पाठ "बहुभुज। बहुभुज के प्रकार" प्रौद्योगिकी के भीतर "पढ़ने और लिखने के माध्यम से महत्वपूर्ण सोच का विकास"
बहुभुज के प्रकार:
चतुर्भुजों
चतुर्भुजों, क्रमशः, 4 भुजाओं और कोनों से मिलकर बनता है।
भुजाएँ और कोण जो एक दूसरे के विपरीत होते हैं, कहलाते हैं विलोम.
विकर्ण उत्तल चतुर्भुजों को त्रिभुजों में विभाजित करते हैं (आकृति देखें)।
एक उत्तल चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है (सूत्र का प्रयोग करते हुए: (4-2)*180°)।
समानांतर चतुर्भुज
चतुर्भुजविपरीत समानांतर भुजाओं वाला एक उत्तल चतुर्भुज है (आकृति में संख्या 1)।
समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ और कोण हमेशा बराबर होते हैं।
और चौराहे के बिंदु पर विकर्ण आधे में विभाजित हैं।
ट्रापेज़
ट्रापेज़एक चतुर्भुज भी है, और ट्रापेज़केवल दो भुजाएँ समान्तर हैं, जो कहलाती हैं मैदान. अन्य पक्ष हैं पक्षों.
आकृति में समलम्ब चतुर्भुज संख्या 2 और 7 है।
त्रिकोण के रूप में:
यदि भुजाएँ समान हैं, तो समलम्ब चतुर्भुज है समद्विबाहु;
यदि कोणों में से एक समकोण है, तो समलम्ब चतुर्भुज है आयताकार।
समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के योग की आधी और उनके समानांतर होती है।
विषमकोण
विषमकोणएक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं।
समांतर चतुर्भुज के गुणों के अतिरिक्त समचतुर्भुज का अपना विशेष गुण होता है - एक समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैंएक दूसरे और समचतुर्भुज के कोनों को समद्विभाजित करें.
आकृति में, समचतुर्भुज की संख्या 5 है।
आयत
आयत- यह एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें प्रत्येक कोना एक दायीं ओर है (आकृति 8 में देखें)।
समांतर चतुर्भुज के गुणों के अतिरिक्त आयतों का अपना विशेष गुण होता है - आयत के विकर्ण बराबर हैं.
वर्गों
वर्गएक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं (#4)।
इसमें एक आयत और एक समचतुर्भुज के गुण हैं (क्योंकि सभी भुजाएँ समान हैं)।
इस पाठ में, हम एक नया विषय शुरू करेंगे और हमारे लिए एक नई अवधारणा पेश करेंगे - एक "बहुभुज"। हम बहुभुज से जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं को देखेंगे: भुजाएँ, कोने, कोने, उत्तलता और गैर-उत्तलता। तब हम सबसे महत्वपूर्ण तथ्यों को सिद्ध करेंगे, जैसे कि एक बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग पर प्रमेय, एक बहुभुज के बाहरी कोणों के योग पर प्रमेय। नतीजतन, हम बहुभुज के विशेष मामलों का अध्ययन करने के करीब आएंगे, जिन पर भविष्य के पाठों में विचार किया जाएगा।
थीम: चतुर्भुज
पाठ: बहुभुज
ज्यामिति के दौरान, हम ज्यामितीय आकृतियों के गुणों का अध्ययन करते हैं और उनमें से सबसे सरल पर विचार कर चुके हैं: त्रिकोण और वृत्त। साथ ही, हमने इन आकृतियों के विशिष्ट विशेष मामलों पर भी चर्चा की, जैसे कि समकोण, समद्विबाहु और नियमित त्रिभुज। अब अधिक सामान्य और जटिल आकृतियों के बारे में बात करने का समय आ गया है - बहुभुज.
एक विशेष मामले के साथ बहुभुजहम पहले से ही परिचित हैं - यह एक त्रिभुज है (चित्र 1 देखें)।
चावल। 1. त्रिभुज
नाम ही पहले से ही इस बात पर जोर देता है कि यह एक ऐसी आकृति है जिसके तीन कोने हैं। इसलिए, में बहुभुजउनमें से कई हो सकते हैं, अर्थात्। तीन से अधिक। उदाहरण के लिए, आइए एक पेंटागन बनाएं (चित्र 2 देखें), यानी। पाँच कोनों वाली आकृति।
चावल। 2. पेंटागन। उत्तल बहुभुज
परिभाषा।बहुभुज- एक आंकड़ा जिसमें कई बिंदु (दो से अधिक) होते हैं और संबंधित खंडों की संख्या होती है जो उन्हें श्रृंखला में जोड़ते हैं। इन बिंदुओं को कहा जाता है चोटियोंबहुभुज, और खंड - दलों. इस मामले में, कोई भी दो आसन्न भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर नहीं होती हैं और कोई भी दो गैर-आसन्न भुजाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
परिभाषा।नियमित बहुभुजएक उत्तल बहुभुज है जिसमें सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं।
कोई बहुभुजविमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: आंतरिक और बाहरी। इंटीरियर को के रूप में भी जाना जाता है बहुभुज.
