Gaussova reverzna metoda. Gaussova metoda (sekvencijalna eliminacija nepoznanica)

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje sustava iz n linearne jednadžbe sa n nepoznate varijable
čija je determinanta glavne matrice različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog eliminiranja nepoznatih varijabli: prvo eliminiranje x 1 iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge, dalje se isključuje x 2 iz svih jednadžbi, počevši od treće, i tako dalje, dok u posljednjoj jednadžbi ne ostane samo nepoznata varijabla x n. Ovaj proces transformacije jednadžbi sustava radi sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli naziva se izravna Gaussova metoda. Nakon dovršetka naprijed napredovanja Gaussove metode, iz posljednje jednadžbe nalazimo x n, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednadžbe koju izračunavamo xn-1, i tako dalje, od prve jednadžbe koju nađemo x 1. Proces izračuna nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sustava na prvu naziva se inverzna od Gaussove metode.

Opišimo ukratko algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednadžbi sustava. Eliminirajte nepoznatu varijablu x 1 iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednadžbi sustava dodamo prvu, pomnoženu s , trećoj jednadžbi dodamo prvu, pomnoženu s , i tako dalje, do nth jednadžbi dodamo prvi, pomnožen s . Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje i .

Došli bismo do istog rezultata ako bismo izrazili x 1 kroz druge nepoznate varijable u prvoj jednadžbi sustava i dobiveni izraz je zamijenjen u sve ostale jednadžbe. Dakle, varijabla x 1 isključeni iz svih jednadžbi, počevši od druge.

Zatim postupamo na sličan način, ali samo s dijelom dobivenog sustava koji je označen na slici

Da bismo to učinili, trećoj jednadžbi sustava dodamo drugu, pomnoženu s , četvrtoj jednadžbi dodamo drugu, pomnoženu s , i tako dalje, do nth jednadžbi dodamo drugu, pomnoženu s . Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje i . Dakle, varijabla x 2 isključeni iz svih jednadžbi počevši od treće.

Zatim nastavljamo s uklanjanjem nepoznatog x 3, u ovom slučaju slično postupamo s dijelom sustava označenim na slici

Stoga nastavljamo izravnu progresiju Gaussove metode sve dok sustav ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: računamo x n iz posljednje jednadžbe kao, koristeći dobivenu vrijednost x n pronašli smo xn-1 iz predzadnje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednadžbe.

Primjer.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussova metoda.

Od početka 16.-18. stoljeća matematičari su intenzivno počeli proučavati funkcije, zahvaljujući kojima se toliko toga promijenilo u našim životima. Računalna tehnologija jednostavno ne bi postojala bez ovog znanja. Za rješavanje složenih problema, linearnih jednadžbi i funkcija stvoreni su različiti koncepti, teoremi i tehnike rješavanja. Jedna od takvih univerzalnih i racionalnih metoda i tehnika za rješavanje linearnih jednadžbi i njihovih sustava bila je Gaussova metoda. Matrice, njihov rang, determinanta - sve se može izračunati bez korištenja složenih operacija.

Što je SLAU

U matematici postoji koncept SLAE - sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Kakva je ona? Ovo je skup od m jednadžbi sa potrebnih n nepoznatih veličina, obično označenih kao x, y, z ili x 1, x 2 ... x n ili drugim simbolima. Rješavanje zadanog sustava Gaussovom metodom znači pronalaženje svih nepoznatih nepoznanica. Ako sustav ima isti broj nepoznanica i jednadžbi, tada se naziva sustav n-tog reda.

Najpopularnije metode za rješavanje SLAE

U obrazovnim ustanovama srednjeg obrazovanja proučavaju se različite metode rješavanja takvih sustava. Najčešće su to jednostavne jednadžbe koje se sastoje od dvije nepoznanice, tako da svaka postojeća metoda za pronalaženje odgovora na njih neće oduzeti puno vremena. Ovo može biti kao metoda zamjene, kada se druga izvodi iz jedne jednadžbe i supstituira u originalnu. Ili metoda oduzimanja i zbrajanja po članu. Ali Gaussova metoda smatra se najlakšom i najuniverzalnijom. Omogućuje rješavanje jednadžbi s bilo kojim brojem nepoznanica. Zašto se ova tehnika smatra racionalnom? Jednostavno je. Dobra stvar kod matrične metode je što ne zahtijeva prepisivanje nepotrebnih simbola nekoliko puta kao nepoznanica, dovoljno je izvršiti aritmetičke operacije na koeficijentima - i dobit ćete pouzdan rezultat.

