Jednadžba višestruke regresije u prirodnom i standardiziranom obliku. Standardizirani regresijski koeficijenti
Koeficijenti regresijske jednadžbe, kao i svi apsolutni pokazatelji, ne mogu se koristiti u komparativnoj analizi ako su mjerne jedinice odgovarajućih varijabli različite. Na primjer, ako g - obiteljski troškovi za hranu, x 1 - veličina obitelji i x 2 je ukupni prihod obitelji, a definiramo ovisnost tipa = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 i b 2 > b 1 , onda to ne znači da x 2 jači učinak na g , kako x 1 , jer b 2 je promjena obiteljskih troškova s promjenom prihoda za 1 rublju, i b 1 - promjena troškova pri promjeni veličine obitelji za 1 osobu.
Usporedivost koeficijenata regresijske jednadžbe postiže se razmatranjem standardizirane regresijske jednadžbe:
y 0 \u003d 1 x 1 0 + 2 x 2 0 + ... + m x m 0 + e,
gdje je y 0 i x 0 k – standardizirane vrijednosti varijabli g i x k :
S y i S su standardne devijacije varijabli g i x k ,
k (k=) – -koeficijenti regresijske jednadžbe (ali ne i parametri regresijske jednadžbe, za razliku od prethodno date oznake). -koeficijenti pokazuju za koji će se dio svoje standardne devijacije (S y) promijeniti zavisna varijabla g ako je nezavisna varijabla x k promijenit će se za svoju standardnu devijaciju (S). Procjene parametara regresijske jednadžbe u apsolutnom iznosu (b k) i β-koeficijenti povezani su relacijom:
-koeficijenti regresijske jednadžbe na standardiziranoj skali stvaraju stvarnu predodžbu o utjecaju nezavisnih varijabli na modelirani pokazatelj. Ako vrijednost -koeficijenta za bilo koju varijablu premašuje vrijednost odgovarajućeg -koeficijenta za drugu varijablu, tada bi utjecaj prve varijable na promjenu efektivnog pokazatelja trebao biti prepoznat kao značajniji. Treba imati na umu da standardizirana regresijska jednadžba, zbog centriranja varijabli, po konstrukciji nema slobodan član.
Za jednostavnu regresiju, -koeficijent se podudara s koeficijentom korelacije para, što omogućuje da se koeficijentu korelacije para da semantičko značenje.
Pri analizi utjecaja pokazatelja uključenih u regresijsku jednadžbu na modelirano svojstvo uz -koeficijente koriste se i koeficijenti elastičnosti. Na primjer, prosječni pokazatelj elastičnosti izračunava se formulom
i pokazuje za koliko posto će se prosječno promijeniti zavisna varijabla ako se prosječna vrijednost odgovarajuće nezavisne varijable promijeni za jedan posto (ceteris paribus).
2.2.9. Diskretne varijable u regresijskoj analizi
Tipično, varijable u regresijskim modelima imaju kontinuirane raspone. Međutim, teorija ne nameće nikakva ograničenja na prirodu takvih varijabli. Vrlo često postoji potreba da se u regresijskoj analizi uzme u obzir utjecaj kvalitativnih značajki i njihova ovisnost o različitim čimbenicima. U tom slučaju postaje nužno uvesti diskretne varijable u regresijski model. Diskretne varijable mogu biti neovisne ili ovisne. Razmotrimo ove slučajeve odvojeno. Razmotrimo najprije slučaj diskretnih nezavisnih varijabli.
Dummy varijable u regresijskoj analizi
Da bi se kvalitativne značajke uključile kao nezavisne varijable u regresiju, one moraju biti digitalizirane. Jedan od načina da ih digitalizirate je korištenje lažnih varijabli. Naziv nije sasvim uspješan - nisu izmišljeni, samo je za ove svrhe prikladnije koristiti varijable koje imaju samo dvije vrijednosti - nula ili jedan. To je ono što oni nazivaju fiktivnim. Obično kvalitativna varijabla može poprimiti nekoliko razina vrijednosti. Na primjer, spol - muški, ženski; kvalifikacija - visoka, srednja, niska; sezonalnost - I, II, III i IV tromjesečja itd. Postoji pravilo prema kojem je za digitalizaciju takvih varijabli potrebno unijeti broj lažnih varijabli, jedan manji od broja razina modeliranog pokazatelja. To je potrebno kako takve varijable ne bi bile linearno ovisne.
U našim primjerima, spol je jedna varijabla, jednaka 1 za muškarce i 0 za žene. Kvalifikacija ima tri razine, tako da su potrebne dvije lažne varijable: na primjer, z 1 = 1 za visoku razinu, 0 za ostale; z 2 = 1 za srednju razinu, 0 za ostale. Nemoguće je uvesti treću sličnu varijablu, jer bi se u ovom slučaju ispostavilo da su linearno ovisne (z 1 + z 2 + z 3 \u003d 1), determinanta matrice (X T X) bi išla na nulu i pronašla inverzna matrica (X T X) -1 ne bi uspjela. Kao što znate, procjene parametara regresijske jednadžbe određuju se iz omjera: T X) -1 X T Y).
Koeficijenti za dummy varijable pokazuju koliko se vrijednost zavisne varijable razlikuje na analiziranoj razini u odnosu na razinu koja nedostaje. Na primjer, kada bi se razina plaće modelirala ovisno o nekoliko karakteristika i razini vještina, tada bi koeficijent pri z 1 pokazao koliko se plaća stručnjaka s visokom razinom kvalifikacije razlikuje od plaće stručnjaka s niskom razinom kvalifikacije. , ako su sve ostale stvari jednake, i koeficijent pri z 2 - slično značenje za stručnjake s prosječnom razinom kvalifikacija. U slučaju sezonalnosti trebale bi se uvesti tri dummy varijable (ako se razmatraju tromjesečni podaci) i koeficijenti za njih bi pokazali koliko se vrijednost zavisne varijable razlikuje za odgovarajući kvartal od razine zavisne varijable za četvrtina koja nije upisana kada su digitalizirani.