दूसरे शब्दों में, उदाहरण के लिए, जब वे एक पंचभुज के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब उसके पूरे आंतरिक क्षेत्र और उसकी सीमा दोनों से होता है। और आंतरिक क्षेत्र में वे सभी बिंदु भी शामिल हैं जो बहुभुज के अंदर स्थित हैं, अर्थात। बिंदु भी पंचभुज का है (चित्र 2 देखें)।
बहुभुजों को कभी-कभी n-gons भी कहा जाता है ताकि इस बात पर जोर दिया जा सके कि कुछ अज्ञात संख्या में कोनों (n टुकड़े) होने के सामान्य मामले पर विचार किया जा रहा है।
परिभाषा। बहुभुज परिधिबहुभुज की भुजाओं की लंबाई का योग है।
अब हमें बहुभुजों के प्रकारों से परिचित होने की आवश्यकता है। वे में विभाजित हैं उत्तलतथा गैर उत्तल. उदाहरण के लिए, अंजीर में दिखाया गया बहुभुज। 2 उत्तल है, और अंजीर में। 3 गैर-उत्तल।
चावल। 3. गैर-उत्तल बहुभुज
परिभाषा 1. बहुभुजबुलाया उत्तल, यदि इसके किसी भी पक्ष के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते समय, संपूर्ण बहुभुजइस रेखा के केवल एक तरफ स्थित है। गैर उत्तलबाकी सब हैं बहुभुज.
यह कल्पना करना आसान है कि अंजीर में पेंटागन के किसी भी पक्ष का विस्तार करते समय। 2 यह सब इस सीधी रेखा के एक तरफ होगा, यानी। वह उत्तल है। लेकिन अंजीर में चतुर्भुज के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते समय। 3 हम पहले ही देख चुके हैं कि यह इसे दो भागों में विभाजित करता है, अर्थात्। वह गैर उत्तल है।
लेकिन बहुभुज के उत्तलता की एक और परिभाषा है।
परिभाषा 2. बहुभुजबुलाया उत्तलयदि, इसके किन्हीं दो आंतरिक बिंदुओं को चुनते समय और उन्हें एक खंड से जोड़ते समय, खंड के सभी बिंदु भी बहुभुज के आंतरिक बिंदु होते हैं।
इस परिभाषा के उपयोग का एक प्रदर्शन अंजीर में खंडों के निर्माण के उदाहरण में देखा जा सकता है। 2 और 3
परिभाषा। विकर्णबहुभुज कोई भी खंड है जो दो गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ता है।
बहुभुजों के गुणों का वर्णन करने के लिए, उनके कोणों के बारे में दो सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय हैं: उत्तल बहुभुज आंतरिक कोण योग प्रमेयतथा उत्तल बहुभुज बाहरी कोण योग प्रमेय. आइए उन पर विचार करें।
प्रमेय। उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग पर (एन-गॉन)।
इसके कोणों (भुजाओं) की संख्या कहाँ है।
प्रमाण 1. आइए चित्र में चित्रित करें। 4 उत्तल एन-गॉन।
चावल। 4. उत्तल n-gon
शीर्ष से सभी संभव विकर्ण खींचे। वे n-gon को त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, क्योंकि शीर्ष से सटी भुजाओं को छोड़कर, बहुभुज की प्रत्येक भुजा एक त्रिभुज बनाती है। आकृति से यह देखना आसान है कि इन सभी त्रिभुजों के कोणों का योग n-gon के आंतरिक कोणों के योग के बराबर होगा। चूँकि किसी त्रिभुज के कोणों का योग होता है, तो n-gon के अंतः कोणों का योग होता है:
क्यू.ई.डी.
उपपत्ति 2. इस प्रमेय का एक अन्य प्रमाण भी संभव है। आइए अंजीर में एक समान n-gon बनाते हैं। 5 और इसके किसी भी आंतरिक बिंदु को सभी शीर्षों से जोड़ें।
चावल। 5.
हमें n-gon का n त्रिभुजों में एक विभाजन मिला (कितनी भुजाएँ, इतने त्रिभुज)। उनके सभी कोणों का योग बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग और आंतरिक बिंदु पर कोणों के योग के बराबर होता है, और यह कोण है। हमारे पास है:
क्यू.ई.डी.
