Μάθημα "Πολύγωνα. Τύποι πολυγώνων" στην τεχνολογία "Ανάπτυξη κριτικής σκέψης μέσω ανάγνωσης και γραφής"

Τύποι πολυγώνων:

Τετράγωνα

Τετράγωνα, αντίστοιχα, αποτελούνται από 4 πλευρές και γωνίες.

Οι πλευρές και οι γωνίες που βρίσκονται η μία απέναντι από την άλλη ονομάζονται απεναντι απο.

Οι διαγώνιοι χωρίζουν τα κυρτά τετράπλευρα σε τρίγωνα (βλ. σχήμα).

Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού τετράπλευρου είναι 360° (χρησιμοποιώντας τον τύπο: (4-2)*180°).

παραλληλόγραμμα

Παραλληλόγραμμοείναι ένα κυρτό τετράπλευρο με αντίθετες παράλληλες πλευρές (αριθμημένο 1 στο σχήμα).

Οι απέναντι πλευρές και γωνίες σε ένα παραλληλόγραμμο είναι πάντα ίσες.

Και οι διαγώνιοι στο σημείο τομής χωρίζονται στο μισό.

Τραπέζιο

Τραπέζιοείναι επίσης τετράπλευρο, και τραπέζιομόνο δύο πλευρές είναι παράλληλες, οι οποίες ονομάζονται λόγους. Οι άλλες πλευρές είναι πλευρές.

Το τραπεζοειδές στο σχήμα είναι με αριθμό 2 και 7.

Όπως στο τρίγωνο:

Αν οι πλευρές είναι ίσες, τότε το τραπεζοειδές είναι ισοσκελής;

Αν μία από τις γωνίες είναι ορθή, τότε το τραπεζοειδές είναι ορθογώνιος.

Η μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς είναι το ήμισυ του αθροίσματος των βάσεων και είναι παράλληλη με αυτές.

Ρόμβος

Ρόμβοςείναι ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες.

Εκτός από τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου, οι ρόμβοι έχουν τη δική τους ειδική ιδιότητα - οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι κάθετεςο ένας τον άλλον και διχοτομούν τις γωνίες ενός ρόμβου.

Στο σχήμα, ο ρόμβος έχει τον αριθμό 5.

Ορθογώνια

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο- αυτό είναι ένα παραλληλόγραμμο, στο οποίο κάθε γωνία είναι μια δεξιά (δείτε στο σχήμα στον αριθμό 8).

Εκτός από τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου, τα ορθογώνια έχουν τη δική τους ειδική ιδιότητα - οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες.

τετράγωνα

τετράγωνοείναι ένα ορθογώνιο με όλες τις πλευρές ίσες (#4).

Έχει τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου και ενός ρόμβου (αφού όλες οι πλευρές είναι ίσες).

Σε αυτό το μάθημα, θα ξεκινήσουμε ένα νέο θέμα και θα εισαγάγουμε μια νέα έννοια για εμάς - ένα "πολύγωνο". Θα εξετάσουμε τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τα πολύγωνα: πλευρές, κορυφές, γωνίες, κυρτότητα και μη κυρτότητα. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε τα πιο σημαντικά γεγονότα, όπως το θεώρημα για το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου, το θεώρημα για το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου. Ως αποτέλεσμα, θα πλησιάσουμε στη μελέτη ειδικών περιπτώσεων πολυγώνων, οι οποίες θα εξεταστούν σε μελλοντικά μαθήματα.

Θέμα: Τετράγωνα

Μάθημα: Πολύγωνα

Στο μάθημα της γεωμετρίας, μελετάμε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων και έχουμε ήδη εξετάσει τις απλούστερες από αυτές: τρίγωνα και κύκλους. Παράλληλα, συζητήσαμε και συγκεκριμένες ειδικές περιπτώσεις αυτών των μορφών, όπως ορθογώνια, ισοσκελή και κανονικά τρίγωνα. Τώρα ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για πιο γενικά και σύνθετα σχήματα - πολύγωνα.

Με ειδική θήκη πολύγωναείμαστε ήδη εξοικειωμένοι - αυτό είναι ένα τρίγωνο (βλ. Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Τρίγωνο

Το ίδιο το όνομα τονίζει ήδη ότι πρόκειται για μια φιγούρα που έχει τρεις γωνίες. Επομένως, σε πολύγωνομπορεί να υπάρχουν πολλά από αυτά, δηλ. περισσότερα από τρία. Για παράδειγμα, ας σχεδιάσουμε ένα πεντάγωνο (βλ. Εικ. 2), δηλ. φιγούρα με πέντε γωνίες.

Ρύζι. 2. Πεντάγωνο. Κυρτό πολύγωνο

Ορισμός.Πολύγωνο- ένα σχήμα που αποτελείται από πολλά σημεία (περισσότερα από δύο) και τον αντίστοιχο αριθμό τμημάτων που τα συνδέουν σε σειρά. Αυτά τα σημεία ονομάζονται κορυφέςπολύγωνο και τμήματα - κόμματα. Σε αυτή την περίπτωση, δεν υπάρχουν δύο γειτονικές πλευρές στην ίδια ευθεία και δεν τέμνονται δύο μη γειτονικές πλευρές.

Ορισμός.κανονικό πολύγωνοείναι ένα κυρτό πολύγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές και οι γωνίες είναι ίσες.

Οποιος πολύγωνοχωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές: εσωτερική και εξωτερική. Το εσωτερικό αναφέρεται επίσης ως πολύγωνο.