Uvedene su i lažne varijable za modeliranje strukturnih promjena u dinamici proučavanih pokazatelja u analizi vremenskih serija.
Primjer 4 Standardizirana regresijska jednadžba i lažne varijable
Razmotrimo primjer korištenja standardiziranih koeficijenata i lažnih varijabli na primjeru analize tržišta dvosobnih stanova na temelju jednadžbe višestruke regresije sa sljedećim skupom varijabli:
CIJENA - cijena;
TOTSP - ukupna površina;
LIVSP - dnevni prostor;
KITSP - kuhinjski prostor;
DIST - udaljenost od centra grada;
ŠETNJA - jednako 1 ako se do postaje metroa može doći pješice i jednako 0 ako trebate koristiti javni prijevoz;
OPEKA - jednaka 1 ako je kuća zidana i jednaka 0 ako je ploča;
KAT - jednak 1 ako stan nije na prvom ili zadnjem katu i jednak 0 u protivnom;
TEL - jednak 1 ako stan ima telefon i jednak 1 ako nema;
BAL je jednak 1 ako postoji balkon i jednak 0 ako nema balkona.
Izračuni su provedeni pomoću programa STATISTICA (Slika 2.23). Prisutnost -koeficijenata omogućuje vam da poredate varijable prema stupnju njihovog utjecaja na zavisnu varijablu. Analizirajmo ukratko rezultate izračuna.
Na temelju Fisherove statistike zaključujemo da je regresijska jednadžba značajna (p-razina< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.
Slika 2.24 – Izvješće o tržištu stanova temeljeno na STATISTICA PPP
Koeficijent višestruke determinacije je 52%, dakle, varijable uključene u regresiju određuju promjenu cijene za 52%, a preostalih 48% promjene cijene stana ovisi o neuračunatim faktorima. Uključujući slučajne fluktuacije cijena.
Svaki od koeficijenata varijable pokazuje koliko će se promijeniti cijena stana (ceteris paribus) ako se ova varijabla promijeni za jedan. Tako, na primjer, pri promjeni ukupne površine za 1 m2. m, cijena stana u prosjeku će se promijeniti za 0,791 USD, a kada je stan udaljen 1 km od centra grada, cijena stana u prosjeku će se smanjiti za 0,596 USD. itd. Dummy varijable (posljednjih 5) pokazuju koliko će se prosječno promijeniti cijena stana ako prelazite s jedne razine ove varijable na drugu. Tako, na primjer, ako je kuća zidana, onda je stan u njoj u prosjeku 3,104 USD. e. skuplji od istog u panel kući, a prisutnost telefona u stanu podiže njegovu cijenu u prosjeku za 1.493 USD. e., itd.
Na temelju -koeficijenata mogu se izvući sljedeći zaključci. Najveći -koeficijent od 0,514 je koeficijent za varijablu "ukupna površina", stoga se, prije svega, cijena stana formira pod utjecajem njegove ukupne površine. Sljedeći faktor po stupnju utjecaja na promjenu cijene stana je udaljenost od centra grada, zatim materijal od kojeg je kuća izgrađena, zatim površina kuhinje, itd. .
Stranica 1
Standardizirani regresijski koeficijenti pokazuju koliko će se sigmi promijeniti rezultat u prosjeku ako se odgovarajući faktor x promijeni za jednu sigmu, dok prosječna razina ostalih faktora ostane nepromijenjena. Zbog činjenice da su sve varijable postavljene kao centrirane i normalizirane, standardizirani koeficijenti renessa D međusobno su usporedivi. Uspoređujući ih međusobno, možete rangirati faktore prema snazi njihovog utjecaja na rezultat. To je glavna prednost standardiziranih regresnih koeficijenata, za razliku od čistih regresnih koeficijenata koji su međusobno neusporedivi.
Konzistentnost koeficijenata parcijalne korelacije i standardizirane regresije najjasnije se vidi iz usporedbe njihovih formula u dvofaktorskoj analizi.
Konzistentnost koeficijenata parcijalne korelacije i standardizirane regresije najjasnije se vidi iz usporedbe njihovih formula u dvofaktorskoj analizi.
Za određivanje vrijednosti procjena at standardiziranih regresijskih koeficijenata a (najčešće se koriste sljedeće metode za rješavanje sustava normalnih jednadžbi: metoda determinanti, metoda kvadratnog korijena i matrična metoda. U novije vrijeme matrična metoda ima naširoko se koristi za rješavanje problema regresijske analize. Ovdje razmatramo rješenje sustava normalnih jednadžbi metodom determinanti.
Drugim riječima, u dvofaktorskoj analizi, parcijalni koeficijenti korelacije su standardizirani regresijski koeficijenti pomnoženi kvadratnim korijenom omjera udjela rezidualnih varijanci fiksnog faktora prema faktoru i prema rezultatu.
Postoji još jedna mogućnost procjene uloge značajki grupiranja, njihove važnosti za klasifikaciju: na temelju standardiziranih koeficijenata regresije ili zasebnih koeficijenata determinacije (vidi pogl.
