Η μελέτη του ακριβούς θέματος: φυσικοί αριθμοί είναι τι αριθμοί, παραδείγματα και ιδιότητες. Μη φυσικοί αριθμοί

Στα μαθηματικά, υπάρχουν πολλά διαφορετικά σύνολα αριθμών: πραγματικοί, μιγαδικοί, ακέραιοι, ορθολογικοί, παράλογοι, ... Καθημερινή ζωήσυνηθέστερα χρησιμοποιούμε φυσικούς αριθμούς, καθώς τους συναντάμε κατά τη μέτρηση και κατά την αναζήτηση, υποδεικνύοντας τον αριθμό των αντικειμένων.

Σε επαφή με

Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί

Από δέκα ψηφία, μπορείτε να σημειώσετε απολύτως οποιοδήποτε υπάρχον άθροισμα κλάσεων και βαθμών. Οι φυσικές αξίες είναι αυτές που χρησιμοποιούνται:

• Κατά την καταμέτρηση οποιωνδήποτε στοιχείων (πρώτο, δεύτερο, τρίτο, ... πέμπτο, ... δέκατο).
• Όταν υποδεικνύεται ο αριθμός των στοιχείων (ένα, δύο, τρία ...)

Οι τιμές N είναι πάντα ακέραιοι και θετικοί. Δεν υπάρχει μεγαλύτερο Ν, αφού το σύνολο των ακέραιων τιμών δεν είναι περιορισμένο.

Προσοχή!Οι φυσικοί αριθμοί λαμβάνονται μετρώντας αντικείμενα ή προσδιορίζοντας την ποσότητα τους.

Απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί και να αναπαρασταθεί ως όροι bit, για παράδειγμα: 8.346.809=8 εκατομμύρια+346 χιλιάδες+809 μονάδες.

Σετ N

Το σύνολο N είναι στο σύνολο πραγματικό, ακέραιο και θετικό. Στο διάγραμμα συνόλου, θα ήταν το ένα μέσα στο άλλο, αφού το σύνολο των φυσικών είναι μέρος τους.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα Ν. Αυτό το σύνολο έχει αρχή αλλά όχι τέλος.

Υπάρχει επίσης ένα εκτεταμένο σύνολο N, όπου περιλαμβάνεται το μηδέν.

ο μικρότερος φυσικός αριθμός

Στις περισσότερες μαθηματικές σχολές, η μικρότερη τιμή του N υπολογίζεται ως μονάδα, αφού η απουσία αντικειμένων θεωρείται κενή.

Αλλά στις ξένες μαθηματικές σχολές, για παράδειγμα, στα γαλλικά, θεωρείται φυσικό. Η παρουσία του μηδενός στη σειρά διευκολύνει την απόδειξη μερικά θεωρήματα.

Ένα σύνολο τιμών N που περιλαμβάνει το μηδέν ονομάζεται εκτεταμένο και συμβολίζεται με το σύμβολο N0 (μηδενικός δείκτης).

Σειρά φυσικών αριθμών

Μια N σειρά είναι μια ακολουθία όλων των N συνόλων ψηφίων. Αυτή η σειρά δεν έχει τέλος.

Η ιδιαιτερότητα της φυσικής σειράς είναι ότι ο επόμενος αριθμός θα διαφέρει κατά ένα από τον προηγούμενο, δηλαδή θα αυξηθεί. Αλλά τα νοήματα δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

Προσοχή!Για τη διευκόλυνση της καταμέτρησης, υπάρχουν κατηγορίες και κατηγορίες:

• Μονάδες (1, 2, 3),
• Δεκάδες (10, 20, 30),
• Εκατοντάδες (100, 200, 300),
• Χιλιάδες (1000, 2000, 3000),
• Δεκάδες χιλιάδες (30.000),
• Εκατοντάδες χιλιάδες (800.000),
• Εκατομμύρια (4000000) κ.λπ.

Όλα τα Ν

Όλα τα N βρίσκονται στο σύνολο των πραγματικών, ακέραιων, μη αρνητικών τιμών. Είναι δικοί τους αναπόσπαστο μέρος.

Αυτές οι αξίες πάνε στο άπειρο, μπορούν να ανήκουν στις τάξεις των εκατομμυρίων, δισεκατομμυρίων, εκατομμυρίων κ.λπ.

Για παράδειγμα:

• Πέντε μήλα, τρία γατάκια,
• Δέκα ρούβλια, τριάντα μολύβια,
• Εκατό κιλά, τριακόσια βιβλία,
• Ένα εκατομμύριο αστέρια, τρία εκατομμύρια άνθρωποι κ.λπ.

Ακολουθία στο Ν

Σε διαφορετικές μαθηματικές σχολές, μπορεί κανείς να βρει δύο διαστήματα στα οποία ανήκει η ακολουθία N:

από το μηδέν στο συν άπειρο, συμπεριλαμβανομένων των άκρων, και από το ένα στο συν άπειρο, συμπεριλαμβανομένων των άκρων, δηλαδή όλα θετικές ολόκληρες απαντήσεις.

N σύνολα ψηφίων μπορεί να είναι είτε άρτια είτε περιττά. Εξετάστε την έννοια της παραδοξότητας.

Odd (οποιεσδήποτε μονές τελειώνουν στους αριθμούς 1, 3, 5, 7, 9.) με δύο έχουν υπόλοιπο. Για παράδειγμα, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Τι σημαίνει ακόμη και Ν;

Οποιαδήποτε ζυγά αθροίσματα κλάσεων τελειώνουν σε αριθμούς: 0, 2, 4, 6, 8. Όταν διαιρέσουμε άρτιο Ν με 2, δεν θα υπάρχει υπόλοιπο, δηλαδή το αποτέλεσμα είναι μια ολόκληρη απάντηση. Για παράδειγμα, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Σπουδαίος!Μια αριθμητική σειρά του Ν δεν μπορεί να αποτελείται μόνο από ζυγές ή περιττές τιμές, αφού πρέπει να εναλλάσσονται: ένας άρτιος αριθμός ακολουθείται πάντα από έναν περιττό αριθμό, μετά από έναν άρτιο αριθμό και ούτω καθεξής.

Ν ιδιότητες

Όπως όλα τα άλλα σύνολα, το N έχει τις δικές του ειδικές ιδιότητες. Εξετάστε τις ιδιότητες της σειράς N (όχι εκτεταμένες).

• Η τιμή που είναι η μικρότερη και που δεν ακολουθεί καμία άλλη είναι μία.
• Τα N είναι μια ακολουθία, δηλαδή μια φυσική τιμή ακολουθεί ένα άλλο(εκτός από ένα - είναι το πρώτο).
• Όταν εκτελούμε υπολογιστικές πράξεις σε N αθροίσματα ψηφίων και κλάσεων (προσθήκη, πολλαπλασιασμός), τότε η απάντηση βγαίνει πάντα φυσικόέννοια.
• Στους υπολογισμούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μετάθεση και συνδυασμό.
• Κάθε επόμενη τιμή δεν μπορεί να είναι μικρότερη από την προηγούμενη. Επίσης στη σειρά N, θα ισχύει ο ακόλουθος νόμος: εάν ο αριθμός A είναι μικρότερος από το B, τότε στη σειρά αριθμών θα υπάρχει πάντα ένα C, για το οποίο ισχύει η ισότητα: A + C \u003d B.
• Εάν πάρουμε δύο φυσικές εκφράσεις, για παράδειγμα, Α και Β, τότε μία από τις εκφράσεις θα είναι αληθής γι' αυτές: A \u003d B, το A είναι μεγαλύτερο από το B, το A είναι μικρότερο από το B.
• Αν το Α είναι μικρότερο από το Β και το Β μικρότερο από το Γ, τότε προκύπτει ότι ότι το Α είναι μικρότερο από το Γ.
• Αν το Α είναι μικρότερο από το Β, τότε προκύπτει ότι: αν προσθέσουμε την ίδια παράσταση (Γ) σε αυτά, τότε το Α + Γ είναι μικρότερο από το Β + Γ. Είναι επίσης αλήθεια ότι αν αυτές οι τιμές πολλαπλασιαστούν με C, τότε το AC είναι μικρότερο από το AB.
• Αν το Β είναι μεγαλύτερο από το Α αλλά μικρότερο από το C, τότε το Β-Α είναι μικρότερο από το Γ-Α.