Με άλλα λόγια, για παράδειγμα, όταν μιλούν για ένα πεντάγωνο, εννοούν και ολόκληρη την εσωτερική του περιοχή και τα σύνορά του. Και η εσωτερική περιοχή περιλαμβάνει επίσης όλα τα σημεία που βρίσκονται μέσα στο πολύγωνο, δηλ. το σημείο ανήκει επίσης στο πεντάγωνο (βλ. Εικ. 2).

Τα πολύγωνα μερικές φορές ονομάζονται επίσης n-gons για να τονιστεί ότι εξετάζεται η γενική περίπτωση ύπαρξης κάποιου άγνωστου αριθμού γωνιών (n κομμάτια).

Ορισμός. Πολύγωνο περίμετροςείναι το άθροισμα των μηκών των πλευρών του πολυγώνου.

Τώρα πρέπει να εξοικειωθούμε με τους τύπους των πολυγώνων. Χωρίζονται σε κυρτόςκαι μη κυρτό. Για παράδειγμα, το πολύγωνο που φαίνεται στο Σχ. 2 είναι κυρτό και στο Σχ. 3 μη κυρτό.

Ρύζι. 3. Μη κυρτό πολύγωνο

Ορισμός 1. Πολύγωνοπου ονομάζεται κυρτός, εάν όταν σχεδιάζετε μια ευθεία γραμμή μέσω κάποιας από τις πλευρές του, ολόκληρο πολύγωνοβρίσκεται μόνο στη μία πλευρά αυτής της γραμμής. μη κυρτόείναι όλα τα υπόλοιπα πολύγωνα.

Είναι εύκολο να φανταστεί κανείς ότι όταν εκτείνεται οποιαδήποτε πλευρά του πενταγώνου στο Σχ. 2 θα είναι όλα στη μία πλευρά αυτής της ευθείας γραμμής, δηλ. είναι κυρτός. Αλλά όταν σχεδιάζετε μια ευθεία γραμμή μέσω του τετράπλευρου στο Σχ. 3 βλέπουμε ήδη ότι το χωρίζει σε δύο μέρη, δηλ. είναι μη κυρτό.

Υπάρχει όμως ένας άλλος ορισμός της κυρτότητας ενός πολυγώνου.

Ορισμός 2. Πολύγωνοπου ονομάζεται κυρτόςεάν, όταν επιλέγουμε δύο από τα εσωτερικά σημεία του και τα συνδέουμε με ένα τμήμα, όλα τα σημεία του τμήματος είναι επίσης εσωτερικά σημεία του πολυγώνου.

Μια επίδειξη της χρήσης αυτού του ορισμού μπορεί να φανεί στο παράδειγμα κατασκευής τμημάτων στο Σχ. 2 και 3.

Ορισμός. ΔιαγώνιοςΠολύγωνο είναι κάθε τμήμα που συνδέει δύο μη γειτονικές κορυφές.

Για να περιγράψουμε τις ιδιότητες των πολυγώνων, υπάρχουν δύο πιο σημαντικά θεωρήματα σχετικά με τις γωνίες τους: Θεώρημα αθροίσματος κυρτού πολυγώνου εσωτερικής γωνίαςκαι Θεώρημα αθροίσματος κυρτού πολυγώνου εξωτερικής γωνίας. Ας τα εξετάσουμε.

Θεώρημα. Στο άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου (n-gon).

Πού είναι ο αριθμός των γωνιών του (πλευρών).

Απόδειξη 1. Ας απεικονίσουμε στο Σχ. 4 κυρτό n-gon.

Ρύζι. 4. Κυρτό n-gon

Σχεδιάστε όλες τις πιθανές διαγώνιους από την κορυφή. Χωρίζουν το ν-γώνιο σε τρίγωνα, γιατί καθεμία από τις πλευρές του πολυγώνου σχηματίζει ένα τρίγωνο, εκτός από τις πλευρές που γειτνιάζουν με την κορυφή. Είναι εύκολο να δούμε από το σχήμα ότι το άθροισμα των γωνιών όλων αυτών των τριγώνων θα είναι απλώς ίσο με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του n-gon. Εφόσον το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι , τότε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός n-γώνου είναι:

Q.E.D.

Απόδειξη 2. Μια άλλη απόδειξη αυτού του θεωρήματος είναι επίσης δυνατή. Ας σχεδιάσουμε ένα παρόμοιο n-gon στο Σχ. 5 και συνδέστε οποιοδήποτε από τα εσωτερικά του σημεία σε όλες τις κορυφές.

Ρύζι. 5.

Πήραμε ένα διαμέρισμα ενός n-gon σε n τρίγωνα (πόσες πλευρές, τόσα τρίγωνα). Το άθροισμα όλων των γωνιών τους είναι ίσο με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του πολυγώνου και το άθροισμα των γωνιών στο εσωτερικό σημείο, και αυτή είναι η γωνία. Εχουμε:

Q.E.D.

Αποδεδειγμένος.

Σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα, μπορεί να φανεί ότι το άθροισμα των γωνιών ενός n-γωνίου εξαρτάται από τον αριθμό των πλευρών του (στο n). Για παράδειγμα, σε ένα τρίγωνο, και το άθροισμα των γωνιών είναι . Σε ένα τετράπλευρο, και το άθροισμα των γωνιών - κ.λπ.

Θεώρημα. Στο άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου (n-gon).

Πού είναι ο αριθμός των γωνιών του (πλευρές), και , ..., είναι οι εξωτερικές γωνίες.

Απόδειξη. Ας σχεδιάσουμε ένα κυρτό n-gon στο Σχ. 6 και να δηλώσετε τις εσωτερικές και εξωτερικές γωνίες του.

Ρύζι. 6. Κυρτό n-gon με σημαδεμένες εξωτερικές γωνίες

Επειδή η εξωτερική γωνία συνδέεται με την εσωτερική ως γειτονική, λοιπόν και ομοίως για άλλες εξωτερικές γωνίες. Επειτα:

Κατά τους μετασχηματισμούς χρησιμοποιήσαμε το ήδη αποδεδειγμένο θεώρημα για το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός n-gon.

