पहचान मैट्रिक्स के माध्यम से व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना। उच्च गणित

अनेक गुणों में व्युत्क्रम के समान।

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उपशीर्षक

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के गुण

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), कहाँ डेट (\displaystyle \\det )निर्धारक को दर्शाता है.
• (ए बी) - 1 = बी - 1 ए - 1 (\displaystyle \ (एबी)^(-1)=बी^(-1)ए^(-1))दो वर्ग व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के लिए ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी).
• (ए टी) - 1 = (ए - 1) टी (\displaystyle \ (ए^(टी))^(-1)=(ए^(-1))^(टी)), कहाँ (...) T (\displaystyle (...)^(T))एक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को दर्शाता है।
• (k A) - 1 = k - 1 A - 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))किसी भी गुणांक के लिए k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• यदि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, (बी एक गैर-शून्य वेक्टर है) जहां एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)वांछित वेक्टर है, और यदि A − 1 (\displaystyle A^(-1))तो मौजूद है x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). अन्यथा, या तो समाधान स्थान का आयाम शून्य से अधिक है, या कोई समाधान ही नहीं है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की विधियाँ

यदि मैट्रिक्स उलटा है, तो उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए आप निम्न विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं:

सटीक (प्रत्यक्ष) तरीके

गॉस-जॉर्डन विधि

आइए दो आव्यूह लें: द एऔर एकल इ. आइए मैट्रिक्स प्रस्तुत करें एगॉस-जॉर्डन विधि का उपयोग करके पहचान मैट्रिक्स में, पंक्तियों के साथ परिवर्तन लागू करना (आप कॉलम के साथ भी परिवर्तन लागू कर सकते हैं, लेकिन इंटरमिक्स नहीं)। प्रत्येक ऑपरेशन को पहले मैट्रिक्स पर लागू करने के बाद, उसी ऑपरेशन को दूसरे पर लागू करें। जब पहले मैट्रिक्स की इकाई रूप में कमी पूरी हो जाएगी, तो दूसरा मैट्रिक्स बराबर हो जाएगा ए−1.

गॉसियन विधि का उपयोग करते समय, पहले मैट्रिक्स को बाईं ओर प्राथमिक मैट्रिक्स में से एक से गुणा किया जाएगा Λ i (\displaystyle \लैम्ब्डा _(i))(एक स्थिति को छोड़कर, मुख्य विकर्ण पर इकाइयों के साथ अनुप्रस्थ या विकर्ण मैट्रिक्स):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A - 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \दायाँ तीर \लैम्ब्डा =A^(-1)). Λ एम = [1 … 0 - ए 1 एम / ए एम एम 0 ... 0 ... 0 ... 1 - ए एम - 1 एम / ए एम एम 0 … 0 0 ... 0 1 / ए एम एम 0 ... 0 0 … 0 - ए एम + 1 एम / ए एम एम 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

सभी ऑपरेशनों को लागू करने के बाद दूसरा मैट्रिक्स बराबर होगा Λ (\displaystyle \लैम्ब्डा), यानी यह वांछित होगा। एल्गोरिथम जटिलता - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

बीजगणितीय पूरक मैट्रिक्स का उपयोग करना

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए), प्रपत्र में दर्शाया जा सकता है

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

कहाँ adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- सहायक मैट्रिक्स;

एल्गोरिथ्म की जटिलता निर्धारक O det की गणना के लिए एल्गोरिदम की जटिलता पर निर्भर करती है और O(n²)·O det के बराबर है।