Προσοχή!Όλες οι παραπάνω ανισότητες ισχύουν και προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Πώς ονομάζονται τα συστατικά ενός πολλαπλασιασμού;

Σε πολλές απλές έως και πολύπλοκες εργασίες, η εύρεση της απάντησης εξαρτάται από την ικανότητα των μαθητών

Ακέραιοιπολύ οικείο και φυσικό για εμάς. Και αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, αφού η γνωριμία μαζί τους ξεκινά από τα πρώτα χρόνια της ζωής μας σε ένα διαισθητικό επίπεδο.

Οι πληροφορίες σε αυτό το άρθρο δημιουργούν μια βασική κατανόηση των φυσικών αριθμών, αποκαλύπτουν τον σκοπό τους, ενσταλάζουν τις δεξιότητες γραφής και ανάγνωσης φυσικών αριθμών. Για καλύτερη αφομοίωση του υλικού δίνονται τα απαραίτητα παραδείγματα και εικονογραφήσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Οι φυσικοί αριθμοί είναι μια γενική αναπαράσταση.

Η ακόλουθη γνώμη δεν στερείται ορθής λογικής: η εμφάνιση του προβλήματος της μέτρησης αντικειμένων (πρώτο, δεύτερο, τρίτο αντικείμενο κ.λπ.) και το πρόβλημα της ένδειξης του αριθμού των αντικειμένων (ένα, δύο, τρία αντικείμενα κ.λπ.) οδήγησε στη δημιουργία ενός εργαλείου για τη λύση του, αυτό το εργαλείο ήταν ακέραιοι αριθμοί.

Αυτή η πρόταση δείχνει κύριος σκοπός των φυσικών αριθμών- φέρουν πληροφορίες σχετικά με τον αριθμό οποιωνδήποτε αντικειμένων ή τον αύξοντα αριθμό ενός δεδομένου αντικειμένου στο εξεταζόμενο σύνολο ειδών.

Για να χρησιμοποιήσει ένα άτομο φυσικούς αριθμούς, πρέπει να είναι προσπελάσιμοι με κάποιο τρόπο, τόσο για αντίληψη όσο και για αναπαραγωγή. Εάν ηχήσετε κάθε φυσικό αριθμό, τότε θα γίνει αντιληπτός από το αυτί, και εάν απεικονίσετε έναν φυσικό αριθμό, τότε μπορεί να φανεί. Αυτοί είναι οι πιο φυσικοί τρόποι μεταφοράς και αντίληψης φυσικών αριθμών.

Ας αρχίσουμε λοιπόν να αποκτούμε τις δεξιότητες απεικόνισης (γραφής) και τις δεξιότητες εκφώνησης (ανάγνωσης) φυσικών αριθμών, μαθαίνοντας παράλληλα το νόημά τους.

Δεκαδικός συμβολισμός για έναν φυσικό αριθμό.

Αρχικά, θα πρέπει να αποφασίσουμε σε τι θα βασιστούμε όταν γράφουμε φυσικούς αριθμούς.

Ας απομνημονεύσουμε τις εικόνες των παρακάτω χαρακτήρων (τους δείχνουμε χωρισμένους με κόμματα): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Οι εικόνες που εμφανίζονται αποτελούν καταγραφή του λεγόμενου αριθμοί. Ας συμφωνήσουμε αμέσως να μην αναποδογυρίσουμε, να γείρουμε ή να παραμορφώσουμε με άλλο τρόπο τους αριθμούς όταν γράφουμε.

Τώρα συμφωνούμε ότι μόνο τα υποδεικνυόμενα ψηφία μπορούν να υπάρχουν στη σημειογραφία οποιουδήποτε φυσικού αριθμού και δεν μπορούν να υπάρχουν άλλα σύμβολα. Συμφωνούμε επίσης ότι τα ψηφία στον συμβολισμό ενός φυσικού αριθμού έχουν το ίδιο ύψος, είναι διατεταγμένα σε μια γραμμή το ένα μετά το άλλο (σχεδόν χωρίς εσοχές) και στα αριστερά υπάρχει ένα ψηφίο που είναι διαφορετικό από το ψηφίο 0 .

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα της σωστής σημειογραφίας των φυσικών αριθμών: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (σημείωση: οι εσοχές μεταξύ των αριθμών δεν είναι πάντα οι ίδιες, περισσότερα για αυτό θα συζητηθούν κατά την αναθεώρηση). Από τα παραπάνω παραδείγματα, μπορεί να φανεί ότι ένας φυσικός αριθμός δεν περιέχει απαραίτητα όλα τα ψηφία 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; μερικά ή όλα τα ψηφία που εμπλέκονται στη σύνταξη ενός φυσικού αριθμού μπορεί να επαναληφθούν.

Συμμετοχές 014 , 0005 , 0 , 0209 δεν είναι εγγραφές φυσικών αριθμών, αφού υπάρχει ένα ψηφίο στα αριστερά 0 .

Η εγγραφή ενός φυσικού αριθμού, που εκτελείται λαμβάνοντας υπόψη όλες τις απαιτήσεις που περιγράφονται στην παρούσα παράγραφο, ονομάζεται δεκαδικός συμβολισμός φυσικού αριθμού.

Περαιτέρω δεν θα κάνουμε διάκριση μεταξύ φυσικών αριθμών και συμβολισμού τους. Ας το διευκρινίσουμε: περαιτέρω στο κείμενο, φράσεις όπως «δίνεται φυσικός αριθμός 582 », που θα σημαίνει ότι δίνεται ένας φυσικός αριθμός, η σημείωση του οποίου έχει τη μορφή 582 .

Φυσικοί αριθμοί με την έννοια του αριθμού των αντικειμένων.

Ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με την ποσοτική σημασία που φέρει ο καταγεγραμμένος φυσικός αριθμός. Η έννοια των φυσικών αριθμών από την άποψη της αρίθμησης αντικειμένων εξετάζεται στο άρθρο σύγκριση φυσικών αριθμών.

Ας ξεκινήσουμε με τους φυσικούς αριθμούς, οι εγγραφές των οποίων συμπίπτουν με τις εγγραφές των ψηφίων, δηλαδή με τους αριθμούς 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 και 9 .

Φανταστείτε ότι ανοίξαμε τα μάτια μας και είδαμε κάποιο αντικείμενο, για παράδειγμα, όπως αυτό. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να γράψουμε αυτό που βλέπουμε 1 θέμα. Ο φυσικός αριθμός 1 διαβάζεται ως " ένας«(κλίση του αριθμού «ένα», καθώς και άλλων αριθμών, θα δώσουμε στην παράγραφο), για τον αριθμό 1 υιοθέτησε ένα άλλο όνομα - " μονάδα».

Ωστόσο, ο όρος "μονάδα" είναι πολλαπλών τιμών, εκτός από τον φυσικό αριθμό 1 , λέγονται κάτι που θεωρείται ως σύνολο. Για παράδειγμα, οποιοδήποτε αντικείμενο από το σύνολο τους μπορεί να ονομαστεί μονάδα. Για παράδειγμα, οποιοδήποτε μήλο από πολλά μήλα είναι ένα, οποιοδήποτε κοπάδι πουλιών από πολλά κοπάδια πουλιών είναι επίσης ένα, και ούτω καθεξής.

Τώρα ανοίγουμε τα μάτια μας και βλέπουμε: Δηλαδή, βλέπουμε ένα αντικείμενο και ένα άλλο αντικείμενο. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να γράψουμε αυτό που βλέπουμε 2 θέμα. Φυσικός αριθμός 2 , διαβάζεται σαν " δύο».

Ομοίως, - 3 θέμα (διαβάστε " τρία" θέμα), - 4 (« τέσσερις"") του θέματος, - 5 (« πέντε»), - 6 (« έξι»), - 7 (« επτά»), - 8 (« οκτώ»), - 9 (« εννέα”) είδη.

Άρα, από τη θεωρούμενη θέση, οι φυσικοί αριθμοί 1 , 2 , 3 , …, 9 υποδεικνύω ποσόείδη.

Ένας αριθμός του οποίου η σημείωση ταιριάζει με τη σημειογραφία ενός ψηφίου 0 , που ονομάζεται " μηδέν". Ο αριθμός μηδέν ΔΕΝ είναι φυσικός αριθμός, ωστόσο, συνήθως θεωρείται μαζί με φυσικούς αριθμούς. Θυμηθείτε: το μηδέν σημαίνει την απουσία κάτι. Για παράδειγμα, τα μηδενικά στοιχεία δεν είναι ένα μόνο στοιχείο.

