बाहरी सुंदरता की कसौटी के रूप में समरूपता। चेहरे की विषमता: रोग संबंधी विकारों के कारण और उनके सुधार के तरीके

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तारीख: 2017-10-17 दृश्य: 18 963 श्रेणी: 5.0

प्रशिक्षण का उद्देश्य:चेहरे की विषमता को 3 बिंदुओं (भौं, आंख, होंठ) पर ठीक करें।

मानव चेहरा शरीर की तरह सममित नहीं है, और इसमें आश्चर्य की कोई बात नहीं है।

हालांकि, ऐसे मामले हैं जब चेहरे की विषमता स्पष्ट होती है और आपको मनोवैज्ञानिक परेशानी देती है। मैं तुरंत आरक्षण कर दूंगा कि अभ्यास की मदद से सभी प्रकार की विषमता को ठीक नहीं किया जा सकता है।

विषमता को व्यायाम द्वारा ठीक नहीं किया जा सकता है यदि:

• यह हड्डी विकृति के कारण होता है;
• रोग संबंधी विकृति;
• चेहरे की तंत्रिका के बहुत "पुराने" न्यूरिटिस;
• कुछ मामलों में, बोटॉक्स इंजेक्शन के परिणाम, तथाकथित दुष्प्रभाव।

विषमता के कारण

साथ ही, चेहरे की विषमता काफी हद तक आपके शरीर की स्थिति पर निर्भर करती है। चेहरे और शरीर के बीच संबंधों के बारे में।

संक्षेप में, स्कोलियोसिस, लॉर्डोसिस, पैल्विक विकृतियों और मस्कुलोस्केलेटल सिस्टम में अन्य परिवर्तनों के साथ, विषमता होती है और इसका सुधार एड़ी से शुरू होना चाहिए!

लेकिन ASYMMETRY अत्यधिक चेहरे के भाव, चेहरे की हरकतों और व्यवहार संबंधी आदतों का परिणाम हो सकता है। उदाहरण के लिए, वीडियो में आपके चेहरे को करीब से देखने पर यह सब पता चलता है।

मुस्कुराना, बोलना, केवल एक तरफ चबाना, या लगातार एक भौहें उठाना। मांसपेशी स्मृति के अस्तित्व को याद रखें? और वह आपके बारे में याद करती है और अपनी सक्रिय भौहें हर समय खींचती है, और एक आंख कम दृष्टि से कम करती है।

विषमता को कैसे मापें?

चेहरे की समरूपता की जांच कैसे करें? फोटो चाहिए! अपने बालों को अपने चेहरे से दूर ले जाएं, आपको एक तस्वीर लेने के लिए कहें। एक तस्वीर पासपोर्ट की तरह होती है: हम मुस्कुराते नहीं हैं, हम तस्वीर में कूल दिखने की कोशिश नहीं करते हैं।

हम एक शासक लेते हैं और आंखों के ऊपर (पुतली में), भौंहों के ऊपर, होठों के ऊपर एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं। आंखों से शुरू करें। आखिरकार, हमारी आंतरिक आत्मा का स्तर (स्तर) केवल आंखों के क्षेत्र में क्षितिज पर जाता है, ताकि आप आसानी से चल सकें और गिर न सकें।

और अब हम 3 परिणामी रेखाओं को देखते हैं। शायद एक भौं ऊंची होगी और दूसरी निचली, होठों के कोने एक ही रेखा पर न हों।

याद रखें कि विषमता के लिए स्वीकार्य मूल्य हैं और यह पूरी तरह से स्वाभाविक है और समायोजन की आवश्यकता नहीं है।

जहां क्षितिज से विचलन होते हैं, आपको मांसपेशियों के साथ काम करने की आवश्यकता होती है, और कुछ के लिए यह व्यवहार संबंधी रूढ़ियों को ठीक करने के लिए पर्याप्त होगा और सब कुछ चेहरे पर गिर जाएगा।

विषमता के साथ चेहरे के लिए व्यायाम

आइए अभ्यासों पर चलते हैं। वैसे, उन्हें किसी भी परिसर के साथ जोड़ा जा सकता है :,। बस उन्हें अपने प्रशिक्षण कार्यक्रम में शामिल करें। उदाहरण के लिए, प्रदर्शन करना, फिर उसी क्षेत्र की विषमता को ठीक करने के लिए व्यायाम करना।

उदाहरण में, मैं चेहरे की एक तरफा विषमता को ठीक करने के विकल्प पर विचार करता हूं, जब चेहरे का हिस्सा उसके आधे के सापेक्ष कम काम करता है, तो आप इसे कम महसूस करते हैं! उदाहरण के लिए, बाईं भौं, बाईं आंख, होंठ का बायां कोना चेहरे के दाहिने हिस्से की तुलना में नीचे होता है - इस विषमता को वन-साइड कहा जाता है।

चेहरे की विषमता विकर्ण, जटिल हो सकती है। ऐसे मामलों में, व्यक्तिगत रूप से व्यायाम का चयन करना बेहतर होता है।

30 प्रतिनिधि अनुशंसित, अंतिम खाते पर स्थिर विलंब 5 सेकंड। प्रशिक्षण "आधार" के कार्यान्वयन पर आधारित है - किसी विशेष क्षेत्र की विषमता को ठीक करने के लिए विशेष अभ्यासों को जोड़ने के साथ बुनियादी अभ्यास।

माथा। भौं सुधार

व्यायाम संख्या 1: भौहें ऊपर उठाना

यह मूल अभ्यास है। इसे करते समय आइब्रो पर ध्यान दें? कौन सा बदतर हो जाता है? आपको कौन सा कम लगता है?

अपनी उंगलियों को अपनी भौहों पर रखें। अपनी भौंहों को प्रयास से ऊपर उठाएं, अपनी उंगलियों से विरोध करें। सुनिश्चित करें कि अभ्यास के दौरान माथे पर कोई क्षैतिज झुर्रियाँ नहीं हैं, अपने कंधों को आराम करने और कम करने की कोशिश करें, भौंहों के ऊपर की त्वचा को कसकर ठीक करें। व्यायाम पूरा करने के बाद, अपने माथे को अपनी उंगलियों से टैप करें।

आइए भौंहों की ऊंचाई के विभिन्न पदों को ठीक करने के लिए अभ्यासों के एक सेट पर आगे बढ़ें:

व्यायाम संख्या 2: बारी-बारी से भौंहों को ऊपर उठाना

माथे पर, भौहों के ऊपर, अपनी उंगलियों और फालंजों को त्वचा को हल्के से पकड़ें ताकि वह सिलवटों में इकट्ठा न हो। अब बारी-बारी से अपनी भौंहों को ऊपर उठाएं: फिर बाएँ, फिर दाएँ।

महसूस करें कि कौन सी भौहें बदतर हो जाती हैं, या जब उनकी भौहें ऊपर उठती हैं, तो तनाव और बेचैनी पैदा होती है। भौहें जो बदतर हो जाती हैं उन्हें 2 गिनती से बाहर निकाला जाना चाहिए: 1-उठाया, 2-खिंचा हुआ। व्यायाम पूरा करने के बाद, अपने माथे को अपनी उंगलियों से टैप करें।

व्यायाम संख्या 3: एक भौं उठाना

एक बार जब आपको एक ऐसी आइब्रो मिल जाती है जो बदतर काम करती है और नीचे स्थित होती है, तो इसे अलग से "प्रशिक्षित" करने की आवश्यकता होती है।

हम भौं को ठीक करते हैं, जो ऊपर स्थित है, एक हाथ से, और दूसरे को ऊपर उठाएं, भौं के ऊपर की त्वचा को उंगलियों के फालेंज से पकड़ें ताकि यह सिलवटों में इकट्ठा न हो। व्यायाम पूरा करने के बाद, अपने माथे को अपनी उंगलियों से टैप करें।

आँखें

सामान्य वीडियो:

व्यायाम संख्या 1: ऊपरी पलक को मजबूत करने के लिए

यह मूल अभ्यास है। निष्पादन के दौरान, तर्जनी के नीचे संवेदनाओं को ट्रैक करें, उंगलियों में से एक के नीचे एक धड़कन है, मांसपेशियों का कांपना कम स्पष्ट होगा। जब आप इस आंख को बंद करते हैं, तो निचली पलक को ऊपरी पलक से थोड़ा जोर से दबाने की कोशिश करें। महत्वपूर्ण! अपनी उंगलियों से जोर से न दबाएं और त्वचा को अलग-अलग दिशाओं में न फैलाएं!

हम आंखों के कोनों को अपनी उंगलियों से पकड़ते हैं और थोड़े से प्रयास से अपनी आंखें बंद करते हैं, ऊपरी पलक को निचली पलक पर दबाते हैं। भौंहों को जगह पर रखने की कोशिश करें और ऊपरी पलक के पीछे न रेंगें, अपने माथे को आराम दें। तब हम आंखें खोलते हैं। व्यायाम करने के बाद अपनी आंखें झपकाएं।

व्यायाम संख्या 2: वैकल्पिक नेत्र कार्य

आइए एक-एक करके आंखें बंद करें। हम तर्जनी और मध्यमा उंगलियों को आंखों के कोनों में लगाते हैं, त्वचा को दबाते या खींचते नहीं हैं। हम बारी-बारी से अपनी आँखें बंद करते हैं: बाएँ, दाएँ, बाएँ .... जब आप एक आँख बंद करते हैं, तो दूसरी खुली रखनी चाहिए। माथे को आराम देना सुनिश्चित करें ताकि भौं ऊपरी पलक के साथ नीचे न गिरे। व्यायाम करने के बाद अपनी आंखें झपकाएं।

होंठ के कोने

सामान्य वीडियो:

व्यायाम संख्या 1: होठों के झुके हुए कोनों को ऊपर उठाने में मदद करता है

यह मूल अभ्यास है। उंगलियां नासोलैबियल ज़ोन (मुंह के कोने से नथुने तक) को ठीक करती हैं। हम होठों के कोनों को ऊपर उठाते हैं, जैसे मुस्कुराते हुए, अपनी उंगलियों से हम विरोध करते हैं, होठों के कोनों की गति आँखों के नीचे ऊपर जाती है, जबकि होठों का केंद्र शिथिल होता है। अपनी उंगलियों को अपने चेहरे पर "सवारी" न करने का प्रयास करें; उठाते समय, होंठ का कोना आपकी उंगलियों पर टिका होता है।

व्यायाम संख्या 2 बारी-बारी से होठों के कोनों को ऊपर उठाएं

उंगलियां नासोलैबियल ज़ोन (मुंह के कोने से नथुने तक) को ठीक करती हैं। हम होठों के कोनों को ऊपर उठाते हैं, जैसे कि होंठ के एक कोने से मुस्कुराते हुए, हम अपनी उंगलियों से विरोध करते हैं, होठों के कोनों की गति आँखों के नीचे ऊपर जाती है, जबकि होठों का केंद्र शिथिल होता है। अपनी उंगलियों को अपने चेहरे पर "सवारी" न करने का प्रयास करें; उठाते समय, होंठ का कोना आपकी उंगलियों पर टिका होता है।

व्यायाम संख्या 3 होंठ के एक कोने को ऊपर उठाएं

उंगलियों के साथ हम होंठ के कोने के किनारे से नासोलैबियल ज़ोन (मुंह के कोने से नथुने तक) को ठीक करते हैं, जो नीचे स्थित है। हम बस अपने हाथ से मुंह के विपरीत कोने को ठीक कर लेते हैं ताकि वह काम में न लगे। हम होठों के कोने को ऊपर उठाते हैं, जैसे होंठ के एक कोने से मुस्कुराते हुए, हम अपनी उंगलियों से विरोध करते हैं, होंठ के कोने की गति आंख के नीचे ऊपर जाती है, जबकि होठों का केंद्र शिथिल होता है। अपनी उंगलियों को अपने चेहरे पर "सवारी" न करने का प्रयास करें; उठाते समय, होंठ का कोना आपकी उंगलियों पर टिका होता है।