Gdje se SLAE koriste u praksi?

Rješenje SLAE su točke presjeka pravaca na grafovima funkcija. U našem visokotehnološkom računalnom dobu ljudi koji su usko povezani s razvojem igrica i drugih programa moraju znati kako riješiti takve sustave, što oni predstavljaju i kako provjeriti ispravnost dobivenog rezultata. Najčešće programeri razvijaju posebne programe kalkulatora linearne algebre, koji također uključuju sustav linearnih jednadžbi. Gaussova metoda omogućuje izračun svih postojećih rješenja. Također se koriste i druge pojednostavljene formule i tehnike.

SLAU kriterij kompatibilnosti

Takav sustav može se riješiti samo ako je kompatibilan. Radi jasnoće, predstavimo SLAE u obliku Ax=b. Ima rješenje ako je rang(A) jednako rang(A,b). U ovom slučaju, (A,b) je matrica proširenog oblika koja se može dobiti iz matrice A prepisivanjem sa slobodnim članovima. Ispada da je rješavanje linearnih jednadžbi Gaussovom metodom prilično jednostavno.

Možda neki od simbola nisu sasvim jasni, pa je potrebno sve razmotriti na primjeru. Recimo da postoji sustav: x+y=1; 2x-3y=6. Sastoji se od samo dvije jednadžbe, u kojima postoje 2 nepoznanice. Sustav će imati rješenje samo ako je rang njegove matrice jednak rangu proširene matrice. Što je rang? Ovo je broj neovisnih linija sustava. U našem slučaju, rang matrice je 2. Matrica A će se sastojati od koeficijenata koji se nalaze u blizini nepoznanica, a koeficijenti koji se nalaze iza znaka "=" također se uklapaju u proširenu matricu.

Zašto se SLAE mogu prikazati u matričnom obliku?

Na temelju kriterija kompatibilnosti prema dokazanom Kronecker-Capellijevom teoremu, sustav linearnih algebarskih jednadžbi može se prikazati u matričnom obliku. Koristeći Gaussovu kaskadnu metodu, možete riješiti matricu i dobiti jedan pouzdan odgovor za cijeli sustav. Ako je rang obične matrice jednak rangu proširene matrice, ali je manji od broja nepoznanica, tada sustav ima beskonačan broj odgovora.

Transformacije matrice

Prije nego prijeđete na rješavanje matrica, morate znati koje se akcije mogu izvesti na njihovim elementima. Postoji nekoliko elementarnih transformacija:

• Prepisivanjem sustava u matrični oblik i njegovim rješavanjem možete pomnožiti sve elemente niza s istim koeficijentom.
• Kako biste transformirali matricu u kanonski oblik, možete zamijeniti dva paralelna retka. Kanonski oblik podrazumijeva da svi elementi matrice koji se nalaze duž glavne dijagonale postaju jedinice, a preostali postaju nule.
• Odgovarajući elementi paralelnih redaka matrice mogu se međusobno zbrajati.

Jordan-Gaussova metoda

Bit rješavanja sustava linearnih homogenih i nehomogenih jednadžbi Gaussovom metodom je postupno uklanjanje nepoznanica. Recimo da imamo sustav dviju jednadžbi u kojem postoje dvije nepoznanice. Da biste ih pronašli, morate provjeriti kompatibilnost sustava. Jednadžba se vrlo jednostavno rješava Gaussovom metodom. Potrebno je u matričnom obliku zapisati koeficijente koji se nalaze blizu svake nepoznanice. Da biste riješili sustav, morat ćete napisati proširenu matricu. Ako jedna od jednadžbi sadrži manji broj nepoznanica, tada se umjesto elementa koji nedostaje mora staviti "0". Na matricu se primjenjuju sve poznate metode transformacije: množenje, dijeljenje brojem, međusobno zbrajanje odgovarajućih elemenata niza i drugo. Ispada da je u svakom retku potrebno ostaviti jednu varijablu s vrijednošću "1", ostatak treba smanjiti na nulu. Za preciznije razumijevanje potrebno je razmotriti Gaussovu metodu s primjerima.

