خطاهای اندازه گیری مطلق و نسبی. خطای مطلق اندازه گیری

خطای اندازه گیری- ارزیابی انحراف مقدار اندازه گیری شده یک کمیت از مقدار واقعی آن. خطای اندازه گیری مشخصه (اندازه گیری) دقت اندازه گیری است.

از آنجایی که نمی توان با دقت مطلق مقدار واقعی هر کمیت را فهمید، همچنین نمی توان میزان انحراف مقدار اندازه گیری شده از مقدار واقعی را نشان داد. (این انحراف معمولاً خطای اندازه گیری نامیده می شود. در تعدادی از منابع، به عنوان مثال، در دایره المعارف بزرگ شوروی، اصطلاحات خطای اندازه گیریو خطای اندازه گیریبه عنوان مترادف استفاده می شوند، اما طبق RMG 29-99 این اصطلاح خطای اندازه گیریبه عنوان کمتر موفق توصیه نمی شود). فقط با استفاده از روش های آماری می توان مقدار این انحراف را تخمین زد. در عمل به جای ارزش واقعی از آن استفاده می کنیم ارزش واقعی x d، یعنی مقدار یک کمیت فیزیکی که به طور تجربی به دست آمده و آنقدر نزدیک به مقدار واقعی است که می توان آن را به جای آن در کار اندازه گیری مجموعه استفاده کرد. چنین مقداری معمولاً به عنوان مقدار متوسط ​​بدست آمده از پردازش آماری نتایج یک سری اندازه گیری محاسبه می شود. این مقدار به دست آمده دقیق نیست، بلکه تنها محتمل ترین آن است. بنابراین لازم است در اندازه گیری ها مشخص شود که دقت آنها چقدر است. برای انجام این کار، همراه با نتیجه به دست آمده، خطای اندازه گیری نشان داده شده است. به عنوان مثال، ورودی T=2.8±0.1ج. به این معنی است که مقدار واقعی مقدار تینهفته در فاصله از 2.7 ثانیهقبل از 2.9 ثانیهبا مقداری احتمال مشخص

در سال 2004، سند جدیدی در سطح بین المللی به تصویب رسید که شرایط را برای انجام اندازه گیری ها و ایجاد قوانین جدید برای مقایسه استانداردهای دولتی تعیین می کند. مفهوم "خطا" منسوخ شد، مفهوم "عدم قطعیت اندازه گیری" به جای آن معرفی شد، با این حال، GOST R 50.2.038-2004 استفاده از این اصطلاح را مجاز می کند. خطابرای اسناد مورد استفاده در روسیه.

انواع خطاهای زیر وجود دارد:

خطای مطلق

خطای مربوطه

کاهش خطا؛

خطای اصلی

خطای اضافی

· خطای سیستماتیک؛

خطای تصادفی

خطای ابزاری

· خطای روشی؛

· خطای شخصی؛

· خطای استاتیک.

خطای دینامیکی

خطاهای اندازه گیری بر اساس معیارهای زیر طبقه بندی می شوند.

· با توجه به روش بیان ریاضی، خطاها به خطاهای مطلق و خطاهای نسبی تقسیم می شوند.

· با توجه به اثر متقابل تغییرات زمان و مقدار ورودی، خطاها به خطاهای ایستا و خطاهای دینامیکی تقسیم می شوند.

بر اساس ماهیت وقوع خطاها به خطاهای سیستماتیک و خطاهای تصادفی تقسیم می شوند.

· با توجه به ماهیت وابستگی خطا به مقادیر تأثیرگذار، خطاها به اساسی و اضافی تقسیم می شوند.

· با توجه به ماهیت وابستگی خطا به مقدار ورودی، خطاها به جمعی و ضربی تقسیم می شوند.

خطای مطلقمقداری است که به عنوان تفاوت بین مقدار کمیت به دست آمده در طول فرآیند اندازه گیری و مقدار واقعی (واقعی) کمیت داده شده محاسبه می شود. خطای مطلق با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

AQ n =Q n /Q 0، که در آن AQ n خطای مطلق است. Qn- مقدار مقدار معینی که در فرآیند اندازه گیری به دست می آید. Q0- مقدار همان مقدار، به عنوان پایه مقایسه (مقدار واقعی).

خطای مطلق اندازه گیریمقداری است که به عنوان تفاوت بین عدد که مقدار اسمی اندازه گیری است و مقدار واقعی (واقعی) کمیت بازتولید شده توسط اندازه گیری محاسبه می شود.

خطای مربوطهعددی است که میزان دقت اندازه گیری را نشان می دهد. خطای نسبی با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

جایی که ∆Q خطای مطلق است. Q0مقدار واقعی (واقعی) کمیت اندازه گیری شده است. خطای نسبی به صورت درصد بیان می شود.

خطا کاهش یافته استمقداری است که به عنوان نسبت مقدار خطای مطلق به مقدار نرمال کننده محاسبه می شود.

مقدار نرمال سازی به صورت زیر تعریف می شود:

برای ابزارهای اندازه گیری که مقدار اسمی آنها تایید شده است، این مقدار اسمی به عنوان یک مقدار نرمال کننده در نظر گرفته می شود.

· برای وسایل اندازه گیری که در آنها مقدار صفر در لبه مقیاس اندازه گیری یا خارج از مقیاس قرار دارد، مقدار نرمال کننده برابر با مقدار نهایی از محدوده اندازه گیری گرفته می شود. استثناء ابزارهای اندازه گیری با مقیاس اندازه گیری ناهموار است.

· برای ابزارهای اندازه گیری که در آنها علامت صفر در محدوده اندازه گیری قرار دارد، مقدار نرمال کننده برابر با مجموع مقادیر عددی نهایی محدوده اندازه گیری در نظر گرفته می شود.

برای ابزارهای اندازه گیری (وسایل اندازه گیری) با مقیاس ناهموار، مقدار نرمال کننده برابر با کل طول مقیاس اندازه گیری یا طول آن قسمت از آن که با محدوده اندازه گیری مطابقت دارد در نظر گرفته می شود. سپس خطای مطلق در واحد طول بیان می شود.

