Dizanje potencije na potenciju s negativnim eksponentom. Kako podići broj na negativnu potenciju - primjeri s opisima u Excelu

Formule stupnja koristi se u procesu smanjivanja i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-tu potenciju broja a Kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Množenjem stupnjeva s istom bazom zbrajaju se njihovi pokazatelji:

a m·a n = a m + n .

2. Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti:

3. Stupanj umnoška 2 ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva ovih faktora:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva djelitelja i djelitelja:

(a/b) n = a n /b n.

5. Dizanjem potencije na potenciju eksponenti se množe:

(a m) n = a m n .

Svaka gornja formula je istinita u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru djelitelja i djelitelja korijena:

3. Pri dizanju korijena na potenciju dovoljno je podići radikalni broj na ovu potenciju:

4. Ako povećate stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme ugraditi u n stepen je radikalni broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stupanj korijena u n izvaditi korijen u isto vrijeme n-tu potenciju radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Potencija određenog broja s nepozitivnim (cijelim) eksponentom definirana je kao jedinica podijeljena s potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:

Formula a m:a n =a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i kod m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formuliranje a m:a n =a m - n postalo pošteno kada m=n, potrebna je prisutnost nultog stupnja.

Diploma s nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja koji nije jednak nuli s nultim eksponentom jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Podići pravi broj A do stupnja m/n, morate izvaditi korijen n th stupanj m-tu potenciju ovog broja A.

Podizanje na negativnu potenciju jedan je od temeljnih elemenata matematike i često se susreće u rješavanju algebarskih problema. Ispod su detaljne upute.

Kako podići na negativnu potenciju - teorija

Kad broj dižemo na običnu potenciju, njegovu vrijednost množimo nekoliko puta. Na primjer, 3 3 = 3×3×3 = 27. S negativnim razlomkom vrijedi suprotno. Opći oblik formule bit će sljedeći: a -n = 1/a n. Dakle, da biste podigli broj na negativnu potenciju, trebate jedan podijeliti s danim brojem, ali na pozitivnu.

Kako podići na negativnu potenciju - primjeri na običnim brojevima

Imajući na umu gornje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor -4 -2 = 1/16.

Ali zašto su odgovori u prvom i drugom primjeru isti? Činjenica je da kada se negativan broj podigne na parnu potenciju (2, 4, 6 itd.), predznak postaje pozitivan. Da je stupanj paran, minus bi ostao:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako podići brojeve od 0 do 1 na negativnu potenciju

Podsjetimo se da kada se broj između 0 i 1 podigne na pozitivnu potenciju, vrijednost se smanjuje kako se potencija povećava. Na primjer, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Primjer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rješenje: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odgovor: 0,5 -2 = 4

Analiza (redoslijed radnji):

• Pretvorite decimalni razlomak 0,5 u razlomak 1/2. Lakše je tako.
  Podignite 1/2 na negativnu potenciju. 1/(2) -2 . Podijelimo 1 sa 1/(2) 2, dobivamo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Primjer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rješenje: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Primjer 5: Izračunajte -0,5 -3
Rješenje: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odgovor: -0,5 -3 = -8

Na temelju 4. i 5. primjera možemo izvući nekoliko zaključaka:

• Za pozitivan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 4), podignut na negativnu potenciju, nije važno da li je potencija parna ili neparna, vrijednost izraza će biti pozitivna. Štoviše, što je veći stupanj, to je veća vrijednost.
• Za negativan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 5), podignut na negativnu potenciju, nije važno da li je potencija parna ili neparna, vrijednost izraza će biti negativna. U ovom slučaju, što je viši stupanj, to je niža vrijednost.

Kako podići na negativnu potenciju - potenciju u obliku razlomka

Izrazi ovog tipa imaju sljedeći oblik: a -m/n, gdje je a regularni broj, m je brojnik stupnja, n je nazivnik stupnja.