Jednostavan primjer rješavanja sustava 2x2

Za početak, uzmimo jednostavan sustav algebarskih jednadžbi u kojem će postojati 2 nepoznanice.

Prepišimo to u proširenu matricu.

Za rješavanje ovog sustava linearnih jednadžbi potrebne su samo dvije operacije. Moramo matricu dovesti u kanonski oblik tako da postoje jedinice duž glavne dijagonale. Dakle, prelaskom iz matričnog oblika natrag u sustav, dobivamo jednadžbe: 1x+0y=b1 i 0x+1y=b2, gdje su b1 i b2 rezultirajući odgovori u procesu rješavanja.

1. Prva radnja pri rješavanju proširene matrice bit će sljedeća: prvi redak treba pomnožiti s -7 i dodati odgovarajuće elemente u drugi red kako bi se riješila jedna nepoznanica u drugoj jednadžbi.
2. Budući da rješavanje jednadžbi Gaussovom metodom uključuje svođenje matrice na kanonski oblik, potrebno je izvršiti iste operacije s prvom jednadžbom i ukloniti drugu varijablu. Da bismo to učinili, oduzimamo drugi red od prvog i dobivamo traženi odgovor - rješenje SLAE. Ili, kao što je prikazano na slici, pomnožimo drugi red s faktorom -1 i dodamo elemente drugog reda prvom redu. To je isto.

Kao što vidimo, naš sustav je riješen Jordan-Gaussovom metodom. Prepisujemo ga u traženom obliku: x=-5, y=7.

Primjer 3x3 SLAE rješenja

Pretpostavimo da imamo složeniji sustav linearnih jednadžbi. Gaussova metoda omogućuje izračunavanje odgovora čak i za naizgled najviše zbunjujući sustav. Stoga, kako biste dublje ušli u metodologiju izračuna, možete prijeći na složeniji primjer s tri nepoznanice.

Kao u prethodnom primjeru, prepisujemo sustav u obliku proširene matrice i počinjemo ga dovoditi u njegov kanonski oblik.

Da biste riješili ovaj sustav, morat ćete izvršiti mnogo više radnji nego u prethodnom primjeru.

1. Najprije morate napraviti prvi stupac s jednim jediničnim elementom, a ostale s nulama. Da biste to učinili, pomnožite prvu jednadžbu s -1 i dodajte joj drugu jednadžbu. Važno je zapamtiti da prvi redak prepisujemo u izvornom obliku, a drugi u modificiranom obliku.
2. Zatim uklanjamo tu istu prvu nepoznanicu iz treće jednadžbe. Da biste to učinili, pomnožite elemente prvog retka s -2 i dodajte ih u treći red. Sada su prvi i drugi redak prepisani u izvornom obliku, a treći - s promjenama. Kao što vidite iz rezultata, dobili smo prvu na početku glavne dijagonale matrice i preostale nule. Još nekoliko koraka i sustav jednadžbi Gaussovom metodom bit će pouzdano riješen.
3. Sada morate izvršiti operacije na drugim elementima redaka. Treća i četvrta akcija mogu se spojiti u jednu. Drugu i treću crtu trebamo podijeliti s -1 kako bismo se riješili minus jedinica na dijagonali. Treću liniju smo već doveli u traženi obrazac.
4. Zatim dovodimo drugi redak u kanonski oblik. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente trećeg reda s -3 i dodamo ih u drugi red matrice. Iz rezultata je jasno da je i drugi redak sveden na oblik koji nam je potreban. Preostaje izvršiti još nekoliko operacija i ukloniti koeficijente nepoznanica iz prvog retka.
5. Da biste napravili 0 od drugog elementa retka, morate treći red pomnožiti s -3 i dodati ga prvom retku.
6. Sljedeći odlučujući korak bit će dodavanje potrebnih elemenata drugog reda u prvi red. Na taj način dobivamo kanonski oblik matrice, a time i odgovor.

Kao što vidite, rješavanje jednadžbi Gaussovom metodom prilično je jednostavno.

Primjer rješavanja sustava jednadžbi 4x4

Neki složeniji sustavi jednadžbi mogu se riješiti Gaussovom metodom pomoću računalnih programa. Potrebno je unijeti koeficijente za nepoznanice u postojeće prazne ćelije, a program će sam korak po korak izračunati traženi rezultat, detaljno opisujući svaku radnju.

Korak po korak upute za rješavanje takvog primjera opisane su u nastavku.

