यदि संकेतक समान हैं लेकिन आधार भिन्न हैं। पाठ "गुणा और शक्तियों का विभाजन"

प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन कभी-कभी रिकॉर्ड करने के लिए बहुत बोझिल हो जाता है और वे इसे सरल बनाने का प्रयास करते हैं। जोड़ ऑपरेशन के साथ भी ऐसा ही हुआ करता था। लोगों के लिए एक ही प्रकार के बार-बार परिवर्धन करना आवश्यक था, उदाहरण के लिए, एक सौ फारसी कालीनों की लागत की गणना करने के लिए, जिसकी लागत प्रत्येक के लिए 3 सोने के सिक्के हैं। 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300। भारीपन के कारण, अंकन को 3 * 100 = 300 तक कम करने के लिए सोचा गया था। वास्तव में, अंकन "तीन गुना एक सौ" का अर्थ है कि आपको लेने की आवश्यकता है एक सौ तिगुना और उन्हें एक साथ जोड़ें। गुणन ने जड़ ली, सामान्य लोकप्रियता हासिल की। लेकिन दुनिया अभी भी खड़ी नहीं है, और मध्य युग में एक ही प्रकार के बार-बार गुणा करना आवश्यक हो गया। मुझे एक बुद्धिमान व्यक्ति के बारे में एक पुरानी भारतीय पहेली याद आती है, जिसने किए गए काम के लिए निम्नलिखित मात्रा में गेहूं के दाने मांगे थे: शतरंज की बिसात के पहले सेल के लिए उसने एक अनाज मांगा, दूसरे के लिए - दो, तीसरे - चार , पाँचवाँ - आठ, और इसी तरह। इस प्रकार शक्तियों का पहला गुणन प्रकट हुआ, क्योंकि अनाज की संख्या कोशिका संख्या की शक्ति के दो के बराबर थी। उदाहरण के लिए, अंतिम सेल पर 2*2*2*…*2 = 2^63 दाने होंगे, जो 18 वर्णों की संख्या के बराबर है, जो वास्तव में पहेली का अर्थ है।

एक शक्ति को बढ़ाने के संचालन ने बहुत तेज़ी से जड़ें जमा लीं, और डिग्री के जोड़, घटाव, विभाजन और गुणन को अंजाम देना भी जल्दी से आवश्यक हो गया। उत्तरार्द्ध अधिक विस्तार से विचार करने योग्य है। शक्तियों को जोड़ने के सूत्र सरल और याद रखने में आसान हैं। इसके अलावा, यह समझना बहुत आसान है कि वे कहां से आते हैं यदि पावर ऑपरेशन को गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। लेकिन पहले आपको प्राथमिक शब्दावली को समझने की जरूरत है। व्यंजक a ^ b (पढ़ें "a to power of b") का अर्थ है कि संख्या a को स्वयं b गुना से गुणा किया जाना चाहिए, और "a" को डिग्री का आधार कहा जाता है, और "b" घातांक है। यदि शक्तियों के आधार समान हैं, तो सूत्र काफी सरलता से निकाले जाते हैं। विशिष्ट उदाहरण: व्यंजक 2^3 * 2^4 का मान ज्ञात कीजिए। क्या होना चाहिए, यह जानने के लिए आपको समाधान शुरू करने से पहले कंप्यूटर पर इसका उत्तर पता कर लेना चाहिए। किसी भी ऑनलाइन कैलकुलेटर, सर्च इंजन में इस एक्सप्रेशन को दर्ज करते हुए, "विभिन्न आधारों और समान के साथ शक्तियों का गुणन" या गणितीय पैकेज टाइप करके, आउटपुट 128 होगा। अब इस एक्सप्रेशन को लिखते हैं: 2^3 = 2*2*2, और 2^4 = 2 *2*2*2। यह पता चला है कि 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) । यह पता चला है कि समान आधार वाली शक्तियों का गुणनफल पिछली दो शक्तियों के योग के बराबर घात के लिए उठाए गए आधार के बराबर है।

