सह अभाज्य संख्याओं का नोड क्या है। महत्तम सामान्य भाजक

प्राकृत संख्याएँ a और b कहलाती हैं सह अभाज्य, यदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 (gcd(a ; b ) = 1) है। दूसरे शब्दों में, यदि संख्याओं a और b में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो वे सहअभाज्य हैं।

सहअभाज्य संख्याओं के युग्मों के उदाहरण: 2 और 5, 13 और 16, 35 और 88, आदि। आप कई सहअभाज्य संख्याएँ निर्दिष्ट कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, संख्याएँ 7, 9, 16 सहअभाज्य हैं।

अक्सर सहअभाज्य संख्याओं को निम्नानुसार दर्शाया जाता है: (ए, बी) \u003d 1. उदाहरण के लिए, (23, 30) \u003d 1. यह प्रविष्टि, जैसा कि यह थी, दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक के पदनाम के लिए एक संक्षिप्त नाम है। (जीसीडी (23, 30) \u003d 1), और कहता है कि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है।

दो आसन्न प्राकृत संख्याएँ सदैव सहअभाज्य होंगी।उदाहरण के लिए, 15 और 16 सहअभाज्य संख्याओं की एक जोड़ी है, ठीक 16 और 17 की तरह। यह समझना आसान है अगर हम "नियम" को ध्यान में रखते हैं कि यदि दो प्राकृतिक संख्याएं ए और बी एक ही प्राकृतिक संख्या से विभाज्य हैं 1 (n> 1), तो उनका अंतर भी इस संख्या n से विभाज्य होना चाहिए (यहाँ हमारा मतलब है कि a, b और उनके अंतर को एक पूर्णांक से विभाजित किया जाता है, अर्थात वे संख्या n के गुणज हैं)। लेकिन अगर a और b दो आसन्न संख्याएं हैं (मान लीजिए a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

यह सहअभाज्य संख्याओं और अभाज्य संख्याओं की परिभाषा से भी अनुसरण करता है कि विभिन्न अभाज्य संख्याएँ हमेशा सहअभाज्य होती हैं. आखिरकार, किसी भी अभाज्य संख्या के केवल भाजक स्वयं और 1 होते हैं।

सहअभाज्य संख्याओं के गुण

• सहअभाज्य संख्याओं के एक युग्म का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) उनके गुणनफल के बराबर होता है।उदाहरण के लिए, (3, 8) = 1 (जिसका अर्थ अपेक्षाकृत अभाज्य है), इसलिए उनका एलसीएम 3 × 8 = 24 (एलसीएम (3, 8) = 24) है। वास्तव में, आपको 24 से छोटी संख्या नहीं मिलेगी जो 3 और 8 दोनों का गुणज हो।
• यदि संख्याएँ a और b सहअभाज्य हैं और संख्या c, a और b दोनों का गुणज है, तो यह संख्या भी ab के गुणनफल की गुणज होगी। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: यदि c a और c b , तो c ab । उदाहरण के लिए, (3, 10) = 1, संख्या 60, 3 और 10 दोनों का गुणज है, और 30 (3 × 10) का गुणज भी है।
• यदि संख्याएँ a और b सहअभाज्य हैं और संख्या c को b (c b) के गुणज के रूप में लिया जाता है, तो गुणनफल ac भी b (ac b) का गुणज होगा। उदाहरण के लिए, (2, 17) = 1, मान लीजिए c = 34। संख्या 34, b = 17 का गुणज है, फिर ac = 2 × 34 = 68। जाँच करें: 68 17 = 4, अर्थात, यह विभाज्य है, जिसका अर्थ है 68 एक गुणज 17 है।

आमतौर पर यहां सूचीबद्ध की तुलना में अधिक गुण होते हैं। इसके अलावा, अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के गुण अलग-अलग तरीकों से तैयार किए जाते हैं। कभी-कभी इन गुणों को सिद्ध करना भी आवश्यक होता है (इस मामले में कोई प्रमाण नहीं दिया जाता है)।

सहअभाज्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक हमेशा एक होता है।

अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के नोड्स के उदाहरण।

संख्या 11 और 7 . की जीसीडी

संख्या 11 और 7 सहअभाज्य हैं और साथ ही, अभाज्य हैं।

संख्या 11 और 7 में 1 के अलावा कोई अन्य सामान्य भाजक नहीं है।

जीसीडी(11, 7) = 1

संख्या 11 और 15 . की जीसीडी

संख्या 11 और 15 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। इस मामले में, 11 एक अभाज्य संख्या है, और 15 एक भाज्य संख्या है।