Razmotrite primjer:
Izračunajte: 8 -1/3

Rješenje (redoslijed radnji):

• Prisjetimo se pravila dizanja broja na negativnu potenciju. Dobivamo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Primijetite da nazivnik ima broj 8 u razlomku. Opći oblik izračuna frakcijske snage je sljedeći: a m/n = n √8 m.
• Prema tome, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dobivamo kubni korijen iz osam, koji je jednak 2. Odavde, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Odgovor: 8 -1/3 = 2

Očito je da se brojevi s potencijama mogu zbrajati kao i druge veličine , dodajući ih jedan za drugim sa svojim predznacima.

Dakle, zbroj a 3 i b 2 je a 3 + b 2.
Zbroj a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Izgledi jednake potencije identičnih varijabli može se zbrajati ili oduzimati.

Dakle, zbroj 2a 2 i 3a 2 jednak je 5a 2.

Također je očito da ako uzmete dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stupnjevi razne varijable I razne diplome identične varijable, moraju se sastaviti njihovim zbrajanjem s njihovim predznacima.

Dakle, zbroj 2 i 3 je zbroj 2 + 3.

Očito je da kvadrat od a i kocka od a nisu jednaki dvostrukom kvadratu od a, nego dvostrukom kubu od a.

Zbroj a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Oduzimanje potencije se izvode na isti način kao i zbrajanje, osim što se predznaci subtrahenda moraju sukladno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje moći

Brojeve s potencijama možemo množiti, kao i druge veličine, tako da ih ispisujemo jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 s b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem identičnih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3.

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) s potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, tada je rezultat broj (varijabla) s potencijom jednakom iznos stupnjevi pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 potencija rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbroj potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je potencija od n;

A m se uzima kao faktor onoliko puta koliko je stupanj m jednak;

Zato, potencije s istim bazama mogu se pomnožiti zbrajanjem eksponenata potencija.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnoži (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože s a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbroja ili razlike dvaju brojeva jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako pomnožite zbroj i razliku dvaju brojeva podignutih na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u Četvrta stupnjeva.

Dakle, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Podjela stupnjeva

Brojevi s potencijama mogu se dijeliti kao i drugi brojevi, oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u obliku razlomka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno s b 2 jednako je a 3.

Ili:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Pisanje 5 podijeljeno s 3 izgleda kao $\frac(a^5)(a^3)$. Ali ovo je jednako 2 . U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika pokazatelji djeljivih brojeva.

Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Odnosno, $\frac(yyy)(yy) = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n. Odnosno, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ili:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Pravilo vrijedi i za brojeve s negativan vrijednosti stupnjeva.
Rezultat dijeljenja -5 s -3 je -2.
Također, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da su takve operacije vrlo široko korištene u algebri.

Primjeri rješavanja primjera s razlomcima koji sadrže brojeve s potencijama

1. Smanjite eksponente za $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odgovor: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Smanjite eksponente za $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odgovor: $\frac(2x)(1)$ ili 2x.

3. Eksponente a 2 /a 3 i a -3 /a -4 svesti na zajednički nazivnik.
a 2 .a -4 je a -2 prvi brojnik.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojnik.
a 3 .a -4 je a -1 , zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 reducirajte i dovedite na zajednički nazivnik.
Odgovor: 2a 3 /5a 7 i 5a 5 /5a 7 ili 2a 3 /5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 s (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 s (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 s h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 s a 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

9. Podijelite (h 3 - 1)/d 4 s (d n + 1)/h.

Prva razina

Stupanj i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Da biste saznali sve o diplomama, za što su potrebne i kako svoje znanje koristiti u svakodnevnom životu, pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje diploma približit će vas uspješnom polaganju jedinstvenog državnog ispita ili jedinstvenog državnog ispita i upisu na sveučilište iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna nota! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, izbrišite predmemoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI RAZINA

Potenciranje je matematička operacija kao i zbrajanje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budi oprezan. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo s dodavanjem.

