چگونه یک سیستم معادلات را با استفاده از ماتریس حل کنیم. معادلات خطی

مبحث 2. سیستم معادلات جبری خطی.

مفاهیم اساسی.

تعریف 1. سیستم مترمعادلات خطی با nمجهولات سیستمی به شکل زیر است:

اعداد کجا و هستند

تعریف 2. راه حل سیستم (I) مجموعه ای از مجهولات است که در آن هر معادله این سیستم به یک هویت تبدیل می شود.

تعریف 3. سیستم (I) نامیده می شود مفصل، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد و غیر مشترک، اگر راه حلی نداشته باشد. سیستم مفصلی نامیده می شود مسلم - قطعی، اگر راه حل منحصر به فردی داشته باشد و نا معلومدر غیر این صورت.

تعریف 4. معادله فرم

تماس گرفت صفر، و معادله به شکل است

تماس گرفت ناسازگار. بدیهی است که سیستم معادلات حاوی یک معادله ناسازگار ناسازگار است.

تعریف 5. دو سیستم معادلات خطی نامیده می شوند معادل، اگر هر راه حل یک سیستم به عنوان راه حلی برای سیستم دیگر عمل کند و برعکس، هر راه حل سیستم دوم راه حلی برای سیستم اول باشد.

نمایش ماتریسی یک سیستم معادلات خطی.

اجازه دهید سیستم (I) را در نظر بگیریم (نگاه کنید به §1).

بیایید نشان دهیم:

ماتریس ضریب برای مجهولات

ماتریس - ستون اصطلاحات آزاد

ماتریس - ستون مجهولات

.

تعریف 1.ماتریس نامیده می شود ماتریس اصلی سیستم(I) و ماتریس ماتریس توسعه یافته سیستم (I) است.

با تعریف برابری ماتریس ها، سیستم (I) با برابری ماتریس مطابقت دارد:

.

سمت راست این برابری با تعریف حاصل ضرب ماتریس ها ( به تعریف 3 § 5 فصل 1 مراجعه کنید) را می توان فاکتورسازی کرد:

، یعنی

برابری (2) تماس گرفت نماد ماتریسی سیستم (I).

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر.

سیستم (I) را وارد کنید (به بند 1 مراجعه کنید) m=n، یعنی تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است و ماتریس اصلی سیستم غیر مفرد است، یعنی. . سپس سیستم (I) از §1 یک راه حل منحصر به فرد دارد

جایی که Δ = دت ااصلی نامیده می شود تعیین کننده سیستم(I)، Δ منبا جایگزینی از دترمینان Δ بدست می آید منستون هفتم به ستونی از اعضای آزاد سیستم (I).

مثال: سیستم را با استفاده از روش کرامر حل کنید:

.

با فرمول ها (3) .

ما عوامل تعیین کننده سیستم را محاسبه می کنیم:

,

,

.

برای به دست آوردن دترمینان، ستون اول در تعیین کننده را با ستونی از عبارات آزاد جایگزین کردیم. با جایگزینی ستون 2 در تعیین کننده با ستونی از عبارات آزاد، دریافت می کنیم؛ به روشی مشابه، با جایگزینی ستون 3 در تعیین کننده با ستونی از عبارات آزاد، دریافت می کنیم. راه حل سیستم:

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از ماتریس معکوس.

سیستم (I) را وارد کنید (به بند 1 مراجعه کنید) m=nو ماتریس اصلی سیستم غیر تکی است. اجازه دهید سیستم (I) را به شکل ماتریس بنویسیم ( §2 را ببینید):

زیرا ماتریس آغیر مفرد، پس ماتریس معکوس دارد ( قضیه 1 §6 از فصل 1 را ببینید). بیایید هر دو طرف برابری را ضرب کنیم (2) به ماتریس، سپس

با تعریف ماتریس معکوس. از برابری (3) ما داریم

سیستم را با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید

.

بیایید نشان دهیم

در مثال (§ 3) ما تعیین کننده، بنابراین، ماتریس را محاسبه کردیم آماتریس معکوس دارد. سپس در اثر (4) ، یعنی

. (5)

بیایید ماتریس را پیدا کنیم ( §6 فصل 1 را ببینید)

, , ,

, , ,

,

.

روش گاوس

اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی داده شود:

. (من)

لازم است تمام راه حل های سیستم (I) را بیابید یا از ناسازگاری سیستم اطمینان حاصل کنید.