पी.एस.मैं फेसबुक बिल्डिंग के लिए व्यक्तिगत प्रशिक्षण कार्यक्रम विकसित करता हूं, मैं स्काइप के माध्यम से कक्षाएं संचालित करता हूं। अगर आपको रुचि हो तो -

चेहरे की विषमता की स्थापना एक तरह की सनसनी बन गई है, क्योंकि विषमता शायद ही कभी स्पष्ट होती है। यह पता चला कि लोग अपनी विषमता की डिग्री में उतने ही भिन्न होते हैं जितने कि चेहरे की विशेषताओं में। यह न केवल माप द्वारा पुष्टि की गई थी, बल्कि दाएं और बाएं हिस्सों की तस्वीरों से बने चित्रों की तुलना (उनमें से एक को प्रिंट करते समय उल्टा कर दिया जाना चाहिए) एक व्यक्ति के सामान्य चित्र के साथ बिल्कुल सामने लिया गया था। आपको बिल्कुल अलग चेहरे मिलते हैं।

दुनिया में कोई पूर्ण समरूपता नहीं है। चेहरे की समरूपता को उसकी सुंदरता के लिए एक अनिवार्य शर्त मानना ​​एक गलती है। वंशानुगत लक्षणों का मिश्रण बच्चे के चेहरे में परिलक्षित नहीं हो सकता है। चेहरे की सुंदरता का आकलन करने के लिए, सुविधाओं का एक संयोजन और थोड़ी विषमता महत्वपूर्ण है, जो वैसे, सभी लोगों के चेहरों में निहित है और चित्र के गुणों से बिल्कुल भी अलग नहीं होती है। यहां तक ​​कि वीनस डी मिलो और अपोलो बेल्वेडियर की मूर्तियों में भी, उनके चेहरों में पूर्ण समरूपता नहीं है। अच्छे कारण से, हम कह सकते हैं कि दाएं और बाएं हिस्सों की निर्विवाद सख्त समरूपता वाला एक भी व्यक्ति नहीं है। शायद यही कारण है कि क्लॉडियस गैलेन ने लिखा है कि "वास्तविक सुंदरता उद्देश्य की पूर्णता में व्यक्त की जाती है और सभी भागों का पहला लक्ष्य संरचना की समीचीनता है।" निस्संदेह, पीएफ लेसगाफ्ट सही थे जब उन्होंने लिखा था कि "सभी मांसपेशियों और मांसपेशी समूहों के सामंजस्यपूर्ण विकास के साथ, चेहरा अपनी निश्चित अभिव्यक्ति खो देगा। चेहरे की विशेषताओं का व्यक्तित्व संबंधित मांसपेशियों के लगातार उपयोग के माध्यम से प्राप्त किया जाता है।

मिशेल मोनाघन

तो, इसे एक तथ्य के रूप में पहचाना जाना चाहिए चेहरे की विषमता, अर्थात्, इसके दाएं और बाएं हिस्सों की असमानता: उनमें से एक, एक नियम के रूप में, व्यापक है, दूसरा संकरा है, एक ऊंचा है, दूसरा कम है . विषमता का कारण ज्यादातर मामलों में खोपड़ी की हड्डियों के संरचनात्मक तत्वों की असमानता है। किसी व्यक्ति के चेहरे पर, विषमता में वृद्धि चेहरे के भाव (शारीरिक विषमता) की विशिष्टता के कारण होती है।

नाओमी वत्स

ऐसे वैज्ञानिक कार्य हैं जिनमें वैज्ञानिक चेहरे की विषमता के निम्नलिखित पैटर्न की पहचान करते हैं। अगर चेहरे का आधा हिस्सा ऊंचा है, तो वह भी संकरा है। इस मामले में, भौहें विपरीत की तुलना में अधिक स्थित होती हैं, चेहरे के चौड़े आधे हिस्से में, पैलेब्रल विदर बड़ा होता है। आंख समग्र रूप से ऊपर की ओर मुड़ी हुई प्रतीत होती है। चेहरे का बायां आधा हिस्सा आमतौर पर दाएं से ऊंचा होता है। कई लेखक अभी भी मानते हैं कि चेहरे का दाहिना आधा भाग बाईं ओर से बड़ा है, अधिक तेजी से फैला हुआ है, और पुरुषत्व को व्यक्त करता है। बायां आधा आम तौर पर नरम होता है, जो स्त्रीत्व की विशेषताओं को दर्शाता है।

केट बोसवर्थ

चेहरे की विषमता को लंबे समय से सामान्य शरीर की विषमता के प्रतिबिंब के रूप में देखा गया है। तस्वीर के ठीक आधे हिस्से और उसकी दर्पण छवि से चित्र में चेहरे को पुनर्स्थापित करने का प्रयास किया गया। दाएं और बाएं हिस्सों ने अलग-अलग चित्र दिए। वे मूल से मेल नहीं खाते। मिमिक विषमता, हालांकि चेहरे की खोपड़ी के दाएं और बाएं हिस्सों के अनुपात पर आरोपित है, इसकी भी अपनी विशेषताएं हैं। यह स्थापित किया गया है कि दाहिनी नकल की मांसपेशियों का तंत्रिका विनियमन अधिक समृद्ध है, सिर और आंखों की दाईं ओर की गतिविधियों को अधिक आसानी से पुन: पेश किया जाता है। यहां तक ​​कि दाहिनी आंख का फड़कना भी अधिक अभ्यस्त है।

चिकित्सा विज्ञान के उम्मीदवार, प्लास्टिक सर्जन ""

15वीं शताब्दी में, लियोनार्डो दा विंची ने ऐसे चित्र बनाए जो मानव चेहरे और शरीर के "दिव्य" अनुपात को दर्शाते हैं, जो अभी भी मानक हैं (चित्र 1)। हालांकि, ये अनुपात इस तथ्य को ध्यान में नहीं रखते हैं कि जीवित प्रकृति में बिल्कुल सममित वस्तुएं मौजूद नहीं हैं: उनमें से किसी में हमेशा समरूपता और विषमता की एकता होती है।

चावल। एक।

पूरे इतिहास में, लोगों ने सुंदरता को "मापने" की कोशिश की है, गणितीय सूत्रों या ज्यामितीय अनुपातों का उपयोग करके इसका वर्णन किया है, जिससे इसे फिर से बनाना संभव हो गया है। तो, प्राचीन ग्रीस में, प्रकृति में मनाया जाने वाला आदेश और सद्भाव सुंदर मूर्तियों में अमर देवी-देवताओं की चमकदार छवियों में व्यक्त किया गया था।

ग्रीक मूर्तिकारों के अनुसार, समरूपता प्राकृतिक निकायों और मानव शरीर के सामंजस्य, आनुपातिकता, सामंजस्य की विशेषता है। इसलिए, समरूपता और सुंदरता की अवधारणाएं समान हैं। स्थापत्य स्मारकों के कड़ाई से सममित निर्माण को याद करने के लिए पर्याप्त है, पारंपरिक आभूषणों के नियमित रूप से दोहराए जाने वाले पैटर्न, ग्रीक फूलदानों का अद्भुत सामंजस्य (चित्र 2)।

किसी व्यक्ति के चेहरे और शरीर की विषमता का तथ्य प्राचीन दुनिया के कलाकारों और मूर्तिकारों के लिए जाना जाता था और उनके द्वारा निर्मित कार्यों को अभिव्यक्ति और आध्यात्मिकता देने के लिए उपयोग किया जाता था।

विषमता का एक उल्लेखनीय उदाहरण वीनस डी मिलो का चेहरा है (चित्र 3)। समरूपता के समर्थकों ने महिला सौंदर्य के इस सार्वभौमिक रूप से मान्यता प्राप्त मानक के रूपों की विषमता की आलोचना की, यह मानते हुए कि शुक्र का चेहरा सममित होने पर अधिक सुंदर होगा। हालाँकि, समग्र शॉट्स को देखते हुए, हम देखते हैं कि ऐसा नहीं है।

"समरूपता" की अवधारणा सीधे सद्भाव से संबंधित है।यह प्राचीन ग्रीक शब्द συμμετρία (आनुपातिकता) से आया है और इसका अर्थ है किसी वस्तु में कुछ सामंजस्यपूर्ण और आनुपातिक। "दर्पण" समरूपता की अवधारणा एक व्यक्ति पर लागू होती है। यह समरूपता अच्छी तरह से आनुपातिक मानव शरीर के लिए हमारी सौंदर्य प्रशंसा का मुख्य स्रोत है।

ऐसी समरूपता न केवल सुंदर है, बल्कि कार्यात्मक भी है। तो, सममित अंग अंतरिक्ष में स्थानांतरित करना आसान बनाते हैं, आंखों का स्थान - सही दृश्य छवि बनाने के लिए, एक सपाट नाक सेप्टम पर्याप्त श्वास प्रदान करता है। हालांकि, असमान विकास और कार्य के कारण जीवित जीवों की समरूपता गणितीय सटीकता के साथ प्रकट नहीं होती है।

चेहरे की समरूपता और सौंदर्य मानक

समय के साथ, सौंदर्य मानकों में बदलाव आया है, लेकिन सिद्धांत और पैरामीटर जो चेहरे के अनुपात और अनुपात को निर्धारित करते हैं, और तदनुसार, इसके आकर्षण को प्राचीन काल से संरक्षित किया गया है। चेहरे के सामंजस्यपूर्ण होने के लिए, उसके विभिन्न भागों को एक निश्चित अनुपात में जोड़ा जाना चाहिए, जिसकी मदद से एक समग्र संतुलन प्राप्त होता है। चेहरे का कोई भी हिस्सा मौजूद नहीं है या दूसरों से अलग-थलग काम करता है। चेहरे के किसी विशेष भाग में कोई भी परिवर्तन अन्य भागों और पूरे चेहरे की धारणा पर सही या स्पष्ट प्रभाव डालेगा।

यह स्वाभाविक है कि मानव चेहरे के सभी अनुपातों में उसके सौंदर्यशास्त्र के लिए केवल एक अनुमानित मूल्य होता हैकई कारणों से:

• सबसे पहले, चेहरे का अनुपात किसी व्यक्ति की उम्र, लिंग, शारीरिक विकास के आधार पर बदलता है और बड़े पैमाने पर व्यक्तिगत संरचनात्मक विशेषताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है।
• दूसरे, सिर की स्थिति के आधार पर आनुपातिकता का आकलन अधिक जटिल हो जाता है।
• तीसरी कठिनाई मानव चेहरे की विषमता में निहित है, जो अक्सर नाक के आकार में प्रकट होती है, तालु और भौंहों की स्थिति और मुंह के कोनों की स्थिति। चेहरे के दो पहलू एक ही दर्पण छवि नहीं देते हैं, भले ही चेहरा हमारे द्वारा पूरी तरह से सही माना जाता है।

इस प्रकार, चेहरे की विषमता का तथ्य, असमान दाएं और बाएं हिस्सों द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिनमें से एक, एक नियम के रूप में, व्यापक और उच्च है, दूसरा संकरा और निचला है, जिसे आज आम तौर पर मान्यता प्राप्त है।

चित्र 4 में प्रस्तुत तस्वीरों से, यह देखा जा सकता है कि बिल्कुल सममित चेहरे प्राकृतिक विषमता वाले चेहरे की मूल छवि से स्पष्ट रूप से अलग हैं। हमारी राय में, "सिंथेटिक" सममित चेहरे इतने आकर्षक नहीं हैं, जैसा कि मूल तस्वीरों में है, हालांकि हमने उन अभिनेताओं के चेहरों को समग्र चित्रों के निर्माण के लिए चुना है जिनकी उपस्थिति को सबसे अधिक दर्जा दिया गया है। इसके अलावा, ये ऐसे चेहरे हैं जो अधिकांश लोगों की तुलना में अधिक सममित हैं, लेकिन थोड़ी सी विषमता केवल उनके आकर्षण पर जोर देती है।

विषमता में सौंदर्य?

