Izračun druge izvanredne granice. Online kalkulator Rješavanje granica

Izraz "značajna granica" naširoko se koristi u udžbenicima i nastavnim pomagalima za označavanje važnih identiteta koji značajno pomažu pojednostavite svoj rad o pronalaženju granica.

Ali da moći donijeti Vaša granica izvanrednog, morate je dobro sagledati, jer se ne nalaze u izravnom obliku, već često u obliku posljedica, opremljenih dodatnim pojmovima i čimbenicima. Ipak, prvo teorija, pa onda primjeri i uspjet ćete!

Prva divna granica

Sviđa mi se? Dodaj u oznake

Prva značajna granica je napisana na sljedeći način (nesigurnost oblika $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Posljedice iz prve izvanredne granice

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Primjeri rješenja: 1 divna granica

Primjer 1. Izračunajte granicu $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Riješenje. Prvi korak je uvijek isti - graničnu vrijednost $x=0$ zamijenimo u funkciju i dobijemo:

$$\lijevo[ \frac(\sin 0)(0) \desno] = \lijevo[\frac(0)(0)\desno].$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$, koju treba objaviti. Ako bolje pogledate, originalna granica vrlo je slična prvoj izvanrednoj, ali nije ista. Naš zadatak je dovesti ga do sličnosti. Transformirajmo to ovako - pogledajmo izraz ispod sinusa, učinimo isto u nazivniku (relativno govoreći, pomnožimo i podijelimo s $3x$), zatim smanjimo i pojednostavimo:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Gore je upravo prva značajna granica: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y ))(y)=1, \text( napravio uvjetnu zamjenu ) y=3x. $$ Odgovor: $3/8$.

Primjer 2. Izračunajte granicu $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Riješenje. Zamjenjujemo graničnu vrijednost $x=0$ u funkciju i dobivamo:

$$\lijevo[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\desno] =\lijevo[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\desno] = \lijevo [\frac(0)(0)\right].$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$. Transformirajmo granicu pomoću prve divne granice (tri puta!) u pojednostavljenju:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Odgovor: $9/16$.

Primjer 3. Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Riješenje.Što ako ispod trigonometrijske funkcije postoji složeni izraz? Nema veze, ovdje nastavljamo na isti način. Prvo, provjerimo vrstu nesigurnosti, zamijenimo $x=0$ u funkciju i dobijemo:

$$\lijevo[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\desno] = \lijevo[\frac(0)(0)\desno].$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$. Pomnožite i podijelite s $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \lijevo[\frac(0)(0)\desno] = $$

Opet imamo neizvjesnost, ali u ovom slučaju to je samo djelić. Smanjimo brojnik i nazivnik za $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \lijevo[\frac(0+3)(5-0)\desno] =\ frac(3)(5). $$

Odgovor: $3/5$.

Druga divna granica

Druga izvanredna granica je napisana kako slijedi (nesigurnost oblika $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \lijevo(1+\frac(1)(x)\desno)^(x)=e, \quad \text(ili) \quad \lim\limits_( x\do 0) \lijevo(1+x\desno)^(1/x)=e. $$

Posljedice drugog izvanrednog ograničenja

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \lijevo(1+\frac(a)(x)\desno)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\do 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Primjeri rješenja: 2 divna ograničenja

Primjer 4. Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Riješenje. Provjerimo vrstu nesigurnosti, zamijenimo $x=\infty$ u funkciju i dobijemo:

$$\lijevo[ \lijevo(1-\frac(2)(\infty)\desno)^(\infty) \desno] = \lijevo.$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left$. Granica se može svesti na drugu izvanrednu stvar. Pretvorimo:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(1-\frac(2)(3x)\desno)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo( 1+\frac(1)((-3x/2))\desno)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\lijevo(\lijevo(1+\frac(1)((-3x/2))\desno)^((-3x/2))\desno)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Izraz u zagradama je zapravo druga značajna granica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, samo $t= - 3x/2$, dakle

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(e\desno)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Odgovor:$e^(-2/3)$.

