Podijelite križ na figure od 5 ćelija. Zadaci za rezanje.docx - zadaci za rezanje
- Kvadrat sadrži 16 ćelija. Podijelite kvadrat na dva jednaka dijela tako da linija rezanja prolazi duž stranica ćelija. (Načini rezanja kvadrata na dva dijela smatrat će se različitim ako dijelovi kvadrata dobiveni jednim načinom rezanja nisu jednaki dijelovima dobivenim drugim načinom.) Koliko rješenja ima zadatak?
- Pravokutnik 3x4 sadrži 12 ćelija. Nađite pet načina za rezanje pravokutnika na dva jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica ćelija (načini rezanja se smatraju različitima ako dijelovi dobiveni jednim načinom rezanja nisu jednaki dijelovima dobivenim drugim načinom).
- Pravokutnik 3X5 sadrži 15 ćelija, a središnja ćelija je uklonjena. Pronađite pet načina da preostalu figuru izrežete na dva jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica ćelija.
- Kvadrat 6x6 podijeljen je na 36 identičnih kvadrata. Pronađite pet načina za rezanje kvadrata na dva jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata. Napomena: problem ima više od 200 rješenja.
- Podijelite kvadrat 4x4 na četiri jednaka dijela tako da linija rezanja ide duž stranica ćelija. Koliko različitih načina rezanja možete pronaći?
- Podijelite figuru (slika 5) na tri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata.
7. Podijelite figuru (slika 6) na četiri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata.
8. Podijelite figuru (slika 7) na četiri jednaka dijela tako da linije reza idu duž stranica kvadrata. Pronađite što više rješenja.
9. Kvadrat 5x5 s izrezanim središnjim kvadratom podijelite na četiri jednaka dijela.
10. Izrežite figure prikazane na sl. 8 na dva jednaka dijela duž crta mreže, a svaki dio treba imati krug.
11. Figure prikazane na slici 9 moraju biti izrezane duž linija mreže na četiri jednaka dijela tako da u svakom dijelu bude krug. Kako to učiniti?
12. Izrežite figuru prikazanu na slici 10 duž linija mreže na četiri jednaka dijela i presavijte ih u kvadrat tako da krugovi i zvijezde budu simetrični oko svih osi simetrije kvadrata.
13. Izrežite ovaj kvadrat (slika 11) duž stranica ćelija tako da svi dijelovi budu iste veličine i oblika te da svaki sadrži po jedan krug i zvjezdicu.
14. Karirani kvadrat veličine 6×6 prikazan na slici 12. izrežite na četiri jednaka dijela tako da svaki od njih sadrži tri kvadrata u boji.
10. Kvadratni list kariranog papira podijeljen je na manje kvadrate segmentima koji se protežu duž stranica ćelija. Dokažite da je zbroj duljina tih odsječaka djeljiv s 4. (Duljina stranice ćelije je 1).
Rješenje: Neka je Q kvadratni list papira, L(Q) je zbroj duljina onih stranica ćelija koje leže unutar njega. Tada je L(Q) djeljiv s 4, budući da su sve razmatrane stranice podijeljene na četiri stranice, dobivene jedna od druge rotacijama od 90 0 i 180 0 u odnosu na središte kvadrata.
Ako se kvadrat Q podijeli na kvadrate Q 1 , …, Q n , tada je zbroj duljina diobenih segmenata jednak
L (Q) - L (Q 1) - ... - L (Q n). Jasno je da je taj broj djeljiv sa 4, jer su brojevi L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) djeljivi sa 4.
4. Invarijante
11. S obzirom na šahovsku ploču. Dopušteno je prebojati u drugu boju sve ćelije bilo koje vodoravne ili okomite odjednom. Može li to rezultirati pločom s točno jednom crnom ćelijom?
Rješenje: Ponovno bojanje vodoravne ili okomite crte koja sadrži k crnih i 8-k bijelih ćelija rezultirat će 8-k crnih i k bijelih ćelija. Stoga će se broj crnih ćelija promijeniti u (8-k)-k=8-2k, tj. za paran broj. Budući da je paritet broja crnih ćelija sačuvan, ne možemo dobiti jednu crnu ćeliju od originalnih 32 crne ćelije.
12. S obzirom na šahovsku ploču. Dopušteno je odjednom prebojati u drugu boju sva polja koja se nalaze unutar kvadrata 2 x 2. Može li točno jedno crno polje ostati na ploči?
Rješenje: Ponovno bojanje kvadrata 2 x 2 koji sadrži k crnih i 4-k bijelih ćelija rezultirat će 4-k crnih i k bijelih ćelija. Stoga će se broj crnih ćelija promijeniti u (4-k)-k=4-2k, tj. za paran broj. Budući da je paritet broja crnih ćelija sačuvan, ne možemo dobiti jednu crnu ćeliju od originalnih 32 crne ćelije.
13. Dokažite da se konveksni mnogokut ne može razrezati na konačan broj nekonveksnih četverokuta.
Rješenje: Pretpostavimo da je konveksni mnogokut M izrezan na nekonveksne četverokute M 1 ,…, M n . Svakom mnogokutu N pridružujemo broj f(N) jednak razlici između zbroja njegovih unutarnjih kutova manjih od 180 i zbroja kutova koji dopunjuju njegove kutove na 360, većih od 180. Usporedite brojeve A=f(M) i B=f(M 1)+…+ f(M n). Za to razmotrimo sve točke koje su vrhovi četverokuta M 1 ..., M n . Mogu se podijeliti u četiri tipa.
1. Vrhovi poligona M. Ove točke podjednako doprinose A i B.
2. Točke na stranicama poligona M ili M 1. Doprinos svake takve točke B na
180 više nego u A.
3. Unutarnje točke mnogokuta u kojima se spajaju kutovi četverokuta,
manje od 180. Doprinos svake takve točke B je 360 veći nego A.
4. Unutarnje točke mnogokuta M u kojima konvergiraju kutovi četverokuta, a jedan od njih je veći od 180. Takve točke daju nula doprinosa A i B.
Kao rezultat toga, dobivamo A<В. С другой стороны, А>0 i B=0. Nejednakost A > 0 je očita, a za dokaz jednakosti B=0 dovoljno je provjeriti da je f(N)=0 ako je N nekonveksan četverokut. Neka su kutovi N a>b>c>d. Svaki nekonveksni četverokut ima točno jedan kut veći od 180, pa je f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.
Dobiva se kontradikcija, pa se konveksni mnogokut ne može razrezati na konačan broj nekonveksnih četverokuta.
14. U sredini svake ćelije šahovske ploče nalazi se čip. Žetoni su preuređeni tako da se međusobni razmak između njih ne smanjuje. Dokažite da se u stvarnosti udaljenosti parova nisu promijenile.
Rješenje: Ako bi se barem jedna od udaljenosti između žetona povećala, tada bi se povećao i zbroj svih parnih udaljenosti između žetona, ali zbroj svih parnih udaljenosti između žetona ne mijenja se ni s jednom permutacijom.
15. Kvadratno polje podijeljeno je na 100 jednakih kvadratnih dijelova od kojih je 9 zaraslo u korov. Poznato je da se zakorovljenost u godini dana prostire na one i samo one parcele na kojima su barem dvije susjedne (tj. zajedničke strane) parcele već zarasle u korov. Dokažite da njiva nikada neće potpuno zarasti u korov.
Rješenje: Lako je provjeriti da se duljina granice cijele zakorovljene površine (ili više površina) neće povećati. U početnom trenutku ne prelazi 4*9=36, dakle, u konačnom trenutku ne može biti jednak 40.
Posljedično, polje nikada neće potpuno zarasti u korov.
