Apsolutne i relativne pogreške mjerenja. Apsolutna pogreška mjerenja

Greška mjerenja- procjena odstupanja izmjerene vrijednosti veličine od njezine prave vrijednosti. Mjerna pogreška je karakteristika (mjerilo) točnosti mjerenja.

Kako je nemoguće s apsolutnom točnošću saznati pravu vrijednost bilo koje veličine, tako je nemoguće i naznačiti veličinu odstupanja izmjerene vrijednosti od prave. (Ovo odstupanje obično se naziva pogreška mjerenja. U nizu izvora, na primjer, u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, pojmovi greška mjerenja i greška mjerenja koriste se kao sinonimi, ali prema RMG 29-99 termin greška mjerenja ne preporučuje se kao manje uspješan). Moguće je samo procijeniti veličinu tog odstupanja, primjerice, pomoću statističkih metoda. U praksi umjesto prave vrijednosti koristimo stvarna vrijednost x d, odnosno eksperimentalno dobivena vrijednost fizikalne veličine koja je toliko blizu stvarne vrijednosti da se umjesto nje može koristiti u postavljenom mjernom zadatku. Takva se vrijednost obično izračunava kao prosječna vrijednost dobivena statističkom obradom rezultata niza mjerenja. Ova dobivena vrijednost nije točna, već samo najvjerojatnija. Stoga je u mjerenjima potrebno naznačiti kolika je njihova točnost. Da biste to učinili, uz dobiveni rezultat, naznačena je pogreška mjerenja. Na primjer, unos T=2,8±0,1 c. znači da je prava vrijednost količine T leži u intervalu od 2,7 s prije 2,9 s s nekom određenom vjerojatnošću

Godine 2004. na međunarodnoj razini donesen je novi dokument koji diktira uvjete za provođenje mjerenja i uspostavlja nova pravila za usporedbu državnih etalona. Koncept "pogreške" je zastario, umjesto njega uveden je koncept "mjerne nesigurnosti", međutim, GOST R 50.2.038-2004 dopušta korištenje pojma greška za dokumente koji se koriste u Rusiji.

Postoje sljedeće vrste grešaka:

Apsolutna greška

Relativna greška

smanjena pogreška;

Glavna greška

Dodatna greška

· sustavna pogreška;

Slučajna pogreška

Instrumentalna greška

· metodička pogreška;

· osobna pogreška;

· statička pogreška;

dinamička greška.

Pogreške mjerenja klasificiraju se prema sljedećim kriterijima.

· Prema načinu matematičkog izražavanja pogreške se dijele na apsolutne pogreške i relativne pogreške.

· Prema interakciji promjena vremena i ulazne vrijednosti, pogreške se dijele na statičke pogreške i dinamičke pogreške.

Po prirodi nastanka pogreške se dijele na sustavne pogreške i slučajne pogreške.

· Prema prirodi ovisnosti pogreške o utjecajnim veličinama pogreške se dijele na osnovne i dodatne.

· Prema prirodi ovisnosti pogreške o ulaznoj vrijednosti, pogreške se dijele na aditivne i multiplikativne.

Apsolutna pogreška je vrijednost izračunata kao razlika između vrijednosti veličine dobivene tijekom procesa mjerenja i stvarne (stvarne) vrijednosti dane veličine. Apsolutna pogreška izračunava se pomoću sljedeće formule:

AQ n = Q n /Q 0 , gdje je AQ n apsolutna pogreška; Qn- vrijednost određene veličine dobivena u procesu mjerenja; Q0- vrijednost iste količine, uzeta kao baza za usporedbu (stvarna vrijednost).

Apsolutna pogreška mjerenja je vrijednost izračunata kao razlika između broja, koji je nazivna vrijednost mjere, i stvarne (stvarne) vrijednosti količine reproducirane mjerom.

Relativna greška je broj koji odražava stupanj točnosti mjerenja. Relativna pogreška izračunava se pomoću sljedeće formule:

Gdje je ∆Q apsolutna pogreška; Q0 je stvarna (stvarna) vrijednost mjerene veličine. Relativna greška se izražava u postocima.

Smanjena pogreška je vrijednost izračunata kao omjer vrijednosti apsolutne pogreške i vrijednosti normalizacije.

Vrijednost normalizacije definirana je na sljedeći način:

Za mjerila za koje je odobrena nazivna vrijednost, ta se nazivna vrijednost uzima kao normirana vrijednost;

· za mjerila, kod kojih se nulta vrijednost nalazi na rubu mjerne ljestvice ili izvan ljestvice, normalizirajuća vrijednost se uzima jednako konačnoj vrijednosti iz mjernog područja. Izuzetak su mjerni instrumenti s izrazito neujednačenom mjernom skalom;

· za mjerne instrumente, u kojima se nulta oznaka nalazi unutar mjernog raspona, vrijednost normalizacije uzima se jednaka zbroju konačnih numeričkih vrijednosti mjernog raspona;

Za mjerne instrumente (mjerne instrumente) s neujednačenom ljestvicom, normalizirajuća vrijednost se uzima jednakom cijeloj duljini mjerne ljestvice ili duljini onog njezina dijela koji odgovara mjernom području. Tada se apsolutna pogreška izražava u jedinicama duljine.