11 के भाजक 1 और 11 हैं।

15 के भाजक 1, 3, 5, 15 हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 11 और 15 का एकमात्र सामान्य गुणनखंड संख्या 1 है। इसलिए, इकाई 11 और 15 की जीसीडी है:

जीसीडी (11, 15) = 1

संख्या 10 और 21 की जीसीडी

संख्या 10 और 21 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। इस मामले में, संख्या 10 और संख्या 21 दोनों संयुक्त हैं।

10 के गुणनखंड 1, 2, 5, 10 हैं।

संख्या 21 के गुणनखंड 1, 3, 7, 21 हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 10 और 21 का एकमात्र सामान्य कारक संख्या 1 है। इसलिए, इकाई, संख्या 10 और 21 की GCD है:

जीसीडी (21, 10) = 1

संख्या 16 और 23 की जीसीडी

संख्या 16 और 23 सहअभाज्य हैं। इस मामले में, 23 एक अभाज्य संख्या है, और 16 एक भाज्य संख्या है।

कार्य: सबसे सुविधाजनक तरीके से संख्याओं का GCD और LCM खोजें:

ए) 12 और 40; बी) 9 और 40; ग) 12 और 72।

टास्क के लिए 5 मिनट का समय दिया जाता है।

प्रत्येक व्यायाम करने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?

स्लाइड ब्रेकडाउन।

ए) अपघटन विधि द्वारा प्रमुख कारकों में हल करना अधिक सुविधाजनक है

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

जीसीडी(12;40)=2 2=4; एलसीएम(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

ख) क्या संख्या 9 और 40 में उभयनिष्ठ भाजक हैं? (है, 1.)

इन नंबरों को क्या कहा जाता है? ? (सह अभाज्य।)

इन नंबरों का GCD क्या है ? (जीसीडी (9;40) = 1)

इन नंबरों का एलसीएम क्या है ? (एलसीएम (9;40) = 9 40=360।)

ग) आप संख्या 12 और 72 . के बारे में क्या कह सकते हैं? ? (72 12 से विभाजित) हम क्या नियम जानते हैं? (यदि एक संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य है, तो GCD = सबसे छोटी संख्या, और LCM - सबसे बड़ी)

जीसीडी(12;72) = 12; एलसीएम(12;72) = 72

आपने जो डेटा प्राप्त किया है उसकी जाँच उस मानक से करें जो शिक्षक की मेज पर है।

एफओ: मानक शीट में लिखे मानदंडों के अनुसार खुद का मूल्यांकन करें। कसौटी के आगे टिक लगाएं।

7 टिक - उच्च स्तर

6-4 टिक - औसत स्तर

1-3 टिक - निम्न स्तर

फ़िज़मिनुत्का

जल्दी से उठा, मुस्कुराया,

ऊपर खींच लिया।

अच्छा, अपने कंधों को सीधा करो

नीचे करो।

दाएं मुड़ें, बाएं मुड़ें

अपने हाथों को अपने घुटनों से स्पर्श करें।

बैठो, उठो, बैठो, उठो

और वे मौके पर दौड़ पड़े।

शिक्षक का प्रश्न: हम पहले से ही GCD और LCM संख्याओं के अपने ज्ञान का उपयोग कहाँ कर रहे हैं?