U prvom koraku u prazne ćelije upisuju se slobodni koeficijenti i brojevi za nepoznanice. Tako dobivamo istu proširenu matricu koju pišemo ručno.

I izvode se sve potrebne aritmetičke operacije kako bi se proširena matrica dovela u njen kanonski oblik. Potrebno je razumjeti da odgovor na sustav jednadžbi nisu uvijek cijeli brojevi. Ponekad rješenje može biti iz frakcijskih brojeva.

Provjera točnosti rješenja

Jordan-Gaussova metoda omogućuje provjeru točnosti rezultata. Da biste saznali jesu li koeficijenti ispravno izračunati, samo trebate zamijeniti rezultat u izvorni sustav jednadžbi. Lijeva strana jednadžbe mora odgovarati desnoj strani iza znaka jednakosti. Ako se odgovori ne poklapaju, tada trebate ponovno izračunati sustav ili pokušati na njega primijeniti drugu poznatu vam metodu rješavanja SLAE, kao što je zamjena ili oduzimanje i zbrajanje po članu. Uostalom, matematika je znanost koja ima ogroman broj različitih metoda rješavanja. Ali zapamtite: rezultat bi uvijek trebao biti isti, bez obzira na metodu rješenja koju ste koristili.

Gaussova metoda: najčešće pogreške pri rješavanju SLAE

Kod rješavanja linearnih sustava jednadžbi najčešće se javljaju pogreške poput pogrešnog prijenosa koeficijenata u matrični oblik. Postoje sustavi u kojima neke nepoznanice nedostaju u jednoj od jednadžbi, a zatim se prilikom prijenosa podataka u proširenu matricu one mogu izgubiti. Kao rezultat toga, prilikom rješavanja ovog sustava rezultat možda neće odgovarati stvarnom.

Druga velika pogreška može biti netočno ispisivanje konačnog rezultata. Potrebno je jasno razumjeti da će prvi koeficijent odgovarati prvoj nepoznanici iz sustava, drugi - drugoj i tako dalje.

Gaussova metoda detaljno opisuje rješavanje linearnih jednadžbi. Zahvaljujući njemu, lako je izvršiti potrebne operacije i pronaći pravi rezultat. Osim toga, ovo je univerzalni alat za pronalaženje pouzdanog odgovora na jednadžbe bilo koje složenosti. Možda se zato tako često koristi pri rješavanju SLAE.

Definicija i opis Gaussove metode

Metoda Gaussove transformacije (također poznata kao metoda sekvencijalnog uklanjanja nepoznatih varijabli iz jednadžbe ili matrice) za rješavanje sustava linearnih jednadžbi je klasična metoda za rješavanje sustava algebarskih jednadžbi (SLAE). Ova klasična metoda također se koristi za rješavanje problema kao što su dobivanje inverznih matrica i određivanje ranga matrice.

Transformacija pomoću Gaussove metode sastoji se od malih (elementarnih) sekvencijalnih promjena u sustavu linearnih algebarskih jednadžbi, što dovodi do eliminacije varijabli iz njega od vrha do dna uz formiranje novog trokutastog sustava jednadžbi koji je ekvivalentan izvornom jedan.

Definicija 1

Ovaj dio rješenja naziva se naprijed Gaussovo rješenje, jer se cijeli proces odvija odozgo prema dolje.

Nakon svođenja izvornog sustava jednadžbi na trokutasti, sve varijable sustava se pronalaze odozdo prema gore (odnosno, prve pronađene varijable nalaze se upravo na posljednjim linijama sustava ili matrice). Ovaj dio rješenja je također poznat kao inverz Gaussovog rješenja. Njegov algoritam je sljedeći: prvo se izračunavaju varijable koje su najbliže dnu sustava jednadžbi ili matrice, zatim se dobivene vrijednosti zamjenjuju višim i tako se pronalazi druga varijabla, i tako dalje.