Pogreška mjerenja uključuje instrumentalnu pogrešku, metodološku pogrešku i pogrešku očitanja. Štoviše, pogreška očitanja nastaje zbog netočnosti u određivanju udjela podjele mjerne ljestvice.

Instrumentalna greška- ovo je pogreška koja nastaje zbog pogrešaka učinjenih u procesu proizvodnje funkcionalnih dijelova instrumenata za mjerenje pogreške.

Metodološka greška je pogreška zbog sljedećih razloga:

· netočnost u izgradnji modela fizikalnog procesa na kojem se temelji mjerni instrument;

Neispravna uporaba mjernih instrumenata.

Subjektivna greška- radi se o pogrešci koja nastaje zbog niske osposobljenosti rukovatelja mjerilom, kao i zbog pogreške organa vida čovjeka, odnosno ljudski faktor je uzrok subjektivne pogreške.

Pogreške u interakciji promjena vremena i ulazne veličine dijele se na statičke i dinamičke pogreške.

Statička greška- ovo je pogreška koja se javlja u procesu mjerenja konstantne (nepromjenjive u vremenu) vrijednosti.

Dinamička pogreška- to je pogreška čija se numerička vrijednost izračunava kao razlika između pogreške koja se javlja pri mjerenju nekonstantne (vremenski promjenjive) veličine i statičke pogreške (pogreška u vrijednosti mjerene veličine pri određeni trenutak u vremenu).

Prema karakteru ovisnosti pogreške o utjecajnim veličinama pogreške se dijele na osnovne i dodatne.

Osnovna pogreška je pogreška dobivena u normalnim radnim uvjetima mjernog instrumenta (pri normalnim vrijednostima utjecajnih veličina).

Dodatna greška je pogreška koja nastaje kada vrijednosti utjecajnih veličina ne odgovaraju svojim normalnim vrijednostima ili ako utjecajna veličina izlazi izvan granica područja normalnih vrijednosti.

Normalni uvjeti su uvjeti pod kojima su sve vrijednosti utjecajnih veličina normalne ili ne izlaze izvan granica raspona normalnih vrijednosti.

Radni uvjeti- to su uvjeti u kojima promjena utjecajnih veličina ima širi raspon (vrijednosti utjecajnih ne izlaze izvan granica radnog raspona vrijednosti).

Radni raspon vrijednosti utjecajne veličine je raspon vrijednosti u kojem su vrijednosti dodatne pogreške normalizirane.

Prema prirodi ovisnosti pogreške o ulaznoj vrijednosti, pogreške se dijele na aditivne i multiplikativne.

Dodatna pogreška- ovo je pogreška koja se javlja zbog zbrajanja numeričkih vrijednosti i ne ovisi o vrijednosti izmjerene veličine, uzete modulo (apsolutno).

Multiplikacijska pogreška- ovo je greška koja se mijenja zajedno s promjenom vrijednosti veličine koja se mjeri.

Treba napomenuti da vrijednost apsolutne aditivne pogreške nije povezana s vrijednošću mjerene veličine i osjetljivošću mjernog instrumenta. Apsolutne aditivne pogreške nepromijenjene su u cijelom mjernom rasponu.

Vrijednost apsolutne aditivne pogreške određuje najmanju vrijednost veličine koju je moguće izmjeriti mjernim instrumentom.

Vrijednosti multiplikativnih pogrešaka mijenjaju se proporcionalno promjenama vrijednosti mjerene veličine. Vrijednosti multiplikativnih pogrešaka također su proporcionalne osjetljivosti mjernog instrumenta.Multiplikacijska pogreška nastaje zbog utjecaja utjecajnih veličina na parametarske karakteristike elemenata instrumenta.

Pogreške koje se mogu pojaviti tijekom procesa mjerenja klasificiraju se prema prirodi njihove pojave. Dodijeliti:

sustavne pogreške;

slučajne greške.

U procesu mjerenja također se mogu pojaviti velike pogreške i propusti.

Sustavna pogreška- ovo je sastavni dio cjelokupne pogreške mjernog rezultata, koja se ne mijenja ili se prirodno mijenja ponovnim mjerenjem iste vrijednosti. Obično se sustavna pogreška pokušava otkloniti mogućim sredstvima (primjerice korištenjem mjernih metoda koje smanjuju vjerojatnost njezina nastanka), no ako se sustavna pogreška ne može isključiti, tada se ona izračunava prije početka mjerenja i odgovarajuće vrše se korekcije rezultata mjerenja. U procesu normalizacije sustavne pogreške određuju se granice njezinih dopuštenih vrijednosti. Sustavna pogreška određuje ispravnost mjerenja mjernih instrumenata (metrološko svojstvo). Sustavne pogreške u nekim se slučajevima mogu odrediti eksperimentalno. Rezultat mjerenja tada se može poboljšati uvođenjem korekcije.

Metode za otklanjanje sustavnih grešaka podijeljene su u četiri vrste:

otklanjanje uzroka i izvora pogrešaka prije početka mjerenja;

· Otklanjanje grešaka u procesu već započetog mjerenja metodama supstitucije, kompenzacije grešaka u predznaku, opozicija, simetričnih promatranja;

Korekcija rezultata mjerenja dopunom (otklanjanje grešaka proračunima);

Određivanje granica sustavne pogreške u slučaju da se ne može otkloniti.