Primjer 5. Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\desno)^(x).$ $

Riješenje. Zamjenjujemo $x=\infty$ u funkciju i dobivamo nesigurnost oblika $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. I trebamo $\left$. Pa počnimo transformacijom izraza u zagradama:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\desno)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\lijevo(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\desno)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\desno)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \desno)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(\lijevo(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\desno) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\desno)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Izraz u zagradama je zapravo druga značajna granica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, samo $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, dakle

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(e\desno)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Postoji nekoliko izuzetnih limita, ali najpoznatiji su prvi i drugi izuzetni limit. Izvanredna stvar u vezi s ovim ograničenjima je to što se široko koriste i uz njihovu pomoć mogu se pronaći druga ograničenja koja se susreću u brojnim problemima. To ćemo učiniti u praktičnom dijelu ove lekcije. Da bi se problemi riješili svođenjem na prvu ili drugu izvanrednu granicu, nema potrebe otkrivati ​​nesigurnosti sadržane u njima, budući da su vrijednosti tih granica davno zaključili veliki matematičari.

Prvo značajno ograničenje naziva se granica omjera sinusa infinitezimalnog luka prema istom luku, izraženog u radijanima:

Prijeđimo na rješavanje problema na prvoj značajnoj granici. Napomena: ako postoji trigonometrijska funkcija ispod graničnog znaka, to je gotovo siguran znak da se ovaj izraz može svesti na prvu značajnu granicu.

Primjer 1. Pronađite granicu.

Riješenje. Umjesto toga zamjena x nula dovodi do neizvjesnosti:

.

Nazivnik je sinus, stoga se izraz može dovesti do prve značajne granice. Započnimo transformaciju:

.

Nazivnik je sinus tri X, ali brojnik ima samo jedan X, što znači da trebate dobiti tri X u brojniku. Za što? Da predstavim 3 x = a i dobiti izraz .

I dolazimo do varijante prve značajne granice:

jer nije bitno koje slovo (varijabla) u ovoj formuli stoji umjesto X.

Množimo X s tri i odmah dijelimo:

.

U skladu s prvim uočenim izvanrednim ograničenjem, zamjenjujemo frakcijski izraz:

Sada konačno možemo riješiti ovu granicu:

.

Primjer 2. Pronađite granicu.

Riješenje. Izravna supstitucija ponovno dovodi do nesigurnosti "nula podijeljena s nulom":

.

Da bismo dobili prvu značajnu granicu, potrebno je da x ispod znaka sinusa u brojniku i samo x u nazivniku imaju isti koeficijent. Neka ovaj koeficijent bude jednak 2. Da biste to učinili, zamislite trenutni koeficijent za x kao dolje, izvodeći operacije s razlomcima, dobivamo:

.

Primjer 3. Pronađite granicu.

Riješenje. Prilikom zamjene ponovno dobivamo nesigurnost "nula podijeljena s nulom":

.

Vjerojatno već razumijete da iz izvornog izraza možete dobiti prvu divnu granicu pomnoženu s prvom divnom granicom. Da bismo to učinili, rastavimo kvadrate x u brojniku i sinusa u nazivniku na identične faktore, a da bismo dobili iste koeficijente za x i sinus, podijelimo x u brojniku s 3 i odmah pomnožimo do 3. Dobivamo:

.

Primjer 4. Pronađite granicu.

Riješenje. Još jednom dobivamo nesigurnost "nula podijeljena s nulom":

.

Možemo dobiti omjer prve dvije izvanredne granice. I brojnik i nazivnik dijelimo s x. Zatim, tako da se koeficijenti za sinuse i xes podudaraju, pomnožimo gornji x s 2 i odmah podijelimo s 2, a donji x pomnožimo s 3 i odmah podijelimo s 3. Dobivamo:

Primjer 5. Pronađite granicu.

Riješenje. I opet neizvjesnost "nula podijeljena s nulom":

Iz trigonometrije se sjećamo da je tangens omjer sinusa i kosinusa, a da je kosinus nule jednak jedan. Provodimo transformacije i dobivamo:

.

Primjer 6. Pronađite granicu.