16. Dan je konveksni 2m-kut A 1 …A 2 m. Unutar njega uzeta je točka P koja ne leži ni na jednoj od dijagonala. Dokažite da točka R pripada parnom broju trokuta s vrhovima u točkama A 1 ,…, A 2 m .
Rješenje: Dijagonale lome mnogokut na nekoliko dijelova. Nazvat ćemo susjedni one od njih koje imaju zajedničku stranu. Jasno je da se iz bilo koje unutarnje točke poligona može doći u bilo koju drugu točku, prelazeći svaki put samo iz susjednog dijela u susjedni. Dio ravnine koji se nalazi izvan poligona također se može smatrati jednim od tih dijelova. Broj trokuta koji se razmatraju za točke ovog dijela jednak je nuli, pa je dovoljno dokazati da je paritet broja trokuta očuvan pri prijelazu sa susjednog dijela na susjedni dio.
Neka zajednička stranica dvaju susjednih dijelova leži na dijagonali (ili stranici) PQ. Tada svim razmatranim trokutima, osim trokutima sa stranicom PQ, oba ova dijela ili pripadaju ili ne pripadaju. Stoga se pri prelasku s jednog dijela na drugi broj trokuta mijenja za k 1 -k 2 , gdje je k 1 broj vrhova mnogokuta koji leže s jedne strane PQ. Kako je k 1 +k 2 =2m-2, onda je broj k 1 -k 2 paran.
4. Pomoćno bojanje u šahovnici
17. U svakom kvadratu ploče 5 x 5 nalazi se buba. U nekom trenutku, svi kornjaši puze na susjedne (vodoravno ili okomito) ćelije. Ostavlja li to nužno praznu ćeliju?
Rješenje: Budući da je ukupan broj ćelija na šahovskoj ploči 5 x 5 neparan, ne može biti jednak broj crnih i bijelih ćelija. Neka bude više crnih ćelija za određenost. Tada na bijelim stanicama sjedi manje kornjaša nego na crnim stanicama. Stoga barem jedna od crnih stanica ostaje prazna, jer samo kornjaši koji sjede na bijelim ćelijama pužu na crne ćelije.
19. Dokažite da se ploča veličine 10 x 10 kvadrata ne može izrezati na figure u obliku slova T koje se sastoje od četiri kvadrata.
Rješenje: Pretpostavimo da je ploča 10 x 10 polja podijeljena na takve figure. Svaka figura sadrži 1 ili 3 crne ćelije, tj. uvijek neparan broj. Same figure trebaju biti 100/4 = 25 komada. Dakle, sadrže neparan broj crnih stanica, a ukupno ih ima 100/2=50. Dobivena je kontradikcija.
5. Problemi oko bojanja
20. Avion je obojen u dvije boje. Dokažite da postoje dvije točke iste boje, a udaljenost između njih je točno 1.Rješenje: Razmotrimo pravilan trokut sa stranicom 1.
prijepis
1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moskva, 2002.
2 UDK BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Problemi rezanja. M.: MTsNMO, str.: ilustr. Serija: "Tajne nastave matematike". Ova je knjiga prva knjiga iz serije Tajne poučavanja matematike, osmišljena da prikaže i sažme stečeno iskustvo u području matematičkog obrazovanja. Ova zbirka je jedan od dijelova tečaja "Razvijanje logike u razredima 5-7". Za sve probleme date u knjizi data su rješenja ili upute. Knjiga se preporučuje za izvannastavni rad iz matematike. BBK ISBN c Kukin G. P., Ekimova M. A., c MTsNMO, 2002.
3 Uvod Trenutačno se tradicionalno gledište o sastavu predmeta koje uče školarci revidira i usavršava. U školski plan i program uvode se razni novi predmeti. Jedan od tih predmeta je logika. Proučavanje logike pridonosi razumijevanju ljepote i elegancije zaključivanja, sposobnosti rasuđivanja, stvaralačkom razvoju pojedinca, estetskom odgoju čovjeka. Svaka kulturna osoba trebala bi biti upoznata s logičkim problemima, zagonetkama, igrama koje su poznate nekoliko stoljeća ili čak tisućljeća u mnogim zemljama svijeta. Razvoj domišljatosti, domišljatosti i neovisnosti razmišljanja potreban je svakoj osobi ako želi uspjeti i postići sklad u životu. Naše iskustvo pokazuje da bi sustavno proučavanje formalne logike ili fragmenata matematičke logike trebalo odgoditi za više razrede srednje škole. Istodobno, potrebno je što ranije razviti logičko razmišljanje. Zapravo, kada se proučavaju školski predmeti, zaključivanje i dokaz pojavljuju se tek u 7. razredu (kada počinje sustavni tečaj geometrije). Mnogim je studentima nagli prijelaz (nije bilo rasuđivanja postalo puno rasuđivanja) nepodnošljivo težak. Tijekom razvoja logike za razrede 5-7, sasvim je moguće podučiti školsku djecu da razmišljaju, dokazuju i pronalaze obrasce. Na primjer, kada se rješavaju matematičke zagonetke, ne samo da se mora pogoditi (pokupiti) nekoliko odgovora, već i dokazati da je dobiven potpuni popis mogućih odgovora. Prilično je dobar za učenika 5. razreda. Ali u procesu poučavanja logike u 5.-7. razredu srednjih škola, nastavnici se suočavaju s određenim poteškoćama: nedostatkom udžbenika, didaktičkih materijala, priručnika i vizualnih materijala. Sve to treba sastaviti, napisati i nacrtati sam učitelj. Jedan od ciljeva ove zbirke je olakšati nastavniku pripremu i izvođenje nastave. Dat ćemo neke preporuke za izvođenje lekcija prije rada sa zbirkom.