Nema se tu što objašnjavati. Sve već znate: nas je osam. Svatko ima dvije boce kole. Koliko cole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer s colom može se napisati i drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo uočavaju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili su tehniku ​​koja se zove množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete sporije, teže i s greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponoviti.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove s računanjem smislili lijeni matematičari? desno - dizanje broja na potenciju.

Dizanje broja na potenciju

Ako trebate pomnožiti broj sam sa sobom pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na petu potenciju. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na petu potenciju... I takve probleme rješavaju u svojim glavama – brže, lakše i bez greške.

Sve što trebate učiniti je zapamtite što je označeno bojom u tablici potencija brojeva. Vjerujte mi, ovo će vam uvelike olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stupanj? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Što to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugom potencijom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar sa metar. Bazen je u vašoj kući. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena morate obložiti pločicama. Koliko pločica trebate? Da biste to utvrdili, morate znati površinu dna bazena.

Jednostavno možete izbrojati bodenjem prsta da se dno bazena sastoji od kockica metar po metar. Ako imate pločice veličine metar sa metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će prije biti cm po cm, a onda će vas mučiti "brojenje s prstom". Zatim morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavit ćemo pločice (komade), a na drugu također pločice. Množenjem s, dobivate pločice ().

Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili samim sobom kako bismo odredili površinu dna bazena? Što to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku ​​potenciranja. (Naravno, kada imate samo dva broja, još uvijek ih trebate pomnožiti ili dići na potenciju. Ali ako ih imate puno, onda je dizanje na potenciju puno lakše, a također ima i manje grešaka u izračunima .Za ispit je to vrlo važno).
Dakle, trideset do drugog stupnja bit će (). Ili možete reći da će trideset na kvadrat biti. Drugim riječima, druga potencija broja uvijek se može prikazati kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK druga potencija nekog broja. Kvadrat je slika druge potencije broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatak za vas, izbrojte koliko je polja na šahovskoj ploči koristeći polje broja ... S jedne strane ćelija i s druge također. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam s osam ili... ako primijetite da je šahovnica kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Dobit ćete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treća potencija broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko će se vode morati uliti u ovaj bazen. Morate izračunati volumen. (Usput, volumeni i tekućine mjere se u kubičnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je veličine metar i duboko metar i pokušajte izbrojati koliko će kockica dimenzija metar sa metar stane u vaš bazen.

Samo uperi prst i broji! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset i dva, dvadeset i tri...Koliko si ih dobio? Niste se izgubili? Je li teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena treba pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, volumen bazena će biti jednak kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi ako su i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Uočili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Što to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom prstom izbrojali, oni učine jednom radnjom: tri kubna je jednako. Napisano je ovako: .

Sve što ostaje je zapamtite tablicu stupnjeva. Osim, naravno, ako niste lijeni i lukavi poput matematičara. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti brojati prstom.

Pa da vas konačno uvjerimo da su diplome izmislili odustatelji i lukavci da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milijun rubalja. Na početku svake godine, za svaki milijun koji zaradite, zaradite još jedan milijun. Odnosno, svaki milijun koji imate udvostručuje se na početku svake godine. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i "brojite prstom", onda ste vrlo vrijedna osoba i... glupa. Ali najvjerojatnije ćete dati odgovor za nekoliko sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnoženo s dva... druge godine - što se dogodilo, još dvije, treće godine... Stop! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na petu potenciju je milijun! Sada zamislite da imate natjecanje i da će onaj tko najbrže broji dobiti te milijune... Vrijedno je prisjetiti se moći brojeva, zar ne?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milijun. Na početku svake godine, za svaki milijun koji zaradite, zaradite još dva. Sjajno zar ne? Svaki milijun se utrostručuje. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Ajmo računati. Prva godina - pomnoži s, pa rezultat s još jednom... To je već dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sa sobom puta. Dakle, na četvrtu potenciju to je jednako milijunu. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrtu potenciju ili.

Sada znate da ćete dizanjem broja na potenciju znatno olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti s diplomama i što trebate znati o njima.