Opis algoritma Gaussove metode

Redoslijed radnji za opće rješenje sustava jednadžbi korištenjem Gaussove metode sastoji se u naizmjeničnoj primjeni poteza naprijed i natrag na matricu temeljenu na SLAE. Neka početni sustav jednadžbi ima sljedeći oblik:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Za rješavanje SLAE Gaussovom metodom potrebno je originalni sustav jednadžbi napisati u obliku matrice:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matrica $A$ naziva se glavna matrica i predstavlja koeficijente redom napisanih varijabli, a $b$ se naziva stupac njezinih slobodnih članova. Matrica $A$, zapisana kroz traku sa stupcem slobodnih članova, naziva se proširena matrica:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Sada je potrebno pomoću elementarnih transformacija na sustavu jednadžbi (ili na matrici, budući da je to prikladnije) dovesti do sljedećeg oblika:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Matrica dobivena iz koeficijenata transformiranog sustava jednadžbi (1) naziva se matrica koraka; ovako matrice koraka obično izgledaju:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Ove matrice karakteriziraju sljedeći skup svojstava:

1. Sve njegove nulte linije dolaze nakon ne-nul linija
2. Ako je neki redak matrice s brojem $k$ različit od nule, tada prethodni red iste matrice ima manje nula nego ovaj s brojem $k$.

Nakon dobivanja matrice koraka, potrebno je supstituirati dobivene varijable u preostale jednadžbe (počevši od kraja) i dobiti preostale vrijednosti varijabli.

Osnovna pravila i dopuštene transformacije pri korištenju Gaussove metode

Kada pojednostavljujete matricu ili sustav jednadžbi ovom metodom, trebate koristiti samo elementarne transformacije.

Takve se transformacije smatraju operacijama koje se mogu primijeniti na matricu ili sustav jednadžbi bez promjene njihova značenja:

• preuređivanje nekoliko redaka,
• dodavanje ili oduzimanje od jednog reda matrice drugog reda iz nje,
• množenje ili dijeljenje niza konstantom koja nije jednaka nuli,
• linija koja se sastoji samo od nula, dobivena u procesu izračuna i pojednostavljenja sustava, mora se izbrisati,
• Također morate ukloniti nepotrebne proporcionalne linije, odabirom za sustav jedine s koeficijentima koji su prikladniji i praktičniji za daljnje izračune.

Sve elementarne transformacije su reverzibilne.

Analiza tri glavna slučaja koji se javljaju pri rješavanju linearnih jednadžbi metodom jednostavnih Gaussovih transformacija

Postoje tri slučaja koji se pojavljuju kada se koristi Gaussova metoda za rješavanje sustava:

1. Kada je sustav nekonzistentan, odnosno nema rješenja
2. Sustav jednadžbi ima rješenje, i to jedinstveno, a broj redaka i stupaca koji nisu nula u matrici je međusobno jednak.
3. Sustav ima određeni broj ili skup mogućih rješenja, a broj redaka u njemu manji je od broja stupaca.

Ishod rješenja s nekonzistentnim sustavom

Za ovu opciju, pri rješavanju matrične jednadžbe Gaussovom metodom, tipično je dobiti neki pravac s nemogućnošću ispunjenja jednakosti. Dakle, ako se pojavi barem jedna netočna jednakost, rezultirajući i izvorni sustavi nemaju rješenja, bez obzira na ostale jednadžbe koje sadrže. Primjer nedosljedne matrice:

$\begin(niz)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(niz)$

U posljednjem retku pojavila se nemoguća jednakost: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Sustav jednadžbi koji ima samo jedno rješenje

Ovi sustavi, nakon reduciranja na matricu koraka i uklanjanja redaka s nulama, imaju isti broj redaka i stupaca u glavnoj matrici. Evo najjednostavnijeg primjera takvog sustava:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Zapišimo to u obliku matrice:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Da bismo prvu ćeliju drugog retka doveli na nulu, pomnožimo gornji red s $-2$ i oduzmemo ga od donjeg retka matrice, a gornji red ostavimo u izvornom obliku, kao rezultat imamo sljedeće :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Ovaj primjer se može napisati kao sustav:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Donja jednadžba daje sljedeću vrijednost za $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Zamijenite ovu vrijednost u gornju jednadžbu: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, dobivamo $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Sustav s mnogo mogućih rješenja

Ovaj sustav karakterizira manji broj značajnih redaka od broja stupaca u njemu (uzimaju se u obzir redovi glavne matrice).

Varijable u takvom sustavu podijeljene su u dvije vrste: osnovne i slobodne. Prilikom transformacije takvog sustava, glavne varijable sadržane u njemu moraju biti ostavljene u lijevom području do znaka “=”, a preostale varijable moraju biti premještene na desnu stranu jednakosti.

