Rješavanje iracionalnih nejednadžbi iz ispita. Neke preporuke za rješavanje iracionalnih nejednadžbi

T.D. Ivanova

METODE RJEŠAVANJA IRACIONALNIH NEJEDNAČINA

CDO i NIT SRPTL

UDK 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

Sastavio T.D. Ivanova

Recenzent: Baisheva M.I.– Kandidat pedagoških znanosti, izvanredni profesor Odsjeka

matematičke analize Matematičkog fakulteta

Institut za matematiku i informatiku u Jakutsku

državno sveučilište

Metode rješavanja iracionalnih nejednadžbi: Metodički priručnik

M 34 za učenike 9-11 razreda / komp. Ivanova T.D. iz Suntara Suntarsky ulus

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007., – 56 str.

Priručnik je namijenjen učenicima srednjih škola, kao i onima koji upisuju fakultete kao metodološki vodič za rješavanje iracionalnih nejednakosti. Priručnik detaljno ispituje glavne metode rješavanja iracionalnih nejednadžbi, daje primjere rješavanja iracionalnih nejednadžbi s parametrima, a nudi i primjere za samostalno rješavanje. Nastavnici mogu koristiti priručnik kao didaktički materijal za samostalan rad pri ponavljanju teme „Iracionalne nejednakosti“.

Priručnik odražava iskustvo nastavnika u proučavanju teme "Iracionalne nejednakosti" s učenicima.

Zadaci su preuzeti iz gradiva prijamnih ispita, metodičkih novina i časopisa, udžbenika, čiji se popis nalazi na kraju priručnika

UDK 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

 T. D. Ivanova, komp., 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Predgovor 5

Uvod 6

Dio I. Primjeri rješavanja najjednostavnijih iracionalnih nejednadžbi 7

Odjeljak II Nejednakosti oblika
>g(x), g(x), g(x) 9

odjeljak III. Nejednakosti oblika
;
;

;
13

odjeljak IV. Nejednadžbe koje sadrže nekoliko korijena parnog stupnja 16

Odjeljak V. Metoda zamjene (uvođenje nove varijable) 20

Odjeljak VI. Nejednadžbe oblika f(x)
0; f(x)0;

Odjeljak VII. Nejednakosti oblika
25

Odjeljak VIII. Korištenje radikalnih transformacija izraza

u iracionalnim nejednadžbama 26

Odjeljak IX. Grafičko rješavanje iracionalnih nejednadžbi 27

Odjeljak X. Nejednadžbe mješovitog tipa 31

Odjeljak XI. Korištenje svojstva monotonosti funkcije 41

Odjeljak XII. Metoda zamjene funkcija 43

Odjeljak XIII. Primjeri izravnog rješavanja nejednadžbi

intervalna metoda 45

Odjeljak XIV. Primjeri rješavanja iracionalnih nejednadžbi s parametrima 46

Književnost 56

PREGLED

Ovo nastavno pomagalo namijenjeno je učenicima od 10. do 11. razreda. Kao što praksa pokazuje, učenici i kandidati imaju posebne poteškoće u rješavanju iracionalnih nejednakosti. To je zbog činjenice da se u školskoj matematici ovaj odjeljak ne razmatra dovoljno; različite metode za rješavanje takvih nejednakosti nisu detaljnije razmatrane. Također, nastavnici osjećaju nedostatak metodičke literature, što se očituje u ograničenoj količini problemskog materijala koji ukazuje na različite pristupe i načine rješavanja.

U priručniku se govori o metodama rješavanja iracionalnih nejednadžbi. Ivanova T.D. na početku svakog odjeljka uvodi učenike u glavnu ideju metode, zatim prikazuje primjere s objašnjenjima, a nudi i probleme za samostalno rješavanje.

Sastavljač koristi "najučinkovitije" metode za rješavanje iracionalnih nejednakosti koje se susreću pri ulasku na visokoškolske ustanove s povećanim zahtjevima za znanjem studenata.

