गतिशील प्रणालियों की मॉडलिंग (लैग्रेंज विधि और बॉन्ड ग्राफ दृष्टिकोण)। लैग्रेंज गुणक विधि
गुणक विधिलग्रेंज(अंग्रेजी साहित्य में "लाग्रेंज" की अनिर्धारित गुणकों की विधि") यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए एक संख्यात्मक विधि है जो आपको उद्देश्य फ़ंक्शन (न्यूनतम या अधिकतम मूल्य) के "सशर्त" चरम को निर्धारित करने की अनुमति देती है।
समानता के रूप में इसके चर पर दिए गए प्रतिबंधों की उपस्थिति में (अर्थात, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा परिभाषित है)
ये वास्तविक क्षेत्र पर फ़ंक्शन तर्क (नियंत्रित पैरामीटर) के मान हैं, जिस पर फ़ंक्शन का मान चरम सीमा तक जाता है। "सशर्त" चरम नाम का उपयोग इस तथ्य के कारण है कि चर पर एक अतिरिक्त शर्त लगाई जाती है, जो फ़ंक्शन के चरम की खोज करते समय अनुमेय मूल्यों की सीमा को सीमित करती है।
लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि बिना शर्त फ़ंक्शन ऑप्टिमाइज़ेशन की समस्या के लिए स्वीकार्य मानों के सेट पर उद्देश्य फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने की समस्या को बदलने की अनुमति देती है।
यदि कार्य 
तथा 
उनके आंशिक व्युत्पन्न के साथ निरंतर हैं, तो ऐसे चर हैं जो एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं, जिसके तहत निम्नलिखित शर्त संतुष्ट है:
इस प्रकार, लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि के अनुसार, स्वीकार्य मूल्यों के सेट पर उद्देश्य फ़ंक्शन के चरम की खोज करने के लिए, मैं लैग्रेंज फ़ंक्शन एल (एक्स, ) की रचना करता हूं, जिसे और अधिक अनुकूलित किया गया है:
जहां अतिरिक्त चरों का एक सदिश है जिसे अनिश्चित लैग्रेंज गुणक कहा जाता है।
इस प्रकार, फ़ंक्शन f (x) के सशर्त चरम को खोजने की समस्या को फ़ंक्शन L (x, ) के बिना शर्त चरम को खोजने की समस्या में घटा दिया गया है।
तथा 
लैग्रेंज फ़ंक्शन के चरम के लिए आवश्यक शर्त समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा दी जाती है (सिस्टम में "एन + एम" समीकरण होते हैं):
समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान फ़ंक्शन (X) के तर्कों को निर्धारित करना संभव बनाता है, जिस पर फ़ंक्शन L(x, ) का मान, साथ ही उद्देश्य फ़ंक्शन f(x) का मान संगत होता है चरम।
लैग्रेंज मल्टीप्लायरों (λ) का मान व्यावहारिक रुचि का है यदि बाधाओं को समीकरण (स्थिर) के एक मुक्त शब्द के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इस मामले में, हम समीकरणों की प्रणाली में स्थिरांक के मान को बदलकर उद्देश्य फ़ंक्शन के मूल्य को और अधिक (वृद्धि/कमी) पर विचार कर सकते हैं। इस प्रकार, लैग्रेंज गुणक सीमित स्थिरांक में परिवर्तन के साथ अधिकतम उद्देश्य फलन में परिवर्तन की दर को दर्शाता है।
परिणामी फ़ंक्शन के चरम की प्रकृति को निर्धारित करने के कई तरीके हैं:
पहला तरीका: चलो - चरम बिंदु के निर्देशांक, और - उद्देश्य फ़ंक्शन के संबंधित मान। एक बिंदु लिया जाता है जो बिंदु के करीब होता है, और उद्देश्य फ़ंक्शन के मूल्य की गणना की जाती है:
यदि एक 
, तो बिंदु पर अधिकतम है।
यदि एक 
, तो बिंदु पर न्यूनतम है।
दूसरा तरीका: एक पर्याप्त स्थिति जिसमें से चरम की प्रकृति का निर्धारण किया जा सकता है, लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे अंतर का संकेत है। लैग्रेंज फ़ंक्शन का दूसरा अंतर निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
यदि किसी दिए गए बिंदु पर 
न्यूनतम, यदि 
, तो उद्देश्य समारोह f(x) में सशर्त है ज्यादा से ज्यादा।