خطای اندازه گیری شامل خطای ابزاری، خطای روش شناختی و خطای خواندن است. علاوه بر این، خطای خواندن به دلیل عدم دقت در تعیین کسری تقسیم مقیاس اندازه گیری ایجاد می شود.

خطای ابزاری- این خطای ناشی از خطاهای ایجاد شده در فرآیند ساخت قطعات عملکردی ابزار اندازه گیری خطا است.

خطای روش شناختییک خطا به دلایل زیر است:

· عدم دقت در ساخت مدلی از فرآیند فیزیکی که ابزار اندازه گیری بر آن استوار است.

استفاده نادرست از ابزار اندازه گیری

خطای ذهنی- این خطای ناشی از درجه پایین صلاحیت اپراتور ابزار اندازه گیری و همچنین به دلیل خطای اندام های بینایی انسان است، یعنی عامل انسانی عامل خطای ذهنی است.

خطاها در اثر متقابل تغییرات زمان و مقدار ورودی به خطاهای ایستا و دینامیک تقسیم می شوند.

خطای استاتیک- این خطایی است که در فرآیند اندازه گیری یک مقدار ثابت (عدم تغییر در زمان) رخ می دهد.

خطای دینامیکی- این یک خطا است که مقدار عددی آن به عنوان تفاوت بین خطای رخ داده در هنگام اندازه گیری یک کمیت غیر ثابت (متغیر در زمان) و یک خطای استاتیک (خطای مقدار کمیت اندازه گیری شده در یک عدد) محاسبه می شود. نقطه خاصی در زمان).

با توجه به ماهیت وابستگی خطا به کمیت های تأثیرگذار، خطاها به اساسی و اضافی تقسیم می شوند.

خطای اساسیخطای به دست آمده در شرایط عملیاتی معمولی ابزار اندازه گیری (در مقادیر نرمال مقادیر تأثیرگذار) است.

خطای اضافی- این خطایی است که زمانی رخ می دهد که مقادیر کمیت های تأثیرگذار با مقادیر عادی آنها مطابقت نداشته باشد، یا اگر کمیت تأثیرگذار فراتر از مرزهای ناحیه مقادیر عادی باشد.

شرایط عادیشرایطی هستند که تحت آن همه مقادیر کمیت های تأثیرگذار نرمال هستند یا از مرزهای محدوده مقادیر نرمال فراتر نمی روند.

شرایط کاری- این شرایطی است که در آن تغییر در مقادیر تأثیرگذار دامنه وسیع تری دارد (مقادیر تأثیرگذار از مرزهای محدوده کاری مقادیر فراتر نمی رود).

محدوده کاری مقادیر کمیت تأثیرگذارمحدوده مقادیری است که در آن مقادیر خطای اضافی نرمال می شوند.

با توجه به ماهیت وابستگی خطا به مقدار ورودی، خطاها به افزایشی و ضربی تقسیم می شوند.

خطای افزایشی- این خطایی است که به دلیل جمع مقادیر عددی رخ می دهد و به مقدار کمیت اندازه گیری شده، مدول گرفته شده (مطلق) بستگی ندارد.

خطای ضربی- این خطایی است که همراه با تغییر در مقادیر کمیت در حال اندازه گیری تغییر می کند.

لازم به ذکر است که مقدار خطای مطلق افزایشی ارتباطی با مقدار کمیت اندازه گیری شده و حساسیت ابزار اندازه گیری ندارد. خطاهای افزایشی مطلق در کل محدوده اندازه گیری بدون تغییر هستند.

مقدار خطای مطلق افزودنی، حداقل مقدار کمیتی را که می توان توسط ابزار اندازه گیری اندازه گیری کرد، تعیین می کند.

مقادیر خطاهای ضربی متناسب با تغییرات مقادیر کمیت اندازه گیری شده تغییر می کند. مقادیر خطاهای ضربی نیز متناسب با حساسیت ابزار اندازه گیری است.خطای ضربی به دلیل تأثیر کمیت های تأثیرگذار بر ویژگی های پارامتری عناصر ابزار به وجود می آید.

خطاهایی که ممکن است در طول فرآیند اندازه گیری رخ دهد بر اساس ماهیت وقوع آنها طبقه بندی می شوند. اختصاص دهید:

خطاهای سیستماتیک؛

خطاهای تصادفی

خطاها و اشتباهات فاحش نیز ممکن است در فرآیند اندازه گیری ظاهر شوند.

خطای سیستماتیک- این بخشی جدایی ناپذیر از کل خطای نتیجه اندازه گیری است که با اندازه گیری های مکرر با همان مقدار تغییر نمی کند یا به طور طبیعی تغییر نمی کند. معمولاً سعی می شود یک خطای سیستماتیک با روش های ممکن (مثلاً با استفاده از روش های اندازه گیری که احتمال وقوع آن را کاهش می دهد) برطرف شود، اما اگر خطای سیستماتیک قابل حذف نباشد، قبل از شروع اندازه گیری ها محاسبه می شود و مناسب است. اصلاحات در نتیجه اندازه گیری انجام می شود. در فرآیند عادی سازی خطای سیستماتیک، مرزهای مقادیر مجاز آن تعیین می شود. خطای سیستماتیک صحت اندازه گیری ابزارهای اندازه گیری را تعیین می کند (ویژگی اندازه گیری). خطاهای سیستماتیک در برخی موارد را می توان به صورت تجربی تعیین کرد. سپس نتیجه اندازه گیری را می توان با ارائه یک اصلاح اصلاح کرد.

روش های حذف خطاهای سیستماتیک به چهار نوع تقسیم می شوند:

حذف علل و منابع خطا قبل از شروع اندازه گیری.

· حذف خطاها در فرآیند اندازه گیری از قبل آغاز شده با روش های جایگزینی، جبران خطاها در علامت، مخالفت ها، مشاهدات متقارن.

تصحیح نتایج اندازه گیری با انجام اصلاحیه (حذف خطاها با محاسبات).

تعیین حدود خطای سیستماتیک در صورتی که قابل حذف نباشد.