Učenici, čitajući ovaj priručnik, mogu steći neprocjenjivo iskustvo i vještinu u rješavanju složenih iracionalnih nejednakosti. Vjerujem da će ovaj priručnik biti od koristi i nastavnicima matematike koji rade u stručnim razredima, kao i izrađivačima izbornih predmeta.

Kandidat pedagoških znanosti, izvanredni profesor Odsjeka za matematičku analizu, Matematički fakultet, Institut za matematiku i informatiku, Yakut State University

Baisheva M.I.

PREDGOVOR

Priručnik je namijenjen učenicima srednjih škola, kao i onima koji upisuju fakultete kao metodološki vodič za rješavanje iracionalnih nejednakosti. Priručnik detaljno razmatra glavne metode rješavanja iracionalnih nejednadžbi, daje okvirne primjere rješavanja iracionalnih nejednadžbi, daje primjere rješavanja iracionalnih nejednadžbi s parametrima, a nudi i primjere za samostalno rješavanje; za neke od njih kratki odgovori i upute dani su.

Pri analizi primjera i samostalnom rješavanju nejednadžbi podrazumijeva se da učenik zna rješavati linearne, kvadratne i druge nejednadžbe te da poznaje različite metode rješavanja nejednadžbi, a posebice metodu intervala. Predlaže se rješavanje nejednadžbe na nekoliko načina.

Nastavnici mogu koristiti priručnik kao didaktički materijal za samostalan rad pri ponavljanju teme „Iracionalne nejednakosti“.

Priručnik odražava iskustvo nastavnika u proučavanju teme "Iracionalne nejednakosti" s učenicima.

Zadaci su odabrani iz materijala prijamnih ispita na visokim učilištima, metodičkih novina i časopisa iz matematike „Prvi rujan“, „Matematika u školi“, „Kvant“, udžbenika, čiji se popis nalazi na kraju priručnika. .

UVOD

Iracionalne nejednadžbe su one u kojima varijable ili funkcija varijable ulaze pod predznak korijena.

Glavna standardna metoda za rješavanje iracionalnih nejednakosti je uzastopno dizanje obje strane nejednadžbe na potenciju kako bi se riješio korijena. Ali ova operacija često dovodi do pojave stranih korijena ili čak gubitka korijena, tj. dovodi do nejednakosti koja je nejednaka izvornoj. Stoga moramo vrlo pažljivo pratiti ekvivalentnost transformacija i uzeti u obzir samo one vrijednosti varijable za koje nejednakost ima smisla:

ako je korijen parnog stupnja, tada radikalni izraz mora biti nenegativan i vrijednost korijena također mora biti nenegativan broj.

ako je korijen stupnja neparan broj, tada radikalni izraz može uzeti bilo koji realni broj i predznak korijena podudara se sa predznakom radikalnog izraza.

moguće je podići obje strane nejednadžbe na parnu potenciju tek nakon što se prethodno uvjerimo da su nenegativne;

Podizanje obje strane nejednadžbe na istu neparnu potenciju uvijek je ekvivalentna transformacija.

Poglavljeja. Primjeri rješavanja jednostavnih iracionalnih nejednadžbi

Primjeri 1- 6:

Riješenje:

1. a)
.

b)
.

2. a)

b)

3. a)
.

b)
.

4. a)

b)

5. a)
.

b)

6. a)
.

b)
.

7.

8. a)
.

b)

9. a)
.

b)

11.

12. Pronađite najmanju vrijednost prirodnog broja x koja zadovoljava nejednadžbu

13. a) Odredite središte intervala rješenja nejednadžbe

b) Nađite aritmetičku sredinu svih cjelobrojnih vrijednosti x za koje nejednadžba ima rješenje 4

14. Pronađite najmanje negativno rješenje nejednadžbe

15. a)
;

b)

Odjeljak II. Nejednadžbe oblika >g(x), g(x),g(x)

Na isti način kao i kod rješavanja primjera 1-4, zaključujemo i kod rješavanja nejednadžbi navedenog tipa.

