घातीय समीकरण क्या है और इसे कैसे हल करें? घातांकीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

अंतिम परीक्षा की तैयारी के चरण में, हाई स्कूल के छात्रों को "घातीय समीकरण" विषय पर अपने ज्ञान में सुधार करने की आवश्यकता है। पिछले वर्षों का अनुभव बताता है कि ऐसे कार्य स्कूली बच्चों के लिए कुछ कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। इसलिए, हाई स्कूल के छात्रों को, उनकी तैयारी के स्तर की परवाह किए बिना, सिद्धांत में पूरी तरह से महारत हासिल करने, सूत्रों को याद रखने और ऐसे समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। इस प्रकार की समस्या से निपटना सीख लेने के बाद, स्नातक गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करते समय उच्च अंकों पर भरोसा कर सकते हैं।

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बुनियादी परिभाषाएँ और सूत्र "सैद्धांतिक पृष्ठभूमि" अनुभाग में प्रस्तुत किए गए हैं।

सामग्री को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप असाइनमेंट पूरा करने का अभ्यास करें। गणना एल्गोरिथ्म को समझने के लिए इस पृष्ठ पर प्रस्तुत समाधानों के साथ घातीय समीकरणों के उदाहरणों की सावधानीपूर्वक समीक्षा करें। उसके बाद, "निर्देशिकाएँ" अनुभाग में कार्य करने के लिए आगे बढ़ें। आप सबसे आसान कार्यों से शुरुआत कर सकते हैं या कई अज्ञात या के साथ जटिल घातीय समीकरणों को हल करने के लिए सीधे जा सकते हैं। हमारी वेबसाइट पर अभ्यासों का डेटाबेस लगातार पूरक और अद्यतन किया जाता है।

संकेतकों वाले वे उदाहरण जिनके कारण आपको कठिनाई हुई, उन्हें "पसंदीदा" में जोड़ा जा सकता है। इस तरह आप उन्हें तुरंत ढूंढ सकते हैं और अपने शिक्षक के साथ समाधान पर चर्चा कर सकते हैं।

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घातांकीय समीकरण वे होते हैं जिनमें घातांक में अज्ञात समाहित होता है। सबसे सरल घातीय समीकरण का रूप है: a x = a b, जहां a> 0, a 1, x अज्ञात है।

घातों के मुख्य गुण जिनके द्वारा घातीय समीकरण परिवर्तित होते हैं: a>0, b>0।

घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, घातांकीय फलन के निम्नलिखित गुणों का भी उपयोग किया जाता है: y = a x, a > 0, a1:

किसी संख्या को घात के रूप में दर्शाने के लिए, मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग करें: b = , a > 0, a1, b > 0.

"घातीय समीकरण" विषय पर समस्याएं और परीक्षण

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घातीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको घातों के मूल गुण, घातीय फ़ंक्शन के गुण और बुनियादी लघुगणकीय पहचान को जानना चाहिए।

घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, दो मुख्य विधियों का उपयोग किया जाता है:

1. समीकरण a f(x) = a g(x) से समीकरण f(x) = g(x) में संक्रमण;
2. नई लाइनों की शुरूआत.

उदाहरण।

1. समीकरणों को सरलतम में घटाया गया। इन्हें समीकरण के दोनों पक्षों को समान आधार वाली घात में घटाकर हल किया जाता है।

3 एक्स = 9 एक्स - 2.

समाधान:

3 एक्स = (3 2) एक्स – 2 ;
3 एक्स = 3 2एक्स – 4 ;
एक्स = 2एक्स -4;
एक्स = 4.

उत्तर: 4.

2. कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालकर समीकरण हल किए गए।

समाधान:

3 एक्स - 3 एक्स - 2 = 24
3 एक्स – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 एक्स – 2 = 3
एक्स - 2 = 1
एक्स = 3.

उत्तर: 3.

3. चर के परिवर्तन का उपयोग करके समीकरण हल किए गए।

समाधान:

2 2x + 2 x – 12 = 0
हम 2 x = y दर्शाते हैं।
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि 2 एक्स > 0.
बी) 2 एक्स = 3; 2 एक्स = 2 लॉग 2 3 ; एक्स = लॉग 2 3.

