Proučavanje egzaktnog predmeta: prirodni brojevi - što su brojevi, primjeri i svojstva. Neprirodni brojevi

U matematici postoji nekoliko različitih skupova brojeva: realni, kompleksni, cijeli, racionalni, iracionalni, ... U našem Svakidašnjica Prirodne brojeve najčešće koristimo, jer ih susrećemo pri brojanju i traženju, označavajući broj predmeta.

U kontaktu s

Koji se brojevi nazivaju prirodnim brojevima?

Od deset znamenki možete napisati apsolutno bilo koji postojeći zbroj klasa i činova. Prirodnim vrijednostima smatraju se one koji se koriste:

• Prilikom brojanja bilo kojih predmeta (prvi, drugi, treći, ... peti, ... deseti).
• Kod označavanja broja predmeta (jedan, dva, tri...)

N vrijednosti su uvijek cijeli i pozitivni. Ne postoji najveći N jer je skup cjelobrojnih vrijednosti neograničen.

Pažnja! Prirodni brojevi se dobivaju pri brojanju predmeta ili pri označavanju njihove količine.

Apsolutno bilo koji broj može se rastaviti i predstaviti u obliku znamenki, na primjer: 8.346.809=8 milijuna+346 tisuća+809 jedinica.

Postavite N

Skup N je u skupu realni, cijeli i pozitivni. Na dijagramu skupova oni bi se nalazili jedan u drugom, jer je skup prirodnih dio njih.

Skup prirodnih brojeva označava se slovom N. Taj skup ima početak, ali nema kraj.

Postoji i prošireni skup N, gdje je uključena nula.

Najmanji prirodni broj

U većini matematičkih škola najmanja vrijednost N smatra se jedinicom, budući da se odsutnost objekata smatra prazninom.

Ali u stranim matematičkim školama, na primjer u francuskim, smatra se prirodnim. Prisutnost nule u nizu olakšava dokaz neki teoremi.

Niz vrijednosti N koji uključuje nulu naziva se proširenim i označava se simbolom N0 (nulti indeks).

Nizovi prirodnih brojeva

N serija je niz svih N skupova znamenki. Ovaj niz nema kraja.

Osobitost prirodnog niza je da će se sljedeći broj razlikovati za jedan od prethodnog, odnosno povećavati. Ali značenja ne može biti negativan.

Pažnja! Radi lakšeg prebrojavanja, postoje klase i kategorije:

• Jedinice (1, 2, 3),
• desetice (10, 20, 30),
• Stotine (100, 200, 300),
• Tisuće (1000, 2000, 3000),
• Deseci tisuća (30.000),
• Stotine tisuća (800.000),
• Milijuni (4000000), itd.

Svi N

Svi N su u skupu realnih, cijelih, nenegativnih vrijednosti. Oni su njihovi sastavni dio.

Ove vrijednosti idu u beskonačnost, mogu pripadati klasama milijuna, milijardi, kvintilijuna itd.

Na primjer:

• Pet jabuka, tri mačića,
• Deset rubalja, trideset olovaka,
• Sto kilograma, tri stotine knjiga,
• Milijun zvijezda, tri milijuna ljudi itd.

Sekvenca u N

U različitim matematičkim školama možete pronaći dva intervala kojima pripada niz N:

od nule do plus beskonačno, uključujući krajeve, i od jedan do plus beskonačno, uključujući krajeve, to jest sve cijeli pozitivni odgovori.

N skupova znamenki mogu biti parni ili neparni. Razmotrimo koncept neobičnosti.

Nepar (svaki neparni broj završava brojevima 1, 3, 5, 7, 9.) s dva ima ostatak. Na primjer, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Što čak znači N?

Svi parni zbroji klasa završavaju brojevima: 0, 2, 4, 6, 8. Kada se parni N podijeli s 2, neće biti ostatka, odnosno rezultat je cijeli odgovor. Na primjer, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Važno! Niz brojeva od N ne može se sastojati samo od parnih ili neparnih vrijednosti, budući da se one moraju izmjenjivati: nakon parnog uvijek slijedi neparan, nakon kojeg ponovno slijedi parni, itd.

Svojstva N

Kao i svi drugi skupovi, N ima svoja posebna svojstva. Razmotrimo svojstva niza N (neproširenog).

• Vrijednost koja je najmanja i koja ne slijedi nijednu drugu je jedan.
• N predstavljaju niz, odnosno jednu prirodnu vrijednost slijedi drugi(osim jednog - to je prvi).
• Kada izvodimo računske operacije na N zbrojeva znamenki i klasa (zbrajanje, množenje), tada je odgovor uvijek ispadne prirodno značenje.
• U izračunima se mogu koristiti permutacije i kombinacije.
• Svaka sljedeća vrijednost ne može biti manja od prethodne. I u nizu N vrijedi sljedeći zakon: ako je broj A manji od B, tada će u nizu brojeva uvijek postojati C za koji vrijedi jednakost: A+C=B.
• Ako uzmemo dva prirodna izraza, na primjer A i B, tada će za njih biti istinit jedan od izraza: A = B, A je veći od B, A je manji od B.
• Ako je A manje od B, a B je manje od C, onda slijedi da da je A manje od C.
• Ako je A manji od B, onda slijedi da: ako im dodamo isti izraz (C), tada je A + C manji od B + C. Također je istina da ako se te vrijednosti pomnože s C, tada je AC manji od AB.
• Ako je B veće od A, ali manje od C, tada vrijedi: B-A je manje od C-A.

Pažnja! Sve navedene nejednakosti vrijede iu suprotnom smjeru.

Kako se zovu komponente množenja?

