यादृच्छिक चर। वितरण बहुभुज
यादृच्छिक चर: असतत और निरंतर।
स्टोकेस्टिक प्रयोग करते समय, प्राथमिक घटनाओं का एक स्थान बनता है - इस प्रयोग के संभावित परिणाम। ऐसा माना जाता है कि प्राथमिक घटनाओं के इस स्थान पर यादृच्छिक मूल्य X, यदि एक नियम (नियम) दिया गया है जिसके अनुसार प्रत्येक प्रारंभिक घटना के लिए एक संख्या नियत की जाती है। इस प्रकार, यादृच्छिक चर X को प्राथमिक घटनाओं के स्थान पर परिभाषित एक फलन के रूप में माना जा सकता है।
यादृच्छिक- एक मान जो, प्रत्येक परीक्षण के दौरान, एक या किसी अन्य संख्यात्मक मान पर ले जाता है (यह पहले से ज्ञात नहीं है कि कौन सा है), यादृच्छिक कारणों के आधार पर जिन्हें पहले से ध्यान में नहीं रखा जा सकता है। यादृच्छिक चर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं, और यादृच्छिक चर के संभावित मान छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं। इसलिए, जब एक पासा फेंका जाता है, तो संख्या x से जुड़ी एक घटना घटित होती है, जहां x लुढ़के बिंदुओं की संख्या है। अंकों की संख्या एक यादृच्छिक मान है, और संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6 इस मान के संभावित मान हैं। एक बंदूक से दागे जाने पर प्रक्षेप्य की दूरी भी एक यादृच्छिक चर है (यह दृष्टि की स्थापना, हवा की ताकत और दिशा, तापमान और अन्य कारकों पर निर्भर करता है), और संभावित मान इस मात्रा का एक निश्चित अंतराल (ए; बी) से संबंधित है।
असतत यादृच्छिक चर- एक यादृच्छिक चर जो कुछ संभावनाओं के साथ अलग, पृथक संभावित मान लेता है। असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या परिमित या अनंत हो सकती है।
■ सतत यादृच्छिक चरएक यादृच्छिक चर है जो कुछ परिमित या अनंत अंतराल से सभी मान ले सकता है। एक सतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या अनंत है।
उदाहरण के लिए, पासा फेंकते समय गिराए गए अंकों की संख्या, नियंत्रण कार्य के लिए अंक असतत यादृच्छिक चर हैं; बंदूक से फायरिंग करते समय प्रक्षेप्य की दूरी, शैक्षिक सामग्री को आत्मसात करने के समय के संकेतक की माप त्रुटि, किसी व्यक्ति की ऊंचाई और वजन निरंतर यादृच्छिक चर होते हैं।
यादृच्छिक चर का वितरण नियम- यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार, अर्थात। प्रत्येक संभावित मान x i प्रायिकता p i से जुड़ा है जिसके साथ यादृच्छिक चर यह मान ले सकता है। एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम सारणीबद्ध रूप से (तालिका के रूप में), विश्लेषणात्मक रूप से (सूत्र के रूप में) और आलेखीय रूप से दिया जा सकता है।
मान लीजिए कि एक असतत यादृच्छिक चर X क्रमशः x 1 , x 2 , …, x n प्रायिकता p 1 , p 2 , …, p n के साथ मान लेता है, अर्थात। P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2 ,…, P(X=x n) = p n। इस मान के वितरण कानून के एक सारणीबद्ध असाइनमेंट के साथ, तालिका की पहली पंक्ति में संभावित मान x 1, x 2, ..., x n, और दूसरी - उनकी संभावनाएं शामिल हैं
| एक्स | एक्स 1 | x2 | …
| एक्स एन |
| पी | p1 | p2 | …
| पी नहीं |
परीक्षण के परिणामस्वरूप, असतत यादृच्छिक चर X संभावित मानों में से एक और केवल एक लेता है, इसलिए घटनाएँ X=x 1 , X=x 2 ,…, X=x n जोड़ीवार असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, और , इसलिए, इन घटनाओं की संभावनाओं का योग एक के बराबर है, अर्थात। पी 1 + पी 2 + ... + पी एन \u003d 1.
असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम। बहुभुज (बहुभुज) वितरण।
जैसा कि आप जानते हैं, एक यादृच्छिक चर एक चर है जो मामले के आधार पर कुछ मूल्यों को ले सकता है। यादृच्छिक चर लैटिन वर्णमाला (एक्स, वाई, जेड) के बड़े अक्षरों और उनके मूल्यों - संबंधित लोअरकेस अक्षरों (एक्स, वाई, जेड) द्वारा दर्शाए जाते हैं। यादृच्छिक चर को असंतत (असतत) और निरंतर में विभाजित किया गया है।
एक असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर है जो कुछ गैर-शून्य संभावनाओं वाले मानों का केवल एक परिमित या अनंत (गणनीय) सेट लेता है।
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियमएक फ़ंक्शन है जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को उनकी संबंधित संभावनाओं से जोड़ता है। वितरण कानून को निम्नलिखित तरीकों में से एक में निर्दिष्ट किया जा सकता है।
1. वितरण नियम तालिका द्वारा दिया जा सकता है:
जहां >0, के = 0, 1, 2, ….
ग) वितरण फलन F(x) का उपयोग करते हुए, जो प्रत्येक मान x के लिए यह प्रायिकता निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान पर ले जाएगा, अर्थात। एफ(एक्स) = पी(एक्स< x).
फलन के गुण F(x)
3. वितरण कानून को ग्राफिक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है - एक वितरण बहुभुज (बहुभुज) द्वारा (कार्य 3 देखें)।
ध्यान दें कि कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, वितरण कानून को जानना आवश्यक नहीं है। कुछ मामलों में, एक या अधिक संख्याओं को जानना पर्याप्त होता है जो वितरण कानून की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को दर्शाते हैं। यह एक संख्या हो सकती है जिसका एक यादृच्छिक चर के "औसत मूल्य" का अर्थ है, या एक संख्या जो अपने औसत मूल्य से यादृच्छिक चर के विचलन का औसत आकार दिखाती है। इस प्रकार की संख्याओं को यादृच्छिक चर के संख्यात्मक अभिलक्षण कहते हैं।
असतत यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं:
- असतत यादृच्छिक चर M(X)=Σ x i p i की गणितीय अपेक्षा (औसत मान)।
द्विपद बंटन के लिए M(X)=np, पॉइसन बंटन के लिए M(X)=λ - एक असतत यादृच्छिक चर का फैलाव D(X)= M 2 या D(X) = M(X 2)− 2 । अंतर X-M(X) को एक यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन कहा जाता है।
द्विपद बंटन के लिए D(X)=npq, पॉइसन बंटन के लिए D(X)=λ - मानक विचलन (मानक विचलन) (X)=√D(X)।
· विविधता श्रृंखला के प्रतिनिधित्व की स्पष्टता के लिए, इसके ग्राफिक प्रतिनिधित्व का बहुत महत्व है। ग्राफिक रूप से, एक विविधता श्रृंखला को बहुभुज, एक हिस्टोग्राम और एक संचयी के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
एक वितरण बहुभुज (शाब्दिक रूप से, एक वितरण बहुभुज) को एक टूटी हुई रेखा कहा जाता है, जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली में निर्मित होती है। फीचर का मान एब्सिस्सा, संबंधित आवृत्तियों (या सापेक्ष आवृत्तियों) पर - कोर्डिनेट के साथ प्लॉट किया जाता है। बिंदु (या ) रेखाखंडों से जुड़े होते हैं और एक वितरण बहुभुज प्राप्त होता है। बहुधा, बहुभुज का उपयोग असतत भिन्नता श्रृंखला प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, लेकिन उनका उपयोग अंतराल श्रृंखला के लिए भी किया जा सकता है। इस मामले में, इन अंतरालों के मध्य बिंदुओं के अनुरूप बिंदुओं को भुज अक्ष पर प्लॉट किया जाता है। |
ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले मान यादृच्छिक कारणों पर निर्भर करते हैं, इसलिए ऐसे चर कहलाते हैं यादृच्छिक रूप से. ज्यादातर मामलों में, वे टिप्पणियों या प्रयोगों के परिणामस्वरूप दिखाई देते हैं, जिन्हें तालिकाओं में संक्षेपित किया जाता है, जिसकी पहली पंक्ति में यादृच्छिक चर X के विभिन्न देखे गए मान दर्ज किए जाते हैं, और दूसरे में - संबंधित आवृत्तियों। इसलिए, इस तालिका को कहा जाता है एक यादृच्छिक चर X . का अनुभवजन्य वितरणया परिवर्तनशील श्रृंखला. परिवर्तनशील श्रृंखला के लिए, हमने माध्य मान, प्रसरण और मानक विचलन पाया।
निरंतर, यदि इसके मान कुछ संख्यात्मक अंतराल को पूरी तरह से भरते हैं।
यादृच्छिक चर कहा जाता है अलग, यदि इसके सभी मूल्यों की गणना की जा सकती है (विशेष रूप से, यदि यह मूल्यों की एक सीमित संख्या लेता है)।
यह दो नोट किया जाना चाहिए विशेषता गुणअसतत यादृच्छिक चर की वितरण तालिकाएँ:
तालिका की दूसरी पंक्ति की सभी संख्याएँ धनात्मक हैं;
उनका योग एक के बराबर है।
किए गए अध्ययनों के अनुसार, यह माना जा सकता है कि टिप्पणियों की संख्या में वृद्धि के साथ, अनुभवजन्य वितरण सारणीबद्ध रूप में दिए गए सैद्धांतिक वितरण के करीब पहुंचता है।
असतत यादृच्छिक चर की एक महत्वपूर्ण विशेषता इसकी गणितीय अपेक्षा है।
गणितीय अपेक्षाअसतत यादृच्छिक चर X, प्रायिकताओं के साथ मान , , …, . लेते हुए, ..., एक संख्या कहलाती है:
गणितीय अपेक्षा को माध्य भी कहा जाता है।
एक यादृच्छिक चर की अन्य महत्वपूर्ण विशेषताओं में विचरण (8) और मानक विचलन (9) शामिल हैं।
कहा पे: मूल्य की गणितीय अपेक्षा एक्स।
.
(9)
सूचना का चित्रमय प्रस्तुतिकरण सारणीबद्ध की तुलना में बहुत स्पष्ट है, इसलिए एमएस एक्सेल स्प्रेडशीट की क्षमता का उपयोग विभिन्न चार्ट, ग्राफ और हिस्टोग्राम के रूप में उनमें रखे गए डेटा को प्रस्तुत करने के लिए किया जाता है। तो, तालिका के अलावा, एक यादृच्छिक चर के वितरण का उपयोग करके भी दर्शाया गया है वितरण बहुभुज. ऐसा करने के लिए, निर्देशांक के साथ बिंदु, ... समन्वय विमान पर बनाए जाते हैं और सीधे खंडों से जुड़े होते हैं।
एमएस एक्सेल का उपयोग करके वितरण आयत प्राप्त करने के लिए, आपको यह करना होगा:
1. टूलबार पर "इन्सर्ट"® "एरिया चार्ट" टैब चुनें।
2. एमएस एक्सेल शीट पर दिखाई देने वाले चार्ट के लिए दाहिने माउस बटन के साथ क्षेत्र को सक्रिय करें और संदर्भ मेनू में "डेटा का चयन करें" कमांड का उपयोग करें।
चावल। 6. डेटा स्रोत का चयन
सबसे पहले, चार्ट के लिए डेटा श्रेणी को परिभाषित करते हैं। ऐसा करने के लिए, "डेटा स्रोत चुनें" संवाद बॉक्स के उपयुक्त क्षेत्र में, श्रेणी C6:I6 दर्ज करें (इसमें Row1, Fig. 7 नामक आवृत्ति मान शामिल हैं)।
चावल। 7. पंक्ति 1 . जोड़ें