सिद्ध किया हुआ।
सिद्ध प्रमेय के अनुसार, यह देखा जा सकता है कि n-गॉन के कोणों का योग उसकी भुजाओं की संख्या (n पर) पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज में, और कोणों का योग होता है। एक चतुर्भुज में, और कोणों का योग - आदि।
प्रमेय। उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों के योग पर (एन-गॉन)।
इसके कोनों (भुजाओं) की संख्या कहाँ है, और, ..., बाहरी कोने हैं।
सबूत। आइए अंजीर में एक उत्तल n-gon बनाते हैं। 6 और इसके आंतरिक और बाहरी कोणों को निरूपित करें।
चावल। 6. उत्तल एन-गॉन चिह्नित बाहरी कोनों के साथ
इसलिये बाहरी कोना भीतरी कोने से सटे के रूप में जुड़ा है, फिर 
और इसी तरह अन्य बाहरी कोनों के लिए। फिर:
परिवर्तनों के दौरान, हमने n-gon के आंतरिक कोणों के योग पर पहले से ही सिद्ध प्रमेय का उपयोग किया।
सिद्ध किया हुआ।
सिद्ध प्रमेय से एक दिलचस्प तथ्य निकलता है कि उत्तल n-gon के बाहरी कोणों का योग बराबर होता है 
इसके कोणों (भुजाओं) की संख्या पर। वैसे, आंतरिक कोणों के योग के विपरीत।
ग्रन्थसूची
- अलेक्जेंड्रोव ए.डी. आदि ज्यामिति, ग्रेड 8। - एम .: शिक्षा, 2006।
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गृहकार्य
बहुभुज को क्या माना जाता है, इस पर अलग-अलग दृष्टिकोण हैं। एक स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, निम्नलिखित परिभाषाओं में से एक का उपयोग किया जाता है।
परिभाषा 1
बहुभुज
खंडों से बनी एक आकृति है
ताकि आसन्न खंड(अर्थात, एक सामान्य शीर्ष के साथ आसन्न खंड, उदाहरण के लिए, A1A2 और A2A3) एक सीधी रेखा पर झूठ मत बोलो, और गैर-आसन्न खंडों में सामान्य बिंदु नहीं होते हैं।
परिभाषा 2
एक साधारण बंद बहुभुज को बहुभुज कहा जाता है।
अंक
बुलाया बहुभुज शिखर, खंड
— बहुभुज पक्ष.
सभी भुजाओं की लंबाई के योग को कहते हैं बहुभुज परिधि.
एक बहुभुज जिसमें n शीर्ष होते हैं (और इसलिए n भुजाएँ) कहलाते हैं एन - वर्ग.
एक तल में स्थित बहुभुज कहलाता है समतल. जब एक बहुभुज के बारे में बात की जाती है, जब तक कि अन्यथा न कहा जाए, यह समझा जाता है कि हम एक समतल बहुभुज के बारे में बात कर रहे हैं।
एक बहुभुज के एक ही तरफ दो शीर्षों को कहा जाता है पड़ोसी. उदाहरण के लिए, A1 और A2, A5 और A6 आसन्न शीर्ष हैं।
दो गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाला रेखा खंड कहलाता है बहुभुज विकर्ण.
ज्ञात कीजिए कि एक बहुभुज में कितने विकर्ण होते हैं।
बहुभुज के प्रत्येक n शीर्षों से n-3 विकर्ण आते हैं
(वहाँ n शीर्ष हैं। हम स्वयं शीर्ष और दो पड़ोसी शीर्षों की गणना नहीं करते हैं जो इस शीर्ष के साथ एक विकर्ण नहीं बनाते हैं। शीर्ष A1 के लिए, उदाहरण के लिए, हम स्वयं A1 और पड़ोसी शीर्ष A2 और A3 की गणना नहीं करते हैं)।
इस प्रकार, प्रत्येक n शीर्ष n-3 विकर्णों से मेल खाता है। चूँकि एक विकर्ण एक साथ दो शीर्षों को दर्शाता है, एक बहुभुज के विकर्णों की संख्या ज्ञात करने के लिए, गुणनफल n (n-3) को आधे में विभाजित किया जाना चाहिए।
इसलिए, एन-गॉन है
विकर्ण।
कोई भी बहुभुज समतल को दो भागों में विभाजित करता है - बहुभुज के आंतरिक और बाहरी क्षेत्र। एक बहुभुज और उसके आंतरिक भाग से मिलकर बनी आकृति को बहुभुज भी कहा जाता है।
अनुभाग: गणित
विषय, छात्रों की आयु: ज्यामिति, ग्रेड 9
पाठ का उद्देश्य: बहुभुज के प्रकारों का अध्ययन।
सीखने का कार्य: बहुभुज के बारे में छात्रों के ज्ञान का अद्यतन, विस्तार और सामान्यीकरण करना; बहुभुज के "घटकों" का एक विचार बनाएं; नियमित बहुभुजों के घटक तत्वों की संख्या का अध्ययन करना (एक त्रिभुज से n-gon तक);
विकासशील कार्य: विश्लेषण करने, तुलना करने, निष्कर्ष निकालने, कम्प्यूटेशनल कौशल विकसित करने, मौखिक और लिखित गणितीय भाषण, स्मृति, साथ ही सोचने और सीखने की गतिविधियों में स्वतंत्रता, जोड़े और समूहों में काम करने की क्षमता विकसित करने के लिए; अनुसंधान और शैक्षिक गतिविधियों का विकास;
शैक्षिक कार्य: स्वतंत्रता, गतिविधि, सौंपे गए कार्य की जिम्मेदारी, लक्ष्य को प्राप्त करने में दृढ़ता को शिक्षित करना।
कक्षाओं के दौरान:ब्लैकबोर्ड पर एक उद्धरण लिखा है
"प्रकृति गणित की भाषा बोलती है, इस भाषा के अक्षर ... गणितीय आंकड़े।"जी. गैलीलि
पाठ की शुरुआत में, कक्षा को कार्य समूहों में विभाजित किया जाता है (हमारे मामले में, प्रत्येक 4 लोगों के समूहों में विभाजन - समूह के सदस्यों की संख्या प्रश्न समूहों की संख्या के बराबर होती है)।
1. कॉल स्टेज-
लक्ष्य:
ए) विषय पर छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना;
बी) अध्ययन के तहत विषय में रुचि जगाना, सीखने की गतिविधियों के लिए प्रत्येक छात्र की प्रेरणा।
रिसेप्शन: खेल "क्या आप मानते हैं कि ...", पाठ के साथ काम का संगठन।
काम के रूप: ललाट, समूह।
"क्या आप मानते हैं कि…।"
1. ... शब्द "बहुभुज" इंगित करता है कि इस परिवार के सभी आंकड़ों में "कई कोने" हैं?
