Irina 25 Σωστά και ακατάλληλα κλάσματα. Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα

Χωρίζονται σε σωστά και λάθος.

Τα σωστά κλάσματα

Σωστό κλάσμαείναι ένα συνηθισμένο κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή.

Για να μάθετε αν ένα κλάσμα είναι σωστό, πρέπει να συγκρίνετε τους όρους του μεταξύ τους. Οι όροι του κλάσματος συγκρίνονται σύμφωνα με τον κανόνα σύγκρισης φυσικών αριθμών.

Παράδειγμα.Θεωρήστε ένα κλάσμα:

7

8

Παράδειγμα:

8	= 1	1
7		7

Κανόνες μετάφρασης και πρόσθετα παραδείγματα μπορείτε να βρείτε στο θέμα Μετατροπή ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή για να μετατρέψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό αριθμό.

Σύγκριση σωστών και ακατάλληλων κλασμάτων

Κάθε ακατάλληλο συνηθισμένο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από ένα σωστό, αφού ένα σωστό κλάσμα είναι πάντα μικρότερο από ένα και ένα ακατάλληλο είναι μεγαλύτερο ή ίσο με ένα.

Παράδειγμα:

3	>	99
2		100

Κανόνες σύγκρισης και πρόσθετα παραδείγματα μπορείτε να βρείτε στο θέμα Σύγκριση συνηθισμένων κλασμάτων. Επίσης για να συγκρίνετε κλάσματα ή να ελέγξετε τη σύγκριση που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

Τα συνηθισμένα κλάσματα χωρίζονται σε κλάσματα \textit (κατάλληλα) και \textit (ακατάλληλα). Αυτή η διαίρεση βασίζεται στη σύγκριση αριθμητή και παρονομαστή.

Τα σωστά κλάσματα

Σωστό κλάσμαείναι ένα συνηθισμένο κλάσμα $\frac(m)(n)$ του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, δηλ. $ εκ

Παράδειγμα 1

Για παράδειγμα, τα κλάσματα $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ είναι κανονικά , άρα πώς σε καθένα από αυτά ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, που αντιστοιχεί στον ορισμό ενός σωστού κλάσματος.

Υπάρχει ένας ορισμός του κατάλληλου κλάσματος, ο οποίος βασίζεται στη σύγκριση ενός κλάσματος με μια μονάδα.

σωστόςεάν είναι μικρότερο από ένα:

Παράδειγμα 2

Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα $\frac(6)(13)$ είναι σωστό επειδή συνθήκη $\frac(6)(13)

Ακατάλληλα κλάσματα

Ακατάλληλο κλάσμαείναι ένα συνηθισμένο κλάσμα $\frac(m)(n)$ του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή, δηλ. $m\ge n$.

Παράδειγμα 3

Για παράδειγμα, τα κλάσματα $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ είναι ακατάλληλα , άρα πώς σε καθένα από αυτά ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή, που αντιστοιχεί στον ορισμό ενός ακατάλληλου κλάσματος.

Ας δώσουμε τον ορισμό ενός ακατάλληλου κλάσματος, ο οποίος βασίζεται στη σύγκριση του με τη μονάδα.

Το συνηθισμένο κλάσμα $\frac(m)(n)$ είναι λανθασμένοςεάν είναι ίσο ή μεγαλύτερο από ένα:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Παράδειγμα 4

Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα $\frac(21)(4)$ είναι ακατάλληλο γιατί η συνθήκη $\frac(21)(4) >1$ ικανοποιείται.

το συνηθισμένο κλάσμα $\frac(8)(8)$ είναι ακατάλληλο γιατί η συνθήκη $\frac(8)(8)=1$ ικανοποιείται.

Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα την έννοια του ακατάλληλου κλάσματος.

Ας πάρουμε ως παράδειγμα το $\frac(7)(7)$. Η τιμή αυτού του κλάσματος λαμβάνεται ως επτά μέρη ενός αντικειμένου, το οποίο χωρίζεται σε επτά ίσα μέρη. Έτσι, από τις επτά μετοχές που είναι διαθέσιμες, μπορείτε να κάνετε όλο το θέμα. Εκείνοι. το ακατάλληλο κλάσμα $\frac(7)(7)$ περιγράφει ολόκληρο το αντικείμενο και $\frac(7)(7)=1$. Έτσι, ακατάλληλα κλάσματα, στα οποία ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή, περιγράφουν ένα ολόκληρο αντικείμενο και ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί να αντικατασταθεί από έναν φυσικό αριθμό $1$.