एक श्रृंखला का नाम बदलने के लिए, "लीजेंड एलिमेंट्स (श्रृंखला)" क्षेत्र को बदलने के लिए बटन का चयन करें (चित्र 7 देखें) और इसे नाम दें।
X अक्ष के लिए एक लेबल जोड़ने के लिए, "क्षैतिज अक्ष लेबल (श्रेणियां)" क्षेत्र में "संपादित करें" बटन का उपयोग करें
(चित्र 8) और श्रृंखला के मूल्यों को इंगित करें (रेंज $C$6:$I$6)।
चावल। 8. संवाद बॉक्स का अंतिम दृश्य "डेटा स्रोत चुनें"
डेटा स्रोत चुनें संवाद बॉक्स में एक बटन का चयन करना
(चित्र 8) आपको एक यादृच्छिक चर (चित्र 9) के वितरण के लिए आवश्यक बहुभुज प्राप्त करने की अनुमति देगा।
चावल। 9. एक यादृच्छिक चर का बहुभुज वितरण
आइए प्राप्त ग्राफिक जानकारी के डिजाइन में कुछ बदलाव करें:
एक एक्स-अक्ष लेबल जोड़ें;
Y अक्ष के लेबल को संपादित करें;
- 
आइए "वितरण बहुभुज" चार्ट के लिए एक शीर्षक जोड़ें।
ऐसा करने के लिए, टूलबार क्षेत्र में "चार्ट के साथ कार्य करें" टैब का चयन करें, "लेआउट" टैब और दिखाई देने वाले टूलबार में, संबंधित बटन: "चार्ट नाम", "अक्ष नाम" (चित्र 10)।
चावल। 10. एक यादृच्छिक चर के वितरण के बहुभुज का अंतिम रूप
अनियमित चरएक मात्रा कहलाती है, जो एक प्रयोग के परिणामस्वरूप, एक या दूसरे मूल्य पर ले जा सकती है जो पहले से ज्ञात नहीं है। यादृच्छिक चर हैं असतत (असतत)तथा निरंतरप्रकार। असंतत मात्राओं के संभावित मूल्यों की गणना पहले से की जा सकती है। निरंतर मात्राओं के संभावित मूल्यों की गणना पहले से नहीं की जा सकती है और लगातार एक निश्चित अंतराल को भर सकते हैं।
असतत यादृच्छिक चर का एक उदाहरण:
1) तीन सिक्कों के उछाल में हथियारों के कोट की उपस्थिति की संख्या। (संभावित मान 0;1;2;3) हैं
2) एक ही प्रयोग में हथियारों के कोट की उपस्थिति की आवृत्ति। (संभावित मान)
3) पांच तत्वों से युक्त डिवाइस में विफल तत्वों की संख्या। (संभावित मान 0;1;2;3;4;5) हैं
निरंतर यादृच्छिक चर के उदाहरण:
1) निकाल दिए जाने पर प्रभाव के बिंदु का एब्सिस्सा (कोर्डिनेट)।
2) प्रभाव के बिंदु से लक्ष्य के केंद्र तक की दूरी।
3) डिवाइस (रेडियो ट्यूब) के गैर-विफलता संचालन का समय।
रैंडम वेरिएबल्स को बड़े अक्षरों से और उनके संभावित मूल्यों को संबंधित छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, X तीन शॉट वाले हिट की संख्या है; संभावित मान: एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 1, एक्स 3 = 2, एक्स 4 = 3।
संभावित मान X 1 , X 2 , … , X n के साथ एक असंतत यादृच्छिक चर X पर विचार करें। इनमें से प्रत्येक मान संभव है, लेकिन निश्चित नहीं है, और X का मान उनमें से प्रत्येक को कुछ संभावना के साथ ले सकता है। प्रयोग के परिणामस्वरूप, मात्रा X इन मानों में से एक मान लेगी, अर्थात असंगत घटनाओं के पूरे समूह में से एक घटित होगा।
आइए हम इन घटनाओं की संभावनाओं को संबंधित सूचकांकों के साथ p अक्षर से निरूपित करें:
चूँकि असंगत घटनाएँ एक पूर्ण समूह बनाती हैं, तो
अर्थात्, यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है। यह कुल संभावना किसी तरह व्यक्तिगत मूल्यों के बीच वितरित की जाती है। एक यादृच्छिक चर पूरी तरह से एक संभाव्य दृष्टिकोण से वर्णित किया जाएगा यदि हम इस वितरण को निर्दिष्ट करते हैं, अर्थात, हम इंगित करते हैं कि प्रत्येक घटना की वास्तव में क्या संभावना है। (यह यादृच्छिक चर के वितरण के तथाकथित कानून को स्थापित करेगा।)