Riješenje. Trigonometrijska funkcija pod predznakom granice ponovno sugerira korištenje prve značajne granice. Predstavljamo ga kao omjer sinusa i kosinusa.

Iz gornjeg članka možete saznati koja je granica i s čime se jede - ovo je JAKO važno. Zašto? Možda ne razumijete što su determinante i uspješno ih riješite; možda uopće ne razumijete što je izvodnica i nalazite ih s A. Ali ako ne razumijete što je granica, tada će rješavanje praktičnih zadataka biti teško. Također bi bilo dobro da se upoznate s primjerima rješenja i mojim preporukama za dizajn. Sve informacije prikazane su u jednostavnom i pristupačnom obliku.

A za potrebe ove lekcije trebat će nam sljedeći nastavni materijali: Divna ograničenja I Trigonometrijske formule. Mogu se pronaći na stranici. Najbolje je ispisati priručnike - mnogo je praktičnije, a osim toga, često ćete ih morati pregledavati izvan mreže.

Što je tako posebno u izuzetnim granicama? Značajnost ovih granica je da su ih dokazali najveći umovi slavnih matematičara, a zahvalni potomci ne moraju patiti od strašnih granica s hrpom trigonometrijskih funkcija, logaritama, potencija. Odnosno, pri pronalaženju granica koristit ćemo gotove rezultate koji su teoretski dokazani.

Postoji nekoliko divnih ograničenja, ali u praksi, u 95% slučajeva, izvanredni studenti imaju dva divna ograničenja: Prva divna granica, Druga divna granica. Valja napomenuti da su to povijesno utvrđena imena, a kada se, primjerice, govori o "prvoj izvanrednoj granici", misli se na vrlo specifičnu stvar, a ne na neku nasumično spuštenu granicu.

Prva divna granica

Razmislite o sljedećem ograničenju: (umjesto izvornog slova "he" koristit ću grčko slovo "alfa", to je prikladnije sa stajališta prezentiranja materijala).

Prema našem pravilu za pronalaženje ograničenja (vidi članak Ograničenja. Primjeri rješenja) pokušavamo zamijeniti nulu u funkciju: u brojniku dobivamo nulu (sinus nule je nula), au nazivniku je, očito, također nula. Dakle, suočeni smo s neizvjesnošću forme koju, srećom, ne treba iznositi. Tijekom matematičke analize dokazano je da:

Ova matematička činjenica se zove Prva divna granica. Neću dati analitički dokaz limita, ali pogledat ćemo njegovo geometrijsko značenje u lekciji o infinitezimalne funkcije.

Često se u praktičnim zadacima funkcije mogu drugačije rasporediti, to ništa ne mijenja:

- ista prva divna granica.

Ali ne možete sami presložiti brojnik i nazivnik! Ako je ograničenje zadano u obliku , tada se mora riješiti u istom obliku, bez preuređivanja ičega.

U praksi, ne samo varijabla, već i elementarna funkcija ili složena funkcija može djelovati kao parametar. Važno je samo da teži nuli.

Primjeri:
, , ,

ovdje , , , , i sve je dobro - primjenjivo je prvo divno ograničenje.

Ali sljedeći unos je hereza:

Zašto? Budući da polinom ne teži nuli, teži petici.

Usput, kratko pitanje: koja je granica? ? Odgovor se nalazi na kraju lekcije.

U praksi nije sve tako glatko; gotovo nikada studentu nije ponuđeno da riješi besplatni limit i dobije lak prolaz. Hmmm... dok pišem ove retke, pala mi je na pamet jedna vrlo važna misao - ipak je bolje zapamtiti "slobodne" matematičke definicije i formule napamet, to može pružiti neprocjenjivu pomoć u testu, kada će pitanje odlučiti između “dva” i “tri”, a učitelj odluči postaviti učeniku neko jednostavno pitanje ili ponuditi da riješi jednostavan primjer (“možda on(a) još zna što?!”).

Prijeđimo na praktične primjere:

Primjer 1

Pronađite granicu

Ako primijetimo sinus u granici, to bi nas odmah trebalo navesti na razmišljanje o mogućnosti primjene prve značajne granice.