Στις επόμενες παραγράφους του άρθρου, θα συνεχίσουμε να αποκαλύπτουμε την έννοια των φυσικών αριθμών ως προς την ένδειξη της ποσότητας.

μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί.

Προφανώς, η εγγραφή καθενός από τους φυσικούς αριθμούς 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 αποτελείται από ένα σημάδι - ένα ψηφίο.

Ορισμός.

Μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοίείναι φυσικοί αριθμοί, η εγγραφή των οποίων αποτελείται από ένα πρόσημο - ένα ψηφίο.

Ας απαριθμήσουμε όλους τους μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Υπάρχουν εννέα μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί.

Διψήφιοι και τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί.

Αρχικά, δίνουμε έναν ορισμό των διψήφιων φυσικών αριθμών.

Ορισμός.

Διψήφιοι φυσικοί αριθμοί- αυτοί είναι φυσικοί αριθμοί, η εγγραφή των οποίων είναι δύο χαρακτήρες - δύο ψηφία (διαφορετικοί ή ίδιοι).

Για παράδειγμα, ένας φυσικός αριθμός 45 - διψήφιο, αριθμοί 10 , 77 , 82 επίσης διψήφιο 5 490 , 832 , 90 037 - όχι διψήφιο.

Ας δούμε τι νόημα έχουν οι διψήφιοι αριθμοί, ενώ θα ξεκινήσουμε από την ποσοτική σημασία των μονοψήφιων φυσικών αριθμών που είναι ήδη γνωστοί σε εμάς.

Αρχικά, ας εισαγάγουμε την έννοια δέκα.

Ας φανταστούμε μια τέτοια κατάσταση - ανοίξαμε τα μάτια μας και είδαμε ένα σετ που αποτελείται από εννέα αντικείμενα και ένα ακόμη αντικείμενο. Στην προκειμένη περίπτωση μιλάει κανείς 1 δέκα (μία ντουζίνα) είδη. Αν σκεφτεί κανείς μαζί ένα δέκα και ένα παραπάνω δέκα, τότε μιλάει για 2 δεκάδες (δύο δεκάδες). Αν προσθέσουμε άλλες δέκα σε δύο δεκάδες, θα έχουμε τρεις δεκάδες. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, θα πάρουμε τέσσερις δεκάδες, πέντε δεκάδες, έξι δεκάδες, επτά δεκάδες, οκτώ δεκάδες και τελικά εννέα δεκάδες.

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην ουσία των διψήφιων φυσικών αριθμών.

Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε έναν διψήφιο αριθμό ως δύο μονοψήφιους αριθμούς - ο ένας είναι στα αριστερά στη συμβολή ενός διψήφιου αριθμού, ο άλλος είναι στα δεξιά. Ο αριθμός στα αριστερά δείχνει τον αριθμό των δεκάδων και ο αριθμός στα δεξιά δείχνει τον αριθμό των μονάδων. Επιπλέον, εάν υπάρχει ένα ψηφίο στα δεξιά στην εγγραφή ενός διψήφιου αριθμού 0 , τότε αυτό σημαίνει την απουσία μονάδων. Αυτό είναι όλο το νόημα των διψήφιων φυσικών αριθμών όσον αφορά την ένδειξη του ποσού.

Για παράδειγμα, ένας διψήφιος φυσικός αριθμός 72 αντιστοιχεί 7 δεκάδες και 2 μονάδες (δηλαδή, 72 μήλα είναι ένα σετ από επτά δωδεκάδες μήλα και δύο ακόμη μήλα), και ο αριθμός 30 απαντήσεις 3 δεκάδες και 0 δεν υπάρχουν μονάδες, δηλαδή μονάδες που δεν ενώνονται σε δεκάδες.

Ας απαντήσουμε στην ερώτηση: «Πόσοι διψήφιοι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν»; Απάντησε τους 90 .

Περνάμε στον ορισμό των τριψήφιων φυσικών αριθμών.

Ορισμός.

Φυσικοί αριθμοί των οποίων η σημειογραφία αποτελείται από 3 σημάδια - 3 ονομάζονται ψηφία (διαφορετικά ή επαναλαμβανόμενα). τριψήφιο.

Παραδείγματα φυσικών τριψήφιων αριθμών είναι 372 , 990 , 717 , 222 . Ακέραιοι 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 δεν είναι τριψήφιο.

Για να κατανοήσουμε την έννοια που είναι εγγενής στους τριψήφιους φυσικούς αριθμούς, χρειαζόμαστε την έννοια εκατοντάδες.

Ένα σύνολο δέκα δεκάδων είναι 1 εκατό (εκατό). Εκατό εκατό είναι 2 εκατοντάδες. Διακόσια και άλλα εκατό είναι τριακόσια. Και ούτω καθεξής, έχουμε τετρακόσια, πεντακόσια, εξακόσια, επτακόσια, οκτακόσια και τελικά εννιακόσια.

Ας δούμε τώρα έναν τριψήφιο φυσικό αριθμό ως τρεις μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς, οι οποίοι πηγαίνουν ο ένας μετά τον άλλο από τα δεξιά προς τα αριστερά με συμβολισμό ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού. Ο αριθμός στα δεξιά δείχνει τον αριθμό των μονάδων, ο επόμενος αριθμός δείχνει τον αριθμό των δεκάδων, ο επόμενος αριθμός τον αριθμό των εκατοντάδων. Αριθμοί 0 στην εγγραφή ενός τριψήφιου αριθμού σημαίνει την απουσία δεκάδων και (ή) μονάδων.

Έτσι, ένας τριψήφιος φυσικός αριθμός 812 αντιστοιχεί 8 εκατοντάδες 1 πρώτη δεκάδα και 2 μονάδες? αριθμός 305 - τριακόσια 0 δεκάδες, δηλαδή δεκάδες μη συνδυασμένες σε εκατοντάδες, όχι) και 5 μονάδες? αριθμός 470 - τετρακόσιες επτά δεκάδες (δεν υπάρχουν μονάδες που να μην συνδυάζονται σε δεκάδες). αριθμός 500 - πεντακόσιες (δεκάδες μη συνδυασμένες σε εκατοντάδες και μονάδες μη συνδυασμένες σε δεκάδες, όχι).

Ομοίως, μπορεί κανείς να ορίσει τετραψήφιο, πενταψήφιο, εξαψήφιο κ.λπ. φυσικούς αριθμούς.

Πολύτιμοι φυσικοί αριθμοί.

Λοιπόν, στραφούμε στον ορισμό των φυσικών αριθμών πολλαπλών τιμών.

Ορισμός.

Πολύτιμοι φυσικοί αριθμοί- πρόκειται για φυσικούς αριθμούς, η εγγραφή των οποίων αποτελείται από δύο ή τρία ή τέσσερα κ.λπ. σημάδια. Με άλλα λόγια, οι πολυψήφιοι φυσικοί αριθμοί είναι διψήφιοι, τριψήφιοι, τετραψήφιοι κ.λπ. αριθμοί.

Ας πούμε αμέσως ότι το σύνολο που αποτελείται από δέκα εκατό είναι χίλια, χίλιες χιλιάδες είναι ένα εκατομμύριο, χίλια εκατομμύρια είναι ένα δισεκατομμύριο, χίλια δισεκατομμύρια είναι Ενα τρισεκατομμύριο. Χίλια τρισεκατομμύρια, χίλια χιλιάδες τρισεκατομμύρια, και ούτω καθεξής μπορούν επίσης να δοθούν τα δικά τους ονόματα, αλλά δεν υπάρχει ιδιαίτερη ανάγκη για αυτό.

Ποιο είναι λοιπόν το νόημα πίσω από φυσικούς αριθμούς πολλαπλών τιμών;

Ας δούμε έναν πολυψήφιο φυσικό αριθμό ως μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς που ακολουθούν ο ένας μετά τον άλλο από δεξιά προς τα αριστερά. Ο αριθμός στα δεξιά δείχνει τον αριθμό των μονάδων, ο επόμενος αριθμός είναι ο αριθμός των δεκάδων, ο επόμενος είναι ο αριθμός των εκατοντάδων, μετά ο αριθμός των χιλιάδων, ο επόμενος είναι ο αριθμός των δεκάδων χιλιάδων, ο επόμενος είναι ο αριθμός των δεκάδων χιλιάδων , το επόμενο είναι ο αριθμός των εκατομμυρίων, το επόμενο είναι ο αριθμός των δεκάδων εκατομμυρίων, το επόμενο είναι εκατοντάδες εκατομμύρια, το επόμενο - ο αριθμός των δισεκατομμυρίων, μετά - ο αριθμός των δεκάδων δισεκατομμυρίων, μετά - οι εκατοντάδες δισεκατομμύρια, τότε - τρισεκατομμύρια, μετά - δεκάδες τρισεκατομμύρια, μετά - εκατοντάδες τρισεκατομμύρια, και ούτω καθεξής.