Otklanjanje uzroka i izvora grešaka prije početka mjerenja. Ova metoda je najbolja opcija jer se njenom upotrebom pojednostavljuje daljnji tijek mjerenja (nema potrebe otklanjati greške u procesu već započetog mjerenja ili mijenjati dobiveni rezultat).

Za otklanjanje sustavnih grešaka u procesu već započetog mjerenja koriste se različite metode.

Metoda izmjene i dopune temelji se na poznavanju sustavne pogreške i trenutnih obrazaca njezine promjene. Kada se koristi ova metoda, rezultat mjerenja dobiven sa sustavnim pogreškama podliježe korekcijama koje su po veličini jednake tim pogreškama, ali suprotnog predznaka.

metoda supstitucije sastoji se u tome da se izmjerena veličina zamijeni mjerom postavljenom u iste uvjete u kojima se nalazio predmet mjerenja. Metoda supstitucije koristi se pri mjerenju sljedećih električnih parametara: otpora, kapaciteta i induktiviteta.

Metoda kompenzacije pogreške predznaka sastoji se u tome da se mjerenja provode dva puta na način da se pogreška nepoznate veličine uključi u rezultate mjerenja sa suprotnim predznakom.

Kontrastna metoda slično kompenzaciji temeljenoj na predznaku. Ova se metoda sastoji u tome da se mjerenja izvode dva puta na način da izvor pogreške u prvom mjerenju ima suprotan učinak na rezultat drugog mjerenja.

slučajna greška- ovo je komponenta pogreške mjernog rezultata, koja se mijenja slučajno, nepravilno kada se ponavljaju mjerenja iste vrijednosti. Pojava slučajne pogreške ne može se predvidjeti i predvidjeti. Slučajna pogreška se ne može u potpunosti eliminirati; ona uvijek u određenoj mjeri iskrivljuje konačne rezultate mjerenja. Ali rezultat mjerenja možete učiniti preciznijim ponavljanjem mjerenja. Uzrok slučajne pogreške može biti, na primjer, slučajna promjena vanjskih čimbenika koji utječu na proces mjerenja. Slučajna pogreška tijekom višestrukih mjerenja s dovoljno visokim stupnjem točnosti dovodi do rasipanja rezultata.

Promašaji i greške su pogreške koje su mnogo veće od sustavnih i slučajnih pogrešaka koje se očekuju u danim uvjetima mjerenja. Iskliznuća i velike pogreške mogu se pojaviti zbog velikih pogrešaka u procesu mjerenja, tehničke neispravnosti mjerila i neočekivanih promjena vanjskih uvjeta.

Neka neka slučajna varijabla a izmjereno n puta pod istim uvjetima. Rezultati mjerenja dali su skup n razni brojevi

Apsolutna pogreška- dimenzionalna vrijednost. Među n vrijednosti apsolutnih pogrešaka nužno zadovoljavaju i pozitivne i negativne.

Za najvjerojatnije vrijednosti količine a obično uzimaju prosjek značenje rezultata mjerenja

.

Što je veći broj mjerenja, to je srednja vrijednost bliža stvarnoj vrijednosti.

Apsolutna pogreškai

.

Relativna greškai ta se dimenzija naziva kvantitetom

Relativna greška je bezdimenzijska veličina. Obično se za to relativna pogreška izražava u postocima e i pomnožite sa 100%. Vrijednost relativne pogreške karakterizira točnost mjerenja.

Prosječna apsolutna greška definira se ovako:

.

Naglašavamo potrebu zbrajanja apsolutnih vrijednosti (modula) veličina D i ja . U protivnom će se dobiti identičan nulti rezultat.

Prosječna relativna pogreška naziva se količina

.

Za veliki broj mjerenja.

Relativnom pogreškom se može smatrati vrijednost pogreške po jedinici mjerene veličine.

Točnost mjerenja prosuđuje se na temelju usporedbe pogrešaka rezultata mjerenja. Stoga se pogreške mjerenja izražavaju u takvom obliku da bi za ocjenu točnosti bilo dovoljno usporediti samo pogreške rezultata, bez usporedbe veličina mjernih objekata ili vrlo približnog poznavanja tih veličina. Iz prakse je poznato da apsolutna pogreška mjerenja kuta ne ovisi o vrijednosti kuta, a apsolutna pogreška mjerenja duljine ovisi o vrijednosti duljine. Što je veća vrijednost duljine, veća je apsolutna pogreška za ovu metodu i uvjete mjerenja. Dakle, prema apsolutnoj pogrešci rezultata moguće je prosuditi točnost mjerenja kuta, ali je nemoguće prosuditi točnost mjerenja duljine. Izraz pogreške u relativnom obliku omogućuje usporedbu, u određenim slučajevima, točnosti kutnih i linearnih mjerenja.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Slučajna pogreška.

Slučajna pogreška naziva se komponenta pogreške mjerenja, koja se nasumično mijenja s ponavljanjem mjerenja iste veličine.