एलयू/एलयूपी अपघटन का उपयोग करना

मैट्रिक्स समीकरण ए एक्स = आई एन (\displaystyle AX=I_(n))व्युत्क्रम मैट्रिक्स के लिए एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)एक संग्रह के रूप में माना जा सकता है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)प्रपत्र की प्रणालियाँ ए एक्स = बी (\displaystyle एक्स=बी). चलो निरूपित करें मैं (\डिस्प्लेस्टाइल मैं)मैट्रिक्स का वां कॉलम एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)के माध्यम से एक्स आई (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स_(आई)); तब ए एक्स आई = ई आई (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),क्योंकि मैं (\डिस्प्लेस्टाइल मैं)मैट्रिक्स का वां कॉलम मैं n (\displaystyle I_(n))इकाई सदिश है ई मैं (\displaystyle e_(i)). दूसरे शब्दों में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने से समान मैट्रिक्स और अलग-अलग दाएँ हाथ वाले n समीकरणों को हल करना संभव हो जाता है। LUP अपघटन (O(n³) समय) निष्पादित करने के बाद, प्रत्येक n समीकरण को हल करने में O(n²) समय लगता है, इसलिए कार्य के इस भाग के लिए भी O(n³) समय की आवश्यकता होती है।

यदि मैट्रिक्स ए गैर-एकवचन है, तो इसके लिए एलयूपी अपघटन की गणना की जा सकती है पी ए = एल यू (\displaystyle पीए=एलयू). होने देना पी ए = बी (\displaystyle पीए=बी), बी - 1 = डी (\displaystyle बी^(-1)=डी). फिर व्युत्क्रम मैट्रिक्स के गुणों से हम लिख सकते हैं: डी = यू - 1 एल - 1 (\displaystyle डी=यू^(-1)एल^(-1)). यदि आप इस समानता को यू और एल से गुणा करते हैं, तो आप फॉर्म की दो समानताएं प्राप्त कर सकते हैं यू डी = एल - 1 (\displaystyle यूडी=एल^(-1))और डी एल = यू − 1 (\displaystyle डीएल=यू^(-1)). इन समानताओं में से पहली n² रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))जिससे दायीं ओर की भुजाएँ ज्ञात होती हैं (त्रिकोणीय आव्यूहों के गुणों से)। दूसरा n² रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का भी प्रतिनिधित्व करता है n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))जिससे दायीं ओर की भुजाएँ ज्ञात होती हैं (त्रिकोणीय आव्यूहों के गुणों से भी)। साथ में वे n² समानता की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं। इन समानताओं का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स डी के सभी एन² तत्वों को पुनरावर्ती रूप से निर्धारित कर सकते हैं। फिर समानता (पीए) −1 = ए −1 पी −1 = बी −1 = डी से। हम समानता प्राप्त करते हैं ए - 1 = डी पी (\displaystyle ए^(-1)=डीपी).

एलयू अपघटन का उपयोग करने के मामले में, मैट्रिक्स डी के स्तंभों के क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता नहीं है, लेकिन मैट्रिक्स ए गैर-एकवचन होने पर भी समाधान भिन्न हो सकता है।

एल्गोरिथ्म की जटिलता O(n³) है।

पुनरावृत्तीय विधियाँ

शुल्त्स विधियाँ

( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

त्रुटि अनुमान

प्रारंभिक सन्निकटन का चयन करना

यहां मानी गई पुनरावृत्त मैट्रिक्स व्युत्क्रम प्रक्रियाओं में प्रारंभिक सन्निकटन को चुनने की समस्या हमें उन्हें स्वतंत्र सार्वभौमिक तरीकों के रूप में मानने की अनुमति नहीं देती है जो उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स के एलयू अपघटन पर आधारित प्रत्यक्ष व्युत्क्रम विधियों के साथ प्रतिस्पर्धा करते हैं। चुनने के लिए कुछ सिफ़ारिशें हैं यू 0 (\डिस्प्लेस्टाइल यू_(0)), शर्त की पूर्ति सुनिश्चित करना ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (मैट्रिक्स का वर्णक्रमीय त्रिज्या एकता से कम है), जो प्रक्रिया के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त है। हालाँकि, इस मामले में, सबसे पहले, उलटा मैट्रिक्स ए या मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम के लिए ऊपर से अनुमान जानना आवश्यक है ए ए टी (\displaystyle AA^(T))(अर्थात्, यदि ए एक सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है और ρ (ए) ≤ β (\displaystyle \rho (ए)\leq \beta ), तो आप ले सकते हैं U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), कहाँ ; यदि A एक मनमाना गैर-एकवचन मैट्रिक्स है और ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), तो वे विश्वास करते हैं U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), कहाँ भी α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); बेशक, आप स्थिति को सरल बना सकते हैं और इस तथ्य का लाभ उठा सकते हैं ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), रखना U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). दूसरे, प्रारंभिक मैट्रिक्स को इस तरह निर्दिष्ट करते समय, इसकी कोई गारंटी नहीं है ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)छोटा होगा (शायद यह भी निकलेगा)। ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), और अभिसरण दर का उच्च क्रम तुरंत प्रकट नहीं किया जाएगा।

