Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος περιστροφής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος. Όγκος του σώματος της επανάστασης

Ι. Τόμοι φορέων επανάστασης. Μελετήστε προκαταρκτικά το κεφάλαιο XII, p°p° 197, 198, σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο του G. M. Fikhtengol'ts* Αναλύστε λεπτομερώς τα παραδείγματα που δίνονται στη σελ. 198.

508. Να υπολογίσετε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή της έλλειψης Γύρω από τον άξονα x.

Με αυτόν τον τρόπο,

530. Βρείτε την περιοχή της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Ox του τόξου του ημιτονοειδούς y \u003d sin x από το σημείο X \u003d 0 έως το σημείο X \u003d It.

531. Υπολογίστε την επιφάνεια ενός κώνου με ύψος h και ακτίνα r.

532. Να υπολογίσετε την επιφάνεια που σχηματίζεται από

περιστροφή του αστροειδούς x3 -) - y* - a3 γύρω από τον άξονα x.

533. Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την αντιστροφή του βρόχου της καμπύλης 18 y-x(6-x)r γύρω από τον άξονα x.

534. Να βρείτε την επιφάνεια του δακτύλου που παράγεται από την περιστροφή του κύκλου X2 - j - (y-3)2 = 4 γύρω από τον άξονα x.

535. Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του κύκλου X = κόστος, y = ασύντα γύρω από τον άξονα Ox.

536. Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του βρόχου της καμπύλης x = 9t2, y = St - 9t3 γύρω από τον άξονα Ox.

537. Βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του τόξου της καμπύλης x = e * sint, y = el κόστος γύρω από τον άξονα Ox

από t = 0 έως t = -.

538. Να δείξετε ότι η επιφάνεια που παράγεται από την περιστροφή του τόξου του κυκλοειδούς x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) γύρω από τον άξονα Oy, είναι ίση με 16 u2 o2.

539. Βρείτε την επιφάνεια που προκύπτει περιστρέφοντας το καρδιοειδές γύρω από τον πολικό άξονα.

540. Βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του λεμνίσκου γύρω από τον πολικό άξονα.

Πρόσθετες εργασίες για το Κεφάλαιο IV

Περιοχές με επίπεδα σχήματα

541. Βρείτε ολόκληρη την περιοχή μιας περιοχής που οριοθετείται από μια καμπύλη Και άξονας Ω.

542. Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από την καμπύλη

Και άξονας Ω.

543. Βρείτε το τμήμα της περιοχής της περιοχής που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο και οριοθετείται από την καμπύλη

l συντεταγμένοι άξονες.

544. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που περιέχεται μέσα

βρόχοι:

545. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που οριοθετείται από έναν βρόχο της καμπύλης:

546. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που περιέχεται μέσα στον βρόχο:

547. Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από την καμπύλη

Και άξονας Ω.

548. Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από την καμπύλη

Και άξονας Ω.

549. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που οριοθετείται από τον άξονα Oxr

ευθεία και καμπύλη

Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής
χρησιμοποιώντας ορισμένο ολοκλήρωμα;

Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν πολλές ενδιαφέρουσες εφαρμογές στον ολοκληρωτικό λογισμό, με τη βοήθεια ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή ενός σχήματος, τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, το μήκος ενός τόξου, την επιφάνεια της περιστροφής και πολλά άλλα. Έτσι θα είναι διασκεδαστικό, παρακαλώ να είστε αισιόδοξοι!

Φανταστείτε μια επίπεδη φιγούρα στο επίπεδο συντεταγμένων. Εκπροσωπείται; ... Αναρωτιέμαι ποιος παρουσίασε τι ... =))) Έχουμε ήδη βρει την περιοχή του. Αλλά, επιπλέον, αυτό το σχήμα μπορεί επίσης να περιστραφεί και να περιστραφεί με δύο τρόπους:

- γύρω από τον άξονα x.
- γύρω από τον άξονα y.

Σε αυτό το άρθρο, θα συζητηθούν και οι δύο περιπτώσεις. Η δεύτερη μέθοδος περιστροφής είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα, προκαλεί τις μεγαλύτερες δυσκολίες, αλλά στην πραγματικότητα η λύση είναι σχεδόν ίδια με την πιο κοινή περιστροφή γύρω από τον άξονα x. Ως μπόνους, θα επιστρέψω στο το πρόβλημα της εύρεσης του εμβαδού μιας φιγούρας, και να σας πω πώς να βρείτε την περιοχή με τον δεύτερο τρόπο - κατά μήκος του άξονα. Ούτε καν τόσο μπόνους όσο το υλικό ταιριάζει καλά στο θέμα.

Ας ξεκινήσουμε με τον πιο δημοφιλή τύπο περιστροφής.

επίπεδη φιγούρα γύρω από έναν άξονα

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει περιστρέφοντας το σχήμα που οριοθετείται από γραμμές γύρω από τον άξονα.

Λύση: Όπως και στο πρόβλημα της περιοχής, η λύση ξεκινά με ένα σχέδιο μιας επίπεδης φιγούρας. Δηλαδή, στο επίπεδο είναι απαραίτητο να οικοδομήσουμε ένα σχήμα που οριοθετείται από γραμμές , χωρίς να ξεχνάμε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα . Πώς να κάνετε ένα σχέδιο πιο ορθολογικά και πιο γρήγορα μπορείτε να βρείτε στις σελίδες Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεωνκαι . Αυτή είναι μια κινεζική υπενθύμιση και δεν σταματώ σε αυτό το σημείο.

Το σχέδιο εδώ είναι αρκετά απλό:

Η επιθυμητή επίπεδη φιγούρα σκιάζεται με μπλε χρώμα και είναι αυτή που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. Ως αποτέλεσμα της περιστροφής, λαμβάνεται ένας τέτοιος ιπτάμενος δίσκος ελαφρώς σε σχήμα αυγού, ο οποίος είναι συμμετρικός ως προς τον άξονα. Στην πραγματικότητα, το σώμα έχει ένα μαθηματικό όνομα, αλλά είναι πολύ τεμπέλικο να προσδιορίσετε κάτι στο βιβλίο αναφοράς, οπότε προχωράμε.

Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής;

Ο όγκος ενός σώματος περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

Στον τύπο, πρέπει να υπάρχει ένας αριθμός πριν από το ολοκλήρωμα. Έτσι συνέβη - όλα όσα περιστρέφονται στη ζωή συνδέονται με αυτήν τη σταθερά.

Πώς να θέσετε τα όρια της ολοκλήρωσης "a" και "be", νομίζω ότι είναι εύκολο να μαντέψετε από το ολοκληρωμένο σχέδιο.

Λειτουργία... τι είναι αυτή η λειτουργία; Ας δούμε το σχέδιο. Το επίπεδο σχήμα οριοθετείται από το γράφημα της παραβολής από πάνω. Αυτή είναι η συνάρτηση που υπονοείται στον τύπο.

Σε πρακτικές εργασίες, μια επίπεδη φιγούρα μπορεί μερικές φορές να βρίσκεται κάτω από τον άξονα. Αυτό δεν αλλάζει τίποτα - το ολοκλήρωμα στον τύπο είναι τετράγωνο: , έτσι Το ολοκλήρωμα είναι πάντα μη αρνητικό, πράγμα πολύ λογικό.

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος της περιστροφής χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο:

Όπως έχω ήδη σημειώσει, το ολοκλήρωμα αποδεικνύεται σχεδόν πάντα απλό, το κύριο πράγμα είναι να είστε προσεκτικοί.

Απάντηση:

Στην απάντηση, είναι απαραίτητο να αναφέρετε τη διάσταση - κυβικές μονάδες. Δηλαδή, στο σώμα της περιστροφής μας υπάρχουν περίπου 3,35 «κύβοι». Γιατί ακριβώς κυβικά μονάδες? Γιατί η πιο καθολική διατύπωση. Μπορεί να υπάρχουν κυβικά εκατοστά, μπορεί να υπάρχουν κυβικά μέτρα, μπορεί να υπάρχουν κυβικά χιλιόμετρα κ.λπ., τόσα πράσινα ανθρωπάκια μπορεί να χωρέσει η φαντασία σας σε έναν ιπτάμενο δίσκο.

