Kako predstaviti izraz kao monom. Svođenje monoma na standardni oblik, primjeri, rješenja

Monom je izraz koji je proizvod dva ili više faktora, od kojih je svaki broj izražen slovom, znamenkama ili potencijom (s nenegativnim cijelim eksponentom):

2a, a 3 x, 4abc, -7x

Budući da se umnožak identičnih faktora može napisati kao potencija, jedna potencija (s nenegativnim cijelim eksponentom) također je monom:

(-4) 3 , x 5 ,

Budući da se broj (cijeli ili razlomak), izražen slovom ili brojevima, može napisati kao umnožak tog broja s jedinicom, bilo koji pojedinačni broj također se može smatrati monomom:

x, 16, -a,

Standardni oblik monoma

Standardni oblik monoma je monom koji ima samo jedan numerički faktor, koji mora biti napisan na prvom mjestu. Sve su varijable poredane abecednim redom i samo su jednom sadržane u monomu.

Brojevi, varijable i potencije varijabli također pripadaju monomima standardnog oblika:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monomi standardnog oblika.

Numerički faktor monoma standardnog oblika naziva se koeficijent monoma. Monomski koeficijenti jednaki 1 i -1 obično se ne pišu.

Ako monom standardnog oblika nema numerički faktor, tada se pretpostavlja da je koeficijent monoma jednak 1:

x 3 = 1 x 3

Ako monom standardnog oblika nema numerički faktor i ispred njega stoji znak minus, tada se pretpostavlja da je koeficijent monoma jednak -1:

-x 3 = -1 · x 3

Svođenje monoma na standardni oblik

Da biste monom doveli u standardni oblik potrebno je:

1. Pomnožite brojčane faktore ako ih ima više. Podignite numerički faktor na potenciju ako ima eksponent. Prvo stavite numerički faktor.
2. Pomnožite sve iste varijable tako da se svaka varijabla pojavi samo jednom u monomu.
3. Poredajte varijable abecednim redom iza numeričkog faktora.

Primjer. Predstavite monom u standardnom obliku:

a) 3 yx 2 (-2) g 5 x; b) 6 prije Krista· 0,5 ab 3

Riješenje:

a) 3 yx 2 (-2) g 5 x= 3 (-2) x 2 xgg 5 = -6x 3 g 6
b) 6 prije Krista· 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Potencija monoma

Potencija monoma je zbroj eksponenata svih slova koja su u njemu uključena.

Ako je monom broj, odnosno ne sadrži varijable, tada se njegov stupanj smatra jednakim nuli. Na primjer:

5, -7, 21 su monomi nultog stupnja.

Stoga, da biste pronašli stupanj monoma, trebate odrediti eksponent svakog od slova koja su u njemu uključena i dodati te eksponente. Ako eksponent slova nije naveden, onda je ono jednako jedan.

Primjeri:

I kako si ti x eksponent nije naveden, što znači da je jednak 1. Monom ne sadrži druge varijable, što znači da mu je stupanj jednak 1.

Monom sadrži samo jednu varijablu na drugu potenciju, što znači da je stupanj ovog monoma 2.

3) ab 3 c 2 d

Indeks a jednako 1, eksponent b- 3, indikator c- 2, indikator d- 1. Stupanj ovog monoma jednak je zbroju ovih pokazatelja.

ja Izrazi koji se sastoje od brojeva, varijabli i njihovih potencija korištenjem akcije množenja nazivaju se monomi.

Primjeri monoma:

A) a; b) ab; V) 12; G)-3c; d) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; e)-123,45xy 5 z; i) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3).

II. Ovaj tip monoma, kada je numerički faktor (koeficijent) prvi, a zatim varijable sa svojim potencijama, naziva se standardni tip monoma.

Dakle, monomi dati gore, pod slovima a B C), G) I e) napisano u standardnom obliku, a monomi ispod slova d) I i) potrebno ju je dovesti u standardnu ​​formu, tj. u formu gdje je prvo numerički faktor, zatim slovni faktor sa eksponentima, a slovni faktori su poredani abecednim redom. Predstavimo monome d) I i) na standardni prikaz.

d) 2a 2 ∙(-3,5b) 3=2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a 2 b 3 ;

i) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3)=-8∙2.5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .

III.Zbroj eksponenata svih varijabli uključenih u monom naziva se stupanj monoma.