Για παράδειγμα, ένας πολυψήφιος φυσικός αριθμός 7 580 521 αντιστοιχεί 1 μονάδα, 2 ντουζίνες, 5 εκατοντάδες 0 χιλιάδες 8 δεκάδες χιλιάδες 5 εκατοντάδες χιλιάδες και 7 εκατομμύρια.

Έτσι, μάθαμε να ομαδοποιούμε μονάδες σε δεκάδες, δεκάδες σε εκατοντάδες, εκατοντάδες σε χιλιάδες, χιλιάδες σε δεκάδες χιλιάδες και ούτω καθεξής, και ανακαλύψαμε ότι οι αριθμοί στην εγγραφή ενός πολυψήφιου φυσικού αριθμού δείχνουν τον αντίστοιχο αριθμό του παραπάνω ομάδες.

Ανάγνωση φυσικών αριθμών, τάξεις.

Έχουμε ήδη αναφέρει πώς διαβάζονται οι μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί. Ας μάθουμε από έξω τα περιεχόμενα των παρακάτω πινάκων.

Και πώς διαβάζονται οι άλλοι διψήφιοι αριθμοί;

Ας εξηγήσουμε με ένα παράδειγμα. Διαβάζοντας έναν φυσικό αριθμό 74 . Όπως μάθαμε παραπάνω, αυτός ο αριθμός αντιστοιχεί 7 δεκάδες και 4 μονάδες, δηλαδή, 70 και 4 . Γυρίζουμε στους πίνακες που μόλις γράφτηκαν και στον αριθμό 74 διαβάζουμε ως: «Εβδομήντα τέσσερα» (δεν προφέρουμε την ένωση «και»). Αν θέλετε να διαβάσετε έναν αριθμό 74 στην πρόταση: «Όχι 74 μήλα» (γενική περίπτωση), τότε θα ακούγεται ως εξής: «Δεν υπάρχουν εβδομήντα τέσσερα μήλα». Ενα άλλο παράδειγμα. Αριθμός 88 - αυτό είναι 80 και 8 , λοιπόν, διαβάζουμε: «Ογδόντα οκτώ». Και εδώ είναι ένα παράδειγμα μιας πρότασης: "Σκέφτεται για ογδόντα οκτώ ρούβλια".

Ας προχωρήσουμε στην ανάγνωση τριψήφιων φυσικών αριθμών.

Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να μάθουμε μερικές ακόμα νέες λέξεις.

Μένει να δείξουμε πώς διαβάζονται οι υπόλοιποι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί. Σε αυτή την περίπτωση, θα χρησιμοποιήσουμε τις ήδη αποκτηθείσες δεξιότητες στην ανάγνωση μονοψήφιων και διψήφιων αριθμών.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Ας διαβάσουμε τον αριθμό 107 . Αυτός ο αριθμός αντιστοιχεί 1 εκατό και 7 μονάδες, δηλαδή, 100 και 7 . Γυρίζοντας στα τραπέζια διαβάζουμε: «Εκατόν επτά». Τώρα ας πούμε τον αριθμό 217 . Αυτός ο αριθμός είναι 200 και 17 , λοιπόν, διαβάζουμε: «Διακόσια δεκαεπτά». Επίσης, 888 - αυτό είναι 800 (οκτακόσια) και 88 (ογδόντα οκτώ), διαβάζουμε: «Οκτακόσια ογδόντα οκτώ».

Στρέφουμε στην ανάγνωση πολυψήφιων αριθμών.

Για την ανάγνωση, η εγγραφή ενός πολυψήφιου φυσικού αριθμού χωρίζεται, ξεκινώντας από τα δεξιά, σε ομάδες των τριών ψηφίων, ενώ στην πιο αριστερή τέτοια ομάδα μπορεί να υπάρχει είτε 1 , ή 2 , ή 3 αριθμοί. Αυτές οι ομάδες ονομάζονται τάξεις. Η τάξη στα δεξιά καλείται κατηγορία μονάδας. Η επόμενη τάξη (από δεξιά προς τα αριστερά) καλείται τάξη των χιλιάδων, η επόμενη τάξη είναι κατηγορία εκατομμυρίων, Επόμενο - κατηγορία δισεκατομμυρίων, μετά πάει τάξη τρισεκατομμυρίων. Μπορείτε να δώσετε τα ονόματα των παρακάτω κλάσεων, αλλά φυσικούς αριθμούς, η εγγραφή των οποίων αποτελείται από 16 , 17 , 18 και τα λοιπά. Τα σημάδια συνήθως δεν διαβάζονται, αφού είναι πολύ δύσκολο να γίνουν αντιληπτά από το αυτί.

Δείτε παραδείγματα διαχωρισμού πολυψήφιων αριθμών σε κλάσεις (για λόγους σαφήνειας, οι κλάσεις χωρίζονται μεταξύ τους με μια μικρή εσοχή): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Ας βάλουμε τους καταγεγραμμένους φυσικούς αριθμούς σε έναν πίνακα, σύμφωνα με τον οποίο είναι εύκολο να μάθουμε πώς να τους διαβάζουμε.

Για να διαβάσουμε έναν φυσικό αριθμό, καλούμε από αριστερά προς τα δεξιά τους αριθμούς που τον αποτελούν ανά τάξη και προσθέτουμε το όνομα της τάξης. Ταυτόχρονα, δεν προφέρουμε το όνομα της κατηγορίας μονάδων και επίσης παραλείπουμε εκείνες τις κατηγορίες που αποτελούν τρία ψηφία 0 . Εάν η εγγραφή της τάξης έχει ένα ψηφίο στα αριστερά 0 ή δύο ψηφία 0 , τότε αγνοήστε αυτούς τους αριθμούς 0 και διαβάστε τον αριθμό που προκύπτει απορρίπτοντας αυτά τα ψηφία 0 . Για παράδειγμα, 002 διαβάζεται ως "δύο", και 025 - σαν «είκοσι πέντε».

Ας διαβάσουμε τον αριθμό 489 002 σύμφωνα με τους κανόνες που δίνονται.

Διαβάζουμε από αριστερά προς τα δεξιά,

• διαβάστε τον αριθμό 489 , που αντιπροσωπεύει την τάξη των χιλιάδων, είναι "τετρακόσια ογδόντα εννέα".
• προσθέστε το όνομα της τάξης, παίρνουμε "τετρακόσιες ογδόντα εννέα χιλιάδες"?
• περαιτέρω στην κατηγορία των μονάδων βλέπουμε 002 , τα μηδενικά είναι στα αριστερά, τα αγνοούμε, επομένως 002 διαβάστε ως "δύο"?
• το όνομα της κλάσης μονάδας δεν χρειάζεται να προστεθεί.
• με αποτέλεσμα να έχουμε 489 002 - τετρακόσιες ογδόντα εννέα χιλιάδες δύο.

Ας αρχίσουμε να διαβάζουμε τον αριθμό 10 000 501 .

• Αριστερά στην τάξη των εκατομμυρίων βλέπουμε τον αριθμό 10 , διαβάζουμε "δέκα"?
• προσθέστε το όνομα της τάξης, έχουμε "δέκα εκατομμύρια"?
• μετά βλέπουμε το ρεκόρ 000 στην τάξη χιλιάδων, αφού και τα τρία ψηφία είναι ψηφία 0 , τότε παραλείπουμε αυτήν την τάξη και προχωράμε στην επόμενη.
• Η κλάση μονάδας αντιπροσωπεύει τον αριθμό 501 , που διαβάζουμε "πεντακόσια ένα"?
• έτσι, 10 000 501 δέκα εκατομμύρια πεντακόσια ένα.

Ας το κάνουμε χωρίς λεπτομερείς εξηγήσεις: 1 789 090 221 214 - «ένα τρισεκατομμύριο επτακόσια ογδόντα εννέα δισεκατομμύρια ενενήντα εκατομμύρια διακόσια είκοσι ένα χιλιάδες διακόσια δεκατέσσερα».