Kao što se vidi iz tablice. 18, komponente proučavanog sastava raspoređene su prema apsolutnoj vrijednosti regresijskih koeficijenata (b5) s njihovom kvadratnom greškom (sbz) u nizu od ugljičnog monoksida i organskih kiselina do aldehida i uljnih para. Pri izračunu standardiziranih regresijskih koeficijenata (p) pokazalo se da, uzimajući u obzir raspon fluktuacija koncentracija, u formiranju toksičnosti smjese u cjelini najviše dolaze do izražaja ketoni i ugljični monoksid, dok organske kiseline ostaju na trećem mjestu.
Uvjetno čisti regresijski koeficijenti bf su imenovani brojevi izraženi u različitim mjernim jedinicama i stoga su međusobno neusporedivi. Za njihovo pretvaranje u usporedive relativne pokazatelje primjenjuje se ista transformacija kao i za dobivanje koeficijenta korelacije para. Dobivena vrijednost naziva se standardizirani regresijski koeficijent ili - koeficijent.
Koeficijenti uvjetne-čiste regresije A; su imenovani brojevi, izraženi različitim mjernim jedinicama, pa su stoga međusobno neusporedivi. Za njihovo pretvaranje u usporedive relativne pokazatelje primjenjuje se ista transformacija kao i za dobivanje koeficijenta korelacije para. Dobivena vrijednost naziva se standardizirani regresijski koeficijent ili - koeficijent.
U procesu izrade standarda broja zaposlenih prikupljaju se početni podaci o broju zaposlenih rukovodećih kadrova i vrijednostima faktora za odabrana temeljna poduzeća. Zatim se odabiru značajni faktori za svaku funkciju na temelju korelacijske analize, na temelju vrijednosti korelacijskih koeficijenata. Odabiru se čimbenici s najvećom vrijednošću parnog koeficijenta korelacije s funkcijom i standardiziranim regresijskim koeficijentom.
Rezultati gornjih izračuna omogućuju sređivanje regresijskih koeficijenata koji odgovaraju ispitivanoj smjesi u opadajućem redoslijedu i na taj način kvantificiraju stupanj njihove opasnosti. Međutim, tako dobiveni regresijski koeficijent ne uzima u obzir raspon mogućih fluktuacija svake komponente u smjesi. Kao rezultat, produkti razgradnje s visokim regresijskim koeficijentima, ali fluktuirajući u malom rasponu koncentracija, mogu imati manji učinak na ukupni toksični učinak od sastojaka s relativno malim b, čiji sadržaj u smjesi varira u širem rasponu. Stoga se čini prikladnim izvršiti dodatnu operaciju - izračunavanje tzv. standardiziranih regresijskih koeficijenata p (J.
Stranice: 1
Vježbajte.
- Za zadani skup podataka izgradite model linearne višestruke regresije. Procijeniti točnost i primjerenost konstruirane regresijske jednadžbe.
- Dajte ekonomsku interpretaciju parametara modela.
- Izračunajte standardizirane koeficijente modela i napišite regresijsku jednadžbu u standardiziranom obliku. Je li točno da cijena robe ima veći utjecaj na opseg ponude robe nego plaće zaposlenika?
- Za dobiveni model (u prirodnom obliku) provjerite homoskedastičnost reziduala primjenom Goldfeld-Quandt testa.
- Provjerite dobiveni model na rezidualnu autokorelaciju pomoću Durbin-Watsonovog testa.
- Provjeriti je li pretpostavka o homogenosti izvornih podataka primjerena u regresijskom smislu. Je li moguće kombinirati dva uzorka (za prvih 8 i preostalih 8 opažanja) u jedan i uzeti u obzir jedan regresijski model Y na X?
1. Procjena regresijske jednadžbe. Definirajmo vektor procjena koeficijenata regresije korištenjem usluge Multiple Regression Equation. Prema metodi najmanjih kvadrata vektor s dobiva se iz izraza: s = (X T X) -1 X T Y
Matrica X
| 1 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 193.45 | 920 |
| 1 | 160.09 | 686 |
| 1 | 157.99 | 405 |
| 1 | 123.83 | 683 |
| 1 | 152.02 | 530 |
| 1 | 130.53 | 525 |
| 1 | 137.38 | 418 |
| 1 | 137.58 | 425 |
| 1 | 118.78 | 161 |
| 1 | 142.9 | 242 |
| 1 | 99.49 | 226 |
| 1 | 116.17 | 162 |
| 1 | 185.66 | 70 |
Matrica Y
| 4.07 |
| 4 |
| 2.98 |
| 2.2 |
| 2.83 |
| 3 |
| 2.35 |
| 2.04 |
| 1.97 |
| 1.02 |
| 1.44 |
| 1.22 |
| 1.11 |
| 0.82 |
XT matrica
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Množenje matrica, (X T X)
Nađite inverznu matricu (X T X) -1
| 2.25 | -0.0161 | 0.00037 |
| -0.0161 | 0.000132 | -7,0E-6 |
| 0.00037 | -7,0E-6 | 1.0E-6 |
Vektor procjena regresijskih koeficijenata jednak je
| Y(X) = |
| * |
| = |
|
Regresijska jednadžba (procjena regresijske jednadžbe)
Y = 0,18 + 0,00297X 1 + 0,00347X 2
2. Matrica uparenih koeficijenata korelacije R. Broj opažanja n = 14. Broj nezavisnih varijabli u modelu je 2, a broj regresora, uzimajući u obzir jedinični vektor, jednak je broju nepoznatih koeficijenata. Uzimajući u obzir predznak Y, dimenzija matrice postaje jednaka 4. Matrica nezavisnih varijabli X ima dimenziju (14 x 4).