Kada se opetovana mjerenja iste konstantne, nepromjenjive veličine provode s istom pažnjom i pod istim uvjetima, dobivamo rezultate mjerenja - neki se međusobno razlikuju, a neki podudaraju. Takva odstupanja u rezultatima mjerenja ukazuju na prisutnost komponenti slučajne pogreške u njima.

Slučajna pogreška proizlazi iz istovremenog djelovanja više izvora, od kojih svaki za sebe ima neprimjetan učinak na rezultat mjerenja, ali ukupni učinak svih izvora može biti prilično jak.

Slučajne pogreške su neizbježna posljedica svakog mjerenja i uzrokovane su:

a) netočna očitanja na ljestvici instrumenata i instrumenata;

b) neidentični uvjeti za ponovljena mjerenja;

c) slučajne promjene vanjskih uvjeta (temperatura, tlak, polje sila itd.) koje se ne mogu kontrolirati;

d) svi ostali utjecaji na mjerenja, čiji su nam uzroci nepoznati. Veličina slučajne pogreške može se minimizirati ponovljenim ponavljanjem pokusa i odgovarajućom matematičkom obradom rezultata.

Slučajna pogreška može poprimiti različite apsolutne vrijednosti, koje se ne mogu predvidjeti za dani mjerni čin. Ova pogreška može biti i pozitivna i negativna. U eksperimentu su uvijek prisutne slučajne pogreške. U nedostatku sustavnih pogrešaka, one uzrokuju raspršivanje ponovljenih mjerenja oko prave vrijednosti.

Pretpostavimo da uz pomoć štoperice mjerimo period titranja njihala, a mjerenje ponavljamo mnogo puta. Pogreške u pokretanju i zaustavljanju štoperice, pogreška u referentnoj vrijednosti, malo neravnomjerno kretanje njihala - sve to uzrokuje raspršivanje rezultata ponovljenih mjerenja i stoga se može klasificirati kao slučajne pogreške.

Ako nema drugih pogrešaka, tada će neki rezultati biti donekle precijenjeni, dok će drugi biti malo podcijenjeni. Ali ako uz to još i sat zaostane, onda će svi rezultati biti podcijenjeni. To je već sustavna greška.

Neki čimbenici mogu uzrokovati i sustavne i slučajne pogreške u isto vrijeme. Dakle, paljenjem i gašenjem štoperice možemo stvoriti mali nepravilan raspon u trenucima pokretanja i zaustavljanja sata u odnosu na kretanje njihala i time unijeti slučajnu pogrešku. Ali ako, osim toga, svaki put kada požurimo uključiti štopericu i malo kasnimo s isključivanjem, tada će to dovesti do sustavne pogreške.

Slučajne pogreške uzrokovane su pogreškom paralakse pri očitavanju podjela skale instrumenta, podrhtavanjem temelja zgrade, utjecajem laganog kretanja zraka itd.

Iako je nemoguće isključiti slučajne pogreške pojedinačnih mjerenja, matematička teorija slučajnih pojava omogućuje smanjenje utjecaja tih pogrešaka na konačni rezultat mjerenja. U nastavku će se pokazati da je za to potrebno napraviti ne jedno, već više mjerenja, a što je manja vrijednost greške koju želimo dobiti, potrebno je izvršiti više mjerenja.

Zbog činjenice da je pojava slučajnih pogrešaka neizbježna i neizbježna, glavni zadatak svakog mjernog procesa je svesti pogreške na najmanju moguću mjeru.

Teorija pogrešaka temelji se na dvije glavne pretpostavke, potvrđene iskustvom:

1. Kod velikog broja mjerenja česte su slučajne pogreške iste veličine, ali različitog predznaka, tj. pogreške u smjeru povećanja i smanjenja rezultata.

2. Velike apsolutne pogreške su rjeđe od malih, tako da se vjerojatnost pogreške smanjuje kako njezina vrijednost raste.

Ponašanje slučajnih varijabli opisuje se statističkim pravilnostima, koje su predmet teorije vjerojatnosti. Statistička definicija vjerojatnosti w i razvoja događaja i je stav

gdje n- ukupan broj eksperimenata, n i- broj eksperimenata u kojima je događaj i dogodilo se. U tom slučaju, ukupan broj eksperimenata trebao bi biti vrlo velik ( n®¥). Kod velikog broja mjerenja, slučajne pogreške podliježu normalnoj distribuciji (Gaussova distribucija), čije su glavne značajke sljedeće:

1. Što je veće odstupanje vrijednosti izmjerene vrijednosti od prave vrijednosti, manja je vjerojatnost takvog rezultata.

2. Odstupanja u oba smjera od prave vrijednosti jednako su vjerojatna.

Iz navedenih pretpostavki proizlazi da je za smanjenje utjecaja slučajnih pogrešaka ovu veličinu potrebno mjeriti nekoliko puta. Pretpostavimo da mjerimo neku vrijednost x. Neka se proizvodi n mjerenja: x 1, x 2, ... x n- istom metodom i s istom pažnjom. Može se očekivati ​​da broj dn dobiveni rezultati, koji leže u prilično uskom intervalu od x prije x + dx, treba biti proporcionalan:

Vrijednost uzetog intervala dx;

Ukupan broj mjerenja n.

Vjerojatnost dw(x) da neka vrijednost x leži u intervalu od x prije x+dx, definiran na sljedeći način :

(sa brojem mjerenja n ®¥).