तीसरा तरीका: साथ ही, लैग्रेंज फ़ंक्शन के हेसियन पर विचार करके फ़ंक्शन के चरम की प्रकृति का पता लगाया जा सकता है। हेसियन मैट्रिक्स उस बिंदु पर फ़ंक्शन के दूसरे आंशिक डेरिवेटिव का एक सममित वर्ग मैट्रिक्स है जहां मैट्रिक्स तत्व मुख्य विकर्ण के बारे में सममित होते हैं।
चरम के प्रकार (अधिकतम या न्यूनतम फ़ंक्शन) का निर्धारण करने के लिए, आप सिल्वेस्टर नियम का उपयोग कर सकते हैं:
1. लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे अंतर के लिए सकारात्मक संकेत होने के लिए 
यह आवश्यक है कि फलन के कोणीय अवयस्क धनात्मक हों। ऐसी परिस्थितियों में, इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है।
2. लैग्रेंज फ़ंक्शन के दूसरे अंतर के लिए साइन-नेगेटिव होने के लिए 
, यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन के कोणीय अवयस्क वैकल्पिक हों, और मैट्रिक्स का पहला तत्व ऋणात्मक sv होना चाहिए। ऐसी परिस्थितियों में, इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम होता है।
एक कोणीय नाबालिग मूल मैट्रिक्स की पहली k पंक्तियों और k कॉलम में स्थित एक नाबालिग है।
लैग्रेंज पद्धति का मुख्य व्यावहारिक महत्व यह है कि यह आपको सशर्त अनुकूलन से बिना शर्त की ओर बढ़ने की अनुमति देता है और तदनुसार, समस्या को हल करने के लिए उपलब्ध तरीकों के शस्त्रागार का विस्तार करता है। हालांकि, समीकरणों की प्रणाली को हल करने की समस्या, जिसमें यह विधि कम हो जाती है, सामान्य मामले में एक चरम को खोजने की मूल समस्या से आसान नहीं है। ऐसी विधियों को अप्रत्यक्ष कहा जाता है। उनके उपयोग को विश्लेषणात्मक रूप में एक चरम समस्या का समाधान प्राप्त करने की आवश्यकता से समझाया गया है (उदाहरण के लिए, कुछ सैद्धांतिक गणनाओं के लिए)। विशिष्ट व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, अनुकूलित किए जा रहे कार्यों के मूल्यों की गणना और तुलना करने की पुनरावृत्ति प्रक्रियाओं के आधार पर, प्रत्यक्ष विधियों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है।
गणना की विधि
1 कदम: हम दिए गए उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधाओं की प्रणाली से लैग्रेंज फ़ंक्शन निर्धारित करते हैं:
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| मापदण्ड नाम | अर्थ |
| लेख विषय: | लैग्रेंज विधि। |
| रूब्रिक (विषयगत श्रेणी) | गणित |
एक बहुपद का अर्थ इसके गुणांक के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए है 
. ऐसा करने के लिए, प्रक्षेप स्थिति का उपयोग करके, आप रैखिक बीजीय समीकरणों (SLAE) की एक प्रणाली बना सकते हैं।
इस SLAE के निर्धारक को आमतौर पर वेंडरमोंडे निर्धारक कहा जाता है। Vandermonde निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है जब for , यानी उस स्थिति में जब लुकअप तालिका में कोई मेल खाने वाले नोड नहीं होते हैं। यह तर्क दिया जा सकता है कि SLAE के पास एक समाधान है और यह समाधान अद्वितीय है। SLAE को हल करना और अज्ञात गुणांक निर्धारित करना कोई एक प्रक्षेप बहुपद का निर्माण कर सकता है।
एक बहुपद जो प्रक्षेप की शर्तों को संतुष्ट करता है, जब लैग्रेंज विधि द्वारा प्रक्षेपित किया जाता है, तो इसे nth डिग्री के बहुपदों के रैखिक संयोजन के रूप में बनाया जाता है:
बहुपद कहलाते हैं बुनियादीबहुपद प्रति लैग्रेंज बहुपदइंटरपोलेशन शर्तों को संतुष्ट करता है, यह अत्यंत महत्वपूर्ण है कि निम्नलिखित शर्तों को इसके मूल बहुपद के लिए संतुष्ट किया जाए:
के लिये 
.
यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो किसी के लिए हमारे पास है:
मूल बहुपदों के लिए दी गई शर्तों की पूर्ति का अर्थ है कि प्रक्षेप की शर्तें भी संतुष्ट हैं।
आइए हम उन पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर मूल बहुपदों के रूप का निर्धारण करें।
पहली शर्त:पर ।
दूसरी शर्त: .
अंत में, मूल बहुपद के लिए, हम लिख सकते हैं:
फिर, मूल बहुपद के लिए परिणामी व्यंजक को मूल बहुपद में प्रतिस्थापित करते हुए, हम लैग्रेंज बहुपद का अंतिम रूप प्राप्त करते हैं:
लैग्रेंज बहुपद के एक विशेष रूप को आमतौर पर रैखिक प्रक्षेप सूत्र कहा जाता है:
.
लैग्रेंज बहुपद को आमतौर पर द्विघात प्रक्षेप सूत्र कहा जाता है:
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परिभाषा। DU को सजातीय कहा जाता है यदि f-i को उनके तर्कों के संबंध में f-i के रूप में दर्शाया जा सकता है उदाहरण। F-th को सजातीय f-th माप कहा जाता है यदि उदाहरण: 1) - समरूपता का पहला क्रम। 2) - समरूपता का दूसरा क्रम। 3) - समरूपता का शून्य क्रम (सिर्फ सजातीय... .
आर्थिक गणना में चरम कार्यों का बहुत महत्व है। यह एक गणना है, उदाहरण के लिए, अधिकतम आय, लाभ, न्यूनतम लागत, कई चर के आधार पर: संसाधन, उत्पादन संपत्ति, आदि। कार्यों के चरम को खोजने का सिद्धांत ....
3. 2. 1. वियोज्य चर के साथ डीई एस.आर. 3. प्राकृतिक विज्ञान, प्रौद्योगिकी और अर्थशास्त्र में, अक्सर अनुभवजन्य सूत्रों से निपटना पड़ता है, अर्थात। सांख्यिकीय डेटा के प्रसंस्करण के आधार पर संकलित सूत्र या ...
सशर्त चरम को निर्धारित करने की विधि एक सहायक लैग्रेंज फ़ंक्शन के निर्माण से शुरू होती है, जो व्यवहार्य समाधानों के क्षेत्र में, चर के समान मूल्यों के लिए अधिकतम तक पहुंचती है। एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , जो उद्देश्य कार्य है जेड . फ़ंक्शन के सशर्त चरम को निर्धारित करने की समस्या दें जेड = एफ (एक्स) प्रतिबंधों के तहत φ मैं ( एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) = 0, मैं = 1, 2, ..., एम , एम < एन
एक समारोह लिखें
जिसे कहा जाता है लैग्रेंज फ़ंक्शन. एक्स , - स्थिर कारक ( लैग्रेंज गुणक) ध्यान दें कि लैग्रेंज गुणकों को एक आर्थिक अर्थ दिया जा सकता है। यदि एक च (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) - योजना के अनुसार आय एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) , और समारोह φ मैं (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) इस योजना के अनुरूप i-वें संसाधन की लागतें हैं, तो एक्स , - i-th संसाधन का मूल्य (अनुमान), जो i-th संसाधन (सीमांत अनुमान) के आकार में परिवर्तन के आधार पर उद्देश्य फ़ंक्शन के चरम मूल्य में परिवर्तन की विशेषता है। एल (एक्स) - समारोह एन+एम चर (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , λ 1 , λ 2 , ..., λ एन ) . इस फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने से समीकरणों की प्रणाली का समाधान होता है
|
|
यह देखना आसान है कि
. इस प्रकार, फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने की समस्या जेड = एफ (एक्स)
फ़ंक्शन के स्थानीय चरम को खोजने के लिए कम कर देता है एल (एक्स)
. यदि स्थिर बिंदु पाया जाता है, तो सरलतम मामलों में एक चरम के अस्तित्व का प्रश्न चरम के लिए पर्याप्त शर्तों के आधार पर हल किया जाता है - दूसरे अंतर के संकेत का अध्ययन डी
2
एल (एक्स)
एक स्थिर बिंदु पर, बशर्ते कि परिवर्तनीय वेतन वृद्धि x
मैं
- रिश्तों से संबंधित
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बाधा समीकरणों को अलग करके प्राप्त किया।
सॉल्वर टूल का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना
स्थापना समाधान खोजनाआपको दो अज्ञात के साथ गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने की अनुमति देता है:
कहाँ पे 
- चर के गैर-रैखिक कार्य एक्स
तथा
आप
,
एक मनमाना स्थिरांक है।
यह ज्ञात है कि जोड़ी एक्स , आप ) समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान है (10) यदि और केवल अगर यह दो अज्ञात में निम्नलिखित समीकरण का समाधान है:
सेदूसरी ओर, प्रणाली का समाधान (10) दो वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु है: एफ ] (एक्स, आप) = सी तथा एफ 2 (एक्स, वाई) = सी 2 सतह पर एक्सओयू.
इससे सिस्टम की जड़ों को खोजने की एक विधि का अनुसरण किया जाता है। अरेखीय समीकरण:
समीकरणों (10) या समीकरण (11) की प्रणाली के समाधान के अस्तित्व का अंतराल (कम से कम लगभग) निर्धारित करें। यहां सिस्टम में शामिल समीकरणों के प्रकार, उनके प्रत्येक समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र आदि को ध्यान में रखना आवश्यक है। कभी-कभी समाधान के प्रारंभिक सन्निकटन के चयन का उपयोग किया जाता है;
चयनित अंतराल पर चर x और y के लिए समीकरण (11) के हल को सारणीबद्ध करें, या फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं एफ 1 (एक्स, आप) = सी, और एफ 2 (एक्स, वाई) = सी 2 (सिस्टम (10))।
समीकरणों की प्रणाली की अनुमानित जड़ों का स्थानीयकरण करें - समीकरण की जड़ों की सारणी तालिका से कई न्यूनतम मान खोजें (11), या सिस्टम में शामिल वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करें (10)।
4. ऐड-ऑन का प्रयोग करके समीकरणों के निकाय (10) के मूल ज्ञात कीजिए समाधान खोजें।
संक्षिप्त सिद्धांत
लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि गणितीय प्रोग्रामिंग (विशेष रूप से, उत्तल) की समस्याओं को हल करने के लिए एक शास्त्रीय विधि है। दुर्भाग्य से, विधि के व्यावहारिक अनुप्रयोग में, इसके उपयोग के क्षेत्र को कम करते हुए, महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयाँ हो सकती हैं। हम यहां लैग्रेंज विधि पर मुख्य रूप से विचार करते हैं क्योंकि यह विभिन्न आधुनिक संख्यात्मक विधियों को सही ठहराने के लिए सक्रिय रूप से उपयोग किया जाने वाला एक उपकरण है जो व्यापक रूप से व्यवहार में उपयोग किया जाता है। लैग्रेंज फ़ंक्शन और लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के लिए, वे न केवल गणितीय प्रोग्रामिंग के सिद्धांत और अनुप्रयोगों में एक स्वतंत्र और अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
शास्त्रीय अनुकूलन समस्या पर विचार करें:
इस समस्या के प्रतिबंधों में कोई असमानता नहीं है, चर की गैर-नकारात्मकता, उनकी विसंगति और कार्यों के लिए कोई शर्तें नहीं हैं और निरंतर हैं और कम से कम दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न हैं।
समस्या को हल करने के लिए शास्त्रीय दृष्टिकोण समीकरणों (आवश्यक शर्तों) की एक प्रणाली देता है जो उस बिंदु से संतुष्ट होना चाहिए जो कि बाधाओं को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के सेट पर एक स्थानीय चरम के साथ कार्य प्रदान करता है (उत्तल प्रोग्रामिंग समस्या के लिए, पाया गया बिंदु उसी समय वैश्विक चरम बिंदु होगा)।
आइए मान लें कि फ़ंक्शन (1) में बिंदु पर एक स्थानीय सशर्त चरम सीमा होती है और मैट्रिक्स की रैंक बराबर होती है। फिर आवश्यक शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
लैग्रेंज फ़ंक्शन है; लैग्रेंज गुणक हैं।
ऐसी पर्याप्त स्थितियां भी हैं जिनके तहत समीकरणों की प्रणाली का समाधान (3) फ़ंक्शन के चरम बिंदु को निर्धारित करता है। यह प्रश्न लैग्रेंज फलन के द्वितीय अवकलन के चिन्ह के अध्ययन के आधार पर हल किया गया है। हालांकि, पर्याप्त शर्तें मुख्य रूप से सैद्धांतिक रुचि की हैं।
आप लैग्रेंज गुणक विधि द्वारा समस्या (1), (2) को हल करने के लिए निम्नलिखित प्रक्रिया निर्दिष्ट कर सकते हैं:
1) लैग्रेंज फ़ंक्शन (4) लिखें;
2) सभी चरों के संबंध में लैग्रेंज फलन के आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए और उनकी बराबरी कीजिए
शून्य। इस प्रकार, समीकरणों से युक्त एक प्रणाली (3) प्राप्त की जाएगी। परिणामी प्रणाली को हल करें (यदि यह संभव हो जाता है!) और इस प्रकार लैग्रेंज फ़ंक्शन के सभी स्थिर बिंदु खोजें;
3) निर्देशांक के बिना लिए गए स्थिर बिंदुओं में से, उन बिंदुओं का चयन करें जिन पर बाधाओं की उपस्थिति में फ़ंक्शन में सशर्त स्थानीय एक्स्ट्रेमा है (2)। यह विकल्प, उदाहरण के लिए, स्थानीय चरम सीमा के लिए पर्याप्त परिस्थितियों का उपयोग करके किया जाता है। यदि समस्या की विशिष्ट स्थितियों का उपयोग किया जाता है तो अक्सर अध्ययन को सरल बनाया जाता है।
समस्या समाधान उदाहरण
काम
फर्म मात्रा में दो प्रकार के माल का उत्पादन करती है और . उपयोगी लागत फलन संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है। बाजार में इन वस्तुओं की कीमतें समान और क्रमशः हैं।
निर्धारित करें कि किस मात्रा में आउटपुट अधिकतम लाभ प्राप्त किया गया है और यदि कुल लागत से अधिक नहीं है तो यह क्या है
समाधान प्रक्रिया को समझने में परेशानी हो रही है? साइट में एक सेवा है ऑर्डर करने के लिए इष्टतम समाधान के तरीकों से समस्याओं का समाधान
समस्या का समाधान
समस्या का आर्थिक और गणितीय मॉडल
लाभ समारोह:
लागत सीमा:
हमें निम्नलिखित आर्थिक और गणितीय मॉडल मिलते हैं:
इसके अलावा, कार्य के अर्थ के अनुसार
लैग्रेंज गुणक विधि
आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें:
हम पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं:
हम समीकरणों की प्रणाली बनाते और हल करते हैं:
तब से
अधिकतम लाभ:
उत्तर
इस प्रकार, इकाइयों का उत्पादन करना आवश्यक है। 1 प्रकार और इकाइयों का माल। दूसरे प्रकार का माल। इस मामले में, लाभ अधिकतम होगा और 270 होगा।
चित्रमय विधि द्वारा द्विघात उत्तल प्रोग्रामिंग की समस्या को हल करने का एक उदाहरण दिया गया है।
रेखीय समस्या को आलेखीय विधि द्वारा हल करना
दो चरों वाली रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) को हल करने के लिए एक ग्राफिकल विधि पर विचार किया जाता है। समस्या के उदाहरण पर, एक चित्र के निर्माण और समाधान खोजने का विस्तृत विवरण दिया गया है।
विल्सन इन्वेंट्री प्रबंधन मॉडल
समस्या को हल करने के उदाहरण पर, इन्वेंट्री प्रबंधन (विल्सन मॉडल) का मुख्य मॉडल माना जाता है। ऑर्डर के इष्टतम बैच आकार, वार्षिक भंडारण लागत, डिलीवरी के बीच के अंतराल और ऑर्डर देने के बिंदु के रूप में मॉडल के ऐसे संकेतकों की गणना की जाती है।
प्रत्यक्ष लागत अनुपात मैट्रिक्स और इनपुट-आउटपुट मैट्रिक्स
समस्या को हल करने के उदाहरण पर, लेओन्टिव इंटरसेक्टोरल मॉडल पर विचार किया जाता है। प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांक के मैट्रिक्स की गणना, मैट्रिक्स "इनपुट-आउटपुट", अप्रत्यक्ष लागत के गुणांक के मैट्रिक्स, अंतिम खपत और सकल उत्पादन के वैक्टर दिखाए जाते हैं।
पहले क्रम के एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण पर विचार करें:
(1)
.
इस समीकरण को हल करने के तीन तरीके हैं:
- निरंतर भिन्नता विधि (लैग्रेंज)।
लैग्रेंज विधि द्वारा प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के हल पर विचार करें।
लगातार भिन्नता विधि (लैग्रेंज)
अचर विचरण विधि में हम समीकरण को दो चरणों में हल करते हैं। पहले चरण में, हम मूल समीकरण को सरल करते हैं और सजातीय समीकरण को हल करते हैं। दूसरे चरण में, हम समाधान के पहले चरण में प्राप्त एकीकरण के स्थिरांक को एक फ़ंक्शन से बदल देंगे। फिर हम मूल समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश करते हैं।
समीकरण पर विचार करें:
(1)
चरण 1 समांगी समीकरण का हल
हम सजातीय समीकरण का हल ढूंढ रहे हैं:
यह एक वियोज्य समीकरण है
अलग चर - dx से गुणा करें, y से विभाजित करें:
हम एकीकृत करते हैं:
y - सारणीबद्ध पर समाकलन:
फिर
क्षमता:
आइए हम स्थिरांक e C को C से प्रतिस्थापित करें और मापांक के चिह्न को हटा दें, जो स्थिरांक से गुणा करने के लिए कम हो जाता है ±1, जिसे हम सी में शामिल करते हैं:
चरण 2 स्थिरांक C को फ़ंक्शन से बदलें
अब स्थिर C को x के एक फलन से प्रतिस्थापित करते हैं:
सी → यू (एक्स)
यही है, हम मूल समीकरण के समाधान की तलाश करेंगे (1)
जैसा:
(2)
हम व्युत्पन्न पाते हैं।
एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार:
.
उत्पाद भेदभाव नियम के अनुसार:
.
हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं (1)
:
(1)
;
.
दो शर्तें कम हो गई हैं:
;
.
हम एकीकृत करते हैं:
.
में स्थानापन्न (2)
:
.
नतीजतन, हम पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं:
.
लैग्रेंज विधि द्वारा प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल करने का एक उदाहरण
प्रश्न हल करें
समाधान
हम सजातीय समीकरण को हल करते हैं:
चर अलग करना:
आइए इससे गुणा करें:
हम एकीकृत करते हैं:
टेबल इंटीग्रल:
क्षमता:
आइए स्थिरांक e C को C से बदलें और मापांक के संकेतों को हटा दें:
यहाँ से:
आइए स्थिरांक C को x के एक फंक्शन से बदलें:
सी → यू (एक्स)
हम व्युत्पन्न पाते हैं:
.
हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं:
;
;
या:
;
.
हम एकीकृत करते हैं:
;
समीकरण समाधान:
.