حذف علل و منابع خطا قبل از شروع اندازه گیری. این روش بهترین گزینه است، زیرا استفاده از آن سیر بعدی اندازه گیری ها را ساده می کند (نیازی به حذف خطاها در فرآیند اندازه گیری از قبل شروع شده یا اصلاح نتیجه به دست آمده نیست).

برای حذف خطاهای سیستماتیک در فرآیند اندازه گیری از قبل شروع شده، روش های مختلفی استفاده می شود.

روش اصلاحمبتنی بر دانش خطای سیستماتیک و الگوهای فعلی تغییر آن است. هنگام استفاده از این روش، نتیجه اندازه گیری به دست آمده با خطاهای سیستماتیک در معرض تصحیحاتی است که از نظر بزرگی با این خطاها، اما در علامت مخالف است.

روش تعویضاین واقعیت شامل این واقعیت است که مقدار اندازه گیری شده با یک اندازه گیری قرار می گیرد که در همان شرایطی قرار می گیرد که هدف اندازه گیری در آن قرار داشته است. روش جایگزینی هنگام اندازه گیری پارامترهای الکتریکی زیر استفاده می شود: مقاومت، ظرفیت و اندوکتانس.

روش جبران خطای علامتشامل این واقعیت است که اندازه گیری ها دو بار انجام می شود به گونه ای که خطای ناشناخته از نظر بزرگی در نتایج اندازه گیری با علامت مخالف گنجانده شود.

روش متضادشبیه به جبران مبتنی بر علامت. این روش شامل این واقعیت است که اندازه‌گیری‌ها دو بار انجام می‌شود به‌گونه‌ای که منبع خطا در اندازه‌گیری اول تأثیر معکوس بر نتیجه اندازه‌گیری دوم داشته باشد.

خطای تصادفی- این جزء خطای نتیجه اندازه گیری است که در طول اندازه گیری های مکرر با همان مقدار به طور تصادفی و نامنظم تغییر می کند. وقوع یک خطای تصادفی را نمی توان پیش بینی و پیش بینی کرد. خطای تصادفی را نمی توان به طور کامل حذف کرد، همیشه نتایج اندازه گیری نهایی را تا حدی مخدوش می کند. اما می توانید با انجام اندازه گیری های مکرر نتیجه اندازه گیری را دقیق تر کنید. علت یک خطای تصادفی می تواند به عنوان مثال، تغییر تصادفی در عوامل خارجی موثر بر فرآیند اندازه گیری باشد. یک خطای تصادفی در حین اندازه‌گیری‌های متعدد با درجه دقت کافی منجر به پراکندگی نتایج می‌شود.

اشتباهات و اشتباهاتخطاهایی هستند که بسیار بزرگتر از خطاهای سیستماتیک و تصادفی مورد انتظار در شرایط اندازه گیری داده شده هستند. لغزش ها و خطاهای فاحش ممکن است به دلیل خطاهای فاحش در فرآیند اندازه گیری، نقص فنی ابزار اندازه گیری و تغییرات غیرمنتظره در شرایط خارجی ظاهر شوند.

یک متغیر تصادفی بگذارید آاندازه گیری شده nبارها در شرایط یکسان نتایج اندازه گیری مجموعه ای را به دست آورد nاعداد مختلف

خطای مطلق- ارزش ابعادی در میان nمقادیر خطاهای مطلق لزوماً هم مثبت و هم منفی است.

برای محتمل ترین مقدار کمیت آمعمولا می گیرند میانگینمعنی نتایج اندازه گیری

.

هر چه تعداد اندازه گیری ها بیشتر باشد، مقدار میانگین به مقدار واقعی نزدیک تر است.

خطای مطلقمن

.

خطای مربوطهمنبعد ام کمیت نامیده می شود

خطای نسبی یک کمیت بدون بعد است. معمولاً خطای نسبی برای این کار به صورت درصد بیان می شود منضرب در 100٪. مقدار خطای نسبی دقت اندازه گیری را مشخص می کند.

میانگین خطای مطلقبه این صورت تعریف می شود:

.

ما بر نیاز به جمع مقادیر مطلق (ماژول) کمیت های D تأکید می کنیم و من .در غیر این صورت، نتیجه یکسان صفر به دست می آید.

میانگین خطای نسبیکمیت نامیده می شود

.

برای تعداد زیادی اندازه گیری.

خطای نسبی را می توان مقدار خطا در واحد کمیت اندازه گیری شده در نظر گرفت.

دقت اندازه گیری ها بر اساس مقایسه خطاهای نتایج اندازه گیری قضاوت می شود. بنابراین، خطاهای اندازه گیری به گونه ای بیان می شوند که برای ارزیابی دقت کافی است فقط خطاهای نتایج را بدون مقایسه اندازه اشیاء اندازه گیری شده یا دانستن این اندازه ها به طور تقریبی مقایسه کنیم. از روی عمل مشخص است که خطای مطلق اندازه گیری زاویه به مقدار زاویه بستگی ندارد و خطای مطلق اندازه گیری طول به مقدار طول بستگی دارد. هر چه مقدار طول بزرگتر باشد، خطای مطلق برای این روش و شرایط اندازه گیری بیشتر است. بنابراین، با توجه به خطای مطلق نتیجه، می توان در مورد دقت اندازه گیری زاویه قضاوت کرد، اما نمی توان در مورد دقت اندازه گیری طول قضاوت کرد. بیان خطا به صورت نسبی امکان مقایسه دقت اندازه گیری های زاویه ای و خطی را در موارد خاص ممکن می سازد.

مفاهیم اساسی نظریه احتمال. خطای تصادفی

خطای تصادفی جزء خطای اندازه گیری نامیده می شود که با اندازه گیری های مکرر همان کمیت به طور تصادفی تغییر می کند.

هنگامی که اندازه گیری های مکرر از یک مقدار ثابت و بدون تغییر با همان دقت و در شرایط یکسان انجام می شود، نتایج اندازه گیری را دریافت می کنیم - برخی از آنها با یکدیگر متفاوت هستند و برخی از آنها منطبق هستند. چنین اختلافاتی در نتایج اندازه گیری نشان دهنده وجود مولفه های خطای تصادفی در آنها است.