4 4 Uvod Poželjno je s podučavanjem logike školarce započeti od petog razreda, a možda i ranije. Logiku treba podučavati u opuštenom, gotovo improvizacijskom stilu. Ova prividna lakoća zapravo zahtijeva puno ozbiljne pripreme od učitelja. Neprihvatljivo je, na primjer, lektorirati zanimljiv i zabavan zadatak iz debele rukom pisane bilježnice, kao što ponekad rade učitelji. Preporučujemo da nastavu provodite u nestandardnom obliku. U nastavi je potrebno koristiti što više vizualnog materijala: razne kartice, slike, skupove slika, ilustracije za rješavanje zadataka, dijagrame. Ne treba se s mlađim učenicima dugo baviti istom temom. Kada analizirate temu, trebali biste pokušati istaknuti glavne logičke prekretnice i postići razumijevanje (a ne pamćenje) tih točaka. Neophodno je stalno vraćanje pređenom gradivu. To se može učiniti na samostalnom radu, timskim natjecanjima (tijekom nastave), kolokvijima na kraju tromjesečja, usmenim i pisanim olimpijadama, matbojima (izvan školskih sati). Također je potrebno koristiti zabavne i komične zadatke u razredu, ponekad je korisno promijeniti smjer aktivnosti. Ova zbirka je jedan od dijelova tečaja "Razvijanje logike u razredima 5-7" "Zadaci za rezanje". Ovaj dio je testiran na satovima logike u razredima 5-7 u školi liceja 74 u Omsku. Mnogi su znanstvenici od davnina voljeli rješavati probleme rezanja. Rješenja za mnoge jednostavne probleme rezanja pronašli su stari Grci i Kinezi, ali prvu sustavnu raspravu o ovoj temi napisao je Abul-Vef, slavni perzijski astronom iz 10. stoljeća, koji je živio u Bagdadu. Geometri su se tek početkom 20. stoljeća ozbiljno pozabavili rješavanjem problema rezanja figura na najmanji broj dijelova i potom od njih sastavljanja jedne ili druge nove figure. Jedan od utemeljitelja ove fascinantne grane geometrije bio je slavni sastavljač zagonetki Henry
5 Uvod 5 E. Dudeni. Osobito velik broj već postojećih brojki koje su obarale rekorde oborio je stručnjak u Australskom uredu za patente, Harry Lindgren. On je vodeći rezač figura. Danas ljubitelji zagonetki rado rješavaju rezne probleme, prvenstveno zato što ne postoji univerzalna metoda za rješavanje takvih problema, a svatko tko se prihvati njihovog rješenja može u potpunosti pokazati svoju domišljatost, intuiciju i sposobnost kreativnog razmišljanja. Budući da ovdje nije potrebno duboko poznavanje geometrije, amateri ponekad čak mogu nadmašiti profesionalne matematičare. U isto vrijeme, problemi rezanja nisu neozbiljni ili beskorisni, nisu daleko od ozbiljnih matematičkih problema. Iz problema rezanja rodio se Boyai-Gervinov teorem da su svaka dva poligona jednake veličine jednako sastavljeni (obrnuto je očito), a potom i Hilbertov treći problem: vrijedi li slična tvrdnja za poliedre? Zadaci izrezivanja pomažu školarcima da što ranije oblikuju geometrijske prikaze na različitim materijalima. Pri rješavanju ovakvih problema postoji osjećaj ljepote, zakona i reda u prirodi. Zbirka "Zadaci za rezanje" podijeljena je u dvije cjeline. Pri rješavanju zadataka iz prvog odjeljka učenicima neće trebati znanje o osnovama planimetrije, ali će im trebati domišljatost, geometrijska mašta i prilično jednostavni geometrijski podaci koji su svima poznati. Drugi dio su izborni zadaci. To uključuje zadatke za čije će rješavanje biti potrebno poznavanje osnovnih geometrijskih podataka o likovima, njihovim svojstvima i značajkama, poznavanje nekih teorema. Svaki odjeljak podijeljen je na odlomke, u kojima smo pokušali kombinirati zadatke na jednu temu, a oni su pak podijeljeni na lekcije koje sadrže homogene zadatke redoslijedom povećanja težine. Prvi dio sadrži osam paragrafa. 1. Zadaci na kariranom papiru. Ovaj odjeljak sadrži probleme u kojima rezanje figura (uglavnom kvadrata i pravokutnika) ide duž stranica ćelija. Paragraf sadrži 4 lekcije, preporučujemo ih za proučavanje učenicima 5. razreda.
6 6 Uvod 2. Pentomino. Ovaj odlomak sadrži zadatke vezane uz pentomino figure, pa je za ove lekcije preporučljivo djeci podijeliti komplete tih figura. Ovdje su dvije lekcije, preporučujemo ih za proučavanje učenicima 5-6 razreda. 3. Teški zadaci rezanja. Ovdje su prikupljeni zadaci za rezanje oblika složenijeg oblika, npr. s rubovima koji su lukovi, te složeniji zadaci za rezanje. U ovom paragrafu postoje dvije lekcije, preporučujemo da se uče u 7. razredu. 4. Razdvajanje ravnine. Ovdje su sabrani zadaci u kojima treba pronaći čvrste pregrade pravokutnika u pravokutne pločice, zadaci za slaganje parketa, zadaci za što gušće slaganje oblika u pravokutnik ili kvadrat. Preporučujemo da ovaj paragraf proučite u 6.-7. razredu. 5. Tangram. Ovdje su prikupljeni zadaci vezani uz drevnu kinesku zagonetku "Tangram". Za ovu lekciju poželjno je imati ovu slagalicu, barem od kartona. Ovaj odjeljak preporučuje se za proučavanje u 5. razredu. 6. Problemi za rezanje u prostoru. Ovdje se učenici upoznaju s razvojem kocke, trokutaste piramide, povlače se paralele i prikazuju razlike između likova u ravnini i trodimenzionalnih tijela, što znači razlike u rješavanju zadataka. Paragraf sadrži jednu lekciju koju preporučujemo za proučavanje učenicima 6. razreda. 7. Zadaci za bojanje. Pokazuje kako bojanje oblika pomaže u rješavanju problema. Nije teško dokazati da je rješenje problema rezanja neke figure na dijelove moguće, dovoljno je osigurati neki način rezanja. Ali dokazati da je rezanje nemoguće je teže. U tome nam pomaže bojanje figure. Tri su lekcije u ovom paragrafu. Preporučujemo ih za proučavanje učenicima 7. razreda. 8. Zadaci s bojanjem u uvjetu. Ovdje su sabrani zadaci u kojima treba obojiti lik na određeni način, odgovoriti na pitanje: koliko je boja potrebno za takvo bojanje (najmanji ili najveći broj) itd. U odlomku je sedam lekcija. Preporučujemo ih za proučavanje učenicima 7. razreda. U drugom dijelu nalaze se zadaci koji se mogu rješavati u dodatnoj nastavi. Sadrži tri paragrafa.
7 Uvod 7 9. Transformacija figura. Sadrži zadatke u kojima se jedna figura reže na dijelove od kojih se sastavlja druga figura. U ovom paragrafu postoje tri lekcije, prva se bavi "transformacijom" raznih likova (ovdje su skupljeni dosta laki zadaci), a druga lekcija se bavi geometrijom transformacije kvadrata. 10. Različiti zadaci za rezanje. To uključuje različite zadatke rezanja koji se rješavaju različitim metodama. Postoje tri lekcije u ovom dijelu. 11. Područje figura. Postoje dvije lekcije u ovom dijelu. Na prvom satu razmatraju se zadaci u čijem je rješenju potrebno razrezati figure na dijelove, a zatim dokazati da su figure jednako sastavljene, na drugom satu zadaci u čijem rješenju treba koristiti svojstva površina figura.