Βρείτε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές ,

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ας εξετάσουμε δύο πιο σύνθετα προβλήματα, τα οποία επίσης συναντώνται συχνά στην πράξη.

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας γύρω από τον άξονα της τετμημένης του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες , και

Λύση: Σχεδιάστε ένα επίπεδο σχήμα στο σχέδιο, οριοθετημένο από γραμμές , , , , χωρίς να ξεχνάτε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα:

Η επιθυμητή φιγούρα είναι σκιασμένη με μπλε. Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, προκύπτει ένα τέτοιο σουρεαλιστικό ντόνατ με τέσσερις γωνίες.

Ο όγκος του σώματος περιστροφής υπολογίζεται ως διαφορά όγκου σώματος.

Αρχικά, ας δούμε το σχήμα που είναι κυκλωμένο με κόκκινο χρώμα. Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, προκύπτει ένας κόλουρος κώνος. Ας υποδηλώσουμε τον όγκο αυτού του κολοβωμένου κώνου ως .

Σκεφτείτε το σχήμα που είναι κυκλωμένο με πράσινο. Εάν περιστρέψετε αυτό το σχήμα γύρω από τον άξονα, θα έχετε επίσης έναν κόλουρο κώνο, λίγο μικρότερο. Ας συμβολίσουμε τον όγκο του με .

Και, προφανώς, η διαφορά στους όγκους είναι ακριβώς ο όγκος του «ντόνατ» μας.

Χρησιμοποιούμε τον τυπικό τύπο για την εύρεση του όγκου ενός σώματος περιστροφής:

1) Το σχήμα που κυκλώνεται με κόκκινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:

2) Το σχήμα που κυκλώνεται με πράσινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:

3) Ο όγκος του επιθυμητού σώματος περιστροφής:

Απάντηση:

Είναι περίεργο ότι σε αυτή την περίπτωση η λύση μπορεί να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας τον σχολικό τύπο για τον υπολογισμό του όγκου ενός κόλουρου κώνου.

Η ίδια η απόφαση συχνά λαμβάνεται πιο σύντομη, κάπως έτσι:

Τώρα ας κάνουμε ένα διάλειμμα και ας μιλήσουμε για γεωμετρικές ψευδαισθήσεις.

Οι άνθρωποι συχνά έχουν ψευδαισθήσεις που σχετίζονται με τόμους, τις οποίες παρατήρησε ο Perelman (άλλος) στο βιβλίο Ενδιαφέρουσα γεωμετρία. Κοιτάξτε την επίπεδη φιγούρα στο λυμένο πρόβλημα - φαίνεται να είναι μικρό σε εμβαδόν και ο όγκος του σώματος της περιστροφής είναι λίγο πάνω από 50 κυβικές μονάδες, το οποίο φαίνεται πολύ μεγάλο. Παρεμπιπτόντως, ο μέσος άνθρωπος σε όλη του τη ζωή πίνει ένα υγρό με όγκο δωματίου 18 τετραγωνικών μέτρων, το οποίο, αντίθετα, φαίνεται να έχει πολύ μικρό όγκο.

Μετά από μια λυρική παρέκβαση, είναι απλώς κατάλληλο να λύσετε μια δημιουργική εργασία:

Υπολογίστε τον όγκο ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή γύρω από τον άξονα ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες , , όπου .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Σημειώστε ότι όλα τα πράγματα συμβαίνουν στο συγκρότημα, με άλλα λόγια, δίνονται έτοιμα όρια ολοκλήρωσης. Σχεδιάστε σωστά γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων, θα σας υπενθυμίσω το υλικό του μαθήματος για γεωμετρικοί μετασχηματισμοί γραφημάτων: αν το όρισμα διαιρείται με δύο: , τότε τα γραφήματα τεντώνονται κατά μήκος του άξονα δύο φορές. Είναι επιθυμητό να βρείτε τουλάχιστον 3-4 πόντους σύμφωνα με τριγωνομετρικούς πίνακεςγια να ολοκληρώσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια το σχέδιο. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Παρεμπιπτόντως, το έργο μπορεί να λυθεί ορθολογικά και όχι πολύ ορθολογικά.

Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή
επίπεδη φιγούρα γύρω από έναν άξονα

Η δεύτερη παράγραφος θα είναι ακόμα πιο ενδιαφέρουσα από την πρώτη. Το έργο του υπολογισμού του όγκου ενός σώματος περιστροφής γύρω από τον άξονα y είναι επίσης ένας αρκετά συχνός επισκέπτης στις δοκιμές. Εν παρόδω θα ληφθούν υπόψη πρόβλημα εύρεσης του εμβαδού μιας φιγούραςο δεύτερος τρόπος - ενσωμάτωση κατά μήκος του άξονα, αυτό θα σας επιτρέψει όχι μόνο να βελτιώσετε τις δεξιότητές σας, αλλά και να σας διδάξει πώς να βρείτε την πιο κερδοφόρα λύση. Έχει και πρακτικό νόημα! Όπως θυμάται με χαμόγελο η δασκάλα μου στις μεθόδους διδασκαλίας των μαθηματικών, πολλοί απόφοιτοι την ευχαρίστησαν με τα λόγια: «Το θέμα σας μας βοήθησε πολύ, τώρα είμαστε αποτελεσματικοί διευθυντές και διαχειριζόμαστε το προσωπικό μας με τον βέλτιστο τρόπο». Με αυτήν την ευκαιρία, της εκφράζω επίσης τη μεγάλη μου ευγνωμοσύνη, ειδικά επειδή χρησιμοποιώ τις γνώσεις που αποκτήθηκαν για τον σκοπό που επιδιώκεται =).

Το προτείνω σε όλους να διαβάσουν, ακόμα και ολόκληρα ομοιώματα. Επιπλέον, το αφομοιωμένο υλικό της δεύτερης παραγράφου θα είναι πολύτιμη βοήθεια στον υπολογισμό διπλών ολοκληρωμάτων.

Δίνεται ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από γραμμές , , .

1) Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές.
2) Βρείτε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές γύρω από τον άξονα.

Προσοχή!Ακόμα κι αν θέλετε να διαβάσετε μόνο τη δεύτερη παράγραφο, φροντίστε να διαβάσετε πρώτα την πρώτη!

Λύση: Η εργασία αποτελείται από δύο μέρη. Ας ξεκινήσουμε με την πλατεία.

1) Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Είναι εύκολο να δούμε ότι η συνάρτηση ορίζει τον άνω κλάδο της παραβολής και η συνάρτηση ορίζει τον κάτω κλάδο της παραβολής. Μπροστά μας είναι μια τετριμμένη παραβολή, η οποία «βρίσκεται στο πλάι».

Η επιθυμητή φιγούρα, η περιοχή της οποίας πρέπει να βρεθεί, είναι σκιασμένη με μπλε.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν μιας φιγούρας; Μπορεί να βρεθεί με τον «συνηθισμένο» τρόπο, που εξετάστηκε στο μάθημα. Ορισμένο ολοκλήρωμα. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος. Επιπλέον, το εμβαδόν του σχήματος βρίσκεται ως το άθροισμα των περιοχών:
- στο τμήμα ;
- στο τμήμα.

Να γιατί:

Τι είναι λάθος με τη συνήθη λύση σε αυτή την περίπτωση; Πρώτον, υπάρχουν δύο ολοκληρώματα. Δεύτερον, οι ρίζες κάτω από τα ολοκληρώματα και οι ρίζες στα ολοκληρώματα δεν είναι δώρο, επιπλέον, μπορεί κανείς να μπερδευτεί στην αντικατάσταση των ορίων της ολοκλήρωσης. Στην πραγματικότητα, τα ολοκληρώματα, φυσικά, δεν είναι θανατηφόρα, αλλά στην πράξη όλα είναι πολύ πιο θλιβερά, απλώς επέλεξα "καλύτερες" λειτουργίες για την εργασία.

Υπάρχει μια πιο ορθολογική λύση: συνίσταται στη μετάβαση σε αντίστροφες συναρτήσεις και στην ολοκλήρωση κατά μήκος του άξονα.