आप सोच सकते हैं कि यह एक दुर्घटना है, लेकिन नहीं: कोई अन्य उदाहरण केवल इस नियम की पुष्टि कर सकता है। इस प्रकार, सामान्य तौर पर, सूत्र इस तरह दिखता है: a^n * a^m = a^(n+m) । एक नियम यह भी है कि शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है। यहां हमें नकारात्मक शक्तियों का नियम याद रखना चाहिए: a^(-n) = 1 / a^n। अर्थात्, यदि 2^3 = 8, तो 2^(-3) = 1/8। इस नियम का उपयोग करके, हम समानता साबित कर सकते हैं a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) को कम किया जा सकता है और एक रहता है। इससे यह नियम निकलता है कि समान आधारों वाली घातों का भागफल इस आधार के बराबर होता है जो कि भाज्य और भाजक के भागफल के बराबर होता है: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) । उदाहरण: व्यंजक को सरल कीजिए 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) । गुणा एक कम्यूटेटिव ऑपरेशन है, इसलिए गुणन घातांक को पहले जोड़ा जाना चाहिए: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. इसके बाद, आपको विभाजन से नकारात्मक डिग्री से निपटना चाहिए। भाजक घातांक को लाभांश घातांक से घटाना आवश्यक है: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. यह यह पता चलता है कि ऋणात्मक अंश से भाग देने की क्रिया समान धनात्मक घातांक द्वारा गुणन की संक्रिया के समान है। तो अंतिम उत्तर 8 है।

ऐसे उदाहरण हैं जहां शक्तियों का गैर-विहित गुणन होता है। विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करना अक्सर अधिक कठिन होता है, और कभी-कभी असंभव भी होता है। विभिन्न संभावित दृष्टिकोणों के कई उदाहरण दिए जाने चाहिए। उदाहरण: व्यंजक 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 को सरल बनाएं। जाहिर है, विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों का गुणन होता है। लेकिन, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी आधार एक ट्रिपल की अलग-अलग शक्तियां हैं। 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6। नियम (a^n) ^m = a^(n*m) का उपयोग करते हुए, आपको व्यंजक को अधिक सुविधाजनक रूप में फिर से लिखना चाहिए: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) । उत्तर: 3^11. ऐसे मामलों में जहां अलग-अलग आधार हैं, नियम a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n समान संकेतकों के लिए काम करता है। उदाहरण के लिए, 3^3 * 7^3 = 21^3। अन्यथा, जब अलग-अलग आधार और संकेतक होते हैं, तो पूर्ण गुणा करना असंभव है। कभी-कभी आप कंप्यूटर तकनीक की मदद से आंशिक रूप से सरल या सहारा ले सकते हैं।

शक्ति सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।

संख्या सीहै एन-एक संख्या की शक्ति एकजब:

डिग्री के साथ संचालन।

1. एक ही आधार से डिग्रियों को गुणा करने पर, उनके संकेतक जुड़ते हैं:

पूर्वाह्नए एन = ए एम + एन।

2. एक ही आधार के साथ डिग्री के विभाजन में, उनके संकेतक घटाए जाते हैं:

3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:

(एबीसी…) एन = ए एन बी एन सी एन …

4. भिन्न की घात, भाज्य और भाजक की अंशों के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी) एन = ए एन / बी एन।

5. किसी घात को घात में बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:

(एम) एन = एक एम एन।

ऊपर दिया गया प्रत्येक सूत्र बाएं से दाएं और इसके विपरीत दिशाओं में सही है।

उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

जड़ों के साथ संचालन।

1. कई कारकों के उत्पाद की जड़ इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर होती है:

2. अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:

3. जब किसी जड़ को किसी घात में ऊपर उठाया जाता है, तो यह मूल संख्या को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त होता है:

4. यदि हम जड़ की मात्रा को में बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में बढ़ाएँ एन th पावर एक रूट नंबर है, तो रूट का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि हम जड़ की डिग्री को में घटा दें एनएक ही समय में जड़ एनमूलांक से th डिग्री, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री।एक गैर-सकारात्मक (पूर्णांक) घातांक के साथ एक निश्चित संख्या की डिग्री को गैर-सकारात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर एक घातांक के साथ समान संख्या की डिग्री से विभाजित के रूप में परिभाषित किया गया है:

सूत्र पूर्वाह्न:ए एन = ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन यह भी एम< एन.

उदाहरण के लिए. एक4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

सूत्र के लिए पूर्वाह्न:ए एन = ए एम - एननिष्पक्ष हो गया एम = एन, आपको शून्य डिग्री की उपस्थिति की आवश्यकता है।

शून्य घातांक के साथ डिग्री।शून्य घातांक वाली किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात एक के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री।वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एकएक स्तर तक मी/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एमइस संख्या की शक्ति एक.