U mnogim jednostavnim, pa čak i složenim problemima, pronalaženje odgovora ovisi o vještinama učenika

Cijeli brojevi Vrlo su nam poznati i prirodni. I to ne čudi, budući da upoznavanje s njima počinje od prvih godina našeg života na intuitivnoj razini.

Informacije u ovom članku stvaraju osnovno razumijevanje prirodnih brojeva, otkrivaju njihovu svrhu i usađuju vještine pisanja i čitanja prirodnih brojeva. Za bolje razumijevanje gradiva dani su potrebni primjeri i ilustracije.

Navigacija po stranici.

Prirodni brojevi – opći prikaz.

Nije lišeno logike ni sljedeće mišljenje: pojava zadatka brojanja predmeta (prvi, drugi, treći predmet itd.) i zadatka označavanja broja predmeta (jedan, dva, tri predmeta itd.) dovela je do stvaranje alata za njegovo rješavanje, ovo je bio instrument cijeli brojevi.

Iz ove rečenice je jasno glavna svrha prirodnih brojeva– sadržavati informacije o broju bilo koje stavke ili serijskom broju dane stavke u skupu stavki koje se razmatraju.

Da bi čovjek mogao koristiti prirodne brojeve, oni moraju biti na neki način dostupni i percepciji i reprodukciji. Ako izgovorite svaki prirodni broj, on će postati vidljiv na uho, a ako prikažete prirodni broj, onda se može vidjeti. Ovo su najprirodniji načini prenošenja i percepcije prirodnih brojeva.

Pa počnimo usvajati vještine prikazivanja (pisanja) i izgovaranja (čitanja) prirodnih brojeva, dok učimo njihovo značenje.

Decimalni zapis prirodnog broja.

Prvo moramo odlučiti od čega ćemo polaziti pri zapisivanju prirodnih brojeva.

Prisjetimo se slika sljedećih znakova (prikazat ćemo ih odvojene zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Prikazane slike su snimka tzv brojevima. Odmah se dogovorimo da nećemo preokrenuti, naginjati ili na drugi način iskrivljavati brojeve prilikom snimanja.

Sada se složimo da u zapisu bilo kojeg prirodnog broja mogu biti prisutne samo naznačene znamenke i nikakvi drugi simboli. Dogovorimo se i da su znamenke u zapisu prirodnog broja iste visine, poredane u nizu jedna za drugom (gotovo bez uvlake) i da se s lijeve strane nalazi znamenka koja nije znamenka 0 .

Evo nekoliko primjera pravilnog pisanja prirodnih brojeva: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (imajte na umu: uvlake između brojeva nisu uvijek iste, više o tome bit će riječi prilikom pregleda). Iz gornjih primjera jasno je da zapis prirodnog broja ne mora nužno sadržavati sve znamenke 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; neke ili sve znamenke uključene u pisanje prirodnog broja mogu se ponavljati.

Postovi 014 , 0005 , 0 , 0209 nisu zapisi prirodnih brojeva, jer postoji znamenka s lijeve strane 0 .

Pisanje prirodnog broja, napravljeno uzimajući u obzir sve zahtjeve opisane u ovom odlomku, zove se decimalni zapis prirodnog broja.

Dalje nećemo razlikovati prirodne brojeve od njihovog pisanja. Objasnimo ovo: dalje u tekstu koristit ćemo izraze poput „s obzirom na prirodni broj 582 “, što će značiti da je zadan prirodni broj čiji zapis ima oblik 582 .

Prirodni brojevi u smislu broja predmeta.

Došlo je vrijeme da shvatimo kvantitativno značenje koje nosi napisani prirodni broj. O značenju prirodnih brojeva u smislu numeriranja predmeta govori se u članku Usporedba prirodnih brojeva.

Počnimo s prirodnim brojevima čiji se unosi podudaraju s unosima znamenki, odnosno brojevima 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 I 9 .

Zamislimo da smo otvorili oči i vidjeli neki predmet, na primjer, ovakav. U ovom slučaju možemo zapisati ono što vidimo 1 artikal. Prirodni broj 1 čita se kao " jedan"(deklinacija broja "jedan", kao i drugih brojeva, dat ćemo u paragrafu), za broj 1 usvojen je drugi naziv - “ jedinica».

Međutim, izraz "jedinica" ima više vrijednosti, osim prirodnog broja 1 , nazvati nešto što se smatra cjelinom. Na primjer, bilo koja stavka od mnogih može se nazvati jedinicom. Na primjer, svaka jabuka iz skupa jabuka je jedinica, svako jato ptica iz skupa jata ptica također je jedinica, itd.

Sada otvorimo oči i vidimo: . To jest, vidimo jedan objekt i drugi objekt. U ovom slučaju možemo zapisati ono što vidimo 2 subjekt. Prirodni broj 2 , glasi " dva».

Isto tako, - 3 predmet (pročitaj " tri» predmet), - 4 (« četiri") predmet, - 5 (« pet»), - 6 (« šest»), - 7 (« sedam»), - 8 (« osam»), - 9 (« devet") stavke.

Dakle, s razmatrane pozicije prirodni brojevi 1 , 2 , 3 , …, 9 naznačiti količina stavke.

Broj čiji se zapis podudara sa zapisom znamenke 0 , pod nazivom " nula" Broj nula NIJE prirodan broj, ali se obično smatra zajedno s prirodnim brojevima. Zapamtite: nula znači odsutnost nečega. Na primjer, nula stavki nije jedna stavka.

U sljedećim odlomcima članka nastavit ćemo otkrivati ​​značenje prirodnih brojeva u smislu označavanja količina.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi.

Očito, zapis svakog od prirodnih brojeva 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 sastoji se od jednog znaka – jednog broja.