تعریف 1.اجازه دهید تغییر ابتدایی سیستم را بنامیم(I) هر یک از سه عمل:

1) خط زدن معادله صفر؛

2) افزودن قسمتهای مربوط به معادله دیگر به دو طرف معادله، ضرب در عدد l.

3) مبادله عبارت در معادلات سیستم به طوری که مجهولات با اعداد یکسان در همه معادلات مکان های یکسانی را اشغال کنند، یعنی. اگر مثلاً در معادله 1 ترم های 2 و 3 را تغییر دادیم، در تمام معادلات سیستم باید به همین ترتیب عمل کرد.

روش گاوس شامل این واقعیت است که سیستم (I) با کمک تبدیلات اولیه به یک سیستم معادل کاهش می یابد که راه حل آن مستقیماً یافت می شود یا حل نشدنی آن ثابت می شود.

همانطور که در §2 توضیح داده شد، سیستم (I) به طور منحصربه‌فردی توسط ماتریس توسعه‌یافته آن تعیین می‌شود و هر تبدیل ابتدایی سیستم (I) با تبدیل اولیه ماتریس توسعه‌یافته مطابقت دارد:

.

تبدیل 1) مربوط به حذف ردیف صفر در ماتریس است، تبدیل 2) معادل افزودن یک ردیف دیگر به سطر مربوطه ماتریس است، ضرب در عدد l، تبدیل 3) معادل مرتب کردن مجدد ستون ها در ماتریس است.

به راحتی می توان فهمید که برعکس، هر تبدیل اولیه ماتریس با یک تبدیل ابتدایی سیستم (I) مطابقت دارد. با توجه به موارد فوق به جای عملیات با سیستم (I) با ماتریس توسعه یافته این سیستم کار خواهیم کرد.

در ماتریس، ستون 1 از ضرایب برای تشکیل شده است x 1، ستون 2 - از ضرایب برای x 2و غیره. اگر ستون ها مجدداً چیده شوند، باید در نظر داشت که این شرط نقض شده است. به عنوان مثال، اگر ستون های 1 و 2 را با هم عوض کنیم، اکنون ستون 1 حاوی ضرایب برای x 2، و در ستون 2 - ضرایب برای x 1.

سیستم (I) را با استفاده از روش گاوسی حل خواهیم کرد.

1. تمام سطرهای صفر در ماتریس را در صورت وجود خط بزنید (یعنی تمام معادلات صفر در سیستم (I) را خط بزنید.

2. بیایید بررسی کنیم که آیا در بین ردیف های ماتریس ردیفی وجود دارد که در آن همه عناصر به جز آخرین مورد برابر با صفر هستند (بیایید چنین ردیفی را ناسازگار بنامیم). بدیهی است که چنین خطی با یک معادله ناسازگار در سیستم (I) مطابقت دارد، بنابراین سیستم (I) هیچ راه حلی ندارد و این جایی است که فرآیند به پایان می رسد.

3. اجازه دهید ماتریس حاوی ردیف های ناسازگار نباشد (سیستم (I) شامل معادلات ناسازگار نیست). اگر a 11 = 0سپس در سطر 1 عنصری غیر از صفر پیدا می کنیم (به جز آخرین مورد) و ستون ها را به گونه ای مرتب می کنیم که در ردیف اول هیچ صفری در جای اول نباشد. اکنون فرض می کنیم که (یعنی عبارت های مربوطه را در معادلات سیستم (I) تعویض می کنیم).

4. خط 1 را ضرب کنید و نتیجه را با خط 2 جمع کنید، سپس خط 1 را در ضرب کنید و نتیجه را با خط 3 و غیره جمع کنید. بدیهی است که این فرآیند معادل حذف مجهولات است x 1از تمام معادلات سیستم (I)، به جز 1. در ماتریس جدید، در ستون 1 زیر عنصر، صفر می گیریم یک 11:

.

5. بیایید تمام ردیف‌های صفر در ماتریس را خط بکشیم، در صورت وجود، و بررسی کنیم که آیا یک ردیف ناسازگار وجود دارد (اگر یک ردیف وجود دارد، پس سیستم ناسازگار است و راه‌حل به آنجا ختم می‌شود). بیایید بررسی کنیم که آیا وجود خواهد داشت a 22 / = 0، اگر بله، در سطر 2 عنصری غیر از صفر پیدا می کنیم و ستون ها را طوری مرتب می کنیم که . سپس عناصر ردیف دوم را در ضرب کنید و با عناصر مربوط به خط 3، سپس - عناصر خط 2 را جمع کنید و با عناصر مربوط به خط 4 و غیره اضافه کنید تا زمانی که صفرهای زیر را بدست آوریم. یک 22/

.