गणित में डिग्री की अवधारणा को बीजगणित के पाठ में 7वीं कक्षा में ही पेश किया जाता है। और भविष्य में, गणित के अध्ययन के दौरान, इस अवधारणा को इसके विभिन्न रूपों में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। डिग्री एक कठिन विषय है, जिसमें मूल्यों को याद रखने और सही ढंग से और जल्दी से गिनने की क्षमता की आवश्यकता होती है। गणित की डिग्री के साथ तेजी से और बेहतर काम के लिए, वे डिग्री के गुणों के साथ आए। वे बड़ी गणनाओं में कटौती करने में मदद करते हैं, एक विशाल उदाहरण को एक संख्या में कुछ हद तक परिवर्तित करने के लिए। इतने सारे गुण नहीं हैं, और उन सभी को याद रखना और व्यवहार में लागू करना आसान है। इसलिए, लेख डिग्री के मुख्य गुणों के साथ-साथ जहां उन्हें लागू किया जाता है, पर चर्चा करता है।

डिग्री गुण

हम एक डिग्री के 12 गुणों पर विचार करेंगे, जिसमें समान आधार वाली शक्तियों के गुण शामिल हैं, और प्रत्येक संपत्ति के लिए एक उदाहरण देंगे। इनमें से प्रत्येक गुण आपको डिग्री के साथ समस्याओं को तेजी से हल करने में मदद करेगा, साथ ही आपको कई कम्प्यूटेशनल त्रुटियों से बचाएगा।

पहली संपत्ति।

बहुत से लोग अक्सर इस संपत्ति के बारे में भूल जाते हैं, गलतियाँ करते हैं, एक संख्या को शून्य डिग्री तक शून्य के रूप में दर्शाते हैं।

दूसरी संपत्ति।

तीसरी संपत्ति।

यह याद रखना चाहिए कि इस गुण का उपयोग केवल संख्याओं को गुणा करने पर ही किया जा सकता है, यह योग के साथ काम नहीं करता है! और हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि यह और निम्नलिखित गुण केवल समान आधार वाली शक्तियों पर लागू होते हैं।

चौथी संपत्ति।

यदि हर में संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो घटाते समय, आगे की गणना में चिह्न को सही ढंग से बदलने के लिए हर की डिग्री को कोष्ठक में लिया जाता है।

गुण केवल विभाजित करते समय काम करता है, घटाते समय नहीं!

5 वीं संपत्ति।

छठी संपत्ति।

इस संपत्ति को रिवर्स में भी लागू किया जा सकता है। किसी संख्या से कुछ अंश तक भाग देने वाली इकाई वह संख्या होती है जिसका ऋणात्मक घात होता है।

7वीं संपत्ति।

इस संपत्ति को योग और अंतर पर लागू नहीं किया जा सकता है! किसी घात का योग या अंतर बढ़ाते समय, संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग किया जाता है, न कि घात के गुणों का।

आठवीं संपत्ति।

9वीं संपत्ति।

यह गुण एक के बराबर अंश के साथ किसी भी भिन्नात्मक डिग्री के लिए काम करता है, सूत्र समान होगा, केवल मूल की डिग्री डिग्री के हर के आधार पर बदल जाएगी।

साथ ही, इस संपत्ति का उपयोग अक्सर उल्टे क्रम में किया जाता है। किसी संख्या की किसी भी घात के मूल को उस संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो मूल की घात से विभाजित एक की घात है। यह गुण उन मामलों में बहुत उपयोगी है जहां संख्या की जड़ नहीं निकाली जाती है।

10वीं संपत्ति।

यह गुण न केवल वर्गमूल और दूसरी डिग्री के साथ काम करता है। यदि जड़ की डिग्री और जिस हद तक इस जड़ को उठाया गया है, वही हैं, तो उत्तर एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति होगी।

11वीं संपत्ति।

अपने आप को बड़ी गणनाओं से बचाने के लिए इसे हल करते समय आपको इस संपत्ति को समय पर देखने में सक्षम होना चाहिए।

12वीं संपत्ति।

इनमें से प्रत्येक गुण आपको कार्यों में एक से अधिक बार मिलेंगे, इसे अपने शुद्ध रूप में दिया जा सकता है, या इसके लिए कुछ परिवर्तनों और अन्य सूत्रों के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। इसलिए, सही समाधान के लिए, केवल गुणों को जानना पर्याप्त नहीं है, आपको अभ्यास करने और शेष गणितीय ज्ञान को जोड़ने की आवश्यकता है।