Primjeri. Koji stupanj imaju monomi? a) - g)?

a) a. Prvi;

b) ab. Drugi: A u prvom stupnju i b na prvu potenciju - zbroj indikatora 1+1=2 ;

V) 12. Nula, budući da nema faktora slova;

G) -3c. Prvi;

d) -85.75a 2 b 3 . Peti. Sveli smo ovaj monom na standardni oblik, jesmo A do drugog stupnja i b u trećem. Zbrojimo pokazatelje: 2+3=5 ;

e) -123,45xy 5 z. Sedmi. Zbrojili smo eksponente faktora slova: 1+5+1=7 ;

i) -60a 3 c 3 .Šesto, budući da je zbroj eksponenata faktora slova 3+3=6 .

IV. Monomi koji imaju isti dio slova nazivaju se sličnim monomima.

Primjer. Među zadanim monomima označi slične monome 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4.1a 3 pr. Kr.; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98.7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 god.

Predstavimo monome 1), 4) I 5) na standardni prikaz. Tada će linija podataka monoma izgledati ovako:

1) 3a 2 b 2 c; 2) -4.1a 3 pr. Kr.; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 pr. Kr.; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 god.

Slični će biti oni koji imaju isti slovni dio, t.j. 1) i 3) ; 2) i 4); 5) i 6).

1) 3a 2 b 2 c i 3) 56a 2 b 2 c;

2) -4.1a 3 prije Krista i 4) 98,7a 3 pr. Kr.;

5) 10a 4 x i 6) -2,3a 4 x.

Napomenuli smo da svaki monom može biti dovesti u standardni oblik. U ovom članku ćemo razumjeti što se zove dovođenje monoma u standardni oblik, koje radnje omogućuju izvođenje ovog procesa i razmotriti rješenja primjera s detaljnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Što znači svesti monom na standardni oblik?

Pogodno je raditi s monomima kada su napisani u standardnom obliku. Međutim, dosta često se monomi specificiraju u obliku različitom od standardnog. U tim slučajevima uvijek možete prijeći s izvornog monoma na monom standardnog oblika izvođenjem transformacija identiteta. Proces izvođenja takvih transformacija naziva se svođenje monoma na standardni oblik.

Sažmimo gornje argumente. Reducirajte monom na standardni oblik- to znači izvođenje identičnih transformacija s njim tako da poprimi standardni oblik.

Kako monom dovesti u standardni oblik?

Vrijeme je da shvatimo kako svesti monome na standardni oblik.

Kao što je poznato iz definicije, monomi nestandardnog oblika su umnošci brojeva, varijabli i njihovih potencija, a možda i onih koje se ponavljaju. A monom standardnog oblika može sadržavati u svom zapisu samo jedan broj i varijable koje se ne ponavljaju ili njihove potencije. Sada ostaje razumjeti kako proizvode prve vrste dovesti do vrste druge?

Da biste to učinili, morate koristiti sljedeće pravilo za svođenje monoma na standardni oblik koji se sastoji od dva koraka:

• Prvo se vrši grupiranje numeričkih faktora, kao i identičnih varijabli i njihovih snaga;
• Drugo, izračunava se i primjenjuje umnožak brojeva.

Kao rezultat primjene navedenog pravila svaki će se monom svesti na standardni oblik.

Primjeri, rješenja

Ostaje još samo naučiti primijeniti pravilo iz prethodnog odlomka pri rješavanju primjera.

Primjer.

Reducirajte monom 3 x 2 x 2 na standardni oblik.

Riješenje.

Grupirajmo numeričke faktore i faktore s varijablom x. Nakon grupiranja, izvorni monom će poprimiti oblik (3·2)·(x·x 2) . Umnožak brojeva u prvim zagradama jednak je 6, a pravilo množenja potencija s istim bazama dopušta da se izraz u drugim zagradama predstavi kao x 1 +2=x 3. Kao rezultat toga, dobivamo polinom standardnog oblika 6 x 3.

Evo kratkog sažetka rješenja: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.

Odgovor:

3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Dakle, da biste monom doveli u standardni oblik, morate biti u stanju grupirati faktore, množiti brojeve i raditi s potencijama.

Za učvršćivanje gradiva riješimo još jedan primjer.

Primjer.

Predstavite monom u standardnom obliku i navedite njegov koeficijent.

Riješenje.

Izvorni monom ima jedan numerički faktor u oznaci −1, pomaknimo ga na početak. Nakon ovoga ćemo posebno grupirati faktore s varijablom a, posebno s varijablom b, a varijablu m nemamo s čime grupirati, ostavit ćemo kako jest, imamo . Nakon izvođenja operacija s potencijama u zagradama, monom će poprimiti standardni oblik koji nam je potreban, iz kojeg možemo vidjeti da je koeficijent monoma jednak −1. Minus jedan se može zamijeniti znakom minus: .