خطای تصادفی از عملکرد همزمان بسیاری از منابع ناشی می شود که هر یک به خودی خود تأثیر نامحسوسی بر نتیجه اندازه گیری دارند، اما تأثیر کل همه منابع می تواند کاملاً قوی باشد.

خطاهای تصادفی پیامد اجتناب ناپذیر هر اندازه گیری هستند و به دلایل زیر هستند:

الف) قرائت نادرست در مقیاس ابزار و ابزار؛

ب) شرایط یکسانی برای اندازه گیری های مکرر نیست.

ج) تغییرات تصادفی در شرایط خارجی (دما، فشار، میدان نیرو و غیره) که قابل کنترل نیست.

د) همه تأثیرات دیگر بر اندازه گیری ها که دلایل آنها برای ما ناشناخته است. بزرگی خطای تصادفی را می توان با تکرار مکرر آزمایش و پردازش ریاضی مناسب نتایج به حداقل رساند.

یک خطای تصادفی می تواند مقادیر مطلق متفاوتی به خود بگیرد که برای یک عمل اندازه گیری معین قابل پیش بینی نیست. این خطا می تواند هم مثبت و هم منفی باشد. خطاهای تصادفی همیشه در یک آزمایش وجود دارد. در غیاب خطاهای سیستماتیک، آنها باعث می شوند اندازه گیری های مکرر در مورد مقدار واقعی پراکنده شوند.

فرض کنید با کمک کرونومتر دوره نوسان آونگ را اندازه گیری می کنیم و اندازه گیری چندین بار تکرار می شود. خطا در راه اندازی و توقف کرونومتر، خطا در مقدار مرجع، حرکت ناهموار کوچک آونگ - همه اینها باعث پراکندگی در نتایج اندازه گیری های مکرر می شود و بنابراین می توان آنها را به عنوان خطاهای تصادفی طبقه بندی کرد.

اگر خطاهای دیگری وجود نداشته باشد، برخی از نتایج تا حدودی بیش از حد برآورد می شوند، در حالی که برخی دیگر کمی دست کم گرفته می شوند. اما اگر علاوه بر این، ساعت نیز عقب باشد، تمام نتایج دست کم گرفته می شود. این در حال حاضر یک خطای سیستماتیک است.

برخی از عوامل می توانند خطاهای سیستماتیک و تصادفی را به طور همزمان ایجاد کنند. بنابراین با خاموش و روشن کردن کرونومتر می‌توان در لحظه‌های شروع و توقف ساعت نسبت به حرکت آونگ، یک گستردگی نامنظم کوچک ایجاد کرد و در نتیجه خطای تصادفی ایجاد کرد. اما اگر علاوه بر این، هر بار برای روشن کردن کرونومتر عجله کنیم و تا حدودی آن را خاموش کنیم، این منجر به یک خطای سیستماتیک می شود.

خطاهای تصادفی ناشی از خطای اختلاف منظر هنگام خواندن تقسیمات مقیاس ابزار، لرزش پایه ساختمان، تأثیر حرکت خفیف هوا و غیره است.

اگرچه حذف خطاهای تصادفی اندازه گیری های فردی غیرممکن است، نظریه ریاضی پدیده های تصادفی به ما اجازه می دهد تا تأثیر این خطاها را بر نتیجه اندازه گیری نهایی کاهش دهیم. در زیر نشان داده خواهد شد که برای این کار لازم است که نه یک اندازه گیری، بلکه چندین اندازه گیری انجام دهیم و هر چه مقدار خطای ما کوچکتر باشد، اندازه گیری های بیشتری باید انجام شود.

با توجه به اینکه وقوع خطاهای تصادفی اجتناب ناپذیر و اجتناب ناپذیر است، وظیفه اصلی هر فرآیند اندازه گیری به حداقل رساندن خطاها می باشد.

تئوری خطاها بر اساس دو فرض اصلی است که توسط تجربه تأیید شده است:

1. با تعداد زیادی اندازه گیری، خطاهای تصادفی با اندازه یکسان، اما با علامت متفاوت، یعنی اشتباهات در جهت افزایش و کاهش نتیجه کاملاً رایج است.

2. خطاهای مطلق بزرگ کمتر از خطاهای کوچک رایج هستند، بنابراین با افزایش مقدار آن، احتمال خطا کاهش می یابد.

رفتار متغیرهای تصادفی با قوانین آماری که موضوع نظریه احتمال هستند، توصیف می‌شود. تعریف آماری احتمال w iتحولات مننگرش است

جایی که n- تعداد کل آزمایش ها، n من- تعداد آزمایش هایی که در آن رویداد مناتفاق افتاد در این مورد، تعداد کل آزمایش ها باید بسیار زیاد باشد ( n®¥). با تعداد زیادی اندازه گیری، خطاهای تصادفی از توزیع نرمال (توزیع گاوسی) تبعیت می کنند که ویژگی های اصلی آن به شرح زیر است:

1. هر چه انحراف مقدار مقدار اندازه گیری شده از مقدار واقعی بیشتر باشد، احتمال چنین نتیجه ای کمتر می شود.

2. انحراف در هر دو جهت از مقدار واقعی به یک اندازه محتمل است.

از مفروضات فوق چنین استنباط می شود که برای کاهش تأثیر خطاهای تصادفی، لازم است این کمیت چندین بار اندازه گیری شود. فرض کنید مقداری x را اندازه می گیریم. اجازه دهید تولید شود nاندازه گیری ها: x 1، x 2، ... x n- با همان روش و با همان دقت. می توان انتظار داشت که تعداد dnنتایج به دست آمده، که در یک فاصله نسبتاً باریک از ایکسقبل از x + dx، باید متناسب با:

مقدار فاصله گرفته شده dx;

تعداد کل اندازه گیری ها n.