$\frac(5)(2)$ -- είναι αρκετά προφανές ότι αυτά τα πέντε δευτερόλεπτα μπορούν να κάνουν $2$ ολόκληρα αντικείμενα (ένα ολόκληρο αντικείμενο θα κάνει $2$ μέρη και για να φτιάξετε δύο ολόκληρα αντικείμενα χρειάζεστε $2+2=4$ μετοχή) και απομένει μία δεύτερη μετοχή. Δηλαδή, το ακατάλληλο κλάσμα $\frac(5)(2)$ περιγράφει $2$ ενός αντικειμένου και το $\frac(1)(2)$ αυτού του είδους.

$\frac(21)(7)$ -- τα είκοσι ένα έβδομα μπορούν να δημιουργήσουν ολόκληρα αντικείμενα $3$ (στοιχεία $3$ με μερίδια $7$ το καθένα). Εκείνοι. το κλάσμα $\frac(21)(7)$ περιγράφει ακέραιους αριθμούς $3$.

Από τα παραδείγματα που εξετάστηκαν, μπορεί να εξαχθεί το ακόλουθο συμπέρασμα: ένα ακατάλληλο κλάσμα μπορεί να αντικατασταθεί από έναν φυσικό αριθμό εάν ο αριθμητής διαιρείται πλήρως με τον παρονομαστή (για παράδειγμα, $\frac(7)(7)=1$ και $\ frac(21)(7)=3$) ή το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός κατάλληλου κλάσματος εάν ο αριθμητής δεν διαιρείται καν με τον παρονομαστή (για παράδειγμα, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Επομένως, τέτοια κλάσματα ονομάζονται λανθασμένος.

Ορισμός 1

Η διαδικασία αναπαράστασης ενός ακατάλληλου κλάσματος ως το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός σωστού κλάσματος (για παράδειγμα, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) ονομάζεται εξαγωγή του ακέραιου μέρους από ένα ακατάλληλο κλάσμα.

Όταν εργάζεστε με ακατάλληλα κλάσματα, υπάρχει στενή σύνδεση μεταξύ τους και των μικτών αριθμών.

Ένα ακατάλληλο κλάσμα γράφεται συχνά ως μικτός αριθμός, ένας αριθμός που αποτελείται από έναν ακέραιο αριθμό και ένα κλασματικό μέρος.

Για να γράψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα ως μικτό αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή με ένα υπόλοιπο. Το πηλίκο θα είναι το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού, το υπόλοιπο θα είναι ο αριθμητής του κλασματικού μέρους και ο διαιρέτης θα είναι ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους.

Παράδειγμα 5

Γράψτε το ακατάλληλο κλάσμα $\frac(37)(12)$ ως μικτό αριθμό.

Λύση.

Διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή με ένα υπόλοιπο:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (υπόλοιπο\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Απάντηση.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Για να γράψετε έναν μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με το ακέραιο μέρος του αριθμού, να προσθέσετε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους στο γινόμενο που προέκυψε και να γράψετε το ποσό που προκύπτει στον αριθμητή του κλάσματος. Ο παρονομαστής του ακατάλληλου κλάσματος θα είναι ίσος με τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους του μικτού αριθμού.

Παράδειγμα 6

Γράψτε τον μεικτό αριθμό $5\frac(3)(7)$ ως ακατάλληλο κλάσμα.

Λύση.

Απάντηση.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Προσθήκη μικτού αριθμού και σωστού κλάσματος

Προσθήκη μικτού αριθμού$a\frac(b)(c)$ και σωστό κλάσμαΤο $\frac(d)(e)$ εκτελεί προσθέτοντας το κλασματικό μέρος του δεδομένου μικτού αριθμού στο δεδομένο κλάσμα:

Παράδειγμα 7

Προσθέστε το σωστό κλάσμα $\frac(4)(15)$ και τον μικτό αριθμό $3\frac(2)(5)$.

Λύση.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την προσθήκη ενός μικτού αριθμού και ενός σωστού κλάσματος:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ αριστερά(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( δεκαπέντε)\]

Με το κριτήριο της διαίρεσης με τον αριθμό \textit(5) μπορεί κανείς να προσδιορίσει ότι το κλάσμα $\frac(10)(15)$ είναι αναγωγίσιμο. Εκτελέστε τη μείωση και βρείτε το αποτέλεσμα της προσθήκης:

Άρα, το αποτέλεσμα της προσθήκης του κατάλληλου κλάσματος $\frac(4)(15)$ και του μικτού αριθμού $3\frac(2)(5)$ είναι $3\frac(2)(3)$.

Απάντηση:$3\frac(2)(3)$

Προσθήκη μικτού αριθμού και ακατάλληλου κλάσματος

Προσθήκη ακατάλληλου κλάσματος και μικτού αριθμούμειώνουμε στην προσθήκη δύο μικτών αριθμών, για τους οποίους αρκεί να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος από ένα ακατάλληλο κλάσμα.

Παράδειγμα 8

Υπολογίστε το άθροισμα του μικτού αριθμού $6\frac(2)(15)$ και του ακατάλληλου κλάσματος $\frac(13)(5)$.