Πώς να περάσετε σε αντίστροφες συναρτήσεις; Σε γενικές γραμμές, πρέπει να εκφράσετε το "x" μέσω του "y". Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την παραβολή:

Αυτό είναι αρκετό, αλλά ας βεβαιωθούμε ότι η ίδια συνάρτηση μπορεί να προέρχεται από τον κάτω κλάδο:

Με μια ευθεία γραμμή, όλα είναι πιο εύκολα:

Τώρα κοιτάξτε τον άξονα: παρακαλούμε να γέρνετε περιοδικά το κεφάλι σας προς τα δεξιά 90 μοίρες όπως εξηγείτε (αυτό δεν είναι αστείο!). Το σχήμα που χρειαζόμαστε βρίσκεται στο τμήμα, το οποίο υποδεικνύεται με την κόκκινη διακεκομμένη γραμμή. Επιπλέον, στο τμήμα, η ευθεία γραμμή βρίσκεται πάνω από την παραβολή, πράγμα που σημαίνει ότι η περιοχή του σχήματος πρέπει να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που είναι ήδη γνωστός σε εσάς: . Τι έχει αλλάξει στη φόρμουλα; Μόνο ένα γράμμα και τίποτα παραπάνω.

! Σημείωση: Πρέπει να τεθούν όρια ολοκλήρωσης κατά μήκος του άξονα αυστηρά από κάτω προς τα πάνω!

Εύρεση της περιοχής:

Ως εκ τούτου, στο τμήμα:

Δώστε προσοχή στο πώς πραγματοποίησα την ενσωμάτωση, αυτός είναι ο πιο ορθολογικός τρόπος και στην επόμενη παράγραφο της εργασίας θα φανεί το γιατί.

Για τους αναγνώστες που αμφιβάλλουν για την ορθότητα της ολοκλήρωσης, θα βρω παράγωγα:

Λαμβάνεται το αρχικό integrand, που σημαίνει ότι η ενσωμάτωση εκτελείται σωστά.

Απάντηση:

2) Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή αυτού του σχήματος γύρω από τον άξονα.

Θα ξανασχεδιάσω το σχέδιο σε ένα ελαφρώς διαφορετικό σχέδιο:

Έτσι, το σχήμα που σκιάζεται με μπλε περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. Το αποτέλεσμα είναι μια «αιωρούμενη πεταλούδα» που περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της.

Για να βρούμε τον όγκο του σώματος της περιστροφής, θα ενσωματώσουμε κατά μήκος του άξονα. Πρώτα πρέπει να περάσουμε στις αντίστροφες συναρτήσεις. Αυτό έχει ήδη γίνει και περιγράφεται λεπτομερώς στην προηγούμενη παράγραφο.

Τώρα γέρνουμε πάλι το κεφάλι μας προς τα δεξιά και μελετάμε τη σιλουέτα μας. Προφανώς, ο όγκος του σώματος της περιστροφής θα πρέπει να βρεθεί ως η διαφορά μεταξύ των όγκων.

Περιστρέφουμε τη φιγούρα κυκλωμένη με κόκκινο γύρω από τον άξονα, με αποτέλεσμα έναν κόλουρο κώνο. Ας συμβολίσουμε αυτόν τον τόμο με .

Περιστρέφουμε το σχήμα, κυκλωμένο με πράσινο χρώμα, γύρω από τον άξονα και το συμβολίζουμε μέσω του όγκου του σώματος της περιστροφής που προκύπτει.

Ο όγκος της πεταλούδας μας είναι ίσος με τη διαφορά των όγκων.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για να βρούμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής:

Σε τι διαφέρει από τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου; Μόνο στα γράμματα.

Και εδώ είναι το πλεονέκτημα της ενσωμάτωσης για το οποίο μίλησα πριν από λίγο, είναι πολύ πιο εύκολο να το βρεις παρά να ανεβάσει προκαταρκτικά το ολοκληρωμένο στην 4η δύναμη.

Απάντηση:

Σημειώστε ότι εάν η ίδια επίπεδη φιγούρα περιστραφεί γύρω από τον άξονα, τότε θα προκύψει ένα εντελώς διαφορετικό σώμα περιστροφής, με διαφορετικό, φυσικά, όγκο.

Δίνεται ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από γραμμές και έναν άξονα.

1) Μεταβείτε στις αντίστροφες συναρτήσεις και βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές ενσωματώνοντας πάνω από τη μεταβλητή.
2) Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές γύρω από τον άξονα.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Όσοι επιθυμούν μπορούν επίσης να βρουν την περιοχή του σχήματος με τον "συνήθη" τρόπο, ολοκληρώνοντας έτσι τη δοκιμή του σημείου 1). Αλλά αν, επαναλαμβάνω, περιστρέψετε μια επίπεδη φιγούρα γύρω από τον άξονα, τότε θα έχετε ένα εντελώς διαφορετικό σώμα περιστροφής με διαφορετικό όγκο, παρεμπιπτόντως, τη σωστή απάντηση (και για όσους τους αρέσει να λύνουν).

Η πλήρης λύση των δύο προτεινόμενων στοιχείων της εργασίας στο τέλος του μαθήματος.

Α, και μην ξεχάσετε να γέρνετε το κεφάλι σας προς τα δεξιά για να κατανοήσετε τα σώματα περιστροφής και εντός της ολοκλήρωσης!

Ήθελα, ήταν ήδη, να τελειώσω το άρθρο, αλλά σήμερα έφεραν ένα ενδιαφέρον παράδειγμα μόνο για την εύρεση του όγκου ενός σώματος περιστροφής γύρω από τον άξονα y. Φρέσκο:

Να υπολογίσετε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα του σχήματος που οριοθετείται από τις καμπύλες και .

Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Στην πορεία, εξοικειωνόμαστε με τα γραφήματα κάποιων άλλων συναρτήσεων. Ένα τόσο ενδιαφέρον γράφημα μιας άρτιας συνάρτησης ....

Ο όγκος ενός σώματος περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

Στον τύπο, πρέπει να υπάρχει ένας αριθμός πριν από το ολοκλήρωμα. Έτσι ακριβώς συνέβη - όλα όσα περιστρέφονται στη ζωή συνδέονται με αυτήν τη σταθερά.

Πώς να θέσετε τα όρια της ολοκλήρωσης "a" και "be", νομίζω ότι είναι εύκολο να μαντέψετε από το ολοκληρωμένο σχέδιο.

Λειτουργία... τι είναι αυτή η λειτουργία; Ας δούμε το σχέδιο. Το επίπεδο σχήμα οριοθετείται από το γράφημα της παραβολής από πάνω. Αυτή είναι η συνάρτηση που υπονοείται στον τύπο.

Σε πρακτικές εργασίες, μια επίπεδη φιγούρα μπορεί μερικές φορές να βρίσκεται κάτω από τον άξονα. Αυτό δεν αλλάζει τίποτα - η συνάρτηση στον τύπο είναι τετράγωνο: , έτσι ο όγκος ενός σώματος περιστροφής είναι πάντα μη αρνητικός, πράγμα πολύ λογικό.

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος της περιστροφής χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο:

Όπως έχω ήδη σημειώσει, το ολοκλήρωμα αποδεικνύεται σχεδόν πάντα απλό, το κύριο πράγμα είναι να είστε προσεκτικοί.

Απάντηση:

Στην απάντηση, είναι απαραίτητο να αναφέρετε τη διάσταση - κυβικές μονάδες. Δηλαδή, στο σώμα της περιστροφής μας υπάρχουν περίπου 3,35 «κύβοι». Γιατί ακριβώς κυβικά μονάδες? Γιατί η πιο καθολική διατύπωση. Μπορεί να υπάρχουν κυβικά εκατοστά, μπορεί να υπάρχουν κυβικά μέτρα, μπορεί να υπάρχουν κυβικά χιλιόμετρα κ.λπ., τόσα πράσινα ανθρωπάκια μπορεί να χωρέσει η φαντασία σας σε έναν ιπτάμενο δίσκο.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές ,

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ας εξετάσουμε δύο πιο σύνθετα προβλήματα, τα οποία επίσης συναντώνται συχνά στην πράξη.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας γύρω από τον άξονα της τετμημένης του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες , και

Λύση:Ας απεικονίσουμε στο σχέδιο ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από γραμμές , , , , χωρίς να ξεχνάμε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα:

Η επιθυμητή φιγούρα είναι σκιασμένη με μπλε. Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, προκύπτει ένα τέτοιο σουρεαλιστικό ντόνατ με τέσσερις γωνίες.