Έτσι, η βάση της ικανότητας ανάγνωσης πολυψήφιων φυσικών αριθμών είναι η ικανότητα διάσπασης πολυψήφιων αριθμών σε τάξεις, η γνώση των ονομάτων των κλάσεων και η ικανότητα ανάγνωσης τριψήφιων αριθμών.

Τα ψηφία ενός φυσικού αριθμού, η τιμή του ψηφίου.

Κατά τη σύνταξη ενός φυσικού αριθμού, η τιμή κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του. Για παράδειγμα, ένας φυσικός αριθμός 539 αντιστοιχεί 5 εκατοντάδες 3 δεκάδες και 9 μονάδες, εξ ου και το σχήμα 5 στην καταχώρηση αριθμού 539 ορίζει τον αριθμό των εκατοντάδων, ένα ψηφίο 3 είναι ο αριθμός των δεκάδων και το ψηφίο 9 - αριθμός μονάδων. Λέγεται ότι ο αριθμός 9 στέκεται μέσα ψηφίο μονάδωνκαι αριθμός 9 είναι τιμή μονάδας ψηφίου, αριθμός 3 στέκεται μέσα θέση δεκάδωνκαι αριθμός 3 είναι δεκάδες θέσηςκαι τον αριθμό 5 - σε εκατοντάδες μέροςκαι αριθμός 5 είναι εκατοντάδες θέσης αξίας.

Με αυτόν τον τρόπο, απαλλάσσω- αυτή είναι, αφενός, η θέση του ψηφίου στη σημειογραφία ενός φυσικού αριθμού και, αφετέρου, η τιμή αυτού του ψηφίου, που καθορίζεται από τη θέση του.

Οι βαθμίδες έχουν δοθεί ονόματα. Αν κοιτάξετε τους αριθμούς στην εγγραφή ενός φυσικού αριθμού από δεξιά προς τα αριστερά, τότε θα αντιστοιχούν τα ακόλουθα ψηφία: μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες, εκατομμύρια, δεκάδες εκατομμύρια και σύντομα.

Τα ονόματα των κατηγοριών είναι βολικό να θυμόμαστε όταν παρουσιάζονται με τη μορφή πίνακα. Ας γράψουμε έναν πίνακα που περιέχει τα ονόματα των 15 ψηφίων.

Σημειώστε ότι ο αριθμός των ψηφίων ενός δεδομένου φυσικού αριθμού είναι ίσος με τον αριθμό των χαρακτήρων που εμπλέκονται στη σύνταξη αυτού του αριθμού. Έτσι, ο καταγεγραμμένος πίνακας περιέχει τα ονόματα των ψηφίων όλων των φυσικών αριθμών, η εγγραφή των οποίων περιέχει έως και 15 χαρακτήρες. Τα παρακάτω ψηφία έχουν επίσης τα δικά τους ονόματα, αλλά χρησιμοποιούνται πολύ σπάνια, επομένως δεν έχει νόημα να τα αναφέρουμε.

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των ψηφίων, είναι βολικό να προσδιορίσετε τα ψηφία ενός δεδομένου φυσικού αριθμού. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να γράψετε αυτόν τον φυσικό αριθμό σε αυτόν τον πίνακα έτσι ώστε να υπάρχει ένα ψηφίο σε κάθε ψηφίο και το δεξιότερο ψηφίο στο ψηφίο των μονάδων.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Ας γράψουμε έναν φυσικό αριθμό 67 922 003 942 στον πίνακα και τα ψηφία και οι τιμές αυτών των ψηφίων θα γίνουν ευδιάκριτα.

Στην εγγραφή αυτού του αριθμού, το ψηφίο 2 στέκεται στη θέση των μονάδων, ψηφίο 4 - στη θέση των δεκάδων, ψηφίο 9 - σε εκατοντάδες, κ.λπ. Προσοχή στους αριθμούς 0 , που είναι σε ψηφία δεκάδων χιλιάδων και εκατοντάδων χιλιάδων. Αριθμοί 0 σε αυτά τα ψηφία σημαίνει την απουσία μονάδων αυτών των ψηφίων.

Θα πρέπει επίσης να αναφέρουμε τη λεγόμενη κατώτερη (χαμηλότερη) και υψηλότερη (υψηλότερη) κατηγορία ενός φυσικού αριθμού πολλών τιμών. Κατώτερη (κατώτερη) βαθμίδαΚάθε φυσικός αριθμός πολλών τιμών είναι το ψηφίο των μονάδων. Το υψηλότερο (υψηλότερο) ψηφίο ενός φυσικού αριθμούείναι το ψηφίο που αντιστοιχεί στο δεξιότερο ψηφίο στην εγγραφή αυτού του αριθμού. Για παράδειγμα, το λιγότερο σημαντικό ψηφίο του φυσικού αριθμού 23004 είναι το ψηφίο των μονάδων και το υψηλότερο ψηφίο είναι το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων. Αν στον συμβολισμό ενός φυσικού αριθμού κινούμαστε με ψηφία από αριστερά προς τα δεξιά, τότε κάθε επόμενο ψηφίο χαμηλότερο (νεότερος)το προηγούμενο. Για παράδειγμα, το ψηφίο των χιλιάδων είναι μικρότερο από το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων, ειδικά το ψηφίο των χιλιάδων είναι μικρότερο από το ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων, των εκατομμυρίων, των δεκάδων εκατομμυρίων κ.λπ. Εάν, στη σημειογραφία ενός φυσικού αριθμού, κινούμαστε με ψηφία από δεξιά προς τα αριστερά, τότε κάθε επόμενο ψηφίο υψηλότερο (παλιότερο)το προηγούμενο. Για παράδειγμα, το ψηφίο των εκατοντάδων είναι παλαιότερο από το ψηφίο των δεκάδων, και ακόμη περισσότερο, είναι παλαιότερο από το ψηφίο του ενός.

Σε ορισμένες περιπτώσεις (για παράδειγμα, κατά την εκτέλεση πρόσθεσης ή αφαίρεσης), δεν χρησιμοποιείται ο ίδιος ο φυσικός αριθμός, αλλά το άθροισμα των όρων bit αυτού του φυσικού αριθμού.

Συνοπτικά για το δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Έτσι, εξοικειωθήκαμε με τους φυσικούς αριθμούς, με το νόημα που είναι εγγενές σε αυτούς, και τον τρόπο γραφής φυσικών αριθμών χρησιμοποιώντας δέκα ψηφία.

Γενικά, ονομάζεται η μέθοδος γραφής αριθμών με χρήση πρόσημων αριθμητικό σύστημα. Η τιμή ενός ψηφίου σε μια καταχώρηση αριθμού μπορεί να εξαρτάται ή όχι από τη θέση του. Καλούνται αριθμητικά συστήματα στα οποία η τιμή ενός ψηφίου σε μια καταχώρηση αριθμού εξαρτάται από τη θέση του θέσεως.

Έτσι, οι φυσικοί αριθμοί που εξετάσαμε και ο τρόπος γραφής τους υποδηλώνουν ότι χρησιμοποιούμε ένα σύστημα αριθμών θέσης. Πρέπει να σημειωθεί ότι ειδική θέση σε αυτό το σύστημα αριθμών έχει ο αριθμός 10 . Πράγματι, η παρτιτούρα διατηρείται σε δεκάδες: δέκα μονάδες συνδυάζονται σε δέκα, δέκα δεκάδες συνδυάζονται σε εκατό, δέκα εκατοντάδες σε χίλια κ.ο.κ. Αριθμός 10 που ονομάζεται βάσηδεδομένο αριθμητικό σύστημα και καλείται το ίδιο το σύστημα αριθμών δεκαδικός.

Εκτός από το σύστημα δεκαδικών αριθμών, υπάρχουν και άλλα, για παράδειγμα, στην επιστήμη των υπολογιστών, χρησιμοποιείται το δυαδικό σύστημα αριθμών θέσης και συναντάμε το σεξουαλικό σύστημα όταν πρόκειται για τη μέτρηση του χρόνου.

Βιβλιογραφία.

• Μαθηματικά. Τυχόν εγχειρίδια για 5 τάξεις εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.

Ακέραιοι- αριθμοί που χρησιμοποιούνται για την καταμέτρηση αντικειμένων . Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας το δέκα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Μια τέτοια εγγραφή αριθμών ονομάζεται δεκαδικός.