2. ... एक त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है, जो समतल पर कई अलग-अलग ज्यामितीय आकृतियों के बीच प्रतिष्ठित है?
3. ...क्या एक वर्ग एक नियमित अष्टभुज है (चार भुजाएँ + चार कोने)?
आज के पाठ में हम बहुभुजों के बारे में बात करेंगे। हम सीखते हैं कि यह आंकड़ा एक बंद टूटी हुई रेखा से घिरा है, जो बदले में सरल, बंद हो सकता है। आइए इस तथ्य के बारे में बात करते हैं कि बहुभुज सपाट, नियमित, उत्तल होते हैं। समतल बहुभुजों में से एक त्रिभुज है जिससे आप लंबे समय से परिचित हैं (आप विद्यार्थियों को बहुभुजों को दर्शाने वाले पोस्टर दिखा सकते हैं, एक टूटी हुई रेखा, उनके विभिन्न प्रकार दिखा सकते हैं, आप TCO का भी उपयोग कर सकते हैं)।
2. समझ का चरण
उद्देश्य: नई जानकारी प्राप्त करना, उसकी समझ, चयन।
रिसेप्शन: ज़िगज़ैग।
काम के रूप: व्यक्तिगत-> जोड़ी-> समूह।
प्रत्येक समूह को पाठ के विषय पर एक पाठ दिया जाता है, और पाठ को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि इसमें छात्रों को पहले से ज्ञात जानकारी और पूरी तरह से नई जानकारी दोनों शामिल हैं। पाठ के साथ, छात्रों को प्रश्न प्राप्त होते हैं, जिनके उत्तर इस पाठ में पाए जाने चाहिए।
बहुभुज। बहुभुज के प्रकार।
रहस्यमय बरमूडा त्रिभुज के बारे में किसने नहीं सुना है, जहां जहाज और विमान बिना किसी निशान के गायब हो जाते हैं? लेकिन बचपन से हमें जो त्रिभुज परिचित है, वह बहुत सारी रोचक और रहस्यमयी बातों से भरा हुआ है।
त्रिभुजों के प्रकारों के अलावा जो हमें पहले से ज्ञात हैं, भुजाओं (स्केलीन, समद्विबाहु, समबाहु) और कोणों (तीव्र-कोण, अधिक-कोण, समकोण) से विभाजित, त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है जो बाहर खड़े हैं। विमान पर कई अलग-अलग ज्यामितीय आकृतियों के बीच।
शब्द "बहुभुज" इंगित करता है कि इस परिवार के सभी आंकड़ों में "कई कोने" हैं। लेकिन यह आंकड़ा को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।
एक टूटी हुई रेखा ए 1 ए 2 ... ए एन एक आकृति है जिसमें ए 1, ए 2, ... ए एन और खंड ए 1 ए 2, ए 2 ए 3, ... को जोड़ने वाले बिंदु होते हैं। बिंदुओं को पॉलीलाइन के कोने कहा जाता है, और खंडों को पॉलीलाइन के लिंक कहा जाता है। (चित्र एक)
एक टूटी हुई रेखा को सरल कहा जाता है यदि इसमें आत्म-प्रतिच्छेदन न हो (चित्र 2,3)।
एक टूटी हुई रेखा को बंद कहा जाता है यदि इसके सिरे मेल खाते हैं। एक टूटी हुई रेखा की लंबाई उसकी कड़ियों की लंबाई का योग है (चित्र 4)।
एक साधारण बंद टूटी हुई रेखा को बहुभुज कहा जाता है यदि इसकी आसन्न कड़ियाँ एक ही सीधी रेखा पर नहीं होती हैं (चित्र 5)।
उदाहरण के लिए, "कई" भाग के बजाय "बहुभुज" शब्द में एक विशिष्ट संख्या रखें। आपको एक त्रिकोण मिलेगा। या 5. फिर - एक पंचकोण। ध्यान दें कि जितने कोण हैं उतने ही पक्ष हैं, इसलिए इन आकृतियों को बहुपक्षीय कहा जा सकता है।
पॉलीलाइन के कोने बहुभुज के कोने कहलाते हैं, और पॉलीलाइन के लिंक बहुभुज के किनारे कहलाते हैं।
बहुभुज विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: आंतरिक और बाहरी (चित्र 6)।
एक समतल बहुभुज या बहुभुज क्षेत्र बहुभुज से घिरे हुए समतल का एक परिमित भाग होता है।
एक बहुभुज के दो शीर्ष जो एक ही भुजा के सिरे होते हैं, पड़ोसी कहलाते हैं। वे शीर्ष जो एक तरफ के सिरे नहीं हैं, गैर-आसन्न हैं।