Ο όγκος του σώματος περιστροφής υπολογίζεται ως διαφορά όγκου σώματος.

Αρχικά, ας δούμε το σχήμα που είναι κυκλωμένο με κόκκινο χρώμα. Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, προκύπτει ένας κόλουρος κώνος. Ας υποδηλώσουμε τον όγκο αυτού του κολοβωμένου κώνου ως .

Σκεφτείτε το σχήμα που είναι κυκλωμένο με πράσινο. Εάν περιστρέψετε αυτό το σχήμα γύρω από τον άξονα, θα έχετε επίσης έναν κόλουρο κώνο, λίγο μικρότερο. Ας συμβολίσουμε τον όγκο του με .

Και, προφανώς, η διαφορά στους όγκους είναι ακριβώς ο όγκος του «ντόνατ» μας.

Χρησιμοποιούμε τον τυπικό τύπο για την εύρεση του όγκου ενός σώματος περιστροφής:

1) Το σχήμα που κυκλώνεται με κόκκινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:

2) Το σχήμα που κυκλώνεται με πράσινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:

3) Ο όγκος του επιθυμητού σώματος περιστροφής:

Απάντηση:

Είναι περίεργο ότι σε αυτή την περίπτωση η λύση μπορεί να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας τον σχολικό τύπο για τον υπολογισμό του όγκου ενός κόλουρου κώνου.

Η ίδια η απόφαση συχνά λαμβάνεται πιο σύντομη, κάπως έτσι:

Τώρα ας κάνουμε ένα διάλειμμα και ας μιλήσουμε για γεωμετρικές ψευδαισθήσεις.

Οι άνθρωποι συχνά έχουν ψευδαισθήσεις που σχετίζονται με τόμους, τις οποίες παρατήρησε ο Perelman (όχι το ίδιο) στο βιβλίο Ενδιαφέρουσα γεωμετρία. Κοιτάξτε την επίπεδη φιγούρα στο λυμένο πρόβλημα - φαίνεται να είναι μικρό σε εμβαδόν και ο όγκος του σώματος της περιστροφής είναι λίγο πάνω από 50 κυβικές μονάδες, το οποίο φαίνεται πολύ μεγάλο. Παρεμπιπτόντως, ο μέσος άνθρωπος σε όλη του τη ζωή πίνει ένα υγρό με όγκο δωματίου 18 τετραγωνικών μέτρων, το οποίο, αντίθετα, φαίνεται να έχει πολύ μικρό όγκο.

Γενικά, το εκπαιδευτικό σύστημα στην ΕΣΣΔ ήταν πραγματικά το καλύτερο. Το ίδιο βιβλίο του Πέρελμαν, που γράφτηκε από τον ίδιο το 1950, αναπτύσσεται πολύ καλά, όπως είπε ο χιουμορίστας, το σκεπτικό και σας διδάσκει να αναζητάτε πρωτότυπες μη τυποποιημένες λύσεις στα προβλήματα. Πρόσφατα ξαναδιάβασα κάποια κεφάλαια με μεγάλο ενδιαφέρον, το προτείνω, είναι προσβάσιμο ακόμα και για ανθρωπιστές. Όχι, δεν χρειάζεται να χαμογελάτε γιατί σας πρότεινα ένα αστείο χόμπι, η πολυμάθεια και μια ευρεία οπτική στην επικοινωνία είναι ένα υπέροχο πράγμα.

Μετά από μια λυρική παρέκβαση, είναι απλώς κατάλληλο να λύσετε μια δημιουργική εργασία:

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε τον όγκο ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή γύρω από τον άξονα ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες , , όπου .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Σημειώστε ότι όλα τα πράγματα συμβαίνουν στο συγκρότημα, με άλλα λόγια, δίνονται σχεδόν έτοιμα όρια ενσωμάτωσης. Προσπαθήστε επίσης να σχεδιάσετε σωστά τα γραφήματα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, εάν το όρισμα διαιρείται με δύο: , τότε τα γραφήματα τεντώνονται κατά μήκος του άξονα δύο φορές. Προσπαθήστε να βρείτε τουλάχιστον 3-4 πόντους σύμφωνα με τριγωνομετρικούς πίνακεςκαι κάντε το σχέδιο πιο ακριβές. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Παρεμπιπτόντως, το έργο μπορεί να λυθεί ορθολογικά και όχι πολύ ορθολογικά.

Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή
επίπεδη φιγούρα γύρω από έναν άξονα

Η δεύτερη παράγραφος θα είναι ακόμα πιο ενδιαφέρουσα από την πρώτη. Το έργο του υπολογισμού του όγκου ενός σώματος περιστροφής γύρω από τον άξονα y είναι επίσης ένας αρκετά συχνός επισκέπτης στις δοκιμές. Εν παρόδω θα ληφθούν υπόψη πρόβλημα εύρεσης του εμβαδού μιας φιγούραςο δεύτερος τρόπος - ενσωμάτωση κατά μήκος του άξονα, αυτό θα σας επιτρέψει όχι μόνο να βελτιώσετε τις δεξιότητές σας, αλλά και να σας διδάξει πώς να βρείτε την πιο κερδοφόρα λύση. Έχει και πρακτικό νόημα! Όπως θυμάται με χαμόγελο η δασκάλα μου στις μεθόδους διδασκαλίας των μαθηματικών, πολλοί απόφοιτοι την ευχαρίστησαν με τα λόγια: «Το θέμα σας μας βοήθησε πολύ, τώρα είμαστε αποτελεσματικοί διευθυντές και διαχειριζόμαστε το προσωπικό μας με τον βέλτιστο τρόπο». Με αυτήν την ευκαιρία, της εκφράζω επίσης τη μεγάλη μου ευγνωμοσύνη, ειδικά επειδή χρησιμοποιώ τις γνώσεις που αποκτήθηκαν για τον σκοπό που επιδιώκεται =).

Παράδειγμα 5

Δίνεται ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από γραμμές , , .

1) Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές.
2) Βρείτε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές γύρω από τον άξονα.

Προσοχή!Ακόμα κι αν θέλετε να διαβάσετε μόνο τη δεύτερη παράγραφο, πρώτα αναγκαίωςδιάβασε το πρώτο!

Λύση:Η εργασία αποτελείται από δύο μέρη. Ας ξεκινήσουμε με την πλατεία.

1) Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Είναι εύκολο να δούμε ότι η συνάρτηση ορίζει τον άνω κλάδο της παραβολής και η συνάρτηση ορίζει τον κάτω κλάδο της παραβολής. Μπροστά μας είναι μια τετριμμένη παραβολή, η οποία «βρίσκεται στο πλάι».

Η επιθυμητή φιγούρα, η περιοχή της οποίας πρέπει να βρεθεί, είναι σκιασμένη με μπλε.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν μιας φιγούρας; Μπορεί να βρεθεί με τον «συνηθισμένο» τρόπο, που εξετάστηκε στο μάθημα. Ορισμένο ολοκλήρωμα. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος. Επιπλέον, το εμβαδόν του σχήματος βρίσκεται ως το άθροισμα των περιοχών:
- στο τμήμα ;
- στο τμήμα.

Να γιατί:

Τι είναι λάθος με τη συνήθη λύση σε αυτή την περίπτωση; Πρώτον, υπάρχουν δύο ολοκληρώματα. Δεύτερον, οι ρίζες κάτω από τα ολοκληρώματα και οι ρίζες στα ολοκληρώματα δεν είναι δώρο, επιπλέον, μπορεί κανείς να μπερδευτεί στην αντικατάσταση των ορίων της ολοκλήρωσης. Στην πραγματικότητα, τα ολοκληρώματα, φυσικά, δεν είναι θανατηφόρα, αλλά στην πράξη όλα είναι πολύ πιο θλιβερά, απλώς επέλεξα "καλύτερες" λειτουργίες για την εργασία.

Υπάρχει μια πιο ορθολογική λύση: συνίσταται στη μετάβαση σε αντίστροφες συναρτήσεις και στην ολοκλήρωση κατά μήκος του άξονα.