यादृच्छिक चर के वितरण का नियमकोई भी संबंध जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभाव्यता के बीच संबंध स्थापित करता है, कहलाता है। (एक यादृच्छिक चर के बारे में, हम कहेंगे कि यह दिए गए वितरण कानून के अधीन है)
एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं को सूचीबद्ध करती है।
तालिका एक।
| एक्स मैं | x1 | x2 | …
| एक्स एन |
| अनुकरणीय | पी1 | पी2 | …
| पी न |
ऐसी तालिका कहलाती है वितरण के निकटयादृच्छिक चर।
वितरण श्रृंखला को अधिक दृश्य रूप देने के लिए, वे इसके चित्रमय प्रतिनिधित्व का सहारा लेते हैं: एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और इन मूल्यों की संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। (स्पष्टता के लिए, प्राप्त बिंदु रेखाखंडों से जुड़े हुए हैं।)
चित्र 1 - वितरण बहुभुज
ऐसी आकृति कहलाती है वितरण बहुभुज. वितरण बहुभुज, वितरण श्रृंखला की तरह, पूरी तरह से यादृच्छिक चर की विशेषता है; यह वितरण के नियम का एक रूप है।
उदाहरण:
एक प्रयोग किया जाता है जिसमें घटना A प्रकट हो या न हो। घटना A की संभावना = 0.3। एक यादृच्छिक चर X माना जाता है - इस प्रयोग में घटना A की घटनाओं की संख्या। एक्स के वितरण की एक श्रृंखला और बहुभुज बनाना आवश्यक है।
तालिका 2।
| एक्स मैं |
|
|
| अनुकरणीय | 0,7
| 0,3
|
चित्र 2 - वितरण कार्य
वितरण समारोहयादृच्छिक चर की एक सार्वभौमिक विशेषता है। यह सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद है: असंतत और गैर-असंतत दोनों। वितरण फ़ंक्शन एक संभाव्य दृष्टिकोण से एक यादृच्छिक चर की पूरी तरह से विशेषता है, अर्थात यह वितरण कानून के रूपों में से एक है।
इस संभाव्यता वितरण को मापने के लिए, घटना एक्स = एक्स की संभावना नहीं, बल्कि घटना एक्स की संभावना का उपयोग करना सुविधाजनक है।
बंटन फलन F(x) को कभी-कभी समाकलन वितरण फलन या समाकलन वितरण नियम भी कहा जाता है।
एक यादृच्छिक चर के वितरण समारोह के गुण
1. वितरण फलन F(x) इसके तर्क का एक गैर-घटता हुआ फलन है, अर्थात् के लिए; 
2. शून्य से अनंत पर:
3. प्लस इन्फिनिटी पर:
चित्र 3 - वितरण फलन का ग्राफ
वितरण समारोह प्लॉटसामान्य स्थिति में, यह एक गैर-घटते फ़ंक्शन का एक ग्राफ है, जिसके मान 0 से शुरू होते हैं और 1 तक पहुंचते हैं।
एक यादृच्छिक चर के वितरण श्रृंखला को जानने के बाद, एक यादृच्छिक चर के वितरण समारोह का निर्माण करना संभव है।
उदाहरण:
पिछले उदाहरण की शर्तों के लिए, एक यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें।
आइए वितरण फ़ंक्शन X का निर्माण करें:
चित्र 4 - वितरण फलन X
वितरण समारोहकिसी भी असतत असतत यादृच्छिक चर में हमेशा एक असंतत चरण फ़ंक्शन होता है, जिसकी छलांग यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के अनुरूप बिंदुओं पर होती है और इन मूल्यों की संभावनाओं के बराबर होती है। वितरण फलन में सभी छलांगों का योग 1 . है.