Funkcija f(x) naziva se funkcija distribucije ili gustoća vjerojatnosti.

Kao postulat teorije pogrešaka pretpostavlja se da se rezultati izravnih mjerenja i njihove slučajne pogreške, s velikim brojem njih, pokoravaju zakonu normalne raspodjele.

Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable koju je pronašao Gauss x ima sljedeći oblik:

, gdje mis - parametri distribucije .

Parametar m normalne distribucije jednak je srednjoj vrijednosti á x– slučajna varijabla, koja je za proizvoljno poznatu funkciju raspodjele određena integralom

.

Na ovaj način, vrijednost m je najvjerojatnija vrijednost mjerene veličine x, tj. njezina najbolja procjena.

Parametar s 2 normalne distribucije jednak je varijanci D slučajne varijable, koja je općenito određena sljedećim integralom

.

Kvadratni korijen varijance naziva se standardna devijacija slučajne varijable.

Srednje odstupanje (pogreška) slučajne varijable ásñ određuje se pomoću funkcije distribucije kako slijedi

Prosječna pogreška mjerenja ásñ izračunata iz Gaussove funkcije distribucije povezana je sa standardnom devijacijom s na sljedeći način:

< s > = 0,8 s.

Parametri s i m su povezani kako slijedi:

.

Ovaj izraz vam omogućuje da pronađete standardnu ​​devijaciju s ako postoji krivulja normalne distribucije.

Na slikama je prikazan graf Gaussove funkcije. Funkcija f(x) je simetrična u odnosu na ordinatu povučenu u točki x= m; prolazi kroz maksimum u točki x= m i ima infleksiju u točkama m ±s. Dakle, disperzija karakterizira širinu funkcije distribucije ili pokazuje koliko su vrijednosti slučajne varijable raspršene u odnosu na njezinu pravu vrijednost. Što su mjerenja točnija, to su rezultati pojedinih mjerenja bliži stvarnoj vrijednosti, tj. vrijednost s je manja. Slika A prikazuje funkciju f(x) za tri vrijednosti s .

Područje figure ograničeno krivuljom f(x) i okomite crte povučene iz točaka x 1 i x 2 (slika B) , je brojčano jednaka vjerojatnosti da rezultat mjerenja padne unutar intervala D x = x 1 - x 2, što se naziva razina pouzdanosti. Područje ispod cijele krivulje f(x) jednaka je vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u interval od 0 do ¥, tj.

,

budući da je vjerojatnost određenog događaja jednaka jedinici.

Koristeći normalnu distribuciju, teorija pogrešaka postavlja i rješava dva glavna problema. Prvi je procjena točnosti mjerenja. Drugi je procjena točnosti aritmetičke sredine rezultata mjerenja.5. Interval pouzdanosti. Koeficijent učenika.

Teorija vjerojatnosti omogućuje određivanje veličine intervala u kojem s poznatom vjerojatnošću w su rezultati pojedinačnih mjerenja. Ova vjerojatnost se zove razina povjerenja, i odgovarajući interval (<x>±D x)w nazvao interval pouzdanosti. Razina pouzdanosti također je jednaka relativnom udjelu rezultata koji spadaju unutar intervala pouzdanosti.

Ako je broj mjerenja n dovoljno velik, tada vjerojatnost pouzdanosti izražava udio ukupnog broja n ona mjerenja u kojima je izmjerena vrijednost bila unutar intervala pouzdanosti. Svaka razina povjerenja w odgovara njegovom intervalu pouzdanosti.w 2 80%. Što je širi interval pouzdanosti, veća je vjerojatnost da ćemo dobiti rezultat unutar tog intervala. U teoriji vjerojatnosti uspostavlja se kvantitativni odnos između vrijednosti intervala pouzdanosti, vjerojatnosti pouzdanosti i broja mjerenja.

Ako kao interval pouzdanosti odaberemo interval koji odgovara prosječnoj pogrešci, to jest D a = OGLAS añ, tada za dovoljno veliki broj mjerenja odgovara vjerojatnosti povjerenja w 60%. Kako se broj mjerenja smanjuje, vjerojatnost pouzdanosti koja odgovara takvom intervalu pouzdanosti (á añ ± OGLAS añ) smanjuje.

Dakle, za procjenu intervala pouzdanosti slučajne varijable, može se koristiti vrijednost prosječne pogreškeáD añ .

Za karakterizaciju veličine slučajne pogreške, potrebno je postaviti dva broja, naime, veličinu intervala pouzdanosti i veličinu vjerojatnosti pouzdanosti . Određivanje samo veličine pogreške bez odgovarajuće vjerojatnosti pouzdanosti uglavnom je besmisleno.

Ako je poznata prosječna pogreška mjerenja ásñ, interval pouzdanosti zapisan kao (<x> ±asñ) w, određeno s vjerojatnošću povjerenja w= 0,57.

Ako je poznata standardna devijacija s raspodjele rezultata mjerenja, naznačeni interval ima oblik (<x>± t w s) w, gdje t w- koeficijent koji ovisi o vrijednosti vjerojatnosti pouzdanosti i izračunava se prema Gaussovoj distribuciji.

Najčešće korištene količine D x prikazani su u tabeli 1.