Prvo pokušavamo zamijeniti 0 u izraz ispod znaka granice (činimo to mentalno ili u nacrtu):

Dakle, imamo neizvjesnost forme obavezno naznačiti u donošenju odluke. Izraz pod znakom granice sličan je prvoj divnoj granici, ali to nije baš to, nalazi se ispod sinusa, ali u nazivniku.

U takvim slučajevima moramo sami organizirati prvu značajnu granicu, koristeći umjetnu tehniku. Rezoniranje bi moglo biti sljedeće: "ispod sinusa imamo , što znači da trebamo unijeti i nazivnik."
I to se radi vrlo jednostavno:

Odnosno, nazivnik se u ovom slučaju umjetno množi sa 7 i dijeli s istim sedam. Sada je naša snimka poprimila poznati oblik.
Kada se zadatak sastavlja rukom, preporučljivo je označiti prvu značajnu granicu jednostavnom olovkom:

Što se dogodilo? Zapravo, naš zaokruženi izraz pretvorio se u jedinicu i nestao u djelu:

Sada sve što preostaje je riješiti se trokatnice:

Tko je zaboravio pojednostavljenje razlomaka na više razina, osvježite materijal u priručniku Vruće formule za školski tečaj matematike .

Spreman. Konačan odgovor:

Ako ne želite koristiti oznake olovkom, tada se rješenje može napisati ovako:

“

Iskoristimo prvo divno ograničenje

“

Primjer 2

Pronađite granicu

Opet vidimo razlomak i sinus u granici. Pokušajmo zamijeniti nulu u brojniku i nazivniku:

Doista, imamo neizvjesnost i, stoga, moramo pokušati organizirati prvu divnu granicu. Na lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja razmotrili smo pravilo da kad imamo nesigurnost, trebamo faktorizirati brojnik i nazivnik. Ovdje je to ista stvar, predstavit ćemo stupnjeve kao umnožak (množitelje):

Slično prethodnom primjeru, olovkom povlačimo značajne granice (ovdje su ih dvije) i označavamo da teže jedinstvu:

Zapravo, odgovor je spreman:

U sljedećim primjerima neću raditi umjetnost u Paintu, razmišljam kako pravilno nacrtati rješenje u bilježnici - već razumijete.

Primjer 3

Pronađite granicu

Zamjenjujemo nulu u izraz ispod graničnog znaka:

Dobivena je nesigurnost koju je potrebno otkriti. Ako postoji tangens u granici, tada se gotovo uvijek pretvara u sinus i kosinus pomoću poznate trigonometrijske formule (usput, rade približno istu stvar s kotangensom, pogledajte metodološki materijal Vruće trigonometrijske formule Na stranici Matematičke formule, tablice i referentni materijali).

U ovom slučaju:

Kosinus nule jednak je jedinici i lako ga se riješiti (ne zaboravite označiti da teži jedinici):

Dakle, ako je u limitu kosinus MNOŽITELJ, onda ga, grubo govoreći, treba pretvoriti u jedinicu, koja nestaje u umnošku.

Ovdje je sve ispalo jednostavnije, bez množenja i dijeljenja. Prvo značajno ograničenje također se pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:

Kao rezultat toga, dobiva se beskonačnost, a to se događa.

Primjer 4

Pronađite granicu

Pokušajmo zamijeniti nulu u brojniku i nazivniku:

Neodređenost je dobivena (kosinus nule, kao što se sjećamo, jednak je jedan)

Koristimo trigonometrijsku formulu. Uzeti na znanje! Iz nekog razloga, ograničenja koja koriste ovu formulu vrlo su česta.

Premjestimo konstantne faktore izvan ikone ograničenja:

Organizirajmo prvu prekrasnu granicu:

Ovdje imamo samo jedno izvanredno ograničenje, koje se pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:

Riješimo se trokatnice:

Granica je zapravo riješena, označavamo da preostali sinus teži nuli:

Primjer 5

Pronađite granicu

Ovaj primjer je kompliciraniji, pokušajte sami shvatiti:

Neka ograničenja mogu se smanjiti na 1. izvanrednu granicu promjenom varijable, o tome možete pročitati malo kasnije u članku Metode rješavanja granica.