Matrica sastavljena od Y i X
| 1 | 4.07 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 4 | 193.45 | 920 |
| 1 | 2.98 | 160.09 | 686 |
| 1 | 2.2 | 157.99 | 405 |
| 1 | 2.83 | 123.83 | 683 |
| 1 | 3 | 152.02 | 530 |
| 1 | 2.35 | 130.53 | 525 |
| 1 | 2.04 | 137.38 | 418 |
| 1 | 1.97 | 137.58 | 425 |
| 1 | 1.02 | 118.78 | 161 |
| 1 | 1.44 | 142.9 | 242 |
| 1 | 1.22 | 99.49 | 226 |
| 1 | 1.11 | 116.17 | 162 |
| 1 | 0.82 | 185.66 | 70 |
Transponirana matrica.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4.07 | 4 | 2.98 | 2.2 | 2.83 | 3 | 2.35 | 2.04 | 1.97 | 1.02 | 1.44 | 1.22 | 1.11 | 0.82 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
A T A matrica.
| 14 | 31.05 | 2038.81 | 6471 |
| 31.05 | 83.37 | 4737.04 | 18230.79 |
| 2038.81 | 4737.04 | 307155.61 | 995591.55 |
| 6471 | 18230.79 | 995591.55 | 4062413 |
Dobivena matrica ima sljedeću korespondenciju:
| ∑n | ∑y | ∑x1 | ∑x2 |
| ∑y | ∑y2 | ∑x1y | ∑x2y |
| ∑x1 | ∑yx 1 | ∑x 1 2 | ∑x2x1 |
| ∑x2 | ∑yx2 | ∑x1x2 | ∑x 2 2 |
Nađimo uparene koeficijente korelacije.
| Značajke x i y | ∑(x i ) | ∑(y i ) | ∑(x i y i ) | |||
| Za y i x 1 | 2038.81 | 145.629 | 31.05 | 2.218 | 4737.044 | 338.36 |
| Za y i x 2 | 6471 | 462.214 | 31.05 | 2.218 | 18230.79 | 1302.199 |
| Za x 1 i x 2 | 6471 | 462.214 | 2038.81 | 145.629 | 995591.55 | 71113.682 |
| Značajke x i y | ||||
| Za y i x 1 | 731.797 | 1.036 | 27.052 | 1.018 |
| Za y i x 2 | 76530.311 | 1.036 | 276.641 | 1.018 |
| Za x 1 i x 2 | 76530.311 | 731.797 | 276.641 | 27.052 |
Matrica uparenih korelacijskih koeficijenata R:
| - | g | x 1 | x 2 |
| g | 1 | 0.558 | 0.984 |
| x 1 | 0.558 | 1 | 0.508 |
| x 2 | 0.984 | 0.508 | 1 |
Za odabir najznačajnijih čimbenika x i, uzimaju se u obzir sljedeći uvjeti:
- odnos između efektivne značajke i faktora treba biti viši od međufaktorskog odnosa;
- odnos između faktora ne smije biti veći od 0,7. Ako matrica ima međufaktorski korelacijski koeficijent r xjxi > 0,7, tada postoji multikolinearnost u ovom modelu višestruke regresije.;
- s visokim međufaktorskim odnosom svojstva odabiru se čimbenici s nižim koeficijentom korelacije između njih.
U našem slučaju, svi parovi koeficijenata korelacije |r| Regresijski model na standardnoj ljestvici Regresijski model na standardnoj ljestvici pretpostavlja da se sve vrijednosti proučavanih značajki pretvaraju u standarde (standardizirane vrijednosti) pomoću formula:
gdje je x ji vrijednost varijable x ji u i-tom promatranju.
Stoga se podrijetlo svake standardizirane varijable kombinira s njezinom srednjom vrijednošću, a njezino standardno odstupanje uzima se kao jedinica promjene S.
Ako je odnos između varijabli na prirodnoj ljestvici linearan, tada promjena podrijetla i mjerne jedinice neće narušiti ovo svojstvo, tako da će standardizirane varijable biti povezane linearnim odnosom:
t y = ∑β j t xj
Za procjenu β-koeficijenata koristimo metodu najmanjih kvadrata. U tom će slučaju sustav normalnih jednadžbi imati oblik:
r x1y =β 1 +r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y =r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy =r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
Za naše podatke (uzimamo iz matrice uparenih korelacijskih koeficijenata):
0,558 = β 1 + 0,508 β 2
0,984 = 0,508β 1 + β 2
Ovaj sustav linearnih jednadžbi rješavamo Gaussovom metodom: β 1 = 0,0789; β2 = 0,944;
Standardizirani oblik regresijske jednadžbe je:
y 0 = 0,0789x1 + 0,944x2
β-koeficijenti dobiveni iz ovog sustava omogućuju određivanje vrijednosti koeficijenata u regresiji na prirodnoj ljestvici pomoću formula:
Standardizirani parcijalni regresijski koeficijenti. Standardizirani parcijalni regresijski koeficijenti - β-koeficijenti (β j) pokazuju za koji će se dio njegove standardne devijacije S (y) promijeniti predznak-rezultat g s promjenom odgovarajućeg faktora x j za vrijednost njegove standardne devijacije (S xj) uz isti utjecaj ostalih faktora (uključenih u jednadžbu).
Po maksimalnom β j može se procijeniti koji faktor ima najveći utjecaj na rezultat Y.
Prema koeficijentima elastičnosti i β-koeficijentima mogu se izvući suprotni zaključci. Razlozi za to su: a) varijacija jednog faktora je vrlo velika; b) višesmjerni utjecaj faktora na rezultat.