तो, क्या हम सभी में निहित विषमता वास्तव में सुंदर है या नहीं? यह बिल्कुल स्पष्ट है कि हम चेहरे की संरचना में समरूपता के महत्वपूर्ण उल्लंघनों को आकर्षक नहीं मानते हैं। हालांकि, समरूपता से छोटे विचलन असंगति का परिचय नहीं देते हैं, लेकिन केवल अनुकूल रूप से व्यक्तित्व को बंद कर देते हैं।

अधिकांश रोगी जो प्लास्टिक सर्जन की ओर रुख करते हैं, उनके चेहरे और शरीर के अनुपात की विषमता को नोटिस नहीं करते हैं। इसलिए, परामर्श के दौरान सर्जन के महत्वपूर्ण कार्यों में से एक रोगी का ध्यान उसके अनुपात की विशेषताओं की ओर आकर्षित करना है, ऑपरेशन के परिणामस्वरूप आने वाले परिवर्तनों का विस्तार से वर्णन करना है। चेहरे की विषमता के सुधार में न्यूनतम इनवेसिव विधियों, जैसे और के उपयोग से बहुत सुविधा होती है।

तो, स्पष्ट विषमता को आमतौर पर अनैस्थेटिक माना जाता है, और ऐसे मामलों में अधिक सममित उपस्थिति प्राप्त करने की इच्छा काफी स्वाभाविक है और प्लास्टिक सर्जरी के लिए एक संकेत के रूप में काम कर सकती है। हालांकि, चेहरे की थोड़ी सी विषमता ही इसे आकर्षक और व्यक्तिगत बनाती है, और इसलिए आपको पूर्ण समरूपता के लिए प्रयास नहीं करना चाहिए।

समरूपता और आनुपातिकता किसी व्यक्ति की बाहरी सुंदरता के महत्वपूर्ण घटक हैं, और कुछ मामलों में, स्वास्थ्य के संकेतक। लेकिन हर कोई नहीं जानता कि उनके चेहरे और शरीर के अनुपात और समरूपता का मूल्यांकन कैसे किया जाए। ठीक इसी पर चर्चा की जाएगी।

क्या लंबी नाक किसी की शक्ल को बिल्कुल भी खराब नहीं कर सकती? निश्चित रूप से हाँ। अगर नाक उसके चेहरे के अनुपात में है।

अपने चेहरे के अनुपात का आकलन करने के लिए, आपको आईने में जाने और तीन दूरियों को मापने की आवश्यकता है:
माथे पर बाल विकास की सीमा से नाक के पुल तक
नाक के पुल से ऊपरी होंठ तक
ऊपरी होंठ से ठोड़ी तक।

यदि वे समान हैं, तो आप आनुपातिक चेहरे के खुश मालिक हैं।

यदि नहीं, तो एक असमानता है, जो निराशा का कारण कतई नहीं है। सबसे पहले, यह चेहरे का एक निश्चित आकर्षण और मौलिकता हो सकता है, और दूसरी बात, अनुपात को बदला जा सकता है।

पहली दूरी में वृद्धि या कमी केशविन्यास की मदद से प्राप्त की जा सकती है, साथ ही भौंहों को एक निश्चित आकार भी दिया जा सकता है। दूसरी दूरी लगभग हमेशा नाक की लंबाई बदलकर ठीक की जाती है। एक ठीक से चयनित लिपस्टिक या अधिक टिकाऊ उपाय - होंठ वृद्धि - तीसरी दूरी को दृष्टिगत रूप से प्रभावित कर सकती है।

चेहरे की समरूपता का आकलन करना भी आसान है। युग्मित संरचनात्मक संरचनाओं के स्थान और आकार पर ध्यान देना आवश्यक है: भौहें, आंखें, कान, नासोलैबियल सिलवटों।

यदि वे समान स्तर पर स्थित हैं और उनका आकार समान है, तो चेहरा सममित है। चेहरे की समरूपता न केवल सौंदर्य की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण है। कई गंभीर न्यूरोलॉजिकल रोगों में इसका अचानक उल्लंघन एक महत्वपूर्ण नैदानिक ​​​​संकेत है।

शरीर के अनुपात को उसके आयतन से आंकना सबसे आसान है: छाती, कमर और कूल्हों का आयतन।

आनुपातिक रूप से मुड़े हुए आदमी में, छाती का आयतन प्रबल होता है। ज्यामितीय रूप से, एक पुरुष आकृति का आदर्श एक समद्विबाहु त्रिभुज है जो उल्टा हो गया है।

एक आनुपातिक महिला आकृति में, छाती और कूल्हों का आयतन लगभग एक दूसरे के बराबर होता है। और कमर इन दोनों मात्राओं से 1/3 कम होनी चाहिए। प्रसिद्ध मानक को याद करने के लिए पर्याप्त है: 90 सेमी -60 सेमी -90 सेमी। हालाँकि, 120cm-80cm-120cm का अनुपात कम आनुपातिक नहीं है। आदर्श की ज्यामितीय अभिव्यक्ति एक घंटे के चश्मे का आकार है।

नेत्रहीन वांछित अनुपात कपड़े, कोर्सेट अंडरवियर, कुछ शारीरिक व्यायाम द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। हालांकि, ऐसे समस्या क्षेत्र हैं जिन्हें ठीक करना काफी मुश्किल है, उदाहरण के लिए, कुख्यात "जांघिया" - जांघों की पार्श्व सतहों का ऊपरी हिस्सा। यह वह जगह है जहाँ लिपोसक्शन मदद कर सकता है।

युग्मित संरचनाओं द्वारा शरीर की समरूपता का भी मूल्यांकन किया जाता है। कॉलरबोन, निपल्स, शोल्डर ब्लेड्स, एंटेरियर सुपीरियर इलियाक स्पाइन, ग्लूटियल फोल्ड्स एक ही लेवल पर होने चाहिए।

यह जानने योग्य है कि शरीर की समरूपता का एक दृश्य उल्लंघन हमेशा मस्कुलोस्केलेटल सिस्टम की गहन परीक्षा का एक कारण होता है।

सामान्य तौर पर, किसी भी पैरामीटर के अनुसार अपनी उपस्थिति का मूल्यांकन करते समय, चाहे वह आनुपातिकता, समरूपता, या कुछ और हो, आपको अत्यधिक चुस्त होने की आवश्यकता नहीं है।

कुछ विशेषताएं, खामियां, असमानताएं - यही हमें एक दूसरे से अलग करती है, और इसलिए हमें अद्वितीय बनाती है।

हम अभी तक यह नहीं समझ पाएंगे कि क्या वास्तव में एक बिल्कुल सममित व्यक्ति है। बेशक, हर किसी के पास एक तिल, बालों का एक किनारा, या कोई अन्य विवरण होगा जो बाहरी समरूपता को तोड़ता है। बाईं आंख कभी भी दाईं ओर बिल्कुल समान नहीं होती है, और मुंह के कोने अलग-अलग ऊंचाई पर होते हैं, कम से कम ज्यादातर लोगों में। फिर भी, ये केवल मामूली विसंगतियां हैं। किसी को संदेह नहीं होगा कि बाहरी रूप से एक व्यक्ति सममित रूप से निर्मित होता है: बायां हाथ हमेशा दाहिने हाथ से मेल खाता है और दोनों हाथ बिल्कुल समान हैं! विराम। यह यहाँ रुकने लायक है। अगर हमारे हाथ वास्तव में एक जैसे होते, तो हम उन्हें कभी भी बदल सकते थे। यह संभव होगा, कहते हैं, प्रत्यारोपण द्वारा, बाएं हाथ को दाहिने हाथ में प्रत्यारोपण करना, या, अधिक सरलता से, बाएं दस्ताने को दाहिने हाथ में फिट किया जाएगा, लेकिन वास्तव में ऐसा नहीं है।

खैर, बेशक, हर कोई जानता है कि हमारे हाथ, कान, आंख और शरीर के अन्य हिस्सों के बीच समानता एक वस्तु और दर्पण में उसके प्रतिबिंब के बीच समान है। आपके सामने पुस्तक समरूपता और दर्पण प्रतिबिंब के मुद्दों के लिए समर्पित है।

कई कलाकारों ने मानव शरीर की समरूपता और अनुपात पर पूरा ध्यान दिया, कम से कम जब तक वे अपने कार्यों में प्रकृति का यथासंभव अनुसरण करने की इच्छा से निर्देशित नहीं हुए। ज्ञात हैं अल्ब्रेक्ट ड्यूरर और लियोनार्डो दा विंची द्वारा संकलित प्रोडोर्स के सिद्धांत। इन सिद्धांतों के अनुसार, मानव शरीर न केवल सममित है, बल्कि आनुपातिक भी है। लियोनार्डो ने पाया कि शरीर एक वृत्त और एक वर्ग में फिट बैठता है। ड्यूरर एक एकल माप की तलाश में था जो धड़ या पैर की लंबाई के साथ एक निश्चित अनुपात में हो (वह कोहनी से हाथ की लंबाई को इस तरह के उपाय के रूप में मानता था)।

पेंटिंग के आधुनिक स्कूलों में, सिर के ऊर्ध्वाधर आकार को अक्सर एक ही माप के रूप में लिया जाता है। एक निश्चित धारणा के साथ, हम मान सकते हैं कि शरीर की लंबाई सिर के आकार से आठ गुना अधिक है। पहली नज़र में यह बात अजीब लगती है। लेकिन हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि सबसे लंबे लोगों को एक लम्बी खोपड़ी से अलग किया जाता है और, इसके विपरीत, लंबे सिर के साथ एक छोटा मोटा आदमी मिलना दुर्लभ है।

सिर का आकार न केवल शरीर की लंबाई के लिए आनुपातिक होता है, बल्कि शरीर के अन्य भागों के आयामों के लिए भी आनुपातिक होता है। सभी लोग इसी सिद्धांत पर बने हैं, यही वजह है कि हम आम तौर पर एक दूसरे के समान होते हैं। (हम कुछ पृष्ठों में समानता या समानता पर लौटेंगे।) हालांकि, हमारे अनुपात केवल लगभग सहमत हैं, और इसलिए लोग केवल समान हैं, लेकिन समान नहीं हैं। वैसे भी, हम सब सममित हैं! इसके अलावा, कुछ कलाकार अपने कार्यों में विशेष रूप से इस समरूपता पर जोर देते हैं।

सही समरूपता उबाऊ है

और कपड़ों में, एक व्यक्ति, एक नियम के रूप में, समरूपता की छाप बनाए रखने की कोशिश करता है: दाहिनी आस्तीन बाईं ओर से मेल खाती है, दाहिना पैर बाईं ओर से मेल खाता है।

जैकेट और शर्ट के बटन बिल्कुल बीच में बैठते हैं, और अगर वे इससे पीछे हटते हैं, तो सममित दूरी पर। केवल शायद ही कभी एक महिला में वास्तव में विषम पोशाक पहनने का साहस होता है (हम बाद में देखेंगे कि समरूपता से कितना विचलन स्वीकार्य है)।

लेकिन छोटे विवरणों में इस सामान्य समरूपता की पृष्ठभूमि के खिलाफ, हम जानबूझकर विषमता की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, अपने बालों को एक तरफ के हिस्से में कंघी करना - बाईं या दाईं ओर। या, कहें, सूट पर छाती पर एक विषम जेब रखकर, अक्सर एक रूमाल के साथ रेखांकित किया जाता है। या केवल एक हाथ की अनामिका पर अंगूठी लगाएं। आदेश और बैज केवल छाती के एक तरफ (अधिक बार बाईं ओर) पहने जाते हैं।

पूर्ण पूर्ण समरूपता असहनीय रूप से उबाऊ लगेगी। यह इससे छोटे विचलन हैं जो विशेषता, व्यक्तिगत विशेषताएं देते हैं। पहली नज़र में अल्ब्रेक्ट ड्यूरर का प्रसिद्ध स्व-चित्र बिल्कुल सममित लगता है। लेकिन, अधिक बारीकी से देखने पर, आप एक छोटे से विषम विवरण को देखेंगे जो चित्र को जीवंतता और जीवन शक्ति प्रदान करता है: बिदाई के पास बालों का एक किनारा।

और साथ ही, कभी-कभी एक व्यक्ति बाएं और दाएं के बीच के अंतर को मजबूत करने के लिए जोर देने की कोशिश करता है। मध्य युग में, पुरुष एक समय में विभिन्न रंगों के पैरों के साथ पैंटालून दिखाते थे (उदाहरण के लिए, एक लाल और दूसरा काला या सफेद)। और इन दिनों चमकीले पैच या रंग के धब्बे वाली जींस लोकप्रिय थी। लेकिन ऐसा फैशन हमेशा अल्पकालिक होता है। समरूपता से केवल चतुर, मामूली विचलन लंबे समय तक रहता है।

एक समानता क्या है?