اقدامات انجام شده معادل حذف ناشناخته است x 2از تمام معادلات سیستم (I) به جز 1 و 2. از آنجایی که تعداد سطرها محدود است، بنابراین پس از تعداد محدودی از مراحل، دریافت می کنیم که یا سیستم ناسازگار است، یا در نهایت به یک ماتریس گام می رسیم ( به تعریف 2 §7 فصل 1 مراجعه کنید) :

,

اجازه دهید سیستم معادلات مربوط به ماتریس را بنویسیم. این سیستم معادل سیستم (I) است.

.

از آخرین معادله ای که بیان می کنیم؛ معادله قبلی را جایگزین کنید، پیدا کنید، و غیره، تا زمانی که به .

یادداشت 1.بنابراین، هنگام حل سیستم (I) با استفاده از روش گاوسی، به یکی از موارد زیر می رسیم.

1. سیستم (I) ناسازگار است.

2. اگر تعداد سطرهای ماتریس با تعداد مجهولات () برابر باشد، سیستم (I) راه حل منحصر به فردی دارد.

3. اگر تعداد سطرهای ماتریس کمتر از تعداد مجهول ها باشد، سیستم (I) دارای بی نهایت جواب است.

از این رو قضیه زیر صادق است.

قضیه.یک سیستم معادلات خطی یا ناسازگار است، یا دارای یک راه حل منحصر به فرد یا دارای تعداد بی نهایت راه حل است.

مثال ها. سیستم معادلات را با استفاده از روش گاوس حل کنید یا ناسازگاری آن را ثابت کنید:

ب) ;

الف) اجازه دهید سیستم داده شده را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

.

ما معادلات 1 و 2 سیستم اصلی را تعویض کرده ایم تا محاسبات را ساده کنیم (به جای کسری، فقط با استفاده از این بازآرایی با اعداد صحیح کار خواهیم کرد).

بیایید یک ماتریس توسعه یافته ایجاد کنیم:

.

هیچ خط پوچ وجود ندارد. هیچ خط ناسازگاری وجود ندارد، بیایید مجهول 1 را از تمام معادلات سیستم به جز 1 مستثنی کنیم. برای انجام این کار، عناصر ردیف اول ماتریس را در "-2" ضرب کنید و آنها را با عناصر مربوط به ردیف 2 جمع کنید، که معادل ضرب کردن معادله 1 در "-2" و جمع کردن آن با 2 است. معادله سپس عناصر خط اول را در "-3" ضرب می کنیم و آنها را با عناصر مربوط به خط سوم، یعنی. معادله 2 سیستم داده شده را در "-3" ضرب کنید و آن را به معادله 3 اضافه کنید. ما گرفتیم

.

ماتریس مربوط به سیستم معادلات است). - (به تعریف 3§7 از فصل 1 مراجعه کنید).

در نظر بگیریم سیستم معادلات جبری خطی(SLAU) نسبتاً nناشناخته ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n :

این سیستم به شکل "فرسوده" را می توان به صورت زیر نوشت:

اس n i=1 آ ij ایکس j = ب من , i=1,2, ..., n.

مطابق با قانون ضرب ماتریس، سیستم معادلات خطی در نظر گرفته شده را می توان در آن نوشت فرم ماتریسی تبر = ب، جایی که

, ,.

ماتریس آکه ستون های آن ضرایب مجهولات مربوطه و سطرها ضرایب مجهولات در معادله مربوطه نامیده می شود. ماتریس سیستم. ماتریس ستونی بکه عناصر آن سمت راست معادلات سیستم هستند، ماتریس سمت راست یا به سادگی نامیده می شود. سمت راست سیستم. ماتریس ستونی ایکس ، که عناصر آن مجهولات مجهول هستند، نامیده می شود راه حل سیستم.

سیستمی از معادلات جبری خطی که به شکل نوشته شده است تبر = ب، است معادله ماتریسی.

اگر ماتریس سیستم غیر منحط، سپس دارای یک ماتریس معکوس است و سپس راه حل سیستم است تبر = ببا فرمول داده می شود:

x=A -1 ب.

