भागों के उदाहरणों द्वारा निश्चित अभिन्न। इंटीग्रल को ऑनलाइन हल करना

पहले, किसी दिए गए फ़ंक्शन को देखते हुए, विभिन्न सूत्रों और नियमों द्वारा निर्देशित होकर, हमने उसका व्युत्पन्न पाया था। व्युत्पन्न के कई उपयोग हैं: यह गति की गति है (या, अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रक्रिया की गति); फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक; व्युत्पन्न का उपयोग करके, आप एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए एक फ़ंक्शन की जांच कर सकते हैं; यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

लेकिन गति के ज्ञात नियम के अनुसार गति ज्ञात करने की समस्या के साथ-साथ एक विपरीत समस्या भी है - ज्ञात गति के अनुसार गति के नियम को बहाल करने की समस्या। आइए इनमें से एक समस्या पर विचार करें।

उदाहरण 1।एक भौतिक बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है, समय t पर इसकी गति सूत्र v=gt द्वारा दी जाती है। गति का नियम खोजें.
समाधान। मान लीजिए s = s(t) गति का वांछित नियम है। यह ज्ञात है कि s"(t) = v(t)। इसका मतलब है कि समस्या को हल करने के लिए आपको एक फ़ंक्शन s = s(t) का चयन करना होगा, जिसका व्युत्पन्न gt के बराबर है। इसका अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है वह \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).वास्तव में
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
उत्तर: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

आइए तुरंत ध्यान दें कि उदाहरण सही ढंग से हल किया गया है, लेकिन अधूरा। हमें \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) मिला। वास्तव में, समस्या के असीमित रूप से कई समाधान हैं: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\) के रूप का कोई भी फ़ंक्शन, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, एक नियम के रूप में कार्य कर सकता है गति, क्योंकि \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

समस्या को और अधिक विशिष्ट बनाने के लिए, हमें प्रारंभिक स्थिति को ठीक करना था: किसी समय बिंदु पर एक गतिशील बिंदु के निर्देशांक को इंगित करें, उदाहरण के लिए t = 0 पर। यदि, कहें, s(0) = s 0, तो से समानता s(t) = (gt 2)/2 + C हमें मिलता है: s(0) = 0 + C, यानी C = s 0. अब गति का नियम विशिष्ट रूप से परिभाषित है: s(t) = (gt 2)/2 + s 0।

गणित में, परस्पर व्युत्क्रम संक्रियाओं को अलग-अलग नाम दिए जाते हैं, विशेष संकेतन का आविष्कार किया जाता है, उदाहरण के लिए: वर्ग (x 2) और वर्गमूल (\(\sqrt(x) \)), साइन (sin x) और आर्कसाइन (arcsin x) और आदि किसी दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभाव, और व्युत्क्रम ऑपरेशन, यानी किसी दिए गए व्युत्पन्न से एक फ़ंक्शन खोजने की प्रक्रिया है एकीकरण.

शब्द "व्युत्पन्न" को स्वयं "रोज़मर्रा के संदर्भ में" उचित ठहराया जा सकता है: फ़ंक्शन y = f(x) एक नए फ़ंक्शन y" = f"(x) को "जन्म देता है"। फ़ंक्शन y = f(x) एक "जनक" के रूप में कार्य करता है, लेकिन गणितज्ञ, स्वाभाविक रूप से, इसे "जनक" या "निर्माता" नहीं कहते हैं; वे कहते हैं कि यह फ़ंक्शन y" = f"( के संबंध में है) x) , प्राथमिक छवि, या आदिम।

परिभाषा।फ़ंक्शन y = F(x) को अंतराल X पर फ़ंक्शन y = f(x) के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता है यदि समानता F"(x) = f(x) \(x \in

व्यवहार में, अंतराल X आमतौर पर निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, लेकिन निहित होता है (फ़ंक्शन की परिभाषा के प्राकृतिक डोमेन के रूप में)।

चलिए उदाहरण देते हैं.
1) फ़ंक्शन y = x 2, फ़ंक्शन y = 2x के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 2)" = 2x सत्य है
2) फ़ंक्शन y = x 3, फ़ंक्शन y = 3x 2 के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (x 3)" = 3x 2 सत्य है
3) फ़ंक्शन y = syn(x) फ़ंक्शन y = cos(x) के लिए प्रतिअवकलन है, क्योंकि किसी भी x के लिए समानता (sin(x))" = cos(x) सत्य है

प्रतिअवकलज, साथ ही व्युत्पन्न ढूँढते समय, न केवल सूत्रों का उपयोग किया जाता है, बल्कि कुछ नियमों का भी उपयोग किया जाता है। वे डेरिवेटिव की गणना के लिए संबंधित नियमों से सीधे संबंधित हैं।

हम जानते हैं कि किसी राशि का अवकलज उसके अवकलजों के योग के बराबर होता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संगत नियम उत्पन्न करता है।

नियम 1।किसी योग का प्रतिअवकलन, प्रतिअवकलन के योग के बराबर होता है।

हम जानते हैं कि अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है। यह नियम प्रतिअवकलज खोजने के लिए संगत नियम उत्पन्न करता है।

नियम 2.यदि F(x) f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो kF(x) kf(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है।

प्रमेय 1.यदि y = F(x) फ़ंक्शन y = f(x) के लिए एक प्रतिअवकलज है, तो फ़ंक्शन y = f(kx + m) के लिए प्रतिअवकलन फ़ंक्शन \(y=\frac(1)(k)F है (kx+m) \)

प्रमेय 2.यदि y = F(x) अंतराल + सी.

एकीकरण के तरीके

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (प्रतिस्थापन विधि)

प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण की विधि में एक नया एकीकरण चर (अर्थात् प्रतिस्थापन) शामिल करना शामिल है। इस मामले में, दिए गए इंटीग्रल को एक नए इंटीग्रल में घटा दिया जाता है, जो सारणीबद्ध या इसके लिए कम करने योग्य होता है। प्रतिस्थापनों के चयन के लिए कोई सामान्य विधियाँ नहीं हैं। प्रतिस्थापन को सही ढंग से निर्धारित करने की क्षमता अभ्यास के माध्यम से प्राप्त की जाती है।
मान लीजिए कि अभिन्न \(\textstyle \int F(x)dx \) की गणना करना आवश्यक है। आइए प्रतिस्थापन करें \(x= \varphi(t) \) जहां \(\varphi(t) \) एक फ़ंक्शन है जिसमें निरंतर व्युत्पन्न है।
फिर \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) और अनिश्चितकालीन अभिन्न के लिए एकीकरण सूत्र की अपरिवर्तनीय संपत्ति के आधार पर, हम प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त करते हैं:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) फॉर्म के भावों का एकीकरण

यदि m विषम है, m > 0, तो प्रतिस्थापन पाप x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n विषम है, n > 0, तो प्रतिस्थापन cos x = t करना अधिक सुविधाजनक है।
यदि n और m सम हैं, तो प्रतिस्थापन tg x = t करना अधिक सुविधाजनक है।

भागों द्वारा एकीकरण

भागों द्वारा एकीकरण - एकीकरण के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू करना:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
या:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

कुछ फलनों के अनिश्चित समाकलन (प्रतिअवकलन) की तालिका

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +सी \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) एक्स +सी $$

भागों द्वारा एकीकरण. समाधान के उदाहरण

फिर से हैलो। आज के पाठ में हम सीखेंगे कि भागों द्वारा कैसे एकीकृत किया जाए। भागों द्वारा एकीकरण की विधि अभिन्न कलन की आधारशिलाओं में से एक है। परीक्षण या परीक्षा के दौरान, छात्रों को लगभग हमेशा निम्नलिखित प्रकार के इंटीग्रल को हल करने के लिए कहा जाता है: सबसे सरल इंटीग्रल (लेख देखें)या एक चर को प्रतिस्थापित करके एक अभिन्न (लेख देखें)या इंटीग्रल अभी चालू है भागों विधि द्वारा एकीकरण.

हमेशा की तरह, आपके पास ये चीज़ें होनी चाहिए: अभिन्नों की तालिकाऔर व्युत्पन्न तालिका. यदि आपके पास अभी भी वे नहीं हैं, तो कृपया मेरी वेबसाइट के भंडारण कक्ष पर जाएँ: गणितीय सूत्र और तालिकाएँ. मैं दोहराते नहीं थकूंगा - सब कुछ प्रिंट कर लेना बेहतर है। मैं सभी सामग्री को लगातार, सरल और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने का प्रयास करूंगा; भागों को एकीकृत करने में कोई विशेष कठिनाइयां नहीं हैं।

भागों द्वारा एकीकरण की विधि किस समस्या का समाधान करती है? भागों द्वारा एकीकरण की विधि एक बहुत ही महत्वपूर्ण समस्या का समाधान करती है; यह आपको कुछ कार्यों को एकीकृत करने की अनुमति देती है जो तालिका में नहीं हैं, कामकार्य, और कुछ मामलों में - भागफल भी। जैसा कि हमें याद है, कोई सुविधाजनक फॉर्मूला नहीं है: . लेकिन यह एक है: - व्यक्तिगत रूप से भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र। मुझे पता है, मुझे पता है, आप अकेले हैं - हम पूरे पाठ में उसके साथ काम करेंगे (यह अब आसान है)।

और तुरंत स्टूडियो को सूची। निम्नलिखित प्रकार के अभिन्न अंग भागों द्वारा लिए जाते हैं:

1) , , - लघुगणक, लघुगणक को कुछ बहुपद से गुणा किया जाता है।

2) ,किसी बहुपद से गुणा किया गया एक घातांकीय फलन है। इसमें अभिन्न भी शामिल हैं जैसे - एक घातांकीय फलन को एक बहुपद से गुणा किया जाता है, लेकिन व्यवहार में यह 97 प्रतिशत है, अभिन्न के अंतर्गत एक अच्छा अक्षर "ई" है। ... लेख कुछ हद तक गीतात्मक निकला, अरे हाँ... वसंत आ गया है।

3) , , त्रिकोणमितीय फलन को कुछ बहुपद से गुणा किया जाता है।

4) , - व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन ("मेहराब"), "मेहराब" को कुछ बहुपद से गुणा किया जाता है।

कुछ भिन्नों को भागों में भी लिया जाता है; हम तदनुरूप उदाहरणों पर भी विस्तार से विचार करेंगे।

लघुगणक के समाकलन

उदाहरण 1

क्लासिक. समय-समय पर यह अभिन्न अंग तालिकाओं में पाया जा सकता है, लेकिन तैयार उत्तर का उपयोग करना उचित नहीं है, क्योंकि शिक्षक के पास वसंत विटामिन की कमी है और वह भारी शपथ लेगा। चूँकि विचाराधीन अभिन्न किसी भी तरह से सारणीबद्ध नहीं है - इसे भागों में लिया गया है। हमने निर्णय किया:

हम मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए समाधान को बाधित करते हैं।

हम भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग करते हैं:

सूत्र को बाएँ से दाएँ लागू किया जाता है

हम बायीं ओर देखते हैं: . जाहिर है, हमारे उदाहरण में (और अन्य सभी में जिन पर हम विचार करेंगे), कुछ को इस रूप में नामित करने की आवश्यकता है, और कुछ को इस रूप में नामित करने की आवश्यकता है।

विचाराधीन प्रकार के अभिन्नों में, लघुगणक को हमेशा दर्शाया जाता है।

तकनीकी रूप से, समाधान का डिज़ाइन निम्नानुसार लागू किया गया है; हम कॉलम में लिखते हैं:

अर्थात्, हमने लघुगणक को द्वारा, और द्वारा निरूपित किया - शेष भागएकीकृत अभिव्यक्ति.

अगला चरण: अंतर खोजें:

एक अंतर लगभग व्युत्पन्न के समान है; हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि इसे पिछले पाठों में कैसे खोजा जाए।

अब हम फ़ंक्शन ढूंढते हैं। फ़ंक्शन ढूंढने के लिए आपको एकीकृत करने की आवश्यकता है दाहिनी ओरनिम्न समानता:

अब हम अपना समाधान खोलते हैं और सूत्र के दाईं ओर का निर्माण करते हैं:।
वैसे, यहां कुछ नोट्स के साथ अंतिम समाधान का एक नमूना है:

कार्य में एकमात्र बिंदु यह है कि मैंने तुरंत स्वैप किया और, क्योंकि लघुगणक से पहले कारक लिखने की प्रथा है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, भागों द्वारा एकीकरण के फार्मूले को लागू करने से हमारा समाधान अनिवार्य रूप से दो सरल अभिन्नों तक सीमित हो गया है।

कृपया ध्यान दें कि कुछ मामलों में एकदम बादसूत्र के अनुप्रयोग में, शेष अभिन्न के अंतर्गत एक सरलीकरण आवश्यक रूप से किया जाता है - विचाराधीन उदाहरण में, हमने समाकलन को घटाकर "x" कर दिया है।

की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, आपको उत्तर का व्युत्पन्न लेना होगा:

मूल इंटीग्रैंड फ़ंक्शन प्राप्त हो गया है, जिसका अर्थ है कि इंटीग्रल को सही ढंग से हल किया गया है।

परीक्षण के दौरान, हमने उत्पाद विभेदन नियम का उपयोग किया: . और यह कोई संयोग नहीं है.

भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र और सूत्र - ये दो परस्पर विपरीत नियम हैं।

उदाहरण 2

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

समाकलन एक लघुगणक और एक बहुपद का गुणनफल है।
आइये निर्णय करें.

मैं एक बार फिर नियम को लागू करने की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन करूंगा; भविष्य में, उदाहरण अधिक संक्षेप में प्रस्तुत किए जाएंगे, और यदि आपको इसे स्वयं हल करने में कठिनाई होती है, तो आपको पाठ के पहले दो उदाहरणों पर वापस जाना होगा .

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, लघुगणक को निरूपित करना आवश्यक है (तथ्य यह है कि यह एक शक्ति है इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)। हम द्वारा निरूपित करते हैं शेष भागएकीकृत अभिव्यक्ति.

हम कॉलम में लिखते हैं:

सबसे पहले हम अंतर पाते हैं:

यहां हम एक जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं . यह कोई संयोग नहीं है कि विषय के पहले पाठ में ही अनिश्चितकालीन अभिन्न। समाधान के उदाहरणमैंने इस तथ्य पर ध्यान केंद्रित किया कि इंटीग्रल में महारत हासिल करने के लिए, डेरिवेटिव पर "अपना हाथ डालना" आवश्यक है। आपको डेरिवेटिव से एक से अधिक बार निपटना होगा।

अब हम फ़ंक्शन ढूंढते हैं, इसके लिए हम एकीकृत करते हैं दाहिनी ओरनिम्न समानता:

एकीकरण के लिए हमने सबसे सरल सारणीबद्ध सूत्र का उपयोग किया

अब फॉर्मूला लागू करने के लिए सब कुछ तैयार है . तारांकन के साथ खोलें और दाईं ओर के अनुसार समाधान का "निर्माण" करें:

अभिन्न के अंतर्गत हमारे पास फिर से लघुगणक के लिए एक बहुपद है! इसलिए, समाधान फिर से बाधित हो जाता है और भागों द्वारा एकीकरण का नियम दूसरी बार लागू किया जाता है। यह मत भूलो कि समान स्थितियों में हमेशा लघुगणक दर्शाया जाता है।

यह अच्छा होगा यदि अब तक आप जान गए हों कि मौखिक रूप से सरलतम समाकलन और अवकलज कैसे खोजें।

(1) संकेतों को लेकर भ्रमित न हों! अक्सर यहां माइनस खो जाता है, यह भी ध्यान दें कि माइनस का क्या मतलब है सेवा में, सभी ग्ब्रैकेट , और इन कोष्ठकों को सही ढंग से विस्तारित करने की आवश्यकता है।

(2) कोष्ठक खोलें। हम अंतिम समाकलन को सरल बनाते हैं।

(3) हम अंतिम अभिन्न अंग लेते हैं।

(4) उत्तर "कंघी करना"।

भागों द्वारा एकीकरण के नियम को दो बार (या तीन बार भी) लागू करने की आवश्यकता बहुत कम ही उत्पन्न होती है।

और अब आपके अपने समाधान के लिए कुछ उदाहरण:

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

इस उदाहरण को वेरिएबल को बदलकर (या इसे अंतर चिह्न के नीचे प्रतिस्थापित करके) हल किया जाता है! क्यों नहीं - आप इसे भागों में लेने का प्रयास कर सकते हैं, यह एक मज़ेदार चीज़ बन जाएगी।

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

लेकिन यह अभिन्न अंग भागों (वादा किया गया अंश) द्वारा एकीकृत है।

ये उदाहरण हैं जिन्हें आप स्वयं हल कर सकते हैं, पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

ऐसा लगता है कि उदाहरण 3 और 4 में इंटीग्रैंड समान हैं, लेकिन समाधान के तरीके अलग हैं! इंटीग्रल में महारत हासिल करने में यह मुख्य कठिनाई है - यदि आप इंटीग्रल को हल करने के लिए गलत तरीका चुनते हैं, तो आप वास्तविक पहेली की तरह, इसके साथ घंटों तक छेड़छाड़ कर सकते हैं। इसलिए, जितना अधिक आप विभिन्न इंटीग्रल को हल करेंगे, परीक्षण और परीक्षा उतनी ही बेहतर, आसान होगी। इसके अलावा, दूसरे वर्ष में विभेदक समीकरण होंगे, और इंटीग्रल और डेरिवेटिव को हल करने में अनुभव के बिना वहां कुछ नहीं करना है।

लघुगणक के संदर्भ में, यह संभवतः पर्याप्त से अधिक है। एक तरफ, मुझे यह भी याद है कि इंजीनियरिंग के छात्र महिला स्तनों को कॉल करने के लिए लघुगणक का उपयोग करते हैं =)। वैसे, मुख्य प्रारंभिक कार्यों के ग्राफ़ को दिल से जानना उपयोगी है: साइन, कोसाइन, आर्कटेंजेंट, घातांक, तीसरे, चौथे डिग्री के बहुपद, आदि। नहीं, बिल्कुल, ग्लोब पर एक कंडोम
मैं इसे आगे नहीं बढ़ाऊंगा, लेकिन अब आप अनुभाग से बहुत कुछ याद रखेंगे चार्ट और फ़ंक्शन =).

एक घातांक के समाकलन को एक बहुपद से गुणा किया जाता है

सामान्य नियम:

उदाहरण 5

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

एक परिचित एल्गोरिदम का उपयोग करते हुए, हम भागों द्वारा एकीकृत करते हैं:

यदि आपको इंटीग्रल से कठिनाई हो रही है, तो आपको लेख पर वापस लौटना चाहिए अनिश्चितकालीन अभिन्न में परिवर्तनीय परिवर्तन विधि.

एकमात्र अन्य चीज़ जो आप कर सकते हैं वह है उत्तर में बदलाव करना:

लेकिन यदि आपकी गणना तकनीक बहुत अच्छी नहीं है, तो सबसे लाभदायक विकल्प इसे उत्तर के रूप में छोड़ देना है या और भी

अर्थात्, अंतिम समाकलन लेने पर उदाहरण हल हो गया माना जाता है। यह कोई गलती नहीं होगी; यह दूसरी बात है कि शिक्षक आपसे उत्तर को सरल बनाने के लिए कह सकते हैं।

उदाहरण 6

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। यह अभिन्न अंग भागों द्वारा दो बार एकीकृत होता है। संकेतों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए - उनमें भ्रमित होना आसान है, हम यह भी याद रखते हैं कि यह एक जटिल कार्य है।

प्रदर्शक के बारे में कहने के लिए और कुछ नहीं है। मैं केवल यह जोड़ सकता हूं कि घातांक और प्राकृतिक लघुगणक परस्पर व्युत्क्रम फलन हैं, यह मैं उच्च गणित के मनोरंजक ग्राफ़ के विषय पर हूं =) रुकें, रुकें, चिंता न करें, व्याख्याता शांत है।

त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन को एक बहुपद से गुणा किया जाता है

सामान्य नियम: क्योंकि सदैव एक बहुपद को दर्शाता है

उदाहरण 7

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें.

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें:

हम्म्म...और टिप्पणी करने के लिए कुछ भी नहीं है।

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं को हल करने का एक उदाहरण है

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

भिन्न के साथ एक और उदाहरण. जैसा कि पिछले दो उदाहरणों में है, यह एक बहुपद को दर्शाता है।

आइए भागों द्वारा एकीकृत करें:

यदि आपको अभिन्न को खोजने में कोई कठिनाई या गलतफहमी है, तो मैं पाठ में भाग लेने की सलाह देता हूं त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन.

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

संकेत: भागों द्वारा एकीकरण विधि का उपयोग करने से पहले, आपको कुछ त्रिकोणमितीय सूत्र लागू करना चाहिए जो दो त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद को एक फ़ंक्शन में बदल देता है। सूत्र का उपयोग भागों द्वारा एकीकरण की विधि को लागू करते समय भी किया जा सकता है, जो भी आपके लिए अधिक सुविधाजनक हो।

शायद इस पैराग्राफ में बस इतना ही है। किसी कारण से मुझे भौतिकी और गणित भजन की एक पंक्ति याद आ गई "और साइन ग्राफ एब्सिस्सा अक्ष के साथ लहर के बाद लहर चलाता है"...

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन।
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन को एक बहुपद से गुणा किया जाता है

सामान्य नियम: हमेशा व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन को दर्शाता है.

मैं आपको याद दिला दूं कि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों में आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट शामिल हैं। रिकार्ड की संक्षिप्तता के लिए मैं उन्हें "मेहराब" कहूंगा