अक्सर हम कहते हैं कि कुछ दो लोग एक दूसरे से मिलते-जुलते हैं। बच्चे आमतौर पर अपने माता-पिता की तरह दिखते हैं (कम से कम उनकी दादी के अनुसार)। समान लेकिन समान नहीं!

आइए यह जानने का प्रयास करें कि गणित में समानता या समानता का क्या अर्थ है। समान आंकड़ों में, संबंधित खंड एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। हमारे मामले में, हम इस स्थिति को निम्नानुसार तैयार कर सकते हैं: समान नाक का आकार समान होता है, लेकिन आकार में भिन्न हो सकता है। इस मामले में, नाक के प्रत्येक व्यक्तिगत खंड (उदाहरण के लिए, नाक का पुल) अन्य सभी के समानुपाती होना चाहिए।

समानता का यह नियम कभी-कभी पकड़ से भरा होता है। उदाहरण के लिए, इस तरह के कार्य में:

टावर ए की ऊंचाई 10 मीटर है। कुछ दूरी पर एक्स से छह मीटर टावर बी है। अगर हम टावर बी के शीर्ष के माध्यम से पैर से और टावर ए के शीर्ष से सीधी रेखाएं खींचते हैं, तो वे मिलेंगे , क्रमशः, टावर सी के पैर और शीर्ष के साथ, जिसकी ऊंचाई 15 मीटर है। टावर ए से टावर बी की दूरी क्या है?

ऐसा लगता है कि समाधान के लिए एक कंपास और शासक लेने के लिए पर्याप्त है। लेकिन फिर यह पता चलता है कि अनंत संख्या में उत्तर होंगे। दूसरे शब्दों में, X के मान के प्रश्न का कोई स्पष्ट उत्तर नहीं हो सकता है।

इस पुस्तक में, आपको अक्सर ऐसी समस्याओं का सामना करना पड़ेगा जिनके लिए चिंतन की आवश्यकता होती है। इसका एक निश्चित शैक्षणिक अर्थ है। इस तरह की समस्याएं, भले ही उनके पास कोई समाधान न हो, जैसा कि ऊपर प्रस्तावित किया गया है, किसी ऐसी समस्या से संबंधित हैं जो हमारे ज्ञान की सीमा पर है। अधिकांश भाग के लिए, ये वे सीमाएँ हैं जिनके सामने प्रसिद्ध "सामान्य ज्ञान" उपजता है, और केवल सख्ती से गणितीय तार्किक सोच, प्राकृतिक विज्ञान ज्ञान के साथ मिलकर, सही निर्णय ले सकती है।

आइए हम फिर से मनुष्य की ओर मुड़ें: जीवित प्राणियों की तुलना करते समय, समानता स्पष्ट रूप से महसूस की जाती है यदि उनके अनुपात मेल खाते हैं। इसलिए, बच्चे और वयस्क समान हो सकते हैं। यद्यपि शरीर के किसी भी अंग का द्रव्यमान और आकार, चाहे वह नाक हो या मुंह, अलग-अलग होते हैं, लेकिन समान व्यक्तियों के अनुपात समान होते हैं।

समानता का एक उल्लेखनीय उदाहरण अंगूठे की मदद से दूरी का दृश्य अनुमान है। इस तरह, सेना और नाविक जमीन पर या समुद्र में दो बिंदुओं के बीच की दूरी का अनुमान लगाते हैं, उनकी तुलना उंगली या मुट्ठी की चौड़ाई से करते हैं। सबसे सरल मामले में, वे एक आंख बंद करते हैं और खुली आंख से एक विस्तारित हाथ की उंगली को दृष्टि के रूप में उपयोग करते हुए देखते हैं।

जब एक फैला हुआ हाथ के अंगूठे से देखा जाता है (एक बार बाईं आंख से, और दूसरी दाईं ओर से), तो उंगली लगभग 6 ° "उछल" जाती है

यदि आप पहले से बंद आंख को खोलते हैं (और दूसरी को बंद करते हैं), तो उंगली दिखाई देने वाली दूरी से बगल की ओर चली जाएगी। अंशों में यह दूरी 6° होती है। और इसके अलावा, इस "कूद" (त्रुटि के मार्जिन के भीतर) का परिमाण सभी लोगों के लिए समान है! तो, दाहिनी ओर की कंपनी, दो मीटर ऊंचाई का एक आदमी, और सबसे छोटा - बायां-फ्लैंक वाला, केवल साठ मीटर लंबा, उंगली के इन "कूद" की तुलना में, समान मूल्य प्राप्त होगा।

इस घटना का कारण अंततः लोगों की समानता और निश्चित रूप से, प्रकाशिकी के नियमों में निहित है, जिसका हमारी दृष्टि पालन करती है।

"मुट्ठी का नियम" भी जाना जाता है - शब्द के सबसे प्रत्यक्ष अर्थ में - कोण के परिमाण के मोटे अनुमान के लिए। यदि हम एक आंख से फैले हुए हाथ की मुट्ठी (इस बार एक ही आंख से) को देखें, तो मुट्ठी की चौड़ाई 10 ° और फालेंज की दो हड्डियों के बीच की दूरी 3 ° होगी। मुट्ठी और अंगूठा बगल की ओर निकला हुआ 15° होगा। इन मापों को मिलाकर आप जमीन के सभी कोणों को लगभग माप सकते हैं।

और अंत में, हमारे शरीर का एक और कोणीय माप, जो गृहकार्य के लिए उपयोगी हो सकता है। फैली हुई हथेली के अंगूठे और छोटी उंगली के बीच का कोण 90° होता है। यह असंभव लगता है, लेकिन आप अपनी हथेली की फैली हुई उंगलियों को हमारी किताब के कोने पर रखकर तुरंत अपने लिए सब कुछ देख सकते हैं। अपनी छोटी उंगली को एक किनारे के समानांतर रखें और अपने हाथ को नीचे की ओर तब तक ले जाएं जब तक कि अंगूठा भी नीचे के किनारे पर न हो जाए। राज़ी?

बेशक, यहां त्रुटि कभी-कभी अपेक्षाकृत बड़ी हो जाती है, क्योंकि, हाथ की उम्र और विकास के आधार पर, अंगूठे को अलग-अलग दूरी पर अलग रखा जा सकता है। लेकिन पहले परीक्षण के लिए, जो आपको यह तय करने की अनुमति देता है कि क्या मापा कोण एक सीधी रेखा से महत्वपूर्ण रूप से विचलित होता है, यह विधि काफी उपयुक्त है।

लाइनलैंड और फ्लैटलैंड

कल्पनाओं ने लंबे समय से देखा है कि दो आयामों के लिए इतने सख्त एकरूपता के नियमों को व्यवहार में लागू होने पर अक्सर तीसरे आयाम के उपयोग की आवश्यकता होती है।

जब एक भव्य स्वागत के लिए एक मेज सेट की जाती है, तो नैपकिन को आमतौर पर एक त्रिकोण में मोड़ दिया जाता है। लेकिन इन त्रिकोणों को एक के ऊपर एक ढेर में इकट्ठा करने के लायक है, क्योंकि यह पता चला है कि ये त्रिकोण दो प्रकार के होते हैं: कुछ तुरंत एक दूसरे को "फिट" करते हैं, जबकि अन्य को "दाईं ओर" चालू करना पड़ता है " इसी तरह की समस्या छोटे भागों पर मुहर लगाने में उत्पन्न होती है, जब कोई तैयार उत्पादों को ढेर करने की कोशिश करता है।

कवियों और लेखकों के लिए कम या ज्यादा संभावित स्थितियों के बारे में कल्पना करना आम बात है। तो, ऐसे कार्य हैं जिनमें जीवन को द्वि-आयामी स्थान में दर्शाया गया है (जहां आप "नैपकिन" को किसी भी तरह से चालू नहीं कर सकते)।

कुछ लेखक इससे भी आगे जाते हैं और लैंड ऑफ द लाइन - लाइनलैंड में एक-आयामी अंतरिक्ष में जीवन की कल्पना करने की कोशिश करते हैं। लाइनलैंड में केवल पतली लकड़ी की छड़ें रहती हैं, जो सबसे सरल मामले में एक दूसरे से भिन्न नहीं होती हैं। हालांकि, यह उन्हें सिर देने के लायक है (मैच तुरंत दिमाग में आते हैं!), और उनके पास तुरंत दो संभावनाएं हैं।

या सभी मैचों को एक दिशा में मोड़ दिया जाता है - फिर उनका संयोजन मुश्किलों का कारण नहीं बनता है। या कुछ माचिस बाईं ओर सिर के साथ पड़ी हैं, और उनमें से कुछ अपने सिर के साथ दाईं ओर पड़ी हैं। लाइनलैंडियन गणितज्ञ के पास "बाएं" मैचों को "दाएं" मैचों में अनुवाद करने का कोई व्यावहारिक तरीका नहीं है। लेकिन लैंड ऑफ़ द प्लेन - फ़्लैटलैंड का एक गणितज्ञ, जिसके पास एक और आयाम है, तुरंत एक सरल समाधान ढूंढेगा: वह मैच को प्लेन में घुमाएगा।

हालांकि, कुछ लेखकों के अनुसार, फ्लैटलैंड में जीवन इतना आसान भी नहीं है। कल्पना कीजिए कि इस देश के निवासी एक कोने में एक आँख (और उनकी केवल एक आँख) के साथ छोटे आयत हैं। बेशक, यह केवल एक विमान में इस तरह के एक आयत को देख सकता है, और यह कभी भी इस विमान को ऊपर से देखने का प्रबंधन नहीं करता है। तो कोई भी फ़्लैटलैंडर कभी कल्पना नहीं कर पाएगा कि वह वास्तव में कैसा दिखता है: इसके लिए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष से एक दृश्य पहले से ही आवश्यक है। फ्लैटलैंडर्स के घर बच्चों के चित्र के समान ही होते। इस अंतर के साथ कि दरवाजे साइड में होंगे और एक ही प्लेन में ही खुलेंगे। लेकिन डोर टिका प्लेन के बाहर, उसके ऊपर या नीचे बनाना होगा। इसके अलावा, घर की दीवार को गिरने से रोकने के लिए प्रोप की एक जटिल प्रणाली की आवश्यकता होगी जब इसके निवासियों ने दरवाजा खोलना चाहा। और दो फ्लैटलैंडर्स एक-दूसरे को तभी देख पाएंगे जब उनमें से एक अपने सिर के बल खड़ा होने में कामयाब होगा।

यदि फ्लैटलैंड में दो लोग रहते हैं तो स्थिति और भी जटिल हो जाएगी। मान लीजिए कि बाएं और दाएं हाथ के फ्लैटलैंडर्स हैं। ऐसी स्थिति के सभी संभावित परिणामों को चित्रित करने में बहुत अधिक कल्पना की आवश्यकता होती है, विशेष रूप से यह देखते हुए कि हम तीन आयामों में सोचने के अभ्यस्त हैं!