उत्तर:लॉग 2 3.

4. दो अलग-अलग (एक-दूसरे के लिए कम करने योग्य नहीं) आधारों वाली शक्तियों वाले समीकरण।

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 एक्स - 2 = 5 एक्स - 2
(5/2) x-2 = 1
एक्स - 2 = 0
एक्स = 2.

उत्तर: 2.

5. ऐसे समीकरण जो a x और b x के संबंध में सजातीय हैं।

सामान्य फ़ॉर्म: ।

9 x + 4 x = 2.5 × 6 x.

समाधान:

3 2x – 2.5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
आइए हम (3/2) x = y को निरूपित करें।
y 2 – 2.5y + 1 = 0,
आप 1 = 2; आप 2 = ½.

उत्तर:लॉग 3/2 2; - लॉग 3/2 2.

घातांकीय समीकरणों को हल करना. उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

क्या हुआ है घातीय समीकरण? यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ भाव हैं संकेतककुछ डिग्री. और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

वहां आप हैं घातीय समीकरणों के उदाहरण:

3 x 2 x = 8 x+3

टिप्पणी! डिग्रियों के आधार में (नीचे) - केवल संख्याएँ. में संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ अभिव्यक्ति की एक विस्तृत विविधता। यदि, अचानक, एक संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में एक एक्स दिखाई देता है, उदाहरण के लिए:

यह पहले से ही मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं होते हैं। फिलहाल हम उन पर विचार नहीं करेंगे. यहां हम निपटेंगे घातीय समीकरणों को हल करनाअपने शुद्धतम रूप में.

वास्तव में, शुद्ध घातीय समीकरण भी हमेशा स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं। लेकिन कुछ प्रकार के घातीय समीकरण हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और हल किया जाना चाहिए। ये वे प्रकार हैं जिन पर हम विचार करेंगे।

सरल घातीय समीकरणों को हल करना।

सबसे पहले, आइए कुछ बहुत ही बुनियादी समाधान करें। उदाहरण के लिए:

बिना किसी सिद्धांत के भी, सरल चयन से यह स्पष्ट है कि x = 2. और कुछ नहीं, ठीक!? X का कोई अन्य मान कार्य नहीं करता. आइए अब इस पेचीदा घातीय समीकरण के समाधान पर नजर डालें:

हमने क्या किया है? वास्तव में, हमने समान आधारों (ट्रिपल्स) को ही बाहर फेंक दिया। पूरी तरह से बाहर फेंक दिया गया. और, अच्छी ख़बर यह है कि हमने सही निर्णय लिया है!

दरअसल, यदि किसी घातीय समीकरण में बाएँ और दाएँ होते हैं जो उसीकिसी भी घात में संख्याएँ, इन संख्याओं को हटाया जा सकता है और घातांक को बराबर किया जा सकता है। गणित अनुमति देता है. अभी बहुत सरल समीकरण को हल करना बाकी है। बढ़िया, ठीक है?)

हालाँकि, आइए दृढ़ता से याद रखें: आप आधार केवल तभी हटा सकते हैं जब बाएँ और दाएँ आधार संख्याएँ शानदार अलगाव में हों!बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। आइए समीकरणों में कहें:

2 x +2 x+1 = 2 3, या

दो को हटाया नहीं जा सकता!

खैर, हमने सबसे महत्वपूर्ण चीज़ में महारत हासिल कर ली है। दुष्ट घातांकीय अभिव्यक्तियों से सरल समीकरणों की ओर कैसे बढ़ें।

"वह समय है!" - आप बताओ। "परीक्षाओं और परीक्षाओं पर इतना आदिम पाठ कौन देगा?"

मुझे सहमत होना होगा. कोई नहीं होगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि पेचीदा उदाहरणों को हल करते समय लक्ष्य कहाँ रखना है। इसे उस फॉर्म में लाना होगा जहां बाईं और दाईं ओर समान आधार संख्या हो। फिर सब कुछ आसान हो जाएगा. दरअसल, यह गणित का एक क्लासिक है। हम मूल उदाहरण लेते हैं और उसे वांछित में बदल देते हैं हमदिमाग। निःसंदेह, गणित के नियमों के अनुसार।

आइए ऐसे उदाहरण देखें जिन्हें सरलतम बनाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। चलिए उन्हें बुलाते हैं सरल घातीय समीकरण.