احتمال dw(ایکس) که مقداری ارزش دارد ایکسنهفته در فاصله از ایکسقبل از x+dxبه صورت زیر تعریف شده است :

(با تعداد اندازه گیری ها n ®¥).

عملکرد f(ایکس) تابع توزیع یا چگالی احتمال نامیده می شود.

به عنوان فرضیه نظریه خطاها، فرض می شود که نتایج اندازه گیری های مستقیم و خطاهای تصادفی آنها، با تعداد زیادی از آنها، از قانون توزیع نرمال تبعیت می کنند.

تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته که توسط گاوس یافت شده است ایکسدارای فرم زیر است:

، کجا خانم - پارامترهای توزیع .

پارامتر m توزیع نرمال برابر با مقدار میانگین á است ایکسñ یک متغیر تصادفی، که برای یک تابع توزیع دلخواه شناخته شده، توسط انتگرال تعیین می شود

.

به این ترتیب، مقدار m محتمل ترین مقدار کمیت اندازه گیری شده x است، یعنی. بهترین تخمین او

پارامتر s 2 توزیع نرمال برابر با واریانس D متغیر تصادفی است که به طور کلی توسط انتگرال زیر تعیین می شود.

.

جذر واریانس را انحراف معیار متغیر تصادفی می نامند.

میانگین انحراف (خطا) متغیر تصادفی ásñ با استفاده از تابع توزیع به شرح زیر تعیین می شود.

میانگین خطای اندازه گیری ásñ که از تابع توزیع گاوسی محاسبه می شود، به صورت زیر به مقدار انحراف معیار s مربوط می شود:

< س > = 0.8 ثانیه

پارامترهای s و m به صورت زیر مرتبط هستند:

.

این عبارت به شما امکان می دهد در صورت وجود منحنی توزیع نرمال، انحراف معیار s را پیدا کنید.

نمودار تابع گاوسی در شکل ها نشان داده شده است. عملکرد f(ایکس) با توجه به ترتیب رسم شده در نقطه متقارن است x=متر از حداکثر در نقطه عبور می کند x= m و دارای یک عطف در نقاط m ±s است. بنابراین، پراکندگی پهنای تابع توزیع را مشخص می‌کند یا نشان می‌دهد که مقادیر یک متغیر تصادفی نسبت به مقدار واقعی آن چقدر پراکنده است. هرچه اندازه‌گیری‌ها دقیق‌تر باشند، نتایج اندازه‌گیری‌های فردی به مقدار واقعی نزدیک‌تر می‌شوند، یعنی. مقدار s کمتر است. شکل A تابع را نشان می دهد f(ایکس) برای سه مقدار s .

مساحت یک شکل که توسط یک منحنی محدود شده است f(ایکس) و خطوط عمودی ترسیم شده از نقاط ایکس 1 و ایکس 2 (شکل B) , از نظر عددی برابر است با احتمال اینکه نتیجه اندازه گیری در بازه D قرار گیرد x = x 1 -ایکس 2 که سطح اطمینان نامیده می شود. مساحت زیر کل منحنی f(ایکس) برابر است با احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه 0 تا ¥، یعنی.

,

زیرا احتمال یک رویداد معین برابر با یک است.

با استفاده از توزیع نرمال، تئوری خطا دو مشکل اصلی را مطرح و حل می کند. اولین مورد ارزیابی دقت اندازه گیری ها است. دوم ارزیابی دقت میانگین حسابی نتایج اندازه گیری است. فاصله اطمینان. ضریب دانش آموزی.

تئوری احتمال به شما امکان می دهد تا اندازه بازه ای را که در آن با یک احتمال شناخته شده تعیین کنید wنتایج اندازه گیری های فردی هستند. این احتمال نامیده می شود سطح اطمینانو بازه مربوطه (<ایکس>±D ایکس)wتماس گرفت فاصله اطمینان.سطح اطمینان نیز برابر با نسبت نسبی نتایجی است که در فاصله اطمینان قرار می گیرند.

اگر تعداد اندازه گیری ها nبه اندازه کافی بزرگ است، پس احتمال اطمینان نسبت تعداد کل را بیان می کند nآن دسته از اندازه گیری هایی که در آن مقدار اندازه گیری شده در بازه اطمینان بود. هر سطح اطمینان wمربوط به فاصله اطمینان آن است. w 2 80%. هر چه فاصله اطمینان بیشتر باشد، احتمال اینکه در آن فاصله به نتیجه برسد بیشتر است. در نظریه احتمال، یک رابطه کمی بین مقدار فاصله اطمینان، احتمال اطمینان و تعداد اندازه گیری ها برقرار می شود.

اگر بازه مربوط به میانگین خطا را به عنوان فاصله اطمینان انتخاب کنیم، یعنی D a =آگهی آñ، سپس برای تعداد کافی اندازه گیری با احتمال اطمینان مطابقت دارد w 60 درصد با کاهش تعداد اندازه گیری ها، احتمال اطمینان مربوط به چنین فاصله اطمینان (á آñ ± آگهی آñ) کاهش می یابد.

بنابراین، برای تخمین فاصله اطمینان یک متغیر تصادفی، می توان از مقدار میانگین خطای D استفاده کرد. آñ .

برای مشخص کردن بزرگی یک خطای تصادفی، لازم است دو عدد تعیین کنیم، یعنی بزرگی فاصله اطمینان و بزرگی احتمال اطمینان. . مشخص کردن فقط بزرگی خطا بدون احتمال اطمینان متناظر تا حد زیادی بی معنی است.

اگر میانگین خطای اندازه گیری ásñ شناخته شود، فاصله اطمینان به صورت (<ایکس> ±asñ) w، با احتمال اطمینان تعیین می شود w= 0,57.

اگر انحراف معیار s مشخص باشد توزیع نتایج اندازه گیری، فاصله مشخص شده به شکل (<ایکس>± دوس) w، جایی که دو- ضریب بسته به مقدار احتمال اطمینان و بر اساس توزیع گاوسی محاسبه می شود.

پرمصرف ترین مقادیر D ایکسدر جدول 1 نشان داده شده است.