n शीर्षों वाला बहुभुज और इसलिए n भुजाएँ n-गॉन कहलाती हैं।
यद्यपि एक बहुभुज की भुजाओं की सबसे छोटी संख्या 3 होती है। लेकिन त्रिभुज एक दूसरे से जुड़कर अन्य आकृतियाँ बना सकते हैं, जो बदले में बहुभुज भी होती हैं।
एक बहुभुज के गैर-पड़ोसी शीर्षों को जोड़ने वाले खंड विकर्ण कहलाते हैं।
एक बहुभुज उत्तल कहलाता है यदि वह अपनी भुजा वाली किसी भी रेखा के संबंध में एक अर्ध-तल में स्थित हो। इस मामले में, सीधी रेखा को ही अर्ध-तल से संबंधित माना जाता है।
किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का कोण वह कोण होता है जो उसकी भुजाओं द्वारा उस शीर्ष पर अभिसारी होकर बनता है।
आइए प्रमेय को सिद्ध करें (उत्तल n-gon के कोणों के योग पर): उत्तल n-gon के कोणों का योग 180 0 *(n - 2) के बराबर होता है।
सबूत। मामले में n=3 प्रमेय मान्य है। मान लीजिए 1 А 2 …А n एक उत्तल बहुभुज है और n>3 है। आइए इसमें विकर्ण बनाएं (एक शीर्ष से)। चूंकि बहुभुज उत्तल है, इसलिए ये विकर्ण इसे n - 2 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। बहुभुज के कोणों का योग इन सभी त्रिभुजों के कोणों के योग के बराबर होता है। प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 180 0 है, और इन त्रिभुजों की संख्या n - 2 है। इसलिए, उत्तल n - कोण A 1 A 2 ... A n के कोणों का योग 180 0 * ( एन - 2)। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का बाहरी कोण उस शीर्ष पर बहुभुज के आंतरिक कोण के निकट का कोण होता है।
एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों।
तो वर्ग को अलग तरह से कहा जा सकता है - एक नियमित चतुर्भुज। समबाहु त्रिभुज भी नियमित होते हैं। इमारतों को सजाने वाले स्वामी के लिए इस तरह के आंकड़े लंबे समय से रुचि रखते हैं। उन्होंने सुंदर पैटर्न बनाए, उदाहरण के लिए, लकड़ी की छत पर। लेकिन सभी नियमित बहुभुजों का उपयोग लकड़ी की छत बनाने के लिए नहीं किया जा सकता है। नियमित अष्टकोणों से लकड़ी की छत नहीं बनाई जा सकती है। तथ्य यह है कि उनका प्रत्येक कोण 135 0 के बराबर है। और यदि कोई बिंदु ऐसे दो अष्टकोणों का शीर्ष है, तो उनके पास 270 0 होंगे, और तीसरे अष्टकोण के फिट होने के लिए कहीं नहीं है: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. लेकिन एक वर्ग के लिए पर्याप्त है। इसलिए, नियमित अष्टकोण और वर्गों से लकड़ी की छत को मोड़ना संभव है।
सितारे सही हैं। हमारा पांच-बिंदु वाला तारा एक नियमित पंचकोणीय तारा है। और यदि आप वर्ग को केंद्र के चारों ओर 45 0 घुमाते हैं, तो आपको एक नियमित अष्टकोणीय तारा मिलता है।
1 समूह
टूटी हुई रेखा क्या है? बताएं कि पॉलीलाइन के कोने और लिंक क्या हैं।
कौन सी टूटी हुई रेखा सरल कहलाती है?
किस टूटी हुई रेखा को बंद कहा जाता है?
बहुभुज क्या है? बहुभुज के शीर्षों को क्या कहते हैं? बहुभुज की भुजाएँ क्या हैं?
2 समूह
एक फ्लैट बहुभुज क्या है? बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।
एन-गॉन क्या है?
बताएं कि बहुभुज के कौन से कोने आसन्न हैं और कौन से नहीं।
बहुभुज का विकर्ण क्या होता है?
3 समूह
उत्तल बहुभुज क्या है?
बताएं कि बहुभुज के कौन से कोने बाहरी हैं और कौन से आंतरिक हैं?