सरल घातीय समीकरणों को हल करना। उदाहरण।

घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम हैं डिग्री के साथ कार्रवाईइन क्रियाओं के ज्ञान के बिना कोई काम नहीं चलेगा।

डिग्री वाले कार्यों में व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता जोड़नी होगी। क्या हमें समान आधार संख्या की आवश्यकता है? इसलिए हम उदाहरण में उन्हें स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में देखते हैं।

आइए देखें कि व्यवहार में यह कैसे किया जाता है?

आइए हमें एक उदाहरण दिया जाए:

2 2x - 8 x+1 = 0

पहली पैनी नजर है मैदान.वे...वे अलग हैं! दो और आठ. लेकिन अभी निराश होना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है

दो और आठ डिग्री में रिश्तेदार हैं।) यह लिखना काफी संभव है:

8 x+1 = (2 3) x+1

यदि हम डिग्री के साथ संक्रियाओं के सूत्र को याद करें:

(ए एन) एम = ए एनएम,

यह बढ़िया काम करता है:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

मूल उदाहरण इस तरह दिखने लगा:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

हम हस्तांतरण 2 3 (x+1)दाईं ओर (किसी ने गणित की प्रारंभिक संक्रियाओं को रद्द नहीं किया है!), हमें मिलता है:

2 2x = 2 3(x+1)

व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। आधार हटाना:

हम इस राक्षस को सुलझाते हैं और प्राप्त करते हैं

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, दो की शक्तियों को जानने से हमें मदद मिली। हम पहचान कीआठ में एक एन्क्रिप्टेड दो है। यह तकनीक (विभिन्न संख्याओं के अंतर्गत सामान्य आधारों को कूटबद्ध करना) घातीय समीकरणों में एक बहुत लोकप्रिय तकनीक है! हाँ, और लघुगणक में भी। आपको संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने में सक्षम होना चाहिए। यह घातांकीय समीकरणों को हल करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

सच तो यह है कि किसी भी संख्या को किसी भी शक्ति तक बढ़ाना कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, यहां तक ​​कि कागज पर भी, और बस इतना ही। उदाहरण के लिए, कोई भी 3 से पाँचवीं घात तक बढ़ा सकता है। यदि आप गुणन सारणी जानते हैं तो 243 काम करेगा।) लेकिन घातीय समीकरणों में, अक्सर घात तक बढ़ाना आवश्यक नहीं होता है, लेकिन इसके विपरीत... पता लगाएं किस संख्या से किस डिग्री तकसंख्या 243, या कहें 343 के पीछे छिपा है... यहां कोई कैलकुलेटर आपकी मदद नहीं करेगा।

आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानने की आवश्यकता है, ठीक है... आइए अभ्यास करें?

निर्धारित करें कि संख्याएँ कौन सी घातें और कौन सी संख्याएँ हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (बेशक गड़बड़ी में!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

अगर आप गौर से देखेंगे तो आपको एक अजीब तथ्य नजर आएगा। कार्यों से कहीं अधिक उत्तर हैं! खैर, ऐसा होता है... उदाहरण के लिए, 2 6, 4 3, 8 2 - यह सब 64 है।

आइए मान लें कि आपने संख्याओं से परिचित होने के बारे में जानकारी पर ध्यान दिया है।) मैं आपको यह भी याद दिला दूं कि घातीय समीकरणों को हल करने के लिए हम उपयोग करते हैं सभीगणितीय ज्ञान का भंडार. इनमें जूनियर और मिडिल क्लास के लोग भी शामिल हैं। आप सीधे हाई स्कूल नहीं गए, है ना?)

उदाहरण के लिए, घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने से अक्सर मदद मिलती है (7वीं कक्षा को नमस्कार!)। आइए एक उदाहरण देखें:

3 2x+4 -11 9 x = 210

और फिर, पहली नज़र नींव पर है! डिग्रियों के आधार अलग-अलग हैं... तीन और नौ। लेकिन हम चाहते हैं कि वे वैसे ही रहें। खैर, इस मामले में इच्छा पूरी तरह से पूरी हो गई है!) क्योंकि:

9 एक्स = (3 2) एक्स = 3 2एक्स

डिग्रियों से निपटने के लिए समान नियमों का उपयोग करना:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

यह बहुत अच्छा है, आप इसे लिख सकते हैं:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। तो, आगे क्या है!? आप तीन को बाहर नहीं फेंक सकते... गतिरोध?