صفحه 1

خطای مطلق تعیین بیش از 0 01 میکروگرم فسفر نیست. این روش توسط ما برای تعیین فسفر در اسیدهای نیتریک، استیک، هیدروکلریک و سولفوریک و استون با تبخیر اولیه آنها استفاده شد.

خطای مطلق تعیین 0 2 - 0 3 میلی گرم است.

خطای مطلق در تعیین روی در فریت های روی- منگنز با روش پیشنهادی از 0 2 % تجاوز نمی کند.

خطای مطلق در تعیین هیدروکربن های C2 - C4، زمانی که محتوای آنها در گاز 0 2 - 50٪ باشد، به ترتیب 0 01 - 0 2٪ است.

در اینجا Ay خطای مطلق در تعریف r/ است که از خطای Yes در تعریف a ناشی می شود. به عنوان مثال، خطای نسبی مربع یک عدد دو برابر خطا در تعیین خود عدد است و خطای نسبی عدد زیر ریشه مکعب فقط یک سوم خطا در تعیین عدد است.

هنگام انتخاب معیار مقایسه خطاهای مطلق در تعیین زمان شروع تصادف تلویزیون - Ts، که در آن Tv و Ts به ترتیب زمان حادثه ترمیم شده و واقعی هستند، ملاحظات پیچیده تری لازم است. به قیاس، در اینجا می‌توان از میانگین زمان رسیدن به اوج آلودگی از یک دبی واقعی تا آن نقاط نظارتی که حادثه‌ای را در حین عبور آلودگی Tsm ثبت کرده‌اند، استفاده کرد. محاسبه قابلیت اطمینان تعیین توان تصادفات بر اساس محاسبه خطای نسبی MV - Ms / Mv است که در آن Mv و Ms به ترتیب توانهای بازسازی شده و واقعی هستند. در نهایت، خطای نسبی در تعیین مدت زمان انتشار اضطراری با مقدار rv - rs / re مشخص می شود، که در آن rv و rs به ​​ترتیب مدت زمان بازسازی و واقعی حوادث هستند.

هنگام انتخاب معیار مقایسه خطاهای مطلق در تعیین زمان شروع تصادف تلویزیون - Ts، که در آن Tv و Ts به ترتیب زمان حادثه ترمیم شده و واقعی هستند، ملاحظات پیچیده تری لازم است. به قیاس، در اینجا می‌توان از میانگین زمان رسیدن به اوج آلودگی از یک دبی واقعی تا آن نقاط نظارتی که حادثه‌ای را در حین عبور آلودگی Tsm ثبت کرده‌اند، استفاده کرد. محاسبه پایایی تعیین توان تصادفات بر اساس محاسبه خطای نسبی Mv - Ms / Ms است که در آن Mv و Ms به ترتیب توانهای بازسازی شده و واقعی هستند. در نهایت، خطای نسبی در تعیین مدت زمان انتشار اضطراری با مقدار rv - rs / rs مشخص می شود، جایی که rv و rs به ​​ترتیب مدت زمان بازسازی و واقعی حوادث هستند.

با همان خطای مطلق اندازه گیری ay، با افزایش حساسیت روش، خطای مطلق در تعیین مقدار تبر کاهش می یابد.

از آنجایی که خطاها بر اساس خطاهای تصادفی نیست، بلکه بر اساس خطاهای سیستماتیک است، خطای مطلق نهایی در تعیین مکنده ها می تواند به 10٪ از مقدار هوای مورد نیاز از نظر نظری برسد. تنها با کوره های شل غیرقابل قبول (A 0 25) روش عمومی پذیرفته شده نتایج کم و بیش رضایت بخشی می دهد. شرح داده شده به خوبی برای تنظیم کننده ها شناخته شده است، که هنگام کاهش تعادل هوای کوره های متراکم، اغلب مقادیر مکش منفی را دریافت می کنند.

تجزیه و تحلیل خطا در تعیین ارزش حیوان خانگی نشان داد که از 4 جزء تشکیل شده است: خطای مطلق در تعیین جرم ماتریس، ظرفیت نمونه، توزین و خطای نسبی ناشی از نوسانات در جرم نمونه در اطراف مقدار تعادل

با توجه به تمام قوانین انتخاب، شمارش حجم و تجزیه و تحلیل گازها با استفاده از تجزیه و تحلیل گاز GKhP-3، کل خطای مطلق در تعیین محتوای CO2 و O2 نباید از 0 2 - 0 4٪ از مقدار واقعی آنها تجاوز کند.

از جدول 1 - 3، می‌توان نتیجه گرفت که داده‌هایی که برای مواد اولیه استفاده می‌کنیم، که از منابع مختلف گرفته شده‌اند، تفاوت‌های نسبتاً کمی دارند که در تعیین این مقادیر در خطاهای مطلق قرار دارند.

خطاهای تصادفی می توانند مطلق یا نسبی باشند. خطای تصادفی که دارای بعد مقدار اندازه گیری شده است، خطای مطلق تعیین نامیده می شود. میانگین حسابی خطاهای مطلق تمام اندازه گیری های فردی را خطای مطلق روش تحلیل می نامند.

مقدار انحراف مجاز، یا فاصله اطمینان، خودسرانه تنظیم نمی شود، بلکه از داده های اندازه گیری خاص و ویژگی های ابزار مورد استفاده محاسبه می شود. انحراف نتیجه یک اندازه گیری فردی از مقدار واقعی یک کمیت، خطای مطلق تعیین یا به سادگی خطا نامیده می شود. نسبت خطای مطلق به مقدار اندازه گیری شده را خطای نسبی می نامند که معمولاً به صورت درصد بیان می شود. دانستن خطای یک اندازه گیری فردی اهمیت مستقلی ندارد و در هر آزمایش جدی باید چندین اندازه گیری موازی انجام شود که خطای آزمایش از روی آنها محاسبه می شود. خطاهای اندازه گیری بسته به علل وقوع آنها به سه نوع تقسیم می شوند.