Stranica 1

Apsolutna pogreška određivanja ne prelazi 0,01 μg fosfora. Ovom metodom odredili smo fosfor u dušičnoj, octenoj, solnoj i sumpornoj kiselini te acetonu uz njihovo prethodno isparavanje.

Apsolutna pogreška određivanja je 0 2 - 0 3 mg.

Apsolutna pogreška u određivanju cinka u cink-mangan feritima predloženom metodom ne prelazi 0 2 % rel.

Apsolutna pogreška u određivanju ugljikovodika C2 - C4, kada je njihov sadržaj u plinu 0 2 - 50%, iznosi 0 01 - 0 2%, respektivno.

Ovdje je Ay apsolutna pogreška u definiciji r/, koja proizlazi iz pogreške Da u definiciji a. Na primjer, relativna pogreška kvadrata broja dvostruko je veća od pogreške u određivanju samog broja, a relativna pogreška broja pod kubnim korijenom samo je jedna trećina pogreške u određivanju broja.

Složenija razmatranja su potrebna pri izboru mjere usporedbe apsolutnih pogrešaka u određivanju vremena početka nesreće TV - Ts, gdje su Tv i Ts vrijeme obnovljene i stvarne nesreće, redom. Analogno tome, ovdje možemo koristiti prosječno vrijeme za postizanje vrhunca onečišćenja od stvarnog ispuštanja do onih točaka praćenja koje su zabilježile nesreću tijekom prolaska onečišćenja Tsm. Proračun pouzdanosti određivanja snage akcidenata temelji se na izračunu relativne pogreške MV - Ms / Mv, gdje su Mv i Ms obnovljena odnosno stvarna snaga. Konačno, relativna pogreška u određivanju trajanja ispuštanja u nuždi karakterizirana je vrijednošću rv - rs / re, gdje su rv i rs rekonstruirano i stvarno trajanje nesreće.

Složenija razmatranja su potrebna pri izboru mjere usporedbe apsolutnih pogrešaka u određivanju vremena početka nesreće TV - Ts, gdje su Tv i Ts vrijeme obnovljene i stvarne nesreće, redom. Analogno tome, ovdje možemo koristiti prosječno vrijeme za postizanje vrhunca onečišćenja od stvarnog ispuštanja do onih točaka praćenja koje su zabilježile nesreću tijekom prolaska onečišćenja Tsm. Proračun pouzdanosti određivanja snage akcidenata temelji se na izračunu relativne pogreške Mv - Ms / Ms, gdje su Mv i Ms obnovljena odnosno stvarna snaga. Konačno, relativna pogreška u određivanju trajanja ispuštanja u nuždi karakterizirana je vrijednošću rv - rs / rs, gdje su rv i rs rekonstruirano i stvarno trajanje nesreće.

Uz istu apsolutnu pogrešku mjerenja ay, apsolutna pogreška u određivanju iznosa axe opada s povećanjem osjetljivosti metode.

Budući da se pogreške ne temelje na slučajnim, već na sustavnim pogreškama, konačna apsolutna pogreška u određivanju usisnih čašica može doseći 10% teoretski potrebne količine zraka. Samo kod neprihvatljivo labavih peći (A 0 25) općeprihvaćena metoda daje više ili manje zadovoljavajuće rezultate. Opisano je dobro poznato regulatorima, koji pri smanjenju zračne ravnoteže gustih peći često dobivaju negativne vrijednosti usisavanja.

Analiza pogreške u određivanju vrijednosti pet pokazala je da se ona sastoji od 4 komponente: apsolutne pogreške u određivanju mase matrice, kapaciteta uzorka, vaganja i relativne pogreške zbog fluktuacija mase uzorka oko ravnotežna vrijednost.

U skladu sa svim pravilima za odabir, brojanje volumena i analizu plinova pomoću analizatora plina GKhP-3, ukupna apsolutna pogreška u određivanju sadržaja CO2 i O2 ne smije prelaziti 0 2 - 0 4% njihove stvarne vrijednosti.

Sa stola. 1 - 3, možemo zaključiti da podaci koje koristimo za polazne tvari, preuzeti iz različitih izvora, imaju relativno male razlike koje leže unutar apsolutnih pogrešaka u određivanju tih količina.

Slučajne pogreške mogu biti apsolutne ili relativne. Slučajna pogreška, koja ima dimenziju mjerene veličine, naziva se apsolutnom pogreškom određivanja. Aritmetička sredina apsolutnih pogrešaka svih pojedinačnih mjerenja naziva se apsolutnom pogreškom metode analize.

Vrijednost dopuštenog odstupanja, odnosno intervala pouzdanosti, ne postavlja se proizvoljno, već se izračunava iz specifičnih mjernih podataka i karakteristika korištenih instrumenata. Odstupanje rezultata pojedinog mjerenja od prave vrijednosti veličine naziva se apsolutna pogreška određivanja ili jednostavno pogreška. Omjer apsolutne greške i izmjerene vrijednosti naziva se relativna greška, koja se obično izražava u postocima. Poznavanje pogreške pojedinog mjerenja nema neovisnu važnost, au svakom ozbiljnom pokusu mora se provesti više paralelnih mjerenja iz kojih se izračunava pogreška pokusa. Pogreške mjerenja, ovisno o uzrocima nastanka, dijele se u tri vrste.