उदाहरण

मैट्रिक्स 2x2

ए - 1 = [ए बी सी डी] - 1 = 1 डेट (ए) [डी - बी - सी ए] = 1 ए डी - बी सी [डी - बी - सी ए]। (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (ए))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

2x2 मैट्रिक्स का व्युत्क्रमण केवल इसी शर्त पर संभव है a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिससे मूल को गुणा करने पर पहचान मैट्रिक्स मिलती है: व्युत्क्रम मैट्रिक्स की उपस्थिति के लिए एक अनिवार्य और पर्याप्त शर्त यह है कि मूल मैट्रिक्स का निर्धारक है शून्य के बराबर नहीं (जिसका तात्पर्य यह है कि मैट्रिक्स वर्गाकार होना चाहिए)। यदि किसी मैट्रिक्स का सारणिक शून्य के बराबर है, तो उसे एकवचन कहा जाता है और ऐसे मैट्रिक्स में व्युत्क्रम नहीं होता है। उच्च गणित में, व्युत्क्रम आव्यूह महत्वपूर्ण हैं और कई समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, पर व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढनासमीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स विधि का निर्माण किया गया था। हमारी सेवा साइट अनुमति देती है व्युत्क्रम मैट्रिक्स की ऑनलाइन गणना करेंदो विधियाँ: गॉस-जॉर्डन विधि और बीजीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करना। पहले में मैट्रिक्स के अंदर बड़ी संख्या में प्राथमिक परिवर्तन शामिल हैं, दूसरे में सभी तत्वों के लिए निर्धारक और बीजगणितीय परिवर्धन की गणना शामिल है। किसी मैट्रिक्स के निर्धारक की ऑनलाइन गणना करने के लिए, आप हमारी अन्य सेवा का उपयोग कर सकते हैं - ऑनलाइन मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना

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साइट के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें

वेबसाइटआपको खोजने की अनुमति देता है उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनतेज़ और मुफ़्त. साइट पर, हमारी सेवा का उपयोग करके गणना की जाती है और परिणाम खोजने के लिए विस्तृत समाधान के साथ दिया जाता है उलटा मैट्रिक्स. सर्वर हमेशा सटीक और सही उत्तर ही देता है। परिभाषा के अनुसार कार्यों में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइन, यह आवश्यक है कि निर्धारक मैट्रिक्सअन्यथा शून्येतर था वेबसाइटइस तथ्य के कारण व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की असंभवता की रिपोर्ट करेगा कि मूल मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है। ढूंढने का काम उलटा मैट्रिक्सगणित की कई शाखाओं में पाया जाता है, जो बीजगणित की सबसे बुनियादी अवधारणाओं में से एक है और व्यावहारिक समस्याओं में गणितीय उपकरण है। स्वतंत्र व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषागणना में टाइपो या छोटी त्रुटियों से बचने के लिए महत्वपूर्ण प्रयास, बहुत समय, गणना और बहुत सावधानी की आवश्यकता होती है। इसलिए हमारी सेवा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ऑनलाइन ढूँढनाआपके कार्य को बहुत आसान बना देगा और गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक अनिवार्य उपकरण बन जाएगा। यहां तक ​​कि यदि तुम व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजेंहम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं अपने सर्वर पर अपना समाधान जांचें। हमारी वेबसाइट पर अपना मूल मैट्रिक्स दर्ज करें, व्युत्क्रम मैट्रिक्स की ऑनलाइन गणना करें और अपना उत्तर जांचें। हमारा सिस्टम कभी गलती नहीं करता और न ही खोजता है उलटा मैट्रिक्समोड में दिया गया आयाम ऑनलाइनतुरन्त! स्थल पर वेबसाइटतत्वों में वर्ण प्रविष्टियों की अनुमति है मैट्रिक्स, इस मामले में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनसामान्य प्रतीकात्मक रूप में प्रस्तुत किया जायेगा।