تعیین ارزش واقعی یک کمیت فیزیکی به طور کاملاً دقیق عملاً غیرممکن است، زیرا هر عملیات اندازه گیری با تعدادی خطا یا در غیر این صورت خطا همراه است. دلایل خطاها می تواند بسیار متفاوت باشد. وقوع آنها ممکن است به دلیل عدم دقت در ساخت و تنظیم دستگاه اندازه گیری باشد، به دلیل ویژگی های فیزیکی جسم مورد مطالعه (به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری قطر یک سیم با ضخامت ناهمگن، نتیجه به طور تصادفی به انتخاب بستگی دارد. منطقه اندازه گیری)، دلایل تصادفی و غیره

وظیفه آزمایشگر این است که تأثیر آنها را بر نتیجه کاهش دهد و همچنین نشان دهد که نتیجه چقدر به نتیجه واقعی نزدیک است.

مفاهیم خطای مطلق و نسبی وجود دارد.

زیر خطای مطلقاندازه گیری تفاوت بین نتیجه اندازه گیری و مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده را درک می کند:

∆x i =x i -x و (2)

جایی که ∆x i خطای مطلق اندازه گیری i است، x i _ نتیجه اندازه گیری i است، x i مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده است.

نتیجه هر اندازه گیری فیزیکی معمولاً به صورت زیر نوشته می شود:

جایی که مقدار میانگین حسابی کمیت اندازه گیری شده نزدیک به مقدار واقعی است (روایی x و ≈ در زیر نشان داده خواهد شد)، خطای مطلق اندازه گیری است.

برابری (3) باید به گونه ای درک شود که مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده در بازه [-، +] باشد.

خطای مطلق یک مقدار ابعادی است، همان ابعاد مقدار اندازه گیری شده را دارد.

خطای مطلق به طور کامل دقت اندازه گیری های انجام شده را مشخص نمی کند. در واقع، اگر ما با همان خطای مطلق ± 1 میلی متر قطعه های 1 متر و 5 میلی متر طول اندازه گیری کنیم، دقت اندازه گیری غیر قابل مقایسه خواهد بود. بنابراین همراه با خطای مطلق اندازه گیری، خطای نسبی نیز محاسبه می شود.

خطای مربوطهاندازه گیری ها نسبت خطای مطلق به خود مقدار اندازه گیری شده است:

خطای نسبی یک کمیت بدون بعد است. به صورت درصد بیان می شود:

در مثال بالا، خطاهای نسبی 0.1٪ و 20٪ هستند. آنها به طور قابل توجهی با یکدیگر متفاوت هستند، اگرچه مقادیر مطلق یکسان هستند. خطای نسبی اطلاعاتی در مورد دقت می دهد

خطاهای اندازه گیری

با توجه به ماهیت مظاهر و دلایل ظهور خطا، می توان آن را به صورت مشروط به کلاس های زیر تقسیم کرد: ابزاری، سیستماتیک، تصادفی و اشتباهات (خطاهای فاحش).

خطاها یا به دلیل نقص در عملکرد دستگاه یا به دلیل نقض روش شناسی یا شرایط آزمایشی هستند یا ماهیت ذهنی دارند. در عمل، آنها به عنوان نتایجی تعریف می شوند که به شدت با سایرین تفاوت دارند. برای از بین بردن ظاهر آنها باید دقت و ظرافت در کار با دستگاه ها رعایت شود. نتایجی که حاوی خطا هستند باید از بررسی حذف شوند.

خطاهای ابزاری اگر دستگاه اندازه‌گیری قابل سرویس و تنظیم باشد، می‌توان اندازه‌گیری‌هایی را روی آن با دقت محدود انجام داد که بر اساس نوع دستگاه تعیین می‌شود. پذیرفته شده است که خطای ابزاری ابزار اشاره گر معادل نصف کوچکترین تقسیم مقیاس آن در نظر گرفته شود. در دستگاه‌های دارای بازخوانی دیجیتال، خطای ابزار برابر با مقدار یک رقم کوچک در مقیاس ابزار است.

خطاهای سیستماتیک خطاهایی هستند که بزرگی و علامت آنها برای کل سری اندازه گیری های انجام شده با همان روش و با استفاده از ابزار اندازه گیری یکسان ثابت است.

هنگام انجام اندازه گیری ها، نه تنها در نظر گرفتن خطاهای سیستماتیک مهم است، بلکه حذف آنها نیز ضروری است.

خطاهای سیستماتیک به طور مشروط به چهار گروه تقسیم می شوند:

1) خطاهایی که ماهیت آنها مشخص است و می توان اندازه آنها را کاملاً دقیق تعیین کرد. چنین خطایی، برای مثال، تغییر در جرم اندازه گیری شده در هوا است که به دما، رطوبت، فشار هوا و غیره بستگی دارد.

2) خطاهایی که ماهیت آنها معلوم است، اما بزرگی خود خطا نامعلوم است. چنین خطاهایی شامل خطاهای ناشی از دستگاه اندازه گیری می شود: نقص خود دستگاه، عدم انطباق مقیاس با مقدار صفر، کلاس دقت این دستگاه.

3) خطاهایی که ممکن است وجود آنها مشکوک نباشد، اما بزرگی آنها اغلب می تواند قابل توجه باشد. چنین خطاهایی اغلب با اندازه گیری های پیچیده رخ می دهد. یک مثال ساده از چنین خطا، اندازه گیری چگالی برخی از نمونه های حاوی یک حفره در داخل است.

4) خطاهای ناشی از ویژگی های خود شی اندازه گیری. به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری رسانایی الکتریکی یک فلز، یک قطعه سیم از دومی گرفته می شود. در صورت وجود هر گونه نقص در ماده - ترک، ضخیم شدن سیم یا ناهمگنی که مقاومت آن را تغییر می دهد، ممکن است خطا رخ دهد.

خطاهای تصادفی خطاهایی هستند که به طور تصادفی در علامت و بزرگی در شرایط یکسان برای اندازه گیری های مکرر با همان کمیت تغییر می کنند.

اطلاعات مشابه

خطای مطلق اندازه گیریمقدار تعیین شده توسط اختلاف بین نتیجه اندازه گیری نامیده می شود ایکسو مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده ایکس 0:

Δ ایکس = |ایکس - ایکس 0 |.