Druga divna granica

U teoriji matematičke analize je dokazano da:

Ova činjenica se zove druga divna granica.

Referenca: je iracionalan broj.

Parametar može biti ne samo varijabla, već i složena funkcija. Važno je samo da teži beskonačnosti.

Primjer 6

Pronađite granicu

Kada je izraz ispod znaka granice u stupnju, to je prvi znak da trebate pokušati primijeniti drugu divnu granicu.

Ali prvo, kao i uvijek, pokušavamo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz, princip po kojem se to radi raspravlja se u lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja.

Lako je primijetiti da kada baza stupnja je , a eksponent je , odnosno postoji nesigurnost oblika:

Ova nesigurnost se upravo otkriva uz pomoć druge izvanredne granice. Ali, kao što se često događa, druga divna granica ne leži na srebrnom pladnju i treba je umjetno organizirati. Možete razmišljati na sljedeći način: u ovom primjeru parametar je , što znači da se također trebamo organizirati u indikatoru. Da bismo to učinili, podižemo bazu na potenciju, a kako se izraz ne bi promijenio, podižemo je na potenciju:

Kada je zadatak izvršen rukom, olovkom označavamo:

Gotovo je sve spremno, strašna diploma se pretvorila u lijepo pismo:

U ovom slučaju, samu ikonu ograničenja pomičemo na indikator:

Primjer 7

Pronađite granicu

Pažnja! Ova vrsta ograničenja pojavljuje se vrlo često, pažljivo proučite ovaj primjer.

Pokušajmo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz ispod znaka granice:

Rezultat je neizvjesnost. Ali drugo značajno ograničenje odnosi se na nesigurnost oblika. Što uraditi? Moramo pretvoriti bazu stupnja. Rezoniramo ovako: u nazivniku imamo , što znači da u brojniku također trebamo organizirati .

Dokaz:

Dokažimo prvo teorem za slučaj niza

Prema Newtonovoj binomnoj formuli:

Pod pretpostavkom da dobijemo

Iz ove jednakosti (1) slijedi da s porastom n raste broj pozitivnih članova na desnoj strani. Osim toga, kako n raste, broj se smanjuje, pa vrijednosti se povećavaju. Stoga slijed rastući, i (2)*Pokazujemo da je ograničen. Svaku zagradu na desnoj strani jednakosti zamijenimo jednom, desna strana će se povećati i dobit ćemo nejednadžbu

Pojačajmo dobivenu nejednakost, zamijenimo 3,4,5, ..., koji stoje u nazivnicima razlomaka, brojem 2: Zbroj u zagradi nalazimo pomoću formule za zbroj članova geometrijske progresije: Stoga (3)*

Dakle, niz je omeđen odozgo, a nejednakosti (2) i (3) su zadovoljene: Stoga, na temelju Weierstrassovog teorema (kriterija za konvergenciju niza), niz monotono raste i ograničena je, što znači da ima granicu, označenu slovom e. Oni.

Znajući da je druga izvanredna granica istinita za prirodne vrijednosti x, dokazujemo drugu izvanrednu granicu za pravi x, to jest, dokazujemo da . Razmotrimo dva slučaja:

1. Neka je svaka vrijednost x zatvorena između dva pozitivna cijela broja: gdje je cjelobrojni dio x. => =>

Ako , onda Dakle, prema granici Imamo

Na temelju kriterija (o limitu srednje funkcije) postojanja limita

2. Neka . Napravimo, dakle, zamjenu − x = t

Iz ova dva slučaja proizlazi da za pravi x.

Posljedice:

9 .) Usporedba infinitezimalnih veličina. Teorem o zamjeni infinitezimala ekvivalentnim u limitu i teorem o glavnom dijelu infinitezimala.

Neka su funkcije a( x) i b( x) – b.m. na x ® x 0 .