Αποδεδειγμένος.

Από το αποδεδειγμένο θεώρημα προκύπτει ένα ενδιαφέρον γεγονός ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού n-gon είναι ίσο με στον αριθμό των γωνιών του (πλευρών). Παρεμπιπτόντως, σε αντίθεση με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών.

Βιβλιογραφία

1. Aleksandrov A.D. κλπ. Γεωμετρία, τάξη 8. - Μ.: Εκπαίδευση, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Γεωμετρία, 8η τάξη. - Μ.: Εκπαίδευση, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Γεωμετρία, 8η τάξη. - Μ.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Εργασία για το σπίτι

Υπάρχουν διαφορετικές απόψεις για το τι θεωρείται πολύγωνο. Σε ένα μάθημα σχολικής γεωμετρίας, χρησιμοποιείται ένας από τους παρακάτω ορισμούς.

Ορισμός 1

Πολύγωνο

είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τμήματα

ώστε τα παρακείμενα τμήματα(δηλαδή, γειτονικά τμήματα με κοινή κορυφή, για παράδειγμα, A1A2 και A2A3) μην βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή και τα μη γειτονικά τμήματα δεν έχουν κοινά σημεία.

Ορισμός 2

Ένα απλό κλειστό πολύγωνο ονομάζεται πολύγωνο.

σημεία

που ονομάζεται κορυφές πολυγώνου, τμήματα

— πλευρές πολυγώνου.

Το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών λέγεται πολυγωνική περίμετρος.

Ένα πολύγωνο που έχει n κορυφές (και επομένως n πλευρές) ονομάζεται n - τετράγωνο.

Ένα πολύγωνο που βρίσκεται σε ένα επίπεδο ονομάζεται διαμέρισμα. Όταν μιλάμε για πολύγωνο, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά, εννοείται ότι μιλάμε για επίπεδο πολύγωνο.

Δύο κορυφές στην ίδια πλευρά ενός πολυγώνου ονομάζονται γειτονικός. Για παράδειγμα, τα Α1 και Α2, Α5 και Α6 είναι γειτονικές κορυφές.

Καλείται ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο μη γειτονικές κορυφές πολύγωνο διαγώνιο.

Μάθετε πόσες διαγώνιες έχει ένα πολύγωνο.

Από καθεμία από τις n κορυφές του πολυγώνου προέρχονται n-3 διαγώνιοι

(Υπάρχουν n κορυφές συνολικά. Δεν μετράμε την ίδια την κορυφή και δύο γειτονικές κορυφές που δεν σχηματίζουν διαγώνιο με αυτήν την κορυφή. Για την κορυφή Α1, για παράδειγμα, δεν λαμβάνουμε υπόψη την ίδια την κορυφή και τις γειτονικές κορυφές Α2 και Α3 ).

Έτσι, κάθε μία από τις n κορυφές αντιστοιχεί σε n-3 διαγώνιους. Εφόσον η μία διαγώνιος αναφέρεται σε δύο κορυφές ταυτόχρονα, για να βρεθεί ο αριθμός των διαγωνίων ενός πολυγώνου, το γινόμενο n (n-3) πρέπει να διαιρεθεί στο μισό.

Επομένως, το n-gon έχει

διαγώνιους.

Οποιοδήποτε πολύγωνο χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη - την εσωτερική και την εξωτερική περιοχή του πολυγώνου. Ένα σχήμα που αποτελείται από ένα πολύγωνο και το εσωτερικό του ονομάζεται επίσης πολύγωνο.

Ενότητες: Μαθηματικά

Θέμα, ηλικία μαθητών: γεωμετρία, τάξη 9

Σκοπός του μαθήματος: η μελέτη τύπων πολυγώνων.

Μαθησιακό έργο: ενημέρωση, επέκταση και γενίκευση των γνώσεων των μαθητών για τα πολύγωνα. σχηματίστε μια ιδέα για τα "συστατικά" ενός πολυγώνου. διεξαγωγή μελέτης του αριθμού των συστατικών στοιχείων των κανονικών πολυγώνων (από ένα τρίγωνο σε n-γώνο).

Αναπτυξιακό έργο: ανάπτυξη της ικανότητας ανάλυσης, σύγκρισης, εξαγωγής συμπερασμάτων, ανάπτυξης υπολογιστικών δεξιοτήτων, προφορικού και γραπτού μαθηματικού λόγου, μνήμης, καθώς και ανεξαρτησίας στις δραστηριότητες σκέψης και μάθησης, ικανότητα εργασίας σε ζευγάρια και ομάδες. ανάπτυξη ερευνητικών και εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων·

Εκπαιδευτικό έργο: να εκπαιδεύσει την ανεξαρτησία, τη δραστηριότητα, την ευθύνη για την εργασία που έχει ανατεθεί, την επιμονή στην επίτευξη του στόχου.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων:ένα απόσπασμα είναι γραμμένο στον πίνακα

"Η φύση μιλάει τη γλώσσα των μαθηματικών, τα γράμματα αυτής της γλώσσας ... μαθηματικά σχήματα." G. Gallilei

Στην αρχή του μαθήματος, η τάξη χωρίζεται σε ομάδες εργασίας (στην περίπτωσή μας, ο χωρισμός σε ομάδες των 4 ατόμων η καθεμία - ο αριθμός των μελών της ομάδας είναι ίσος με τον αριθμό των ομάδων ερωτήσεων).

1. Στάδιο κλήσης-

Στόχοι:

α) ενημέρωση των γνώσεων των μαθητών σχετικά με το θέμα.