Koeficijent β j također se može tumačiti kao pokazatelj izravnog (neposrednog) utjecaja j-ti faktor (x j) na rezultat (y). U višestrukoj regresiji j Faktor th nema samo izravan, već i neizravan (neizravan) utjecaj na rezultat (tj. utjecaj preko drugih čimbenika modela).
Neizravni utjecaj mjeri se vrijednošću: ∑β i r xj,xi , gdje je m broj faktora u modelu. Potpuni učinak j-ti faktor na rezultat jednak zbroju izravnih i neizravnih utjecaja mjeri koeficijent korelacije linearnog para ovog faktora i rezultata - r xj,y .
Tako je za naš primjer izravan utjecaj faktora x 1 na rezultat Y u regresijskoj jednadžbi mjeren β j i iznosi 0,0789; neizravni (neizravni) utjecaj ovog čimbenika na rezultat definiran je kao:
r x1x2 β 2 = 0,508 * 0,944 = 0,4796
U ekonometriji se često koristi drugačiji pristup za određivanje parametara višestruke regresije (2.13) s isključenim koeficijentom:
Podijelite obje strane jednadžbe sa standardnim odstupanjem varijable koja se objašnjava S Y i predstaviti ga u obliku:
Podijelite i pomnožite svaki član sa standardnim odstupanjem odgovarajuće faktorijelne varijable da biste dobili standardizirane (centrirane i normalizirane) varijable:
gdje su nove varijable označene kao
.
Sve standardizirane varijable imaju srednju vrijednost nula i istu varijancu jedinicu.
Regresijska jednadžba u standardiziranom obliku je:
gdje 
- standardizirani regresijski koeficijenti.
Standardizirani regresijski koeficijenti 
različite od koeficijenata 
uobičajeni, prirodni oblik utoliko što njihova vrijednost ne ovisi o mjerilu mjerenja objašnjenih i eksplanatornih varijabli modela. Osim toga, između njih postoji jednostavan odnos:
, (3.2)
što daje drugi način za izračunavanje koeficijenata 
poznatim vrijednostima 
, što je prikladnije u slučaju, na primjer, dvofaktorskog regresijskog modela.
5.2. Normalni sustav jednadžbi najmanjih kvadrata u standardiziranom
varijable
Ispada da za izračun koeficijenata standardizirane regresije trebate znati samo parne koeficijente linearne korelacije. Da bismo pokazali kako se to radi, isključujemo nepoznanicu iz normalnog sustava jednadžbi najmanjih kvadrata 
pomoću prve jednadžbe. Množenje prve jednadžbe s ( 
) i zbrajajući član po član s drugom jednadžbom, dobivamo:
Zamjena izraza u zagradama s oznakom za varijancu i kovarijancu
Prepišimo drugu jednadžbu u obliku pogodnom za daljnje pojednostavljenje:
Podijelite obje strane ove jednadžbe sa standardnim odstupanjem varijabli S Y i ` S x 1 , a svaki izraz se dijeli i množi sa standardnom devijacijom varijable koja odgovara broju člana:
Uvođenje karakteristika linearnog statističkog odnosa:
i standardizirani koeficijenti regresije
,
dobivamo:
Nakon sličnih transformacija svih ostalih jednadžbi, normalni sustav linearnih LSM jednadžbi (2.12) poprima sljedeći, jednostavniji oblik:
(3.3)
5.3. Standardizirane regresijske opcije
Standardizirani regresijski koeficijenti u konkretnom slučaju modela s dva faktora određuju se iz sljedećeg sustava jednadžbi:
(3.4)
Rješavanjem ovog sustava jednadžbi nalazimo:
, (3.5)
. (3.6)
Zamjenom pronađenih vrijednosti koeficijenata korelacije para u jednadžbe (3.4) i (3.5), dobivamo 
i 
. Zatim je pomoću formula (3.2) lako izračunati procjene za koeficijente 
i 
, a zatim po potrebi izračunati procjenu 
prema formuli 
6. Mogućnosti ekonomske analize temeljene na višefaktorskom modelu
6.1. Standardizirani regresijski koeficijenti
Standardizirani regresijski koeficijenti pokazuju koliko standardnih devijacija 
varijabla koju treba objasniti promijenit će se u prosjeku Y ako odgovarajuća eksplanatorna varijabla x ja
promijenit će se po iznosu 
jednu od svojih standardnih devijacija uz zadržavanje istih vrijednosti prosječne razine svih ostalih faktora.
Zbog činjenice da su u standardiziranoj regresiji sve varijable dane kao centrirane i normalizirane slučajne varijable, koeficijenti 
međusobno usporedivi. Uspoređujući ih međusobno, možete rangirati odgovarajuće faktore x ja snagom utjecaja na varijablu koja se objašnjava Y. To je glavna prednost standardiziranih koeficijenata regresije od koeficijenata 
regresije u prirodnom obliku, koje su međusobno neusporedive.
Ova značajka standardiziranih regresijskih koeficijenata omogućuje korištenje pri izdvajanju najmanje značajnih čimbenika x ja s vrijednostima blizu nule njihovih procjena uzorka 
. Odluka o njihovom isključivanju iz modelske jednadžbe linearne regresije donosi se nakon testiranja statističke hipoteze o jednakosti njegove prosječne vrijednosti nuli.