जैसे-जैसे यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या बढ़ती है और उनके बीच का अंतराल कम होता जाता है, कूदने की संख्या बड़ी होती जाती है, और छलांग खुद छोटी होती जाती है:
चित्र 5
चरण वक्र चिकना हो जाता है:
चित्र 6
एक यादृच्छिक चर धीरे-धीरे एक निरंतर मूल्य के करीब पहुंचता है, और इसका वितरण फ़ंक्शन एक निरंतर कार्य करता है। ऐसे यादृच्छिक चर भी होते हैं जिनके संभावित मान लगातार एक निश्चित अंतराल को भरते हैं, लेकिन जिसके लिए वितरण फ़ंक्शन हर जगह निरंतर नहीं होता है। और कुछ बिंदुओं पर यह टूट जाता है। ऐसे यादृच्छिक चर मिश्रित कहलाते हैं।
चित्र 7
कार्य 14.नकद लॉटरी में, 1,000,000 रूबल की 1 जीत खेली जाती है, प्रत्येक 100,000 रूबल की 10 जीत। और 1000 रूबल की 100 जीत। टिकटों की कुल संख्या 10000 के साथ। यादृच्छिक जीत के वितरण के नियम का पता लगाएं एक्सएक लॉटरी टिकट के मालिक के लिए।
समाधान. के लिए संभावित मान एक्स: एक्स 1 = 0; एक्स 2 = 1000; एक्स 3 = 100000;
एक्स 4 \u003d 1000000। उनकी संभावनाएं क्रमशः बराबर हैं: आर 2 = 0,01; आर 3 =
0,001; आर 4 = 0,0001; आर 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.
इसलिए, अदायगी का वितरण कानून एक्सनिम्नलिखित तालिका द्वारा दिया जा सकता है:
टास्क 15. असतत यादृच्छिक चर एक्सवितरण कानून द्वारा दिया गया:
एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें।
समाधान. हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली का निर्माण करते हैं, और भुज अक्ष के साथ हम संभावित मूल्यों की साजिश रचेंगे एक्स मैं,और y-अक्ष के अनुदिश - संगत प्रायिकता पी मैं. आइए अंक बनाते हैं एम 1 (1;0,2), एम 2 (3;0,1), एम 3 (6; 0.4) और एम 4 (8; 0.3)। इन बिंदुओं को रेखाखंडों से जोड़ने पर हमें वांछित बंटन बहुभुज प्राप्त होता है।
2. यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं
एक यादृच्छिक चर पूरी तरह से इसके वितरण कानून की विशेषता है। एक यादृच्छिक चर का औसत विवरण इसकी संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है
2.1. अपेक्षित मूल्य। फैलाव।
एक यादृच्छिक चर को क्रमशः प्रायिकता वाले मानों पर ले जाने दें।
परिभाषा। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है:
गणितीय अपेक्षा के गुण।
माध्य मान के चारों ओर एक यादृच्छिक चर का फैलाव विचरण और मानक विचलन की विशेषता है।
एक यादृच्छिक चर का फैलाव इसकी गणितीय अपेक्षा से एक यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है:
गणना के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है
फैलाव गुण।
2. , जहां परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।
3. मानक विचलन।
टास्क 16.एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं जेड = एक्स+ 2यू, यदि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएं ज्ञात हैं एक्सतथा यू: एम(एक्स) = 5, एम(यू) = 3.
समाधान. हम गणितीय अपेक्षा के गुणों का उपयोग करते हैं। तब हमें मिलता है:
एम(एक्स+ 2यू)= एम(एक्स) + एम(2यू) = एम(एक्स) +
2एम(यू) =
5 + 2 . 3 =
11.
टास्क 17.यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्स 3 के बराबर। यादृच्छिक चरों का प्रसरण ज्ञात कीजिए: a) -3 एक्स;बी 4 एक्स + 3.
समाधान. आइए फैलाव के गुण 3, 4 और 2 लागू करें। हमारे पास है:
एक) डी(–3एक्स) = (–3) 2 डी(एक्स) = 9डी(एक्स) = 9 . 3 = 27;
बी) डी(4एक्स + 3) = डी(4एक्स) + डी(3) = 16डी(एक्स) + 0 = 16 . 3 = 48.
टास्क 18.एक स्वतंत्र यादृच्छिक चर दिया गया है यूएक पासे को फेंकने से प्राप्त अंकों की संख्या है। एक यादृच्छिक चर का वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए यू.
समाधान।यादृच्छिक चर वितरण तालिका यूकी तरह लगता है:
फिर एम(यू) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;
डी(यू) \u003d (1 - 3.5) 2 1/6 + (2 - 3.5) 2/6 + (3 - 3.5) 2 1/6 + (4 - 3.5) 2/6 + (5 - -3.5) 2 1/ 6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 \u003d 2.917; σ
(यू) =Ö
2,917 =
1,708.