β) την αφύπνιση του ενδιαφέροντος για το υπό μελέτη θέμα, το κίνητρο του κάθε μαθητή για μαθησιακές δραστηριότητες.

Υποδοχή: Το παιχνίδι «Πιστεύεις ότι ...», οργάνωση εργασίας με κείμενο.

Μορφές εργασίας: μετωπική, ομαδική.

«Το πιστεύεις…»

1. ... η λέξη «πολύγωνο» δηλώνει ότι όλες οι μορφές αυτής της οικογένειας έχουν «πολλές γωνίες»;

2. … ένα τρίγωνο ανήκει σε μια μεγάλη οικογένεια πολυγώνων, που διακρίνεται ανάμεσα σε πολλά διαφορετικά γεωμετρικά σχήματα στο επίπεδο;

3. …είναι ένα τετράγωνο ένα κανονικό οκτάγωνο (τέσσερις πλευρές + τέσσερις γωνίες);

Σήμερα στο μάθημα θα μιλήσουμε για πολύγωνα. Μαθαίνουμε ότι αυτό το σχήμα οριοθετείται από μια κλειστή διακεκομμένη γραμμή, η οποία με τη σειρά της μπορεί να είναι απλή, κλειστή. Ας μιλήσουμε για το γεγονός ότι τα πολύγωνα είναι επίπεδα, κανονικά, κυρτά. Ένα από τα επίπεδα πολύγωνα είναι ένα τρίγωνο που γνωρίζετε εδώ και πολύ καιρό (μπορείτε να δείξετε στους μαθητές αφίσες που απεικονίζουν πολύγωνα, μια διακεκομμένη γραμμή, να δείξετε τους διάφορους τύπους τους, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το TCO).

2. Στάδιο κατανόησης

Σκοπός: απόκτηση νέων πληροφοριών, κατανόησή τους, επιλογή.

Υποδοχή: ζιγκ-ζαγκ.

Μορφές εργασίας: ατομική->ζευγάρι->ομαδική.

Σε κάθε ομάδα δίνεται ένα κείμενο για το θέμα του μαθήματος και το κείμενο είναι σχεδιασμένο με τέτοιο τρόπο ώστε να περιλαμβάνει τόσο πληροφορίες που είναι ήδη γνωστές στους μαθητές όσο και εντελώς νέες πληροφορίες. Μαζί με το κείμενο, οι μαθητές δέχονται ερωτήσεις, οι απαντήσεις των οποίων πρέπει να βρεθούν σε αυτό το κείμενο.

Πολύγωνα. Τύποι πολυγώνων.

Ποιος δεν έχει ακούσει για το μυστηριώδες Τρίγωνο των Βερμούδων, όπου πλοία και αεροπλάνα εξαφανίζονται χωρίς ίχνος; Αλλά το τρίγωνο που μας είναι γνωστό από την παιδική ηλικία είναι γεμάτο με πολλά ενδιαφέροντα και μυστηριώδη πράγματα.

Εκτός από τους τύπους τριγώνων που είναι ήδη γνωστοί σε εμάς, που χωρίζονται κατά πλευρές (σκαλόνιο, ισοσκελές, ισόπλευρο) και γωνίες (οξεία γωνία, αμβλεία γωνία, ορθογώνια), το τρίγωνο ανήκει σε μια μεγάλη οικογένεια πολυγώνων, που διακρίνονται μεταξύ πολλά διαφορετικά γεωμετρικά σχήματα στο επίπεδο.

Η λέξη «πολύγωνο» υποδηλώνει ότι όλες οι μορφές αυτής της οικογένειας έχουν «πολλές γωνίες». Αυτό όμως δεν αρκεί για να χαρακτηρίσει τη φιγούρα.

Μια διακεκομμένη γραμμή A 1 A 2 ... A n είναι ένα σχήμα που αποτελείται από σημεία A 1, A 2, ... A n και τμήματα A 1 A 2, A 2 A 3, ... που τα συνδέουν. Τα σημεία ονομάζονται κορυφές της πολύγραμμης και τα τμήματα ονομάζονται σύνδεσμοι της πολύγραμμης. (εικ.1)

Μια διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται απλή αν δεν έχει αυτοτομές (Εικ. 2,3).

Μια διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται κλειστή εάν τα άκρα της συμπίπτουν. Το μήκος μιας διακεκομμένης γραμμής είναι το άθροισμα των μηκών των συνδέσμων της (Εικ. 4).

Μια απλή κλειστή διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται πολύγωνο εάν οι γειτονικοί της σύνδεσμοι δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία (Εικ. 5).

Αντικαταστήστε στη λέξη «πολύγωνο» αντί για το μέρος «πολλά» έναν συγκεκριμένο αριθμό, για παράδειγμα 3. Θα λάβετε ένα τρίγωνο. Ή 5. Στη συνέχεια - ένα πεντάγωνο. Σημειώστε ότι υπάρχουν τόσες γωνίες όσες και οι πλευρές, επομένως αυτοί οι αριθμοί θα μπορούσαν κάλλιστα να ονομαστούν πολυμερείς.

Οι κορυφές της πολύγραμμης ονομάζονται κορυφές του πολυγώνου και οι σύνδεσμοι της πολύγραμμης ονομάζονται πλευρές του πολυγώνου.

Το πολύγωνο χωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές: εσωτερική και εξωτερική (Εικ. 6).

Ένα επίπεδο πολύγωνο ή πολυγωνική περιοχή είναι ένα πεπερασμένο τμήμα ενός επιπέδου που οριοθετείται από ένα πολύγωνο.

Δύο κορυφές ενός πολυγώνου που είναι άκρα της ίδιας πλευράς ονομάζονται γείτονες. Κορυφές που δεν είναι άκρα μιας πλευράς είναι μη γειτονικές.