Pojam monoma

Definicija monoma: Monom je algebarski izraz koji koristi samo množenje.

Standardni oblik monoma

Koji je standardni oblik monoma? Monom je napisan u standardnom obliku, ako ima numerički faktor na prvom mjestu i taj faktor se zove koeficijent monoma, u monomu je samo jedan, slova monoma su poredana abecednim redom i svako slovo pojavljuje samo jednom.

Primjer monoma u standardnom obliku:

ovdje je na prvom mjestu broj, koeficijent monoma, a taj broj je samo jedan u našem monomu, svako slovo se pojavljuje samo jednom i slova su poredana abecednim redom, u ovom slučaju to je latinica.

Još jedan primjer monoma u standardnom obliku:

svako slovo se javlja samo jednom, poredana su po latinskom abecednom redu, ali gdje je koeficijent monoma, tj. numerički faktor koji bi trebao biti prvi? Ovdje je jednako jedan: 1adm.

Može li koeficijent monoma biti negativan? Da, možda, primjer: -5a.

Može li koeficijent monoma biti razlomački? Da, možda, primjer: 5.2a.

Ako se monom sastoji samo od broja, tj. nema slova, kako ga mogu dovesti u standardni oblik? Svaki monom koji je broj već je u standardnom obliku, na primjer: broj 5 je monom u standardnom obliku.

Svođenje monoma na standardni oblik

Kako monom dovesti u standardni oblik? Pogledajmo primjere.

Neka je dan monom 2a4b; moramo ga dovesti u standardni oblik. Pomnožimo njegova dva numerička faktora i dobijemo 8ab. Sada je monom napisan u standardnom obliku, tj. ima samo jedan numerički faktor, napisan na prvom mjestu, svako slovo u monomu pojavljuje se samo jednom i ta su slova poredana abecednim redom. Dakle, 2a4b = 8ab.

Zadano je: monom 2a4a, dovedite monom u standardni oblik. Množimo brojeve 2 i 4, zamjenjujući umnožak aa drugom potencijom broja 2. Dobijamo: 8a 2 . Ovo je standardni oblik ovog monoma. Dakle, 2a4a = 8a 2 .

Slični monomi

Što su slični monomi? Ako se monomi razlikuju samo po koeficijentima ili su jednaki, tada se nazivaju sličnim.

Primjer sličnih monoma: 5a i 2a. Ti se monomi razlikuju samo po koeficijentima, što znači da su slični.

Jesu li monomi 5abc i 10cba slični? Dovedimo drugi monom u standardni oblik i dobijemo 10abc. Sada vidimo da se monomi 5abc i 10abc razlikuju samo po koeficijentima, što znači da su slični.

Zbrajanje monoma

Koliki je zbroj monoma? Možemo samo zbrajati slične monome. Pogledajmo primjer zbrajanja monoma. Koliki je zbroj monoma 5a i 2a? Zbroj tih monoma bit će njima sličan monom, čiji je koeficijent jednak zbroju koeficijenata članova. Dakle, zbroj monoma je 5a + 2a = 7a.

Još primjera zbrajanja monoma:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Opet. Možete zbrajati samo slične monome; zbrajanje se svodi na zbrajanje njihovih koeficijenata.

Oduzimanje monoma

Koja je razlika između monoma? Možemo oduzeti samo slične monome. Pogledajmo primjer oduzimanja monoma. Koja je razlika između monoma 5a i 2a? Razlika tih monoma bit će njima sličan monom čiji je koeficijent jednak razlici koeficijenata tih monoma. Dakle, razlika monoma je 5a - 2a = 3a.

Još primjera oduzimanja monoma:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Množenje monoma

Što je umnožak monoma? Pogledajmo primjer:

oni. umnožak monoma jednak je monomu čiji su faktori sastavljeni od faktora izvornih monoma.

Još jedan primjer:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Kako je došlo do ovog rezultata? Svaki faktor sadrži "a" na potenciju: u prvom - "a" na potenciju 2, au drugom - "a" na potenciju 5. To znači da će proizvod sadržavati "a" na potenciju od 7, jer se pri množenju istih slova eksponenti njihovih potencija presavijaju:

A 2 * a 5 = a 7 .

Isto vrijedi i za faktor “b”.

Koeficijent prvog faktora je dva, a drugog jedan, pa je rezultat 2 * 1 = 2.

Ovako je izračunat rezultat: 2a 7 b 12.

Iz ovih je primjera jasno da se koeficijenti monoma množe, a identična slova zamjenjuju zbrojevima njihovih potencija u umnošku.