कार्य 14.नकद लॉटरी में, 1,000,000 रूबल की 1 जीत खेली जाती है, प्रत्येक 100,000 रूबल की 10 जीत। और 1000 रूबल की 100 जीत। टिकटों की कुल संख्या 10000 के साथ। यादृच्छिक जीत के वितरण के नियम का पता लगाएं एक्सएक लॉटरी टिकट के मालिक के लिए।
समाधान. के लिए संभावित मान एक्स: एक्स 1 = 0; एक्स 2 = 1000; एक्स 3 = 100000;
एक्स 4 \u003d 1000000। उनकी संभावनाएं क्रमशः बराबर हैं: आर 2 = 0,01; आर 3 =
0,001; आर 4 = 0,0001; आर 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.
इसलिए, अदायगी का वितरण कानून एक्सनिम्नलिखित तालिका द्वारा दिया जा सकता है:
एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें।
समाधान. हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली का निर्माण करते हैं, और भुज अक्ष के साथ हम संभावित मूल्यों की साजिश रचेंगे एक्स मैं,और y-अक्ष के अनुदिश - संगत प्रायिकता पी मैं. आइए अंक बनाते हैं एम 1 (1;0,2), एम 2 (3;0,1), एम 3 (6; 0.4) और एम 4 (8; 0.3)। इन बिंदुओं को रेखाखंडों से जोड़ने पर हमें वांछित बंटन बहुभुज प्राप्त होता है।
2. यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं
एक यादृच्छिक चर पूरी तरह से इसके वितरण कानून की विशेषता है। एक यादृच्छिक चर का औसत विवरण इसकी संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है
2.1. अपेक्षित मूल्य। फैलाव।
एक यादृच्छिक चर को क्रमशः प्रायिकता वाले मानों पर ले जाने दें।
परिभाषा। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है:
.
गणितीय अपेक्षा के गुण।
माध्य मान के चारों ओर एक यादृच्छिक चर का फैलाव विचरण और मानक विचलन की विशेषता है।
एक यादृच्छिक चर का फैलाव इसकी गणितीय अपेक्षा से एक यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा है:
गणना के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है
फैलाव गुण।
2. , जहां परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।
3. मानक विचलन 
.
टास्क 16.एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं जेड = एक्स+ 2यू, यदि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएं ज्ञात हैं एक्सतथा यू: एम(एक्स) = 5, एम(यू) = 3.
समाधान. हम गणितीय अपेक्षा के गुणों का उपयोग करते हैं। तब हमें मिलता है:
एम(एक्स+ 2यू)= एम(एक्स) + एम(2यू) = एम(एक्स) +
2एम(यू) =
5 + 2 . 3 =
11.
टास्क 17.यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्स 3 के बराबर। यादृच्छिक चरों का प्रसरण ज्ञात कीजिए: a) -3 एक्स;बी 4 एक्स + 3.
समाधान. आइए फैलाव के गुण 3, 4 और 2 लागू करें। हमारे पास है:
एक) डी(–3एक्स) = (–3) 2 डी(एक्स) = 9डी(एक्स) = 9 . 3 = 27;
बी) डी(4एक्स + 3) = डी(4एक्स) + डी(3) = 16डी(एक्स) + 0 = 16 . 3 = 48.
टास्क 18.एक स्वतंत्र यादृच्छिक चर दिया गया है यूएक पासे को फेंकने से प्राप्त अंकों की संख्या है। एक यादृच्छिक चर का वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए यू.
समाधान।यादृच्छिक चर वितरण तालिका यूकी तरह लगता है:
| यू |
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|
|
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| आर
| 1/6
| 1/6
| 1/6
| 1/6
| 1/6
| 1/6
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फिर एम(यू) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;
डी(यू) \u003d (1 - 3.5) 2 1/6 + (2 - 3.5) 2/6 + (3 - 3.5) 2 1/6 + (4 - 3.5) 2/6 + (5 - -3.5) 2 1/ 6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 \u003d 2.917; σ
(यू) =Ö
2,917 =
1,708.
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