Definicija.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi– to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od jednog znaka – jedne znamenke.

Nabrojimo sve jednoznamenkaste prirodne brojeve: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ukupno ima devet jednoznamenkastih prirodnih brojeva.

Dvoznamenkasti i troznamenkasti prirodni brojevi.

Najprije definirajmo dvoznamenkaste prirodne brojeve.

Definicija.

Dvoznamenkasti prirodni brojevi– to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva predznaka – dvije znamenke (različite ili iste).

Na primjer, prirodni broj 45 – dvoznamenkasti brojevi 10 , 77 , 82 također dvoznamenkasti, i 5 490 , 832 , 90 037 – nije dvoznamenkasti.

Odgonetnimo kakvo značenje imaju dvoznamenkasti brojevi, dok ćemo se nadovezati na kvantitativno značenje jednoznamenkastih prirodnih brojeva koje već znamo.

Za početak, predstavimo koncept deset.

Zamislimo ovu situaciju – otvorili smo oči i vidjeli skup od devet predmeta i još jedan predmet. U ovom slučaju govore o 1 deset (jedan tucet) predmeta. Ako se jedan deset i drugi deset promatraju zajedno, onda oni govore o 2 desetice (dvije desetice). Ako dvjema deseticama dodamo još jednu deseticu, imat ćemo tri desetice. Nastavljajući ovaj proces, dobit ćemo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i na kraju devet desetica.

Sada možemo prijeći na suštinu dvoznamenkastih prirodnih brojeva.

Da bismo to učinili, pogledajmo dvoznamenkasti broj kao dva jednoznamenkasta broja – jedan je lijevo u zapisu dvoznamenkastog broja, drugi je desno. Broj na lijevoj strani označava broj desetica, a broj na desnoj strani broj jedinica. Štoviše, ako postoji znamenka s desne strane dvoznamenkastog broja 0 , onda to znači odsutnost jedinica. To je cijela poanta dvoznamenkastih prirodnih brojeva u smislu označavanja količina.

Na primjer, dvoznamenkasti prirodni broj 72 odgovara 7 deseci i 2 jedinice (tj. 72 jabuke je skup od sedam tuceta jabuka i još dvije jabuke), i broj 30 odgovori 3 deseci i 0 nema jedinica, odnosno jedinica koje nisu spojene u desetice.

Odgovorimo na pitanje: "Koliko ima dvoznamenkastih prirodnih brojeva?" Odgovori im 90 .

Prijeđimo na definiciju troznamenkastih prirodnih brojeva.

Definicija.

Prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od 3 znakovi – 3 pozivaju se brojevi (različiti ili ponavljajući). troznamenkasti.

Primjeri prirodnih troznamenkastih brojeva su 372 , 990 , 717 , 222 . Cijeli brojevi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nisu troznamenkasti.

Da bismo razumjeli značenje svojstveno troznamenkastim prirodnim brojevima, potreban nam je koncept stotine.

Skup od deset desetica je 1 sto (sto). Sto i sto je 2 stotine. Dvije stotine i još jedna stotina je tri stotine. I tako dalje, imamo četiri stotine, pet stotina, šest stotina, sedam stotina, osam stotina i na kraju devet stotina.

Promotrimo sada troznamenkasti prirodni broj kao tri jednoznamenkasta prirodna broja, koji slijede jedan za drugim s desna na lijevo u zapisu troznamenkastog prirodnog broja. Broj s desne strane označava broj jedinica, sljedeći broj označava broj desetica, a sljedeći broj označava broj stotina. Brojke 0 u pisanju troznamenkasti broj znači odsutnost desetica i (ili) jedinica.

Dakle, troznamenkasti prirodni broj 812 odgovara 8 stotine, 1 deset i 2 jedinice; broj 305 - tristo ( 0 desetice, odnosno nema desetica koje nisu spojene u stotine) i 5 jedinice; broj 470 – četiri stotine i sedam desetica (nema jedinica koje nisu spojene u desetice); broj 500 – pet stotina (nema desetica koje nisu spojene u stotine, niti jedinica koje nisu spojene u desetice).

Slično, može se definirati četveroznamenkasti, peteroznamenkasti, šesteroznamenkasti itd. prirodni brojevi.

Višeznamenkasti prirodni brojevi.

Dakle, prijeđimo na definiciju višeznačnih prirodnih brojeva.

Definicija.

Višeznamenkasti prirodni brojevi- to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva ili tri ili četiri itd. znakovi. Drugim riječima, višeznamenkasti prirodni brojevi su dvoznamenkasti, troznamenkasti, četveroznamenkasti itd. brojevima.

Recimo odmah da je skup koji se sastoji od deset stotina tisuću, tisuću tisuća je milijun, tisuću milijuna je jedna milijarda, tisuću milijardi je jedan trilijun. Tisuću trilijuna, tisuću tisuća bilijuna i tako dalje također se mogu nazvati vlastitim imenima, ali za to nema posebne potrebe.

Dakle, koje je značenje iza višeznamenkastih prirodnih brojeva?

Promatrajmo višeznamenkasti prirodni broj kao jednoznamenkaste prirodne brojeve koji slijede jedan za drugim s desna na lijevo. Broj na desnoj strani označava broj jedinica, sljedeći broj je broj desetica, sljedeći je broj stotina, zatim broj tisuća, zatim broj desetaka tisuća, zatim stotina tisuća, zatim broj milijuna, zatim broj desetaka milijuna, zatim stotina milijuna, zatim – broj milijardi, zatim – broj desetaka milijardi, zatim – stotina milijardi, zatim – trilijuna, zatim – desetak trilijuna, zatim – stotine bilijuna i tako dalje.

Na primjer, višeznamenkasti prirodni broj 7 580 521 odgovara 1 jedinica, 2 deseci, 5 stotine, 0 tisuće, 8 deseci tisuća, 5 stotine tisuća i 7 milijuni.

Tako smo naučili grupirati jedinice u desetice, desetice u stotine, stotine u tisućice, tisućice u desetke tisuća i tako dalje, te saznali da brojevi u zapisu višeznamenkastog prirodnog broja označavaju odgovarajući broj iznad grupa.

Čitanje prirodnih brojeva, klase.

Već smo spomenuli kako se čitaju jednoznamenkasti prirodni brojevi. Naučimo sadržaje sljedećih tablica napamet.

Kako se čitaju preostali dvoznamenkasti brojevi?

Objasnimo na primjeru. Očitajmo prirodni broj 74 . Kao što smo gore saznali, ovaj broj odgovara 7 deseci i 4 jedinice, tj. 70 I 4 . Okrećemo se tablicama koje smo upravo snimili i broju 74 čitamo kao: “Sedamdeset i četiri” (ne izgovaramo veznik “i”). Ako trebate pročitati broj 74 u rečenici: „Ne 74 jabuke" (genitiv), onda će zvučati ovako: "Nema sedamdeset četiri jabuke." Još jedan primjer. Broj 88 - Ovo 80 I 8 , dakle, čitamo: "osamdeset osam." Evo primjera rečenice: "On razmišlja o osamdeset osam rubalja."

Prijeđimo na čitanje troznamenkastih prirodnih brojeva.

Da bismo to učinili, morat ćemo naučiti još nekoliko novih riječi.

Ostaje pokazati kako se čitaju preostali troznamenkasti prirodni brojevi. U ovom slučaju koristit ćemo se već stečenim vještinama čitanja jednoznamenkastih i dvoznamenkastih brojeva.

Pogledajmo primjer. Očitajmo broj 107 . Ovaj broj odgovara 1 stotinu i 7 jedinice, tj. 100 I 7 . Okrećući se tablicama, čitamo: "Sto sedam." Sada recimo broj 217 . Ovaj broj je 200 I 17 , dakle, čitamo: “Dvjesto sedamnaest.” Također, 888 - Ovo 800 (osam stotina) i 88 (osamdeset osam), čitamo: "Osamsto osamdeset osam."

Prijeđimo na čitanje višeznamenkastih brojeva.

Za čitanje se zapis višeznamenkastog prirodnog broja dijeli, počevši s desne strane, u skupine od po tri znamenke, a u krajnjoj lijevoj takvoj skupini može biti ili 1 , ili 2 , ili 3 brojevima. Ove grupe se nazivaju klase. Klasa s desne strane se zove klasa jedinica. Poziva se klasa koja slijedi (s desna na lijevo). klasa tisuća, sljedeći razred – milijunska klasa, Sljedeći - milijarda klasa, sljedeće dolazi trilijunska klasa. Možete dati nazive sljedećih klasa, ali prirodnih brojeva, čiji se zapis sastoji od 16 , 17 , 18 itd. znakovi se obično ne čitaju, jer ih je vrlo teško percipirati na uho.

Pogledajte primjere dijeljenja višeznamenkastih brojeva u klase (radi jasnoće, klase su odvojene jedna od druge malom uvlakom): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Stavimo zapisane prirodne brojeve u tablicu koja olakšava njihovo čitanje.

Za čitanje prirodnog broja njegove sastavne brojeve nazivamo razredima slijeva nadesno i dodajemo naziv razreda. Istovremeno, ne izgovaramo naziv klase jedinica, a također preskačemo one klase koje čine tri znamenke 0 . Ako unos razreda ima broj s lijeve strane 0 ili dvije znamenke 0 , tada zanemarimo ove brojeve 0 i pročitajte broj dobiven odbacivanjem tih brojeva 0 . npr. 002 čitati kao "dva", i 025 - kao u "dvadeset pet."

Očitajmo broj 489 002 prema zadanim pravilima.

Čitamo s lijeva na desno,

• pročitaj broj 489 , predstavljajući klasu tisuća, je "četiristo osamdeset i devet";
• dodajte naziv klase, dobivamo "četiristo osamdeset devet tisuća";
• dalje u klasi jedinica vidimo 002 , lijevo su nule, stoga ih ignoriramo 002 čitati kao "dva";
• nema potrebe dodavati naziv klase jedinice;
• na kraju imamo 489 002 - "četiristo osamdeset devet tisuća dva."

Počnimo čitati broj 10 000 501 .

• S lijeve strane u klasi milijuna vidimo broj 10 , čitati "deset";
• dodajte naziv razreda, imamo “deset milijuna”;
• tada vidimo unos 000 u klasi tisućica, budući da su sve tri znamenke znamenke 0 , tada preskačemo ovaj razred i prelazimo na sljedeći;
• klasa jedinica predstavlja broj 501 , što čitamo “petsto jedan”;
• Tako, 10 000 501 - deset milijuna petsto jedan.

Učinimo to bez detaljnog objašnjenja: 1 789 090 221 214 - “jedan bilijun sedamsto osamdeset devet milijardi devedeset milijuna dvjesto dvadeset jedna tisuća dvjesto četrnaest.”

Dakle, temelj vještine čitanja višeznamenkastih prirodnih brojeva je sposobnost dijeljenja višeznamenkastih brojeva u razrede, poznavanje naziva razreda i sposobnost čitanja troznamenkastih brojeva.

Znamenke prirodnog broja, vrijednost znamenke.