Primjer 7 : Riješite nejednadžbu
> x + 1

Riješenje: DZ nejednakost: x-3. Za desnu stranu postoje dva moguća slučaja:

A) x+ 10 (desna strana nije negativna) ili b) x + 1

Razmotrimo a) Ako x+10, tj. x- 1, tada su obje strane nejednakosti nenegativne. Kvadriramo obje strane: x + 3 >x+ 2x+ 1. Dobivamo kvadratnu nejednadžbu x+ x – 2 x x - 1, dobivamo -1

Razmotrimo b) Ako x+1 x x -3

Kombinacija rješenja za slučaj a) -1 i b) x-3, zapišimo odgovor: x
.

Prikladno je sve argumente pri rješavanju primjera 7 napisati na sljedeći način:

Izvorna nejednakost je ekvivalentna skupu sustava nejednakosti
.

x

Odgovor: .

Obrazloženje rješavanja nejednadžbi oblika

1.> g(x); 2. g(x); 3. g(x); 4. g(x) može se ukratko napisati u obliku sljedećih dijagrama:

ja > g(x)

2. g(x)

3. g(x)

4. g(x)
.

Primjer 8 :
X.

Riješenje: Izvorna nejednadžba je ekvivalentna sustavu

x>0

Odgovor: x
.

Zadaci za samostalno rješavanje:

b)

b)
.

b)

b)

20. a)
x

b)

21. a)

I za svaki slučaj, podsjećamo vas da možete na našoj web stranici. Sada ... Odjednom ne znaš.

Važna nota!Ako vidite gobbledygook umjesto formula, izbrišite predmemoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (u sustavu Windows) ili Cmd+R (na Macu).

ODZ

Sjećate li se što je ODZ?

Na primjer, jednadžba sadrži kvadratni korijen. A kvadratni korijen nema značenje ako je radikalni izraz negativan. To jest, u ovom slučaju, DL su rješenja nejednadžbi.

Nema potrebe tražiti ODZ u svakom problemu koji sadrži korijen.

Uzmimo, na primjer, ovaj zadatak:

Kod kvadriranja dobivamo, odnosno radikalni izraz je automatski nenegativan! Pa čemu dodatno pisanje?

Ali u nekim slučajevima može biti vrlo korisno. Štoviše, ponekad možete riješiti primjer jednostavnim pronalaženjem ODZ. Na primjer:

Ali zapamtimo da je kvadratni korijen uvijek nenegativan. Zato će uvijek biti veći. To znači da će rješenje problema biti ODZ:

Nejednakosti oblika.

Naravno, znak nejednakosti ne mora biti strog.

Kako riješiti ovu nejednakost?

Za početak, podsjetimo se da je funkcija monotona, odnosno što je veći radikalni izraz, veći je i sam korijen. Stoga je od dva korijena veći onaj s većim radikalnim izrazom.

Ali nije uzalud što smo se nedavno sjetili ODZ-a. Postoje li granice ove nejednakosti?

Doista, da bi nejednakost imala smisla, potrebno je da oba radikalna izraza budu nenegativna:

Ali budući da je prvi izraz veći od drugog, dovoljno je zahtijevati da samo drugi bude nenegativan:

Kako će to pravilo izgledati ako nejednakost nije stroga? Kao ovo:

Razmislite sami zašto je to tako.

Sada su obje strane nejednakosti nenegativne, što znači da ih možemo kvadrirati:

Sada rješavamo pomoću predloška:

Sada morate usporediti brojeve i. Prisjetimo se teme:

Tada će se sustav pretvoriti u:

Nejednakosti oblika.

Ovdje je sve malo jednostavnije: budući da je korijen nenegativan, onda desna strana ove nejednakosti mora biti nenegativna:

Korijeni stupnja su veći

Ako korijen nejednakosti nije kvadratan, važan je paritet njegovog stupnja.