बिल्कुल नहीं। सबसे सार्वभौमिक और शक्तिशाली निर्णय नियम याद रखें सब लोगगणित कार्य:

यदि आप नहीं जानते कि आपको क्या चाहिए, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

देखिए, सब ठीक हो जाएगा)।

इस घातीय समीकरण में क्या है? कर सकनाकरना? हाँ, बाईं ओर इसे कोष्ठक से बाहर निकालने की आवश्यकता है! 3 2x का समग्र गुणक स्पष्ट रूप से इस ओर संकेत करता है। आइए प्रयास करें, और फिर हम देखेंगे:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर से बेहतर होता जा रहा है!

हमें याद है कि आधारों को खत्म करने के लिए हमें बिना किसी गुणांक के शुद्ध डिग्री की आवश्यकता होती है। 70 का अंक हमें परेशान करता है. इसलिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को 70 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

उफ़! सब कुछ बेहतर हो गया!

यह अंतिम उत्तर है.

हालाँकि, ऐसा होता है कि उसी आधार पर टैक्सिंग हासिल की जाती है, लेकिन उनका उन्मूलन संभव नहीं है। ऐसा अन्य प्रकार के घातीय समीकरणों में होता है। आइए इस प्रकार में महारत हासिल करें।

घातीय समीकरणों को हल करने में एक चर को प्रतिस्थापित करना। उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें:

4 एक्स - 3 2 एक्स +2 = 0

पहला - हमेशा की तरह. आइए एक आधार पर चलते हैं। एक ड्यूस के लिए.

4 एक्स = (2 2) एक्स = 2 2एक्स

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

और यहीं हम घूमते हैं। पिछली तकनीकें काम नहीं करेंगी, चाहे आप इसे कैसे भी देखें। हमें अपने शस्त्रागार से एक और शक्तिशाली और सार्वभौमिक विधि निकालनी होगी। यह कहा जाता है परिवर्तनशील प्रतिस्थापन.

विधि का सार आश्चर्यजनक रूप से सरल है. एक जटिल चिह्न (हमारे मामले में - 2 x) के बजाय हम दूसरा, सरल चिह्न लिखते हैं (उदाहरण के लिए - t)। ऐसा प्रतीत होने वाला निरर्थक प्रतिस्थापन आश्चर्यजनक परिणाम देता है!) सब कुछ स्पष्ट और समझने योग्य हो जाता है!

तो चलो

तब 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

हमारे समीकरण में हम x की सभी घातों को t से प्रतिस्थापित करते हैं:

खैर, क्या यह आपको समझ में आता है?) क्या आप अभी तक द्विघात समीकरण भूल गए हैं? विवेचक के माध्यम से हल करने पर, हमें मिलता है:

यहां मुख्य बात रुकना नहीं है, जैसा कि होता है... यह अभी उत्तर नहीं है, हमें x की आवश्यकता है, t की नहीं। आइए एक्स पर वापस आएं, यानी। हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं। टी 1 के लिए सबसे पहले:

वह है,

एक जड़ मिल गयी. हम टी 2 से दूसरे की तलाश कर रहे हैं:

हम्म... बाईं ओर 2 x, दाईं ओर 1... समस्या? बिल्कुल नहीं! यह याद रखना पर्याप्त है (शक्तियों के साथ संचालन से, हाँ...) कि एक इकाई है कोईशून्य शक्ति के लिए संख्या. कोई भी। जो भी जरूरत होगी हम लगा देंगे. हमें दो की जरूरत है. मतलब:

अब बस इतना ही. हमें 2 जड़ें मिलीं:

यह उत्तर है.