डिग्री और उनके गुणों का अनुप्रयोग

वे बीजगणित और ज्यामिति में सक्रिय रूप से उपयोग किए जाते हैं। गणित में डिग्री का एक अलग, महत्वपूर्ण स्थान होता है। उनकी मदद से, घातीय समीकरण और असमानताएं हल हो जाती हैं, साथ ही शक्तियां अक्सर गणित के अन्य वर्गों से संबंधित समीकरणों और उदाहरणों को जटिल बनाती हैं। घातांक बड़ी और लंबी गणनाओं से बचने में मदद करते हैं, घातांक को कम करना और गणना करना आसान होता है। लेकिन बड़ी शक्तियों के साथ, या बड़ी संख्या की शक्तियों के साथ काम करने के लिए, आपको न केवल डिग्री के गुणों को जानना होगा, बल्कि आधारों के साथ भी सक्षम रूप से काम करना होगा, अपने कार्य को आसान बनाने के लिए उन्हें विघटित करने में सक्षम होना चाहिए। सुविधा के लिए, आपको किसी घात के लिए उठाए गए नंबरों का अर्थ भी पता होना चाहिए। यह लंबी गणनाओं की आवश्यकता को समाप्त करके हल करने में आपके समय को कम करेगा।

लघुगणक में डिग्री की अवधारणा एक विशेष भूमिका निभाती है। चूंकि लघुगणक, संक्षेप में, एक संख्या की शक्ति है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र शक्तियों के उपयोग का एक और उदाहरण हैं। वे डिग्री के गुणों का उपयोग नहीं कर सकते हैं, वे विशेष नियमों के अनुसार विघटित होते हैं, लेकिन प्रत्येक संक्षिप्त गुणन सूत्र में हमेशा डिग्री होती है।

भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान में भी डिग्री का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। एसआई प्रणाली में सभी अनुवाद डिग्री का उपयोग करके किए जाते हैं, और भविष्य में, समस्याओं को हल करते समय, डिग्री के गुणों को लागू किया जाता है। कंप्यूटर विज्ञान में, संख्याओं की धारणा को गिनने और सरल बनाने की सुविधा के लिए दो की शक्तियों का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। माप की इकाइयों के रूपांतरण या समस्याओं की गणना के लिए आगे की गणना, जैसे कि भौतिकी में, डिग्री के गुणों का उपयोग करके होती है।

डिग्री खगोल विज्ञान में भी बहुत उपयोगी हैं, जहां आप शायद ही कभी किसी डिग्री के गुणों का उपयोग पा सकते हैं, लेकिन डिग्री स्वयं सक्रिय रूप से विभिन्न मात्राओं और दूरियों की रिकॉर्डिंग को छोटा करने के लिए उपयोग की जाती हैं।

डिग्री का उपयोग रोजमर्रा की जिंदगी में भी किया जाता है, जब क्षेत्रों, मात्राओं, दूरियों की गणना की जाती है।

डिग्री की मदद से विज्ञान के किसी भी क्षेत्र में बहुत बड़े और बहुत छोटे मान लिखे जाते हैं।

घातीय समीकरण और असमानताएं

घातीय समीकरणों और असमानताओं में डिग्री गुण एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लेते हैं। स्कूल के पाठ्यक्रम और परीक्षा दोनों में ये कार्य बहुत सामान्य हैं। उन सभी को डिग्री के गुणों को लागू करके हल किया जाता है। अज्ञात हमेशा डिग्री में ही होता है, इसलिए सभी गुणों को जानकर, ऐसे समीकरण या असमानता को हल करना मुश्किल नहीं होगा।

पिछले वीडियो ट्यूटोरियल में, हमने सीखा कि आधार की डिग्री एक अभिव्यक्ति है जो कि आधार और स्वयं का उत्पाद है, जिसे घातांक के बराबर मात्रा में लिया जाता है। आइए अब हम शक्तियों के कुछ सबसे महत्वपूर्ण गुणों और कार्यों का अध्ययन करें।

उदाहरण के लिए, आइए दो अलग-अलग शक्तियों को एक ही आधार से गुणा करें:

आइए इस अंश को पूरी तरह से देखें:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