परिभाषा 1:किसी मैट्रिक्स को एकवचन कहा जाता है यदि उसका सारणिक शून्य है।

परिभाषा 2:किसी मैट्रिक्स को गैर-एकवचन कहा जाता है यदि उसका सारणिक शून्य के बराबर नहीं है।

मैट्रिक्स "ए" कहा जाता है उलटा मैट्रिक्स, यदि शर्त A*A-1 = A-1 *A = E (यूनिट मैट्रिक्स) संतुष्ट है।

एक वर्ग मैट्रिक्स केवल तभी उलटा होता है जब वह गैर-एकवचन हो।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए योजना:

1) यदि मैट्रिक्स "ए" के निर्धारक की गणना करें ∆ ए = 0, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।

2) मैट्रिक्स "ए" के सभी बीजगणितीय पूरक खोजें।

3) बीजगणितीय जोड़ का एक मैट्रिक्स बनाएं (एआईजे)

4) बीजगणितीय पूरकों के मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें (Aij )T

5) ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को इस मैट्रिक्स के निर्धारक के व्युत्क्रम से गुणा करें।

6) जाँच करें:

पहली नज़र में यह जटिल लग सकता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत सरल है। सभी समाधान सरल अंकगणितीय संक्रियाओं पर आधारित हैं, हल करते समय मुख्य बात यह है कि "-" और "+" चिह्नों से भ्रमित न हों और उन्हें न खोएं।

आइए अब व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करके एक व्यावहारिक कार्य को एक साथ हल करें।

कार्य: नीचे चित्र में दिखाए गए व्युत्क्रम मैट्रिक्स "ए" को ढूंढें:

हम सब कुछ बिल्कुल वैसे ही हल करते हैं जैसा कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए योजना में दर्शाया गया है।

1. पहली बात यह है कि मैट्रिक्स "ए" का निर्धारक ज्ञात करना है:

स्पष्टीकरण:

हमने अपने सारणिक को इसके मूल कार्यों का उपयोग करके सरल बनाया है। सबसे पहले, हमने दूसरी और तीसरी पंक्तियों में पहली पंक्ति के तत्वों को एक संख्या से गुणा करके जोड़ा।

दूसरे, हमने सारणिक के दूसरे और तीसरे कॉलम को बदल दिया, और इसके गुणों के अनुसार, हमने इसके सामने के चिह्न को बदल दिया।

तीसरा, हमने दूसरी पंक्ति का सामान्य गुणनखंड (-1) हटा दिया, जिससे चिह्न फिर से बदल गया और यह सकारात्मक हो गया। हमने उदाहरण की शुरुआत में ही पंक्ति 3 को भी उसी तरह सरल बनाया है।

हमारे पास एक त्रिकोणीय सारणिक है जिसके विकर्ण के नीचे के तत्व शून्य के बराबर हैं, और संपत्ति 7 के अनुसार यह विकर्ण तत्वों के उत्पाद के बराबर है। अंत में हमें मिल गया ∆ ए = 26, इसलिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है।

ए11 = 1*(3+1) = 4

ए12 = -1*(9+2) = -11

ए13 = 1*1 = 1

ए21 = -1*(-6) = 6

ए22 = 1*(3-0) = 3

ए23 = -1*(1+4) = -5

ए31 = 1*2 = 2

ए32 = -1*(-1) = -1

ए33 = 1+(1+6) = 7

3. अगला कदम परिणामी परिवर्धन से एक मैट्रिक्स संकलित करना है:

5. इस मैट्रिक्स को सारणिक के व्युत्क्रम से गुणा करें, अर्थात 1/26 से:

6. अब हमें बस जाँच करने की आवश्यकता है:

परीक्षण के दौरान, हमें एक पहचान मैट्रिक्स प्राप्त हुआ, इसलिए, समाधान बिल्कुल सही ढंग से किया गया।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करने के 2 तरीके।

1. प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन

2. एक प्राथमिक कनवर्टर के माध्यम से व्युत्क्रम मैट्रिक्स।

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन में शामिल हैं:

1. किसी स्ट्रिंग को किसी ऐसी संख्या से गुणा करना जो शून्य के बराबर न हो।

2. किसी पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़कर किसी संख्या से गुणा करना।

3. मैट्रिक्स की पंक्तियों को स्वैप करें।

4. प्राथमिक परिवर्तनों की एक श्रृंखला को लागू करने पर, हमें एक और मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

ए -1 = ?

1. (ए|ई) ~ (ई|ए -1 )

2. एक -1 * ए = ई

आइए वास्तविक संख्याओं के साथ एक व्यावहारिक उदाहरण का उपयोग करके इसे देखें।

व्यायाम:व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें.

समाधान:

की जाँच करें:

समाधान पर थोड़ा स्पष्टीकरण:

सबसे पहले, हमने मैट्रिक्स की पंक्तियों 1 और 2 को पुनर्व्यवस्थित किया, फिर पहली पंक्ति को (-1) से गुणा किया।

उसके बाद, हमने पहली पंक्ति को (-2) से गुणा किया और इसे मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति के साथ जोड़ा। फिर हमने पंक्ति 2 को 1/4 से गुणा किया।

परिवर्तन का अंतिम चरण दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करना और इसे पहली के साथ जोड़ना था। परिणामस्वरूप, हमारे पास बाईं ओर पहचान मैट्रिक्स है, इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स दाईं ओर मैट्रिक्स है।

जाँच करने के बाद, हम आश्वस्त हुए कि निर्णय सही था।

जैसा कि आप देख सकते हैं, व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करना बहुत सरल है।

इस व्याख्यान के अंत में, मैं ऐसे मैट्रिक्स के गुणों पर भी थोड़ा समय बिताना चाहूंगा।

मैट्रिक्स बीजगणित - व्युत्क्रम मैट्रिक्स

उलटा मैट्रिक्स

उलटा मैट्रिक्सएक मैट्रिक्स है, जिसे किसी दिए गए मैट्रिक्स द्वारा दाएं और बाएं दोनों तरफ से गुणा करने पर पहचान मैट्रिक्स मिलता है।
आइए हम मैट्रिक्स के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को निरूपित करें एके माध्यम से, फिर परिभाषा के अनुसार हमें मिलता है:

कहाँ इ- शिनाख्त सांचा।
वर्ग मैट्रिक्सबुलाया विशेष नहीं (गैर पतित) यदि इसका सारणिक शून्य नहीं है। अन्यथा इसे कहा जाता है विशेष (पतित) या एकवचन.

प्रमेय मानता है: प्रत्येक गैर-एकवचन मैट्रिक्स में एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स होता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की क्रिया कहलाती है निवेदन matrices. आइए मैट्रिक्स व्युत्क्रम एल्गोरिथ्म पर विचार करें। मान लीजिए कि एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स दिया गया है एन-वां क्रम:

जहां Δ = det ए ≠ 0.