Termini i pojmovi.. da ne bude zabune

Dakle, prvo definirajmo pojmove. Što misliš, što je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" potencije broja. Nije znanstveno, ali jasno i lako za pamćenje...

Pa, u isto vrijeme, što takvu diplomsku osnovu? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u podnožju.

Evo crteža za dobru mjeru.

Pa općenito, radi generaliziranja i boljeg pamćenja... Stupanj s osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “na stupanj” i piše na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali što je prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste pri brojanju pri nabrajanju predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: “minus pet”, “minus šest”, “minus sedam”. Također ne kažemo: “jedna trećina”, ili “nula zarez pet”. Ovo nisu prirodni brojevi. Što mislite koji su ovo brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" odnose se na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzete s predznakom minus) i brojeve. Nulu je lako razumjeti - to je kada nema ničega. Što znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno kako bi ukazali na dugove: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da operateru dugujete rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Kako su nastali, što mislite? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina naši su preci otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje duljine, težine, površine itd. I smislili su racionalni brojevi... Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koje su ovo brojke? Ukratko, to je beskonačni decimalni razlomak. Na primjer, ako opseg kruga podijelite s njegovim promjerom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo koncept stupnja čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvu potenciju jednak je sebi:
2. Kvadrirati broj znači pomnožiti ga samim sobom:
3. Kubirati broj znači pomnožiti ga samim sobom tri puta:

Definicija. Podizanje broja na prirodni potenciju znači množenje broja samim sobom puta:
.

Svojstva stupnjeva

Odakle ta svojstva? Sad ću ti pokazati.

Da vidimo: što je I ?

A-prior:

Koliko je ukupno množitelja?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest: , što je i trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje:

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Obavezno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo moći s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod snaga!

Ni pod kojim uvjetima to ne možete napisati.

2. to je to -tu potenciju broja

Baš kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Ispada da je izraz pomnožen sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je ti stepen broja:

U biti, to se može nazvati "izbacivanje indikatora iz zagrada". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:

Prisjetimo se skraćenih formula množenja: koliko smo puta htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom

Do ove točke samo smo raspravljali o tome što bi eksponent trebao biti.

Ali što bi trebala biti osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Doista, možemo pomnožiti bilo koje brojeve jedan s drugim, bili oni pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo koji će znakovi ("" ili "") imati moći pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, je li broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva pomnožili jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus za minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s, funkcionira.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se, sve je jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je jednak, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera iz prakse

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu snagu, što vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Dakle, sjećate li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razlika kvadrata! Dobivamo:

Pogledajmo pažljivo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Da su obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Čarobno su pojmovi promijenili mjesta. Ovaj se "fenomen" odnosi na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi se znakovi mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli prirodne brojeve, njihove suprotnosti (odnosno uzete sa znakom) nazivamo i brojem.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, tada sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.

Sada pogledajmo nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stupanj s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj s, i dobili smo isto što je i bilo - . S kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan.

Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).

S jedne strane, mora biti jednak bilo kojem stupnju - koliko god nulu množio sam sa sobom, svejedno ćeš dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultu potenciju, mora biti jednak. Dakle, što je istina o ovome? Matematičari su se odlučili ne miješati i odbili su podići nulu na nultu potenciju. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti s nulom, već ga i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativna potencija, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativnu potenciju:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo sada dobiveno pravilo na proizvoljan stupanj:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj s negativnom potencijom recipročna je vrijednost istog broja s pozitivnom potencijom. Ali u isto vrijeme Baza ne može biti nula:(jer je nemoguće podijeliti).

Ukratko:

I. Izraz nije definiran u padežu. Ako tada.

II. Bilo koji broj na nultu potenciju jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativnu potenciju je inverzan od istog broja na pozitivnu potenciju: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za neovisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu morate biti spremni na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste mogli riješiti i naučit ćete kako se s njima lako nositi na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, i.

Da shvatim što je to "frakcijski stupanj", razmotrite razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na potenciju:

Prisjetimo se sada pravila o "stupanj u stupanj":

Koji se broj mora podići na potenciju da bi se dobio?

Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.

Dopustite da vas podsjetim: korijen th potencije broja () je broj koji je, kada se podigne na potenciju, jednak.

To jest, korijen th potencije je inverzna operacija dizanja na potenciju: .

Ispostavilo se da. Očito se ovaj poseban slučaj može proširiti: .

Sada dodajemo brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, ne može se izvući korijen iz svih brojeva.

nijedan!

Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na parnu potenciju je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući parne korijene iz negativnih brojeva!

A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Što je s izrazom?

Ali tu nastaje problem.

Broj se može prikazati u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.

I ispada da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda to možete zapisati. Ali čim indikator napišemo na drugačiji način, opet imamo problema: (to jest, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivni osnovni eksponent s razlomačkim eksponentom.

Pa ako:

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

Primjeri:

Potencijali s racionalnim eksponentom vrlo su korisni za transformiranje izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za vježbanje

Analiza 5 primjera za obuku

E, sad dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stupanj s iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Doista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , naime broj;

...negativni cijeli broj eksponent- kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE OTIĆI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s već uobičajenim pravilom za podizanje stupnja na stupanj:

Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li vas on na nešto? Podsjećamo na formulu za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispostavilo se da:

Odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima dovodimo u isti oblik: ili oba decimalna ili oba obična. Dobivamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNA RAZINA

Određivanje stupnja

Stupanj je izraz oblika: , gdje je:

• — baza stupnja;
• - eksponent.

Stupanj s prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Dizanje broja na prirodnu potenciju n znači množenje broja samim sobom puta:

Potencija s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stupanj:

Izraz je neodređen, jer je, s jedne strane, na bilo koji stupanj ovo, a s druge strane, bilo koji broj na ti stupanj je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

Primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

Primjeri:

Svojstva stupnjeva

Da bismo lakše riješili probleme, pokušajmo razumjeti: odakle dolaze ta svojstva? Dokažimo im.

Pogledajmo: što je i?

A-prior:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobiva se sljedeći produkt:

Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Obavezno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo moći s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za produkt potencija!

Ni pod kojim uvjetima to ne možete napisati.

Baš kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Pregrupirajmo ovaj posao ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je -ta snaga broja:

U biti, to se može nazvati "izbacivanje indikatora iz zagrada". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula množenja: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi trebao biti indeks stupnjeva. Ali što bi trebala biti osnova? U ovlastima prirodni indikator osnova može biti bilo koji broj .

Doista, možemo pomnožiti bilo koje brojeve jedan s drugim, bili oni pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo koji će znakovi ("" ili "") imati moći pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, je li broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva pomnožili jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus za minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s (), dobit ćemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Mogu se formulirati sljedeća jednostavna pravila:

1. čak stupanj, - broj pozitivan.
2. Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
3. Pozitivan broj na bilo kojem stupnju je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koju potenciju jednaka je nuli.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je jednak, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje morate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetite, postaje jasno da, što znači da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stupnja:

Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedne na druge, podijelimo ih u parove i dobijemo:

Prije nego pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunajte izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu snagu, što vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Dakle, sjećate li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razlika kvadrata!

Dobivamo:

Pogledajmo pažljivo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Da su obrnute, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Ako to pomnožite s, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Čarobno su pojmovi promijenili mjesta. Ovaj se "fenomen" odnosi na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: Svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne možete ga zamijeniti promjenom samo jednog nedostatka koji nam se ne sviđa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Sada zadnje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo koncept diplome i pojednostavnimo ga:

E, sad otvorimo zagrade. Koliko je ukupno slova? puta množiteljima - na što vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: pokazalo se da ukupno ima množitelja. To jest, to je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:

Primjer:

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Uz podatke o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim pokazateljem. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom - nakon svega, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nultu potenciju je takoreći jedan broj pomnožen sam sa sobom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazan broj“, odnosno broj; stupanj s cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Iznimno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je više čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili da prošire koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

Dakle, što ćemo učiniti ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Sjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke svodimo na isti oblik: ili oba decimalna ili oba obična. Dobivamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODSJEKA I OSNOVNE FORMULE

Stupanj zove se izraz oblika: , gdje je:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom

stupanj čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stupanj, čiji su eksponenti negativni i razlomački brojevi.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

stupanj čiji je eksponent beskonačni decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stupnjeva

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
• Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo kojem stupnju je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Svaki broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se svidjelo ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu s korištenjem svojstava stupnja.

Možda imate pitanja. Ili prijedloge.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Potencija se koristi za pojednostavljenje operacije množenja broja samim sobom. Na primjer, umjesto pisanja, možete pisati 4 5 (\displaystyle 4^(5))(objašnjenje za ovaj prijelaz dano je u prvom odjeljku ovog članka). Stupnjevi olakšavaju pisanje dugih ili složenih izraza ili jednadžbi; potencije se također lako dodaju i oduzimaju, što rezultira pojednostavljenim izrazom ili jednadžbom (na primjer, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Bilješka: ako trebate riješiti eksponencijalnu jednadžbu (u takvoj jednadžbi nepoznanica je u eksponentu), pročitajte.

Koraci

Rješavanje jednostavnih zadataka sa stupnjevima

Pomnožite bazu eksponenta samu s brojem puta jednakim eksponentu. Ako trebate ručno riješiti problem potencije, prepišite potenciju kao operaciju množenja, gdje se baza potencije množi sama sa sobom. Na primjer, s obzirom na diplomu 3 4 (\displaystyle 3^(4)). U ovom slučaju, baza snage 3 mora se pomnožiti sama sa sobom 4 puta: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Evo drugih primjera:

Prvo pomnožite prva dva broja. Na primjer, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne brinite - postupak izračuna nije tako kompliciran kao što se čini na prvi pogled. Prvo pomnožite prve dvije četvorke, a zatim ih zamijenite rezultatom. Kao ovo:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Pomnožite rezultat (16 u našem primjeru) sa sljedećim brojem. Svaki sljedeći rezultat proporcionalno će se povećavati. U našem primjeru pomnožite 16 s 4. Ovako:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Nastavite množiti rezultat prva dva broja sa sljedećim brojem dok ne dobijete konačni odgovor. Da biste to učinili, pomnožite prva dva broja, a zatim pomnožite dobiveni rezultat sa sljedećim brojem u nizu. Ova metoda vrijedi za bilo koju diplomu. U našem primjeru trebali biste dobiti: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Riješite sljedeće probleme. Provjerite svoj odgovor pomoću kalkulatora.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na svom kalkulatoru potražite ključ s oznakom "exp" ili " x n (\displaystyle x^(n))", ili "^". Pomoću ove tipke broj ćete podići na potenciju. Gotovo je nemoguće ručno izračunati stupanj s velikim indikatorom (na primjer, stupanj 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ali kalkulator se lako može nositi s ovim zadatkom. U sustavu Windows 7 standardni kalkulator može se prebaciti u inženjerski način rada; Da biste to učinili, kliknite "Prikaz" -> "Inženjering". Za prebacivanje u normalni način rada kliknite “View” -> “Normal”.

   • Provjerite primljeni odgovor pomoću tražilice (Google ili Yandex). Pomoću tipke "^" na tipkovnici računala unesite izraz u tražilicu, koja će odmah prikazati točan odgovor (i eventualno predložiti slične izraze za proučavanje).

   Zbrajanje, oduzimanje, množenje potencija

   1. Stupnjeve možete zbrajati i oduzimati samo ako imaju iste baze. Ako trebate zbrajati potencije s istim bazama i eksponentima, tada operaciju zbrajanja možete zamijeniti operacijom množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Upamtite da stupanj 4 5 (\displaystyle 4^(5)) može se prikazati u obliku 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Tako, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(gdje je 1 +1 =2). Odnosno, izbrojite broj sličnih stupnjeva, a zatim pomnožite taj stupanj i ovaj broj. U našem primjeru, podignite 4 na petu potenciju, a zatim pomnožite dobiveni rezultat s 2. Zapamtite da se operacija zbrajanja može zamijeniti operacijom množenja, na primjer, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Evo drugih primjera:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Pri množenju potencija s istom bazom njihovi se eksponenti zbrajaju (baza se ne mijenja). Na primjer, s obzirom na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). U ovom slučaju samo trebate dodati indikatore, ostavljajući bazu nepromijenjenom. Tako, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Evo vizualnog objašnjenja ovog pravila:

      Kod dizanja potencije na potenciju eksponenti se množe. Na primjer, dana je diploma. Budući da se eksponenti množe, dakle (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Poanta ovog pravila je da množite potencijama (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebi pet puta. Kao ovo:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Budući da je baza ista, eksponenti se jednostavno zbrajaju: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Potenciju s negativnim eksponentom treba pretvoriti u razlomak (obrnuta potencija). Nema veze ako ne znate što je recipročna diploma. Ako vam je dana diploma s negativnim eksponentom, npr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), zapišite ovaj stupanj u nazivnik razlomka (stavite 1 u brojnik), a eksponent neka bude pozitivan. U našem primjeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Evo drugih primjera:

      Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti (baza se ne mijenja). Operacija dijeljenja je suprotna operaciji množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Eksponent u nazivniku oduzmite od eksponenta u brojniku (ne mijenjajte bazu). Tako, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Snaga u nazivniku može se napisati na sljedeći način: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Ne zaboravite da je razlomak broj (potencija, izraz) s negativnim eksponentom.

   4. Ispod su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite rješavati probleme s eksponentima. Navedeni izrazi pokrivaju materijal prikazan u ovom odjeljku. Da biste vidjeli odgovor, jednostavno odaberite prazan prostor iza znaka jednakosti.

   Rješavanje zadataka s razlomačkim eksponentima

   Potencija s razlomačkim eksponentom (na primjer, ) pretvara se u operaciju korijena. U našem primjeru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Ovdje nije važno koji je broj u nazivniku eksponenta razlomka. Na primjer, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- je četvrti korijen od “x”, tj x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ako je eksponent nepravi razlomak, tada se eksponent može rastaviti na dvije potencije kako bi se pojednostavilo rješenje problema. U tome nema ništa komplicirano - samo zapamtite pravilo množenja snaga. Na primjer, dana je diploma. Pretvorite takvu potenciju u korijen čija je potencija jednaka nazivniku razlomačkog eksponenta, a zatim podignite taj korijen na potenciju jednaku brojniku razlomačkog eksponenta. Da biste to učinili, zapamtite to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). U našem primjeru:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Neki kalkulatori imaju gumb za izračunavanje eksponenata (najprije morate unijeti bazu, zatim pritisnuti gumb, a zatim unijeti eksponent). Označava se kao ^ ili x^y.
   3. Upamtite da je svaki broj na prvu potenciju jednak sebi, na primjer, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Štoviše, svaki broj pomnožen ili podijeljen s jedan jednak je sam sebi, npr. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) I 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Znajte da potencija 0 0 ne postoji (takva potencija nema rješenja). Ako pokušate riješiti takav stupanj na kalkulatoru ili na računalu, dobit ćete pogrešku. Ali zapamtite da je svaki broj na nultu potenciju 1, na primjer, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. U višoj matematici, koja operira s imaginarnim brojevima: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Gdje i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konstanta približno jednaka 2,7; a je proizvoljna konstanta. Dokaz ove jednakosti može se naći u svakom udžbeniku više matematike.

   Upozorenja

   • Kako se eksponent povećava, njegova vrijednost jako raste. Dakle, ako vam se odgovor čini pogrešan, možda je zapravo točan. To možete testirati iscrtavanjem bilo koje eksponencijalne funkcije, kao što je 2 x.