Λύση.

Αρχικά, εξάγουμε το ακέραιο τμήμα από το ακατάλληλο κλάσμα $\frac(13)(5)$:

Απάντηση:$8\frac(11)(15)$.

Κόβουν το κέικ σε 8 ίσα μέρη (Εικ. 122, α) και βάζουν 3 μέρη σε ένα πιάτο.

Πάνω του υπήρχε πιρόγα (Εικ. 122, β). Αν βάλετε και τα 8 μέρη, τότε θα υπάρχει μια πίτα στο πιάτο, δηλαδή ολόκληρη η πίτα (Εικ. 122, γ).

Ρύζι. 122

Άρα = 1.

Ας πάρουμε μια άλλη παρόμοια πίτα και την κόψουμε σε 8 ίσα μέρη (Εικ. 123, α). Εάν βάλετε, για παράδειγμα, 11 μέρη σε ένα πιάτο, τότε θα υπάρχει μια πίτα (Εικ. 123, β).

Ρύζι. 123

Σε ένα κλάσμα, ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Τέτοια κλάσματα ονομάζονται σωστά. Σε ένα κλάσμα, ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή και σε ένα κλάσμα, ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Τέτοια κλάσματα ονομάζονται ακατάλληλα.

Ρύζι. 124

Για παράδειγμα,< 1, = 1, > 1.

Ερωτήσεις για αυτοεξέταση

• Τι είναι ένα σωστό κλάσμα;
• Τι είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα;
• Μπορεί ένα σωστό κλάσμα να είναι μεγαλύτερο από 1;
• Είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα πάντα μεγαλύτερο από 1;
• Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο αν το ένα είναι σωστό και το άλλο λάθος;

Κάντε τις ασκήσεις

974. Το μήκος του τμήματος ΑΒ είναι 8 εκ. Σχεδιάστε ένα τμήμα του οποίου το μήκος είναι:

975. Σημειώστε τα σημεία στη δοκό με συντεταγμένες:

Για ένα μεμονωμένο τμήμα, πάρτε το μήκος των 12 κελιών του σημειωματάριου.

976. Γράφω:

• α) όλα τα σωστά κλάσματα με παρονομαστή 6.
• β) όλα τα ακατάλληλα κλάσματα με αριθμητή 5.

977. Για ποιες τιμές του a είναι ένα κλάσμα:

978. Μια μηχανή μπορεί να σκάψει μια τάφρο μήκους 1 m σε 6 λεπτά Τι μήκος μιας τάφρου μπορεί μια μηχανή να σκάψει σε 1 λεπτό; 5 λεπτά; 7 λεπτά; 11 λεπτά;

979. Ένα κιλό χρώματος μπορεί να καλύψει 5 m2 επιφάνειας. Πόση βαφή χρειάζεται για να βάψετε 3 m 2; 6 m 2; 13 m2 επιφάνειας;

980. Η κατασκευαστική ομάδα έχτισε το αγρόκτημα σε 48 ημέρες. Το σχέδιο προέβλεπε αυτή τη φορά. Πόσες ημέρες διατέθηκαν για την κατασκευή του αγροκτήματος σύμφωνα με το σχέδιο;

981. Ο τορνέρ γύρισε 135 εξαρτήματα σε τόρνο σε 3 ώρες, συμπληρώνοντας την ημερήσια νόρμα. Πόσα μέρη έπρεπε να αλέσει σε μια εργάσιμη ημέρα (8 ώρες) σύμφωνα με τον κανόνα; Πόσα εξαρτήματα θα επεξεργαστεί σε μια εργάσιμη ημέρα εάν δουλεύει με την ίδια παραγωγικότητα;

982. Ο τορναδόρος γύρισε 135 μέρη σε τόρνο, συμπληρώνοντας την ημερήσια νόρμα. Ποιο είναι το μεροκάματο του;

983. Η συναυλία των μικρών μουσικών, αντί των προγραμματισμένων 3 ωρών, συνεχίστηκε αυτή τη φορά, καθώς το κοινό ζήτησε να επαναλάβουν μερικές από τις αγαπημένες τους παραστάσεις. Πόσο κράτησε η συναυλία; Πόσα λεπτά ήταν τα encore;

984. Υπολογίστε προφορικά:

985. Πόσα λεπτά σε μια ώρα; Τι κλάσμα της ώρας είναι 1 λεπτό; 7 λεπτά; 15 λεπτά?

986. Πόσες φορές ένα centner είναι περισσότερο από ένα κιλό; Τι μέρος ενός centner είναι ένα κιλό; Πόσα centner είναι περισσότερα από ένα κιλό;

987. Πόσα λεπτά

988. Προσθέστε τους αριθμούς 40 και τους αριθμούς 60. Αφαιρέστε τους αριθμούς 81 από τον αριθμό 72.