Beta koeficijent od 0,074 (tablica 3.2.1) pokazuje da ako se realna plaća promijeni za vrijednost svoje standardne devijacije (σx1), tada će se koeficijent prirodnog priraštaja stanovništva promijeniti u prosjeku za 0,074 σu. Beta koeficijent jednak 0,02 pokazuje da ako se ukupna stopa brakova promijeni za vrijednost svoje standardne devijacije (za σx2), tada će se stopa prirodnog priraštaja stanovništva promijeniti u prosjeku za 0,02 σu. Slično tome, promjena broja zločina na 1000 ljudi za vrijednost njegove standardne devijacije (za σx3) dovest će do promjene rezultantskog predznaka za prosječno 0,366 σy, a promjena u unosu kvadratnih metara stambenog prostora prostora po osobi godišnje za vrijednost svoje standardne devijacije (po σx4) dovodi do promjene efektivne značajke u prosjeku za 1,32σu.
Koeficijent elastičnosti pokazuje koliko se posto u prosjeku mijenja y s promjenom predznaka za 1%. Iz analize niza dinamike poznato je da je vrijednost od 1% porasta efektivnog pokazatelja negativna, budući da je u svim jedinicama populacije prisutan prirodni pad populacije. Dakle, povećanje zapravo znači smanjenje gubitka. Dakle, negativni koeficijenti elastičnosti u ovom slučaju odražavaju činjenicu da će se s povećanjem svake karakteristike faktora za 1% koeficijent prirodnog odljeva smanjiti za odgovarajući broj postotaka. S povećanjem realnih plaća za 1%, stopa odljeva će se smanjiti za 0,219%, s povećanjem ukupne stope bračnosti za 1%, smanjit će se za 0,156%. Povećanje broja kaznenih djela na 1000 ljudi za 1% karakterizira smanjenje prirodnog pada stanovništva za 0,564. Naravno, to ne znači da je povećanjem kriminala moguće popraviti demografsku situaciju. Dobiveni rezultati pokazuju da što se više ljudi spasi na 1000 stanovnika, to više zločina pada na ovu tisuću. Povećanje ulaznih m2. stambenog prostora po osobi godišnje za 1% dovodi do smanjenja prirodnog gubitka za 0,482%
Analiza koeficijenata elastičnosti i beta koeficijenata pokazuje da najveći utjecaj na koeficijent prirodnog priraštaja stanovništva ima faktor puštenih u pogon četvornih metara stambenog prostora po stanovniku, jer odgovara najvećoj vrijednosti beta koeficijenta (1,32). No, to ne znači da su najveće mogućnosti promjene koeficijenta prirodnog priraštaja stanovništva povezane s promjenom ovog od razmatranih čimbenika. Dobiveni rezultat odražava činjenicu da potražnja na stambenom tržištu odgovara ponudi, odnosno što je veći prirodni prirast stanovništva, to je veća potreba te populacije za stanovanjem i što se više gradi.
Druga najveća beta (0,366) odgovara broju zločina na 1000 ljudi. Naravno, to ne znači da je povećanjem kriminala moguće popraviti demografsku situaciju. Dobiveni rezultati pokazuju da što se više ljudi spasi na 1000 stanovnika, to više zločina pada na ovu tisuću.
Najveće od preostalih obilježja, beta koeficijent (0,074), odgovara pokazatelju realne plaće. Najveće mogućnosti za promjenu koeficijenta prirodnog priraštaja stanovništva povezane su s promjenom ovog od razmatranih čimbenika. Pokazatelj opće stope bračnosti je u tom pogledu inferioran u odnosu na realne plaće zbog činjenice da je prirodni pad stanovništva u Rusiji prvenstveno posljedica visoke smrtnosti, čija se stopa rasta može smanjiti materijalnom potporom, a ne povećanje činjenica braka.
3.3 Kombinirano grupiranje oblasti prema realnim plaćama i ukupnoj stopi brakova
Kombinirano ili višedimenzionalno grupiranje je grupiranje temeljeno na dvije ili više karakteristika. Vrijednost ovog grupiranja leži u činjenici da pokazuje ne samo utjecaj svakog od faktora na rezultat, već i utjecaj njihove kombinacije.
Utvrdimo učinak realnih plaća i ukupne stope brakova na stopu nataliteta na 1000 ljudi.
Izdvajamo tipične skupine prema navedenim značajkama. Da bismo to učinili, izgradit ćemo i analizirati rangirane i intervalne serije na faktorskoj osnovi (vrijednost plaće), odrediti broj grupa i veličinu intervala; zatim ćemo unutar svake grupe izgraditi rangiranu i intervalnu seriju prema drugom predznaku (stopa brakova) te postaviti broj grupa i interval. Postupak izvođenja ovog rada prikazan je u poglavlju 2, stoga, izostavljajući proračune, donosimo rezultate. Za vrijednost realnih plaća razlikuju se 3 tipične skupine, za ukupnu stopu braka - 2 skupine.
Napravit ćemo izgled kombinirane tablice u kojoj ćemo predvidjeti podjelu stanovništva na skupine i podskupine, te kolone za evidentiranje broja regija i nataliteta na 1000 stanovnika stanovništva. Za odabrane skupine i podskupine izračunavamo stope nataliteta (tablica 3.3.1.)
Tablica 3.3.1
Utjecaj realnih plaća i ukupne stope bračnosti na stopu nataliteta.
Analizirajmo dobivene podatke o ovisnosti nataliteta o realnim plaćama i stopi bračnosti. Budući da se proučava jedan znak - natalitet, podatke o njemu upisat ćemo u tablicu šahovske kombinacije sljedećeg oblika (tablica 3.3.2.)
Kombinirano grupiranje omogućuje procjenu stupnja utjecaja na natalitet svakog čimbenika zasebno i njihove interakcije.