U pisanju prirodnog broja značenje svake znamenke ovisi o njezinu položaju. Na primjer, prirodni broj 539 odgovara 5 stotine, 3 deseci i 9 jedinice, dakle, brojka 5 u pisanju broja 539 određuje broj stotica, znamen 3 – broj desetica i znamenka 9 - broj jedinica. Istodobno kažu da brojka 9 troškovi u znamenka jedinica i broj 9 je jedinična znamenka vrijednost, broj 3 troškovi u mjesto desetica i broj 3 je mjesna vrijednost desetica, i brojka 5 - V stotine mjesta i broj 5 je stotine mjesne vrijednosti.

Tako, pražnjenje- s jedne strane, to je položaj znamenke u zapisu prirodnog broja, as druge strane, vrijednost te znamenke, određena njezinim položajem.

Kategorijama su dana imena. Ako brojeve u zapisu prirodnog broja promatrate s desna na lijevo, tada će oni odgovarati sljedećim znamenkama: jedinice, desetice, stotine, tisuće, desetice tisuća, stotine tisuća, milijuni, deseci milijuna i tako dalje.

Zgodno je zapamtiti nazive kategorija kada su prikazane u obliku tablice. Napišimo tablicu koja sadrži nazive 15 kategorija.

Imajte na umu da je broj znamenki zadanog prirodnog broja jednak broju znakova koji su uključeni u pisanje tog broja. Dakle, snimljena tablica sadrži nazive znamenki svih prirodnih brojeva, čiji zapis sadrži do 15 znakova. Sljedeći činovi također imaju svoja imena, ali se vrlo rijetko koriste, pa ih nema smisla spominjati.

Pomoću tablice znamenaka zgodno je odrediti znamenke zadanog prirodnog broja. Da biste to učinili, potrebno je ovaj prirodni broj upisati u ovu tablicu tako da u svakoj znamenki bude jedna znamenka, a krajnja desna znamenka je u znamenki jedinica.

Navedimo primjer. Zapišimo prirodni broj 67 922 003 942 u tablicu, a znamenke i značenja tih znamenki postat će jasno vidljivi.

Broj u ovom broju je 2 stoji na mjestu jedinica, znamenka 4 – na mjestu desetica znamenka 9 – na mjestu stotica itd. Treba obratiti pozornost na brojke 0 , smještenih u desetke tisuća i stotine tisuća kategorija. Brojke 0 u ovim znamenkama znači nepostojanje jedinica tih znamenki.

Vrijedno je spomenuti i tzv. najnižu (mlađu) i najvišu (najznačajniju) znamenku višeznamenkastog prirodnog broja. Najniži (mlađi) rang svakog višeznamenkastog prirodnog broja je znamenka jedinice. Najviša (najvažnija) znamenka prirodnog broja je znamenka koja odgovara krajnjoj desnoj znamenki u zapisu ovog broja. Na primjer, niža znamenka prirodnog broja 23 004 je znamenka jedinica, a najviša znamenka je znamenka desetaka tisuća. Ako se u zapisu prirodnog broja krećemo po znamenkama slijeva nadesno, onda svaka sljedeća znamenka niži (mlađi) prethodni. Na primjer, tisućica je niža od tisućice, a još više tisućica niža od stotine tisuća, milijuna, desetaka milijuna itd. Ako se u zapisu prirodnog broja pomičemo znamenkama s desna na lijevo, onda svaka sljedeća znamenka viši (stariji) prethodni. Na primjer, znamenka stotica starija je od znamenke desetica, a još više od znamenke jedinica.

U nekim slučajevima (na primjer, kada se izvodi zbrajanje ili oduzimanje), ne koristi se sam prirodni broj, već zbroj članova znamenki tog prirodnog broja.

Ukratko o decimalnom brojevnom sustavu.

Dakle, upoznali smo se s prirodnim brojevima, njihovim značenjem i načinom zapisivanja prirodnih brojeva pomoću deset znamenki.

Općenito, metoda pisanja brojeva pomoću znakova naziva se brojevni sustav. Značenje znamenke u zapisu brojeva može, ali i ne mora ovisiti o njezinu položaju. Nazivaju se brojevni sustavi u kojima vrijednost znamenke u broju ovisi o njezinu položaju pozicijski.

Dakle, prirodni brojevi koje smo ispitali i način njihovog zapisivanja pokazuju da koristimo položajni brojevni sustav. Treba napomenuti da broj u ovom brojevnom sustavu ima posebno mjesto 10 . Doista, brojanje se vrši u deseticama: deset jedinica se kombinira u deset, desetak desetica se kombinira u stotinu, desetak stotina se kombinira u tisuću, i tako dalje. Broj 10 nazvao osnova zadani brojevni sustav, a sam brojevni sustav nazivamo decimal.

Osim decimalnog brojevnog sustava postoje i drugi, npr. u informatici se koristi binarni pozicijski brojevni sustav, a šezdesetinski sustav susrećemo kada je u pitanju mjerenje vremena.

Bibliografija.

• Matematika. Bilo koji udžbenik za 5. razred općeobrazovnih ustanova.

Cijeli brojevi– brojevi koji se koriste za brojanje predmeta . Svaki prirodan broj može se napisati deseticom brojevi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ova vrsta broja se zove decimal

Niz svih prirodnih brojeva naziva se prirodno pored .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Najviše mali prirodni broj je jedan (1). U prirodnom nizu svaki sljedeći broj je za 1 veći od prethodnog. Prirodne serije beskrajno, u njemu nema najvećeg broja.

Značenje znamenke ovisi o njezinu mjestu u zapisu broja. Na primjer, broj 4 znači: 4 jedinice ako je na zadnjem mjestu u zapisu brojeva (na mjestu jedinica); 4 deset, ako je ona na pretposljednjem mjestu (na mjestu desetica); 4 stotine, ako je na trećem mjestu od kraja (V stotine mjesto).