I. Korijeni parnog stupnja.

Korijenje itd. stupnjevi su vrlo slični jedni drugima, a princip rješavanja jednadžbi s njima je apsolutno isti. Činjenica je da se parni korijen uvijek može svesti na kvadratni korijen (zapamtite temu!):

Na primjer:

II. Korijeni neparnog stupnja.

S neparnim moćima (, …) sve je puno jednostavnije!

Činjenica je da se neparni korijen može izvaditi iz bilo kojeg broja! (Opet, ako ovo niste znali, sjetite se teme!)

Što to znači?

Sada nema dodatnih uvjeta, nema ograničenja - samo podignemo sve na potrebnu razinu i odlučimo:

IRACIONALNE NEJEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNOM

Iracionalna nejednakost je nejednadžba koja sadrži varijablu u korijenu

1. Nejednakosti oblika.

2. Nejednakosti oblika odn.

3. Nejednakosti oblika.

4. Nejednakosti oblika.

5. Nejednakosti oblika.

6. Korijeni parnog stupnja.

Na primjer:

7. Korijeni neparnog stupnja.

Neparni korijen može se uzeti iz bilo kojeg broja!

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na proračun na fakultet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 999 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

U drugom slučaju mi ćemo vam dati simulator “6000 problema s rješenjima i odgovorima, za svaku temu, na svim razinama složenosti.” To će svakako biti dovoljno da se dočepate rješavanja problema na bilo koju temu.

Zapravo, ovo je puno više od običnog simulatora - cijeli program obuke. Po potrebi ga možete koristiti i BESPLATNO.

Pristup svim tekstovima i programima je omogućen za CIJELO razdoblje postojanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Da bi se dobro riješili zadaci ove teme, potrebno je savršeno vladati teorijom iz nekih prethodnih tema, posebno iz tema “Iracionalne jednadžbe i sustavi” i “Racionalne nejednadžbe”. Zapišimo sada jedan od glavnih teorema koji se koristi u rješavanju iracionalnih nejednadžbi (tj. nejednadžbi s korijenima). Dakle, ako obje funkcije f(x) I g(x) su nenegativni, tada vrijedi nejednakost:

Ekvivalent sljedećoj nejednakosti:

Drugim riječima, ako postoje nenegativni izrazi lijevo i desno od nejednakosti, tada se ta nejednakost može sigurno podići na bilo koju potenciju. Pa, ako trebate podići cijelu nejednadžbu na neparnu potenciju, tada u ovom slučaju nije čak ni potrebno zahtijevati da lijeva i desna strana nejednakosti budu nenegativne. Tako, svaka nejednakost bez ograničenja može se podići na neparnu potenciju. Naglasimo još jednom da je za dizanje nejednakosti na parnu potenciju potrebno paziti da obje strane te nejednakosti budu nenegativne.

Ovaj teorem postaje vrlo relevantan upravo kod iracionalnih nejednakosti, tj. u nejednadžbama s korijenima, gdje je za rješavanje većine primjera potrebno podići nejednadžbe na neki stupanj. Naravno, kod iracionalnih nejednakosti treba vrlo pažljivo uzeti u obzir ODZ koji se uglavnom formira iz dva standardna uvjeta:

• Korijeni parnih stupnjeva moraju sadržavati nenegativne izraze;
• Nazivnici razlomaka ne smiju sadržavati nule.

Prisjetimo se i toga Vrijednost parnog korijena uvijek je nenegativna.

Sukladno navedenom, ako iracionalna nejednadžba ima više od dva kvadratna korijena, tada je prije kvadriranja nejednadžbe (ili druge parne potencije) potrebno provjeriti postoje li na svakoj strani nejednadžbe nenegativni izrazi, tj. zbroj kvadratnih korijena. Ako postoji razlika u korijenima na jednoj strani nejednadžbe, tada se ništa ne može unaprijed znati o predznaku takve razlike, što znači da je nemoguće podići nejednadžbu na parnu potenciju. U tom slučaju trebate pomaknuti korijene koji ispred sebe imaju predznake minus na suprotne strane nejednadžbe (slijeva na desno ili obrnuto), pa će se predznaci minus ispred korijena promijeniti u pluseve, a samo dobit će se zbrojevi korijena s obje strane nejednadžbe. Tek nakon toga može se kvadrirati cijela nejednadžba.