समस्याओं का समाधान करते समय।

उनके सामने शिक्षक की मेज पर 21 पंखुड़ियों वाला "काम का कैमोमाइल" है।

लाल पंखुड़ी - स्तर सी कार्य।

पीली पंखुड़ी - स्तर बी के कार्य।

हरी पंखुड़ी - स्तर ए कार्य।

	माशा ने स्टोर में भालू के लिए अंडे खरीदे। जंगल के रास्ते में, उसने महसूस किया कि अंडों की संख्या 2,3,5,10 और 15 से विभाज्य है। माशा ने कितने अंडे खरीदे?
	210 बरगंडी में से 126 सफेद, 294 लाल गुलाब, गुलदस्ते एकत्र किए गए, और प्रत्येक गुलदस्ता में एक ही रंग के गुलाबों की संख्या बराबर है। इन गुलाबों से बने गुलदस्ते की सबसे बड़ी संख्या क्या है और एक गुलदस्ते में प्रत्येक रंग के कितने गुलाब हैं?
	कार्डबोर्ड की एक शीट में एक आयत का आकार होता है, जिसकी लंबाई 48 सेमी और चौड़ाई 40 सेमी होती है। इस शीट को बिना कचरे के बराबर वर्गों में काटा जाना चाहिए। इस शीट से प्राप्त किए जा सकने वाले सबसे बड़े वर्ग कौन से हैं और कितने हैं?
	परेड ग्राउंड पर कितने सैनिक मार्च कर रहे हैं यदि वे एक लाइन में 12 लोगों के गठन में मार्च करते हैं और एक लाइन में 18 लोगों के कॉलम में बदल जाते हैं?
	बंदरगाह शहर में तीन पर्यटक नाव यात्राएं शुरू होती हैं, जिनमें से पहली 15 दिनों तक चलती है, दूसरी - 20 और तीसरी - 12 दिन। बंदरगाह पर लौटकर, जहाज उसी दिन फिर से यात्रा पर जाते हैं। मोटर जहाजों ने आज तीनों मार्गों पर बंदरगाह से प्रस्थान किया। वे कितने दिनों में पहली बार एक साथ यात्रा करेंगे?प्रत्येक जहाज कितनी यात्राएं करेगा?
	कमरे में चिमनी को एक वर्ग के आकार में परिष्करण टाइलों के साथ रखा जाना चाहिए। 195 156 सेमी की चिमनी के लिए कितनी टाइलों की आवश्यकता होती है और टाइलों का सबसे बड़ा आकार क्या होता है?
	वोलोडा का कदम 75 सेमी है, और कात्या का कदम 60 सेमी है। वे दोनों कितनी न्यूनतम दूरी पर कदमों की पूर्णांक संख्या लेंगे?
	नए साल के तोहफे के लिए हमने 180 सेब, 90 संतरे और 900 मिठाइयां खरीदीं। सभी बच्चों को समान उपहार मिले। इन फलों और मिठाइयों से बने समान उपहारों की सबसे बड़ी संख्या क्या है?
	परिधि के चारों ओर 54 48 मीटर मापने वाले एक बगीचे के भूखंड को बंद कर दिया जाना चाहिए, इसके लिए नियमित अंतराल पर कंक्रीट के खंभे लगाए जाने चाहिए। साइट के लिए कितने डंडे लाने होंगे, और डंडे एक दूसरे से अधिकतम कितनी दूरी पर खड़े होंगे?
	खोजें: एलसीएम (360; 252)।
	नए साल के तोहफे के लिए 78 चॉकलेट बार, 156 जिंजरब्रेड, कुकीज के 52 पैक, 104 संतरे और 130 सेब खरीदे गए। आपके द्वारा एकत्रित किए जा सकने वाले समान उपहारों की सबसे बड़ी संख्या क्या है?
	16 20 सेमी मापने वाले बक्से को ढेर करने के लिए एक वर्ग तल के साथ एक बॉक्स बनाना आवश्यक है। बॉक्स में फ्लश बॉक्स को फिट करने के लिए चौकोर तल का सबसे छोटा पक्ष क्या होना चाहिए?
	GCD(720,216), LCM(720,216) की गणना करें।
	LCM (308.264) से GCM (308.264) का अनुपात क्या है?
	क्रिसमस ट्री की व्यवस्था के लिए, उन्होंने नट, मिठाई और जिंजरब्रेड - कुल 760 टुकड़े खरीदे। उन्होंने मिठाइयों की तुलना में 80 अधिक नट्स और नट्स की तुलना में 120 कम जिंजरब्रेड ली। बच्चों के लिए समान उपहारों की सबसे बड़ी संख्या क्या है जो इस स्टॉक से बनाई जा सकती हैं?
	एलसीएम खोजें (84,160,96),
	समान संख्याओं के GCD से विभाजित LCM (24, 2004) का भागफल ज्ञात कीजिए।
	वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जो 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 का गुणज हो।
	जीसीडी (56, 72) खोजें।
	मेज पर किताबें हैं, जिनकी संख्या 100 से भी कम है। ऐसी कितनी किताबें हैं यदि यह ज्ञात हो कि उन्हें 3, 4 और 5 टुकड़ों के पैक में बांधा जा सकता है?
	स्टोर 600 से कम, लेकिन 500 से अधिक प्लेट लेकर आया। जब उन्होंने उन्हें दर्जनों में रखना शुरू किया, तो 3 प्लेटें पूरी संख्या में दसियों तक पहुंचने के लिए पर्याप्त नहीं थीं, और जब उन्होंने उन्हें दर्जनों (प्रत्येक में 12 प्लेट) में रखना शुरू किया, तो 7 प्लेटें बनी रहीं। आप स्टोर में कितनी प्लेट लाए थे?

एफडी:लाल रंग की पंखुड़ियों की प्रमुख संख्या उच्च स्तर के आत्मसात को इंगित करती है, पीला - औसत स्तर का आत्मसात और हरा - निम्न स्तर का आत्मसात।