989. Ο μισός αριθμός είναι 18. Βρείτε αυτόν τον αριθμό. Το ένα τρίτο του αριθμού είναι το 27. Βρείτε αυτόν τον αριθμό. Τα τρία τέταρτα του αριθμού είναι 60. Βρείτε αυτόν τον αριθμό.

990. Ποιο τμήμα του τετράπλευρου ΑΒΓΔ (Εικ. 125) είναι σκιασμένο; Ποιο μέρος έχει μείνει άβαφο;

Ρύζι. 125

991. Εκφράστε σε γραμμάρια:

• α) 3 κιλά 400 γρ.
• β) 2 kg 30 g;
• γ) 15 κιλά.

992. Ταξινόμηση των κλασμάτων σε αύξουσα σειρά:

Τακτοποιήστε αυτά τα κλάσματα με φθίνουσα σειρά.

993. Ονομάστε τέσσερα κλάσματα που είναι μικρότερα από

994. Ονομάστε 5 κλάσματα που είναι μεγαλύτερα από .

995. Σχεδιάστε ένα τετράγωνο με πλευρά 4 εκ. Δείξτε στο σχέδιο: ένα τετράγωνο, ένα τετράγωνο. Βρείτε τα εμβαδά αυτών των τμημάτων του τετραγώνου και εξηγήστε το αποτέλεσμα.

996. Την πρώτη μέρα, η ταξιαρχία συγκέντρωσε 5 τόνους 400 κιλά πατάτες και τη δεύτερη μέρα - 1 τόνο 200 κιλά λιγότερο από την πρώτη. Την τρίτη μέρα, η ταξιαρχία συγκέντρωσε 2 φορές περισσότερες πατάτες από τη δεύτερη. Πόσες πατάτες συγκέντρωσε η ταξιαρχία αυτές τις τρεις μέρες;

997. Γράψε ένα πρόβλημα σύμφωνα με την εξίσωση:

• α) (y + 6) - 2 = 15;
• β) 2(α - 5) = 24;
• γ) 3(25 + β) + 15 = 135.

998. Στο πρώτο αυτοκίνητο υπήρχαν άνθρωποι, και στο δεύτερο - β άτομα. Στη στάση, c άτομα κατέβηκαν από το πρώτο αυτοκίνητο και δ άτομα κατέβηκαν από το δεύτερο αυτοκίνητο. Ποιο είναι το νόημα των παρακάτω εκφράσεων:

• a + b;
• μετα Χριστον;
• c + d;
• β-δ;
• (α + β) - (γ + δ);
• (α - γ) + (β - δ);

Εξήγησε γιατί

(α + β) - (γ + δ) = (α - γ) + (β - δ)

για a > c, b > d.

Ελέγξτε αυτήν την ισότητα με a = 45, b = 39, c = 14, d = 12.

Χρησιμοποιώντας την ισότητα που προκύπτει, υπολογίστε την τιμή της παράστασης:

• α) (548 + 897) - (148 + 227);
• β) (391 + 199) - (181 + 79).

999. Σκεφτείτε πέντε κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι 3 μικρότερος από τον παρονομαστή. Γράψτε πέντε κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι τριπλάσιος του παρονομαστή.

1000. Για ποιες τιμές του x θα είναι ακατάλληλο το κλάσμα;

1001. Ο αγρότης σχεδίαζε να μαζέψει 12 τόνους λαχανικά από το χωράφι, αλλά συγκέντρωσε αυτή την ποσότητα. Πόσους τόνους λαχανικών συγκέντρωσε ο αγρότης;

1002. Ο τουρίστας περπάτησε την πρώτη μέρα 18 χλμ, που είναι το μονοπάτι που πρέπει να διανύσει τη δεύτερη μέρα. Πόσα χιλιόμετρα πρέπει να περπατήσει ένας τουρίστας σε αυτές τις δύο μέρες;

1003. Ένα φορτηγό τρένο αναχώρησε από την Αγία Πετρούπολη για τη Μόσχα με ταχύτητα 48 χλμ./ώρα και μια ώρα αργότερα ένα γρήγορο τρένο έφυγε από τη Μόσχα για την Αγία Πετρούπολη με ταχύτητα 82 χλμ./ώρα. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των τρένων:

• α) 1 ώρα μετά την έξοδο του γρήγορου τρένου·
• β) 3 ώρες μετά την αναχώρηση της εμπορευματικής αμαξοστοιχίας·
• γ) 5 ώρες μετά την έξοδο του γρήγορου τρένου.

Η απόσταση από τη Μόσχα στην Αγία Πετρούπολη είναι 650 χιλιόμετρα.

1004. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

• α) 8060 -45 - 45 150: 75 105;
• β) (2 254 175 + 94 447): 414 - 1329;
• γ) (123 - 93): (12 - 9);
• δ) (62 + Ζ2)2.