Ένα πολύγωνο με n κορυφές και επομένως n πλευρές ονομάζεται n-γώνιο.

Αν και ο μικρότερος αριθμός πλευρών ενός πολυγώνου είναι 3. Όμως τα τρίγωνα, που συνδέονται μεταξύ τους, μπορούν να σχηματίσουν άλλα σχήματα, τα οποία με τη σειρά τους είναι επίσης πολύγωνα.

Τα τμήματα που συνδέουν τις μη γειτονικές κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται διαγώνιες.

Ένα πολύγωνο ονομάζεται κυρτό εάν βρίσκεται σε ένα ημιεπίπεδο σε σχέση με οποιαδήποτε ευθεία που περιέχει την πλευρά του. Στην περίπτωση αυτή, η ίδια η ευθεία θεωρείται ότι ανήκει στο ημιεπίπεδο.

Η γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές του που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή.

Ας αποδείξουμε το θεώρημα (για το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-γώνου): Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-gon είναι ίσο με 180 0 *(n - 2).

Απόδειξη. Στην περίπτωση n=3 ισχύει το θεώρημα. Έστω А 1 А 2 …А n ένα δεδομένο κυρτό πολύγωνο και n>3. Ας σχεδιάσουμε διαγώνιες σε αυτό (από μια κορυφή). Δεδομένου ότι το πολύγωνο είναι κυρτό, αυτές οι διαγώνιοι το χωρίζουν σε n - 2 τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου είναι το ίδιο με το άθροισμα των γωνιών όλων αυτών των τριγώνων. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 0 και ο αριθμός αυτών των τριγώνων είναι n - 2. Επομένως, το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n - γωνία A 1 A 2 ... A n είναι 180 0 * ( n - 2). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που γειτνιάζει με την εσωτερική γωνία του πολυγώνου σε αυτήν την κορυφή.

Ένα κυρτό πολύγωνο ονομάζεται κανονικό αν όλες οι πλευρές είναι ίσες και όλες οι γωνίες ίσες.

Έτσι το τετράγωνο μπορεί να ονομαστεί διαφορετικά - ένα κανονικό τετράπλευρο. Τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι επίσης κανονικά. Τέτοιες φιγούρες έχουν από καιρό ενδιαφέρον για τους πλοιάρχους που διακοσμούσαν τα κτίρια. Έκαναν όμορφα σχέδια, για παράδειγμα, στο παρκέ. Αλλά δεν μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν όλα τα κανονικά πολύγωνα για το σχηματισμό παρκέ. Το παρκέ δεν μπορεί να σχηματιστεί από κανονικά οκτάγωνα. Το γεγονός είναι ότι έχουν κάθε γωνία ίση με 135 0. Και αν οποιοδήποτε σημείο είναι η κορυφή δύο τέτοιων οκτάγωνων, τότε θα έχουν 270 0, και δεν υπάρχει πουθενά να χωρέσει το τρίτο οκτάγωνο: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Αρκετά όμως για τετράγωνο. Επομένως, είναι δυνατό να διπλώσετε το παρκέ από κανονικά οκτάγωνα και τετράγωνα.

Τα αστέρια είναι σωστά. Το πεντάκτινο αστέρι μας είναι ένα κανονικό πεντάγωνο αστέρι. Και αν περιστρέψετε το τετράγωνο γύρω από το κέντρο κατά 45 0, θα έχετε ένα κανονικό οκταγωνικό αστέρι.

1 ομάδα

Τι είναι μια διακεκομμένη γραμμή; Εξηγήστε τι είναι οι κορυφές και οι σύνδεσμοι μιας πολύγραμμης.

Ποια διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται απλή;

Ποια διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται κλειστή;

Τι είναι ένα πολύγωνο; Πώς ονομάζονται οι κορυφές ενός πολυγώνου; Ποιες είναι οι πλευρές ενός πολυγώνου;

2 ομάδα

Τι είναι ένα επίπεδο πολύγωνο; Δώστε παραδείγματα πολυγώνων.

Τι είναι το n-gon;

Εξηγήστε ποιες κορυφές του πολυγώνου είναι γειτονικές και ποιες όχι.

Ποια είναι η διαγώνιος ενός πολυγώνου;

3 ομάδα

Τι είναι ένα κυρτό πολύγωνο;

Εξηγήστε ποιες γωνίες του πολυγώνου είναι εξωτερικές και ποιες εσωτερικές;

Τι είναι ένα κανονικό πολύγωνο; Δώστε παραδείγματα κανονικών πολυγώνων.

4 ομάδα

Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-γώνου; Απόδειξε το.

Οι μαθητές εργάζονται με το κείμενο, αναζητούν απαντήσεις στις ερωτήσεις που τίθενται, μετά από τις οποίες σχηματίζονται ομάδες εμπειρογνωμόνων, στις οποίες διεξάγεται εργασία για τα ίδια θέματα: οι μαθητές επισημαίνουν το κύριο πράγμα, συντάσσουν μια υποστηρικτική περίληψη, παρουσιάζουν πληροφορίες σε ένα από τα γραφικές φόρμες. Στο τέλος της εργασίας, οι μαθητές επιστρέφουν στις ομάδες εργασίας τους.

3. Στάδιο προβληματισμού -

α) αξιολόγηση των γνώσεών τους, πρόκληση στο επόμενο βήμα της γνώσης·

β) κατανόηση και οικειοποίηση των ληφθέντων πληροφοριών.

Υποδοχή: ερευνητική εργασία.

Μορφές εργασίας: ατομική->ζευγάρι->ομαδική.

Οι ομάδες εργασίας είναι ειδικοί στις απαντήσεις σε καθεμία από τις ενότητες των προτεινόμενων ερωτήσεων.