चूँकि लिनेलैंड और फ़्लैटलैंड दोनों को लेखकों के सामने हास्यपूर्ण ढंग से प्रस्तुत किया गया था, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि इस विषय पर साहित्य इंग्लैंड में उत्पन्न हुआ।

1880 में अंग्रेजी शिक्षक एडविन एबोनी एबॉट ने फ्लैटलैंड और उसके निवासियों के बारे में एक किताब लिखी ( एबट ईई फ्लैटलैंड। में: एबट ई.ई. फ्लैटलैंड। बर्गर डी. सेफ़रलैंडिया। -एम.: मीर, 1976) फ्लैटलैंडर एबॉट, एक सपने में लाइनलैंड में गिरने के बाद, वहां के निवासियों को विमान के अस्तित्व के बारे में समझाने की कोशिश करता है।

कार्रवाई के दौरान, फ्लैटलैंडर्स में से एक त्रि-आयामी अंतरिक्ष को पहचानने का प्रबंधन करता है, जिसके लिए उसे "पागल के सबसे पागल" के रूप में पहचाना जाता है।

बीस से अधिक वर्षों के बाद, 1907 में, C. G. Hinton ने द इंसिडेंट इन फ्लैटलैंड प्रकाशित किया। इसमें दो फ्लैटलैंड लोग युद्ध में हैं। चूंकि सभी फ्लैटलैंडर्स एक ही दिशा का सामना करते हैं, लोक में से एक हमेशा निराशाजनक रूप से खो जाता है: वह घूम नहीं सकता और सही दिशा में वापस हमला नहीं कर सकता - एक नफरत वाला दुश्मन लगातार उसकी गर्दन पर बैठा है। लेकिन अंत में अच्छी जीत होती है। कुछ स्मार्ट हेड नोटिस करते हैं कि फ्लैटलैंड एक गेंद पर स्थित है और इसलिए, इसके चारों ओर दौड़कर, दुश्मन की रेखाओं के पीछे जाना संभव है।

उपन्यास का लेखक अपनी कहानी को इस मौन धारणा पर बनाता है कि फ्लैटलैंडर्स केवल कुछ सामान्य दिशाओं के साथ आगे बढ़ सकते हैं, बग़ल में चक्कर को छोड़कर, और उनके लिए अपने सिर पर दुश्मन को उलटना असंभव है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, द्वि-आयामी अंतरिक्ष में जीवन के बारे में सबसे परिष्कृत सिद्धांतों को सामने रखा गया है, लेकिन उन्हें कभी भी आवेदन नहीं मिला है। किसी को यह सोचना चाहिए कि इन दोनों पुस्तकों और उनके लेखकों को बहुत पहले ही भुला दिया गया होगा यदि लिनलैंड और फ्लैटलैंड को दर्पण प्रतिबिंब के सिद्धांत की व्याख्या करने की इतनी आवश्यकता नहीं थी और यदि त्वरित बुद्धि समस्याओं के संकलनकर्ताओं को बार-बार फ्लैटलैंड की ओर मुड़ना नहीं पड़ता था। इसकी द्वि-आयामीता से विचार निकालें (वैसे, बहुत पहले नहीं हंगरी में स्कूली छात्र अडोलजर की फ़्लैटलैंड की यात्रा के बारे में एक कार्टून बनाया गया था)।

अन्य बातों के अलावा, फ़्लैटलैंडर्स प्लेटफार्मों को मंडलियों में घुमाकर माल परिवहन करते हैं। जब भी कोई भार सर्कल से गुजरता है, तो स्थानीय परिवहन अधिकारी सर्कल को आगे की ओर घुमाता है और उसे प्लेटफॉर्म के सामने रखता है।

यहां कई दिलचस्प समस्याएं हैं। लेकिन हम केवल एक ही चीज में रुचि रखते हैं: यदि पहिया धुरा 10 मीटर प्रति मिनट की गति से चलता है, तो भार किस गति से चलता है?

हम अपनी सांसारिक कार के बारे में जानते हैं कि कोई भी पहिया (अधिक सटीक रूप से, कोई पहिया धुरा नहीं) पूरी कार की तुलना में तेजी से आगे नहीं बढ़ सकता है। लेकिन समतल भूमि वाली कार में, पहिया भार से कठोरता से जुड़ा नहीं होता है। इसके बारे में सोचकर, यह पता लगाना मुश्किल नहीं है कि यहां भार दो आंदोलनों में शामिल है।

सबसे पहले, यह पहिया के रोटेशन की धुरी के साथ चलता है (यह एक कार के समान है)। और इसके अलावा, भार अभी भी पहिया की परिधि के साथ लुढ़क रहा है, और साथ ही गति से धुरी के घूर्णन की गति के बराबर भी है। इसलिए, सामान्य तौर पर, भार पहिया की गति से दोगुना गति से लुढ़कता है। बेशक, भार को तेजी से आगे बढ़ना चाहिए, सिर्फ इसलिए कि पहिए हमेशा पीछे रह जाते हैं और उन्हें लगातार आगे की ओर पुनर्व्यवस्थित करना पड़ता है।

कुछ पाठक सोचेंगे: "समस्या वास्तव में दिलचस्प है, लेकिन क्या?"

हालांकि, फ्लैटलैंड ट्रांसपोर्ट का सिद्धांत हमारी तकनीक में अपना स्थान पाता है। तो, डिजाइनर, एक छोटे से कमरे में एक दरवाजा डिजाइन कर रहा है (उदाहरण के लिए, एक छोटे से लिफ्ट के पास), टिका छोड़ने के लिए मजबूर किया जाता है। वह दरवाजे को दो हिस्सों में विभाजित करता है (यदि, निश्चित रूप से, वह ऐसी चाल के बारे में सोचता है!), जो एक दूसरे के समानांतर चलते हैं। दरवाजे का एक आधा हिस्सा रोलर की धुरी से जुड़ा होता है, और दूसरा इस रोलर की परिधि के साथ चलता है। जबकि एक आधा दरवाजे की चौड़ाई से आधा चलता है, दूसरे के पास द्वार की पूरी चौड़ाई (दो बार गति से) चलने का समय होता है।

आइए फ़्लैटलैंड और लेखक की कल्पनाओं पर नज़र न डालें। आइए मान लें कि फ्लैटलैंडर्स ग्लोब की सतह पर रहते हैं। यह सतह इतनी बड़ी है कि निवासियों को इसकी वक्रता पर ध्यान नहीं दिया जा सकता है। स्वाभाविक रूप से, वे सोचते हैं कि वे एक विमान पर रहते हैं, क्योंकि वे एक क्षेत्र की कल्पना नहीं कर सकते: आखिरकार, तीसरा आयाम, सिद्धांत रूप में, उनके लिए अपरिचित है। इसलिए, फ़्लैटलैंड के प्रोफेसर फ़्लैटलैंड गणित विकसित करते हैं, जो स्कूलों में पढ़ाया जाता है। वहाँ बच्चे याद करते हैं, उदाहरण के लिए, ऐसी परिभाषा: दो समानांतर रेखाएँ एक सीमित दूरी पर प्रतिच्छेद करती हैं। या: त्रिभुज के कोणों का योग 180° से अधिक होता है। हम, त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लोग, जानते हैं कि एक गोलाकार सतह एक द्वि-आयामी गैर-यूक्लिडियन स्थान है जो सामान्य यूक्लिडियन ज्यामिति में फिट नहीं होता है।

ग्लोब को देखते हुए, हम देखते हैं कि भूमध्य रेखा के समानांतर दो मेरिडियन ध्रुव पर प्रतिच्छेद करते हैं। ग्लोब को देखते हुए, कोई भी आश्वस्त हो सकता है कि दो मेरिडियन भूमध्य रेखा के साथ 90 ° का कोण बनाते हैं। ध्रुव पर प्रतिच्छेदन बिंदु पर एक और कोण उत्पन्न होता है। और तीनों कोणों का योग वैसे भी 180° से अधिक होता है। लेकिन गरीब फ्लैटलैंडर्स, निश्चित रूप से, यह सब कल्पना भी नहीं कर सकते। उन्हें यकीन है कि वे एक विमान में रहते हैं।

एक संशयवादी गणितज्ञ, कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) ने गंभीरता से सोचा कि क्या हम मनुष्य फ्लैटलैंडर्स के समान स्थिति में थे। शायद, गॉस ने सोचा, हम भी एक गैर-यूक्लिडियन दुनिया में रहते हैं, लेकिन हम इसे नोटिस नहीं करते हैं। यदि ऐसा होता, तो अंतरिक्ष घुमावदार होता (जिसकी हम निश्चित रूप से कल्पना नहीं कर सकते थे), और एक पर्याप्त रूप से बड़े त्रिभुज में 180 ° के अलावा अन्य कोणों का योग होता। गॉस ने ब्रोकेन, इनसेलबर्ग और हाई हेगन के बीच त्रिकोण को मापा, लेकिन 180 डिग्री से कोई महत्वपूर्ण विचलन नहीं पाया। यह, ज़ाहिर है, निर्विवाद सबूत के रूप में काम नहीं कर सका, क्योंकि त्रिकोण अभी भी बहुत छोटा हो सकता है।

हालाँकि, कोई भी गैर-यूक्लिडियन स्थान की तुलना सापेक्षता के सिद्धांत में स्थान के साथ नहीं कर सकता है। हम फ्लैटलैंडर्स और गॉस एक विशुद्ध रूप से ज्यामितीय, स्थानिक समस्या के बारे में बात कर रहे हैं और इस बारे में कि क्या कुछ स्वयंसिद्ध सत्य हैं (उदाहरण के लिए, अनंत पर दो समानांतर रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बारे में)। सापेक्षता के सिद्धांत के अनुयायी चौथे स्थानिक समन्वय के रूप में समय का परिचय देते हैं।

सहमति के बारे में

दो समतल आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं यदि संगत बिंदुओं के बीच उनके सभी कोण और रेखाखंड बराबर हों।

विद्यालय में, हम त्रिभुजों की सर्वांगसमता पर प्रमेयों का अध्ययन करते हैं। उदाहरण के लिए, यह स्थापित किया गया है कि त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं यदि उनकी एक भुजा हो और दो कोण संपाती हों। इसका अर्थ यह है कि यद्यपि त्रिभुज बनाने के लिए एक भुजा और उसके आस-पास के दो कोनों का उपयोग किया जा सकता है, त्रिभुजों को उनके सभी भागों से मेल खाना चाहिए।

बोलचाल की भाषा में (जिसका उपयोग हम इस पुस्तक में करते हैं), हम कह सकते हैं कि सर्वांगसम तल एक दूसरे को बिल्कुल ओवरलैप करते हैं, या, इसके विपरीत, यदि एक समतल आकृति दूसरे को बिल्कुल ओवरलैप करती है, तो वे सर्वांगसम होते हैं। त्रि-आयामी निकायों के लिए भी यही सच है: यदि उन्हें जोड़ा जा सकता है, तो वे सर्वांगसम हैं।