DEFINICIJE.

1)a( x) nazvao infinitezimal višeg reda od b (x) Ako

Zapišite: a( x) = o(b( x)) .

2)a( x) I b( x)se zovu infinitezimale istog reda, Ako

gdje je CÎℝ i C¹ 0 .

Zapišite: a( x) = O(b( x)) .

3)a( x) I b( x) se zovu ekvivalent , Ako

Zapišite: a( x) ~ b( x).

4)a( x) nazivamo infinitezimalnim reda k relativno
apsolutno infinitezimalno b( x), ako je infiniteziman a( x)I(b( x)) k imaju isti redoslijed, tj. Ako

gdje je CÎℝ i C¹ 0 .

TEOREMA 6 (o zamjeni infinitezimalnih s ekvivalentima).

Neka a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. na x ® x 0 . Ako a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

Da

Dokaz: Neka je a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Zatim

TEOREMA 7 (o glavnom dijelu infinitezimalnog).

Neka a( x)I b( x)– b.m. na x ® x 0 , i b( x)– b.m. višeg reda od a( x).

= , a budući da b( x) – viši red od a( x), tada, tj. iz jasno je da a( x) + b( x) ~ a( x)

10) Kontinuitet funkcije u točki (u jeziku epsilon-delta, geometrijske granice) Jednostrani kontinuitet. Kontinuitet na intervalu, na segmentu. Svojstva neprekidnih funkcija.

1. Osnovne definicije

Neka f(x) je definirana u nekoj okolini točke x 0 .

DEFINICIJA 1. Funkcija f(x) nazvao kontinuirano u točki x 0 ako je jednakost istinita

Bilješke.

1) Na temelju teorema 5 §3, jednakost (1) se može napisati u obliku

Uvjet (2) – definicija kontinuiteta funkcije u točki u jeziku jednostranih limita.

2) Jednakost (1) se može napisati i kao:

Kažu: “ako je funkcija kontinuirana u točki x 0, tada se predznak granice i funkcija mogu zamijeniti."

DEFINICIJA 2 (u e-d jeziku).

Funkcija f(x) nazvao kontinuirano u točki x 0 Ako"e>0 $d>0 takav, Što

ako x OU( x 0 , d) (tj. | x – x 0 | < d),

zatim f(x)ÎU( f(x 0), e) (tj. | f(x) – f(x 0) | < e).

Neka x, x 0 Î D(f) (x 0 – fiksno, x - proizvoljan)

Označimo: D x= x – x 0 – povećanje argumenta

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – prirast funkcije u točki x 0

DEFINICIJA 3 (geometrijska).

Funkcija f(x) uključeno nazvao kontinuirano u točki x 0 ako u ovom trenutku infinitezimalni prirast u argumentu odgovara infinitezimalnom prirastu u funkciji, tj.

Neka funkcija f(x) definiran je na intervalu [ x 0 ; x 0 + d) (na intervalu ( x 0 – d; x 0 ]).

DEFINICIJA. Funkcija f(x) nazvao kontinuirano u točki x 0 desno (lijevo ), ako je jednakost istinita

Očito je da f(x) kontinuirana je u točki x 0 Û f(x) kontinuirana je u točki x 0 desno i lijevo.

DEFINICIJA. Funkcija f(x) nazvao neprekidno za interval e ( a; b) ako je kontinuirana u svakoj točki ovog intervala.

Funkcija f(x) nazivamo kontinuiranim na segmentu [a; b] ako je kontinuirana na intervalu (a; b) a ima jednosmjerni kontinuitet u graničnim točkama(tj. kontinuirano u točki a s desne strane, u točki b- lijevo).

11) Prijelomne točke, njihova klasifikacija

DEFINICIJA. Ako funkcija f(x) definirana u nekoj okolini točke x 0 , ali nije kontinuirano u ovoj točki, dakle f(x) nazivamo diskontinuiranom u točki x 0 , i sama točka x 0 naziva prijelomna točka funkcije f(x) .

Bilješke.

1) f(x) može se definirati u nepotpunoj okolini točke x 0 .