Pravu vrijednost neke fizikalne veličine praktički je nemoguće apsolutno točno odrediti jer svaka operacija mjerenja povezana je s brojnim pogreškama ili, inače, pogreškama. Razlozi za pogreške mogu biti vrlo različiti. Njihova pojava može biti posljedica netočnosti u proizvodnji i prilagodbi mjernog uređaja, zbog fizičkih značajki predmeta koji se proučava (na primjer, pri mjerenju promjera žice nehomogene debljine, rezultat nasumično ovisi o izboru područje mjerenja), slučajni razlozi itd.

Zadatak eksperimentatora je smanjiti njihov utjecaj na rezultat, ali i pokazati koliko je rezultat blizak stvarnom.

Postoje koncepti apsolutne i relativne pogreške.

Pod, ispod apsolutna greška mjerenje će razumjeti razliku između rezultata mjerenja i stvarne vrijednosti izmjerene količine:

∆x i =x i -x i (2)

gdje je ∆x i apsolutna pogreška i-tog mjerenja, x i _ rezultat i-tog mjerenja, x i je prava vrijednost izmjerene vrijednosti.

Rezultat svakog fizičkog mjerenja obično se piše kao:

gdje je aritmetička srednja vrijednost izmjerene veličine najbliža stvarnoj vrijednosti (valjanost x i ≈ bit će prikazana u nastavku), apsolutna pogreška mjerenja.

Jednakost (3) treba shvatiti na način da prava vrijednost izmjerene vrijednosti leži u intervalu [ - , + ].

Apsolutna pogreška je dimenzijska vrijednost, iste je dimenzije kao i izmjerena vrijednost.

Apsolutna pogreška ne karakterizira u potpunosti točnost izvršenih mjerenja. Doista, ako mjerimo s istom apsolutnom pogreškom od ± 1 mm segmente duljine 1 m i 5 mm, točnost mjerenja bit će neusporediva. Stoga se uz apsolutnu grešku mjerenja računa i relativna greška.

Relativna greška mjerenja je omjer apsolutne pogreške i same izmjerene vrijednosti:

Relativna greška je bezdimenzijska veličina. Izražava se u postotku:

U gornjem primjeru, relativne pogreške su 0,1% i 20%. One se značajno razlikuju jedna od druge, iako su apsolutne vrijednosti iste. Relativna pogreška daje informacije o točnosti

Pogreške mjerenja

Prema prirodi manifestacije i razlozima pojave pogreške, može se uvjetno podijeliti u sljedeće klase: instrumentalne, sustavne, slučajne i promašaje (grube pogreške).

Promašaji su uzrokovani ili kvarom uređaja, ili kršenjem metodologije ili eksperimentalnih uvjeta, ili su subjektivne prirode. U praksi se definiraju kao rezultati koji se oštro razlikuju od drugih. Da bi se uklonio njihov izgled, potrebno je promatrati točnost i temeljitost u radu s uređajima. Rezultati koji sadrže promašaje moraju se isključiti iz razmatranja (odbaciti).

instrumentalne greške. Ako je mjerni uređaj ispravan i podešen, tada se na njemu mogu mjeriti s ograničenom točnošću, određenom vrstom uređaja. Prihvaćeno je da se instrumentalna pogreška kazaljke smatra jednakom polovici najmanjeg podjela njegove skale. Kod uređaja s digitalnim očitanjem pogreška instrumenta je jednaka vrijednosti jedne najmanje znamenke na skali instrumenta.

Sustavne pogreške su pogreške čija su veličina i predznak konstantni za cijeli niz mjerenja koja se provode istom metodom i istim mjernim instrumentima.

Prilikom izvođenja mjerenja važno je ne samo uzeti u obzir sustavne pogreške, već je potrebno postići i njihovo uklanjanje.

Sustavne pogreške uvjetno se dijele u četiri skupine:

1) pogreške, čija je priroda poznata i njihova se veličina može vrlo točno odrediti. Takva pogreška je npr. promjena izmjerene mase u zraku, koja ovisi o temperaturi, vlažnosti, tlaku zraka itd.;

2) pogreške, čija je priroda poznata, ali je veličina same pogreške nepoznata. Takve pogreške uključuju pogreške uzrokovane mjernim uređajem: neispravnost samog uređaja, neusklađenost vage s nultom vrijednošću, razred točnosti ovog uređaja;

3) pogreške u čije postojanje se ne može sumnjati, ali njihova veličina često može biti značajna. Takve se pogreške najčešće javljaju kod složenih mjerenja. Jednostavan primjer takve pogreške je mjerenje gustoće nekog uzorka koji u sebi sadrži šupljinu;

4) pogreške zbog karakteristika samog objekta mjerenja. Na primjer, kada se mjeri električna vodljivost metala, iz potonjeg se uzme komad žice. Pogreške mogu nastati ako postoji bilo kakav nedostatak u materijalu - pukotina, zadebljanje žice ili nehomogenost koja mijenja njen otpor.

Slučajne pogreške su pogreške koje nasumično mijenjaju predznak i veličinu pod identičnim uvjetima za ponovljena mjerenja iste količine.

Slične informacije.