مثالسیستم را حل کنید روش ماتریسی

راه حلبیایید ماتریس معکوس را برای ماتریس ضرایب سیستم پیدا کنیم

بیایید با بسط دادن در امتداد خط اول، تعیین کننده را محاسبه کنیم:

از آنجا که Δ ≠ 0 ، آن آ -1 وجود دارد.

ماتریس معکوس به درستی پیدا شد.

بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

از این رو، ایکس 1 = 1، x 2 = 2، x 3 = 3 .

معاینه:

7. قضیه کرونکر-کاپلی در مورد سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی.

سیستم معادلات خطیدارای فرم:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2، (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

در اینجا a i j و b i (i = ; j = ) داده می شود و x j اعداد حقیقی مجهول هستند. با استفاده از مفهوم حاصلضرب ماتریس ها می توان سیستم (5.1) را به شکل زیر بازنویسی کرد:

که در آن A = (a i j) ماتریسی متشکل از ضرایب مجهولات سیستم (5.1) است که نامیده می شود. ماتریس سیستم, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T بردارهای ستونی هستند که به ترتیب از مجهولات x j و عبارات آزاد b i تشکیل شده اند.

مجموعه سفارش داده شده nاعداد حقیقی (c 1, c 2,..., c n) نامیده می شود راه حل سیستم(5.1)، اگر در نتیجه جایگزینی این اعداد به جای متغیرهای متناظر x 1، x 2،...، x n، هر معادله سیستم به یک هویت حسابی تبدیل شود. به عبارت دیگر، اگر بردار C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T وجود داشته باشد به طوری که AC  B.

سیستم (5.1) نامیده می شود مفصل،یا قابل حل،اگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم نامیده می شود ناسازگار،یا غیر قابل حل، اگر راه حلی نداشته باشد.

,

تشکیل شده با اختصاص ستونی از عبارت های آزاد به ماتریس A در سمت راست نامیده می شود ماتریس توسعه یافته سیستم

مسئله سازگاری سیستم (5.1) با قضیه زیر حل می شود.

قضیه کرونکر-کاپلی . سیستم معادلات خطی اگر و فقط در صورتی سازگار است که رتبه‌های ماتریس‌های A و A با هم منطبق باشند، یعنی. r(A) = r(A) = r.

برای مجموعه M از راه حل های سیستم (5.1) سه احتمال وجود دارد:

1) M =  (در این مورد سیستم ناسازگار است).

2) M از یک عنصر تشکیل شده است، یعنی. سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (در این مورد سیستم نامیده می شود مسلم - قطعی);

3) M از بیش از یک عنصر تشکیل شده است (سپس سیستم فراخوانی می شود نا معلوم). در حالت سوم، سیستم (5.1) دارای بی نهایت جواب است.

سیستم تنها در صورتی که r(A) = n راه حل منحصر به فردی دارد. در این حالت، تعداد معادلات کمتر از تعداد مجهولات (mn) نیست. اگر m>n، معادلات m-n پیامدهای دیگر هستند. اگر 0

برای حل یک سیستم دلخواه از معادلات خطی، باید بتوانید سیستم هایی را حل کنید که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است - به اصطلاح سیستم های نوع کرامر:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2، (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

سیستم های (5.3) به یکی از روش های زیر حل می شوند: 1) روش گاوس، یا روش حذف مجهولات. 2) طبق فرمول های کرامر؛ 3) روش ماتریسی.

مثال 2.12. سیستم معادلات را کاوش کنید و در صورت سازگاری آن را حل کنید:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7،

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

راه حل.ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم:

 .

بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم. واضح است که مثلاً مینور مرتبه دوم در گوشه سمت چپ بالا = 7  0; مینورهای مرتبه سوم حاوی آن برابر با صفر هستند:

در نتیجه، رتبه ماتریس اصلی سیستم 2 است، یعنی. r(A) = 2. برای محاسبه رتبه ماتریس توسعه یافته A، مینور مرزی را در نظر بگیرید.

این بدان معنی است که رتبه ماتریس توسعه یافته r(A) = 3. از آنجایی که r(A)  r(A)، سیستم ناسازگار است.

سیستمی از m معادلات خطی با n مجهولسیستم فرم نامیده می شود

جایی که یک ijو b i (من=1,…,متر; ب=1,…,n) تعدادی اعداد شناخته شده هستند و x 1، …، x n- ناشناخته. در تعیین ضرایب یک ijشاخص اول مننشان دهنده عدد معادله و دومی است j- تعداد مجهولی که این ضریب در آن قرار دارد.

ضرایب مجهولات را به صورت ماتریس می نویسیم ، که ما با آن تماس خواهیم گرفت ماتریس سیستم.

اعداد سمت راست معادلات هستند b 1,…,b mنامیده می شوند اعضای رایگان

کلیت nشماره c 1,…,c nتماس گرفت تصمیم گیریاز یک سیستم معین، اگر هر معادله سیستم پس از جایگزینی اعداد به یک برابری تبدیل شود c 1,…,c nبه جای مجهولات مربوطه x 1، …، x n.

وظیفه ما یافتن راه حل برای سیستم خواهد بود. در این حالت سه حالت ممکن است پیش بیاید:

سیستم معادلات خطی که حداقل یک جواب داشته باشد نامیده می شود مفصل. در غیر این صورت، یعنی اگر سیستم راه حلی نداشته باشد، نامیده می شود غیر مشترک.

بیایید راه هایی را برای یافتن راه حل های سیستم در نظر بگیریم.

روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات خطی

ماتریس ها امکان نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی را فراهم می کنند. اجازه دهید یک سیستم از 3 معادله با سه مجهول داده شود:

ماتریس سیستم را در نظر بگیرید و ستون های عبارت مجهول و مجهول را ماتریس می کند

بیایید کار را پیدا کنیم

آن ها در نتیجه حاصل ضرب، سمت چپ معادلات این سیستم را بدست می آوریم. سپس با استفاده از تعریف برابری ماتریسی می توان این سیستم را به شکل نوشت

یا کوتاهتر آ∙X=B.

در اینجا ماتریس ها وجود دارد آو بشناخته شده اند، و ماتریس ایکسناشناخته. یافتن آن ضروری است، زیرا ... عناصر آن راه حل این سیستم هستند. این معادله نامیده می شود معادله ماتریسی.

بگذارید تعیین کننده ماتریس با صفر | متفاوت باشد آ| ≠ 0. سپس معادله ماتریس به صورت زیر حل می شود. دو طرف معادله سمت چپ را در ماتریس ضرب کنید الف-1، معکوس ماتریس آ: . از آنجا که A -1 A = Eو E∙X = X، سپس جواب معادله ماتریس را به شکل به دست می آوریم X = A -1 B .

توجه داشته باشید که از آنجایی که ماتریس معکوس را فقط برای ماتریس های مربع می توان یافت، روش ماتریس فقط می تواند سیستم هایی را حل کند که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق است. با این حال، ثبت ماتریسی سیستم نیز در صورتی امکان پذیر است که تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر نباشد، ماتریس آمربع نخواهد بود و بنابراین یافتن راه حلی برای سیستم در قالب غیرممکن است X = A -1 B.

مثال ها.حل سیستم معادلات

قانون کرامر

سیستمی متشکل از 3 معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیرید:

تعیین کننده مرتبه سوم مربوط به ماتریس سیستم، یعنی. متشکل از ضرایب برای مجهولات،

تماس گرفت تعیین کننده سیستم.

بیایید سه تعیین کننده دیگر را به صورت زیر بسازیم: ستون های 1، 2 و 3 را به صورت متوالی در تعیین کننده D با ستونی از عبارت های آزاد جایگزین کنید.

سپس می توانیم نتیجه زیر را ثابت کنیم.

قضیه (قاعده کرامر).اگر تعیین کننده سیستم Δ≠ 0 باشد، سیستم مورد بررسی تنها یک راه حل دارد و

اثبات. بنابراین، بیایید یک سیستم 3 معادله با سه مجهول را در نظر بگیریم. بیایید معادله 1 سیستم را در متمم جبری ضرب کنیم یک 11عنصر یک 11، معادله 2 - روشن A 21و 3 - در A 31:

بیایید این معادلات را اضافه کنیم:

بیایید به هر یک از براکت ها و سمت راست این معادله نگاه کنیم. با قضیه بسط دترمینان در عناصر ستون 1

به طور مشابه، می توان نشان داد که و .

در نهایت، به راحتی می توان متوجه آن شد

بنابراین، برابری را بدست می آوریم: .

از این رو، .