चित्र में दिखाए गए त्रिभुजों को देखिए। वे सभी सर्वांगसम हैं। जाहिर है, बाईं ओर स्थित दोनों त्रिभुजों को आसानी से स्थानांतरित करने पर संरेखित किया जाएगा। और यहाँ त्रिभुज को दायीं ओर रखा गया है, हालाँकि यह दो बाएँ के साथ सर्वांगसम है, लेकिन हम इसे केवल समतल में ले जाकर उनके साथ नहीं जोड़ सकते। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम इसे विमान में कैसे घुमाते हैं, यह कभी भी किसी भी बाएं त्रिकोण के साथ फिट नहीं होगा। इसे प्राप्त करने के लिए, आपको त्रिभुज को विमान के ऊपर उठाना होगा, इसे अंतरिक्ष में घुमाना होगा और इसे वापस विमान पर रखना होगा। लेकिन यदि हम त्रिभुजों की परस्पर व्यवस्था की तुलना खिसकने और उलटने से करते हैं, तो हम देखेंगे कि दोनों ही मामलों में उनकी अलग-अलग भुजाएँ मेल खाती हैं। जब कतरनी होती है, तो एक कागज़ के त्रिभुज की निचली सतह दूसरे त्रिभुज की ऊपरी सतह को ओवरलैप करती है। पेपर शीट की सतह का स्थानिक अभिविन्यास नहीं बदला है। इस मामले में, एक समान सर्वांगसमता की बात करता है। यदि, अंतरिक्ष में घुमाए जाने पर, कागज की दोनों ऊपरी सतहों को मिला दिया जाता है, तो सपाट आकृतियों को दर्पण-सर्वांगसम कहा जाता है।

समतल आकृतियाँ सर्वांगसम कहलाती हैं, जिन्हें हम समान मानते हैं और जिन्हें समतल में स्थानांतरित करके या अंतरिक्ष में घुमाकर एक दूसरे के साथ जोड़ा जा सकता है।

त्रिभुजों की सर्वांगसमता

सर्वांगसमता - ज्यामितीय समतल आकृतियों का आकार और आकार में एक दूसरे से मेल खाने का गुण।

ऐसी आकृतियाँ जिन्हें घूर्णन और (या) शिफ्ट द्वारा एक-दूसरे के साथ जोड़ा जा सकता है, समान रूप से सर्वांगसम होती हैं।

दर्पण सर्वांगसम आकृतियाँ हैं, जिनके संयोजन के लिए दर्पण परावर्तन का एक अतिरिक्त संक्रिया आवश्यक है।

त्रिभुजों की सर्वांगसमता के चार लक्षण होते हैं। त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि:

1) एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे (S, S, S) की तीन भुजाओं के बराबर होती हैं;

2) दो भुजाएँ और उनके बीच घिरे एक त्रिभुज का आंतरिक कोण दो भुजाओं के बराबर होता है और उनके बीच घिरे दूसरे त्रिभुज का आंतरिक कोण (S, W, S);

3) दो भुजाएँ और एक त्रिभुज में उनमें से सबसे बड़े के विपरीत आंतरिक कोण दो भुजाओं के बराबर होते हैं और दूसरे त्रिभुज (S, S, W) में उनमें से सबसे बड़े कोण के विपरीत कोण;

4) एक त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न दोनों आंतरिक कोण दूसरे त्रिभुज (W, S, W) की भुजा और उसके आसन्न दोनों आंतरिक कोणों के बराबर हैं।

समानता

समतल आकृतियों के आकार में नहीं, बल्कि आकार में होने के संयोग को समरूपता कहते हैं।

किसी एक आकृति का प्रत्येक कोण एक समान आकृति के बराबर कोण से मेल खाता है।

समान आंकड़ों में, संबंधित खंड समानुपाती होते हैं।

शिफ्टिंग, रोटेटिंग और (या) मिररिंग करके, दो समान आकृतियों को समरूपता की स्थिति में लाया जा सकता है। इस स्थिति में, दोनों आकृतियों की संगत भुजाएँ एक-दूसरे के समानांतर होती हैं।

अक्षीय समरूपता

मान लीजिए कि एक समतल को एक सीधी रेखा s द्वारा दो अर्ध-तलों में विभाजित किया जाता है। यदि अब हम एक अर्ध-तल को रेखा 5 के चारों ओर 180° घुमाते हैं, तो इस अर्ध-तल के सभी बिंदु दूसरे अर्ध-तल के बिंदुओं के साथ संपाती होंगे।

रेखा s को सममिति की धुरी कहा जाता है।

चूंकि उल्टे अर्ध-तल पर स्थित बिंदु अपनी मूल स्थिति के संबंध में दर्पण की स्थिति में होते हैं, इसलिए इस फ्लिप को दर्पण छवि भी कहा जाता है। यदि घूर्णन की कुछ दिशाओं को इंगित करने वाली रेखाओं को एक अर्ध-तल पर लागू किया जाता है, तो दर्पण परावर्तन के बाद यह दिशा विपरीत दिशा में बदल जाएगी। इसलिए, एक एकल मिररिंग ऑपरेशन दर्पण-सर्वांगसम आंकड़े उत्पन्न करता है। ऐसे दो संक्रियाओं से सर्वांगसम आंकड़े प्राप्त होते हैं। वे एक बदलाव, या रोटेशन के अनुरूप हैं।

रेडियल समरूपता

रेडियल सममित आकृतियों को बिंदु S के चारों ओर घुमाकर एक दूसरे के साथ संरेखित किया जा सकता है। इस बिंदु को सममिति का केंद्र कहा जाता है।

घूर्णन करते समय, आंकड़ों के संगत बिंदु संयुक्त होते हैं। घूर्णन की दिशा नहीं बदलती है। इस तरह से परिलक्षित आकृति समान रूप से सर्वांगसम है।

बाद के रोटेशन ऑपरेशन किसी भी तरह से आंकड़ों की पहचान को प्रभावित नहीं करेंगे। 180° के घूर्णन कोण के साथ, कोई केंद्रीय समरूपता की बात करता है।

डाइस ट्रिक

शिक्षकों का कहना है कि ब्लॉक के साथ खेलने से स्थानिक कल्पना का विकास होता है। और अब माता-पिता लोकप्रिय परियों की कहानियों के चित्रों के टुकड़ों के साथ चमकीले क्यूब्स के साथ अपने वंश के बक्से खरीदते हैं। इन क्यूब्स को सही तरीके से रखने पर, आप लिटिल रेड राइडिंग हूड को ग्रे वुल्फ या स्नो व्हाइट के साथ सात बौनों के साथ देखेंगे।

वास्तव में, इस तरह के क्यूब्स और पहेलियाँ न केवल बच्चों में, बल्कि सभी में - छोटे से लेकर बड़े तक, स्थानिक कल्पना विकसित करती हैं। कभी-कभी हमें लट्ठों की विभिन्न आकृतियों से एक घन को मोड़ना पड़ता है।

इन व्यक्तिगत तत्वों के करीब से निरीक्षण करने पर, यह पता चलता है कि उनमें से कम से कम दो का आकार और आकार समान है, लेकिन एक दूसरे से बाएं और दाएं दस्ताने की तरह संबंधित हैं। इस तरह की पहेलियों के रचनाकारों को स्पष्ट रूप से उम्मीद है कि खिलाड़ी इस अंतर को तुरंत नहीं पकड़ पाएंगे। यदि हम याद करें कि हमने कितनी बार दाएं और बाएं दस्ताने को भ्रमित किया है, तो हमें यह स्वीकार करना होगा कि ऐसी आशाएं निराधार नहीं हैं।

इन तत्वों को मिलाना लगभग असंभव है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि, यहां (या नीचे कहीं) अभिव्यक्ति "व्यावहारिक रूप से संभव" का उपयोग करते हुए, हमारा मतलब व्यवहार में ऐसे कार्य के कार्यान्वयन से है।

लेकिन ऐसे गणितीय या भौतिक तरीके भी हैं जो कम से कम सैद्धांतिक रूप से या बाहरी संकेतों के अनुसार तत्वों को जोड़ना संभव बनाते हैं - यह आगे विचार का विषय होगा। और चूंकि यहां एक तत्व के दूसरे के साथ संयोजन पर चर्चा की गई थी, इसलिए एक महत्वपूर्ण परिस्थिति पर विशेष रूप से ध्यान दिया जाना चाहिए। फ़्लैटलैंड में, समतल आकृतियों को समतल से निकालकर और उन्हें अंतरिक्ष में घुमाकर संयोजित करना संभव होगा। लाइनलैंड में, उसी तरह, यह सिर्फ एक आयाम अधिक लेगा: विमान में एक घुमाव, और खंड संगत हो जाते हैं।

लेकिन स्थानिक निर्माण हम केवल अंतरिक्ष में ही घूम सकते हैं! और चूंकि चौथा आयाम, गॉस के सभी तर्कों के बावजूद, हमारे लिए बंद है, यह कल्पना करना भी मुश्किल है कि व्यावहारिक रूप से (!) हमारी "ईंटों" को त्रि-आयामी अंतरिक्ष के अलावा कहीं और तैनात किया जा सकता है ताकि वे प्रत्येक के साथ गठबंधन कर सकें अन्य!

रोजमर्रा की जिंदगी में, हमें अक्सर ऐसी पहेलियों को हल करना पड़ता है (मैं जोर देता हूं: व्यावहारिक रूप से हल करने के लिए, और खेलने के लिए नहीं!), उदाहरण के लिए, विभिन्न वस्तुओं को पैक करते समय। या, उदाहरण के लिए, केंद्रीय हीटिंग रेडिएटर्स की कल्पना करें। उनमें से कुछ के लिए, समायोजन के लिए वाल्व बाईं ओर है, दूसरों के लिए - दाईं ओर। एक बैटरी में कई रेडिएटर कैसे कनेक्ट करें?

रेफ्रिजरेटर, स्टोव और अन्य घरेलू सामान आमतौर पर दाएं और बाएं हाथ के हैंडल, चाबियों, नल से बनाए जाते हैं। ऐसी वस्तुओं को चौथे आयाम में बदलने की शानदार संभावना उन सभी को बहुत खुश करेगी जो उनके परिवहन और स्थापना से संबंधित हैं।

शब्दकोश को देखो!

पुस्तक की शुरुआत में, हमने मनुष्य को एक सममित प्राणी कहा है। भविष्य में, "समरूपता" शब्द का अब उपयोग नहीं किया गया था। हालाँकि, आपने शायद पहले ही देखा है कि सभी मामलों में जब रेखा खंड, सपाट आंकड़े या स्थानिक निकाय समान थे, लेकिन अतिरिक्त क्रियाओं के बिना यह असंभव था, "व्यावहारिक रूप से" उन्हें संयोजित करना असंभव था, हम समरूपता की घटना से मिले। ये तत्व एक दूसरे से मेल खाते थे, जैसे कोई पेंटिंग और उसका मिरर इमेज। बाएँ और दाएँ हाथ की तरह। यदि हम डिक्शनरी ऑफ फॉरेन वर्ड्स को देखने के लिए परेशानी उठाते हैं, तो हम पाएंगे कि समरूपता का अर्थ है "आनुपातिकता, मध्य रेखा, केंद्र के पूरे रिश्तेदार के हिस्सों की व्यवस्था में पूर्ण पत्राचार ... एक के सापेक्ष बिंदुओं की ऐसी व्यवस्था बिंदु (समरूपता का केंद्र), एक सीधी रेखा (समरूपता की धुरी) या एक समतल (समरूपता का तल), जिसमें प्रत्येक दो संगत बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं जो समरूपता के केंद्र से होकर जाते हैं, अक्ष के समान लंबवत पर या समरूपता के तल, उनसे समान दूरी पर हैं ... "( विदेशी शब्दों का शब्दकोश: एड। 7, संशोधित। -एम।; रूसी भाषा 1980, पी। 465)