Επιστρέφοντας στην ομάδα εργασίας, ο ειδικός παρουσιάζει στα άλλα μέλη της ομάδας τις απαντήσεις στις ερωτήσεις τους. Στην ομάδα γίνεται ανταλλαγή πληροφοριών όλων των μελών της ομάδας εργασίας. Έτσι, σε κάθε ομάδα εργασίας, χάρη στην εργασία των ειδικών, διαμορφώνεται μια γενική ιδέα για το υπό μελέτη θέμα.

Ερευνητική εργασία μαθητών – συμπλήρωση πίνακα.

Κανονικά πολύγωνα	Σχέδιο	Αριθμός πλευρών	Αριθμός κορυφών	Άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών	Μέτρο βαθμού ενθ. γωνία	Μέτρο μοίρας εξωτερικής γωνίας	Αριθμός διαγωνίων
Α) τρίγωνο
Β) τετράπλευρο
Β) πέντε τοίχων
Δ) εξάγωνο
Ε) n-gon

Επίλυση ενδιαφέροντων προβλημάτων σχετικά με το θέμα του μαθήματος.

• Στο τετράπλευρο χαράξτε μια γραμμή ώστε να το χωρίσει σε τρία τρίγωνα.
• Πόσες πλευρές έχει ένα κανονικό πολύγωνο, κάθε μία από τις εσωτερικές γωνίες του οποίου είναι ίση με 135 0 ;
• Σε ένα συγκεκριμένο πολύγωνο, όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Μπορεί το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών αυτού του πολυγώνου να είναι: 360 0 , 380 0 ;

Συνοψίζοντας το μάθημα. Καταγραφή εργασιών για το σπίτι.

Θέμα: "Πολύγωνα. Τύποι πολυγώνων"

Βαθμός 9

SL №20

Δάσκαλος: Kharitonovich T.I.Σκοπός του μαθήματος: η μελέτη τύπων πολυγώνων.

Εκπαιδευτικό έργο:ενημέρωση, επέκταση και γενίκευση των γνώσεων των μαθητών για τα πολύγωνα. σχηματίστε μια ιδέα για τα "συστατικά" ενός πολυγώνου. διεξαγωγή μελέτης του αριθμού των συστατικών στοιχείων των κανονικών πολυγώνων (από ένα τρίγωνο σε n-γώνο).

Εργασίες ανάπτυξης:να αναπτύξουν την ικανότητα ανάλυσης, σύγκρισης, εξαγωγής συμπερασμάτων, ανάπτυξης υπολογιστικών δεξιοτήτων, προφορικού και γραπτού μαθηματικού λόγου, μνήμης, καθώς και ανεξαρτησίας στη σκέψη και τις μαθησιακές δραστηριότητες, την ικανότητα εργασίας σε ζευγάρια και ομάδες. ανάπτυξη ερευνητικών και εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων·

Εκπαιδευτικό έργο:να καλλιεργήσει την ανεξαρτησία, τη δραστηριότητα, την ευθύνη για το έργο που έχει ανατεθεί, την επιμονή στην επίτευξη του στόχου.

Εξοπλισμός: διαδραστικός πίνακας (παρουσίαση)

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Εμφάνιση παρουσίασης: "Πολύγωνα"

"Η φύση μιλάει τη γλώσσα των μαθηματικών, τα γράμματα αυτής της γλώσσας ... μαθηματικά σχήματα." G. Gallilei

Στην αρχή του μαθήματος, η τάξη χωρίζεται σε ομάδες εργασίας (στην περίπτωσή μας, χωρισμός σε 3 ομάδες)

1. Στάδιο κλήσης-

α) ενημέρωση των γνώσεων των μαθητών σχετικά με το θέμα.

β) την αφύπνιση του ενδιαφέροντος για το υπό μελέτη θέμα, το κίνητρο του κάθε μαθητή για μαθησιακές δραστηριότητες.

Υποδοχή: Το παιχνίδι «Πιστεύεις ότι ...», οργάνωση εργασίας με κείμενο.

Μορφές εργασίας: μετωπική, ομαδική.

«Το πιστεύεις…»

1. ... η λέξη «πολύγωνο» δηλώνει ότι όλες οι μορφές αυτής της οικογένειας έχουν «πολλές γωνίες»;

2. … ανήκει ένα τρίγωνο σε μια μεγάλη οικογένεια πολυγώνων που διακρίνονται από μια ποικιλία γεωμετρικών σχημάτων σε ένα επίπεδο;

3. …είναι ένα τετράγωνο ένα κανονικό οκτάγωνο (τέσσερις πλευρές + τέσσερις γωνίες);

Σήμερα στο μάθημα θα μιλήσουμε για πολύγωνα. Μαθαίνουμε ότι αυτό το σχήμα οριοθετείται από μια κλειστή διακεκομμένη γραμμή, η οποία με τη σειρά της μπορεί να είναι απλή, κλειστή. Ας μιλήσουμε για το γεγονός ότι τα πολύγωνα είναι επίπεδα, κανονικά, κυρτά. Ένα από τα επίπεδα πολύγωνα είναι ένα τρίγωνο που γνωρίζετε εδώ και πολύ καιρό (μπορείτε να δείξετε στους μαθητές αφίσες που απεικονίζουν πολύγωνα, μια διακεκομμένη γραμμή, να δείξετε τους διάφορους τύπους τους, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το TCO).

2. Στάδιο κατανόησης

Σκοπός: απόκτηση νέων πληροφοριών, κατανόησή τους, επιλογή.

Υποδοχή: ζιγκ-ζαγκ.

Μορφές εργασίας: ατομική->ζευγάρι->ομαδική.