Η ακολουθία όλων των φυσικών αριθμών ονομάζεται φυσικό δίπλα-δίπλα .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Πλέον μικρόένας φυσικός αριθμός είναι ένα (1). Στη φυσική σειρά, κάθε επόμενος αριθμός είναι 1 περισσότερος από τον προηγούμενο. φυσική σειρά ατελείωτεςδεν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός.

Η σημασία ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στη σημειογραφία του αριθμού. Για παράδειγμα, ο αριθμός 4 σημαίνει: 4 μονάδες, εάν βρίσκεται στην τελευταία θέση στην καταχώριση αριθμού (σε μονάδες θέση)? 4 δέκα,αν είναι στην τελευταία θέση (στη θέση των δεκάδων). 4 εκατοντάδες,αν είναι στην τρίτη θέση από το τέλος (σε εκατοντάδες μέρη).

Το ψηφίο 0 σημαίνει έλλειψη μονάδων αυτής της κατηγορίαςστον δεκαδικό συμβολισμό ενός αριθμού. Χρησιμεύει επίσης για να δηλώσει τον αριθμό " μηδέν". Αυτός ο αριθμός σημαίνει "κανένας". Το σκορ 0: 3 ενός ποδοσφαιρικού αγώνα δείχνει ότι η πρώτη ομάδα δεν σημείωσε ούτε ένα γκολ εναντίον του αντιπάλου.

Μηδέν δεν περιλαμβάνουνστους φυσικούς αριθμούς. Και πράγματι η καταμέτρηση των αντικειμένων δεν ξεκινά ποτέ από το μηδέν.

Αν ένας φυσικός αριθμός έχει μόνο ένα ψηφίο – ένα ψηφίο, τότε ονομάζεται ξεκάθαρος.Εκείνοι. ξεκάθαροςφυσικός αριθμός- φυσικός αριθμός του οποίου η εγγραφή αποτελείται από ένα πρόσημο – ένα ψηφίο. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 1, 6, 8 είναι μονοψήφιοι.

διπλό ψηφίοφυσικός αριθμός- ένας φυσικός αριθμός, η εγγραφή του οποίου αποτελείται από δύο χαρακτήρες - δύο ψηφία.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί 12, 47, 24, 99 είναι διψήφιοι.

Επίσης, ανάλογα με τον αριθμό των χαρακτήρων σε έναν δεδομένο αριθμό, δίνονται ονόματα σε άλλους αριθμούς:

αριθμοί 326, 532, 893 - τριψήφιο?

αριθμοί 1126, 4268, 9999 - τετραψήφιοκαι τα λοιπά.

Διψήφιο, τριψήφιο, τετραψήφιο, πενταψήφιο κ.λπ. καλούνται αριθμοί πολυψήφιους αριθμούς .

Για την ανάγνωση πολυψήφιων αριθμών, χωρίζονται, ξεκινώντας από τα δεξιά, σε ομάδες των τριών ψηφίων η καθεμία (η πιο αριστερή ομάδα μπορεί να αποτελείται από ένα ή δύο ψηφία). Αυτές οι ομάδες ονομάζονται τάξεις.

Εκατομμύριοείναι χίλιες χιλιάδες (1000 χιλιάδες), γράφεται 1 εκατομμύριο ή 1.000.000.

Δισεκατομμύριοείναι 1000 εκατομμύρια. Καταγράφεται κατά 1 δισ. ή 1.000.000.000.

Τα τρία πρώτα ψηφία στα δεξιά αποτελούν την κατηγορία των μονάδων, τα επόμενα τρία - την τάξη των χιλιάδων, μετά υπάρχουν οι τάξεις των εκατομμυρίων, των δισεκατομμυρίων κ.λπ. (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Κατηγορία εκατομμυρίων, κατηγορία χιλιάδων και κατηγορία μονάδων (από αριστερά προς τα δεξιά)

Ο αριθμός 15389000286 είναι γραμμένος στο πλέγμα bit (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Ψηφιακό πλέγμα: αριθμός 15 δισεκατομμύρια 389 εκατομμύρια 286

Αυτός ο αριθμός έχει 286 μονάδες στην κατηγορία ενός, μηδέν μονάδες στην κατηγορία χιλιάδων, 389 μονάδες στην κατηγορία εκατομμυρίων και 15 μονάδες στην κατηγορία δισεκατομμυρίων.

Ορισμός

Φυσικοί αριθμοί ονομάζονται αριθμοί που προορίζονται για την καταμέτρηση αντικειμένων. Για την καταγραφή φυσικών αριθμών, χρησιμοποιούνται 10 αραβικοί αριθμοί (0–9), οι οποίοι αποτελούν τη βάση του συστήματος δεκαδικών αριθμών που είναι γενικά αποδεκτό για μαθηματικούς υπολογισμούς.

Ακολουθία φυσικών αριθμών

Οι φυσικοί αριθμοί αποτελούν μια σειρά που ξεκινά από το 1 και καλύπτει το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων. Μια τέτοια ακολουθία αποτελείται από αριθμούς 1,2,3, ... . Αυτό σημαίνει ότι στη φυσική σειρά:

1. Υπάρχει ένας μικρότερος αριθμός και κανένας μεγαλύτερος.
2. Κάθε επόμενος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο κατά 1 (η εξαίρεση είναι η ίδια η μονάδα).
3. Καθώς οι αριθμοί πάνε στο άπειρο, μεγαλώνουν απεριόριστα.

Μερικές φορές το 0 εισάγεται επίσης σε μια σειρά φυσικών αριθμών. Αυτό είναι επιτρεπτό και μετά μιλούν γι' αυτό επεκτάθηκεφυσική σειρά.

Τάξεις φυσικών αριθμών

Κάθε ψηφίο ενός φυσικού αριθμού εκφράζει ένα συγκεκριμένο ψηφίο. Το τελευταίο είναι πάντα ο αριθμός των μονάδων στον αριθμό, το πριν είναι ο αριθμός των δεκάδων, το τρίτο από το τέλος είναι ο αριθμός των εκατοντάδων, το τέταρτο είναι ο αριθμός των χιλιάδων κ.ο.κ.

• στον αριθμό 276: 2 εκατοντάδες, 7 δεκάδες, 6 μονάδες
• στον αριθμό 1098: 1 χιλιάδες, 9 δεκάδες, 8 ένα. το μέρος των εκατοντάδων απουσιάζει εδώ, αφού εκφράζεται ως μηδέν.

Για μεγάλους και πολύ μεγάλους αριθμούς, μπορείτε να δείτε μια σταθερή τάση (αν εξετάσετε τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά, δηλαδή από το τελευταίο ψηφίο στο πρώτο):

• Τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού είναι μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες.
• Οι προηγούμενες τρεις είναι μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες χιλιάδες.
• τα τρία μπροστά τους (δηλαδή το 7ο, 8ο και 9ο ψηφίο του αριθμού, μετρώντας από το τέλος) είναι μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες εκατομμύρια κ.λπ.

Δηλαδή, κάθε φορά έχουμε να κάνουμε με τρία ψηφία, δηλαδή μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες ενός μεγαλύτερου ονόματος. Τέτοιες ομάδες σχηματίζουν τάξεις. Και αν πρέπει να ασχολείσαι με τις τρεις πρώτες τάξεις της καθημερινής ζωής περισσότερο ή λιγότερο συχνά, τότε θα πρέπει να απαριθμηθούν και άλλες, γιατί δεν θυμούνται όλοι τα ονόματά τους από έξω.

• Η 4η τάξη, που ακολουθεί την κλάση των εκατομμυρίων και αντιπροσωπεύει αριθμούς 10-12 ψηφίων, ονομάζεται δισεκατομμύριο (ή δισεκατομμύριο).
• 5η τάξη - τρισ.
• 6η τάξη - τετράστιχο.
• 7η τάξη - κουϊντίλιο.
• 8η τάξη - εξάξιο.
• 9η τάξη - Septillion.

Πρόσθεση φυσικών αριθμών

Η πρόσθεση φυσικών αριθμών είναι μια αριθμητική πράξη που σας επιτρέπει να πάρετε έναν αριθμό που περιέχει τόσες μονάδες όσες υπάρχουν στους αριθμούς που αθροίζονται μαζί.

Το πρόσημο είναι το σύμβολο «+». Οι προστιθέμενοι αριθμοί ονομάζονται όροι, το αποτέλεσμα ονομάζεται άθροισμα.

Οι μικροί αριθμοί προστίθενται (συνοψίζονται) προφορικά, γραπτώς τέτοιες ενέργειες γράφονται σε μια γραμμή.