برابری ها و به طور مشابه مشتق می شوند که بیان قضیه از آنها حاصل می شود.

بنابراین، توجه می کنیم که اگر تعیین کننده سیستم Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد و بالعکس. اگر تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، آنگاه سیستم یا بی نهایت جواب دارد یا هیچ جوابی ندارد، یعنی. ناسازگار

مثال ها.حل سیستم معادلات

روش گاوس

روش‌هایی که قبلاً بحث شد را می‌توان برای حل آن دسته از سیستم‌هایی استفاده کرد که در آنها تعداد معادلات با تعداد مجهول‌ها منطبق است و تعیین‌کننده سیستم باید با صفر متفاوت باشد. روش گاوس جهانی تر و برای سیستم هایی با هر تعداد معادله مناسب است. این شامل حذف مداوم مجهولات از معادلات سیستم است.

دوباره سیستمی از سه معادله با سه مجهول را در نظر بگیرید:

.

معادله اول را بدون تغییر می گذاریم و از 2 و 3 عبارات حاوی x 1. برای انجام این کار، معادله دوم را بر تقسیم کنید آ 21 و ضرب در - آ 11 و سپس آن را به معادله 1 اضافه کنید. به همین ترتیب، معادله سوم را بر تقسیم می کنیم آ 31 و ضرب در - آ 11 و سپس آن را با اولی اضافه کنید. در نتیجه، سیستم اصلی به شکل زیر خواهد بود:

حال از آخرین معادله عبارت حاوی را حذف می کنیم x 2. برای انجام این کار، معادله سوم را تقسیم بر، ضرب و با دومی جمع کنید. سپس ما یک سیستم معادلات خواهیم داشت:

از اینجا، از آخرین معادله پیدا کردن آن آسان است x 3، سپس از معادله 2 x 2و در نهایت، از 1 - x 1.

هنگام استفاده از روش گاوسی، در صورت لزوم می توان معادلات را تعویض کرد.

اغلب، به جای نوشتن یک سیستم جدید از معادلات، خود را به نوشتن ماتریس توسعه یافته سیستم محدود می کنند:

و سپس با استفاده از تبدیل های ابتدایی به شکل مثلثی یا مورب بیاورید.

به تحولات ابتداییماتریس ها شامل تبدیل های زیر هستند:

1. تنظیم مجدد ردیف ها یا ستون ها؛
2. ضرب رشته در عددی غیر از صفر؛
3. اضافه کردن خطوط دیگر به یک خط

مثال ها:حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس.

بنابراین، سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. انسان در زمان های قدیم از معادلات استفاده می کرد و از آن زمان استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. روش ماتریسی به شما امکان می دهد راه حل هایی برای SLAE (سیستم معادلات جبری خطی) با هر پیچیدگی پیدا کنید. کل فرآیند حل SLAE به دو عمل اصلی خلاصه می شود:

تعیین ماتریس معکوس بر اساس ماتریس اصلی:

ضرب ماتریس معکوس حاصل در بردار ستونی از راه حل ها.

فرض کنید یک SLAE به شکل زیر به ما داده می شود:

\[\left\(\begin(ماتریس) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end (ماتریس)\راست.\]

بیایید حل این معادله را با نوشتن ماتریس سیستم شروع کنیم:

ماتریس سمت راست:

بیایید ماتریس معکوس را تعریف کنیم. شما می توانید یک ماتریس مرتبه دوم را به صورت زیر بیابید: 1 - خود ماتریس باید غیر مفرد باشد. 2 - عناصر آن که روی مورب اصلی قرار دارند با هم عوض می شوند و برای عناصر قطر ثانویه علامت را به سمت مقابل تغییر می دهیم و پس از آن عناصر به دست آمده را بر تعیین کننده ماتریس تقسیم می کنیم. ما گرفتیم:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\arrow arrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ شروع (pmatrix) -11 \\ 31 \end (pmatrix) \]

2 ماتریس در صورتی برابر در نظر گرفته می شوند که عناصر متناظر آنها برابر باشند. در نتیجه، ما پاسخ زیر را برای راه حل SLAE داریم:

کجا می توانم یک سیستم معادلات را با استفاده از روش ماتریسی به صورت آنلاین حل کنم؟

شما می توانید سیستم معادلات را در وب سایت ما حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادلات آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که به سادگی داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیابید. و اگر هنوز سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه VKontakte ما بپرسید.