पर घातीय समीकरणों को हल करनाअंत में कभी-कभी आप किसी प्रकार की अजीब अभिव्यक्ति के साथ समाप्त हो जाते हैं। प्रकार:

सात को साधारण शक्ति से दो में नहीं बदला जा सकता। वे रिश्तेदार नहीं हैं... हम कैसे हो सकते हैं? कोई भ्रमित हो सकता है... लेकिन जो व्यक्ति इस साइट पर "लघुगणक क्या है?" विषय पढ़ता है। , बस संयम से मुस्कुराता है और दृढ़ता से बिल्कुल सही उत्तर लिखता है:

एकीकृत राज्य परीक्षा में कार्य "बी" में ऐसा उत्तर नहीं हो सकता। वहां एक विशिष्ट संख्या की आवश्यकता होती है. लेकिन कार्य "सी" में यह आसान है।

यह पाठ सबसे सामान्य घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है। आइए मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डालें।

व्यावहारिक सुझाव:

1. सबसे पहले हम देखते हैं मैदानडिग्री. हम सोच रहे हैं कि क्या इन्हें बनाना संभव है समान।आइए सक्रिय रूप से उपयोग करके ऐसा करने का प्रयास करें डिग्री के साथ कार्रवाईयह मत भूलिए कि x के बिना संख्याओं को भी घातों में बदला जा सकता है!

2. हम घातीय समीकरण को उस रूप में लाने का प्रयास करते हैं जब बाईं ओर और दाईं ओर होते हैं जो उसीकिसी भी घात में संख्याएँ। हम उपयोग करते हैं डिग्री के साथ कार्रवाईऔर गुणनखंडीकरण.जिसे संख्याओं में गिना जा सकता है, हम गिनते हैं।

3. यदि दूसरी टिप काम नहीं करती है, तो वेरिएबल रिप्लेसमेंट का उपयोग करने का प्रयास करें। परिणाम एक ऐसा समीकरण हो सकता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। बहुधा - वर्गाकार। या भिन्नात्मक, जो वर्ग में भी कम हो जाता है।

4. घातांकीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानना आवश्यक है।

हमेशा की तरह, पाठ के अंत में आपको थोड़ा निर्णय लेने के लिए आमंत्रित किया जाता है।) अपने दम पर। सरल से जटिल तक.

घातीय समीकरण हल करें:

अधिक मुश्किल:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 एक्स - 8 3 एक्स = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

जड़ों का उत्पाद ज्ञात कीजिए:

2 3's + 2 x = 9

घटित?

खैर, फिर एक बहुत ही जटिल उदाहरण (हालाँकि इसे दिमाग में हल किया जा सकता है...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

अधिक दिलचस्प क्या है? तो फिर यहाँ आपके लिए एक बुरा उदाहरण है। बढ़ी हुई कठिनाई के लिए काफी आकर्षक। मैं संकेत देना चाहता हूं कि इस उदाहरण में, जो चीज़ आपको बचाती है वह है सरलता और सभी गणितीय समस्याओं को हल करने का सबसे सार्वभौमिक नियम।)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

विश्राम के लिए एक सरल उदाहरण):

9 2 एक्स - 4 3 एक्स = 0

और डेज़र्ट के लिए। समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

हां हां! यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण है! जिस पर हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। उन पर विचार क्यों करें, उन्हें हल करने की आवश्यकता है!) यह पाठ समीकरण को हल करने के लिए काफी है। खैर, आपको सरलता की आवश्यकता है... और सातवीं कक्षा आपकी मदद कर सकती है (यह एक संकेत है!)।

उत्तर (अव्यवस्था में, अर्धविराम से अलग):

1; 2; 3; 4; कोई समाधान नहीं हैं; 2; -2; -5; 4; 0.

क्या सब कुछ सफल है? महान।

एक समस्या है? कोई बात नहीं! विशेष धारा 555 इन सभी घातीय समीकरणों को विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ हल करती है। क्या, क्यों, और क्यों। और, निस्संदेह, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों के साथ काम करने पर अतिरिक्त मूल्यवान जानकारी है। सिर्फ ये ही नहीं।)

विचार करने योग्य एक आखिरी मज़ेदार प्रश्न। इस पाठ में हमने घातीय समीकरणों के साथ काम किया। मैंने यहां ODZ के बारे में एक शब्द भी क्यों नहीं कहा?वैसे समीकरणों में यह बहुत महत्वपूर्ण बात है...

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