Tablica 3.3.2
Ovisnost nataliteta o realnim plaćama i stopi bračnosti
Proučimo najprije učinak na natalitet vrijednosti realnih plaća s fiksnom vrijednošću drugog grupirajućeg obilježja - stope braka. Dakle, uz stopu bračnosti od 13,2 do 25,625, prosječna stopa nataliteta raste s porastom plaća s 9,04 u I. skupini na 9,16 u II. skupini i 9,56 u III. porast nataliteta od plaća u 3. skupini u odnosu na 1. iznosi: 9,56-9,04 = 0,52 ljudi na 1000 stanovnika. Uz stopu braka od 25,625-38,05, povećanje od istog iznosa plaća je: 10,27-9,49 = 0,78 ljudi na 1000 stanovnika. Povećanje od interakcije faktora je: 0,78-0,52=0,26 ljudi na 1000 stanovnika. Iz toga proizlazi potpuno prirodan zaključak: povećanje blagostanja motivira, odnosno omogućuje, s povjerenjem u budućnost, ostvariti želju osobe da se uda i stvori obitelj s djecom. Ovo pokazuje interakciju faktora.
Na isti način procjenjujemo utjecaj na natalitet stope bračnosti pri fiksnoj razini plaća. Da bismo to učinili, uspoređujemo stopu nataliteta za skupine "a" i "b" unutar svake skupine u smislu realnih plaća. Povećanje stope nataliteta s povećanjem stope braka na 25,625-38,05 na 1000 stanovnika u usporedbi sa skupinom "a" je: u 1. skupini s plaćom od 5707,9 - 6808,7 rubalja. mjesečno - 9,49-9,04 \u003d 0,45 ljudi na 1000 stanovnika, u 2. skupini - 10,01-9,16 \u003d 0,85 ljudi na 1000 stanovnika iu 3. skupini - 10,27- 9,56=0,71 ljudi na 1000 stanovnika. Kao što vidite, odluka o rađanju djeteta ovisi o bračnom statusu, tj. postoji međudjelovanje faktora, što daje povećanje od 0,26 ljudi na 1000 stanovnika.
Zajedničkim porastom oba faktora stopa nataliteta raste s 9,04 u podskupini 1 "a" na 10,27 osoba na 1000 stanovnika u podskupini 3 "b".
Predstavnici Ekonomske komisije Ujedinjenih naroda za Europu nedavno su objavili da se dob za prvi brak u europskim zemljama povećala za pet godina. Momci i djevojke radije se žene i udaju nakon 30. Rusi se ne usuđuju vezati čvor prije 24-26 godina. Također zajednički za Europu i Rusiju postao je trend smanjenja broja bračnih zajednica. Mladi sve više preferiraju karijeru i osobnu slobodu. Domaći stručnjaci te procese vide kao znake duboke krize tradicionalne obitelji. Po njihovom mišljenju, ona doslovno živi svoje posljednje dane. Sociolozi tvrde da privatni život sada prolazi kroz razdoblje restrukturiranja. Obitelj u uobičajenom smislu te riječi, koja živi po shemi "mama-tata-djeca", postupno postaje prošlost. U privatnom životu Rusi sve više eksperimentiraju, izmišljaju sve nove i nove oblike obitelji koji bi odgovarali zahtjevima vremena. "Sada osoba češće mijenja poslove, profesije, interese i mjesto stanovanja", rekao je Anatolij Višnjevski, direktor Centra za humanu demografiju i ekologiju za Novye Izvestia. "Također često mijenja supružnike, što se smatralo nedopustivim prije 20 godina. .”
Sociolozi primjećuju da je jedan od razloga rasta razvoda u Rusiji nizak životni standard stanovništva. "Prema statistikama, u Rusiji ima oko 10-15% više razvoda nego u Europi", rekao je gospodin Gontmakher (znanstveni direktor Centra za društvena istraživanja i inovacije) za NI. - Ali razlozi razvoda su različiti za nas i za njih. Naša superiornost je uglavnom diktirana činjenicom da ekonomski problemi sve više utječu na živote Rusa. Supružnici se češće svađaju ako imaju skučene životne uvjete. Mladi ne uspijevaju uvijek živjeti samostalno. Osim toga, u regijama mnogi muškarci piju, ne rade i ne mogu osigurati svoju obitelj. To također dovodi do razvoda.
Zaključak
U radu je provedena statistička i ekonomska analiza utjecaja životnog standarda stanovništva na procese prirodnog priraštaja.
Analiza vremenske serije pokazala je da je u posljednjih 10 godina došlo do rasta realnih plaća i egzistencijalnog minimuma. Općenito, tijekom ovih 10 godina, efektivni predznak - koeficijent prirodnog prirasta - je stacionaran. Stabilnost novonastalih procesa promjena odabranih obilježja takva je da je predviđanje moguće samo za vrijednost realnih plaća i stopu mortaliteta. Prema paraboličnom trendu izgrađenom do 2010. godine, prognozirana vrijednost prosječne realne plaće bit će 17.473,5 rubalja, a stopa smrtnosti smanjit će se na 12,75 ljudi na 1000.
Analitičko grupiranje pokazalo je izravnu povezanost pokazatelja: s rastom plaća poboljšavaju se pokazatelji prirodnog prirasta.
Međutim, obitelj od dvoje radnika s prosječnom plaćom može osigurati minimalnu razinu potrošnje za 2 djece u najnižoj tipičnoj skupini, 3 djece u srednjoj i najvišoj tipičnoj skupini. S obzirom na to da dvoje djece “zamjenjuju” živote svojih roditelja u budućnosti, blagi porast stanovništva moguć je samo u srednjim i najvišim tipičnim skupinama, i to samo pod uvjetom niske stope mortaliteta u odnosu na stopu nataliteta. Potencijal za natalitet, koji nose plaće u Rusiji, je nizak za poboljšanje demografske situacije u zemlji. To samo otkriva potrebu za uvođenjem demografskog nacionalnog projekta u Rusiji. Povećanje plaća povoljnije utječe na stopu mortaliteta nego na stopu nataliteta.