Zatim razmotrite odgovarajući jednostrani kontinuitet funkcije.

2) Iz definicije Þ točke x 0 je prijelomna točka funkcije f(x) u dva slučaja:

a) U( x 0 , d)O D(f) , ali za f(x) jednakost ne vrijedi

b) U * ( x 0 , d)O D(f) .

Za elementarne funkcije moguć je samo slučaj b).

Neka x 0 – prijelomna točka funkcije f(x) .

DEFINICIJA. Točka x 0 nazvao prijelomna točka ja Nekako if funkcija f(x)ima konačne granice lijevo i desno u ovoj točki.

Ako su ove granice jednake, tada je točka x 0 nazvao uklonjiva točka prekida , inače - točka skoka .

DEFINICIJA. Točka x 0 nazvao prijelomna točka II Nekako ako je barem jedna od jednostranih limesa funkcije f(x)u ovom trenutku je jednak¥ ili ne postoji.

12) Svojstva funkcija neprekidnih na intervalu (Weierstrassov (bez dokaza) i Cauchyjev teorem

Weierstrassov teorem

Neka je tada funkcija f(x) kontinuirana na intervalu

1)f(x) je ograničeno na

2) f(x) ima najmanju i najveću vrijednost na intervalu

Definicija: Vrijednost funkcije m=f naziva se najmanjom ako je m≤f(x) za bilo koji x€ D(f).

Kaže se da je vrijednost funkcije m=f najveća ako je m≥f(x) za bilo koji x € D(f).

Funkcija može poprimiti najmanju/najveću vrijednost u nekoliko točaka segmenta.

f(x 3)=f(x 4)=maks

Cauchyjev teorem.

Neka je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu i x je broj sadržan između f(a) i f(b), tada postoji barem jedna točka x 0 € takva da je f(x 0)= g

Formula za drugu izvanrednu granicu je lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Drugi način pisanja izgleda ovako: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Kada govorimo o drugoj značajnoj granici, imamo posla s nesigurnošću oblika 1 ∞, tj. jedinstvo do beskonačnog stupnja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Razmotrimo probleme u kojima će biti korisna sposobnost izračunavanja druge izvanredne granice.

Primjer 1

Odredi granicu lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Riješenje

Zamijenimo traženu formulu i izvršimo izračune.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Ispostavilo se da je naš odgovor jedan na potenciju beskonačnosti. Za određivanje metode rješenja koristimo tablicu nesigurnosti. Izaberimo drugu značajnu granicu i napravimo promjenu varijabli.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Ako je x → ∞, tada je t → - ∞.

Da vidimo što smo dobili nakon zamjene:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Odgovor: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Primjer 2

Izračunajte granicu lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Riješenje

Zamijenimo beskonačnost i dobijemo sljedeće.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

U odgovoru smo opet dobili isto što i u prethodnom problemu, dakle, opet možemo koristiti drugu izvanrednu granicu. Zatim moramo odabrati cijeli dio u osnovi funkcije snage:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Nakon toga granica poprima sljedeći oblik:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Zamijenite varijable. Pretpostavimo da je t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ako je x → ∞, tada je t → ∞.

Nakon toga zapisujemo što smo dobili u izvornom limitu:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Za izvođenje ove transformacije koristili smo osnovna svojstva limita i ovlasti.

Odgovor: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Primjer 3

Izračunajte granicu lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Riješenje

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Nakon toga, trebamo transformirati funkciju da primijenimo drugu veliku granicu. Dobili smo sljedeće:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Budući da sada imamo iste eksponente u brojniku i nazivniku razlomka (jednak šest), granica razlomka u beskonačnosti bit će jednaka omjeru tih koeficijenata na višim potencijama.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Zamjenom t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 dobivamo drugu izvanrednu granicu. Znači što:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Odgovor: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

zaključke

Nesigurnost 1 ∞, tj. jedinstvo na beskonačnu potenciju nesigurnost je zakona snage, stoga se može otkriti pomoću pravila za pronalaženje granica eksponencijalnih potencijskih funkcija.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter