नमूना डेटा का माध्यिका. सांख्यिकीय विश्लेषण करने के लिए एक्सेल में मेडियन फ़ंक्शन

औसत मूल्यों के साथ, संरचनात्मक औसत की गणना वितरण की भिन्नता श्रृंखला की सांख्यिकीय विशेषताओं के रूप में की जाती है - पहनावाऔर MEDIAN.
पहनावा(मो) अध्ययन की जा रही विशेषता के मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे सबसे बड़ी आवृत्ति के साथ दोहराया जाता है, अर्थात। मोड - किसी विशेषता का मान जो सबसे अधिक बार होता है।
मंझला(मी) उस विशेषता का मान है जो रैंक की गई (आदेशित) आबादी के बीच में आती है, यानी। माध्यिका भिन्नता श्रृंखला का केंद्रीय मान है।
माध्यिका का मुख्य गुण यह है कि माध्यिका से विशेषता मानों के पूर्ण विचलन का योग किसी भी अन्य मान ∑|x i - Me|=min से कम होता है।

अवर्गीकृत डेटा से मोड और माध्यिका का निर्धारण

चलो गौर करते हैं अवर्गीकृत डेटा से मोड और माध्यिका का निर्धारण. मान लीजिए कि 9 लोगों की एक कार्य टीम में निम्नलिखित टैरिफ श्रेणियां हैं: 4 3 4 5 3 3 6 2 6। चूँकि इस ब्रिगेड में तीसरी श्रेणी के सबसे अधिक कर्मचारी हैं, इसलिए यह टैरिफ श्रेणी मोडल होगी। मो = 3.
माध्यिका निर्धारित करने के लिए, रैंकिंग करना आवश्यक है: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . इस श्रृंखला में केंद्रीय कार्यकर्ता चौथी श्रेणी का कार्यकर्ता है, इसलिए, यह श्रेणी मध्यिका होगी। यदि रैंक की गई श्रृंखला में सम संख्या में इकाइयाँ शामिल हैं, तो माध्यिका को दो केंद्रीय मानों के औसत के रूप में परिभाषित किया गया है।
यदि मोड विशेषता मान के सबसे सामान्य संस्करण को दर्शाता है, तो माध्य व्यावहारिक रूप से एक विषम आबादी के लिए औसत के कार्य करता है जो वितरण के सामान्य कानून का पालन नहीं करता है। आइए हम निम्नलिखित उदाहरण से इसके संज्ञानात्मक महत्व को स्पष्ट करें।
मान लीजिए कि हमें 100 लोगों के एक समूह की औसत आय का वर्णन करने की आवश्यकता है, जिनमें से 99 की आय 100 से 200 डॉलर प्रति माह है, और बाद वाले की मासिक आय 50,000 डॉलर है (तालिका 1)।
तालिका 1 - अध्ययन किए गए लोगों के समूह की मासिक आय। यदि हम अंकगणितीय औसत का उपयोग करते हैं, तो हमें लगभग $600 - $700 की औसत आय प्राप्त होती है, जिसका समूह के मुख्य भाग की आय से बहुत कम संबंध है। माध्य, इस मामले में मेरे = 163 डॉलर के बराबर, हमें इस समूह के 99% लोगों के आय स्तर का एक वस्तुनिष्ठ विवरण देने की अनुमति देगा।
आइए समूहीकृत डेटा (वितरण श्रृंखला) का उपयोग करके मोड और माध्यिका निर्धारित करने पर विचार करें।
आइए मान लें कि टैरिफ श्रेणी के अनुसार संपूर्ण उद्यम के श्रमिकों का वितरण निम्नलिखित रूप में है (तालिका 2)।
तालिका 2 - टैरिफ श्रेणी के अनुसार उद्यम श्रमिकों का वितरण

असतत श्रृंखला के लिए मोड और माध्यिका की गणना

अंतराल श्रृंखला के लिए मोड और माध्यिका की गणना

भिन्नता श्रृंखला के लिए मोड और माध्यिका की गणना

असतत भिन्नता श्रृंखला से मोड का निर्धारण

मूल्य के आधार पर क्रमबद्ध विशेषता मानों की पहले से निर्मित श्रृंखला का उपयोग किया जाता है। यदि नमूना आकार विषम है, तो हम केंद्रीय मान लेते हैं; यदि नमूना आकार सम है, तो हम दो केंद्रीय मानों का अंकगणितीय माध्य लेते हैं।
असतत भिन्नता श्रृंखला से मोड का निर्धारण: 5वीं टैरिफ श्रेणी में उच्चतम आवृत्ति (60 लोग) है, इसलिए, यह मोडल है। मो = 5.
किसी विशेषता का माध्य मान निर्धारित करने के लिए, श्रृंखला की माध्य इकाई की संख्या (एन मी) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाई जाती है:, जहां एन जनसंख्या का आयतन है।
हमारे मामले में: .
परिणामी भिन्नात्मक मान, जो हमेशा तब होता है जब जनसंख्या में इकाइयों की संख्या सम होती है, यह दर्शाता है कि सटीक मध्यबिंदु 95 और 96 श्रमिकों के बीच है। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि इन क्रमांक वाले श्रमिक किस समूह के हैं। यह संचित आवृत्तियों की गणना करके किया जा सकता है। पहले समूह में, जहां केवल 12 लोग हैं, इन संख्याओं वाला कोई कार्यकर्ता नहीं है, और दूसरे समूह (12+48=60) में कोई भी नहीं है। 95वें और 96वें कर्मचारी तीसरे समूह (12+48+56=116) में हैं, इसलिए, माध्य चौथी टैरिफ श्रेणी है।

अंतराल श्रृंखला में मोड और माध्यिका की गणना

असतत भिन्नता श्रृंखला के विपरीत, अंतराल श्रृंखला से मोड और माध्यिका का निर्धारण करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों के आधार पर कुछ गणनाओं की आवश्यकता होती है:
, (5.6)
कहाँ एक्स 0- मोडल अंतराल की निचली सीमा (उच्चतम आवृत्ति वाले अंतराल को मोडल कहा जाता है);
मैं- मोडल अंतराल का मान;
च मो- मोडल अंतराल की आवृत्ति;
एफ मो -1- मोडल एक से पहले के अंतराल की आवृत्ति;
एफ मो +1- मोडल एक के बाद अंतराल की आवृत्ति।
(5.7)
कहाँ एक्स 0- माध्यिका अंतराल की निचली सीमा (माध्यिका पहला अंतराल है जिसकी संचित आवृत्ति आवृत्तियों के कुल योग के आधे से अधिक है);
मैं- माध्यिका अंतराल का मान;
एस मी-1- माध्यिका से पहले संचित अंतराल;
च मैं– माध्यिका अंतराल की आवृत्ति.
आइए तालिका में डेटा का उपयोग करके इन सूत्रों के अनुप्रयोग को स्पष्ट करें। 3.
इस वितरण में सीमा 60 - 80 वाला अंतराल मोडल होगा, क्योंकि इसकी आवृत्ति सबसे अधिक है. सूत्र (5.6) का उपयोग करके, हम मोड को परिभाषित करते हैं:

माध्य अंतराल स्थापित करने के लिए, प्रत्येक बाद के अंतराल की संचित आवृत्ति निर्धारित करना आवश्यक है जब तक कि यह संचित आवृत्तियों के योग के आधे से अधिक न हो जाए (हमारे मामले में, 50%) (तालिका 5.11)।
यह स्थापित किया गया था कि माध्य 100 - 120 हजार रूबल की सीमाओं वाला अंतराल है। आइए अब माध्यिका ज्ञात करें:

तालिका 3 - मार्च 1994 में औसत प्रति व्यक्ति नाममात्र मौद्रिक आय के स्तर के आधार पर रूसी संघ की जनसंख्या का वितरण।

औसत प्रति व्यक्ति मासिक आय के स्तर के अनुसार समूह, हजार रूबल।	जनसंख्या हिस्सेदारी, %
20 तक	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
300 से अधिक	7,7
कुल	100,0

तालिका 4 - माध्यिका अंतराल का निर्धारण
इस प्रकार, अंकगणितीय माध्य, मोड और माध्यिका का उपयोग किसी रैंक वाली जनसंख्या की इकाइयों के लिए एक निश्चित विशेषता के मूल्यों की सामान्यीकृत विशेषता के रूप में किया जा सकता है।
वितरण केंद्र की मुख्य विशेषता अंकगणितीय माध्य है, जो इस तथ्य से विशेषता है कि इससे सभी विचलन (सकारात्मक और नकारात्मक) का योग शून्य होता है। माध्यिका की विशेषता इस तथ्य से है कि मापांक में इससे विचलन का योग न्यूनतम है, और मोड उस विशेषता का मान है जो सबसे अधिक बार होता है।
मोड, माध्यिका और अंकगणितीय माध्य का अनुपात समुच्चय में विशेषता के वितरण की प्रकृति को इंगित करता है और हमें इसकी विषमता का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। सममित वितरण में, तीनों विशेषताएँ मेल खाती हैं। बहुलक और अंकगणितीय माध्य के बीच विसंगति जितनी अधिक होगी, श्रृंखला उतनी ही अधिक असममित होगी। मध्यम असममित श्रृंखला के लिए, मोड और अंकगणितीय माध्य के बीच का अंतर माध्यिका और माध्य के बीच के अंतर से लगभग तीन गुना अधिक है, अर्थात:
|मो –`x| = 3 |मैं –`x|

आलेखीय विधि द्वारा बहुलक एवं माध्यिका का निर्धारण

किसी अंतराल श्रृंखला में बहुलक और माध्यिका को ग्राफ़िक रूप से निर्धारित किया जा सकता है. मोड वितरण हिस्टोग्राम द्वारा निर्धारित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, सबसे ऊंचे आयत का चयन करें, जो इस मामले में मोडल है। फिर हम मोडल आयत के दाहिने शीर्ष को पिछले आयत के ऊपरी दाएं कोने से जोड़ते हैं। और मोडल आयत का बायाँ शीर्ष - बाद वाले आयत के ऊपरी बाएँ कोने के साथ। उनके प्रतिच्छेदन के बिंदु से हम भुज अक्ष पर लंबवत को नीचे करते हैं। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज वितरण मोड होगा (चित्र 5.3)।


चावल। 5.3. हिस्टोग्राम का उपयोग करके मोड का ग्राफिकल निर्धारण।


चावल। 5.4. संचयन द्वारा माध्यिका का आलेखीय निर्धारण
50% के अनुरूप संचित आवृत्तियों (आवृत्तियों) के पैमाने पर एक बिंदु से माध्यिका निर्धारित करने के लिए, भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींची जाती है जब तक कि यह संचयी के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए। फिर, प्रतिच्छेदन बिंदु से, एक लंब को x-अक्ष पर उतारा जाता है। प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज मध्यिका है।

चतुर्थक, दशमांश, शतमक

इसी प्रकार, वितरण की भिन्नता श्रृंखला में माध्यिका खोजने के साथ, आप रैंक श्रृंखला की किसी भी इकाई के लिए विशेषता का मूल्य पा सकते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, आप किसी श्रृंखला को चार बराबर भागों में, 10 या 100 भागों में विभाजित करने वाली इकाइयों के लिए विशेषता का मान पा सकते हैं। इन मानों को "चतुर्थक", "दशमलव", "प्रतिशतक" कहा जाता है।
चतुर्थक एक विशेषता के मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है जो रैंक की गई जनसंख्या को 4 बराबर भागों में विभाजित करता है।
एक निचला चतुर्थक (क्यू 1) है, जो विशेषता के सबसे कम मूल्यों के साथ जनसंख्या के ¼ को अलग करता है, और एक ऊपरी चतुर्थक (क्यू 3) है, जो विशेषता के उच्चतम मूल्यों के साथ भाग के ¼ को अलग करता है। इसका मतलब यह है कि जनसंख्या में 25% इकाइयाँ मूल्य Q 1 में छोटी होंगी; 25% इकाइयाँ Q 1 और Q 2 के बीच समाहित होंगी; 25% Q 2 और Q 3 के बीच है, और शेष 25% Q 3 से अधिक है। Q2 का मध्य चतुर्थक माध्यिका है।
अंतराल भिन्नता श्रृंखला का उपयोग करके चतुर्थक की गणना करने के लिए, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:
, ,
कहाँ एक्स क्यू 1- निचले चतुर्थक वाले अंतराल की निचली सीमा (अंतराल संचित आवृत्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है, पहला 25% से अधिक);
एक्स क्यू 3- ऊपरी चतुर्थक वाले अंतराल की निचली सीमा (अंतराल संचित आवृत्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है, पहला 75% से अधिक);
मैं- अंतराल का आकार;
एस क्यू 1-1- निचले चतुर्थक वाले अंतराल से पहले के अंतराल की संचित आवृत्ति;
एस क्यू 3-1- ऊपरी चतुर्थक वाले अंतराल से पहले के अंतराल की संचित आवृत्ति;
च प्रश्न 1- निचले चतुर्थक वाले अंतराल की आवृत्ति;
च प्रश्न 3- ऊपरी चतुर्थक वाले अंतराल की आवृत्ति।
आइए तालिका में दिए गए आंकड़ों के अनुसार निचले और ऊपरी चतुर्थक की गणना पर विचार करें। 5.10. निचली चतुर्थक 60-80 की सीमा में है, जिसकी संचयी आवृत्ति 33.5% है। ऊपरी चतुर्थक 75.8% की संचित आवृत्ति के साथ 160-180 की सीमा में है। इसे ध्यान में रखते हुए हमें मिलता है:
,
.
चतुर्थक के अलावा, दशमलव को वितरण की भिन्नता श्रेणियों में निर्धारित किया जा सकता है - विकल्प जो क्रमबद्ध भिन्नता श्रृंखला को दस बराबर भागों में विभाजित करते हैं। पहला डेसील (डी 1) जनसंख्या को 1/10 से 9/10 के अनुपात में विभाजित करता है, दूसरा डेसील (डी 1) - 2/10 से 8/10 के अनुपात में, आदि।
उनकी गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:
, .
वे विशिष्ट मान जो श्रृंखला को एक सौ भागों में विभाजित करते हैं, प्रतिशतक कहलाते हैं। माध्यिका, चतुर्थक, दशमांश और प्रतिशतक के अनुपात चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 5.5.

अर्थव्यवस्था के विभिन्न क्षेत्रों में वेतन, तुलनीय अवधि के लिए एक ही क्षेत्र में तापमान और वर्षा का स्तर, विभिन्न भौगोलिक क्षेत्रों में उगाई जाने वाली फसलों की उपज, आदि। हालांकि, औसत किसी भी तरह से एकमात्र सामान्यीकरण संकेतक नहीं है - कुछ मामलों में अधिक सटीक मूल्यांकन के लिए एक उपयुक्त मान माध्यिका है। सांख्यिकी में, इसका व्यापक रूप से किसी विशेष जनसंख्या में किसी विशेषता के वितरण की सहायक वर्णनात्मक विशेषता के रूप में उपयोग किया जाता है। आइए जानें कि यह औसत से किस प्रकार भिन्न है, और इसका उपयोग करना क्यों आवश्यक है।

सांख्यिकी में माध्यिका: परिभाषा और गुण

निम्नलिखित स्थिति की कल्पना करें: एक कंपनी में निदेशक के साथ 10 लोग काम करते हैं। साधारण श्रमिकों को 1,000 UAH मिलते हैं, और उनके प्रबंधक, जो मालिक भी हैं, को 10,000 UAH मिलते हैं। यदि हम अंकगणितीय औसत की गणना करते हैं, तो पता चलता है कि इस उद्यम में औसत वेतन 1900 UAH है। क्या यह कथन सत्य होगा? या आइए इस उदाहरण को लें: एक ही अस्पताल के वार्ड में नौ लोग हैं जिनका तापमान 36.6 डिग्री सेल्सियस है, और एक व्यक्ति है जिसका तापमान 41 डिग्री सेल्सियस है। इस मामले में अंकगणितीय माध्य इसके बराबर है: (36.6*9+41)/10 = 37.04 डिग्री सेल्सियस। लेकिन इसका मतलब यह नहीं कि वहां मौजूद सभी लोग बीमार हैं. यह सब बताता है कि अकेले औसत अक्सर पर्याप्त नहीं होता है, और इसीलिए इसके अतिरिक्त माध्यिका का उपयोग किया जाता है। सांख्यिकी में इस सूचक को वह विकल्प कहा जाता है जो क्रमित भिन्नता श्रृंखला के ठीक मध्य में स्थित होता है। यदि हम इसे अपने उदाहरणों के लिए गणना करते हैं, तो हमें क्रमशः 1000 UAH मिलते हैं। और 36.6°से. दूसरे शब्दों में, आँकड़ों में माध्यिका एक ऐसा मान है जो किसी श्रृंखला को आधे में इस प्रकार विभाजित करता है कि उसके दोनों तरफ (नीचे या ऊपर) किसी दी गई जनसंख्या में इकाइयों की संख्या समान हो। इस गुण के कारण, इस सूचक के कई अन्य नाम हैं: 50वाँ प्रतिशतक या 0.5 क्वांटाइल।

सांख्यिकी में माध्यिका कैसे ज्ञात करें

इस मान की गणना करने की विधि काफी हद तक इस बात पर निर्भर करती है कि हमारे पास किस प्रकार की भिन्नता श्रृंखला है: असतत या अंतराल। पहले मामले में, माध्यिका को आँकड़ों में काफी सरलता से पाया जाता है। आपको बस आवृत्तियों का योग ज्ञात करना है, इसे 2 से विभाजित करना है और फिर परिणाम में ½ जोड़ना है। निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके गणना सिद्धांत को समझाना सबसे अच्छा होगा। मान लीजिए कि हमने प्रजनन क्षमता पर डेटा समूहीकृत किया है और यह पता लगाना चाहते हैं कि माध्यिका क्या है।

बच्चों की संख्या के अनुसार परिवार समूह संख्या	परिवारों की संख्या

कुछ सरल गणनाओं के बाद, हम पाते हैं कि आवश्यक संकेतक है: 195/2 + ½ = विकल्प। इसका क्या अर्थ है यह जानने के लिए, आपको सबसे छोटे विकल्पों से शुरू करते हुए, क्रमिक रूप से आवृत्तियों को जमा करना चाहिए। तो, पहली दो पंक्तियों का योग हमें 30 देता है। यह स्पष्ट है कि यहां 98 विकल्प नहीं हैं। लेकिन यदि आप परिणाम में तीसरे विकल्प (70) की आवृत्ति जोड़ते हैं, तो आपको 100 के बराबर राशि मिलती है। इसमें बिल्कुल 98वां विकल्प शामिल है, जिसका अर्थ है कि माध्य एक परिवार होगा जिसमें दो बच्चे हैं।

जहाँ तक अंतराल श्रृंखला का प्रश्न है, आमतौर पर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

एम ई = एक्स मी + आई मी * (∑एफ/2 - एस मी-1)/एफ मी, जिसमें:

• एक्स मी - माध्यिका अंतराल का पहला मान;
• ∑f - श्रृंखला की संख्या (इसकी आवृत्तियों का योग);
• मैं Ме - माध्यिका सीमा का मान;
• एफ मी - मध्य सीमा की आवृत्ति;
• S Ме-1 माध्यिका से पहले की श्रेणियों में संचयी आवृत्तियों का योग है।

फिर, उदाहरण के बिना इसे समझना काफी कठिन है। मान लीजिए कि मूल्य पर डेटा है

वेतन, हजार रूबल.		संचित आवृत्तियाँ

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करने के लिए, हमें सबसे पहले माध्यिका अंतराल निर्धारित करना होगा। ऐसी श्रेणी के रूप में, उसे चुनें जिसकी संचित आवृत्ति आवृत्तियों के कुल योग के आधे से अधिक हो या उसके बराबर हो। तो, 510 को 2 से विभाजित करने पर, हम पाते हैं कि यह मानदंड 250,000 रूबल के वेतन मूल्य के साथ अंतराल से मेल खाता है। 300,000 रूबल तक। अब आप सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

एम ई = एक्स मी + आई मी * (∑एफ/2 - एस मी-1)/एफ मी = 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 = 286.96 हजार रूबल।

हमें उम्मीद है कि हमारा लेख उपयोगी रहा होगा और अब आपको यह स्पष्ट समझ आ गया होगा कि आंकड़ों में माध्यिका क्या है और इसकी गणना कैसे की जानी चाहिए।

MS EXCEL में माध्यिका की गणना करने के लिए एक विशेष फ़ंक्शन MEDIAN() है। इस लेख में हम माध्यिका को परिभाषित करेंगे और सीखेंगे कि एक नमूने के लिए और यादृच्छिक चर के दिए गए वितरण कानून के लिए इसकी गणना कैसे करें।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं माध्यिकाओंके लिए नमूने(अर्थात मानों के एक निश्चित सेट के लिए)।

नमूना माध्यिका

मंझला(माध्यिका) वह संख्या है जो संख्याओं के समूह का मध्य भाग है: समूह की आधी संख्याएँ इससे बड़ी हैं MEDIAN, और आधी संख्याएँ इससे कम हैं MEDIAN.

की गणना करना माध्यिकाओंपहले आवश्यक (मान में नमूना). उदाहरण के लिए, MEDIANनमूने के लिए (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) 4 होगा. क्योंकि बस में नमूना 7 मान, उनमें से तीन 4 से कम हैं (अर्थात 2; 3; 3), और तीन मान बड़े हैं (अर्थात 5; 7; 10)।

यदि सेट में संख्याओं की संख्या सम है, तो इसकी गणना सेट के मध्य में दो संख्याओं के लिए की जाती है। उदाहरण के लिए, MEDIANनमूने के लिए (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) 4.5 होगा, क्योंकि (3+6)/2=4.5.

निर्धारण हेतु माध्यिकाओं MS EXCEL में इसी नाम MEDIAN() का एक फ़ंक्शन है, जो MEDIAN() का अंग्रेजी संस्करण है।

मंझलाजरूरी नहीं कि इससे मेल खाता हो। एक मिलान तभी होता है जब नमूने में मान सममित रूप से वितरित किए जाते हैं औसत. उदाहरण के लिए, के लिए नमूने (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) MEDIANऔर औसत 3.5 के बराबर.

यदि परिचित हो वितरण समारोहएफ(एक्स)या संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन पी(एक्स), वह MEDIANसमीकरण से पाया जा सकता है:

उदाहरण के लिए, लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन lnN(μ; σ 2) के लिए इस समीकरण को विश्लेषणात्मक रूप से हल करने पर, हम पाते हैं कि MEDIANसूत्र =EXP(μ) का उपयोग करके गणना की गई। जब μ=0, माध्यिका 1 है।

मुद्दे पर ध्यान दीजिए वितरण कार्य, जिसके लिए एफ(एक्स)=0.5(ऊपर चित्र देखें) . इस बिंदु का भुज 1 के बराबर है। यह माध्यिका का मान है, जो स्वाभाविक रूप से ईएम सूत्र का उपयोग करके पहले गणना किए गए मान से मेल खाता है।

एमएस एक्सेल में MEDIANके लिए लॉगनॉर्मल वितरण LnN(0;1) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है =LOGNORM.REV(0.5,0,1).

टिप्पणी: याद रखें कि का अभिन्न अंग यादृच्छिक चर को निर्दिष्ट करने के पूरे डोमेन पर एक के बराबर है।

इसलिए, माध्य रेखा (x=माध्यिका) ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र को विभाजित करती है संभाव्यता घनत्व कार्यदो बराबर भागों में.

इस तथ्य के कारण कि शोधकर्ता के पास प्रत्येक विनिमय कार्यालय में बिक्री की मात्रा पर डेटा नहीं है, प्रति डॉलर औसत मूल्य निर्धारित करने के लिए अंकगणितीय औसत की गणना करना अव्यावहारिक है।

संख्याओं की शृंखला का माध्यिका

हालाँकि, विशेषता का मान निर्धारित करना संभव है, जिसे माध्यिका (मी) कहा जाता है। मंझला

हमारे उदाहरण में

माध्यिका संख्या: NoMe = ;

पहनावा

तालिका 3.6.

एफ- श्रृंखला की आवृत्तियों का योग;

एस संचयी आवृत्तियाँ

12_

_

एस-संचित आवृत्तियाँ।

चित्र में. 3.2. लाभ मार्जिन द्वारा बैंकों के वितरण का एक हिस्टोग्राम दिखाया गया है (तालिका 3.6 के अनुसार)।

एक्स - लाभ राशि, मिलियन रूबल,

f बैंकों की संख्या है.

"आदेशित श्रृंखला का माध्यिका"

प्रकाशन का पाठ HTML संस्करण

7वीं कक्षा में बीजगणित पाठ नोट्स

पाठ का विषय: "एक क्रमित श्रृंखला का माध्यिका।"

ओज़्योर्नाया स्कूल के शिक्षक, एमसीओयू बुर्कोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय की शाखा एरेमेनको तात्याना अलेक्सेवना
लक्ष्य:
एक क्रमबद्ध श्रृंखला की सांख्यिकीय विशेषता के रूप में माध्यिका की अवधारणा; सम और विषम संख्या में पदों के साथ क्रमबद्ध श्रृंखला के लिए मध्यिका खोजने की क्षमता विकसित करना; व्यावहारिक स्थिति के आधार पर माध्यिका के मूल्यों की व्याख्या करने की क्षमता विकसित करना, संख्याओं के समूह के अंकगणितीय माध्य की अवधारणा को समेकित करना। स्वतंत्र कार्य कौशल विकसित करें। गणित में रुचि विकसित करें.
कक्षाओं के दौरान

मौखिक कार्य.
पंक्तियाँ दी गई हैं: 1) 4; 1; 8; 5; 1; 2) ; 9; 3; 0.5; ; 3) 6; 0.2; ; 4; 6; 7.3; 6. खोजें: ए) प्रत्येक श्रृंखला का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान; बी) प्रत्येक पंक्ति का दायरा; ग) प्रत्येक पंक्ति का मोड।
द्वितीय. नई सामग्री की व्याख्या.
पाठ्यपुस्तक के अनुसार कार्य करें। 1. आइए पाठ्यपुस्तक के पैराग्राफ 10 से समस्या पर विचार करें। क्रमित श्रृंखला का क्या अर्थ है? मैं इस बात पर ज़ोर देना चाहूँगा कि माध्यिका ज्ञात करने से पहले, आपको हमेशा डेटा श्रृंखला का आदेश देना चाहिए। 2.बोर्ड पर हम सम और विषम संख्या वाले पदों की श्रृंखला के लिए माध्यिका ज्ञात करने के नियमों से परिचित होते हैं:
मंझला

व्यवस्थित

पंक्ति
नंबर
साथ

विषम

संख्या

सदस्यों
बीच में लिखा हुआ नंबर है, और
MEDIAN

आदेशित श्रृंखला
नंबर
सदस्यों की सम संख्या के साथ
मध्य में लिखी दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य कहलाता है।
मंझला

मनमाना

पंक्ति
संगत क्रमबद्ध श्रृंखला की माध्यिका 1 3 1 7 5 4 कहलाती है।
मैं ध्यान देता हूं कि संकेतक अंकगणितीय माध्य, बहुलक और माध्यिका के अनुसार हैं

अलग ढंग से

चिह्नित करना

डेटा,

प्राप्त

परिणाम

अवलोकन.

तृतीय. कौशल और क्षमताओं का निर्माण।
पहला समूह. क्रमित और अक्रमित श्रृंखला की माध्यिका ज्ञात करने के लिए सूत्र लागू करने पर अभ्यास। 1.
№ 186.
समाधान: a) श्रृंखला के सदस्यों की संख्या पी= 9; MEDIAN हुंह= 41; बी) पी= 7, पंक्ति क्रमित है, हुंह=207; वी) पी= 6, पंक्ति क्रमित है, हुंह= = 21; जी) पी= 8, पंक्ति क्रमित है, हुंह= = 2.9. उत्तर: ए) 41; बी)207; 21 पर; घ) 2.9. छात्र मध्यिका कैसे ज्ञात करें इस पर टिप्पणी करते हैं। 2. संख्याओं की श्रृंखला का अंकगणितीय माध्य और माध्यिका ज्ञात करें: a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; वी); 1. बी) 56, 58, 64, 66, 62, 74। समाधान:माध्यिका ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक पंक्ति को क्रमित करना आवश्यक है: a) 21, 23, 27, 29, 31, 34। पी = 6; एक्स = = 27,5; हुंह==28; 20 22 2 + 2, 6 3, 2 2 + 1125 ; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 + बी) 56, 58, 62, 64, 66, 74।

सांख्यिकी में माध्यिका कैसे ज्ञात करें

पी = 6; एक्स = 63,3; हुंह= = 63; वी); 1. पी = 5; एक्स = : 5 = 3: 5 = 0,6; हुंह = . 3.
№ 188
(मौखिक रूप से)। उत्तर: हाँ; बी) नहीं; ग) नहीं; घ) हाँ. 4. यह जानना कि एक क्रमित श्रृंखला में शामिल है टीसंख्याएँ, कहाँ टी- एक विषम संख्या, उस सदस्य की संख्या को इंगित करें जो कि माध्यिका है टीबराबर: ए) 5; बी) 17; ग) 47; डी) 201. उत्तर: ए) 3; बी) 9; ग) 24; घ) 101. दूसरा समूह। संगत श्रृंखला की माध्यिका ज्ञात करने और प्राप्त परिणाम की व्याख्या करने पर व्यावहारिक कार्य। 1.
№ 189.
समाधान:श्रृंखला के सदस्यों की संख्या पी= 12. माध्यिका ज्ञात करने के लिए, श्रृंखला को क्रमबद्ध किया जाना चाहिए: 136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194। श्रृंखला की माध्यिका हुंह= = 176. आर्टेल के निम्नलिखित सदस्यों के लिए मासिक आउटपुट औसत से अधिक था: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125 ; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ⎛⎞ ++++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 67 174 178 22 xx+ + = 1) क्वित्को; 4) बोबकोव; 2) बारानोव; 5) रिलोव; 3) एंटोनोव; 6) एस्टाफ़िएव। उत्तर: 176. 2.
№ 192.
समाधान:आइए डेटा श्रृंखला को क्रमबद्ध करें: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42; श्रृंखला के सदस्यों की संख्या पी= 20. झूला ए = एक्सअधिकतम - एक्समिनट = 42 – 30 = 12. फैशन एमओ= 32 (यह मान 6 बार आता है - दूसरों की तुलना में अधिक बार)। मंझला हुंह= = 35. इस मामले में, सीमा भाग को संसाधित करने के समय में सबसे बड़ी भिन्नता दिखाती है; मोड सबसे विशिष्ट प्रसंस्करण समय मान दिखाता है; माध्य - प्रसंस्करण समय, जो टर्नर के आधे से अधिक नहीं था। उत्तर: 12; 32; 35.
चतुर्थ. पाठ सारांश.
– संख्याओं की श्रृंखला का माध्यक क्या कहलाता है? – क्या संख्याओं की श्रृंखला का माध्यिका श्रृंखला की किसी भी संख्या से मेल नहीं खा सकता है? - 2 वाली क्रमित श्रृंखला का माध्यिका कौन सी संख्या है? पीसंख्याएँ? 2 पी– 1 नंबर? - एक अव्यवस्थित श्रृंखला का माध्यिका कैसे ज्ञात करें?
गृहकार्य:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 xx + + =

बुनियादी सामान्य शिक्षा अनुभाग के लिए

मोड और माध्यिका

औसत मूल्यों में मोड और माध्यिका भी शामिल है।

माध्यिका और बहुलक का उपयोग अक्सर उन आबादी में औसत विशेषता के रूप में किया जाता है जहां औसत की गणना (अंकगणित, हार्मोनिक, आदि) असंभव या अव्यावहारिक है।

उदाहरण के लिए, ओम्स्क में 12 वाणिज्यिक मुद्रा विनिमय कार्यालयों के एक नमूना सर्वेक्षण ने इसे बेचते समय डॉलर के लिए अलग-अलग कीमतों को रिकॉर्ड करना संभव बना दिया (डॉलर की विनिमय दर -4493 रूबल पर 10 अक्टूबर, 1995 तक का डेटा)।

इस तथ्य के कारण कि शोधकर्ता के पास प्रत्येक विनिमय कार्यालय में बिक्री की मात्रा पर डेटा नहीं है, प्रति डॉलर औसत मूल्य निर्धारित करने के लिए अंकगणितीय औसत की गणना करना अव्यावहारिक है। हालाँकि, विशेषता का मान निर्धारित करना संभव है, जिसे माध्यिका (मी) कहा जाता है। मंझलारैंक की गई पंक्ति के मध्य में स्थित है और इसे आधे में विभाजित करता है।

अवर्गीकृत डेटा के लिए माध्यिका की गणना इस प्रकार है:

ए) विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 4570

बी) सूत्र का उपयोग करके माध्यिका की क्रमिक संख्या निर्धारित करें:

हमारे उदाहरण में इसका मतलब यह है कि इस मामले में माध्यिका रैंक श्रृंखला में विशेषता के छठे और सातवें मान के बीच स्थित है, क्योंकि श्रृंखला में व्यक्तिगत मानों की संख्या सम है। इस प्रकार, मी पड़ोसी मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है: 4550, 4560।

ग) व्यक्तिगत मानों की विषम संख्या के मामले में माध्यिका की गणना करने की प्रक्रिया पर विचार करें।

मान लीजिए कि हम 12 नहीं, बल्कि 11 मुद्रा विनिमय बिंदुओं का निरीक्षण करते हैं, तो रैंक की गई श्रृंखला इस तरह दिखेगी (12वें बिंदु को हटा दें):

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570

माध्यिका संख्या: NoMe = ;

छठे स्थान पर = 4560 है, जो माध्यिका है: मी = 4560। इसके दोनों तरफ समान संख्या में बिंदु हैं।

पहनावा- यह किसी दी गई जनसंख्या की इकाइयों के बीच किसी विशेषता का सबसे सामान्य मूल्य है। यह एक विशिष्ट विशेषता मान से मेल खाता है।

हमारे मामले में, प्रति डॉलर मॉडल मूल्य 4560 रूबल कहा जा सकता है: यह मान 4 बार दोहराया जाता है, अन्य सभी की तुलना में अधिक बार।

व्यवहार में, मोड और माध्यिका आमतौर पर समूहीकृत डेटा का उपयोग करके पाए जाते हैं। समूहीकरण के परिणामस्वरूप, वर्ष के लिए प्राप्त लाभ की राशि के अनुसार बैंकों के वितरण की एक श्रृंखला प्राप्त हुई (तालिका 3.6.)।

तालिका 3.6.

वर्ष के लिए प्राप्त लाभ की राशि के आधार पर बैंकों का समूहन

माध्यिका निर्धारित करने के लिए, आपको संचयी आवृत्तियों के योग की गणना करने की आवश्यकता है। कुल वृद्धि तब तक जारी रहती है जब तक कि आवृत्तियों का संचयी योग आवृत्तियों के योग के आधे से अधिक न हो जाए। हमारे उदाहरण में, संचित आवृत्तियों का योग (12) सभी मानों (20:2) के आधे से अधिक है। यह मान माध्यिका अंतराल से मेल खाता है, जिसमें माध्यिका (5.5 - 6.4) शामिल है। आइए सूत्र का उपयोग करके इसका मान निर्धारित करें:

माध्यिका वाले अंतराल का प्रारंभिक मान कहां है;

- माध्यिका अंतराल का मान;

एफ- श्रृंखला की आवृत्तियों का योग;

- माध्यिका अंतराल से पहले संचयी आवृत्तियों का योग;

- माध्यिका अंतराल की आवृत्ति.

इस प्रकार, 50% बैंकों को 6.1 मिलियन रूबल का लाभ होता है, और 50% बैंकों को 6.1 मिलियन रूबल से अधिक का लाभ होता है।

उच्चतम आवृत्ति भी अंतराल 5.5 - 6.4 से मेल खाती है, अर्थात। मोड इस अंतराल में होना चाहिए. हम सूत्र का उपयोग करके इसका मूल्य निर्धारित करते हैं:

मोड वाले अंतराल का प्रारंभिक मान कहां है;

- मोडल अंतराल का मान;

- मोडल अंतराल की आवृत्ति;

- मोडल से पहले के अंतराल की आवृत्ति;

- मोडल एक के बाद अंतराल की आवृत्ति।

दिए गए मोड सूत्र का उपयोग समान अंतराल के साथ भिन्नता श्रृंखला में किया जा सकता है।

इस प्रकार, इस आबादी में, सबसे आम लाभ का आकार 6.10 मिलियन रूबल है।

माध्यिका और बहुलक को रेखांकन द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। माध्यिका संचयी द्वारा निर्धारित होती है (चित्र 3.1.)। इसके निर्माण के लिए संचयी आवृत्तियों और आवृत्तियों की गणना करना आवश्यक है। संचयी आवृत्तियाँ दर्शाती हैं कि कितनी जनसंख्या इकाइयों के गुण मान विचाराधीन मान से अधिक नहीं हैं, और अंतराल आवृत्तियों के क्रमिक योग द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। संचयी अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करते समय, पहले अंतराल की निचली सीमा शून्य के बराबर आवृत्ति से मेल खाती है, और ऊपरी सीमा किसी दिए गए अंतराल की संपूर्ण आवृत्ति से मेल खाती है। दूसरे अंतराल की ऊपरी सीमा पहले दो अंतरालों आदि की आवृत्तियों के योग के बराबर संचयी आवृत्ति से मेल खाती है।

आइए तालिका में दिए गए आंकड़ों के अनुसार एक संचयी वक्र बनाएं। लाभ मार्जिन द्वारा बैंकों के वितरण पर 6.

एस संचयी आवृत्तियाँ

12_

_

3.7-4.6 4.6-5.5 5.5-6.4 6.4-7.3 7.3-8.2 एक्स लाभ

चावल। 3.1. लाभ मार्जिन द्वारा बैंकों की वितरण श्रृंखला का संचय:

एक्स - लाभ राशि, मिलियन रूबल,

एस-संचित आवृत्तियाँ।

माध्यिका निर्धारित करने के लिए, सबसे बड़े कोटि की ऊंचाई, जो कुल जनसंख्या आकार से मेल खाती है, को आधे में विभाजित किया गया है। परिणामी बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है, एब्सिस्सा अक्ष के समानांतर, जब तक कि यह संचयी के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए। प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज मध्यिका है।

मोड वितरण हिस्टोग्राम द्वारा निर्धारित किया जाता है। हिस्टोग्राम इस प्रकार बनाया गया है:

समान खंडों को एब्सिस्सा अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, जो स्वीकृत पैमाने पर भिन्नता श्रृंखला के अंतराल के आकार के अनुरूप होते हैं। आयतों का निर्माण खंडों पर किया जाता है, जिनका क्षेत्रफल अंतराल की आवृत्तियों (या आवृत्तियों) के समानुपाती होता है।

आंकड़ों में माध्यिका

3.2. लाभ मार्जिन द्वारा बैंकों के वितरण का एक हिस्टोग्राम दिखाया गया है (तालिका 3.6 के अनुसार)।

3.7-4.6 4.6-5.5 5.5-6.4 6.4-7.3 7.3-8.2 एक्स

चावल। 3.2. लाभ मार्जिन द्वारा वाणिज्यिक बैंकों का वितरण:

एक्स - लाभ राशि, मिलियन रूबल,

f बैंकों की संख्या है.

मोड निर्धारित करने के लिए, हम मोडल आयत के दाएं शीर्ष को पिछले आयत के ऊपरी दाएं कोने से जोड़ते हैं, और मोडल आयत के बाएं शीर्ष को बाद के आयत के ऊपरी बाएं कोने से जोड़ते हैं। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज वितरण मोड होगा।

माध्यिका (सांख्यिकी)

माध्यिका (सांख्यिकी), गणितीय आँकड़ों में, एक संख्या जो एक नमूने को दर्शाती है (उदाहरण के लिए, संख्याओं का एक सेट)। यदि सभी नमूना तत्व अलग-अलग हैं, तो माध्यिका नमूना संख्या है, जैसे कि नमूना तत्वों का बिल्कुल आधा हिस्सा उससे बड़ा है, और अन्य आधा उससे कम है। अधिक सामान्यतः, किसी नमूने के तत्वों को आरोही या अवरोही क्रम में क्रमबद्ध करके और मध्य तत्व को लेकर माध्यिका पाई जा सकती है। उदाहरण के लिए, नमूना (11, 9, 3, 5, 5) ऑर्डर करने के बाद (3, 5, 5, 9, 11) में बदल जाता है और इसका माध्य संख्या 5 है। यदि नमूने में तत्वों की संख्या सम है, तो माध्यिका को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है: संख्यात्मक डेटा के लिए, दो आसन्न मानों का आधा योग सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है (अर्थात, सेट का माध्य (1, 3, 5, 7) 4 के बराबर लिया जाता है)।

दूसरे शब्दों में, आँकड़ों में माध्यिका एक ऐसा मान है जो किसी श्रृंखला को आधे में इस प्रकार विभाजित करता है कि उसके दोनों तरफ (नीचे या ऊपर) किसी दी गई जनसंख्या में इकाइयों की संख्या समान हो।

कार्य क्रमांक 1. अंकगणितीय माध्य, मोडल और माध्यिका मानों की गणना

इस गुण के कारण, इस सूचक के कई अन्य नाम हैं: 50वाँ प्रतिशतक या 0.5 क्वांटाइल।

• औसत मूल्य
  
• मंझला
  
• पहनावा
  

माध्यिका (सांख्यिकी)

माध्यिका (सांख्यिकी), गणितीय आँकड़ों में, एक संख्या जो एक नमूने को दर्शाती है (उदाहरण के लिए, संख्याओं का एक सेट)। यदि सभी नमूना तत्व अलग-अलग हैं, तो माध्यिका नमूना संख्या है, जैसे कि नमूना तत्वों का बिल्कुल आधा हिस्सा उससे बड़ा है, और अन्य आधा उससे कम है। अधिक सामान्यतः, किसी नमूने के तत्वों को आरोही या अवरोही क्रम में क्रमबद्ध करके और मध्य तत्व को लेकर माध्यिका पाई जा सकती है। उदाहरण के लिए, नमूना (11, 9, 3, 5, 5) ऑर्डर करने के बाद (3, 5, 5, 9, 11) में बदल जाता है और इसका माध्य संख्या 5 है।

5.5 मोड और माध्यिका। असतत और अंतराल भिन्नता श्रृंखला में उनकी गणना

यदि नमूने में तत्वों की संख्या सम है, तो माध्यिका को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है: संख्यात्मक डेटा के लिए, दो आसन्न मानों का आधा योग सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है (अर्थात, सेट का माध्य (1, 3, 5, 7) को 4 के बराबर लिया जाता है)।

दूसरे शब्दों में, आँकड़ों में माध्यिका एक ऐसा मान है जो किसी श्रृंखला को आधे में इस प्रकार विभाजित करता है कि उसके दोनों तरफ (नीचे या ऊपर) किसी दी गई जनसंख्या में इकाइयों की संख्या समान हो। इस गुण के कारण, इस सूचक के कई अन्य नाम हैं: 50वाँ प्रतिशतक या 0.5 क्वांटाइल।

अंकगणित माध्य के स्थान पर माध्यिका का उपयोग तब किया जाता है जब क्रमबद्ध श्रृंखला के चरम विकल्प (सबसे छोटे और सबसे बड़े) बाकी की तुलना में अत्यधिक बड़े या अत्यधिक छोटे हो जाते हैं।

मीडियन फ़ंक्शन केंद्रीय प्रवृत्ति को मापता है, जो सांख्यिकीय वितरण में संख्याओं के समूह का केंद्र है। केंद्रीय प्रवृत्ति निर्धारित करने के तीन सबसे सामान्य तरीके हैं:

• औसत मूल्य- अंकगणित माध्य, जिसकी गणना संख्याओं के एक समूह को जोड़कर और फिर परिणामी योग को उनकी संख्या से विभाजित करके की जाती है।
  उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 3, 5, 7 और 10 का औसत 5 है, जो उनके योग 30 को उनके योग 6 से विभाजित करने का परिणाम है।
• मंझला- एक संख्या जो संख्याओं के समूह के बीच में होती है: आधी संख्याओं का मान माध्यिका से अधिक होता है, और आधी संख्याओं का मान कम होता है।
  उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 3, 5, 7 और 10 का माध्यिका 4 होगा।
• पहनावा- संख्याओं के किसी दिए गए सेट में सबसे अधिक बार पाई जाने वाली संख्या।
  उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 3, 5, 7 और 10 का बहुलक 3 होगा।

सातवीं कक्षा में बीजगणित का पाठ।

विषय: "सांख्यिकीय विशेषता के रूप में माध्यिका।"

शिक्षक एगोरोवा एन.आई.

पाठ का उद्देश्य: छात्रों में संख्याओं के समूह के माध्यिका का विचार और सरल संख्यात्मक सेटों के लिए इसकी गणना करने की क्षमता बनाना, संख्याओं के समूह के अंकगणितीय माध्य की अवधारणा को समेकित करना।

पाठ का प्रकार: नई सामग्री की व्याख्या।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण.

पाठ का विषय बताएं और उसके लक्ष्य तैयार करें।

2. पिछले ज्ञान को अद्यतन करना।

छात्रों के लिए प्रश्न:

संख्याओं के समूह का अंकगणितीय माध्य क्या है?

संख्याओं के समूह के भीतर अंकगणितीय माध्य कहाँ स्थित होता है?

संख्याओं के समूह के अंकगणितीय माध्य की विशेषता क्या है?

संख्याओं के समूह का अंकगणितीय माध्य अक्सर कहाँ उपयोग किया जाता है?

मौखिक कार्य:

संख्याओं के समूह का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए:

होमवर्क की जाँच करना.

पाठ्यपुस्तक: क्रमांक 169, क्रमांक 172।

3. नई सामग्री का अध्ययन.

पिछले पाठ में, हम संख्याओं के समूह के अंकगणितीय माध्य जैसी सांख्यिकीय विशेषता से परिचित हुए। आज हम एक अन्य सांख्यिकीय विशेषता - माध्यिका - पर एक पाठ समर्पित करेंगे।

न केवल अंकगणित माध्य यह दर्शाता है कि संख्या रेखा पर किसी समुच्चय की संख्याएँ कहाँ स्थित हैं और उनका केंद्र कहाँ है। एक अन्य संकेतक माध्यिका है।

संख्याओं के समुच्चय का माध्यिका वह संख्या है जो समुच्चय को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। "मध्य" के बजाय आप "मध्य" कह सकते हैं।

सबसे पहले, आइए उदाहरण देखें कि माध्यिका कैसे ज्ञात करें, और फिर एक सख्त परिभाषा दें।

प्रोजेक्टर का उपयोग करके निम्नलिखित मौखिक उदाहरण पर विचार करें

स्कूल वर्ष के अंत में, 7वीं कक्षा के 11 छात्रों ने 100 मीटर दौड़ मानक उत्तीर्ण किया। निम्नलिखित परिणाम दर्ज किए गए:

लोगों के दूर तक दौड़ने के बाद, पेट्या शिक्षक के पास पहुंची और पूछा कि उसका परिणाम क्या है।

"सर्वाधिक औसत परिणाम: 16.9 सेकंड," शिक्षक ने उत्तर दिया।

"क्यों?" - पेट्या हैरान थी। - आख़िरकार, सभी परिणामों का अंकगणितीय औसत लगभग 18.3 सेकंड है, और मैं एक सेकंड से भी अधिक बेहतर तरीके से दौड़ा। और सामान्य तौर पर, कात्या का परिणाम (18.4) मेरे औसत के बहुत करीब है।

“आपका परिणाम औसत है, क्योंकि पाँच लोग आपसे बेहतर दौड़े, और पाँच लोग आपसे ख़राब दौड़े। यानी, आप ठीक बीच में हैं,'' शिक्षक ने कहा।

संख्याओं के समूह की माध्यिका ज्ञात करने के लिए एक एल्गोरिदम लिखिए:

एक संख्या सेट व्यवस्थित करें (एक रैंक श्रृंखला बनाएं)।

साथ ही दिए गए संख्याओं के समूह में से "सबसे बड़ी" और "सबसे छोटी" संख्याओं को तब तक काट दें जब तक कि एक या दो संख्याएँ शेष न रह जाएँ।

यदि एक संख्या बची है तो वह माध्यिका है।

यदि दो संख्याएँ बची हैं, तो माध्यिका शेष दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य होगा।

छात्रों को स्वतंत्र रूप से संख्याओं के समूह की माध्यिका की परिभाषा तैयार करने के लिए आमंत्रित करें, फिर पाठ्यपुस्तक (पृष्ठ 40) में माध्यिका की परिभाषा पढ़ें, फिर संख्या 186 (ए, बी), संख्या 187 (ए) को हल करें। पाठ्यपुस्तक (पृष्ठ 41)।

टिप्पणी:

छात्रों का ध्यान एक महत्वपूर्ण तथ्य की ओर आकर्षित करें: माध्यिका संख्याओं के सेट के व्यक्तिगत चरम मूल्यों के महत्वपूर्ण विचलन के प्रति व्यावहारिक रूप से असंवेदनशील है। सांख्यिकी में इस गुण को स्थिरता कहा जाता है। एक सांख्यिकीय संकेतक की स्थिरता एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है; यह हमें यादृच्छिक त्रुटियों और व्यक्तिगत अविश्वसनीय डेटा के खिलाफ बीमा कराती है।

4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

समस्या को सुलझाना।

आइए x-अंकगणितीय माध्य, मी-माध्यिका को निरूपित करें।

संख्याओं का सेट: 1,3,5,7,9.

x=(1+3+5+7+9):5=25:5=5,

संख्याओं का सेट: 1,3,5,7,14.

x=(1+3+5+7+14):5=30:5=6.

ए) संख्याओं का सेट: 3,4,11,17,21

बी) संख्याओं का सेट: 17,18,19,25,28

ग) संख्याओं का सेट: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

निष्कर्ष: विषम संख्या में सदस्यों वाले संख्याओं के समूह का माध्य मध्य की संख्या के बराबर होता है।

ए) संख्याओं का एक सेट: 2, 4, 8, 9।

मैं = (4+8):2=12:2=6

बी) संख्याओं का एक सेट: 1,3,5,7,8,9।

मैं = (5+7):2=12:2=6

सम संख्या वाले पदों वाले संख्याओं के समूह का माध्य बीच की दो संख्याओं के योग के आधे के बराबर होता है।

तिमाही के दौरान छात्र को बीजगणित में निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त हुए:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

इस समुच्चय का माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए।

आइए औसत अंक, यानी अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें:

x= (5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4.4

आइए संख्याओं के इस समूह का माध्य ज्ञात करें:

आइए संख्याओं के सेट को क्रमित करें: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

केवल 10 संख्याएँ हैं, माध्यिका ज्ञात करने के लिए आपको दो मध्य संख्याएँ लेनी होंगी और उनका आधा योग ज्ञात करना होगा।

मैं = (5+5):2 = 5

छात्रों के लिए प्रश्न: यदि आप शिक्षक होते, तो आप इस छात्र को तिमाही के लिए कौन सा ग्रेड देते? आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

कंपनी के अध्यक्ष को 300,000 रूबल का वेतन मिलता है। उनके तीन प्रतिनिधियों को प्रत्येक को 150,000 रूबल मिलते हैं, चालीस कर्मचारियों को - 50,000 रूबल प्रत्येक को। और सफाई करने वाली महिला का वेतन 10,000 रूबल है। कंपनी में वेतन का अंकगणितीय माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। इनमें से कौन सी विशेषता राष्ट्रपति के लिए विज्ञापन उद्देश्यों के लिए उपयोग करना अधिक लाभदायक है?

x = (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:45=61333.33 (रगड़)

नंबर 6. मौखिक रूप से.

ए) किसी समुच्चय में कितनी संख्याएँ हैं यदि उसका नौवाँ पद उसकी माध्यिका है?

बी) किसी समुच्चय में कितनी संख्याएँ हैं यदि इसका माध्यिका 7वें और 8वें पदों का अंकगणितीय माध्य है?

सी) सात संख्याओं के एक सेट में, सबसे बड़ी संख्या में 14 की वृद्धि होती है। क्या इससे अंकगणितीय माध्य और माध्यिका बदल जाएगी?

डी) सेट में प्रत्येक संख्या में 3 की वृद्धि की जाती है। अंकगणितीय माध्य और माध्यिका का क्या होता है?

दुकान में मिठाइयाँ वजन के हिसाब से बेची जाती हैं। यह जानने के लिए कि एक किलोग्राम में कितनी कैंडी होती हैं, माशा ने एक कैंडी का वजन जानने का फैसला किया। उसने कई मिठाइयाँ तोलीं और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किये:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

दोनों विशेषताएँ एक कैंडी के वजन का अनुमान लगाने के लिए उपयुक्त हैं, क्योंकि वे एक-दूसरे से बहुत भिन्न नहीं हैं।

इसलिए, सांख्यिकीय जानकारी को चिह्नित करने के लिए, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका का उपयोग किया जाता है। कई मामलों में, किसी एक विशेषता का कोई सार्थक अर्थ नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, सड़क दुर्घटनाओं के समय के बारे में जानकारी होने पर, इन आंकड़ों के अंकगणितीय औसत के बारे में बात करना शायद ही समझ में आता है)।

गृहकार्य: पैराग्राफ 10, संख्या 186 (सी, डी), संख्या 190।

5. पाठ सारांश. प्रतिबिंब।

1. "सांख्यिकीय अनुसंधान: सांख्यिकीय डेटा का संग्रह और समूहन"

   पाठ

   … विषय, सातवें के लिए प्रस्तावित कक्षा. विषयगत योजना। § 1. सांख्यिकीयविशेषताएँ. पी 1. अंकगणितीय माध्य, सीमा और मोड 1एच। पी 2. मंझलाकैसेसांख्यिकीयविशेषता …

2. ग्रेड 7 (बुनियादी स्तर) में बीजगणित पाठ्यक्रम का कार्य कार्यक्रम व्याख्यात्मक नोट

   कार्य कार्यक्रम

   ... खंड 10 मंझलाकैसेसांख्यिकीयविशेषता 23 पृष्ठ 9 अंकगणितीय माध्य, सीमा और बहुलक 24 परीक्षा क्रमांक 2 पर विषय …

3. कार्य कार्यक्रम. अंक शास्त्र। 5वीं कक्षा पी. कनाशी. 2011

   कार्य कार्यक्रम

   ... समीकरण. अंकगणितीय माध्य, सीमा और बहुलक। मंझलाकैसेसांख्यिकीयविशेषता. लक्ष्य ... और अर्जित कौशल के बारे में जानकारी को व्यवस्थित और सारांशित करना है पाठके अनुसार विषय(कुंआ बीजगणित 10 कक्षा). 11 कक्षा(सप्ताह में 4 घंटे...

4. आदेश संख्या 51 दिनांक "30" अगस्त 2012 बीजगणित 7वीं कक्षा के लिए कार्य कार्यक्रम

   कार्य कार्यक्रम

   ... शैक्षणिक सामग्री मंझलाकैसेसांख्यिकीयविशेषताअंकगणितीय माध्य, सीमा, बहुलक और की परिभाषा जानें माध्यिकाओंकैसेसांख्यिकीयविशेषताएँललाट और व्यक्तिगत...

5. गणित में कार्य कार्यक्रम ग्रेड 7 द्वितीय स्तर बुनियादी स्तर (1)

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1906 में, महान वैज्ञानिक और प्रसिद्ध यूजीनिस्ट फ्रांसिस गैल्टन ने पश्चिमी इंग्लैंड में पशुधन और मुर्गी पालन में उपलब्धियों की वार्षिक प्रदर्शनी का दौरा किया, जहां, संयोग से, उन्होंने एक दिलचस्प प्रयोग किया।

जैसा कि द विजडम ऑफ क्राउड्स के लेखक जेम्स सुरोवेकी कहते हैं, मेले में गैल्टन की दिलचस्पी एक प्रतियोगिता में थी जिसमें लोगों को मारे गए बैल के वजन का अनुमान लगाना था। जिसने वास्तविक संख्या के निकटतम संख्या बताई उसे विजेता घोषित किया गया।

गैल्टन को आम लोगों की बौद्धिक क्षमताओं के प्रति अवमानना ​​के लिए जाना जाता था। उनका मानना ​​था कि केवल सच्चे विशेषज्ञ ही बैल के वजन के बारे में सटीक बयान दे पाएंगे। वहीं प्रतियोगिता में भाग लेने वाले 787 प्रतिभागी विशेषज्ञ नहीं थे.

वैज्ञानिक प्रतिभागियों के उत्तरों के औसत की गणना करके भीड़ की अक्षमता साबित करने जा रहे थे। उसके आश्चर्य की कल्पना कीजिए जब यह पता चला कि उसने जो परिणाम प्राप्त किया वह लगभग बैल के वास्तविक वजन के अनुरूप था!

औसत - देर से आविष्कार

बेशक, उत्तर की सटीकता ने शोधकर्ता को आश्चर्यचकित कर दिया। लेकिन इससे भी अधिक उल्लेखनीय तथ्य यह है कि गैल्टन ने औसत मूल्य का उपयोग करने के बारे में भी सोचा।

आज की दुनिया में, हर मोड़ पर औसत और तथाकथित माध्यिकाएँ पाई जाती हैं: अप्रैल में न्यूयॉर्क में औसत तापमान 52 डिग्री फ़ारेनहाइट है; स्टीफन करी का प्रति गेम औसत 30 अंक है; अमेरिका में औसत पारिवारिक आय $51,939/वर्ष है।

हालाँकि, यह विचार कि कई अलग-अलग परिणामों को एक ही संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है, काफी नया है। 17वीं सदी तक औसतों का बिल्कुल भी उपयोग नहीं किया जाता था।

औसत और माध्यिका की अवधारणा कैसे उभरी और विकसित हुई? और यह हमारे समय में मुख्य मापने की तकनीक कैसे बन गई?

मध्यस्थों पर औसत के प्रभुत्व के सूचना की हमारी समझ पर दूरगामी परिणाम हुए हैं। और अक्सर इसने लोगों को भटका दिया।

माध्य और माध्यिका मान

कल्पना कीजिए कि आप उन चार लोगों के बारे में कहानी बता रहे हैं जिन्होंने कल रात एक रेस्तरां में आपके साथ खाना खाया था। आप उनमें से एक को 20 साल, दूसरे को 30, तीसरे को 40 और चौथे को 50 साल देंगे। आप अपनी कहानी में उनकी उम्र के बारे में क्या कहेंगे?

सबसे अधिक संभावना है कि आप उन्हें अधेड़ उम्र कहेंगे।

औसत का उपयोग अक्सर किसी चीज़ के बारे में जानकारी देने के लिए, साथ ही माप के एक सेट का वर्णन करने के लिए किया जाता है। तकनीकी रूप से, औसत वह है जिसे गणितज्ञ "अंकगणितीय माध्य" कहते हैं - माप की संख्या से विभाजित सभी मापों का योग।

हालाँकि औसत शब्द का प्रयोग अक्सर माध्यिका के पर्याय के रूप में किया जाता है, बाद वाला अक्सर किसी चीज़ के मध्य को संदर्भित करता है। यह शब्द लैटिन "मीडियानस" से आया है, जिसका अर्थ है "मध्य"।

प्राचीन ग्रीस में माध्यिका मान

औसत मूल्य का इतिहास प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस की शिक्षाओं से शुरू होता है। पाइथागोरस और उनके स्कूल के लिए, माध्यिका की एक स्पष्ट परिभाषा थी और यह उससे बहुत अलग थी जिस तरह से हम आज माध्य को समझते हैं। इसका उपयोग केवल गणित में किया गया था, डेटा विश्लेषण में नहीं।

पाइथागोरस स्कूल में, माध्यिका मान संख्याओं के तीन-अवधि अनुक्रम में मध्य संख्या थी, जो इसके पड़ोसी शब्दों के संबंध में "बराबर" थी। एक "समान" रिश्ते का मतलब समान दूरी हो सकता है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला 2,4,6 में संख्या 4। हालाँकि, यह एक ज्यामितीय प्रगति को भी व्यक्त कर सकता है, जैसे अनुक्रम 1,10,100 में 10।

सांख्यिकीविद् चर्चिल आइजनहार्ट बताते हैं कि प्राचीन ग्रीस में, संख्याओं के किसी भी सेट को दर्शाने या बदलने के लिए औसत मूल्य का उपयोग नहीं किया जाता था। यह केवल मध्य को दर्शाता था, और अक्सर गणितीय प्रमाणों में इसका उपयोग किया जाता था।

आइज़ेनहार्ट ने माध्य और माध्यिका का अध्ययन करने में दस साल बिताए। प्रारंभ में, उन्होंने प्रारंभिक वैज्ञानिक निर्माणों में माध्यिका के प्रतिनिधि कार्य को खोजने का प्रयास किया। इसके बजाय, हालांकि, उन्होंने पाया कि अधिकांश प्रारंभिक भौतिक विज्ञानी और खगोलशास्त्री एकल, चतुर मापों पर भरोसा करते थे और कई अवलोकनों में से सर्वोत्तम परिणाम का चयन करने के लिए एक पद्धति का अभाव था।

आधुनिक शोधकर्ता बड़ी मात्रा में डेटा एकत्र करने के आधार पर अपने निष्कर्ष निकालते हैं, जैसे जीवविज्ञानी मानव जीनोम का अध्ययन करते हैं। प्राचीन वैज्ञानिक कई माप ले सकते थे, लेकिन उन्होंने अपने सिद्धांत बनाने के लिए केवल सर्वश्रेष्ठ को ही चुना।

जैसा कि खगोल विज्ञान के इतिहासकार ओटो नेउगेबाउर ने लिखा है, "यह विज्ञान में अनुभवजन्य डेटा की मात्रा को कम करने की प्राचीन लोगों की सचेत इच्छा के अनुरूप है, क्योंकि वे प्रत्यक्ष अवलोकन की सटीकता में विश्वास नहीं करते थे।"

उदाहरण के लिए, यूनानी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री टॉलेमी ने अवलोकन विधियों और पृथ्वी की गति के सिद्धांत का उपयोग करके चंद्रमा के कोणीय व्यास की गणना की। उनका रिजल्ट 31'20 रहा. आज हम जानते हैं कि चंद्रमा का व्यास पृथ्वी से उसकी दूरी के आधार पर 29'20 से 34'6 तक है। टॉलेमी ने अपनी गणनाओं में बहुत कम डेटा का उपयोग किया, लेकिन उनके पास यह विश्वास करने का हर कारण था कि वे सटीक थे।

आइजनहार्ट लिखते हैं: “यह ध्यान में रखना चाहिए कि अवलोकन और सिद्धांत के बीच का संबंध प्राचीन काल में आज की तुलना में भिन्न था। अवलोकनों के परिणामों को उन तथ्यों के रूप में नहीं समझा गया जिनके साथ सिद्धांत को समायोजित किया जाना चाहिए, बल्कि विशिष्ट मामलों के रूप में समझा गया जो केवल सिद्धांत की सच्चाई के उदाहरण के रूप में उपयोगी हो सकते हैं।"

वैज्ञानिक अंततः डेटा के प्रतिनिधि उपायों की ओर रुख करेंगे, लेकिन शुरुआत में इस भूमिका में न तो साधन और न ही मध्यस्थों का उपयोग किया गया था। प्राचीन काल से लेकर आज तक, एक और गणितीय अवधारणा का उपयोग ऐसे प्रतिनिधि साधन के रूप में किया जाता रहा है: चरम मूल्यों का आधा योग।

चरम मूल्यों का आधा योग

नए वैज्ञानिक उपकरण लगभग हमेशा किसी अनुशासन में किसी विशिष्ट समस्या को हल करने की आवश्यकता से उत्पन्न होते हैं। भौगोलिक स्थिति को सटीक रूप से निर्धारित करने की आवश्यकता से कई मापों के बीच सर्वोत्तम मूल्य खोजने की आवश्यकता उत्पन्न हुई।

11वीं सदी के बौद्धिक दिग्गज अल-बिरूनी को प्रतिनिधि अर्थों की पद्धति का उपयोग करने वाले पहले लोगों में से एक के रूप में जाना जाता है। अल-बिरूनी ने लिखा है कि जब उसके पास कई माप थे और वह उनमें से सर्वश्रेष्ठ को खोजना चाहता था, तो उसने निम्नलिखित "नियम" का उपयोग किया: आपको दो चरम मूल्यों के बीच के अनुरूप संख्या को खोजने की आवश्यकता है। चरम मानों के आधे योग की गणना करते समय अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच की सभी संख्याओं को ध्यान में नहीं रखा जाता है, बल्कि केवल इन दो संख्याओं का औसत निकाला जाता है।

अल-बिरूनी ने इस पद्धति का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया, जिसमें आधुनिक अफगानिस्तान में स्थित गजनी शहर के देशांतर की गणना के साथ-साथ धातुओं के गुणों के अध्ययन में भी शामिल था।

हालाँकि, पिछली कुछ शताब्दियों में, चरम मूल्यों के आधे योग का उपयोग कम और कम किया गया है। वस्तुतः आधुनिक विज्ञान में यह बिल्कुल भी प्रासंगिक नहीं है। आधे योग को माध्यिका मान से प्रतिस्थापित कर दिया गया है।

औसत पर जा रहे हैं

19वीं सदी की शुरुआत तक, माध्यिका/माध्य मान का उपयोग डेटा के एक समूह से सबसे सटीक प्रतिनिधि मान खोजने का एक सामान्य तरीका बन गया। अपने समय के उत्कृष्ट गणितज्ञ फ्रेडरिक वॉन गॉस ने 1809 में लिखा था: “यह माना जाता था कि यदि एक निश्चित संख्या समान परिस्थितियों में किए गए कई प्रत्यक्ष अवलोकनों द्वारा निर्धारित की गई है, तो अंकगणितीय माध्य सबसे सच्चा मूल्य है। यदि यह पूरी तरह से सख्त नहीं है, तो कम से कम यह वास्तविकता के करीब है, और इसलिए आप हमेशा इस पर भरोसा कर सकते हैं।

कार्यप्रणाली में यह बदलाव क्यों आया?

इस सवाल का जवाब देना काफी मुश्किल है. अपने अध्ययन में, चर्चिल आइजनहार्ट ने सुझाव दिया है कि अंकगणितीय माध्य खोजने की विधि चुंबकीय विचलन को मापने के क्षेत्र में उत्पन्न हुई होगी, अर्थात, उत्तर की ओर इशारा करने वाली कम्पास सुई की दिशा और वास्तविक उत्तर की दिशा के बीच अंतर खोजने में। महान भौगोलिक खोज के युग के दौरान यह आयाम अत्यंत महत्वपूर्ण था।

आइजनहार्ट ने पाया कि 16वीं शताब्दी के अंत तक, चुंबकीय विक्षेपण को मापने वाले अधिकांश वैज्ञानिक सबसे सटीक माप चुनने में तदर्थ विधि (लैटिन में "इस के लिए, इस अवसर के लिए, इस उद्देश्य के लिए") का उपयोग करते थे।

लेकिन 1580 में वैज्ञानिक विलियम बरो ने इस समस्या को अलग ढंग से देखा। उन्होंने विक्षेपण के आठ अलग-अलग माप लिए और उनकी तुलना करने के बाद निष्कर्ष निकाला कि सबसे सटीक मान 11 ⅓ और 11 ¼ डिग्री के बीच था। उन्होंने संभवतः एक अंकगणितीय माध्य की गणना की थी जो इसी सीमा में था। हालाँकि, बोरो ने स्वयं खुले तौर पर अपने दृष्टिकोण को एक नई पद्धति नहीं कहा।

1635 से पहले, औसत को प्रतिनिधि संख्या के रूप में उपयोग करने के कोई स्पष्ट मामले नहीं थे। हालाँकि, तब अंग्रेजी खगोलशास्त्री हेनरी गेलिब्रांड ने चुंबकीय विक्षेपण के दो अलग-अलग माप लिए थे। उनमें से एक सुबह (11 डिग्री) और दूसरा दोपहर (11 डिग्री और 32 मिनट) में लिया गया था। सबसे सच्चे मूल्य की गणना करते हुए उन्होंने लिखा:

"यदि हम अंकगणितीय माध्य पाते हैं, तो हम उच्च संभावना के साथ कह सकते हैं कि सटीक माप का परिणाम लगभग 11 डिग्री 16 मिनट होना चाहिए।"

यह संभव है कि यह पहली बार था कि औसत मूल्य का उपयोग वास्तविक मूल्य के निकटतम के रूप में किया गया था!

"औसत" शब्द का प्रयोग अंग्रेजी में 16वीं सदी की शुरुआत में किसी यात्रा के दौरान जहाज या उसके माल को हुए नुकसान से होने वाले वित्तीय नुकसान को दर्शाने के लिए किया जाता था। अगले सौ वर्षों में, इसने इन नुकसानों को सटीक रूप से निर्दिष्ट किया, जिनकी गणना अंकगणितीय औसत के रूप में की गई थी। उदाहरण के लिए, यदि यात्रा के दौरान एक जहाज क्षतिग्रस्त हो गया था और चालक दल को जहाज के वजन को बनाए रखने के लिए कुछ सामान जहाज पर फेंकना पड़ा था, तो निवेशकों को उनके निवेश की राशि के बराबर वित्तीय नुकसान होगा - इन नुकसानों की गणना उसी तरह की गई थी जैसे अंकगणितीय औसत. इस प्रकार धीरे-धीरे औसत और अंकगणितीय माध्य के मान करीब आ गए।

माध्य मान

आजकल, माप के एक सेट के लिए प्रतिनिधि मान का चयन करने के लिए माध्य या अंकगणितीय माध्य का उपयोग प्राथमिक विधि के रूप में किया जाता है। यह कैसे हो गया? इस भूमिका को माध्यिका मान क्यों नहीं दिया गया?

फ़्रांसिस गैल्टन माध्यिका के चैंपियन थे

शब्द "माध्यिका" - संख्याओं की श्रृंखला में मध्य पद जो श्रृंखला को आधे में विभाजित करता है - अंकगणितीय माध्य के लगभग उसी समय प्रकट हुआ। 1599 में, गणितज्ञ एडवर्ड राइट ने, सामान्य कम्पास विचलन की समस्या पर काम करते हुए, पहली बार माध्यिका मान के उपयोग का प्रस्ताव रखा।

“...मान लीजिए कि बहुत सारे तीरंदाज़ एक निश्चित लक्ष्य पर निशाना लगा रहे हैं। बाद में लक्ष्य हटा दिया जाता है. आप कैसे पता लगा सकते हैं कि लक्ष्य कहाँ था? आपको सभी तीरों के बीच का मध्य स्थान ढूंढना होगा। इसी तरह, कई अवलोकन परिणामों में से, बीच वाला सत्य के सबसे करीब होगा।”

उन्नीसवीं सदी में माध्यिका का व्यापक रूप से उपयोग किया गया, जो उस समय किसी भी डेटा विश्लेषण का एक आवश्यक हिस्सा बन गया। इसका उपयोग उन्नीसवीं सदी के उत्कृष्ट विश्लेषक फ्रांसिस गैल्टन द्वारा भी किया गया था। इस लेख की शुरुआत में बताई गई बैल के वजन की कहानी में, गैल्टन ने शुरुआत में भीड़ की राय का प्रतिनिधित्व करने के लिए औसत मूल्य का उपयोग किया था।

गैल्टन सहित कई विश्लेषकों ने माध्यिका को प्राथमिकता दी क्योंकि छोटे डेटा सेट के लिए गणना करना आसान है।

हालाँकि, माध्यिका कभी भी माध्य से अधिक लोकप्रिय नहीं रही है। यह संभवतः माध्य में निहित विशेष सांख्यिकीय गुणों के साथ-साथ सामान्य वितरण के साथ इसके संबंध के कारण था।

माध्य और सामान्य वितरण के बीच संबंध

जब हम कई माप लेते हैं, तो परिणाम, जैसा कि सांख्यिकीविद् कहते हैं, "सामान्य रूप से वितरित" होते हैं। इसका मतलब यह है कि यदि इस डेटा को एक ग्राफ़ पर प्लॉट किया जाता है, तो उस पर बिंदु एक घंटी के समान कुछ दर्शाएंगे। यदि आप उन्हें जोड़ते हैं, तो आपको एक "घंटी के आकार का" वक्र मिलता है। कई आँकड़े सामान्य वितरण से मेल खाते हैं, जैसे लोगों की ऊँचाई, बुद्धि और उच्चतम वार्षिक तापमान।

जब डेटा सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो माध्य बेल वक्र पर उच्चतम बिंदु के बहुत करीब होगा, और बहुत बड़ी संख्या में माप माध्य के करीब होंगे। यहां तक ​​कि एक सूत्र भी है जो भविष्यवाणी करता है कि कितने माप औसत से कुछ दूरी पर गिरेंगे।

इस प्रकार, औसत की गणना करने से शोधकर्ताओं को बहुत सारी अतिरिक्त जानकारी मिलती है।

औसत मान और मानक विचलन के बीच संबंध इसे एक बड़ा लाभ देता है, क्योंकि औसत मूल्य में ऐसा कोई संबंध नहीं होता है। यह कनेक्शन प्रायोगिक डेटा के विश्लेषण और सूचना के सांख्यिकीय प्रसंस्करण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। यही कारण है कि औसत सांख्यिकी और सभी विज्ञानों का मूल बन गया है जो अपने निष्कर्ष निकालने के लिए कई डेटा पर भरोसा करते हैं।

औसत का लाभ इस तथ्य के कारण भी है कि इसकी गणना कंप्यूटर द्वारा आसानी से की जाती है। हालाँकि डेटा के एक छोटे समूह के लिए औसत मान की गणना स्वयं करना काफी आसान है, लेकिन माध्य ज्ञात करने वाला कंप्यूटर प्रोग्राम लिखना बहुत आसान है। यदि आप माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल का उपयोग करते हैं, तो आप शायद जानते होंगे कि माध्य फ़ंक्शन की गणना करना माध्य फ़ंक्शन जितना आसान नहीं है।

परिणामस्वरूप, इसके महान वैज्ञानिक महत्व और उपयोग में आसानी के कारण, औसत मूल्य मुख्य प्रतिनिधि मूल्य बन गया। हालाँकि, यह विकल्प हमेशा सर्वोत्तम नहीं होता है.

माध्यिका मान के लाभ

कई मामलों में जब हम किसी वितरण के केंद्रीय मूल्य की गणना करना चाहते हैं, तो औसत मूल्य एक बेहतर माप होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि औसत मूल्य काफी हद तक चरम माप परिणामों से निर्धारित होता है।

कई विश्लेषकों का मानना ​​है कि औसत के बिना सोचे-समझे उपयोग से मात्रात्मक जानकारी की हमारी समझ पर नकारात्मक प्रभाव पड़ता है। लोग औसत को देखते हैं और सोचते हैं कि यह "आदर्श" है। लेकिन वास्तव में, यह किसी एक सदस्य द्वारा निर्धारित किया जा सकता है जो एक सजातीय श्रृंखला से मजबूती से खड़ा होता है।

कल्पना कीजिए कि एक विश्लेषक पाँच घरों का प्रतिनिधि मूल्य जानना चाहता है। चार घरों की कीमत $100,000 है, और पांचवें की कीमत $900,000 है। इसलिए माध्य $200,000 होगा और माध्य $100,000 होगा। इसमें, कई अन्य मामलों की तरह, औसत मूल्य एक बेहतर समझ प्रदान करता है जिसे "मानक" कहा जा सकता है।

यह पहचानते हुए कि चरम मूल्य औसत को कितना प्रभावित कर सकते हैं, औसत का उपयोग अमेरिकी घरेलू आय में परिवर्तन को प्रतिबिंबित करने के लिए किया जाता है।

आज विश्लेषक जिस गंदे डेटा से निपटते हैं, उसके प्रति मध्यस्थ भी कम संवेदनशील हैं। कई सांख्यिकीविद् और विश्लेषक इंटरनेट पर लोगों का सर्वेक्षण करके जानकारी एकत्र करते हैं। यदि उपयोगकर्ता गलती से उत्तर में एक अतिरिक्त शून्य जोड़ देता है, जो 100 को 1000 में बदल देता है, तो इस त्रुटि का माध्यिका की तुलना में माध्य पर अधिक गहरा प्रभाव पड़ेगा।

औसत या औसत?

स्वास्थ्य पर दवाओं के प्रभाव के बारे में हमारी समझ से लेकर एक मानक घरेलू बजट क्या होना चाहिए, इसके बारे में हमारी जानकारी तक, माध्य और माध्य के बीच चुनाव के दूरगामी परिणाम होते हैं।

जैसे-जैसे डेटा संग्रह और विश्लेषण तेजी से यह आकार देता है कि हम दुनिया को कैसे समझते हैं, वैसे ही हमारे द्वारा उपयोग की जाने वाली मात्राओं का मूल्य भी बदलता है। एक आदर्श दुनिया में, विश्लेषक डेटा को ग्राफिक रूप से व्यक्त करने के लिए माध्य और माध्यिका दोनों का उपयोग करेंगे।

लेकिन हम सीमित समय और ध्यान की स्थितियों में रहते हैं। इन सीमाओं के कारण, हमें अक्सर केवल एक ही चीज़ चुनने की ज़रूरत होती है। और कई मामलों में, औसत मूल्य बेहतर होता है।