एक नियमित बहुभुज क्या है? नियमित बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।
4 समूह
उत्तल n-gon के कोणों का योग कितना होता है? इसे साबित करो।
छात्र पाठ के साथ काम करते हैं, प्रश्नों के उत्तर की तलाश करते हैं, जिसके बाद विशेषज्ञ समूह बनते हैं, जिसमें समान मुद्दों पर काम किया जाता है: छात्र मुख्य बात पर प्रकाश डालते हैं, एक सहायक सार तैयार करते हैं, किसी एक में जानकारी प्रस्तुत करते हैं ग्राफिक रूप। काम के अंत में, छात्र अपने कार्य समूहों में लौट आते हैं।
3. परावर्तन की अवस्था -
क) उनके ज्ञान का आकलन, ज्ञान के अगले चरण के लिए चुनौती;
बी) प्राप्त जानकारी की समझ और विनियोग।
रिसेप्शन: शोध कार्य।
काम के रूप: व्यक्तिगत-> जोड़ी-> समूह।
कार्य समूह प्रस्तावित प्रश्नों के प्रत्येक खंड के उत्तर के विशेषज्ञ हैं।
कार्य समूह में लौटकर, विशेषज्ञ समूह के अन्य सदस्यों को उनके प्रश्नों के उत्तर के साथ पेश करता है। समूह में कार्य समूह के सभी सदस्यों की सूचनाओं का आदान-प्रदान होता है। इस प्रकार, प्रत्येक कार्य समूह में, विशेषज्ञों के काम के लिए धन्यवाद, अध्ययन के तहत विषय पर एक सामान्य विचार बनता है।
छात्रों का शोध कार्य - तालिका भरना।
| नियमित बहुभुज | चित्रकला | पक्षों की संख्या | चोटियों की संख्या | सभी आंतरिक कोणों का योग | डिग्री माप इंट। कोण | बाह्य कोण की डिग्री माप | विकर्णों की संख्या |
| ए) एक त्रिकोण | |||||||
| बी) चतुर्भुज | |||||||
| बी) पांच-दीवार | |||||||
| डी) षट्भुज | |||||||
| ई) एन-गोन |
पाठ के विषय पर दिलचस्प समस्याओं को हल करना।
- चतुर्भुज में एक रेखा खींचिए जिससे वह इसे तीन त्रिभुजों में विभाजित कर दे।
- एक सम बहुभुज में कितनी भुजाएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक आंतरिक कोण 135 0 के बराबर होता है?
- एक निश्चित बहुभुज में, सभी आंतरिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। क्या इस बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग हो सकता है: 360 0 , 380 0 ?
पाठ को सारांशित करना। होमवर्क रिकॉर्ड करना।
विषय: "बहुभुज। बहुभुज के प्रकार"
श्रेणी 9
एसएल 20
शिक्षक: खारितोनोविच टी.आई.पाठ का उद्देश्य: बहुभुज के प्रकारों का अध्ययन।
सीखने का कार्य:बहुभुजों के बारे में विद्यार्थियों के ज्ञान का अद्यतन, विस्तार और सामान्यीकरण; बहुभुज के "घटकों" का एक विचार बनाएं; नियमित बहुभुजों के घटक तत्वों की संख्या का अध्ययन करना (एक त्रिभुज से n-gon तक);
विकास कार्य:विश्लेषण करने, तुलना करने, निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करना, कम्प्यूटेशनल कौशल विकसित करना, मौखिक और लिखित गणितीय भाषण, स्मृति, साथ ही सोच और सीखने की गतिविधियों में स्वतंत्रता, जोड़े और समूहों में काम करने की क्षमता; अनुसंधान और शैक्षिक गतिविधियों का विकास;
शैक्षिक कार्य:स्वतंत्रता, गतिविधि, सौंपे गए कार्य के लिए जिम्मेदारी, लक्ष्य को प्राप्त करने में दृढ़ता की खेती करना।
उपकरण: इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड (प्रस्तुति)
कक्षाओं के दौरान
प्रस्तुति दिखाएं: "बहुभुज"
"प्रकृति गणित की भाषा बोलती है, इस भाषा के अक्षर ... गणितीय आंकड़े।" जी. गैलीलि
पाठ की शुरुआत में, कक्षा को कार्य समूहों में विभाजित किया जाता है (हमारे मामले में, 3 समूहों में विभाजन)
1. कॉल स्टेज-
ए) विषय पर छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना;
बी) अध्ययन के तहत विषय में रुचि जगाना, सीखने की गतिविधियों के लिए प्रत्येक छात्र की प्रेरणा।
रिसेप्शन: खेल "क्या आप मानते हैं कि ...", पाठ के साथ काम का संगठन।
काम के रूप: ललाट, समूह।
"क्या आप मानते हैं कि…।"
1. ... शब्द "बहुभुज" इंगित करता है कि इस परिवार के सभी आंकड़ों में "कई कोने" हैं?
2. ... क्या त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है जो समतल पर विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय आकृतियों से अलग है?
3. ...क्या एक वर्ग एक नियमित अष्टभुज है (चार भुजाएँ + चार कोने)?