Σε κάθε ομάδα δίνεται ένα κείμενο για το θέμα του μαθήματος και το κείμενο είναι σχεδιασμένο με τέτοιο τρόπο ώστε να περιλαμβάνει τόσο πληροφορίες που είναι ήδη γνωστές στους μαθητές όσο και εντελώς νέες πληροφορίες. Μαζί με το κείμενο, οι μαθητές δέχονται ερωτήσεις, οι απαντήσεις των οποίων πρέπει να βρεθούν σε αυτό το κείμενο.

Πολύγωνα. Τύποι πολυγώνων.

Ποιος δεν έχει ακούσει για το μυστηριώδες Τρίγωνο των Βερμούδων, όπου πλοία και αεροπλάνα εξαφανίζονται χωρίς ίχνος; Αλλά το τρίγωνο που μας είναι γνωστό από την παιδική ηλικία είναι γεμάτο με πολλά ενδιαφέροντα και μυστηριώδη πράγματα.

Εκτός από τους τύπους τριγώνων που είναι ήδη γνωστοί σε εμάς, που χωρίζονται κατά πλευρές (σκαλόνιο, ισοσκελές, ισόπλευρο) και γωνίες (οξεία γωνία, αμβλεία γωνία, ορθογώνια), το τρίγωνο ανήκει σε μια μεγάλη οικογένεια πολυγώνων, που διακρίνονται μεταξύ πολλά διαφορετικά γεωμετρικά σχήματα στο επίπεδο.

Η λέξη «πολύγωνο» υποδηλώνει ότι όλες οι μορφές αυτής της οικογένειας έχουν «πολλές γωνίες». Αυτό όμως δεν αρκεί για να χαρακτηρίσει τη φιγούρα.

Μια διακεκομμένη γραμμή A1A2…An είναι ένα σχήμα που αποτελείται από σημεία A1,A2,…An και τμήματα A1A2, A2A3,… που τα συνδέουν. Τα σημεία ονομάζονται κορυφές της πολύγραμμης και τα τμήματα ονομάζονται σύνδεσμοι της πολύγραμμης. (ΕΙΚ.1)

Μια διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται απλή αν δεν έχει αυτοτομές (Εικ. 2,3).

Μια διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται κλειστή εάν τα άκρα της συμπίπτουν. Το μήκος μιας διακεκομμένης γραμμής είναι το άθροισμα των μηκών των συνδέσμων της (Εικ. 4)

Μια απλή κλειστή διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται πολύγωνο εάν οι γειτονικοί της σύνδεσμοι δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία (Εικ. 5).

Αντικαταστήστε στη λέξη «πολύγωνο» αντί για το μέρος «πολλά» έναν συγκεκριμένο αριθμό, για παράδειγμα 3. Θα λάβετε ένα τρίγωνο. Ή 5. Στη συνέχεια - ένα πεντάγωνο. Σημειώστε ότι υπάρχουν τόσες γωνίες όσες και οι πλευρές, επομένως αυτοί οι αριθμοί θα μπορούσαν κάλλιστα να ονομαστούν πολυμερείς.

Οι κορυφές της πολύγραμμης ονομάζονται κορυφές του πολυγώνου και οι σύνδεσμοι της πολύγραμμης ονομάζονται πλευρές του πολυγώνου.

Το πολύγωνο χωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές: εσωτερική και εξωτερική (Εικ. 6).

Ένα επίπεδο πολύγωνο ή πολυγωνική περιοχή είναι ένα πεπερασμένο τμήμα ενός επιπέδου που οριοθετείται από ένα πολύγωνο.

Δύο κορυφές ενός πολυγώνου που είναι άκρα της ίδιας πλευράς ονομάζονται γείτονες. Κορυφές που δεν είναι άκρα μιας πλευράς είναι μη γειτονικές.

Ένα πολύγωνο με n κορυφές και επομένως n πλευρές ονομάζεται n-γώνιο.

Αν και ο μικρότερος αριθμός πλευρών ενός πολυγώνου είναι 3. Όμως τα τρίγωνα, που συνδέονται μεταξύ τους, μπορούν να σχηματίσουν άλλα σχήματα, τα οποία με τη σειρά τους είναι επίσης πολύγωνα.

Τα τμήματα που συνδέουν τις μη γειτονικές κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται διαγώνιες.

Ένα πολύγωνο ονομάζεται κυρτό εάν βρίσκεται σε ένα ημιεπίπεδο σε σχέση με οποιαδήποτε ευθεία που περιέχει την πλευρά του. Σε αυτή την περίπτωση, η ίδια η γραμμή θεωρείται ότι ανήκει στο ΗΜΙΣΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Η γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές του που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή.

Ας αποδείξουμε το θεώρημα (στο άθροισμα γωνιών ενός κυρτού n-γώνου): Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-gon είναι ίσο με 1800*(n - 2).

Απόδειξη. Στην περίπτωση n=3 ισχύει το θεώρημα. Έστω А1А2…А n ένα δεδομένο κυρτό πολύγωνο και n>3. Ας σχεδιάσουμε διαγώνιες σε αυτό (από μια κορυφή). Δεδομένου ότι το πολύγωνο είναι κυρτό, αυτές οι διαγώνιοι το χωρίζουν σε n - 2 τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου είναι το ίδιο με το άθροισμα των γωνιών όλων αυτών των τριγώνων. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 1800 και ο αριθμός αυτών των τριγώνων είναι n - 2. Επομένως, το άθροισμα των γωνιών μιας κυρτής n - γωνίας A1A2 ... A n είναι 1800 * (n - 2). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου σε μια δεδομένη κορυφή είναι η γωνία που γειτνιάζει με την εσωτερική γωνία του πολυγώνου σε αυτήν την κορυφή.

Ένα κυρτό πολύγωνο ονομάζεται κανονικό αν όλες οι πλευρές είναι ίσες και όλες οι γωνίες ίσες.

Έτσι το τετράγωνο μπορεί να ονομαστεί διαφορετικά - ένα κανονικό τετράπλευρο. Τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι επίσης κανονικά. Τέτοιες φιγούρες έχουν από καιρό ενδιαφέρον για τους πλοιάρχους που διακοσμούσαν τα κτίρια. Έκαναν όμορφα σχέδια, για παράδειγμα, στο παρκέ. Αλλά δεν μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν όλα τα κανονικά πολύγωνα για το σχηματισμό παρκέ. Το παρκέ δεν μπορεί να σχηματιστεί από κανονικά οκτάγωνα. Το γεγονός είναι ότι έχουν κάθε γωνία ίση με 1350. Και αν οποιοδήποτε σημείο είναι η κορυφή δύο τέτοιων οκτάγωνων, τότε θα έχουν 2700, και δεν υπάρχει πουθενά να χωρέσει το τρίτο οκτάγωνο: 3600 - 2700 = 900. Αλλά για ένα τετράγωνο αυτό είναι αρκετό. Επομένως, είναι δυνατό να διπλώσετε το παρκέ από κανονικά οκτάγωνα και τετράγωνα.

Τα αστέρια είναι σωστά. Το πεντάκτινο αστέρι μας είναι ένα κανονικό πεντάγωνο αστέρι. Και αν περιστρέψετε το τετράγωνο γύρω από το κέντρο κατά 450, θα έχετε ένα κανονικό οκταγωνικό αστέρι.

Τι είναι μια διακεκομμένη γραμμή; Εξηγήστε τι είναι οι κορυφές και οι σύνδεσμοι μιας πολύγραμμης.

Ποια διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται απλή;

Ποια διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται κλειστή;

Τι είναι ένα πολύγωνο; Πώς ονομάζονται οι κορυφές ενός πολυγώνου; Ποιες είναι οι πλευρές ενός πολυγώνου;

Τι είναι ένα επίπεδο πολύγωνο; Δώστε παραδείγματα πολυγώνων.

Τι είναι το n-gon;

Εξηγήστε ποιες κορυφές του πολυγώνου είναι γειτονικές και ποιες όχι.

Ποια είναι η διαγώνιος ενός πολυγώνου;

Τι είναι ένα κυρτό πολύγωνο;

Εξηγήστε ποιες γωνίες του πολυγώνου είναι εξωτερικές και ποιες εσωτερικές;

Τι είναι ένα κανονικό πολύγωνο; Δώστε παραδείγματα κανονικών πολυγώνων.

Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-γώνου; Απόδειξε το.

Οι μαθητές εργάζονται με το κείμενο, αναζητούν απαντήσεις στις ερωτήσεις που τίθενται, μετά από τις οποίες σχηματίζονται ομάδες εμπειρογνωμόνων, στις οποίες διεξάγεται εργασία για τα ίδια θέματα: οι μαθητές επισημαίνουν το κύριο πράγμα, συντάσσουν μια υποστηρικτική περίληψη, παρουσιάζουν πληροφορίες σε ένα από τα γραφικές φόρμες. Στο τέλος της εργασίας, οι μαθητές επιστρέφουν στις ομάδες εργασίας τους.

3. Στάδιο προβληματισμού -

α) αξιολόγηση των γνώσεών τους, πρόκληση στο επόμενο βήμα της γνώσης·

β) κατανόηση και οικειοποίηση των ληφθέντων πληροφοριών.

Υποδοχή: ερευνητική εργασία.

Μορφές εργασίας: ατομική->ζευγάρι->ομαδική.

Οι ομάδες εργασίας είναι ειδικοί στις απαντήσεις σε καθεμία από τις ενότητες των προτεινόμενων ερωτήσεων.

Επιστρέφοντας στην ομάδα εργασίας, ο ειδικός παρουσιάζει στα άλλα μέλη της ομάδας τις απαντήσεις στις ερωτήσεις τους. Στην ομάδα γίνεται ανταλλαγή πληροφοριών όλων των μελών της ομάδας εργασίας. Έτσι, σε κάθε ομάδα εργασίας, χάρη στην εργασία των ειδικών, διαμορφώνεται μια γενική ιδέα για το υπό μελέτη θέμα.

Ερευνητική εργασία των μαθητών- συμπληρώνοντας τον πίνακα.

Κανονικά πολύγωνα Σχέδιο Αριθμός πλευρών Αριθμός κορυφών Άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών Μέτρο μοιρών του εσωτερικού. γωνία Μέτρο μοιρών εξωτερικής γωνίας Αριθμός διαγωνίων

Α) τρίγωνο

Β) τετράπλευρο

Β) πέντε τρύπες

Δ) εξάγωνο

Ε) n-gon

Επίλυση ενδιαφέροντων προβλημάτων σχετικά με το θέμα του μαθήματος.

1) Πόσες πλευρές έχει ένα κανονικό πολύγωνο, του οποίου η καθεμία από τις εσωτερικές γωνίες είναι ίση με 1350;

2) Σε ένα συγκεκριμένο πολύγωνο, όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Μπορεί το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών αυτού του πολυγώνου να είναι: 3600, 3800;

3) Είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ένα πεντάγωνο με γωνίες 100.103.110.110.116 μοιρών;

Συνοψίζοντας το μάθημα.

Ηχογράφηση εργασίας: STR66-72 Νο. 15,17 ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: σε ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ, ΣΧΕΔΙΑΣΤΕ ΜΙΑ ΑΠΕΥΘΕΙΑ ΩΣΤΕ ΝΑ ΤΟ ΧΩΡΙΣΕΙ ΣΕ ΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ.

Αναστοχασμός με τη μορφή τεστ (σε διαδραστικό πίνακα)