Πώς να περάσετε σε αντίστροφες συναρτήσεις; Σε γενικές γραμμές, πρέπει να εκφράσετε το "x" μέσω του "y". Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την παραβολή:

Αυτό είναι αρκετό, αλλά ας βεβαιωθούμε ότι η ίδια συνάρτηση μπορεί να προέρχεται από τον κάτω κλάδο:

Με μια ευθεία γραμμή, όλα είναι πιο εύκολα:

Τώρα κοιτάξτε τον άξονα: παρακαλούμε να γέρνετε περιοδικά το κεφάλι σας προς τα δεξιά 90 μοίρες όπως εξηγείτε (αυτό δεν είναι αστείο!). Το σχήμα που χρειαζόμαστε βρίσκεται στο τμήμα, το οποίο υποδεικνύεται με την κόκκινη διακεκομμένη γραμμή. Επιπλέον, στο τμήμα, η ευθεία γραμμή βρίσκεται πάνω από την παραβολή, πράγμα που σημαίνει ότι η περιοχή του σχήματος πρέπει να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που είναι ήδη γνωστός σε εσάς: . Τι έχει αλλάξει στη φόρμουλα; Μόνο ένα γράμμα και τίποτα παραπάνω.

! Σημείωση: Θα πρέπει να τεθούν τα όρια ολοκλήρωσης κατά μήκος του άξονα αυστηρά από κάτω προς τα πάνω!

Εύρεση της περιοχής:

Ως εκ τούτου, στο τμήμα:

Δώστε προσοχή στο πώς πραγματοποίησα την ενσωμάτωση, αυτός είναι ο πιο ορθολογικός τρόπος και στην επόμενη παράγραφο της εργασίας θα φανεί το γιατί.

Για τους αναγνώστες που αμφιβάλλουν για την ορθότητα της ολοκλήρωσης, θα βρω παράγωγα:

Λαμβάνεται το αρχικό integrand, που σημαίνει ότι η ενσωμάτωση εκτελείται σωστά.

Απάντηση:

2) Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή αυτού του σχήματος γύρω από τον άξονα.

Θα ξανασχεδιάσω το σχέδιο σε ένα ελαφρώς διαφορετικό σχέδιο:

Έτσι, το σχήμα που σκιάζεται με μπλε περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. Το αποτέλεσμα είναι μια «αιωρούμενη πεταλούδα» που περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της.

Για να βρούμε τον όγκο του σώματος της περιστροφής, θα ενσωματώσουμε κατά μήκος του άξονα. Πρώτα πρέπει να περάσουμε στις αντίστροφες συναρτήσεις. Αυτό έχει ήδη γίνει και περιγράφεται λεπτομερώς στην προηγούμενη παράγραφο.

Τώρα γέρνουμε πάλι το κεφάλι μας προς τα δεξιά και μελετάμε τη σιλουέτα μας. Προφανώς, ο όγκος του σώματος της περιστροφής θα πρέπει να βρεθεί ως η διαφορά μεταξύ των όγκων.

Περιστρέφουμε τη φιγούρα κυκλωμένη με κόκκινο γύρω από τον άξονα, με αποτέλεσμα έναν κόλουρο κώνο. Ας συμβολίσουμε αυτόν τον τόμο με .

Περιστρέφουμε το σχήμα, κυκλωμένο με πράσινο χρώμα, γύρω από τον άξονα και το συμβολίζουμε μέσω του όγκου του σώματος της περιστροφής που προκύπτει.

Ο όγκος της πεταλούδας μας είναι ίσος με τη διαφορά των όγκων.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για να βρούμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής:

Σε τι διαφέρει από τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου; Μόνο στα γράμματα.

Και εδώ είναι το πλεονέκτημα της ενσωμάτωσης για το οποίο μίλησα πριν από λίγο, είναι πολύ πιο εύκολο να το βρεις παρά να ανεβάσει προκαταρκτικά το ολοκληρωμένο στην 4η δύναμη.

Απάντηση:

Ωστόσο, μια άρρωστη πεταλούδα.

Σημειώστε ότι εάν η ίδια επίπεδη φιγούρα περιστραφεί γύρω από τον άξονα, τότε θα προκύψει ένα εντελώς διαφορετικό σώμα περιστροφής, με διαφορετικό, φυσικά, όγκο.

Παράδειγμα 6

Δίνεται ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από γραμμές και έναν άξονα.

1) Μεταβείτε στις αντίστροφες συναρτήσεις και βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές ενσωματώνοντας πάνω από τη μεταβλητή.
2) Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές γύρω από τον άξονα.

Εκτός εύρεση του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα (βλ. 7.2.3.)η πιο σημαντική εφαρμογή του θέματος είναι υπολογισμός του όγκου ενός σώματος περιστροφής. Το υλικό είναι απλό, αλλά ο αναγνώστης πρέπει να είναι προετοιμασμένος: είναι απαραίτητο να μπορεί να λύσει αόριστα ολοκληρώματαμέσης πολυπλοκότητας και εφαρμόστε τον τύπο Newton-Leibniz σε οριστική ολοκλήρωμα, nΑπαιτούνται επίσης ισχυρές δεξιότητες σύνταξης. Γενικά, υπάρχουν πολλές ενδιαφέρουσες εφαρμογές στον ολοκληρωτικό λογισμό· χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος, τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, το μήκος ενός τόξου, το εμβαδόν επιφάνειας του το σώμα, και πολλά άλλα. Φανταστείτε μια επίπεδη φιγούρα στο επίπεδο συντεταγμένων. Εκπροσωπείται; ... Τώρα αυτό το σχήμα μπορεί επίσης να περιστραφεί και να περιστραφεί με δύο τρόπους:

- γύρω από τον άξονα x ;

- γύρω από τον άξονα y .

Ας ρίξουμε μια ματιά και στις δύο περιπτώσεις. Η δεύτερη μέθοδος περιστροφής είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα, προκαλεί τις μεγαλύτερες δυσκολίες, αλλά στην πραγματικότητα η λύση είναι σχεδόν ίδια με την πιο κοινή περιστροφή γύρω από τον άξονα x. Ας ξεκινήσουμε με τον πιο δημοφιλή τύπο περιστροφής.

Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός επίπεδου σχήματος γύρω από έναν άξονα ΒΟΔΙ

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει περιστρέφοντας το σχήμα που οριοθετείται από γραμμές γύρω από τον άξονα.

Λύση:Όπως και στο πρόβλημα της εύρεσης της περιοχής, η λύση ξεκινά με ένα σχέδιο μιας επίπεδης φιγούρας. Δηλαδή στο αεροπλάνο XOYείναι απαραίτητο να κατασκευάσουμε ένα σχήμα που οριοθετείται από γραμμές, χωρίς να ξεχνάμε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα. Το σχέδιο εδώ είναι αρκετά απλό:

Η επιθυμητή επίπεδη φιγούρα σκιάζεται με μπλε χρώμα, είναι αυτή που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. Ως αποτέλεσμα της περιστροφής, λαμβάνεται ένας τέτοιος ιπτάμενος δίσκος ελαφρώς σε σχήμα αυγού με δύο αιχμηρές κορυφές στον άξονα. ΒΟΔΙ, συμμετρικά ως προς τον άξονα ΒΟΔΙ. Στην πραγματικότητα, το σώμα έχει ένα μαθηματικό όνομα, κοιτάξτε στο βιβλίο αναφοράς.

Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής; Εάν το σώμα σχηματίζεται ως αποτέλεσμα περιστροφής γύρω από έναν άξοναΒΟΔΙ, χωρίζεται νοερά σε παράλληλες στρώσεις μικρού πάχους dxπου είναι κάθετα στον άξονα ΒΟΔΙ. Ο όγκος ολόκληρου του σώματος είναι προφανώς ίσος με το άθροισμα των όγκων τέτοιων στοιχειωδών στρωμάτων. Κάθε στρώση, όπως μια στρογγυλή φέτα λεμονιού, έχει ένα χαμηλό ύψος κυλίνδρου dxκαι με ακτίνα βάσης φά(Χ). Τότε ο όγκος ενός στρώματος είναι το γινόμενο του εμβαδού βάσης π φά 2 στο ύψος του κυλίνδρου ( dx), ή π∙ φά 2 (Χ)∙dx. Και η περιοχή ολόκληρου του σώματος της περιστροφής είναι το άθροισμα των στοιχειωδών όγκων ή το αντίστοιχο οριστικό ολοκλήρωμα. Ο όγκος ενός σώματος περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

.