Takav sustav ima samo određeno opće rješenje.

Analizirajmo sljedeći sustav jednadžbi:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Zapišimo to u obliku matrice:

$\begin(niz)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(niz)$

Naš zadatak je pronaći opće rješenje sustava. Za ovu matricu, bazne varijable će biti $y_1$ i $y_3$ (za $y_1$ - budući da je prva, au slučaju $y_3$ - nalazi se nakon nula).

Kao bazne varijable biramo upravo one koje su prve u nizu i nisu jednake nuli.

Ostale varijable nazivamo slobodnima, kroz njih trebamo izraziti osnovne.

Koristeći takozvani obrnuti potez, analiziramo sustav odozdo prema gore; da bismo to učinili, prvo izrazimo $y_3$ iz donjeg retka sustava:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Sada zamijenimo izraženi $y_3$ u gornju jednadžbu sustava $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

$y_1$ izražavamo u terminima slobodnih varijabli $y_2$ i $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Rješenje je spremno.

Primjer 1

Riješite slough Gaussovom metodom. Primjeri. Primjer rješavanja sustava linearnih jednadžbi zadanih matricom 3 puta 3 korištenjem Gaussove metode

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

Napišimo naš sustav u obliku proširene matrice:

$\begin(niz)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(niz)$

Sada, radi praktičnosti i praktičnosti, trebate transformirati matricu tako da $1$ bude u gornjem kutu najudaljenijeg stupca.

Da biste to učinili, prvom retku morate dodati redak iz sredine, pomnožen s $-1$, i napisati samu srednju liniju kakva jest, ispada:

$\begin(niz)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(niz)$

$\begin(niz)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(niz) $

Pomnožite gornji i zadnji redak s $-1$, a također zamijenite zadnji i srednji redak:

$\begin(niz)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(niz)$

$\begin(niz)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(niz)$

I podijelite zadnji red sa $3$:

$\begin(niz)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(niz)$

Dobivamo sljedeći sustav jednadžbi, ekvivalentan izvornom:

$\početak(slučajevi) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \kraj(slučajevi)$

Iz gornje jednadžbe izražavamo $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Primjer 2

Primjer rješavanja sustava definiranog pomoću matrice 4 x 4 pomoću Gaussove metode

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(niz)$.

Na početku zamijenimo gornje retke koji slijede da bismo dobili $1$ u gornjem lijevom kutu:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(niz)$.

Sada pomnožite gornji red s $-2$ i dodajte 2. i 3. redu. Na 4. dodajemo 1. redak, pomnožen sa $-3$:

$\begin(niz)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(niz)$

Sada retku broj 3 dodajemo redak 2 pomnožen s $4$, a retku 4 dodajemo redak 2 pomnožen s $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(niz)$

Redak 2 pomnožimo s $-1$, redak 4 podijelimo s $3$ i zamijenimo redak 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(niz)$

Sada u zadnji red dodajemo pretposljednji, pomnožen sa $-5$.

$\begin(niz)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(niz)$

Rješavamo dobiveni sustav jednadžbi:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

1. Sustav linearnih algebarskih jednadžbi

1.1 Pojam sustava linearnih algebarskih jednadžbi

Sustav jednadžbi je uvjet koji se sastoji od istovremenog izvršavanja nekoliko jednadžbi s obzirom na nekoliko varijabli. Sustav linearnih algebarskih jednadžbi (u daljnjem tekstu SLAE) koji sadrži m jednadžbi i n nepoznanica naziva se sustavom oblika:

gdje se brojevi a ij nazivaju koeficijenti sustava, brojevi b i slobodni članovi, a ij I b i(i=1,…, m; b=1,…, n) predstavljaju neke poznate brojeve, a x 1 ,…, x n– nepoznato. U označavanju koeficijenata a ij prvi indeks i označava broj jednadžbe, a drugi j je broj nepoznanice na kojoj se taj koeficijent nalazi. Moraju se pronaći brojevi x n. Pogodno je napisati takav sustav u obliku kompaktne matrice: AX=B. Ovdje je A matrica koeficijenata sustava, koja se naziva glavna matrica;

– stupac vektora nepoznanica xj.
je vektor stupac slobodnih članova bi.

Umnožak matrica A*X je definiran, budući da u matrici A ima onoliko stupaca koliko ima redaka u matrici X (n komada).