इस व्यंजक के मान की गणना करते हुए, हमें संख्या 32 प्राप्त होती है। दूसरी ओर, जैसा कि उसी उदाहरण से देखा जा सकता है, 32 को उसी आधार (दो) के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसे 5 बार लिया गया है। और वास्तव में, यदि आप गिनते हैं, तो:

इस प्रकार, यह सुरक्षित रूप से निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

यह नियम किसी भी संकेतक और किसी भी आधार के लिए सफलतापूर्वक काम करता है। उत्पाद में परिवर्तन के दौरान भाव के अर्थ के संरक्षण के नियम से डिग्री के गुणन की यह संपत्ति निम्नानुसार है। किसी भी आधार a के लिए, दो व्यंजकों (a) x और (a) y का गुणनफल a (x + y) के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, एक ही आधार के साथ किसी भी अभिव्यक्ति का उत्पादन करते समय, अंतिम मोनोमियल में पहली और दूसरी अभिव्यक्तियों की डिग्री जोड़कर कुल डिग्री बनती है।

कई भावों को गुणा करते समय प्रस्तुत नियम भी बहुत अच्छा काम करता है। मुख्य शर्त यह है कि सभी के लिए आधार समान हों। उदाहरण के लिए:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

डिग्री जोड़ना असंभव है, और वास्तव में अभिव्यक्ति के दो तत्वों के साथ किसी भी शक्ति संयुक्त क्रिया को अंजाम देना असंभव है, यदि उनके आधार भिन्न हैं।
जैसा कि हमारा वीडियो दिखाता है, गुणा और भाग की प्रक्रियाओं की समानता के कारण, उत्पाद के दौरान शक्तियों को जोड़ने के नियम पूरी तरह से विभाजन प्रक्रिया में स्थानांतरित हो जाते हैं। इस उदाहरण पर विचार करें:

आइए व्यंजक का शब्द-दर-अवधि पूर्ण रूप में रूपांतरण करें और लाभांश और भाजक में समान तत्वों को कम करें:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

इस उदाहरण का अंतिम परिणाम इतना दिलचस्प नहीं है, क्योंकि पहले से ही इसके समाधान के दौरान यह स्पष्ट है कि व्यंजक का मान दो के वर्ग के बराबर है। और यह ड्यूस है जो पहले की डिग्री से दूसरी अभिव्यक्ति की डिग्री घटाकर प्राप्त किया जाता है।

भागफल की डिग्री निर्धारित करने के लिए, भाजक की डिग्री को लाभांश की डिग्री से घटाना आवश्यक है। नियम अपने सभी मूल्यों और सभी प्राकृतिक शक्तियों के लिए एक ही आधार पर कार्य करता है। अमूर्त रूप में, हमारे पास है:

(ए) एक्स / (ए) वाई = (ए) एक्स - वाई

शून्य डिग्री की परिभाषा समान आधारों को शक्तियों के साथ विभाजित करने के नियम से निम्नानुसार है। जाहिर है, निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

(ए) एक्स / (ए) एक्स \u003d (ए) (एक्स - एक्स) \u003d (ए) 0

दूसरी ओर, यदि हम अधिक दृश्य तरीके से विभाजित करते हैं, तो हमें मिलता है:

(ए) 2 / (ए) 2 = (ए) (ए) / (ए) (ए) = 1

एक भिन्न के सभी दृश्यमान तत्वों को कम करते समय, व्यंजक 1/1 हमेशा प्राप्त होता है, अर्थात एक। इसलिए, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि शून्य शक्ति तक उठाया गया कोई भी आधार एक के बराबर होता है:

ए के मूल्य की परवाह किए बिना।

हालांकि, यह बेतुका होगा यदि 0 (जो अभी भी किसी भी गुणन के लिए 0 देता है) किसी तरह एक के बराबर है, तो एक अभिव्यक्ति जैसे (0) 0 (शून्य से शून्य डिग्री) का कोई मतलब नहीं है, और सूत्र (ए) के लिए 0 = 1 एक शर्त जोड़ें: "यदि एक 0 के बराबर नहीं है"।

चलो व्यायाम करते हैं। आइए व्यंजक का मान ज्ञात करें:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

चूंकि आधार हर जगह समान है और 34 के बराबर है, अंतिम मान का एक डिग्री के साथ एक ही आधार होगा (उपर्युक्त नियमों के अनुसार):

दूसरे शब्दों में:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

उत्तर: व्यंजक एक के बराबर है।