno, razmotrimo još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kolegij linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje posebnu temu:

Dokažite da 3 vektora čine bazu trodimenzionalnog prostora
te nađi koordinate 4. vektora u zadanoj bazi

Primjer 8

Zadani su vektori. Pokažite da vektori čine bazu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Riješenje: Pozabavimo se prvo stanjem. Po uvjetu su zadana četiri vektora koji, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Što je temelj – ne zanima nas. Zanimljiva je sljedeća stvar: tri vektora mogu činiti novu osnovu. I prvi korak je potpuno isti kao rješenje primjera 6, potrebno je provjeriti jesu li vektori stvarno linearno neovisni:

Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora:

, stoga su vektori linearno neovisni i čine bazu trodimenzionalnog prostora.

! Važno : vektorske koordinate nužno Zapiši u stupce odrednica, a ne nizovi. Inače će doći do zabune u daljnjem algoritmu rješenja.