Apsolutna pogreška mjerenja naziva se vrijednost određena razlikom između rezultata mjerenja x i pravu vrijednost mjerene veličine x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

Vrijednost δ, jednaka omjeru apsolutne pogreške mjerenja i rezultata mjerenja, naziva se relativna pogreška:

Primjer 2.1. Približna vrijednost broja π je 3,14. Tada je njegova greška 0,00159. Apsolutna pogreška može se smatrati jednakom 0,0016, a relativna pogreška jednaka 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Značajne brojke. Ako apsolutna pogreška vrijednosti a ne prelazi jednu jedinicu zadnje znamenke broja a, tada kažu da broj ima sve predznake točne. Treba zapisati približne brojeve, zadržavajući samo točne predznake. Ako je npr. apsolutna pogreška broja 52400 jednaka 100, tada taj broj treba napisati npr. kao 524·10 2 ili 0,524·10 5 . Možete procijeniti pogrešku približnog broja tako da navedete koliko pravih značajnih znamenki sadrži. Pri prebrojavanju značajnih znamenki ne računaju se nule na lijevoj strani broja.

Na primjer, broj 0,0283 ima tri važeće značajne znamenke, a 2,5400 ima pet valjanih značajnih znamenki.

Pravila zaokruživanja brojeva. Ako približni broj sadrži dodatne (ili netočne) znakove, treba ga zaokružiti. Prilikom zaokruživanja dolazi do dodatne pogreške koja ne prelazi polovicu jedinice zadnje značajne znamenke ( d) zaokruženi broj. Kod zaokruživanja se čuvaju samo ispravni predznaci; dodatni znakovi se odbacuju, a ako je prva odbačena znamenka veća ili jednaka d/2, tada se zadnja pohranjena znamenka povećava za jedan.

Suvišne znamenke u cijelim brojevima zamjenjuju se nulama, au decimalnim razlomcima se odbacuju (kao i suvišne nule). Na primjer, ako je pogreška mjerenja 0,001 mm, tada se rezultat 1,07005 zaokružuje na 1,070. Ako je prva od nula modificiranih i odbačenih znamenki manja od 5, preostale znamenke se ne mijenjaju. Na primjer, broj 148935 s preciznošću mjerenja od 50 ima zaokruživanje od 148900. Ako je prva znamenka koju treba zamijeniti nulama ili odbaciti 5, a nakon nje ne slijede znamenke ili nule, tada se zaokružuje na najbliži parni broj. broj. Na primjer, broj 123,50 zaokružuje se na 124. Ako je prva znamenka koju treba zamijeniti nulama ili odbaciti veća od 5 ili jednaka 5, ali iza nje slijedi značajna znamenka, tada se zadnja preostala znamenka povećava za jedan. Na primjer, broj 6783,6 zaokružuje se na 6784.

Primjer 2.2. Kod zaokruživanja broja 1284 na 1300 apsolutna greška je 1300 - 1284 = 16, a kod zaokruživanja na 1280 apsolutna greška je 1280 - 1284 = 4.

Primjer 2.3. Kada se broj 197 zaokružuje na 200, apsolutna pogreška je 200 - 197 = 3. Relativna pogreška je 3/197 ≈ 0,01523 ili približno 3/200 ≈ 1,5%.

Primjer 2.4. Prodavač važe lubenicu na vagi. U setu utega najmanji je 50 g. Vaganjem je dobiveno 3600 g. Ovaj broj je približan. Točna težina lubenice nije poznata. Ali apsolutna pogreška ne prelazi 50 g. Relativna pogreška ne prelazi 50/3600 = 1,4%.

Pogreške u rješavanju problema na PC

Tri vrste pogrešaka obično se smatraju glavnim izvorima pogrešaka. To su takozvane pogreške skraćivanja, pogreške zaokruživanja i pogreške propagacije. Na primjer, kada se koriste iterativne metode za pronalaženje korijena nelinearnih jednadžbi, rezultati su približni, za razliku od izravnih metoda koje daju točno rješenje.

Pogreške skraćivanja

Ova vrsta pogreške povezana je s pogreškom koja je svojstvena samom problemu. To može biti zbog netočnosti u definiciji početnih podataka. Na primjer, ako su bilo koje dimenzije navedene u uvjetu problema, tada su u praksi za stvarne objekte te dimenzije uvijek poznate s određenom točnošću. Isto vrijedi i za sve ostale fizičke parametre. To također uključuje netočnost formula za izračun i numeričkih koeficijenata uključenih u njih.

Pogreške propagacije

Ova vrsta pogreške povezana je s korištenjem jedne ili druge metode rješavanja problema. Tijekom izračuna neizbježno dolazi do nakupljanja ili, drugim riječima, širenja pogreške. Osim što sami izvorni podaci nisu točni, nova pogreška nastaje kada se oni množe, zbrajaju itd. Akumulacija pogreške ovisi o prirodi i broju aritmetičkih operacija korištenih u izračunu.

Greške zaokruživanja

Ova vrsta pogreške nastaje zbog činjenice da računalo ne pohranjuje uvijek pravu vrijednost broja. Kada je realni broj pohranjen u memoriji računala, on se piše kao mantisa i eksponent na sličan način kao što se broj prikazuje na kalkulatoru.