आज के पाठ में हम बहुभुजों के बारे में बात करेंगे। हम सीखते हैं कि यह आंकड़ा एक बंद टूटी हुई रेखा से घिरा है, जो बदले में सरल, बंद हो सकता है। आइए इस तथ्य के बारे में बात करते हैं कि बहुभुज सपाट, नियमित, उत्तल होते हैं। समतल बहुभुजों में से एक त्रिभुज है जिससे आप लंबे समय से परिचित हैं (आप विद्यार्थियों को बहुभुजों को दर्शाने वाले पोस्टर दिखा सकते हैं, एक टूटी हुई रेखा, उनके विभिन्न प्रकार दिखा सकते हैं, आप TCO का भी उपयोग कर सकते हैं)।
2. समझ का चरण
उद्देश्य: नई जानकारी प्राप्त करना, उसकी समझ, चयन।
रिसेप्शन: ज़िगज़ैग।
काम के रूप: व्यक्तिगत-> जोड़ी-> समूह।
प्रत्येक समूह को पाठ के विषय पर एक पाठ दिया जाता है, और पाठ को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि इसमें छात्रों को पहले से ज्ञात जानकारी और पूरी तरह से नई जानकारी दोनों शामिल हैं। पाठ के साथ, छात्रों को प्रश्न प्राप्त होते हैं, जिनके उत्तर इस पाठ में पाए जाने चाहिए।
बहुभुज। बहुभुज के प्रकार।
रहस्यमय बरमूडा त्रिभुज के बारे में किसने नहीं सुना है, जहां जहाज और विमान बिना किसी निशान के गायब हो जाते हैं? लेकिन बचपन से हमें जो त्रिभुज परिचित है, वह बहुत सारी रोचक और रहस्यमयी बातों से भरा हुआ है।
त्रिभुजों के प्रकारों के अलावा जो हमें पहले से ज्ञात हैं, भुजाओं (स्केलीन, समद्विबाहु, समबाहु) और कोणों (तीव्र-कोण, अधिक-कोण, समकोण) से विभाजित, त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है जो बाहर खड़े हैं। विमान पर कई अलग-अलग ज्यामितीय आकृतियों के बीच।
शब्द "बहुभुज" इंगित करता है कि इस परिवार के सभी आंकड़ों में "कई कोने" हैं। लेकिन यह आंकड़ा को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।
एक टूटी हुई रेखा A1A2…An एक आकृति है जिसमें बिंदु A1,A2,…An और खंड A1A2, A2A3,… को जोड़ते हैं। बिंदुओं को पॉलीलाइन के कोने कहा जाता है, और खंडों को पॉलीलाइन के लिंक कहा जाता है। (चित्र एक)
एक टूटी हुई रेखा को सरल कहा जाता है यदि इसमें आत्म-प्रतिच्छेदन न हो (चित्र 2,3)।
एक टूटी हुई रेखा को बंद कहा जाता है यदि इसके सिरे मेल खाते हैं। एक टूटी हुई रेखा की लंबाई उसकी कड़ियों की लंबाई का योग है (चित्र 4)
एक साधारण बंद टूटी हुई रेखा को बहुभुज कहा जाता है यदि इसकी आसन्न कड़ियाँ एक ही सीधी रेखा पर नहीं होती हैं (चित्र 5)।
उदाहरण के लिए, "कई" भाग के बजाय "बहुभुज" शब्द में एक विशिष्ट संख्या रखें। आपको एक त्रिकोण मिलेगा। या 5. फिर - एक पंचकोण। ध्यान दें कि जितने कोण हैं उतने ही पक्ष हैं, इसलिए इन आकृतियों को बहुपक्षीय कहा जा सकता है।
पॉलीलाइन के कोने बहुभुज के कोने कहलाते हैं, और पॉलीलाइन के लिंक बहुभुज के किनारे कहलाते हैं।
बहुभुज विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: आंतरिक और बाहरी (चित्र 6)।
एक समतल बहुभुज या बहुभुज क्षेत्र बहुभुज से घिरे हुए समतल का एक परिमित भाग होता है।
एक बहुभुज के दो शीर्ष जो एक ही भुजा के सिरे होते हैं, पड़ोसी कहलाते हैं। वे शीर्ष जो एक तरफ के सिरे नहीं हैं, गैर-आसन्न हैं।
n शीर्षों वाला बहुभुज और इसलिए n भुजाएँ n-गॉन कहलाती हैं।
यद्यपि एक बहुभुज की भुजाओं की सबसे छोटी संख्या 3 होती है। लेकिन त्रिभुज एक दूसरे से जुड़कर अन्य आकृतियाँ बना सकते हैं, जो बदले में बहुभुज भी होती हैं।
एक बहुभुज के गैर-पड़ोसी शीर्षों को जोड़ने वाले खंड विकर्ण कहलाते हैं।
एक बहुभुज उत्तल कहलाता है यदि वह अपनी भुजा वाली किसी भी रेखा के संबंध में एक अर्ध-तल में स्थित हो। इस मामले में, रेखा को ही HALF-PLANE . से संबंधित माना जाता है
किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का कोण वह कोण होता है जो उसकी भुजाओं द्वारा उस शीर्ष पर अभिसारी होकर बनता है।
आइए प्रमेय को सिद्ध करें (उत्तल n-gon के कोणों के योग पर): उत्तल n-gon के कोणों का योग 1800*(n - 2) के बराबर होता है।