Proširena matrica sustava je matrica A sustava, dopunjena stupcem slobodnih članova

1.2 Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi

Rješenje sustava jednadžbi je uređeni skup brojeva (vrijednosti varijabli), kada ih zamijenite umjesto varijabli, svaka od jednadžbi sustava pretvara se u pravu jednakost.

Rješenje sustava je n vrijednosti nepoznanica x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, čijom zamjenom sve jednadžbe sustava postaju prave jednakosti. Bilo koje rješenje sustava može se napisati kao matrica stupaca

Sustav jednadžbi nazivamo konzistentnim ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentnim ako nema niti jedno rješenje.

Za konzistentan sustav se kaže da je određen ako ima jedno rješenje, a neodređen ako ima više od jednog rješenja. U potonjem slučaju svako njegovo rješenje naziva se posebnim rješenjem sustava. Skup svih partikularnih rješenja naziva se općim rješenjem.

Rješavanje sustava znači saznati je li on kompatibilan ili nedosljedan. Ako je sustav konzistentan, pronađite njegovo opće rješenje.

Dva sustava nazivaju se ekvivalentnima (ekvivalentnima) ako imaju isto opće rješenje. Drugim riječima, sustavi su ekvivalentni ako je svako rješenje jednog od njih rješenje drugog i obrnuto.

Transformacija čijom se primjenom sustav pretvara u novi sustav ekvivalentan izvornom naziva se ekvivalentna ili ekvivalentna transformacija. Primjeri ekvivalentnih transformacija uključuju sljedeće transformacije: zamjenu dviju jednadžbi sustava, zamjenu dviju nepoznanica zajedno s koeficijentima svih jednadžbi, množenje obje strane bilo koje jednadžbe sustava s brojem koji nije nula.

Sustav linearnih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi slobodni članovi jednaki nuli:

Homogeni sustav je uvijek konzistentan, budući da je x1=x2=x3=…=xn=0 rješenje sustava. Ovo rješenje se naziva nulto ili trivijalno.

2. Gaussova metoda eliminacije

2.1 Bit Gaussove metode eliminacije

Klasična metoda rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi je metoda sekvencijalnog uklanjanja nepoznanica - Gaussova metoda(također se naziva Gaussova metoda eliminacije). Ovo je metoda sekvencijalnog uklanjanja varijabli, kada se pomoću elementarnih transformacija sustav jednadžbi reducira na ekvivalentni sustav stupnjevitog (ili trokutastog) oblika, iz kojeg se sve ostale varijable nalaze sekvencijalno, počevši od zadnje (putem broj) varijable.

Proces rješavanja pomoću Gaussove metode sastoji se od dvije faze: pomaka naprijed i natrag.

1. Izravni udarac.

U prvoj fazi provodi se tzv. direktni potez, kada se elementarnim transformacijama po redovima sustav dovodi u stepenasti ili trokutasti oblik ili se utvrđuje da je sustav nekompatibilan. Naime, među elementima prvog stupca matrice odaberite jedan različit od nule, premjestite ga na najgornju poziciju preslagivanjem redaka, a dobiveni prvi redak oduzmite od preostalih redaka nakon preslagivanja, pomnoživši ga s vrijednošću jednaka omjeru prvog elementa svakog od ovih redaka prema prvom elementu prvog retka, postavljajući na nulu stupac ispod njega.

Nakon što su ove transformacije dovršene, prvi redak i prvi stupac mentalno se prekrižu i nastavljaju dok ne ostane matrica nulte veličine. Ako u bilo kojoj iteraciji među elementima prvog stupca nema elementa različitog od nule, prijeđite na sljedeći stupac i izvršite sličnu operaciju.

U prvoj fazi (izravni hod) sustav se svodi na stepenasti (osobito trokutasti) oblik.

Sustav u nastavku ima oblik koraka:

,

Koeficijenti aii nazivaju se glavnim (vodećim) elementima sustava.

(ako je a11=0, preuredite retke matrice tako da a 11 nije bila jednaka 0. To je uvijek moguće, jer inače matrica sadrži nulti stupac, njena determinanta je jednaka nuli i sustav je nekonzistentan).