8 Dio 1 1. Zadaci na kariranom papiru Lekcija 1.1 Tema: Zadaci za rezanje na kariranom papiru. Svrha: Razviti kombinatorne vještine (razmotriti različite načine konstruiranja izrezane linije figura, pravila koja omogućuju da se ne izgube rješenja pri konstruiranju ove linije), razviti ideje o simetriji. Rješavamo zadatke u lekciji, zadatak 1.5 za kuću Kvadrat sadrži 16 ćelija. Podijelite kvadrat na dva jednaka dijela tako da linija rezanja prolazi duž stranica ćelija. (Načini rezanja kvadrata na dva dijela smatrat će se različitim ako dijelovi kvadrata dobiveni jednim načinom rezanja nisu jednaki dijelovima dobivenim drugim načinom.) Koliko rješenja ima zadatak? Uputa. Pronalaženje nekoliko rješenja za ovaj problem nije tako teško. Na sl. 1, prikazana su neka od njih, a rješenja b) i c) su ista, budući da se brojke dobivene u njima mogu kombinirati superpozicijom (ako zakrenete kvadrat c) za 90 stupnjeva). Riža. 1 Ali pronaći sva rješenja i ne izgubiti nijedno rješenje već je teže. Imajte na umu da je izlomljena linija koja dijeli kvadrat na dva jednaka dijela simetrična u odnosu na središte kvadrata. Ovo zapažanje nam omogućuje da korak
9 Lekcija po korak za crtanje polilinije s dva kraja. Na primjer, ako je početak polilinije u točki A, tada će njen kraj biti u točki B (slika 2). Uvjerite se da se za ovaj problem početak i kraj polilinije mogu nacrtati na dva načina, prikazano na sl. 2. Prilikom konstruiranja izlomljene linije, kako ne biste izgubili rješenje, možete se pridržavati ovog pravila. Ako se sljedeća poveznica polilinije može nacrtati na dva načina, tada je potrebno prvo pripremiti drugi sličan crtež i ovaj korak izvesti na jednom crtežu na prvi način, a na drugom na drugi način (slika 3 prikazuje dva nastavci slike 2 (a)). Slično, trebate djelovati kada ne postoje dvije, već tri metode (slika 4 prikazuje tri nastavka slike 2 (b)). Navedeni postupak pomaže u pronalaženju svih rješenja. Riža. 2 sl. 3 Pravokutnik riže 3 4 sadrži 12 ćelija. Nađite pet načina za rezanje pravokutnika na dva jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica ćelija (metode rezanja se smatraju različitim ako dijelovi dobiveni jednom metodom rezanja nisu jednaki dijelovima dobivenim drugom metodom) Pravokutnik 3 5 sadrži 15 ćelija i središnju ćeliju ukloniti. Pronađite pet načina za rezanje preostale figure
10 10 1. Zadaci na kariranom papiru podijeljeni su na dva jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica ćelija Kvadrat 6 6 podijeljen je na 36 jednakih kvadrata. Nađi pet načina kako prerezati kvadrat na dva jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata. Zadatak 1.4 ima preko 200 rješenja. Pronađite ih barem 15. Lekcija 1.2 Tema: Zadaci za rezanje na kariranom papiru. Svrha: Nastaviti razvijati ideje o simetriji, pripremati se za temu "Pentamino" (razmatranje različitih figura koje se mogu izgraditi iz pet ćelija). Zadaci Može li se kvadrat od 5 5 ćelija prerezati na dva jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica ćelija? Obrazložite svoj odgovor Podijelite kvadrat 4 4 na četiri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica ćelija. Koliko različitih načina rezanja možete pronaći? 1.8. Podijelite figuru (slika 5) na tri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata. Riža. 5 sl. Slika 6 Podijelite lik (Sl. 6) na četiri jednaka dijela tako da linija reza ide duž stranica kvadrata Podijelite lik (Slika 7) na četiri jednaka dijela tako da linije reza idu duž stranica kvadrata. kvadrati. Pronađite što više rješenja.
11 Lekcija Podijelite kvadrat od 5 5 ćelija s izrezanom središnjom ćelijom na četiri jednaka dijela. Lekcija 1.3 Tema: Problemi rezanja na kariranom papiru. Svrha: Nastaviti razvijati ideje o simetriji (aksijalnoj, središnjoj). Zadaci Izrežite oblike prikazane na sl. 8, na dva jednaka dijela duž linija mreže, au svakom od dijelova treba biti krug. Riža. 8 Slika Slike prikazane na sl. 9, potrebno je izrezati duž linija mreže na četiri jednaka dijela tako da u svakom dijelu bude krug. Kako to učiniti? Izrežite lik prikazan na sl. 10, duž linija mreže na četiri jednaka dijela i presavijte ih u kvadrat tako da krugovi i zvijezde budu raspoređeni simetrično oko svih osi simetrije kvadrata. Riža. deset
12 12 1. Zadaci na kariranom papiru Ovaj kvadrat (slika 11) izrežite uzduž stranica ćelija tako da svi dijelovi budu iste veličine i oblika te da svaki sadrži po jedan kružić i zvjezdicu. 12 na četiri identična dijela tako da svaki od njih sadrži tri popunjene ćelije. Lekcija 1.4 11 sl. 12 Tema: Zadaci za rezanje na kariranom papiru. Cilj: Naučiti prerezati pravokutnik na dva jednaka dijela, od kojih možete dodati kvadrat, drugi pravokutnik. Naučite odrediti od kojih pravokutnika, rezanjem ih, možete napraviti kvadrat. Zadaci Dodatni zadaci 1.23, 1.24 (ovi se zadaci mogu uzeti u obzir na početku sata za zagrijavanje) Izrežite pravokutnik 4 9 ćelija duž stranica ćelija na dva jednaka dijela tako da se mogu presavijati u kvadrat. pravokutnik 4 8 ćelija prerezati na dva dijela duž stranica ćelija tako da mogu oblikovati kvadrat? Iz pravokutnika od 10 7 ćelija izrezan je pravokutnik od 1 6 ćelija, kao što je prikazano na sl. 13. Dobivenu figuru izrežite na dva dijela tako da se mogu saviti u kvadrat.Popunjene figure izrezane su iz pravokutnika od 8 9 ćelija, kao što je prikazano na sl. 14. Izrežite dobivenu figuru na dva jednaka dijela tako da od njih možete sabrati pravokutnik od 6 10.
13 Lekcija Sl. 13 Riža Na kariranom papiru nacrtan je kvadrat od 5 5 ćelija. Pokažite kako ga izrezati duž stranica ćelija u 7 različitih pravokutnika. Izrežite kvadrat na 5 pravokutnika duž stranica ćelija tako da svih deset brojeva koji izražavaju duljine stranica pravokutnika budu različiti cijeli brojevi. Podijelite figure prikazane na sl. . 15, na dva jednaka dijela. (Možete rezati ne samo duž linija stanica, već i duž njihovih dijagonala.) Sl. petnaest
14 14 2. Pentomino Izrežite figure prikazane na sl. 16, na četiri jednaka dijela. 2. Pentomino Fig. 16 Lekcija 2.1 Tema: Pentomino. Svrha: Razvijanje kombinatornih sposobnosti učenika. Zadaci Likovi domino, tromino, tetramino (igra s takvim figurama zove se Tetris), pentomino se sastoje od dva, tri, četiri, pet kvadrata tako da svaki kvadrat ima zajedničku stranicu s barem jednim kvadratom. Od dva identična kvadrata može se napraviti samo jedna domino figura (vidi sliku 17). Trimino figure mogu se dobiti od jedne domino figure tako da se na nju na različite načine pričvrsti drugi kvadrat. Dobit ćete dvije tromino figure (slika 18). Riža. 17 Riža Napravite sve vrste tetramino figurica (od grčke riječi "tetra" četiri). Koliko su ih dobili? (Oblici dobiveni rotacijom ili simetričnim prikazom od bilo kojih drugih ne smatraju se novima).
15 Lekcija Napravite sve moguće figure pentomina (od grčkog "penta" pet). Koliko su ih dobili? 2.3. Sastavite figure prikazane na sl. 19, od pentomino figurica. Koliko rješenja ima zadatak za svaku figuru? Slika Presavijte pravokutnik od 3 5 komada pentomina. Koliko ćete različitih rješenja dobiti? 2.5. Sastavite figure prikazane na sl. 20, od pentomino figurica. Riža. dvadeset
16 16 2. Pentomino Lekcija 2.2 Tema: Pentomino. Svrha: Razvoj ideja o simetriji. Zadaci U zadatku 2.2 sastavili smo sve moguće pentomino dijelove. Pogledajte ih na sl. 21. Sl. 21 Slika 1 ima sljedeće svojstvo. Ako je izrezana iz papira i savijena duž ravne linije a (slika 22), tada će se jedan dio figure podudarati s drugim. Za lik se kaže da je simetričan u odnosu na ravnu os simetrije. Slika 12 također ima os simetrije, čak su dvije prave b i c, dok slika 2 nema osi simetrije. Slika Koliko osi simetrije ima svaka pentomino figura? 2.7. Od svih 12 pentomino figura, presavijte pravokutnik. Asimetrične dijelove je dozvoljeno okretati. Presavijte pravokutnik 6 10 od dvanaest pentomino figura, i to tako da svaki element dodiruje jednu stranu ovog pravokutnika.