और इतना ही नहीं, जैसा कि अक्सर विदेशी शब्दों के मामले में होता है, "समरूपता" शब्द के कई अर्थ हैं। इस तरह के भावों का यह लाभ है कि उनका उपयोग तब किया जा सकता है जब वे एक स्पष्ट परिभाषा नहीं देना चाहते हैं, या केवल दो वस्तुओं के बीच स्पष्ट अंतर नहीं जानते हैं।

हम किसी व्यक्ति, चित्र या किसी वस्तु के संबंध में "आनुपातिक" शब्द का उपयोग करते हैं, जब मामूली विसंगतियां हमें "सममित" शब्द का उपयोग करने की अनुमति नहीं देती हैं।

चूंकि हम संदर्भ पुस्तकों के माध्यम से अफवाह फैला रहे हैं, आइए विश्वकोश शब्दकोश को देखें ( सोवियत विश्वकोश शब्दकोश - एम।: सोवियत विश्वकोश, 1980, पी। 1219-1220) हमें यहां छह लेख मिलते हैं जो "समरूपता" शब्द से शुरू होते हैं। इसके अलावा, यह शब्द कई अन्य लेखों में पाया जाता है।

गणित में, शब्द "समरूपता" के कम से कम सात अर्थ हैं (उनमें से सममित बहुपद, सममित मैट्रिक्स हैं)। तर्क में सममित संबंध हैं। क्रिस्टलोग्राफी में समरूपता एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है (इस बारे में आप इस पुस्तक में बाद में कुछ पढ़ेंगे)। जीव विज्ञान में समरूपता की अवधारणा की दिलचस्प व्याख्या की गई है। यह छह विभिन्न प्रकार की समरूपता का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, हम सीखते हैं कि केटेनोफोर्स असममित होते हैं, जबकि स्नैपड्रैगन फूल द्विपक्षीय रूप से सममित होते हैं। हम पाएंगे कि संगीत और नृत्यकला (नृत्य में) में समरूपता मौजूद है। यह यहां चक्रों के प्रत्यावर्तन पर निर्भर करता है। यह पता चला है कि कई लोक गीत और नृत्य सममित रूप से बनाए गए हैं।

इसलिए, हमें इस बात पर सहमत होने की आवश्यकता है कि हम किस प्रकार की समरूपता के बारे में बात करेंगे। विचाराधीन वस्तुओं की प्रकृति के बावजूद, हमारे लिए मुख्य रुचि दर्पण समरूपता होगी - बाएं और दाएं की समरूपता। हम देखेंगे कि यह प्रतीत होने वाली सीमा हमें विज्ञान और प्रौद्योगिकी की दुनिया में ले जाएगी और हमें समय-समय पर हमारे मस्तिष्क की क्षमताओं का परीक्षण करने की अनुमति देगी (क्योंकि यह समरूपता के लिए क्रमादेशित है)।

बिंदुओं और रेखाओं का खेल

हमने अभी तक लाइनलैंड और फ्लैटलैंड नहीं छोड़ा है। और इसकी एक खास वजह है। यहां तक ​​​​कि अगर वहां कोई निवासी नहीं है, तो सीधी रेखाएं और विमान स्वयं काफी वास्तविक हैं!

आइए एक सीधी रेखा पर सममिति के साथ स्थिति के बारे में सोचें। दो मैचों की मदद से, हम दो संभावित मामलों की कल्पना कर सकते हैं। (हम पहले ही इस स्थिति के कुछ पहलुओं पर विचार कर चुके हैं।) मैच उनके सिर के साथ एक दिशा में हो सकते हैं। फिर वे आसानी से एक साथ फिट हो जाते हैं। या एक दूसरे के सिर (या टिप्स)। इस मामले में, रेखा पर एक बिंदु है जिस पर दर्पण को इस तरह से रखा जा सकता है कि मैच इसके प्रतिबिंब के साथ मेल खाता प्रतीत होता है। दूसरे शब्दों में, रेखा पर सममिति का केंद्र होता है। हमें कल्पना करनी होगी कि दर्पण एक बिंदु पर फिट बैठता है और यह आधा रेखा खंड को दर्शाता है। गणितीय तर्क में, यह काफी संभव है।

समरूपता के अक्षों में समतल आकृतियाँ "प्रतिबिंबित" होती हैं

समतल पर निर्माण करते समय, हमारा दर्पण अभी भी एक बिंदु बना रह सकता है, या यह एक सीधी रेखा हो सकती है। इसे उल्टे क्रम में कहना शायद अधिक सही है: एक सीधी रेखा या एक बिंदु दर्पण के रूप में काम करेगा। आखिर कहीं सीधी रेखा हो तो उस पर सममिति का एक बिन्दु केन्द्र संभव है।

विमानों के हिस्सों के दर्पण प्रतिबिंब वास्तविक विमानों के समान दिखते हैं: विमान को एक सीधी रेखा के चारों ओर घुमाकर - एक दर्पण - इसे प्रतिबिंब के साथ जोड़ा जा सकता है, इसलिए अभिव्यक्ति "समरूपता की धुरी" उत्पन्न हुई।

एक वृत्त में अनंत संख्या में सममिति के अक्ष होते हैं। "तिपतिया घास का पत्ता" - केवल एक

तो, अब हम जानते हैं कि समरूपता का केंद्र और समरूपता की धुरी क्या है, और यह भी कि कोई वस्तु (इस तटस्थ शब्द को लें) सममित है यदि इसका एक आधा हिस्सा दूसरे से संबंधित है, जैसे कि एक छवि और इसकी दर्पण छवि।

एक वृत्त में अनंत संख्या में सममिति के अक्ष होते हैं, और वे सभी समरूपता के एक उभयनिष्ठ केंद्र से होकर गुजरते हैं। अन्य आकृतियों में समरूपता के अक्षों की एक सीमित संख्या होती है, लेकिन सभी समान, सभी अक्ष (उनमें से दो या अधिक) सममिति के केंद्र से गुजरते हैं। इसका मतलब यह है कि हम आकृति को एक निश्चित कोण (अधिकतम 180°) तक घुमा सकते हैं और यह फिर से ठीक उसी स्थान पर स्थित होगी, जैसे कि घुमाने से पहले थी।

आइए दर्पण समरूपता के बारे में अपना तर्क जारी रखें। यह स्थापित करना आसान है कि प्रत्येक सममित समतल आकृति को दर्पण की सहायता से स्वयं के साथ जोड़ा जा सकता है। यह आश्चर्य की बात है कि पाँच-बिंदु वाले तारे या एक समबाहु पंचभुज जैसी जटिल आकृतियाँ भी सममित होती हैं। कुल्हाड़ियों की संख्या से निम्नानुसार, वे अपनी उच्च समरूपता द्वारा ठीक से प्रतिष्ठित हैं। और इसके विपरीत: यह समझना इतना आसान नहीं है कि एक तिरछी समांतर चतुर्भुज की तरह ऐसा प्रतीत होता है कि नियमित आकृति सममित क्यों नहीं है। प्रथम दृष्टया ऐसा लगता है कि सममिति की एक धुरी इसके किसी एक पक्ष के समानांतर चल सकती है। लेकिन यह मानसिक रूप से इसका उपयोग करने की कोशिश करने लायक है, क्योंकि आप तुरंत आश्वस्त हो जाते हैं कि ऐसा नहीं है। असममित और सर्पिल।

अजीब तरह से, इस तरह के "सममित" दिखने वाले आंकड़े, एक समांतर चतुर्भुज की तरह, न केवल समरूपता के अक्ष होते हैं, बल्कि सामान्य रूप से दर्पण समरूपता भी होते हैं।

जबकि सममित आंकड़े पूरी तरह से उनके प्रतिबिंब के अनुरूप होते हैं, गैर-सममित वाले इससे अलग होते हैं: दाएं से बाएं एक सर्पिल घुमा से, बाएं से दाएं एक सर्पिल घुमा एक दर्पण में निकलेगा। इस संपत्ति का उपयोग अक्सर टेलीविजन द्वारा आयोजित सामूहिक खेलों और प्रतियोगिताओं में किया जाता है। खिलाड़ियों को आमंत्रित किया जाता है, दर्पण में देखकर, किसी प्रकार की विषम आकृति, जैसे कि एक सर्पिल, को आकर्षित करने के लिए। और फिर एक बार फिर "बिल्कुल वही" सर्पिल ड्रा करें, लेकिन बिना दर्पण के। दोनों चित्रों की तुलना से पता चलता है कि सर्पिल अलग-अलग निकले: एक बाएं से दाएं मुड़ता है, दूसरा दाएं से बाएं।

लेकिन यहां जो मजाक जैसा दिखता है, व्यावहारिक जीवन में न केवल बच्चों के लिए, बल्कि वयस्कों के लिए भी बहुत मुश्किलें हैं। अक्सर बच्चे कुछ अक्षर "अंदर बाहर" लिखते हैं। उनका लैटिन एन जैसा दिखता है और, एस और जेड के बजाय, उन्हें एस और जेड मिलता है। यदि हम लैटिन वर्णमाला के अक्षरों को करीब से देखते हैं (और ये वास्तव में फ्लैट आंकड़े भी हैं!), हम सममित और विषम देखेंगे उनमें से एक। एन, एस, जेड जैसे अक्षरों में समरूपता की कोई धुरी नहीं है (न ही एफ, जी, जे, एल, पी, क्यू, और आर)। लेकिन एन, एस, और जेड विशेष रूप से "दूसरे तरीके से" वर्तनी में आसान हैं ( उनके पास समरूपता का केंद्र है। - लगभग। ईडी) शेष बड़े अक्षरों में समरूपता का कम से कम एक अक्ष होता है। ए, एम, टी, यू, वी, डब्ल्यू और वाई अक्षरों को समरूपता के अनुदैर्ध्य अक्ष द्वारा आधे में विभाजित किया जा सकता है। अक्षर B, C, D, E, I, K - समरूपता का अनुप्रस्थ अक्ष। अक्षर H, O और X में सममिति के दो परस्पर लंबवत अक्ष हैं।

यदि आप अक्षरों को रेखा के समानांतर दर्पण के सामने रखते हैं, तो आप देखेंगे कि समरूपता के क्षैतिज अक्ष वाले भी दर्पण में पढ़े जा सकते हैं। लेकिन वे जिनमें अक्ष लंबवत स्थित है या पूरी तरह से अनुपस्थित है वे "अपठनीय" हो जाते हैं।

सवाल यह है कि अनुदैर्ध्य अक्ष वाले अक्षर अनुप्रस्थ अक्ष की तुलना में अलग व्यवहार क्यों करते हैं, यह काफी दिलचस्प है। शायद आप इसके बारे में सोचेंगे। इस घटना के कारण पर बाद में चर्चा की जाएगी।

ऐसे बच्चे हैं जो अपने बाएं हाथ से लिखते हैं, और उन्हें सभी अक्षर प्रतिबिंबित, प्रतिबिंबित रूप में मिलते हैं। लियोनार्डो दा विंची की डायरी मिरर टाइप में लिखी गई है। हमें जिस तरह से पत्र लिखना चाहिए, उसका शायद कोई अच्छा कारण नहीं है। यह संभावना नहीं है कि एक दर्पण फ़ॉन्ट हमारे सामान्य से अधिक कठिन है।

इससे वर्तनी आसान नहीं होगी, और कुछ शब्द, जैसे OTTO, बिल्कुल भी नहीं बदलेंगे। ऐसी भाषाएँ हैं जिनमें संकेतों का शिलालेख समरूपता की उपस्थिति पर आधारित है। तो, चीनी लेखन में, चित्रलिपि का अर्थ बिल्कुल सही मध्य है।

वास्तुकला में, समरूपता की कुल्हाड़ियों का उपयोग वास्तुशिल्प इरादे को व्यक्त करने के साधन के रूप में किया जाता है। इंजीनियरिंग में, समरूपता की कुल्हाड़ियों को सबसे स्पष्ट रूप से इंगित किया जाता है जहां शून्य से विचलन की आवश्यकता होती है, जैसे कि ट्रक के स्टीयरिंग व्हील पर या जहाज के स्टीयरिंग व्हील पर।