Konstrukcija korelacijsko-regresijskog modela otkrila je da se istodobni utjecaj faktorskih znakova (plaće, stope braka, stope kriminala i puštanje u rad) na produktivnost (prirodni prirast) promatra s prosječnom snagom veze. Variranje koeficijenta prirodnog priraštaja stanovništva za 44,9% karakterizirano je utjecajem odabranih čimbenika, a 55,1% drugim neuračunatim i slučajnim uzrocima. Najveće mogućnosti promjene koeficijenta prirodnog priraštaja stanovništva povezane su s promjenom vrijednosti realnih plaća.
Kombinirana skupina potvrdila je da povećanje bogatstva motivira, odnosno omogućuje, s povjerenjem u budućnost, da se ostvari želja osobe da se oženi i stvori obitelj s djecom.
I na kraju, potrebno je ocijeniti učinkovitost rješavanja problema demografije u našoj zemlji. Općenito, dokazan je pozitivan i učinkovit utjecaj materijalnih poticaja na proces prirodnog kretanja stanovništva. Druga stvar je da postoji kompleks socio-psiholoških problema (alkoholizam, nasilje, suicid), koji neumitno smanjuju brojnost naše populacije. Njihov glavni razlog je odnos osobe prema sebi i drugima. Ali te probleme ne može riješiti sama država, u problemu izumiranja mora si priskočiti u pomoć civilno društvo, formirajući moralne vrijednosti usmjerene na stvaranje prosperitetne obitelji.
A država može i treba učiniti sve da podigne razinu i kvalitetu života u zemlji. Ne može se reći da naša država zanemaruje ove dužnosti. Daje sve od sebe da pronađe i isproba razne načine izlaska iz demografske krize.
Popis korištene literature
1) Borisov E.F. Ekonomska teorija: udžbenik - 2. izd., revidirano. i dodatni - M .: TK Velby, Izdavačka kuća Prospekt, 2005. - 544 str.
2) Belousova S. analiza razine siromaštva.// Economist.-2006, br. 10.-p.67
3) Davydova L. A. Teorija statistike. Tutorial. Moskva. avenija. 2005. 155 str.;
4) Demografija: Udžbenik / Pod opć. izd. NA. Volgin. M.: Izdavačka kuća RAGS-a, 2003. - 384 str.
5) Efimova E. P. Socijalna statistika. Moskva. Financije i statistika. 2003. 559 str.;
6) Efimova E.P., Rjabcev V.M. Opća teorija statistike. Edukativno izdanje. Moskva. Financije i statistika. 1991. 304 str.;
7) Zinchenko A.P. Radionica iz opće teorije statistike i statistike poljoprivrede. Moskva. Financije i statistika. 1988. 328 str.;
8) Kadomtseva S. Socijalna politika i stanovništvo.// Economist.-2006, br. 7.-p.49
9) Kozyrev V.M. Osnove suvremene ekonomije: Udžbenik. -2. izdanje, revidirano. i dodatni –M.: Financije i statistika, 2001.-432s.
10) Konygina N. Brintseva G. Demograf Anatoly Vishnevsky o tome što Rusa tjera da bira između djece i udobnosti. 7
11) Nazarova N.G. Tečaj socijalne statistike. Moskva. Finstatinform. 2000. 770 str.;
13) Osnove demografije: Udžbenik / N.V. Zvereva, I.N. Veselkova, V.V. Elizarov.-M.: Viši. Shk., 2004.-374 str.: ilustr.
14) Obraćanje predsjednika Ruske Federacije Saveznoj skupštini Ruske Federacije od 26. travnja 2007.
15) Raisberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B. Moderni ekonomski rječnik. –4. izd., revidirano. i dodatni -M.: INFRA-M, 2005.-480s.
16) Rudakova R.P., Bukin L.L., Gavrilov V.I. Radionica o statistici. - St. Petersburg: Peter, 2007.-288str.
17) Web stranica Savezne službe za statistiku www.gks.ru
18) Shaikin D.N. Prospektivna procjena stanovništva Rusije u srednjoročnom razdoblju.// Pitanja statistike.-2007, br. 4 -str.47
REZULTAT (KLJUČ ZA ČIPOVE)
1-prosječna mjesečna nominalna plaća u 2006. (u rubljima)
2-indeksi potrošačkih cijena svih vrsta roba i usluga uz naplatu u 2006. u postotku prema prosincu prošle godine
3- prosječne mjesečne realne plaće u 2006. (u rubljama)
4 - broj stanovnika početkom 2006. godine
5 - broj stanovnika krajem 2006. godine
6 - prosječan godišnji broj stanovnika 2006. godine
7 - broj rođenih u 2006. godini, ljudi
8 - broj umrlih u 2006. godini, ljudi
9 - natalitet u 2006. godini na 1000 stanovnika
10 - stopa mortaliteta u 2006. godini na 1000 stanovnika
11 - koeficijent prirodnog priraštaja u 2006. godini na 1000 stanovnika
12 - vrijednost egzistencijalnog minimuma za 2006. (u rubljima)
13 - broj počinjenih kaznenih djela na 1000 ljudi stanovništva
14 - puštanje u rad četvornih metara stambenog prostora po osobi godišnje
15 - ukupna stopa brakova na 1000 stanovnika
Prilog 1
Stol
Realne plaće, rub.
Prilog 2
Egzistencijalni minimum, rub.
Prilog 3