सबूत। मामले में n=3 प्रमेय मान्य है। मान लीजिए А1А2…А n एक उत्तल बहुभुज है और n>3 है। आइए इसमें विकर्ण बनाएं (एक शीर्ष से)। चूंकि बहुभुज उत्तल है, इसलिए ये विकर्ण इसे n - 2 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। बहुभुज के कोणों का योग इन सभी त्रिभुजों के कोणों के योग के बराबर होता है। प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 1800 है, और इन त्रिभुजों की संख्या n - 2 है। इसलिए, उत्तल n - कोण A1A2 ... A n के कोणों का योग 1800 * (n - 2) है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का बाहरी कोण उस शीर्ष पर बहुभुज के आंतरिक कोण के निकट का कोण होता है।
एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों।
तो वर्ग को अलग तरह से कहा जा सकता है - एक नियमित चतुर्भुज। समबाहु त्रिभुज भी नियमित होते हैं। इमारतों को सजाने वाले स्वामी के लिए इस तरह के आंकड़े लंबे समय से रुचि रखते हैं। उन्होंने सुंदर पैटर्न बनाए, उदाहरण के लिए, लकड़ी की छत पर। लेकिन सभी नियमित बहुभुजों का उपयोग लकड़ी की छत बनाने के लिए नहीं किया जा सकता है। नियमित अष्टकोणों से लकड़ी की छत नहीं बनाई जा सकती है। तथ्य यह है कि उनका प्रत्येक कोण 1350 के बराबर है। और यदि कोई बिंदु ऐसे दो अष्टकोणों का शीर्ष है, तो उनके पास 2700 होंगे, और तीसरे अष्टकोण के फिट होने के लिए कहीं नहीं है: 3600 - 2700 \u003d 900। लेकिन यह एक वर्ग के लिए पर्याप्त है। इसलिए, नियमित अष्टकोण और वर्गों से लकड़ी की छत को मोड़ना संभव है।
सितारे सही हैं। हमारा पांच-बिंदु वाला तारा एक नियमित पंचकोणीय तारा है। और यदि आप केंद्र के चारों ओर वर्ग को 450 से घुमाते हैं, तो आपको एक नियमित अष्टकोणीय तारा मिलता है।
टूटी हुई रेखा क्या है? बताएं कि पॉलीलाइन के कोने और लिंक क्या हैं।
कौन सी टूटी हुई रेखा सरल कहलाती है?
किस टूटी हुई रेखा को बंद कहा जाता है?
बहुभुज क्या है? बहुभुज के शीर्षों को क्या कहते हैं? बहुभुज की भुजाएँ क्या हैं?
एक फ्लैट बहुभुज क्या है? बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।
एन-गॉन क्या है?
बताएं कि बहुभुज के कौन से कोने आसन्न हैं और कौन से नहीं।
बहुभुज का विकर्ण क्या होता है?
उत्तल बहुभुज क्या है?
बताएं कि बहुभुज के कौन से कोने बाहरी हैं और कौन से आंतरिक हैं?
एक नियमित बहुभुज क्या है? नियमित बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।
उत्तल n-gon के कोणों का योग कितना होता है? इसे साबित करो।
छात्र पाठ के साथ काम करते हैं, प्रश्नों के उत्तर की तलाश करते हैं, जिसके बाद विशेषज्ञ समूह बनते हैं, जिसमें समान मुद्दों पर काम किया जाता है: छात्र मुख्य बात पर प्रकाश डालते हैं, एक सहायक सार तैयार करते हैं, किसी एक में जानकारी प्रस्तुत करते हैं ग्राफिक रूप। काम के अंत में, छात्र अपने कार्य समूहों में लौट आते हैं।
3. परावर्तन की अवस्था -
क) उनके ज्ञान का आकलन, ज्ञान के अगले चरण के लिए चुनौती;
बी) प्राप्त जानकारी की समझ और विनियोग।
रिसेप्शन: शोध कार्य।
काम के रूप: व्यक्तिगत-> जोड़ी-> समूह।
कार्य समूह प्रस्तावित प्रश्नों के प्रत्येक खंड के उत्तर के विशेषज्ञ हैं।
कार्य समूह में लौटकर, विशेषज्ञ समूह के अन्य सदस्यों को उनके प्रश्नों के उत्तर के साथ पेश करता है। समूह में कार्य समूह के सभी सदस्यों की सूचनाओं का आदान-प्रदान होता है। इस प्रकार, प्रत्येक कार्य समूह में, विशेषज्ञों के काम के लिए धन्यवाद, अध्ययन के तहत विषय पर एक सामान्य विचार बनता है।
छात्रों का शोध कार्य- तालिका में भरना।
नियमित बहुभुज आरेखण भुजाओं की संख्या शीर्षों की संख्या सभी आंतरिक कोणों का योग आंतरिक की डिग्री माप। कोण बाह्य कोण की डिग्री माप विकर्णों की संख्या
ए) एक त्रिकोण
बी) चतुर्भुज
बी) पांच छेद
डी) षट्भुज
ई) एन-गोन
पाठ के विषय पर दिलचस्प समस्याओं को हल करना।
1) एक सम बहुभुज में कितनी भुजाएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक आंतरिक कोण 1350 के बराबर होता है?
2) एक निश्चित बहुभुज में, सभी आंतरिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। क्या इस बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग 3600, 3800 हो सकता है?
3) क्या 100,103,110,110,116 डिग्री के कोण के साथ एक पंचकोण बनाना संभव है?
पाठ को सारांशित करना।
रिकॉर्डिंग होमवर्क: STR66-72 नंबर 15,17 और समस्या: एक चतुर्भुज में, एक सीधा ड्रा करें ताकि वह इसे तीन त्रिकोणों में विभाजित कर सके।
परीक्षण के रूप में प्रतिबिंब (एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड पर)