Transformirajmo sustav eliminiranjem nepoznanice x1 u svim jednadžbama osim u prvoj (koristeći elementarne transformacije sustava). Da biste to učinili, pomnožite obje strane prve jednadžbe s

i zbrajajte član po član s drugom jednadžbom sustava (ili od druge jednadžbe oduzmite član po član s prvom, pomnoženo s ). Zatim obje strane prve jednadžbe pomnožimo s i dodamo ih trećoj jednadžbi sustava (ili od treće oduzmemo prvu pomnoženu s ). Dakle, uzastopno množimo prvi redak s brojem i zbrajamo ja redak, za i= 2, 3, …,n.

Nastavljajući ovaj proces, dobivamo ekvivalentni sustav:

– nove vrijednosti koeficijenata za nepoznanice i slobodne članove u posljednjim m-1 jednadžbama sustava, koje su određene formulama:

Dakle, u prvom koraku se uništavaju svi koeficijenti koji leže ispod prvog vodećeg elementa a 11

0, u drugom koraku uništavaju se elementi koji leže ispod drugog vodećeg elementa a 22 (1) (ako je 22 (1) 0), itd. Nastavljajući ovaj proces dalje, konačno, na (m-1) koraku, reduciramo izvorni sustav na trokutasti sustav.

Ako se u procesu svođenja sustava na stupnjeviti oblik pojave nulte jednadžbe, tj. jednakosti oblika 0=0, one se odbacuju. Ako se pojavi jednadžba oblika

onda to ukazuje na nekompatibilnost sustava.

Ovdje završava izravna progresija Gaussove metode.

2. Obrnuti hod.

U drugoj fazi provodi se takozvani obrnuti pomak, čija je bit izraziti sve rezultirajuće osnovne varijable u terminima nebazičnih i izgraditi temeljni sustav rješenja, ili, ako su sve varijable bazične , zatim numerički izrazite jedino rješenje sustava linearnih jednadžbi.

Ovaj postupak počinje s posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (u njoj je samo jedna) i zamjenjuje se u prethodne jednadžbe, i tako dalje, idući “stepenicama”.

Svaki redak odgovara točno jednoj baznoj varijabli, tako da na svakom koraku osim u zadnjem (najvišem), situacija točno ponavlja slučaj posljednjeg retka.

Napomena: u praksi je prikladnije raditi ne sa sustavom, već s njegovom proširenom matricom, izvodeći sve elementarne transformacije na njegovim redovima. Pogodno je da koeficijent a11 bude jednak 1 (preuredite jednadžbe ili obje strane jednadžbe podijelite s a11).

2.2 Primjeri rješavanja SLAE Gaussovom metodom

U ovom odjeljku, koristeći tri različita primjera, pokazat ćemo kako Gaussova metoda može riješiti SLAE.

Primjer 1. Riješite SLAE 3. reda.

Vratimo koeficijente na

u drugom i trećem redu. Da biste to učinili, pomnožite ih s 2/3 odnosno 1 i dodajte u prvi redak:

Ovdje možete besplatno riješiti sustav linearnih jednadžbi Gaussova metoda online velike veličine u složenim brojevima s vrlo detaljnim rješenjem. Naš kalkulator može online riješiti uobičajene određene i neodređene sustave linearnih jednadžbi koristeći Gaussovu metodu, koja ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, u odgovoru ćete dobiti ovisnost nekih varijabli kroz druge, besplatne. Također možete provjeriti dosljednost sustava jednadžbi online koristeći Gaussovo rješenje.

Veličina matrice: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

O metodi

Prilikom online rješavanja sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom izvode se sljedeći koraci.

1. Zapisujemo proširenu matricu.
2. Zapravo, rješenje je podijeljeno na korak naprijed i nazad Gaussove metode. Izravan pristup Gaussove metode je redukcija matrice na oblik koraka. Obrnuto od Gaussove metode je redukcija matrice na poseban oblik koraka. Ali u praksi je prikladnije odmah ukloniti ono što se nalazi iznad i ispod dotičnog elementa. Naš kalkulator koristi upravo ovaj pristup.
3. Važno je napomenuti da pri rješavanju Gaussovom metodom prisutnost u matrici barem jednog nultog retka s desnom stranom koja nije nula (stupac slobodnih članova) ukazuje na nekompatibilnost sustava. U ovom slučaju rješenje linearnog sustava ne postoji.

Da biste najbolje razumjeli kako Gaussov algoritam radi online, unesite bilo koji primjer, odaberite "vrlo detaljno rješenje" i pogledajte njegovo rješenje online.