Πώς να ορίσετε τα όρια ενσωμάτωσης "a" και "be" είναι εύκολο να μαντέψει κανείς από το ολοκληρωμένο σχέδιο. Λειτουργία... τι είναι αυτή η λειτουργία; Ας δούμε το σχέδιο. Το επίπεδο σχήμα οριοθετείται από το γράφημα της παραβολής από πάνω. Αυτή είναι η συνάρτηση που υπονοείται στον τύπο. Σε πρακτικές εργασίες, μια επίπεδη φιγούρα μπορεί μερικές φορές να βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ. Αυτό δεν αλλάζει τίποτα - η συνάρτηση στον τύπο είναι τετράγωνο: φά 2 (Χ), έτσι, ο όγκος ενός σώματος περιστροφής είναι πάντα μη αρνητικός, πράγμα πολύ λογικό. Υπολογίστε τον όγκο του σώματος της περιστροφής χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο:

.

Όπως έχουμε ήδη σημειώσει, το ολοκλήρωμα αποδεικνύεται σχεδόν πάντα απλό, το κύριο πράγμα είναι να είστε προσεκτικοί.

Απάντηση:

Στην απάντηση, είναι απαραίτητο να αναφέρετε τη διάσταση - κυβικές μονάδες. Δηλαδή, στο σώμα της περιστροφής μας υπάρχουν περίπου 3,35 «κύβοι». Γιατί ακριβώς κυβικά μονάδες? Γιατί είναι το πιο καθολικό σκεύασμα. Μπορεί να υπάρχουν κυβικά εκατοστά, μπορεί να υπάρχουν κυβικά μέτρα, μπορεί να υπάρχουν κυβικά χιλιόμετρα κ.λπ., τόσα πράσινα ανθρωπάκια μπορεί να χωρέσει η φαντασία σας σε έναν ιπτάμενο δίσκο.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε τον όγκο ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή γύρω από έναν άξονα ΒΟΔΙσχήμα που οριοθετείται από γραμμές , , .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει περιστρέφοντας γύρω από τον άξονα της τετμημένης του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες , και .

Λύση:Ας απεικονίσουμε στο σχέδιο μια επίπεδη φιγούρα οριοθετημένη από γραμμές , , , , χωρίς να ξεχνάμε ότι η εξίσωση Χ= 0 καθορίζει τον άξονα OY:

Η επιθυμητή φιγούρα είναι σκιασμένη με μπλε. Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα ΒΟΔΙαποδεικνύεται ένα επίπεδο γωνιακό bagel (μια ροδέλα με δύο κωνικές επιφάνειες).

Ο όγκος του σώματος περιστροφής υπολογίζεται ως διαφορά όγκου σώματος. Αρχικά, ας δούμε το σχήμα που είναι κυκλωμένο με κόκκινο χρώμα. Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα ΒΟΔΙμε αποτέλεσμα έναν κόλουρο κώνο. Ας υποδηλώσουμε τον όγκο αυτού του κολοβωμένου κώνου ως V 1 .

Σκεφτείτε το σχήμα που είναι κυκλωμένο με πράσινο. Αν περιστρέψουμε αυτό το σχήμα γύρω από τον άξονα ΒΟΔΙ, τότε παίρνετε και έναν κόλουρο κώνο, μόνο λίγο μικρότερο. Ας υποδηλώσουμε τον όγκο του με V 2 .

Προφανώς, η διαφορά όγκου V = V 1 - V 2 είναι ο όγκος του «ντόνατ» μας.

Χρησιμοποιούμε τον τυπικό τύπο για την εύρεση του όγκου ενός σώματος περιστροφής:

1) Το σχήμα που κυκλώνεται με κόκκινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:

2) Το σχήμα που κυκλώνεται με πράσινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:

3) Ο όγκος του επιθυμητού σώματος περιστροφής:

Απάντηση:

Είναι περίεργο ότι σε αυτή την περίπτωση η λύση μπορεί να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας τον σχολικό τύπο για τον υπολογισμό του όγκου ενός κόλουρου κώνου.

Η ίδια η απόφαση συχνά λαμβάνεται πιο σύντομη, κάπως έτσι:

Όπως και με το πρόβλημα της εύρεσης της περιοχής, χρειάζεστε σίγουρες δεξιότητες σχεδίασης - αυτό είναι σχεδόν το πιο σημαντικό πράγμα (καθώς τα ίδια τα ολοκληρώματα θα είναι συχνά εύκολα). Μπορείτε να κατακτήσετε μια ικανή και γρήγορη τεχνική γραφικής παράστασης με τη βοήθεια μεθοδολογικών υλικών και γεωμετρικών μετασχηματισμών γραφημάτων. Αλλά, στην πραγματικότητα, έχω μιλήσει επανειλημμένα για τη σημασία των σχεδίων στο μάθημα.

Γενικά, υπάρχουν πολλές ενδιαφέρουσες εφαρμογές στον ολοκληρωτικό λογισμό· χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή ενός σχήματος, τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, το μήκος τόξου, την επιφάνεια περιστροφής , και πολλα ΑΚΟΜΑ. Έτσι θα είναι διασκεδαστικό, παρακαλώ να είστε αισιόδοξοι!

Φανταστείτε μια επίπεδη φιγούρα στο επίπεδο συντεταγμένων. Εκπροσωπείται; ... Αναρωτιέμαι ποιος παρουσίασε τι ... =))) Έχουμε ήδη βρει την περιοχή του. Αλλά, επιπλέον, αυτό το σχήμα μπορεί επίσης να περιστραφεί και να περιστραφεί με δύο τρόπους:

- γύρω από τον άξονα της τετμημένης.
- γύρω από τον άξονα y.

Σε αυτό το άρθρο, θα συζητηθούν και οι δύο περιπτώσεις. Η δεύτερη μέθοδος περιστροφής είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα, προκαλεί τις μεγαλύτερες δυσκολίες, αλλά στην πραγματικότητα η λύση είναι σχεδόν ίδια με την πιο κοινή περιστροφή γύρω από τον άξονα x. Ως μπόνους, θα επιστρέψω στο το πρόβλημα της εύρεσης του εμβαδού μιας φιγούρας, και να σας πω πώς να βρείτε την περιοχή με τον δεύτερο τρόπο - κατά μήκος του άξονα. Ούτε καν τόσο μπόνους όσο το υλικό ταιριάζει καλά στο θέμα.

Ας ξεκινήσουμε με τον πιο δημοφιλή τύπο περιστροφής.

επίπεδη φιγούρα γύρω από έναν άξονα

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει περιστρέφοντας το σχήμα που οριοθετείται από γραμμές γύρω από τον άξονα.

Λύση: Όπως και στο πρόβλημα της περιοχής, η λύση ξεκινά με ένα σχέδιο μιας επίπεδης φιγούρας. Δηλαδή, στο επίπεδο είναι απαραίτητο να οικοδομήσουμε ένα σχήμα που οριοθετείται από γραμμές , χωρίς να ξεχνάμε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα . Πώς να κάνετε ένα σχέδιο πιο ορθολογικά και πιο γρήγορα μπορείτε να βρείτε στις σελίδες Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεωνκαι Ορισμένο ολοκλήρωμα. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος. Αυτή είναι μια κινεζική υπενθύμιση και δεν σταματώ σε αυτό το σημείο.

Το σχέδιο εδώ είναι αρκετά απλό:

Η επιθυμητή επίπεδη φιγούρα σκιάζεται με μπλε χρώμα και είναι αυτή που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. Ως αποτέλεσμα της περιστροφής, λαμβάνεται ένας τέτοιος ιπτάμενος δίσκος ελαφρώς σε σχήμα αυγού, ο οποίος είναι συμμετρικός ως προς τον άξονα. Στην πραγματικότητα, το σώμα έχει ένα μαθηματικό όνομα, αλλά είναι πολύ τεμπέλικο να προσδιορίσετε κάτι στο βιβλίο αναφοράς, οπότε προχωράμε.

Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής;

Ο όγκος ενός σώματος περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

Στον τύπο, πρέπει να υπάρχει ένας αριθμός πριν από το ολοκλήρωμα. Έτσι ακριβώς συνέβη - όλα όσα περιστρέφονται στη ζωή συνδέονται με αυτήν τη σταθερά.

Πώς να θέσετε τα όρια της ολοκλήρωσης "a" και "be", νομίζω ότι είναι εύκολο να μαντέψετε από το ολοκληρωμένο σχέδιο.

Λειτουργία... τι είναι αυτή η λειτουργία; Ας δούμε το σχέδιο. Το επίπεδο σχήμα οριοθετείται από το γράφημα της παραβολής από πάνω. Αυτή είναι η συνάρτηση που υπονοείται στον τύπο.

Σε πρακτικές εργασίες, μια επίπεδη φιγούρα μπορεί μερικές φορές να βρίσκεται κάτω από τον άξονα. Αυτό δεν αλλάζει τίποτα - το ολοκλήρωμα στον τύπο είναι τετράγωνο: , έτσι Το ολοκλήρωμα είναι πάντα μη αρνητικό, πράγμα πολύ λογικό.

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος της περιστροφής χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο:

Όπως έχω ήδη σημειώσει, το ολοκλήρωμα αποδεικνύεται σχεδόν πάντα απλό, το κύριο πράγμα είναι να είστε προσεκτικοί.

Απάντηση:

Στην απάντηση, είναι απαραίτητο να αναφέρετε τη διάσταση - κυβικές μονάδες. Δηλαδή, στο σώμα της περιστροφής μας υπάρχουν περίπου 3,35 «κύβοι». Γιατί ακριβώς κυβικά μονάδες? Γιατί η πιο καθολική διατύπωση. Μπορεί να υπάρχουν κυβικά εκατοστά, μπορεί να υπάρχουν κυβικά μέτρα, μπορεί να υπάρχουν κυβικά χιλιόμετρα κ.λπ., τόσα πράσινα ανθρωπάκια μπορεί να χωρέσει η φαντασία σας σε έναν ιπτάμενο δίσκο.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές ,

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ας εξετάσουμε δύο πιο σύνθετα προβλήματα, τα οποία επίσης συναντώνται συχνά στην πράξη.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας γύρω από τον άξονα της τετμημένης του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες , και

Λύση: Σχεδιάστε ένα επίπεδο σχήμα στο σχέδιο, οριοθετημένο από γραμμές , , , , χωρίς να ξεχνάτε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα:

Η επιθυμητή φιγούρα είναι σκιασμένη με μπλε. Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, προκύπτει ένα τέτοιο σουρεαλιστικό ντόνατ με τέσσερις γωνίες.

Ο όγκος του σώματος περιστροφής υπολογίζεται ως διαφορά όγκου σώματος.

Αρχικά, ας δούμε το σχήμα που είναι κυκλωμένο με κόκκινο χρώμα. Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, προκύπτει ένας κόλουρος κώνος. Ας υποδηλώσουμε τον όγκο αυτού του κολοβωμένου κώνου ως .

Σκεφτείτε το σχήμα που είναι κυκλωμένο με πράσινο. Εάν περιστρέψετε αυτό το σχήμα γύρω από τον άξονα, θα έχετε επίσης έναν κόλουρο κώνο, λίγο μικρότερο. Ας συμβολίσουμε τον όγκο του με .

Και, προφανώς, η διαφορά στους όγκους είναι ακριβώς ο όγκος του «ντόνατ» μας.

Χρησιμοποιούμε τον τυπικό τύπο για την εύρεση του όγκου ενός σώματος περιστροφής:

1) Το σχήμα που κυκλώνεται με κόκκινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:

2) Το σχήμα που κυκλώνεται με πράσινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:

3) Ο όγκος του επιθυμητού σώματος περιστροφής:

Απάντηση:

Είναι περίεργο ότι σε αυτή την περίπτωση η λύση μπορεί να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας τον σχολικό τύπο για τον υπολογισμό του όγκου ενός κόλουρου κώνου.

Η ίδια η απόφαση συχνά λαμβάνεται πιο σύντομη, κάπως έτσι:

Τώρα ας κάνουμε ένα διάλειμμα και ας μιλήσουμε για γεωμετρικές ψευδαισθήσεις.

Οι άνθρωποι συχνά έχουν ψευδαισθήσεις που σχετίζονται με τόμους, τις οποίες παρατήρησε ο Perelman (άλλος) στο βιβλίο Ενδιαφέρουσα γεωμετρία. Κοιτάξτε την επίπεδη φιγούρα στο λυμένο πρόβλημα - φαίνεται να είναι μικρό σε εμβαδόν και ο όγκος του σώματος της περιστροφής είναι λίγο πάνω από 50 κυβικές μονάδες, το οποίο φαίνεται πολύ μεγάλο. Παρεμπιπτόντως, ο μέσος άνθρωπος σε όλη του τη ζωή πίνει ένα υγρό με όγκο δωματίου 18 τετραγωνικών μέτρων, το οποίο, αντίθετα, φαίνεται να έχει πολύ μικρό όγκο.

Γενικά, το εκπαιδευτικό σύστημα στην ΕΣΣΔ ήταν πραγματικά το καλύτερο. Το ίδιο βιβλίο του Πέρελμαν, που εκδόθηκε το 1950, αναπτύσσεται πολύ καλά, όπως είπε ο χιουμορίστας, το σκεπτικό και σας διδάσκει να αναζητάτε πρωτότυπες μη τυποποιημένες λύσεις στα προβλήματα. Πρόσφατα ξαναδιάβασα κάποια κεφάλαια με μεγάλο ενδιαφέρον, το προτείνω, είναι προσβάσιμο ακόμα και για ανθρωπιστές. Όχι, δεν χρειάζεται να χαμογελάτε γιατί σας πρότεινα ένα αστείο χόμπι, η πολυμάθεια και μια ευρεία οπτική στην επικοινωνία είναι ένα υπέροχο πράγμα.

Μετά από μια λυρική παρέκβαση, είναι απλώς κατάλληλο να λύσετε μια δημιουργική εργασία:

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε τον όγκο ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή γύρω από τον άξονα ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες , , όπου .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Σημειώστε ότι όλα τα πράγματα συμβαίνουν στο συγκρότημα, με άλλα λόγια, δίνονται έτοιμα όρια ολοκλήρωσης. Σχεδιάστε σωστά γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων, θα σας υπενθυμίσω το υλικό του μαθήματος για γεωμετρικοί μετασχηματισμοί γραφημάτων: αν το όρισμα διαιρείται με δύο: , τότε τα γραφήματα τεντώνονται κατά μήκος του άξονα δύο φορές. Είναι επιθυμητό να βρείτε τουλάχιστον 3-4 πόντους σύμφωνα με τριγωνομετρικούς πίνακεςγια να ολοκληρώσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια το σχέδιο. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Παρεμπιπτόντως, το έργο μπορεί να λυθεί ορθολογικά και όχι πολύ ορθολογικά.

Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή
επίπεδη φιγούρα γύρω από έναν άξονα

Η δεύτερη παράγραφος θα είναι ακόμα πιο ενδιαφέρουσα από την πρώτη. Το έργο του υπολογισμού του όγκου ενός σώματος περιστροφής γύρω από τον άξονα y είναι επίσης ένας αρκετά συχνός επισκέπτης στις δοκιμές. Εν παρόδω θα ληφθούν υπόψη πρόβλημα εύρεσης του εμβαδού μιας φιγούραςο δεύτερος τρόπος - ενσωμάτωση κατά μήκος του άξονα, αυτό θα σας επιτρέψει όχι μόνο να βελτιώσετε τις δεξιότητές σας, αλλά και να σας διδάξει πώς να βρείτε την πιο κερδοφόρα λύση. Έχει και πρακτικό νόημα! Όπως θυμάται με χαμόγελο η δασκάλα μου στις μεθόδους διδασκαλίας των μαθηματικών, πολλοί απόφοιτοι την ευχαρίστησαν με τα λόγια: «Το θέμα σας μας βοήθησε πολύ, τώρα είμαστε αποτελεσματικοί διευθυντές και διαχειριζόμαστε το προσωπικό μας με τον βέλτιστο τρόπο». Με αυτήν την ευκαιρία, της εκφράζω επίσης τη μεγάλη μου ευγνωμοσύνη, ειδικά επειδή χρησιμοποιώ τις γνώσεις που αποκτήθηκαν για τον σκοπό που επιδιώκεται =).