Broj 0 znači nepostojanje jedinica ove kategorije u decimalnom zapisu broja. Služi i za označavanje broja “ nula" Ovaj broj znači "ništa". Rezultat 0:3 u nogometnoj utakmici znači da prva momčad protivniku nije zabila niti jedan gol.

Nula ne uključuju prirodnim brojevima. I doista, brojanje predmeta nikada ne počinje od nule.

Ako se zapis prirodnog broja sastoji od jednog znaka – jedna znamenka, tada se zove nedvosmislen. Oni. nedvosmislenprirodni broj– prirodni broj, čiji se zapis sastoji od jednog znaka – jedna znamenka. Na primjer, brojevi 1, 6, 8 su jednoznamenkasti.

Dvoznamenkastiprirodni broj– prirodni broj, čiji se zapis sastoji od dva znaka – dvije znamenke.

Na primjer, brojevi 12, 47, 24, 99 su dvoznamenkasti brojevi.

Također, na temelju broja znakova u određenom broju, daju imena drugim brojevima:

brojevi 326, 532, 893 – troznamenkasti;

brojevi 1126, 4268, 9999 – četveroznamenkasti itd.

Dvoznamenkasti, troznamenkasti, četveroznamenkasti, peteroznamenkasti itd. pozivaju se brojevi višeznamenkasti brojevi .

Za čitanje višeznamenkastih brojeva, oni se dijele, počevši s desne strane, u skupine od po tri znamenke (krajnja lijeva skupina može se sastojati od jedne ili dvije znamenke). Ove grupe se nazivaju klase.

milijun– ovo je tisuću tisuća (1000 tisuća), piše se 1 milijun ili 1.000.000.

milijarda- to je 1000 milijuna. Zapisuje se kao 1 milijarda ili 1.000.000.000.

Prve tri znamenke s desne strane čine klasu jedinica, sljedeće tri – klasu tisućica, zatim slijede klase milijuna, milijardi itd. (Sl. 1).

Riža. 1. Klasa milijuna, klasa tisućica i klasa jedinica (s lijeva na desno)

Broj 15389000286 upisan je u bitnu mrežu (slika 2).

Riža. 2. Bitna mreža: broj 15 milijardi 389 milijuna 286

Ovaj broj ima 286 jedinica u klasi jedinica, nula jedinica u klasi tisućica, 389 jedinica u klasi milijuna i 15 jedinica u klasi milijardi.

Definicija

Prirodni brojevi su brojevi namijenjeni prebrojavanju predmeta. Za bilježenje prirodnih brojeva koristi se 10 arapskih brojeva (0–9), koji čine osnovu općeprihvaćenog decimalnog brojevnog sustava za matematičke izračune.

Niz prirodnih brojeva

Prirodni brojevi tvore niz koji počinje s 1 i pokriva skup svih pozitivnih cijelih brojeva. Ovaj niz se sastoji od brojeva 1,2,3,.... To znači da u prirodnom nizu:

1. Postoji najmanji broj i ne postoji najveći.
2. Svaki sljedeći broj veći je od prethodnog za 1 (osim same jedinice).
3. Kako brojevi teže beskonačnosti, rastu bez ograničenja.

Ponekad se u niz prirodnih brojeva uvodi 0. To je prihvatljivo i onda se o tome govori proširena prirodne serije.

Klase prirodnih brojeva

Svaka znamenka prirodnog broja izražava određenu znamenku. Posljednji je uvijek broj jedinica u broju, prethodni prije njega je broj desetica, treći od kraja je broj stotica, četvrti je broj tisućica i tako dalje.

• u broju 276: 2 stotine, 7 desetica, 6 jedinica
• u broju 1098: 1 tisuća, 9 desetica, 8 jedinica; Ovdje nedostaje mjesto stotica jer je izraženo kao nula.

Za velike i vrlo velike brojeve možete vidjeti stabilan trend (ako broj pregledate s desna na lijevo, odnosno od zadnje znamenke do prve):

• zadnje tri znamenke u broju su jedinice, desetice i stotine;
• prethodna tri su jedinice, deseci i stotine tisuća;
• tri ispred njih (tj. 7., 8. i 9. znamenka broja, računajući od kraja) su jedinice, desetice i stotine milijuna itd.

Odnosno, svaki put kada imamo posla s tri znamenke, što znači jedinice, desetice i stotine nekog većeg naziva. Takve grupe tvore razrede. A ako se s prva tri razreda u svakodnevnom životu morate nositi češće ili rjeđe, onda treba navesti ostale, jer ne pamte svi njihova imena napamet.

• Četvrta klasa, koja slijedi klasu milijuna i predstavlja brojeve od 10-12 znamenki, naziva se milijarda (ili milijarda);
• 5. razred – bilijun;
• 6. razred – kvadrilijun;
• 7. razred – kvintilijun;
• 8. razred – sextillion;
• 9. razred – septilj.

Zbrajanje prirodnih brojeva

Zbrajanje prirodnih brojeva je aritmetička operacija koja vam omogućuje da dobijete broj koji sadrži isti broj jedinica koliko ih ima u brojevima koji se zbrajaju.

Znak sabiranja je znak “+”. Zbrojeni brojevi nazivaju se pribrojnici, a dobiveni rezultat naziva se zbroj.

Mali brojevi zbrajaju se (zbrajaju) usmeno, a pismeno se takve radnje zapisuju na crtu.