مقدار δ، برابر با نسبت خطای مطلق اندازه گیری به نتیجه اندازه گیری، خطای نسبی نامیده می شود:

مثال 2.1.مقدار تقریبی عدد π 3.14 است. سپس خطای آن 0.00159 است. خطای مطلق را می توان برابر با 0.0016 و خطای نسبی را برابر با 0.0016/3.14 = 0.00051 = 0.051٪ در نظر گرفت.

اعداد قابل توجهاگر خطای مطلق مقدار a از یک واحد آخرین رقم عدد a تجاوز نکند، می گویند که این عدد همه علائم را درست است. اعداد تقریبی باید یادداشت شوند و فقط علائم صحیح را حفظ کنند. اگر مثلاً خطای مطلق عدد 52400 برابر با 100 باشد، این عدد باید مثلاً 524·10 2 یا 0.524·10 5 نوشته شود. می توانید خطای یک عدد تقریبی را با نشان دادن تعداد ارقام معنی دار واقعی آن تخمین بزنید. هنگام شمارش ارقام مهم، صفرهای سمت چپ عدد شمارش نمی شوند.

به عنوان مثال، عدد 0.0283 دارای سه رقم معتبر معتبر و 2.5400 دارای پنج رقم معتبر معتبر است.

قوانین گرد کردن اعداد. اگر عدد تقریبی شامل کاراکترهای اضافی (یا نادرست) باشد، باید گرد شود. هنگام گرد کردن، یک خطای اضافی رخ می دهد که از نصف واحد آخرین رقم مهم تجاوز نمی کند ( د) عدد گرد شده هنگام گرد کردن، فقط علائم صحیح حفظ می شود. کاراکترهای اضافی کنار گذاشته می شوند و اگر اولین رقم حذف شده بزرگتر یا مساوی باشد د/2، سپس آخرین رقم ذخیره شده یک عدد افزایش می یابد.

اعداد اضافی در اعداد صحیح با صفر جایگزین می شوند و در کسرهای اعشاری آنها (و همچنین صفرهای اضافی) کنار گذاشته می شوند. به عنوان مثال، اگر خطای اندازه گیری 0.001 میلی متر باشد، نتیجه 1.07005 به 1.070 گرد می شود. اگر اولین ارقام صفر اصلاح شده و حذف شده کمتر از 5 باشد، ارقام باقیمانده تغییر نمی کنند. به عنوان مثال، عدد 148935 با دقت اندازه گیری 50 دارای گرد شدن 148900 است. اگر اولین رقمی که با صفر جایگزین می شود یا حذف می شود 5 باشد و بعد از آن هیچ رقم یا صفری وجود نداشته باشد، گرد کردن به نزدیکترین عدد زوج انجام می شود. عدد. به عنوان مثال، عدد 123.50 به 124 گرد می شود. اگر اولین رقمی که باید با صفر جایگزین شود یا کنار گذاشته شود بزرگتر از 5 یا برابر با 5 باشد، اما یک رقم قابل توجه به دنبال آن باشد، آخرین رقم باقیمانده یک افزایش می یابد. به عنوان مثال، عدد 6783.6 به 6784 گرد می شود.

مثال 2.2. هنگام گرد کردن عدد 1284 به 1300، خطای مطلق 1300 - 1284 = 16 و هنگام گرد کردن عدد 1280، خطای مطلق 1280 - 1284 = 4 است.

مثال 2.3. هنگام گرد کردن عدد 197 به 200، خطای مطلق 200 - 197 = 3 است. خطای نسبی 3/197 ≈ 0.01523 یا تقریباً 3/200 ≈ 1.5٪ است.

مثال 2.4. فروشنده هندوانه را روی ترازو وزن می کند. در مجموعه اوزان کوچکترین 50 گرم است وزن 3600 گرم است این عدد تقریبی است. وزن دقیق هندوانه مشخص نیست. اما خطای مطلق از 50 گرم تجاوز نمی کند.خطای نسبی از 50/3600 = 1.4% تجاوز نمی کند.

خطا در حل مشکل در کامپیوتر

معمولاً سه نوع خطا به عنوان منابع اصلی خطا در نظر گرفته می شوند. اینها به اصطلاح خطاهای کوتاه کردن، خطاهای گرد کردن و خطاهای انتشار هستند. برای مثال، هنگام استفاده از روش‌های تکراری برای یافتن ریشه معادلات غیرخطی، نتایج تقریبی هستند، برخلاف روش‌های مستقیم که جواب دقیقی را ارائه می‌دهند.

خطاهای برش

این نوع خطا با خطای ذاتی خود مشکل همراه است. ممکن است به دلیل عدم دقت در تعریف داده های اولیه باشد. به عنوان مثال، اگر ابعادی در شرایط مسئله مشخص شده باشد، در عمل برای اشیاء واقعی، این ابعاد همیشه با دقت مشخص می‌شوند. همین امر در مورد سایر پارامترهای فیزیکی نیز صدق می کند. این همچنین شامل عدم دقت فرمول های محاسباتی و ضرایب عددی موجود در آنها می شود.

خطاهای انتشار

این نوع خطا با استفاده از یک یا روش دیگری برای حل مشکل همراه است. در حین محاسبات ناگزیر انباشتگی یا به عبارتی انتشار خطا رخ می دهد. علاوه بر این که خود داده های اصلی دقیق نیستند، هنگام ضرب، جمع و ... خطای جدیدی ایجاد می شود. انباشتگی خطا به ماهیت و تعداد عملیات حسابی مورد استفاده در محاسبه بستگی دارد.

خطاهای گرد کردن

این نوع خطا به این دلیل است که مقدار واقعی یک عدد همیشه به طور دقیق توسط کامپیوتر ذخیره نمی شود. هنگامی که یک عدد واقعی در حافظه کامپیوتر ذخیره می شود، به صورت یک مانتیس و توان آن به همان شکلی که یک عدد در ماشین حساب نمایش داده می شود، نوشته می شود.