Οι πολυψήφιοι αριθμοί, που είναι δύσκολο να προστεθούν στο μυαλό, προστίθενται συνήθως σε μια στήλη. Για αυτό, οι αριθμοί γράφονται ο ένας κάτω από τον άλλο, ευθυγραμμισμένοι με το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή γράφουν το ψηφίο των μονάδων κάτω από το ψηφίο των μονάδων, το ψηφίο των εκατοντάδων κάτω από το ψηφίο των εκατοντάδων κ.ο.κ. Στη συνέχεια, πρέπει να προσθέσετε τα ψηφία σε ζεύγη. Εάν η πρόσθεση ψηφίων γίνεται με μετάβαση στο δεκάρι, τότε αυτό το δεκάρι σταθεροποιείται ως μονάδα πάνω από το ψηφίο στα αριστερά (δηλαδή ακολουθώντας το) και προστίθεται μαζί με τα ψηφία αυτού του ψηφίου.

Εάν όχι 2, αλλά περισσότεροι αριθμοί προστίθενται στη στήλη, τότε κατά τη σύνοψη των ψηφίων της κατηγορίας, όχι 1 ντουζίνα, αλλά αρκετοί, μπορεί να είναι περιττοί. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός τέτοιων δεκάδων μεταφέρεται στο επόμενο ψηφίο.

Αφαίρεση φυσικών αριθμών

Η αφαίρεση είναι μια αριθμητική πράξη, το αντίστροφο της πρόσθεσης, που συνοψίζεται στο γεγονός ότι, δεδομένου του ποσού και ενός από τους όρους, πρέπει να βρείτε έναν άλλο - έναν άγνωστο όρο. Ο αριθμός από τον οποίο αφαιρείται ονομάζεται minuend. ο αριθμός που αφαιρείται είναι ο υποκατηγορίας. Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης ονομάζεται διαφορά. Το πρόσημο που δηλώνει την πράξη της αφαίρεσης είναι «-».

Κατά τη μετάβαση στην πρόσθεση, η υποκατηγορία και η διαφορά μετατρέπονται σε όρους και η αναγωγή σε άθροισμα. Η πρόσθεση συνήθως ελέγχει την ορθότητα της αφαίρεσης που εκτελείται και το αντίστροφο.

Εδώ το 74 είναι το minuend, το 18 είναι το subtrahend, το 56 είναι η διαφορά.

Απαραίτητη προϋπόθεση για την αφαίρεση των φυσικών αριθμών είναι η εξής: το minuend πρέπει απαραίτητα να είναι μεγαλύτερο από το subtrahend. Μόνο στην περίπτωση αυτή η διαφορά που προκύπτει θα είναι επίσης φυσικός αριθμός. Εάν η ενέργεια αφαίρεσης εκτελείται για μια εκτεταμένη φυσική σειρά, τότε επιτρέπεται το minuend να είναι ίσο με το subtrahend. Και το αποτέλεσμα της αφαίρεσης σε αυτή την περίπτωση θα είναι 0.

Σημείωση: αν το subtrahend είναι ίσο με μηδέν, τότε η λειτουργία αφαίρεσης δεν αλλάζει την τιμή του minuend.

Η αφαίρεση πολυψήφιων αριθμών γίνεται συνήθως σε στήλη. Καταγράψτε τους αριθμούς με τον ίδιο τρόπο όπως για την πρόσθεση. Η αφαίρεση γίνεται για τα αντίστοιχα ψηφία. Εάν αποδειχθεί ότι το minuend είναι μικρότερο από το subtrahend, τότε λαμβάνεται ένα από το προηγούμενο (βρίσκεται στα αριστερά) ψηφίο, το οποίο, μετά τη μεταφορά, φυσικά μετατρέπεται σε 10. Αυτό το δέκα αθροίζεται με τον αριθμό του μειωμένου δίνεται ψηφίο και μετά αφαιρείται. Επιπλέον, κατά την αφαίρεση του επόμενου ψηφίου, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ότι το μειωμένο έχει γίνει 1 λιγότερο.

Γινόμενο φυσικών αριθμών

Το γινόμενο (ή ο πολλαπλασιασμός) των φυσικών αριθμών είναι μια αριθμητική πράξη, η οποία είναι η εύρεση του αθροίσματος ενός αυθαίρετου αριθμού πανομοιότυπων όρων. Για να καταγράψετε τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού, χρησιμοποιήστε το σύμβολο "·" (μερικές φορές "×" ή "*"). Για παράδειγμα: 3 5=15.

Η δράση του πολλαπλασιασμού είναι απαραίτητη όταν είναι απαραίτητο να προστεθεί ένας μεγάλος αριθμός όρων. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να προσθέσετε τον αριθμό 4 7 φορές, τότε ο πολλαπλασιασμός του 4 με το 7 είναι ευκολότερος από το να κάνετε αυτήν την πρόσθεση: 4+4+4+4+4+4+4.

Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται λέγονται συντελεστές, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι το γινόμενο. Αντίστοιχα, ο όρος «έργο» μπορεί, ανάλογα με το πλαίσιο, να εκφράζει τόσο τη διαδικασία του πολλαπλασιασμού όσο και το αποτέλεσμά της.

Οι πολυψήφιοι αριθμοί πολλαπλασιάζονται σε μια στήλη. Για αυτόν τον αριθμό γράφεται με τον ίδιο τρόπο όπως για την πρόσθεση και την αφαίρεση. Συνιστάται να γράψετε πρώτα (πάνω) ποιος από τους 2 αριθμούς, ποιος είναι μεγαλύτερος. Σε αυτή την περίπτωση, η διαδικασία πολλαπλασιασμού θα είναι απλούστερη και επομένως πιο ορθολογική.

Κατά τον πολλαπλασιασμό σε μια στήλη, τα ψηφία καθενός από τα ψηφία του δεύτερου αριθμού πολλαπλασιάζονται διαδοχικά με τα ψηφία του 1ου αριθμού, ξεκινώντας από το τέλος του. Έχοντας βρει το πρώτο τέτοιο έργο, γράφουν τον αριθμό των μονάδων και κρατούν τον αριθμό των δεκάδων στο μυαλό τους. Κατά τον πολλαπλασιασμό του ψηφίου του 2ου αριθμού με το επόμενο ψηφίο του 1ου αριθμού, ο αριθμός που λαμβάνεται υπόψη προστίθεται στο γινόμενο. Και πάλι γράφουν τον αριθμό των μονάδων του αποτελέσματος που προέκυψαν και θυμούνται τον αριθμό των δεκάδων. Κατά τον πολλαπλασιασμό με το τελευταίο ψηφίο του 1ου αριθμού, ο αριθμός που λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο καταγράφεται πλήρως.

Τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού των ψηφίων του 2ου ψηφίου του δεύτερου αριθμού γράφονται στη δεύτερη σειρά, μετατοπίζοντάς το 1 κελί προς τα δεξιά. Και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, θα ληφθεί μια "σκάλα". Όλες οι προκύπτουσες σειρές αριθμών πρέπει να προστεθούν (σύμφωνα με τον κανόνα της πρόσθεσης σε μια στήλη). Τα άδεια κελιά θα πρέπει να θεωρούνται γεμάτα με μηδενικά. Το άθροισμα που προκύπτει είναι το τελικό προϊόν.

Σημείωση

1. Το γινόμενο οποιουδήποτε φυσικού αριθμού με το 1 (ή το 1 με έναν αριθμό) είναι ίσο με τον ίδιο τον αριθμό. Για παράδειγμα: 376 1=376; 1 86=86.
2. Όταν ένας από τους παράγοντες ή και οι δύο παράγοντες είναι ίσοι με 0, τότε το γινόμενο είναι ίσο με 0. Για παράδειγμα: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

Διαίρεση φυσικών αριθμών

Η διαίρεση ονομάζεται αριθμητική πράξη, με τη βοήθεια της οποίας, σύμφωνα με ένα γνωστό γινόμενο και έναν από τους παράγοντες, μπορεί να βρεθεί ένας άλλος - άγνωστος - παράγοντας. Η διαίρεση είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού και χρησιμοποιείται για να ελέγξει εάν ένας πολλαπλασιασμός έχει εκτελεστεί σωστά (και το αντίστροφο).