Višeznamenkasti brojevi koje je teško zbrojiti u glavi obično se dodaju u stupac. Da bi to učinili, brojevi se pišu jedan ispod drugog, poravnati prema zadnjoj znamenki, odnosno mjesto jedinica se upisuje ispod mjesta jedinica, mjesto stotica ispod mjesta stotina i tako dalje. Zatim trebate zbrojiti znamenke u parovima. Ako se zbrajanje znamenki događa s prijelazom kroz deseticu, tada je ta desetica fiksirana kao jedinica iznad znamenke s lijeve strane (odnosno sljedeće) i zbraja se zajedno sa znamenkama te znamenke.

Ako se stupcu dodaju ne 2, već više brojeva, tada se pri zbrajanju znamenki mjesta može pokazati da je suvišno ne 1 deset, već nekoliko. U ovom slučaju, broj takvih desetica prenosi se na sljedeću znamenku.

Oduzimanje prirodnih brojeva

Oduzimanje je aritmetička operacija, obratna od zbrajanja, koja se svodi na činjenicu da pomoću raspoloživog zbroja i jednog od izraza trebate pronaći drugi - nepoznati izraz. Broj od kojeg se oduzima zove se umanjenik; broj koji se oduzima se može oduzeti. Rezultat oduzimanja zove se razlika. Znak koji se koristi za označavanje radnje oduzimanja je “–”.

Pri prelasku na zbrajanje oduzimac i razlika pretvaraju se u pribrojnike, a umanjenik u zbroj. Zbrajanjem se obično provjerava ispravnost oduzimanja i obrnuto.

Ovdje je 74 umanjenik, 18 umanjenik, 56 razlika.

Preduvjet za oduzimanje prirodnih brojeva je sljedeći: umanjenik mora biti veći od umanjenika. Samo u tom slučaju dobivena razlika će također biti prirodan broj. Ako se radnja oduzimanja provodi za prošireni prirodni niz, tada je dopušteno da umanjenik bude jednak oduzetiku. A rezultat oduzimanja u ovom slučaju bit će 0.

Napomena: ako je umanjenik jednak nuli, tada operacija oduzimanja ne mijenja vrijednost umanjenika.

Oduzimanje višeznamenkastih brojeva obično se vrši u stupcu. Brojevi se pišu na isti način kao kod zbrajanja. Oduzimanje se izvodi za odgovarajuće znamenke. Ako se pokaže da je umanjenik manji od umanjenika, tada se s prethodne (lijevo) znamenke uzima jedan, koji se nakon prijenosa prirodno pretvara u 10. Ta se desetica zbraja s brojem zadane znamenke. se rudari i zatim se vrši oduzimanje. Zatim, pri oduzimanju sljedeće znamenke, svakako uzmite u obzir da je ona koja se smanjuje postala 1 manja.

Umnožak prirodnih brojeva

Umnožak (ili množenje) prirodnih brojeva je aritmetička operacija koja predstavlja pronalaženje zbroja proizvoljnog broja istih članova. Za pisanje akcije množenja koristite znak “·” (ponekad “×” ili “*”). Na primjer: 3·5=15.

Radnja množenja je neizostavna kada je potrebno zbrajati veliki broj članova. Na primjer, ako trebate zbrojiti broj 4 7 puta, tada je množenje 4 sa 7 lakše nego izvođenje sljedećeg zbrajanja: 4+4+4+4+4+4+4.

Brojevi koji se množe nazivaju se faktori, rezultat množenja naziva se umnožak. Prema tome, pojam “proizvod” može, ovisno o kontekstu, izražavati i proces množenja i njegov rezultat.

Višeznamenkasti brojevi se množe u stupac. Za to se brojevi pišu na isti način kao za zbrajanje i oduzimanje. Preporuča se prvo zapisati najduži od 2 broja (iznad). U tom će slučaju proces množenja biti jednostavniji i stoga racionalniji.

Kod množenja u stupcu, znamenke svake od znamenki drugog broja uzastopno se množe znamenkama 1. broja, počevši od njegovog kraja. Nakon što ste pronašli prvi takav umnožak, zapišite znamenku jedinica, a imajte na umu znamenku desetica. Pri množenju znamenke 2. broja sa sljedećom znamenkom 1. broja umnošku se pribraja znamenka koja se ima na umu. I opet zapišite broj jedinica dobivenog rezultata i zapamtite broj desetica. Kada se pomnoži sa zadnjom znamenkom 1. broja, tako dobiveni broj zapisuje se u cijelosti.

Rezultati množenja znamenke 2. znamenke drugog broja upisani su u drugi red, pomaknuvši ga za 1 ćeliju udesno. I tako dalje. Kao rezultat, dobit će se "ljestve". Sve rezultirajuće redove brojeva potrebno je zbrajati (prema pravilu zbrajanja stupaca). Prazne ćelije treba smatrati ispunjenima nulama. Rezultirajući zbroj je konačni proizvod.

Bilješka

1. Umnožak bilo kojeg prirodnog broja s 1 (ili 1 s brojem) jednak je samom broju. Na primjer: 376·1=376; 1·86=86.
2. Kada su jedan od faktora ili oba faktora jednaki 0, tada je umnožak jednak 0. Na primjer: 32·0=0; 0·845=845; 0·0=0.

Dijeljenje prirodnih brojeva

Dijeljenje je aritmetička operacija uz pomoć koje se za poznati umnožak i jedan od faktora može pronaći drugi – nepoznati – faktor. Dijeljenje je obrnuto od množenja i koristi se za provjeru je li množenje ispravno izvedeno (i obrnuto).

Broj koji se dijeli zove se dividenda; broj kojim se dijeli je djelitelj; rezultat dijeljenja naziva se kvocijent. Znak dijeljenja je “:” (ponekad, rjeđe, “÷”).

Ovdje je 48 dividenda, 6 je djelitelj, 8 je kvocijent.