Kao iu drugim temama iz matematike, pri rješavanju iracionalnih nejednadžbi možete koristiti metoda zamjene varijable. Glavna stvar je ne zaboraviti da bi nakon uvođenja zamjene novi izraz trebao postati jednostavniji i ne sadržavati staru varijablu. Osim toga, ne smijete zaboraviti izvršiti obrnutu zamjenu.

Zadržimo se na nekoliko relativno jednostavnih, ali uobičajenih vrsta iracionalnih nejednakosti. Prva vrsta takvih nejednakosti je kada uspoređuju se dva korijena parnog stupnja, tj. postoji nejednakost oblika:

Ova nejednadžba sadrži nenegativne izraze na obje strane, tako da se može sigurno podići na potenciju 2 n, nakon čega, uzimajući u obzir ODZ, dobivamo:

Imajte na umu da je ODZ napisan samo za radikalni izraz koji je manji. Drugi izraz će automatski biti veći od nule, jer je veći od prvog izraza, koji je pak veći od nule.

U slučaju kada pretpostavlja se da je parni korijen veći od nekog racionalnog izraza

Rješenje takve nejednakosti provodi se prelaskom na skup od dva sustava:

I na kraju, u slučaju kada pretpostavlja se da je korijen parnog stupnja manji od nekog racionalnog izraza, tj. u slučaju kada postoji iracionalna nejednakost oblika:

Rješenje takve nejednakosti provodi se prelaskom na sustav:

U slučajevima kada se uspoređuju dva korijena neparnog stupnja, ili se pretpostavlja da je korijen neparnog stupnja veći ili manji od nekog racionalnog izraza, možete jednostavno podignuti cijelu nejednakost na željeni neparni stupanj, i tako se riješiti svih korijeni. U tom slučaju ne nastaje dodatni ODZ, jer se nejednakosti mogu dizati na neparnu potenciju bez ograničenja, a ispod korijena neparnih potencija mogu biti izrazi bilo kojeg predznaka.

Metoda generaliziranih intervala

U slučaju kada postoji složena iracionalna jednadžba koja ne spada ni u jedan od gore opisanih slučajeva i koja se ne može riješiti dizanjem na neku potenciju, trebate koristiti metoda generaliziranog intervala, što je kako slijedi:

• Definirajte DL;
• Transformirati nejednadžbu tako da na desnoj strani bude nula (lijevu stranu, ako je moguće, svesti na zajednički nazivnik, faktorizirati i sl.);
• Pronađite sve korijene brojnika i nazivnika i nanesite ih na brojevnu os, a ako nejednakost nije striktna, prebojite korijene brojnika, ali u svakom slučaju ostavite korijene nazivnika iscrtane;
• Pronađite predznak cijelog izraza na svakom od intervala tako da u transformiranu nejednadžbu zamijenite broj iz zadanog intervala. U tom slučaju više nije moguće na bilo koji način izmjenjivati ​​znakove pri prolasku kroz točke na osi. Potrebno je odrediti predznak izraza na svakom intervalu zamjenom vrijednosti iz intervala u taj izraz, i tako dalje za svaki interval. To više nije moguće (to je, uglavnom, razlika između metode generaliziranih intervala i uobičajene);
• Pronađite sjecište ODZ i intervala koji zadovoljavaju nejednakost, ali ne gubite pojedinačne točke koje zadovoljavaju nejednakost (korijene brojnika u nestrogim nejednakostima), i ne zaboravite isključiti iz odgovora sve korijene nejednakosti. nazivnik u svim nejednadžbama.

• leđa
• Naprijed

Kako se uspješno pripremiti za CT iz fizike i matematike?

Za uspješnu pripremu za CT iz fizike i matematike, između ostalog, potrebno je ispuniti tri najvažnija uvjeta:

1. Proučite sve teme i ispunite sve testove i zadatke dane u obrazovnim materijalima na ovoj stranici. Da biste to učinili, ne trebate baš ništa, naime: svaki dan posvetite tri do četiri sata pripremi za CT iz fizike i matematike, proučavanju teorije i rješavanju zadataka. Činjenica je da je CT ispit na kojem nije dovoljno samo poznavati fiziku ili matematiku, već je potrebno znati brzo i bez grešaka riješiti velik broj zadataka različite tematike i različite složenosti. Ovo posljednje se može naučiti samo rješavanjem tisuća problema.
2. Naučite sve formule i zakone u fizici, te formule i metode u matematici. Zapravo, i to je vrlo jednostavno učiniti, u fizici postoji samo oko 200 potrebnih formula, au matematici još nešto manje. U svakom od ovih predmeta postoji desetak standardnih metoda za rješavanje zadataka osnovne razine složenosti, koje se također mogu naučiti, te tako potpuno automatski i bez poteškoća riješiti većinu CT-a u pravo vrijeme. Nakon ovoga ćete morati razmišljati samo o najtežim zadacima.
3. Prisustvujte svim trima fazama probnog testiranja iz fizike i matematike. Svaki RT može se posjetiti dva puta kako bi se odlučilo za obje opcije. Opet, na CT-u, osim sposobnosti brzog i učinkovitog rješavanja zadataka, te poznavanja formula i metoda, morate znati i pravilno planirati vrijeme, rasporediti snage, i što je najvažnije, ispravno ispuniti obrazac za odgovore, bez brkanje brojeva odgovora i zadataka ili vlastitog prezimena. Također, tijekom RT-a važno je naviknuti se na stil postavljanja pitanja u problemima, koji se nespremnoj osobi na DT-u može učiniti vrlo neobičnim.

Uspješno, marljivo i odgovorno provođenje ove tri točke omogućit će vam da na CT-u pokažete odličan rezultat, maksimum onoga za što ste sposobni.

Pronašli ste grešku?

Ako mislite da ste pronašli pogrešku u materijalima za obuku, pišite o tome putem e-pošte. Pogrešku možete prijaviti i na društvenoj mreži (). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) gdje je po Vašem mišljenju greška. Također opišite koja je greška na koju se sumnja. Vaše pismo neće proći nezapaženo, pogreška će biti ispravljena ili će vam biti objašnjeno zašto nije pogreška.

U ovoj lekciji ćemo se baviti rješavanjem iracionalnih nejednadžbi i dati razne primjere.

Tema: Jednadžbe i nejednadžbe. Sustavi jednadžbi i nejednadžbi

Lekcija:Iracionalne nejednakosti

Pri rješavanju iracionalnih nejednakosti često je potrebno podići obje strane nejednakosti na određeni stupanj; to je prilično odgovorna operacija. Prisjetimo se značajki.

Obje strane nejednakosti mogu se kvadrirati ako su obje nenegativne, samo tada iz prave nejednakosti dobivamo pravu nejednakost.

Obje strane nejednakosti mogu se kubirati u svakom slučaju; ako je izvorna nejednakost bila točna, tada kad se kubira dobiva točna nejednakost.

Razmotrimo nejednakost oblika:

Radikalni izraz mora biti nenegativan. Funkcija može poprimiti bilo koje vrijednosti; potrebno je razmotriti dva slučaja.

U prvom slučaju obje strane nejednakosti su nenegativne, imamo pravo kvadrirati je. U drugom slučaju desna strana je negativna i nemamo je pravo kvadrirati. U ovom slučaju potrebno je pogledati značenje nejednakosti: ovdje je pozitivan izraz (kvadratni korijen) veći od negativnog izraza, što znači da je nejednakost uvijek zadovoljena.

Dakle, imamo sljedeću shemu rješenja:

U prvom sustavu ne štitimo zasebno radikalni izraz, budući da kada je druga nejednakost sustava zadovoljena, radikalni izraz automatski mora biti pozitivan.