आईने में हमारी दुनिया

लाइनलैंड से हमने समरूपता के केंद्र की अवधारणा निकाली, और फ्लैटलैंड से - समरूपता की धुरी के बारे में। स्थानिक निकायों की त्रि-आयामी दुनिया में, जहां हम रहते हैं, क्रमशः समरूपता के विमान हैं। एक "दर्पण" का हमेशा एक आयाम उस दुनिया से कम होता है जो वह प्रतिबिंबित करता है। गोल पिंडों को देखते समय, यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि उनके पास समरूपता के विमान हैं, लेकिन वास्तव में कितना तय करना हमेशा आसान नहीं होता है।

आइए एक गेंद को दर्पण के सामने रखें और इसे धीरे-धीरे घुमाना शुरू करें: दर्पण में छवि किसी भी तरह से मूल से अलग नहीं होगी, निश्चित रूप से, अगर गेंद की सतह पर कोई विशिष्ट विशेषताएं नहीं हैं। पिंग पोंग बॉल समरूपता के अनगिनत विमानों को प्रकट करती है। एक चाकू लें, गेंद का आधा भाग काटकर शीशे के सामने रख दें। मिरर प्रतिबिंब फिर से इस आधे को पूरी गेंद में पूरक करेगा।

लेकिन अगर हम एक ग्लोब लें और उस पर अंकित भौगोलिक आकृति को ध्यान में रखते हुए उसकी समरूपता पर विचार करें, तो हमें समरूपता का एक भी तल नहीं मिलेगा।

फ्लैटलैंड में, समरूपता के अनगिनत अक्षों वाला आंकड़ा वृत्त था। इसलिए, हमें आश्चर्य नहीं होना चाहिए कि अंतरिक्ष में समान गुण गेंद में निहित हैं। लेकिन अगर सर्कल अपनी तरह का एकमात्र है, तो त्रि-आयामी दुनिया में ऐसे कई निकाय हैं जिनमें समरूपता के अनंत संख्या में विमान हैं: आधार पर एक सर्कल के साथ एक सीधा सिलेंडर, एक गोलाकार के साथ एक शंकु या गोलार्द्ध का आधार, एक गेंद या एक गेंद का खंड। या आइए जीवन से उदाहरण लें: एक सिगरेट, एक सिगार, एक गिलास, आइसक्रीम का एक शंकु के आकार का पाउंड, तार का एक टुकड़ा, एक पाइप।

यदि हम इन पिंडों पर करीब से नज़र डालें, तो हम देखेंगे कि वे सभी किसी न किसी तरह से एक वृत्त से बने होते हैं, जिसमें अनंत संख्या में समरूपता अक्ष होते हैं, जिनमें से अनंत संख्या में समरूपता विमान होते हैं। इनमें से अधिकांश निकायों (उन्हें क्रांति के निकाय कहा जाता है) में, निश्चित रूप से, समरूपता का केंद्र (एक वृत्त का केंद्र) होता है, जिसके माध्यम से समरूपता का कम से कम एक अक्ष गुजरता है।

उदाहरण के लिए, स्पष्ट रूप से दिखाई देने वाला, आइसक्रीम कोन की धुरी है। यह सर्कल के बीच से (आइसक्रीम से बाहर चिपके हुए!) फंकी कोन के तेज सिरे तक चलता है। हम किसी पिंड के सममिति तत्वों के समुच्चय को एक प्रकार की सममिति माप के रूप में देखते हैं। गेंद, बिना किसी संदेह के, समरूपता के संदर्भ में, पूर्णता का एक नायाब अवतार है, एक आदर्श है। प्राचीन यूनानियों ने इसे सबसे संपूर्ण शरीर के रूप में माना, और सर्कल, निश्चित रूप से, सबसे उत्तम सपाट आकृति के रूप में।

सामान्य तौर पर, ये विचार आज तक काफी स्वीकार्य हैं। इसके अलावा, ग्रीक दार्शनिकों ने निष्कर्ष निकाला कि ब्रह्मांड, निश्चित रूप से, गणितीय आदर्श के मॉडल पर बनाया जाना चाहिए। इस निष्कर्ष के परिणामस्वरूप त्रुटियां हुईं, जिसके परिणाम हम बाद में बताएंगे। यह स्पष्ट है कि प्राचीन यूनानियों के पास अभी तक आइसक्रीम की फली नहीं थी! अन्यथा, ऐसी अभियोगात्मक वस्तु, जिसमें समरूपता के असंख्य विमानों की संख्या होती है, उनकी सामंजस्यपूर्ण प्रणाली का उल्लंघन कर सकती है।

यदि तुलना के लिए हम एक घन पर विचार करें, तो हम देखेंगे कि इसमें समरूपता के नौ तल हैं। उनमें से तीन इसके चेहरों को समद्विभाजित करते हैं, और छह शीर्षों से गुजरते हैं। गेंद की तुलना में, यह, ज़ाहिर है, पर्याप्त नहीं है।

लेकिन क्या ऐसे पिंड हैं जो विमानों की संख्या के संदर्भ में एक गेंद और एक घन के बीच एक मध्यवर्ती स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं? बिना किसी शक के, हाँ। किसी को केवल यह याद रखना होगा कि वृत्त, संक्षेप में, बहुभुजों से बना प्रतीत होता है। संख्या pi की गणना करते समय हमने स्कूल में इसका अध्ययन किया। यदि हम प्रत्येक n-gon के ऊपर एक n-गोनल पिरामिड स्थापित करते हैं, तो हम इसके माध्यम से समरूपता के n तल खींच सकते हैं।

एक 32-पक्षीय सिगार के साथ आ सकता है जिसमें उपयुक्त समरूपता होगी!

लेकिन अगर हम फिर भी क्यूब को कुख्यात आइसक्रीम पाउंड की तुलना में अधिक सममित वस्तु के रूप में देखते हैं, तो यह सतह की संरचना के कारण है। एक गोले की केवल एक सतह होती है। क्यूब में उनमें से छह हैं - चेहरों की संख्या के अनुसार, और प्रत्येक चेहरे को एक वर्ग द्वारा दर्शाया गया है। आइसक्रीम के साथ फंटिक में दो सतहें होती हैं: एक वृत्त और एक शंकु के आकार का खोल।

दो सहस्राब्दियों से अधिक (शायद प्रत्यक्ष धारणा के कारण) के लिए, पारंपरिक रूप से "आनुपातिक" ज्यामितीय निकायों को वरीयता दी गई है। यूनानी दार्शनिक प्लेटो (427-347 ईसा पूर्व) ने पाया कि नियमित सर्वांगसम समतल आकृतियों से केवल पांच त्रि-आयामी निकायों का निर्माण किया जा सकता है।

चार नियमित (समबाहु) त्रिभुजों से एक चतुष्फलक (चतुष्फलक) प्राप्त होता है। आठ नियमित त्रिभुजों से, आप एक अष्टफलक (ऑक्टाहेड्रोन) का निर्माण कर सकते हैं और अंत में, बीस नियमित त्रिभुजों से - एक इकोसाहेड्रोन। और केवल चार, आठ या बीस समरूप त्रिभुजों से ही आप त्रि-आयामी ज्यामितीय निकाय प्राप्त कर सकते हैं। वर्गों से, आप केवल एक त्रि-आयामी आकृति बना सकते हैं - एक हेक्साहेड्रोन (हेक्साहेड्रोन), और समबाहु पेंटागन से - एक डोडेकेहेड्रोन (डोडेकाहेड्रॉन)।

और हमारे त्रि-आयामी दुनिया में क्या पूरी तरह से दर्पण समरूपता से रहित है?

यदि फ्लैटलैंड में यह एक सपाट सर्पिल था, तो हमारी दुनिया में यह निश्चित रूप से एक सर्पिल सीढ़ी या एक सर्पिल ड्रिल होगा। इसके अलावा, हमारे आस-पास के जीवन और प्रौद्योगिकी में हजारों असममित चीजें और वस्तुएं हैं। एक नियम के रूप में, पेंच में दाहिने हाथ का धागा होता है। लेकिन कभी-कभी लेफ्ट भी होता है। इसलिए, अधिक सुरक्षा के लिए, प्रोपेन सिलेंडरों को बाएं हाथ के धागे से लैस किया जाता है ताकि उनके लिए डिज़ाइन किए गए वाल्व-रिड्यूसर को पेंच करना असंभव हो, उदाहरण के लिए, किसी अन्य गैस वाले सिलेंडर के लिए, उनके लिए। रोजमर्रा की जिंदगी में, इसका मतलब है कि कैंपिंग में, कैंपिंग स्टोव पर खाना पकाने से पहले, आपको हमेशा कोशिश करनी चाहिए कि बोतल किस तरह से खुल जाए।

एक तरफ गेंद और घन के बीच, और दूसरी ओर सर्पिल सीढ़ी, अभी भी कई डिग्री समरूपता है। घन से, आप धीरे-धीरे समरूपता, कुल्हाड़ियों और केंद्र के विमानों को हटा सकते हैं, जब तक कि हम पूर्ण विषमता की स्थिति में नहीं आ जाते।

समरूपता की इस पंक्ति के लगभग अंत में हम खड़े हैं, हम मनुष्य, समरूपता का केवल एक ही तल हमारे शरीर को बाएँ और दाएँ हिस्सों में विभाजित करता है। हमारे पास समरूपता की डिग्री समान है, उदाहरण के लिए, सामान्य फेल्डस्पार (एक खनिज जो अभ्रक और क्वार्ट्ज के साथ मिलकर गनीस या ग्रेनाइट बनाता है)।

फाइव प्लैटोन्स

नियमित पॉलीहेड्रा के लिए, निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1. किसी भी बहुफलक (एक नियमित सहित) में, एक शीर्ष पर अभिसारी किनारों के बीच के सभी कोणों का योग हमेशा 360° से कम होता है।

2. उत्तल बहुफलक के लिए यूलर प्रमेय द्वारा

जहाँ e शीर्षों की संख्या है, फलकों की संख्या है और k किनारों की संख्या है।

नियमित पॉलीहेड्रा के चेहरे केवल निम्नलिखित नियमित बहुभुज हो सकते हैं:

3, 4 या 5 60° समबाहु त्रिभुज। ऐसे छह त्रिभुज पहले से ही 60° X 6 = 360° देते हैं और इसलिए, बहुफलकीय कोण को सीमित नहीं कर सकते।

तीन वर्ग (90° X 3 = 270°), 3 नियमित पंचभुज (108° X 3 = 324°), 3 नियमित षट्भुज (120° X 3 = 360°) बहुफलकीय कोण को सीमित करते हैं।

यह यूलर के प्रमेय और चेहरे के आकार से निम्नानुसार है कि केवल 5 नियमित पॉलीहेड्रा हैं:

पांच नियमित पॉलीहेड्रा की तालिका

चेहरे का आकार	संख्या				प्लेटोनिक ठोस
	एक शीर्ष में चेहरे	चोटियों	चेहरे के	पसलियां
समबाहु त्रिभुज	3	4	4	6	चतुर्पाश्वीय
वैसा ही	4	6	8	12	अष्टफलक
वैसा ही	5	12	20	30	विंशतिफलक
वर्गों	3	8	6	12	हेक्साहेड्रोन (घन)
सही पंचकोण	3	20	12	20	पेंटागन डोडेकाहेड्रोन

(पेंटागन-डोडेकाहेड्रॉन का कोई भी चेहरा एक पंचकोणीय आकृति है, जिसमें चार पक्ष एक दूसरे के बराबर होते हैं, लेकिन पांचवें से अलग होते हैं। - लगभग। अनुवाद)