Ne mogu se svi prirodni brojevi među sobom podijeliti. U tom slučaju podijelite s ostatkom. Sastoji se u tome da se za djelitelj odabere faktor tako da njegov umnožak s djeliteljem bude broj koji je po vrijednosti što bliži dividendi, ali manji od nje. Djelitelj se množi s tim faktorom i oduzima od dividende. Razlika će biti ostatak dijeljenja. Umnožak djelitelja i faktora nazivamo nepotpunim kvocijentom. Pažnja: stanje mora biti manje od odabranog množitelja! Ako je ostatak veći, to znači da je množitelj krivo odabran i da ga treba povećati.

Odabiremo faktor za 7. U ovom slučaju to je broj 5. Nalazimo nepotpuni kvocijent: 7·5=35. Računamo ostatak: 38-35=3. Od 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Višeznamenkasti brojevi podijeljeni su u stupac. Da biste to učinili, dividenda i djelitelj su napisani jedan pored drugog, odvajajući djelitelj okomitom i vodoravnom crtom. U dividendi je izolirana prva znamenka ili prvih nekoliko znamenki (desno) koje moraju predstavljati broj minimalno dovoljan za dijeljenje djeliteljem (odnosno taj broj mora biti veći od djelitelja). Za ovaj broj odabran je nepotpun kvocijent, kao što je opisano u pravilu za dijeljenje s ostatkom. Ispod djelitelja upisuje se znamenka množitelja kojom se nalazi parcijalni kvocijent. Nepotpuni kvocijent upisuje se ispod broja koji se dijeli, poravnat udesno. Pronađite njihovu razliku. Zapišite sljedeću znamenku dividende tako što ćete je napisati pored ove razlike. Za dobiveni broj opet se parcijalni kvocijent nalazi tako da se ispod djelitelja upiše znamenka odabranog množitelja uz prethodnu. I tako dalje. Takve radnje se provode sve dok ne ponestane znamenki dividende. Nakon toga podjela se smatra završenom. Ako se dividenda i djelitelj dijele s cjelinom (bez ostatka), tada će zadnja razlika dati nulu. U suprotnom će se dobiti preostali broj.

Potenciranje

Potenciranje je matematička operacija koja uključuje množenje proizvoljnog broja istih brojeva. Na primjer: 2·2·2·2.

Takvi izrazi se pišu u obliku: a x,

Gdje a– broj pomnožen sam sa sobom, x– broj takvih faktora.

Prosti i složeni prirodni brojevi

Svaki prirodni broj, osim 1, može se podijeliti na najmanje 2 broja - jedan i samog sebe. Na temelju tog kriterija prirodni se brojevi dijele na proste i složene.

Prosti brojevi su brojevi koji su djeljivi samo s 1 i sami sa sobom. Brojevi koji su djeljivi s više od ova 2 broja nazivaju se složeni brojevi. Jedinica djeljiva samo po sebi nije ni jednostavna ni složena.

Prosti brojevi su: 2,3,5,7,11,13,17,19 itd. Primjeri složenih brojeva: 4 (djeljivo s 1,2,4), 6 (djeljivo s 1,2,3,6), 20 (djeljivo s 1,2,4,5,10,20).

Svaki složeni broj može se rastaviti na proste faktore. Pod prostim faktorima podrazumijevamo njegove djelitelje, koji su prosti brojevi.

Primjer rastavljanja na proste faktore:

Djelitelji prirodnih brojeva

Djelitelj je broj kojim se dati broj može podijeliti bez ostatka.

U skladu s ovom definicijom, prosti prirodni brojevi imaju 2 djelitelja, a složeni brojevi imaju više od 2 djelitelja.

Mnogi brojevi imaju zajedničke faktore. Zajednički djelitelj je broj koji dijeli zadane brojeve bez ostatka.

• Brojevi 12 i 15 imaju zajednički djelitelj 3
• Brojevi 20 i 30 imaju zajedničke djelitelje 2,5,10

Od posebne je važnosti najveći zajednički djelitelj (NOD). Ovaj broj je posebno korisno pronaći za smanjenje razlomaka. Da biste ga pronašli, trebate rastaviti zadane brojeve na proste faktore i predstaviti ih kao umnožak njihovih zajedničkih prostih faktora, uzetih u njihovim najmanjim potencijama.

Morate pronaći gcd brojeva 36 i 48.

Djeljivost prirodnih brojeva

Nije uvijek moguće okom odrediti je li jedan broj djeljiv s drugim bez ostatka. U takvim slučajevima korisnim se pokazuje odgovarajući test djeljivosti, odnosno pravilo po kojem se u nekoliko sekundi može utvrditi mogu li se brojevi dijeliti bez ostatka. Znak “” koristi se za označavanje djeljivosti.

Najmanji zajednički višekratnik

Ova količina (označena kao LOC) je najmanji broj koji je djeljiv svakom od zadanih jedinica. LCM se može pronaći za proizvoljan skup prirodnih brojeva.

NOC, kao i GCD, ima značajno praktično značenje. Dakle, LCM je taj koji treba pronaći dovođenjem običnih razlomaka na zajednički nazivnik.

LCM se određuje rastavljanjem danih brojeva na proste faktore. Da biste ga formirali, uzmite proizvod koji se sastoji od svakog od prisutnih (barem za 1 broj) prostih faktora, predstavljenih do najvećeg stupnja.

Morate pronaći LCM brojeva 14 i 24.

Prosjek

Aritmetička sredina proizvoljnog (ali konačnog) broja prirodnih brojeva zbroj je svih tih brojeva podijeljen s brojem članova:

Aritmetička sredina je neka prosječna vrijednost za numerički skup.

Dati brojevi su 2,84,53,176,17,28. Morate pronaći njihovu aritmetičku sredinu.