Lekcija 17 Izrežite pravokutnik prikazan na sl. 23 (a), duž unutarnjih linija u dva takva dijela, od kojih je moguće saviti lik s tri kvadratne rupe veličine jedne ćelije (slika 23 (b)). sl. Od pentomino figura složite kvadrat 8 8 s izrezanim u sredini kvadratom 2 2. Pronađite nekoliko rješenja Dvanaest pentominoa položeno je u pravokutnik Vratite obrube figura (sl. 24) ako svaka zvijezda padne točno u jedan pentomino. Riža. 24 Slika Dvanaest komada pentomina složeno je u kutiju od 12 10 kao što je prikazano na sl. 25. Pokušajte staviti još jedan set pentomina na preostalo slobodno polje.
18 18 3. Teški problemi rezanja 3. Teški problemi rezanja Lekcija 3.1 Tema: Zadaci rezanja figura složenijeg oblika s granicama koje su lukovi. Namjena: Naučiti izrezati oblike složenijeg oblika s rubovima koji su lukovi, te od dobivenih dijelova sastaviti kvadrat. Zadaci Na sl. 26 prikazuje 4 figure. Svaki od njih jednim rezom podijelite na dva dijela i od njih napravite kvadrat. Karirani papir će vam olakšati rješavanje problema. Riža Režući kvadrat 6 6 na dijelove, dodajte figure prikazane na sl. 27. Fig. 27
19 Lekcija 28 prikazuje dio zida tvrđave. Jedan od kamenova ima tako bizaran oblik da ako ga izvučete iz zida i postavite drugačije, zid će postati ravan. Nacrtaj ovaj kamen.Za što ćeš više koristiti boju: za bojanje kvadrata ili za ovaj neobičan prsten (slika 29)? Riža. 28 Riža Izrežite vazu prikazanu na sl. 30, na tri dijela, iz kojih se može sastaviti romb. Riža. 30 sl. 31 sl. 32 Lekcija 3.2 Tema: Složeniji problemi rezanja. Cilj: Uvježbati rješavanje složenijih problema rezanja. Rješavamo probleme u lekciji, zadatak 3.12 za dom Izrežite lik (slika 31) s dva ravna reza na takve dijelove od kojih možete dodati kvadrat 32 lik na četiri jednaka dijela, od kojih bi bilo moguće dodati kvadrat Izrežite slovo E, prikazano na sl. 33, na pet dijelova i savijte ih u kvadrat. Ne okrećite dijelove naopako
20 20 4. Dopušteno je dijeljenje ravnine. Može li se proći s četiri dijela, ako dopustite da se dijelovi okreću naopako? 3.9. Križ, sastavljen od pet polja, potrebno je razrezati na takve dijelove, od kojih bi bilo moguće napraviti jedan križ jednake veličine (tj. jednake površine) kvadrat.Date su dvije šahovske ploče: obična, 64 ćelije, i još 36 stanica. Potrebno je svaku od njih razrezati na dva dijela tako da se od sva četiri dobivena dijela napravi nova šahovska ploča od ćelija.Stolar ima komad šahovske ploče od 7 7 ćelija od plemenitog mahagonija. Želi bez rasipanja materijala i brisanja Sl. 33 rezova samo uz rubove ćelija, izrežite ploču na 6 dijelova tako da čine tri nova kvadrata, svi različitih veličina. Kako to učiniti? Je li moguće riješiti zadatak 3.11 ako broj dijelova mora biti 5, a ukupna duljina rezova 17? 4. Dijeljenje ravnine Lekcija 4.1 Tema: Pune pregrade pravokutnika. Svrha: naučiti kako graditi čvrste pregrade od pravokutnika s pravokutnim pločicama. Odgovorite na pitanje pod kojim uvjetima pravokutnik dopušta takvu podjelu ravnine. U lekciji se rješavaju zadaci (a). Zadatke 4.5 (b), 4.6, 4.7 možete ostaviti kod kuće. Pretpostavimo da imamo neograničenu zalihu pravokutnih pločica od 2 1 i želimo s njima obložiti pravokutni pod i nijedna se dvije pločice ne smiju preklapati Položite pločice od 2 1 na pod u prostoriji od 5 6. Jasno je da ako je pod u pravokutna soba p q je popločana 2 1, tada je p q paran (jer je površina djeljiva s 2). I obrnuto: ako je p q paran, tada se pod može postaviti s pločicama 2 1.
21 Lekcija Doista, u ovom slučaju jedan od brojeva p ili q mora biti paran. Ako je, na primjer, p = 2r, tada se pod može postaviti kao što je prikazano na sl. 34. Ali kod takvih parketa postoje linije prijeloma koje prelaze cijelu “sobu” od zida do zida, ali ne prelaze pločice. Ali u praksi se koriste parketi bez takvih linija – masivni parketi. Slika Postavite pločice 2 1 masivni parket prostorije Pokušajte pronaći kontinuirano popločavanje 2 1 a) pravokutnik 4 6; b) kvadrat Položiti pločice 2 1 masivni parket a) sobe 5 8; b) sobe 6 8. Naravno, postavlja se pitanje za koje p i q pravokutnik p q dopušta kontinuiranu podjelu na pločice 2 1? Potrebne uvjete već znamo: 1) p q je djeljiv s 2, 2) (p, q) (6, 6) i (p, q) (4, 6). Također se može provjeriti još jedan uvjet: 3) p 5, q 5. Ispada da su se i ta tri uvjeta pokazala dovoljnima. Pločice drugih dimenzija Položite pločice 3 2 bez razmaka a) pravokutnik 11 18; b) pravokutnik Nacrtajte bez razmaka, ako je moguće, kvadrat s pločicama. Je li moguće, uzmeći kvadrat kariranog papira veličine 5 5 ćelija, iz njega izrezati 1 ćeliju tako da ostatak možete izrezati na ploče od 1 3 Stanice? Lekcija 4.2 Tema: Parketi.
22 22 4. Dijeljenje ravnine Svrha: Naučiti kako obložiti ravninu raznim figurama (štoviše, parketi mogu biti s lomnim linijama ili puni), ili dokazati da je to nemoguće. Problemi Jedno od najvažnijih pitanja u teoriji pregrađivanja ravnine je: “Kakav oblik treba biti pločica da njezine kopije mogu prekriti ravninu bez razmaka i dvostrukih obloga?” Nekoliko očitih oblika odmah pada na pamet. Može se dokazati da postoje samo tri pravilna poligona koji mogu pokriti ravninu. Ovo je jednakostranični trokut, kvadrat i šesterokut (vidi sliku 35). Postoji beskonačan broj nepravilnih poligona koji mogu pokriti ravninu. Slika Proizvoljni tupokutni trokut podijelimo na četiri jednaka i slična trokuta. U zadatku 4.8 trokut smo podijelili na četiri jednaka i slična trokuta. Svaki od četiri dobivena trokuta možemo pak podijeliti na četiri jednaka i slična trokuta itd. Krenemo li u suprotnom smjeru, odnosno zbrojimo četiri jednaka tupokutna trokuta tako da dobijemo jedan njima sličan trokut, ali četiri puta površina, itd., tada takvi trokuti mogu popločati ravninu. Ravnina se može pokriti drugim likovima, na primjer, trapezima, paralelogramima Pokrijte ravninu istim likovima prikazanim na sl. 36.
23 Lekcija Obložite ravninu s istim "zagradama" prikazanim na sl. 37. Fig. 36 Riža Postoje četiri kvadrata sa stranicom 1, osam sa stranicom 2, dvanaest sa stranicom 3. Možete li od njih sastaviti jedan veliki kvadrat? Je li moguće složiti kvadrat bilo koje veličine od drvenih pločica prikazanih na sl. 38 vrsta, koristeći pločice obje vrste? Lekcija 4.3 Tema: Problemi najgušćeg pakiranja. Riža. 38 Svrha: Formirati pojam optimalnog rješenja. Zadaci Koliko se najveći broj traka veličine 1 5 ćelija može izrezati iz kvadrata kariranog papira 8 8 ćelija? Majstor ima list kositrenog kvadrata. dm. Majstor želi iz njega izrezati što više pravokutnih praznina od 3 5 četvornih metara. dm. Pomozite mu.Je li moguće pravokutnik ćelije razrezati na pravokutnike veličine 5 7 bez ostatka? Ako je moguće, kako? Ako ne, zašto ne? Na listu kariranog papira označite rezove s veličinom ćelija, uz pomoć kojih možete dobiti onoliko cijelih figura koliko je prikazano na sl. 39. Slike prikazane na sl. 39 (b, d), može se okrenuti.
24 24 5. Tangram Rice Tangram Lekcija 5.1 Tema: Tangram. Svrha: Upoznati učenike s kineskom zagonetkom "Tangram". Prakticirajte geometrijska istraživanja, dizajn. Razvijati kombinatorne sposobnosti. Problemi Govoreći o problemima rezanja, ne možemo ne spomenuti drevnu kinesku zagonetku "Tangram", koja je nastala u Kini prije 4 tisuće godina. U Kini se to zove "chi tao tu", odnosno mentalna slagalica od sedam dijelova. Smjernice. Za izvođenje ovog sata poželjno je imati materijale: slagalicu (koju učenici sami mogu napraviti), crteže figura koje je potrebno presavijati. Slika Napravite sami slagalicu: prenesite kvadrat podijeljen na sedam dijelova (slika 40) na debeli papir i izrežite ga Od svih sedam dijelova slagalice izradite figure prikazane na sl. 41.
25 Lekcija Sl. 41 sl. 42 Smjernice. Djeci se mogu dati crteži figura a), b) u punoj veličini. I tako učenik može riješiti problem stavljanjem dijelova slagalice na crtež figure i time odabirom pravih dijelova, što pojednostavljuje zadatak. I crteži figura
26 26 6. Zadaci za rezanje u prostoru c), d) mogu se dati u manjem mjerilu; posljedično će te zadatke biti teže riješiti. Na sl. Dane su još 42 figure za samostalno sastavljanje Pokušajte osmisliti vlastitu figuru koristeći svih sedam dijelova tangrama U tangramu, među njegovih sedam dijelova, već postoje trokuti različitih veličina. Ali iz njegovih dijelova još uvijek možete dodati razne trokute. Presavijte trokut koristeći četiri dijela tangrama: a) jedan veliki trokut, dva mala trokuta i kvadrat; b) jedan veliki trokut, dva mala trokuta i paralelogram; c) jedan veliki trokut, jedan srednji trokut i dva mala trokuta Možete li napraviti trokut koristeći samo dva dijela tangrama? Tri dijela? Pet dijelova? Šest dijelova? Svih sedam dijelova tangrama? 5.6. Očito je da se kvadrat sastoji od svih sedam dijelova tangrama. Je li moguće ili nemoguće napraviti kvadrat od dva dijela? Od tri? Od četiri? 5.7. Koji različiti dijelovi tangrama se mogu koristiti za izradu pravokutnika? Koji se još konveksni poligoni mogu napraviti? 6. Zadaci za rezanje u prostoru Lekcija 6.1 Tema: Zadaci za rezanje u prostoru. Svrha: Razviti prostornu maštu. Naučiti izgraditi zamah trokutaste piramide, kocke, odrediti koji su zamasi netočni. Uvježbati rješavanje zadataka rezanja tijela u prostoru (rješavanje takvih zadataka razlikuje se od rješavanja zadataka rezanja oblika u ravnini). Zadaci Pinokio je imao papir, s jedne strane oblijepljen polietilenom. Napravio je komad prikazan na sl. 43 da od njega lijepite vrećice za mlijeko (trokutaste piramide). A lisica Alisa može napraviti još jedno prazno mjesto. Što?
27 Lekcija Rice Cat Basilio također je dobio ovaj papir, ali želi lijepiti kocke (kefir vrećice). Napravio je praznine prikazane na sl. 44. A lisica Alisa kaže da se neke mogu odmah baciti, jer nisu dobre. Je li u pravu? Keopsova piramida ima kvadrat u podnožju, a njezine bočne stranice su jednaki jednakokračni trokuti. Pinocchio se popeo i izmjerio kut ruba na vrhu (AMD, na slici 45). Ispalo je 100. A lisica Alisa kaže da se pregrijala na suncu, jer to ne može biti. Je li u pravu? 6.4. Koliki je najmanji broj ravnih rezova potrebnih da se kocka podijeli na 64 male kocke? Nakon svakog rezanja dopušteno je pomicati dijelove kocke kako želite.Drvena kocka je obojana s vanjske strane bijelom bojom, zatim svaki njen rub Sl. 45 je podijeljena na 5 jednakih dijelova, nakon čega je piljena tako da su dobivene male kocke, u kojima je rub 5 puta manji od onog kod originalne kocke. Koliko ima malih kockica? Koliko kocki ima obojane tri strane? Dva ruba? Jedan rub? Koliko je ostalo neobojanih kockica? 6.6. Lubenicu su razrezali na 4 dijela i pojeli. Ispalo je 5 kora. Može li ovo biti?
28 28 7. Zadaci za bojanje 6.7. Na koji se najveći broj komada palačinka može rezati s tri ravna reza? Koliko se komada može dobiti s tri reza štruce kruha? 7. Zadaci za bojanje Lekcija 7.1 Tema: Bojanje pomaže u rješavanju problema. Namjena: Dobro odabranim bojanjem (npr. bojanje u šahovnici) naučiti dokazati da neki rezni zadaci nemaju rješenja, čime se unapređuje logička kultura učenika. Problemi Lako je dokazati da je rješenje problema rezanja neke figure na dijelove moguće: dovoljno je dati neki način rezanja. Već je teže pronaći sva rješenja, odnosno sve načine rezanja. I dokazati da je rezanje nemoguće također je prilično teško. U nekim slučajevima nam u tome pomaže bojanje figure.Uzeli smo kvadratić kariranog papira dimenzija 8 8, odrezali od njega dvije ćelije (lijevu donju i desnu gornju). Je li moguće u potpunosti prekriti dobivenu figuru s "domino" pravokutnicima 1 2? 7.2. Na šahovskoj ploči nalazi se figura "deva" koja se svakim potezom pomiče tri ćelije okomito i jednu vodoravno ili tri vodoravno i jednu okomito. Može li "deva" nakon nekoliko poteza ući u ćeliju uz svoju izvornu stranu? 7.3. U svakoj ćeliji kvadrata 5 5 nalazi se buba. Na naredbu, svaka je kornjaša otpuzala na jednu od susjednih ćelija sa strane. Može li se onda ispostaviti da će u svakoj ćeliji ponovno sjediti točno po jedan buba? Što ako je originalni kvadrat imao dimenzije 6 6? 7.4. Je li moguće kvadrat od kockastog papira 4x4 izrezati na jedno postolje, jedan kvadrat, jedan stupac i jedan cik-cak (slika 46)?
M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moskva, 2002. UDC 514.11 LBC 22.151.0 E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Problemi rezanja. M.: MTsNMO, 2002. 120 str.: ilustr. Serija: "Tajne nastave matematike". Ovaj
V.A. Smirnov, I.M. Smirnova, I.V. Yashchenko ŠTO BITI OD VIZUALNE GEOMETRIJE U 5 6 RAZREDIMA Rezultati GIA i USE iz matematike pokazuju da je glavni problem geometrijskog
Problemi na rešetkama V. V. Vavilov, O. N. German, A. V. Ustinov l su cijeli brojevi, tada i samo tada generira istu rešetku,
IV Yakovlev Materijali o matematici MathUs.ru Rezovi Geometrijski likovi nazivaju se jednakima ako se mogu naložiti jedan na drugi tako da se potpuno podudaraju. 1. Svaki oblik izrežite na
V.A. Smirnov, I.M. Smirnova GEOMETRIJA Priručnik za pripremu za GIA Zadaci za odabir pravih tvrdnji 2015. 1 UVOD Ovaj priručnik namijenjen je pripremi za rješavanje geometrijskih zadataka GIA iz matematike.
Test 448 Okomiti kutovi 1. Ako kutovi nisu okomiti, onda nisu jednaki. 2. Jednaki kutovi su okomiti kutovi samo ako su središnje simetrični. 3. Ako su kutovi jednaki i njihova unija ima
I. V. Yakovlev Materijali iz matematike MathUs.ru Primjeri i konstrukcije 1. (Sveruski, 2018, ŠÉ, 5.2) Djevojčica je svako slovo u svom imenu zamijenila njegovim brojem u ruskoj abecedi. Rezultat je broj 2011533.
PREDAVANJE 24 RAVNINSKI GRAFOVI 1. Eulerova formula za ravninske grafove Definicija 44: Ravni graf je slika grafa na ravnini bez samosjecišta. Napomena Graf nije isto što i ravni
Srednje (potpuno) opće obrazovanje M.I. Bashmakov Matematika 11. razred Zbirka zadataka 3. izdanje UDK 372.851(075.3) LBC 22.1ya721 B336 Bashmakov M.I. 11. razred. Zbirka zadataka: sekundarna (kompletna)
V.A. Smirnov 1. Prepoznavanje likova 1. Koji se poliedar naziva kocka? 2. Koliko vrhova, bridova, stranica ima kocka? 3. Na kariranom papiru nacrtajte kocku. 4. Koji se poliedar naziva paralelopiped?
V.A. Smirnov, I.V. Yashchenko FIGURE U SVEMIRU Priručnik za pripremu za Jedinstveni državni ispit 2013. UVOD Ovaj je priručnik osmišljen za pripremu za rješavanje geometrijskih problema Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Njegovi ciljevi su:
1 naučiti koristiti geometrijski jezik i geometrijski simbolizam za opisivanje objekata svijeta; provoditi jednostavno obrazloženje i opravdanje u postupku rješavanja predviđenih problema
MATEMATIKA 5.1-5.3 razredi (tehnološki profil) Banka zadataka modula "Geometrija" "Trokuti i četverokuti. Ravne linije i krugovi. Simetrija. Poliedri” Potrebne osnovne teorijske informacije
Zadaci za treći Minsk City Open turnir mladih matematičara 2016. (juniorska liga, razredi 5-7) 10.-12. ožujka 2016. Preliminarne prijave s naznakom obrazovne ustanove, voditelja, njegovog broja telefona
Općinska proračunska predškolska obrazovna ustanova "Dječji vrtić 30" središnjeg okruga Barnaul
1 Ekstremno pravilo Igor Zhuk (Alfa, 1(4), 1999.) Počnimo sa sljedeća tri problema: Problem1. Na beskonačnom listu kariranog papira u svaku je ćeliju upisan prirodan broj. Poznato je
Znanje je najizvrsniji posjed. Svi tome teže, ne dolazi to samo od sebe. Abu-r-Raykhan al-buruni "Pojam površine poligona" Geometrija Razred 8 1 KARAKTERISTIKA POLINOMA Zatvorena polilinija,
Objašnjenje 1. Opće karakteristike predmeta Ovaj program je sastavljen u skladu sa zahtjevima Saveznog državnog obrazovnog standarda za osnovno opće obrazovanje i namijenjen je
Majstorska klasa "Geometrija i stereometrija na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, 1. dio. Listopad 2017. Za rješavanje problema potrebno vam je znanje o geometrijskim oblicima i njihovim svojstvima, izračunavanje površina ravnih figura, volumena
Općinska proračunska obrazovna ustanova "Srednja škola 2" Prilog 3.20. Program rada za tečaj "Vizualna geometrija" razreda 5-6 Programeri: Ovchinnikova N.V.,
Tema 1. Paritet 1. Na stolu je 13 zupčanika povezanih u zatvoreni lanac. Mogu li se svi zupčanici okretati u isto vrijeme? 2. Može li pravac koji nema vrhove činiti zatvorenu poliliniju s 13
Analiza zadataka trećeg dijela zadataka 1 2 Elektronička škola Znanik Analiza zadataka trećeg dijela zadataka 4. razred 6 7 8 9 10 A B A C D 6. zadatak Unutar tunela svakih 10 m nalaze se kontrolne točke.
IX Sveruska smjena "Mladi matematičar". VDC "Orlić". VI Turnir matematičkih igara. Matematička igra "Dvoboj". Juniorska liga. Rješenja. 08. rujna 2013. 1. U dvije grupe uči isti broj učenika
Zanimljivi zadaci s kockama Zadatak 1. Označi 8 vrhova kocke rednim brojevima (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) tako da zbroj brojeva na svakoj od njezinih šest ploha bude jednak ( Slika 1a).
Banka zadataka iz matematike 6. razred "Poligoni i poliedri" 1. Poliedar je zatvorena ploha sastavljena od: paralelograma mnogokuta i trokuta poligona poligona.
DRŽAVNI ODBOR RUSKE FEDERACIJE ZA VISOKO OBRAZOVANJE NOVOSIBIRSKO DRŽAVNO SVEUČILIŠTE Dopisna škola MATEMATIČKI ODSJEK PARALELNI DIZAJN Razred 0, zadatak 3. Novosibirsk
Program rada predmeta „Svijet znakova i brojeva“ 5. razred 1. Planirani rezultati razvoja predmeta „Svijet znakova i brojeva“ ovladavanje geometrijskim jezikom, korištenjem istog za opisivanje.
Izvannastavna nastava vizualne geometrije u 7. razredu. Tema: “Geometrija škara. Problemi za rezanje i savijanje oblika"
IH. SMIRNOV, V.A. SMIRNOV GEOMETRIJA NA PROVJERENOM PAPIRU Udžbenik za obrazovne ustanove Moskva 2009 PREDGOVOR Predloženi priručnik sadrži pedeset i šest problema za konstrukciju i
RADNA BILJEŽNICA 2 TRANSFORMACIJE 1 Pojam transformacije Primjer 1. Transformacija koncentričnih kružnica jedne u drugu. Kružnica c 1 pretvara se u svoju koncentričnu kružnicu c 2 kao što je prikazano
Jesenski fizikalno-matematički intenziv "100 sati" POLYOMINE Igre i zagonetke s kockastim figurama Hozin Mihail Anatoljevič Dzeržinsk, 29. listopada 2. studenog 2016. ŠTO JE POLYOMINE? Svi znaju domine
7 oblika je nacrtano točku po točku kao što je prikazano na slikama ispod. C A G B F Pokažite kako koristiti ove elemente za izradu figura na slikama ispod D E A) (boduje 0 bodova) B) (boduje 0 bodova) C) (3 boda
USE 2010. Matematika. Problem B9. Radna bilježnica Smirnov V.A. (pod uredništvom A. L. Semenova i I. V. Yashchenka) M .: Izdavačka kuća MTsNMO; 2010, 48 stranica Radna bilježnica iz matematike URS-a 2010. Serija Matematika
1) IDm2014_006 odgovori natjecateljskog kruga 2) Voditeljica tima Poyarkova Olga Sergeevna 3) Tehnički izvršitelj (koordinator) ne 4) URL web stranice s odgovorima natjecateljskog kruga (ako ih ima) ne 5) Tablica
10.1 (tehnološki profil), 10.2 (razina profila) 2018.-2019. akademska godina Uzorak banke zadataka za pripremu za testiranje iz matematike, odjeljak "Geometrija" (udžbenik Atanasyan L.S., razina profila)
I. M. Smirnova, V. A. Smirnov Pravilni, polupravilni i zvjezdasti poliedri Moskva MTsNMO Izdavačka kuća 010
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I ZNANOSTI RUSKE FEDERACIJE NOVOSIBIRSK DRŽAVNI SVEUČILIŠNI SPECIJALIZIRANI OBRAZOVNI I ZNANSTVENI CENTAR Matematika Razred 0 PARALELNI DIZAJN Novosibirsk I. Dizajn
2016. 2017. školska godina 5. razred 51 Rasporedi zagrade i znakove radnji u natuknici 2 2 2 2 2 tako da ispadne 24 52 Anya laže utorkom, srijedom i četvrtkom, a govori istinu sve ostale dane u tjednu
Tema 16. Poliedri 1. Prizma i njeni elementi: Prizma je poliedar čije su dvije plohe jednaki poligoni koji se nalaze u paralelnim ravninama, a ostale plohe su paralelogrami.
Geometrija do geometrije. PDA, Geometrija, Treća lekcija (Maksimov D.V.) 28. lipnja 2017. Vizualna geometrija Kocka 3x3x3 sastoji se od 13 bijelih i 14 tamnih kocki. Na kojoj je slici? Prikazano ispod
7. razred 7.1. Može li se pokazati da će 1000 sudionika olimpijade točno riješiti ovaj zadatak, a među njima će biti 43 dječaka više nego djevojčica? 7.2. Lada i Lera pogađale su prirodnim brojem. Ako a
Odbor uprave Zmeinogorsk okruga Altai Territory za obrazovanje i pitanja mladih Općinska proračunska obrazovna ustanova "Zmeinogorsk srednja škola s naprednim
Prijemni ispit za Večernju matematičku školu Fakulteta informatike Moskovskog državnog sveučilišta M. V. Lomonosova (29. rujna 2018.) Razredi 8-9 1. Ekipe "Matematičari", "Fizičari" i "Programeri" igrale su nogomet
Općinska proračunska obrazovna ustanova grada Abakana "Srednja škola 11" PROGRAM izvannastavnih aktivnosti kruga "Mladi matematičar" za razrede 1-4 Izvannastavni program
Tema I. Problem pariteta 1. Kvadratna tablica 25 25 obojana je u 25 boja tako da svaki redak i svaki stupac sadrže sve boje. Dokazati da ako je raspored boja simetričan u odnosu na
1. Garniture. Operacije nad skupovima 1. Je li točno da za bilo koje skupove A, B vrijedi jednakost A \ (A \ B) A B? 2. Je li točno da za bilo koje skupove A, B vrijedi jednakost (A \ B) (B \ A)
Šifra odjeljka Zahtjevi (vještine) koje se provjeravaju završnim radnim zadacima Otvorena banka zadataka iz predmeta "Matematika" za učenike četvrtih razreda Zadaci 4. PROSTORNI ODNOSI. GEOMETRIJSKI
Slika poliedra Lik sličan svojoj projekciji na određenu ravninu uzima se kao slika lika. Odabrana je slika koja daje ispravnu ideju o obliku figure
Zadaci za 5. razred Web stranica za osnovnu matematiku Dmitrija Gushchina www.mathnet.spb.ru u okviru 5. Tko pobjeđuje ako igra najbolje? 2. U kvadratu 5 5 nacrtane su crte koje ga dijele na
Odjel za obrazovanje uprave okruga Krasnogvardeisky Općinska obrazovna ustanova "Kalinovskaja srednja škola" Odobravam: Ravnatelj MBOU "Kalinovskaja srednja škola" Belousova
Dvanaesta sveruska olimpijada iz geometrije. I. F. Sharygina Četrnaesta usmena olimpijada iz geometrije Moskva, 17. travnja 2016. Rješenja zadataka 8 9 razred 1. (A. Blinkov) U šesterokutu su jednaki
Zadaci G -11.5.16. S strana = P glavna. * H formula za određivanje bočne plohe prizme G -11.5.17. S strana = 1 P glavni. * h formula za određivanje stranice 2 površine piramide 6. Razni zadaci G-10.6.1.
VIII ekipno-osobni turnir "Matematički višeboj" 27.11.2015., Moskva Geometrija (rješenja) Junior League 1. Dati su krug i njegova tetiva. Na krajevima tetive na kružnicu povlače se tangente
1. Na kariranom papiru nacrtan je lik. Podijelite ga na 4 jednaka dijela
dijelovi duž linija kariranog papira. Pronađite sve moguće figure za koje
možete izrezati ovu figuru prema stanju problema.
Riješenje.
2. Iz kvadrata 5 5 izrežite središnju ćeliju. Izrežite dobiveni
lik na dva jednaka dijela na dva načina.
Riješenje.
3. Podijelite pravokutnik 3×4 na dva jednaka dijela. Pronađite kako možete
više načina. Možete rezati samo duž stranice kvadrata 1 × 1 i metode
smatraju se različitima ako dobivene brojke nisu jednake za svaku
put.
Riješenje.
4. Izrežite figuru prikazanu na slici na 2 jednaka dijela.
Riješenje.
5. Izrežite lik prikazan na slici na 2 jednaka dijela.
Riješenje.
6. Izrežite lik prikazan na slici na dva jednaka dijela po dužini
linije mreže, au svakom od dijelova treba biti krug.
Riješenje.
7. Izrežite lik prikazan na slici na četiri jednaka dijela
Riješenje.
8. Izrežite lik prikazan na slici na četiri jednaka dijela
duž linija mreže, au svakom od dijelova treba biti krug.
Riješenje.
9. Izrežite ovaj kvadrat duž stranica ćelija tako da svi dijelovi
biti iste veličine i oblika i da svaki sadrži po jedan
šalica i križ.
Riješenje.
10. Izrežite figuru prikazanu na slici duž crta mreže
četiri jednaka dijela i presavijte ih u kvadrat tako da krugovi i križići
smještena simetrično u odnosu na sve osi simetrije kvadrata.
Riješenje.
11. Kvadrat 6 6 ćelija prikazan na slici razrežite na četiri
identične dijelove tako da svaki od njih sadrži tri popunjene ćelije.
Riješenje.
12. Je li moguće kvadrat razrezati na četiri dijela tako da svaki dio
bio u kontaktu s ostala tri (dijelovi su u kontaktu ako imaju zajedničku
pogranično područje)?
Riješenje.
13. Je li moguće pravokutnik od 9 4 ćelija prerezati na dva jednaka dijela duž
kako onda to učiniti?
Rješenje Površina takvog kvadrata je 36 ćelija, odnosno njegova strana je 6
Stanice. Način rezanja prikazan je na slici.
14. Je li moguće pravokutnik od 5 10 ćelija prerezati na dva jednaka dijela duž
stranice ćelija kako bi mogle tvoriti kvadrat? Ako da,
kako onda to učiniti?
Rješenje Površina takvog kvadrata je 50 ćelija, odnosno njegova strana je
više od 7, ali manje od 8 cijelih stanica. Dakle, izrezati takav pravokutnik
na traženi način na stranama stanica je nemoguće.
15. Bilo je 9 listova papira. Neki od njih su izrezani na tri dijela. Ukupno
postalo 15 listova. Koliko je listova papira izrezano?
Rješenje. Izrežite 3 lista: 3 ∙ 3 + 6 = 15.