Ο αριθμός που διαιρείται ονομάζεται διαιρετέος. ο αριθμός με τον οποίο διαιρείται είναι ο διαιρέτης. το αποτέλεσμα μιας διαίρεσης ονομάζεται πηλίκο. Το σύμβολο διαίρεσης είναι ":" (μερικές φορές, λιγότερο συχνά - "÷").

Εδώ το 48 είναι το μέρισμα, το 6 είναι ο διαιρέτης και το 8 το πηλίκο.

Δεν μπορούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί να διαιρεθούν μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση, η διαίρεση γίνεται με υπόλοιπο. Συνίσταται στο γεγονός ότι για τον διαιρέτη επιλέγεται ένας τέτοιος παράγοντας έτσι ώστε το γινόμενο του από τον διαιρέτη να είναι ένας αριθμός όσο το δυνατόν πλησιέστερος σε αξία στο μέρισμα, αλλά μικρότερος από αυτόν. Ο διαιρέτης πολλαπλασιάζεται με αυτόν τον παράγοντα και αφαιρείται από το μέρισμα. Η διαφορά θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης. Το γινόμενο ενός διαιρέτη με έναν παράγοντα ονομάζεται ατελές πηλίκο. Προσοχή: το υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερο από τον επιλεγμένο πολλαπλασιαστή! Εάν το υπόλοιπο είναι μεγαλύτερο, τότε αυτό σημαίνει ότι ο πολλαπλασιαστής έχει επιλεγεί λανθασμένα και θα πρέπει να αυξηθεί.

Επιλέγουμε έναν παράγοντα για το 7. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτός ο αριθμός είναι 5. Βρίσκουμε ένα ημιτελές πηλίκο: 7 5 \u003d 35. Υπολογίστε το υπόλοιπο: 38-35=3. Από 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Οι πολυψήφιοι αριθμοί χωρίζονται σε στήλη. Για να γίνει αυτό, το μέρισμα και ο διαιρέτης γράφονται δίπλα-δίπλα, χωρίζοντας τον διαιρέτη με μια κάθετη και οριζόντια γραμμή. Στο μέρισμα επιλέγεται το πρώτο ψηφίο ή τα πρώτα ψηφία (στα δεξιά), που θα πρέπει να είναι ένας αριθμός που είναι ελάχιστα επαρκής για διαίρεση με διαιρέτη (δηλαδή, αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον διαιρέτη). Για αυτόν τον αριθμό, επιλέγεται ένα ημιτελές πηλίκο, όπως περιγράφεται στον κανόνα της διαίρεσης με υπόλοιπο. Ο αριθμός του πολλαπλασιαστή που χρησιμοποιείται για την εύρεση του μερικού πηλίκου γράφεται κάτω από τον διαιρέτη. Το ημιτελές πηλίκο γράφεται κάτω από τον αριθμό που διαιρέθηκε, δεξιά στοίχιση. Βρείτε τη διαφορά τους. Το επόμενο ψηφίο του μερίσματος καταρρίπτεται γράφοντάς το δίπλα σε αυτή τη διαφορά. Για τον αριθμό που προκύπτει, βρίσκουμε πάλι ένα ημιτελές πηλίκο σημειώνοντας το σχήμα του επιλεγμένου παράγοντα, δίπλα στον προηγούμενο κάτω από τον διαιρέτη. Και ούτω καθεξής. Τέτοιες ενέργειες εκτελούνται μέχρι να εξαντληθούν οι αριθμοί του μερίσματος. Μετά από αυτό, η διαίρεση θεωρείται ολοκληρωμένη. Εάν το μέρισμα και ο διαιρέτης διαιρεθούν πλήρως (χωρίς υπόλοιπο), τότε η τελευταία διαφορά θα δώσει μηδέν. Διαφορετικά, ο υπόλοιπος αριθμός θα επιστραφεί.

Εκθεσιμότητα

Η εκθετικότητα είναι μια μαθηματική πράξη που συνίσταται στον πολλαπλασιασμό ενός αυθαίρετου αριθμού πανομοιότυπων αριθμών. Για παράδειγμα: 2 2 2 2.

Τέτοιες εκφράσεις γράφονται ως εξής: ένα x,

όπου έναείναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του Χείναι ο αριθμός τέτοιων παραγόντων.

Πρώτοι και σύνθετοι φυσικοί αριθμοί

Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός, εκτός από το 1, μπορεί να διαιρεθεί με τουλάχιστον 2 αριθμούς - έναν και τον εαυτό του. Με βάση αυτό το κριτήριο, οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε πρώτους και σύνθετους.

Οι πρώτοι αριθμοί είναι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους. Οι αριθμοί που διαιρούνται με περισσότερους από αυτούς τους 2 αριθμούς ονομάζονται σύνθετοι αριθμοί. Μια μονάδα που διαιρείται μόνο από μόνη της δεν είναι ούτε πρώτη ούτε σύνθετη.

Οι αριθμοί είναι πρώτοι: 2,3,5,7,11,13,17,19 κ.λπ. Παραδείγματα σύνθετων αριθμών: 4 (διαιρείται με 1,2,4), 6 (διαιρείται με 1,2,3,6), 20 (διαιρείται με 1,2,4,5,10,20).

Οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί σε πρώτους παράγοντες. Στην περίπτωση αυτή, οι πρώτοι παράγοντες νοούνται ως οι διαιρέτες του, οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί.

Ένα παράδειγμα παραγοντοποίησης σε πρώτους παράγοντες:

Διαιρέτες φυσικών αριθμών

Διαιρέτης είναι ένας αριθμός με τον οποίο ένας δεδομένος αριθμός μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο.

Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, οι απλοί φυσικοί αριθμοί έχουν 2 διαιρέτες, οι σύνθετοι αριθμοί έχουν περισσότερους από 2 διαιρέτες.

Πολλοί αριθμοί έχουν κοινούς διαιρέτες. Ο κοινός διαιρέτης είναι ο αριθμός με τον οποίο οι δεδομένοι αριθμοί διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο.

• Οι αριθμοί 12 και 15 έχουν κοινό διαιρέτη 3
• Οι αριθμοί 20 και 30 έχουν κοινούς διαιρέτες 2,5,10

Ιδιαίτερη σημασία έχει ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD). Αυτός ο αριθμός, συγκεκριμένα, είναι χρήσιμος για να μπορούμε να βρούμε για αναγωγή κλασμάτων. Για να τον βρούμε, απαιτείται η διάσπαση των δεδομένων αριθμών σε πρώτους συντελεστές και η παρουσίασή τους ως το γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων τους, λαμβανομένων στις μικρότερες δυνάμεις τους.

Απαιτείται η εύρεση του GCD των αριθμών 36 και 48.

Διαιρετότητα φυσικών αριθμών

Δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί "με το μάτι" εάν ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο χωρίς υπόλοιπο. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι χρήσιμο το αντίστοιχο τεστ διαιρετότητας, δηλαδή ο κανόνας με τον οποίο μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα μπορείτε να προσδιορίσετε εάν είναι δυνατή η διαίρεση αριθμών χωρίς υπόλοιπο. Το σύμβολο "" χρησιμοποιείται για να υποδείξει τη διαιρετότητα.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Αυτή η τιμή (που συμβολίζεται με LCM) είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με καθένα από τα δεδομένα. Το LCM μπορεί να βρεθεί για ένα αυθαίρετο σύνολο φυσικών αριθμών.

Το LCM, όπως και το GCD, έχει σημαντικό εφαρμοσμένο νόημα. Έτσι, είναι το LCM που πρέπει να βρεθεί με την αναγωγή των συνηθισμένων κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή.

Το LCM προσδιορίζεται παραγοντοποιώντας τους δεδομένους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες. Για το σχηματισμό του, λαμβάνεται ένα γινόμενο, που αποτελείται από καθέναν από τους εμφανιζόμενους (τουλάχιστον για 1 αριθμό) πρώτους παράγοντες που αντιπροσωπεύονται στο μέγιστο βαθμό.

Απαιτείται η εύρεση του LCM των αριθμών 14 και 24.

Μέση τιμή

Ο αριθμητικός μέσος όρος ενός αυθαίρετου (αλλά πεπερασμένου) αριθμού φυσικών αριθμών είναι το άθροισμα όλων αυτών των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό των όρων:

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι κάποια μέση τιμή για ένα σύνολο αριθμών.

Δίνονται οι αριθμοί 2,84,53,176,17,28. Απαιτείται να βρεθεί ο αριθμητικός μέσος όρος τους.