Primjer 1 - riješiti nejednadžbu:

Prema dijagramu, prelazimo na ekvivalentni skup dvaju sustava nejednakosti:

Ilustrirajmo:

Riža. 1 - ilustracija rješenja primjera 1

Kao što vidimo, kada se riješimo iracionalnosti, na primjer, kod kvadriranja, dobivamo skup sustava. Ponekad se ovaj složeni dizajn može pojednostaviti. U rezultirajućem skupu imamo pravo pojednostaviti prvi sustav i dobiti ekvivalentni skup:

Kao samostalnu vježbu potrebno je dokazati ekvivalentnost ovih skupova.

Razmotrimo nejednakost oblika:

Slično prethodnoj nejednakosti, razmatramo dva slučaja:

U prvom slučaju obje strane nejednakosti su nenegativne, imamo pravo kvadrirati je. U drugom slučaju desna strana je negativna i nemamo je pravo kvadrirati. U ovom slučaju potrebno je pogledati značenje nejednakosti: ovdje je pozitivan izraz (kvadratni korijen) manji od negativnog izraza, što znači da je nejednakost kontradiktorna. Nema potrebe razmatrati drugi sustav.

Imamo ekvivalentan sustav:

Ponekad se iracionalne nejednadžbe mogu riješiti grafički. Ova metoda je primjenjiva kada se odgovarajući grafovi mogu prilično lako konstruirati i pronaći njihove sjecišne točke.

Primjer 2 - grafički riješiti nejednadžbe:

A)

b)

Već smo riješili prvu nejednadžbu i znamo odgovor.

Da biste grafički riješili nejednadžbe, trebate konstruirati graf funkcije s lijeve strane i graf funkcije s desne strane.

Riža. 2. Grafovi funkcija i

Za iscrtavanje grafa funkcije potrebno je parabolu transformirati u parabolu (zrcaliti je u odnosu na y-os), a dobivenu krivulju pomaknuti za 7 jedinica udesno. Grafikon potvrđuje da ova funkcija monotono opada u svojoj domeni definicije.

Graf funkcije je ravna linija i lako ga je konstruirati. Točka sjecišta s osi y je (0;-1).

Prva funkcija monotono opada, druga monotono raste. Ako jednadžba ima korijen, onda je on jedini, lako ga je pogoditi iz grafikona: .

Kada je vrijednost argumenta manja od korijena, parabola je iznad ravne crte. Kada je vrijednost argumenta između tri i sedam, ravna linija prolazi iznad parabole.

Imamo odgovor:

Učinkovita metoda za rješavanje iracionalnih nejednadžbi je metoda intervala.

Primjer 3 - nejednadžbe riješiti metodom intervala:

A)

b)

Prema metodi intervala, potrebno je privremeno se udaljiti od nejednakosti. Da biste to učinili, premjestite sve u zadanoj nejednadžbi na lijevu stranu (dobite nulu na desnoj strani) i uvedite funkciju jednaku lijevoj strani:

Sada moramo proučiti rezultirajuću funkciju.

ODZ:

Ovu smo jednadžbu već grafički riješili pa se ne zadržavamo na određivanju korijena.

Sada je potrebno odabrati intervale konstantnog predznaka i na svakom intervalu odrediti predznak funkcije:

Riža. 3. Intervali konstantnosti predznaka na primjer 3

Podsjetimo se da je za određivanje predznaka na intervalu potrebno uzeti probnu točku i zamijeniti je u funkciju; funkcija će zadržati dobiveni predznak kroz cijeli interval.

Provjerimo vrijednost na graničnoj točki:

Odgovor je očit:

Razmotrimo sljedeće vrste nejednakosti:

Prvo, zapišimo ODZ:

Korijeni postoje, nenegativni su, možemo kvadrirati obje strane. Dobivamo:

Dobili smo ekvivalentni sustav:

Dobiveni sustav može se pojednostaviti. Kada su druga i treća nejednakost zadovoljene, prva je automatski istinita. Imamo::

Primjer 4 - riješiti nejednadžbu:

Djelujemo prema shemi - dobivamo ekvivalentni sustav.