Το προτείνω σε όλους να διαβάσουν, ακόμα και ολόκληρα ομοιώματα. Επιπλέον, το αφομοιωμένο υλικό της δεύτερης παραγράφου θα είναι πολύτιμη βοήθεια στον υπολογισμό διπλών ολοκληρωμάτων.

Παράδειγμα 5

Δίνεται ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από γραμμές , , .

1) Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές.
2) Βρείτε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές γύρω από τον άξονα.

Προσοχή!Ακόμα κι αν θέλετε να διαβάσετε μόνο τη δεύτερη παράγραφο, πρώτα αναγκαίωςδιάβασε το πρώτο!

Λύση: Η εργασία αποτελείται από δύο μέρη. Ας ξεκινήσουμε με την πλατεία.

1) Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Είναι εύκολο να δούμε ότι η συνάρτηση ορίζει τον άνω κλάδο της παραβολής και η συνάρτηση ορίζει τον κάτω κλάδο της παραβολής. Μπροστά μας είναι μια τετριμμένη παραβολή, η οποία «βρίσκεται στο πλάι».

Η επιθυμητή φιγούρα, η περιοχή της οποίας πρέπει να βρεθεί, είναι σκιασμένη με μπλε.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν μιας φιγούρας; Μπορεί να βρεθεί με τον «συνηθισμένο» τρόπο, που εξετάστηκε στο μάθημα. Ορισμένο ολοκλήρωμα. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος. Επιπλέον, το εμβαδόν του σχήματος βρίσκεται ως το άθροισμα των περιοχών:
- στο τμήμα ;
- στο τμήμα.

Να γιατί:

Τι είναι λάθος με τη συνήθη λύση σε αυτή την περίπτωση; Πρώτον, υπάρχουν δύο ολοκληρώματα. Δεύτερον, οι ρίζες κάτω από τα ολοκληρώματα και οι ρίζες στα ολοκληρώματα δεν είναι δώρο, επιπλέον, μπορεί κανείς να μπερδευτεί στην αντικατάσταση των ορίων της ολοκλήρωσης. Στην πραγματικότητα, τα ολοκληρώματα, φυσικά, δεν είναι θανατηφόρα, αλλά στην πράξη όλα είναι πολύ πιο θλιβερά, απλώς επέλεξα "καλύτερες" λειτουργίες για την εργασία.

Υπάρχει μια πιο ορθολογική λύση: συνίσταται στη μετάβαση σε αντίστροφες συναρτήσεις και στην ολοκλήρωση κατά μήκος του άξονα.

Πώς να περάσετε σε αντίστροφες συναρτήσεις; Σε γενικές γραμμές, πρέπει να εκφράσετε το "x" μέσω του "y". Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την παραβολή:

Αυτό είναι αρκετό, αλλά ας βεβαιωθούμε ότι η ίδια συνάρτηση μπορεί να προέρχεται από τον κάτω κλάδο:

Με μια ευθεία γραμμή, όλα είναι πιο εύκολα:

Τώρα κοιτάξτε τον άξονα: παρακαλούμε να γέρνετε περιοδικά το κεφάλι σας προς τα δεξιά 90 μοίρες όπως εξηγείτε (αυτό δεν είναι αστείο!). Το σχήμα που χρειαζόμαστε βρίσκεται στο τμήμα, το οποίο υποδεικνύεται με την κόκκινη διακεκομμένη γραμμή. Επιπλέον, στο τμήμα, η ευθεία γραμμή βρίσκεται πάνω από την παραβολή, πράγμα που σημαίνει ότι η περιοχή του σχήματος πρέπει να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που είναι ήδη γνωστός σε εσάς: . Τι έχει αλλάξει στη φόρμουλα; Μόνο ένα γράμμα και τίποτα παραπάνω.

! Σημείωση: Πρέπει να τεθούν όρια ολοκλήρωσης κατά μήκος του άξονα αυστηρά από κάτω προς τα πάνω!

Εύρεση της περιοχής:

Ως εκ τούτου, στο τμήμα:

Δώστε προσοχή στο πώς πραγματοποίησα την ενσωμάτωση, αυτός είναι ο πιο ορθολογικός τρόπος και στην επόμενη παράγραφο της εργασίας θα φανεί το γιατί.

Για τους αναγνώστες που αμφιβάλλουν για την ορθότητα της ολοκλήρωσης, θα βρω παράγωγα:

Λαμβάνεται το αρχικό integrand, που σημαίνει ότι η ενσωμάτωση εκτελείται σωστά.

Απάντηση:

2) Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή αυτού του σχήματος γύρω από τον άξονα.

Θα ξανασχεδιάσω το σχέδιο σε ένα ελαφρώς διαφορετικό σχέδιο:

Έτσι, το σχήμα που σκιάζεται με μπλε περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. Το αποτέλεσμα είναι μια «αιωρούμενη πεταλούδα» που περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της.

Για να βρούμε τον όγκο του σώματος της περιστροφής, θα ενσωματώσουμε κατά μήκος του άξονα. Πρώτα πρέπει να περάσουμε στις αντίστροφες συναρτήσεις. Αυτό έχει ήδη γίνει και περιγράφεται λεπτομερώς στην προηγούμενη παράγραφο.

Τώρα γέρνουμε πάλι το κεφάλι μας προς τα δεξιά και μελετάμε τη σιλουέτα μας. Προφανώς, ο όγκος του σώματος της περιστροφής θα πρέπει να βρεθεί ως η διαφορά μεταξύ των όγκων.

Περιστρέφουμε τη φιγούρα κυκλωμένη με κόκκινο γύρω από τον άξονα, με αποτέλεσμα έναν κόλουρο κώνο. Ας συμβολίσουμε αυτόν τον τόμο με .

Περιστρέφουμε το σχήμα, κυκλωμένο με πράσινο χρώμα, γύρω από τον άξονα και το συμβολίζουμε μέσω του όγκου του σώματος της περιστροφής που προκύπτει.

Ο όγκος της πεταλούδας μας είναι ίσος με τη διαφορά των όγκων.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για να βρούμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής:

Σε τι διαφέρει από τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου; Μόνο στα γράμματα.

Και εδώ είναι το πλεονέκτημα της ενσωμάτωσης για το οποίο μίλησα πριν από λίγο, είναι πολύ πιο εύκολο να το βρεις παρά να ανεβάσει το ολοκληρωμένο στην 4η δύναμη.

Απάντηση:

Ωστόσο, μια άρρωστη πεταλούδα.

Σημειώστε ότι εάν η ίδια επίπεδη φιγούρα περιστραφεί γύρω από τον άξονα, τότε θα προκύψει ένα εντελώς διαφορετικό σώμα περιστροφής, με διαφορετικό, φυσικά, όγκο.

Παράδειγμα 6

Δίνεται ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από γραμμές και έναν άξονα.

1) Μεταβείτε στις αντίστροφες συναρτήσεις και βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές ενσωματώνοντας πάνω από τη μεταβλητή.
2) Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές γύρω από τον άξονα.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Όσοι επιθυμούν μπορούν επίσης να βρουν την περιοχή του σχήματος με τον "συνήθη" τρόπο, ολοκληρώνοντας έτσι τη δοκιμή του σημείου 1). Αλλά αν, επαναλαμβάνω, περιστρέψετε μια επίπεδη φιγούρα γύρω από τον άξονα, τότε θα έχετε ένα εντελώς διαφορετικό σώμα περιστροφής με διαφορετικό όγκο, παρεμπιπτόντως, τη σωστή απάντηση (και για όσους τους αρέσει να λύνουν).

Η πλήρης λύση των δύο προτεινόμενων στοιχείων της εργασίας στο τέλος του μαθήματος.

Α, και μην ξεχάσετε να γέρνετε το κεφάλι σας προς τα δεξιά για να κατανοήσετε τα σώματα περιστροφής και εντός της ολοκλήρωσης!