किसी तत्व का बीजगणितीय जोड़मैट्रिक्स एन-वाँ क्रम एएक निश्चित चिह्न के साथ लिए गए मैट्रिक्स का निर्धारक कहा जाता है ( एन–1)हटाकर वां क्रम प्राप्त हुआ मैं-वीं पंक्ति और जेवें मैट्रिक्स कॉलम ए:

आइए तथाकथित बनाएं जुड़ा हुआआव्यूह:

मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरक कहां हैं ए.
ध्यान दें कि मैट्रिक्स पंक्ति तत्वों के बीजगणितीय जोड़ एमैट्रिक्स के संगत कॉलम में रखे गए हैं Ã , अर्थात्, मैट्रिक्स को एक ही समय में ट्रांसपोज़ किया जाता है।
मैट्रिक्स के सभी तत्वों को विभाजित करके Ã Δ द्वारा - मैट्रिक्स निर्धारक का मान ए, परिणामस्वरूप हमें व्युत्क्रम मैट्रिक्स प्राप्त होता है:

आइए व्युत्क्रम मैट्रिक्स के कई विशेष गुणों पर ध्यान दें:
1) किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए एइसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स एकमात्र है;
2) यदि कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, तो ठीक उल्टाऔर उलटा छोड़ दियाआव्यूह इसके साथ मेल खाते हैं;
3) एकवचन (एकवचन) वर्ग मैट्रिक्स में व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं होता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के मूल गुण:
1) व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्धारक और मूल मैट्रिक्स का निर्धारक व्युत्क्रम हैं;
2) वर्ग आव्यूहों के गुणनफल का व्युत्क्रम मैट्रिक्स, विपरीत क्रम में लिए गए कारकों के व्युत्क्रम मैट्रिक्स के गुणनफल के बराबर होता है:

3) ट्रांसपोज़्ड व्युत्क्रम मैट्रिक्स दिए गए ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के व्युत्क्रम मैट्रिक्स के बराबर है:

उदाहरण दिए गए मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करें।

मैट्रिक्स A -1 को मैट्रिक्स A के संबंध में व्युत्क्रम मैट्रिक्स कहा जाता है यदि A*A -1 = E, जहां E nवें क्रम का पहचान मैट्रिक्स है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद हो सकता है।

सेवा का उद्देश्य. इस सेवा का ऑनलाइन उपयोग करके आप बीजगणितीय पूरक, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स एटी, संबद्ध मैट्रिक्स और व्युत्क्रम मैट्रिक्स पा सकते हैं। निर्णय सीधे वेबसाइट (ऑनलाइन) पर किया जाता है और निःशुल्क है। गणना परिणाम वर्ड और एक्सेल प्रारूप में एक रिपोर्ट में प्रस्तुत किए जाते हैं (यानी, समाधान की जांच करना संभव है)। डिज़ाइन उदाहरण देखें.

निर्देश। समाधान प्राप्त करने के लिए, मैट्रिक्स के आयाम को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। इसके बाद, नए डायलॉग बॉक्स में मैट्रिक्स ए भरें।

मैट्रिक्स आयाम 2 3 4 5 6 7 8 9 10

जॉर्डनो-गॉस विधि का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी देखें

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ए टी ढूँढना।
2. बीजगणितीय पूरकों की परिभाषा. मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को उसके बीजगणितीय पूरक से बदलें।
3. बीजीय जोड़ से एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स संकलित करना: परिणामी मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।

अगला व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदमकुछ चरणों को छोड़कर पिछले चरण के समान: पहले बीजगणितीय पूरकों की गणना की जाती है, और फिर संबद्ध मैट्रिक्स C निर्धारित किया जाता है।

1. निर्धारित करें कि मैट्रिक्स वर्गाकार है या नहीं। यदि नहीं, तो इसके लिए कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं है।
2. मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना। यदि यह शून्य के बराबर नहीं है, तो हम समाधान जारी रखते हैं, अन्यथा व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।
3. बीजगणितीय पूरकों की परिभाषा.
4. संघ (पारस्परिक, सहायक) मैट्रिक्स सी को भरना।
5. बीजगणितीय जोड़ से एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स संकलित करना: सहायक मैट्रिक्स सी के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित किया गया है। परिणामी मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।
6. वे जाँच करते हैं: वे मूल और परिणामी मैट्रिक्स को गुणा करते हैं। परिणाम एक पहचान मैट्रिक्स होना चाहिए.

उदाहरण क्रमांक 1. आइए मैट्रिक्स को इस रूप में लिखें: