Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών. ΩΔΗ

Ας εξετάσουμε τώρα τη γραμμική ανομοιογενή εξίσωση
. (2)
Έστω y 1 ,y 2 ,.., y n ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων και έστω η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης L(y)=0. Παρόμοια με την περίπτωση των εξισώσεων πρώτης τάξης, θα αναζητήσουμε μια λύση στην εξίσωση (2) στη μορφή
. (3)
Ας βεβαιωθούμε ότι υπάρχει λύση σε αυτή τη μορφή. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τη συνάρτηση στην εξίσωση. Για να αντικαταστήσουμε αυτή τη συνάρτηση στην εξίσωση, βρίσκουμε τις παράγωγές της. Η πρώτη παράγωγος ισούται με
. (4)
Κατά τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου, τέσσερις όροι θα εμφανίζονται στη δεξιά πλευρά της (4), κατά τον υπολογισμό της τρίτης παραγώγου, θα εμφανίζονται οκτώ όροι κ.ο.κ. Επομένως, για τη διευκόλυνση των περαιτέρω υπολογισμών, ο πρώτος όρος στο (4) τίθεται ίσος με μηδέν. Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, η δεύτερη παράγωγος ισούται με
. (5)
Για τους ίδιους λόγους όπως και πριν, στο (5) ορίσαμε επίσης τον πρώτο όρο ίσο με το μηδέν. Τέλος, η ντη παράγωγος είναι
. (6)
Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές των παραγώγων στην αρχική εξίσωση, έχουμε
. (7)
Ο δεύτερος όρος στο (7) είναι ίσος με μηδέν, αφού οι συναρτήσεις y j , j=1,2,..,n, είναι λύσεις της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης L(y)=0. Σε συνδυασμό με την προηγούμενη, λαμβάνουμε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων για την εύρεση των συναρτήσεων C" j (x)
(8)
Η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι η ορίζουσα Wronski του θεμελιώδους συστήματος λύσεων y 1 ,y 2 ,..,y n της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης L(y)=0 και επομένως δεν ισούται με μηδέν. Κατά συνέπεια, υπάρχει μια μοναδική λύση στο σύστημα (8). Αφού το βρήκαμε, λαμβάνουμε τις συναρτήσεις C" j (x), j=1,2,…,n, και, κατά συνέπεια, C j (x), j=1,2,…,n Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές σε (3), λαμβάνουμε λύση σε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση.
Η παρουσιαζόμενη μέθοδος ονομάζεται μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς ή μέθοδος Lagrange.

Μέγιστος βαθμός παραγώγου 2 3 4 5 6

Παράδειγμα Νο. 1. Ας βρούμε τη γενική λύση της εξίσωσης y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Θεωρούμε την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση y"" + 4y" + 3y = 0. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής της εξίσωσης r 2 + 4r + 3 = 0 ισούται με -1 και -3. Επομένως, το θεμελιώδες σύστημα λύσεων μιας ομογενούς εξίσωσης αποτελείται από τις συναρτήσεις y 1 = e - x και y 2 = e -3 x. Αναζητούμε λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης με τη μορφή y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Για να βρούμε τις παραγώγους C" 1 , C" 2 συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων (8)

λύνοντας τα οποία, βρίσκουμε , Ενσωματώνοντας τις συναρτήσεις που προέκυψαν, έχουμε
Τελικά παίρνουμε

Παράδειγμα Νο. 2. Να λύσετε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Λύση:
Αυτή η διαφορική εξίσωση αναφέρεται σε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές.
Θα αναζητήσουμε λύση της εξίσωσης με τη μορφή y = e rx. Για να γίνει αυτό, συνθέτουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: r 1 = 4, r 2 = 2
Κατά συνέπεια, το θεμελιώδες σύστημα λύσεων αποτελείται από τις λειτουργίες:
y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
Η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης έχει τη μορφή:

Αναζήτηση μιας συγκεκριμένης λύσης με τη μέθοδο της μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς.
Για να βρούμε τις παραγώγους του C" i συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Ας εκφράσουμε το C" 1 από την πρώτη εξίσωση:
C" 1 = -c 2 e -2x
και αντικαταστήστε το με το δεύτερο. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Ενσωματώνουμε τις ληφθείσες συναρτήσεις C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Επειδή η , τότε γράφουμε τις εκφράσεις που προκύπτουν με τη μορφή:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Έτσι, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ή
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση υπό την προϋπόθεση:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Αντικαθιστώντας x = 0 στην εξίσωση που βρέθηκε, παίρνουμε:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της λαμβανόμενης γενικής λύσης:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Αντικαθιστώντας x = 0, παίρνουμε:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Παίρνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ή
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ή
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Οπου:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Η ιδιωτική λύση θα γραφτεί ως εξής:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Διάλεξη 44. Γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης. Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών. Γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. (ειδική δεξιά πλευρά).

Κοινωνικοί μετασχηματισμοί. Κράτος και εκκλησία.

Η κοινωνική πολιτική των Μπολσεβίκων υπαγορεύτηκε σε μεγάλο βαθμό από την ταξική τους προσέγγιση.Με διάταγμα της 10ης Νοεμβρίου 1917 καταστράφηκε το ταξικό σύστημα, καταργήθηκαν οι προεπαναστατικοί βαθμοί, οι τίτλοι και τα βραβεία. Καθιερώθηκε η εκλογή των δικαστών. πραγματοποιήθηκε η εκκοσμίκευση των πολιτικών κρατών. Καθιερώθηκε δωρεάν εκπαίδευση και ιατρική περίθαλψη (διάταγμα της 31ης Οκτωβρίου 1918). Οι γυναίκες είχαν ίσα δικαιώματα με τους άνδρες (διατάγματα της 16ης και 18ης Δεκεμβρίου 1917). Με το Διάταγμα του Γάμου εισήχθη ο θεσμός του πολιτικού γάμου.

Με διάταγμα του Συμβουλίου των Λαϊκών Επιτρόπων της 20ης Ιανουαρίου 1918, η εκκλησία διαχωρίστηκε από το κράτος και από το εκπαιδευτικό σύστημα. Το μεγαλύτερο μέρος της εκκλησιαστικής περιουσίας κατασχέθηκε. Ο Πατριάρχης Μόσχας και Πασών των Ρωσιών Tikhon (εξελέγη στις 5 Νοεμβρίου 1917) στις 19 Ιανουαρίου 1918 αναθεματοποίησε τη σοβιετική εξουσία και κάλεσε σε αγώνα κατά των Μπολσεβίκων.

Θεωρήστε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης

Η δομή της γενικής λύσης μιας τέτοιας εξίσωσης καθορίζεται από το ακόλουθο θεώρημα:

Θεώρημα 1.Η γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης (1) παριστάνεται ως το άθροισμα κάποιας συγκεκριμένης λύσης αυτής της εξίσωσης και η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης

(2)

Απόδειξη. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι το ποσό

είναι μια γενική λύση της εξίσωσης (1). Ας αποδείξουμε πρώτα ότι η συνάρτηση (3) είναι λύση της εξίσωσης (1).

Αντικατάσταση του αθροίσματος στην εξίσωση (1) αντί για στο, θα έχω

Εφόσον υπάρχει λύση στην εξίσωση (2), η έκφραση στις πρώτες αγκύλες είναι ταυτόσημη με μηδέν. Εφόσον υπάρχει λύση στην εξίσωση (1), η έκφραση στις δεύτερες αγκύλες είναι ίση με f(x). Επομένως, η ισότητα (4) είναι ταυτότητα. Έτσι, το πρώτο μέρος του θεωρήματος αποδεικνύεται.

Ας αποδείξουμε τη δεύτερη πρόταση: η έκφραση (3) είναι γενικόςλύση της εξίσωσης (1). Πρέπει να αποδείξουμε ότι οι αυθαίρετες σταθερές που περιλαμβάνονται σε αυτήν την έκφραση μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες:

(5)

όποιοι κι αν είναι οι αριθμοί x 0, y 0και (αν μόνο x 0λήφθηκε από την περιοχή όπου λειτουργούν ένα 1, ένα 2Και f(x)συνεχής).

Παρατηρώντας ότι μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή . Στη συνέχεια, με βάση τις προϋποθέσεις (5), θα έχουμε

Ας λύσουμε αυτό το σύστημα και ας προσδιορίσουμε Γ 1Και Γ 2. Ας ξαναγράψουμε το σύστημα με τη μορφή:

(6)

Σημειώστε ότι η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι η ορίζουσα Wronski για τις συναρτήσεις στο 1Και στις 2στο σημείο x=x 0. Δεδομένου ότι αυτές οι συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες από συνθήκη, η ορίζουσα Wronski δεν είναι ίση με μηδέν. επομένως το σύστημα (6) έχει οριστική λύση Γ 1Και Γ 2, δηλ. υπάρχουν τέτοιες έννοιες Γ 1Και Γ 2, σύμφωνα με τον οποίο ο τύπος (3) καθορίζει τη λύση της εξίσωσης (1) που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες. Q.E.D.

Ας προχωρήσουμε στη γενική μέθοδο εύρεσης μερικών λύσεων σε μια ανομοιογενή εξίσωση.

Ας γράψουμε τη γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης (2)

. (7)

Θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση (1) στη μορφή (7), λαμβάνοντας υπόψη Γ 1Και Γ 2όπως κάποιες ακόμη άγνωστες λειτουργίες από Χ.

Ας διαφοροποιήσουμε την ισότητα (7):

Ας επιλέξουμε τις λειτουργίες που αναζητάτε Γ 1Και Γ 2ώστε να ισχύει η ισότητα

. (8)

Αν λάβουμε υπόψη αυτήν την πρόσθετη συνθήκη, τότε η πρώτη παράγωγος θα πάρει τη μορφή

.

Διαφοροποιώντας τώρα αυτήν την έκφραση, βρίσκουμε:

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (1), παίρνουμε

Οι εκφράσεις στις δύο πρώτες αγκύλες γίνονται μηδέν, αφού y 1Και y 2– λύσεις ομογενούς εξίσωσης. Επομένως, η τελευταία ισότητα παίρνει τη μορφή

. (9)

Έτσι, η συνάρτηση (7) θα είναι μια λύση στην ανομοιογενή εξίσωση (1) εάν οι συναρτήσεις Γ 1Και Γ 2ικανοποιεί τις εξισώσεις (8) και (9). Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων από τις εξισώσεις (8) και (9).

Δεδομένου ότι η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι η ορίζουσα Wronski για γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις y 1Και y 2εξίσωση (2), τότε δεν είναι ίση με το μηδέν. Επομένως, λύνοντας το σύστημα, θα βρούμε και τις δύο συγκεκριμένες λειτουργίες του Χ.

Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται για την επίλυση ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων. Αυτό το μάθημα προορίζεται για εκείνους τους μαθητές που γνωρίζουν ήδη λίγο πολύ καλά το θέμα. Εάν μόλις αρχίζετε να εξοικειωθείτε με το τηλεχειριστήριο, π.χ. Εάν είστε τσαγιέρα, προτείνω να ξεκινήσετε με το πρώτο μάθημα: Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων. Και αν τελειώνετε ήδη, απορρίψτε την πιθανή προκατάληψη ότι η μέθοδος είναι δύσκολη. Γιατί είναι απλό.

Σε ποιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών;

1) Για την επίλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς γραμμική ανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης. Εφόσον η εξίσωση είναι πρώτης τάξης, τότε η σταθερά είναι επίσης μία.

2) Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται για την επίλυση ορισμένων γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης. Εδώ διαφέρουν δύο σταθερές.

Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το μάθημα θα αποτελείται από δύο παραγράφους... Έγραψα λοιπόν αυτή τη φράση και για περίπου 10 λεπτά σκεφτόμουν με οδυνηρό τρόπο τι άλλο έξυπνο χάλι θα μπορούσα να προσθέσω για μια ομαλή μετάβαση σε πρακτικά παραδείγματα. Αλλά για κάποιο λόγο δεν έχω καμία σκέψη μετά τις διακοπές, αν και δεν φαίνεται να έχω καταχραστεί τίποτα. Επομένως, ας πάμε κατευθείαν στην πρώτη παράγραφο.

Μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς
για μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση πρώτης τάξης

Πριν εξετάσετε τη μέθοδο μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς, καλό είναι να εξοικειωθείτε με το άρθρο Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Σε εκείνο το μάθημα εξασκηθήκαμε πρώτη λύσηανομοιογενής 1ης τάξης ΔΕ. Αυτή η πρώτη λύση, θυμίζω, λέγεται μέθοδος αντικατάστασηςή Μέθοδος Bernoulli(δεν πρέπει να συγχέεται με εξίσωση Bernoulli!!!)

Τώρα θα κοιτάξουμε δεύτερη λύση– μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς. Θα δώσω μόνο τρία παραδείγματα και θα τα πάρω από το προαναφερθέν μάθημα. Γιατί τόσο λίγοι; Γιατί στην πραγματικότητα, η λύση με τον δεύτερο τρόπο θα μοιάζει πολύ με τη λύση με τον πρώτο τρόπο. Επιπλέον, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις μου, η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται λιγότερο συχνά από τη μέθοδο αντικατάστασης.

Παράδειγμα 1

(Διαφορά από το Παράδειγμα Νο. 2 του μαθήματος Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης)

Λύση:Αυτή η εξίσωση είναι γραμμική ανομοιογενής και έχει μια γνωστή μορφή:

Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να λυθεί μια απλούστερη εξίσωση:
Δηλαδή, μηδενίζουμε ανόητα τη δεξιά πλευρά και αντ' αυτού γράφουμε μηδέν.
Η εξίσωση θα τηλεφωνήσω βοηθητική εξίσωση.

Σε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να λύσετε την ακόλουθη βοηθητική εξίσωση:

Πριν από εμάς διαχωρίσιμη εξίσωση, η λύση του οποίου (ελπίζω) να μην είναι πλέον δύσκολη για εσάς:

Ετσι:
– γενική λύση της βοηθητικής εξίσωσης.

Στο δεύτερο σκαλοπάτι θα αντικαταστήσουμεκάποια σταθερά προς το παρόνάγνωστη συνάρτηση που εξαρτάται από το "x":

Εξ ου και το όνομα της μεθόδου - μεταβάλλουμε τη σταθερά. Εναλλακτικά, η σταθερά θα μπορούσε να είναι κάποια συνάρτηση που τώρα πρέπει να βρούμε.

ΣΕ πρωτότυποανομοιογενής εξίσωση ας κάνουμε μια αντικατάσταση:

Ας αντικαταστήσουμε και στην εξίσωση :

Σημείο ελέγχου - οι δύο όροι στην αριστερή πλευρά ακυρώνονται. Εάν αυτό δεν συμβεί, θα πρέπει να αναζητήσετε το παραπάνω σφάλμα.

Ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης, προέκυψε μια εξίσωση με διαχωρίσιμες μεταβλητές. Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές και ενσωματώνουμε.

Τι ευλογία, οι εκθέτες ακυρώνουν επίσης:

Προσθέτουμε μια «κανονική» σταθερά στη συνάρτηση που βρέθηκε:

Στο τελικό στάδιο, θυμόμαστε την αντικατάστασή μας:

Η συνάρτηση μόλις βρέθηκε!

Η γενική λύση λοιπόν είναι:

Απάντηση:κοινή απόφαση:

Εάν εκτυπώσετε τις δύο λύσεις, θα παρατηρήσετε εύκολα ότι και στις δύο περιπτώσεις βρήκαμε τα ίδια ολοκληρώματα. Η μόνη διαφορά είναι στον αλγόριθμο επίλυσης.

Τώρα για κάτι πιο περίπλοκο, θα σχολιάσω και το δεύτερο παράδειγμα:

Παράδειγμα 2

Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης
(Διαφορά από το Παράδειγμα Νο. 8 του μαθήματος Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης)

Λύση:Ας μειώσουμε την εξίσωση στη μορφή :

Ας επαναφέρουμε τη δεξιά πλευρά και ας λύσουμε τη βοηθητική εξίσωση:

Γενική λύση της βοηθητικής εξίσωσης:

Στην ανομοιογενή εξίσωση κάνουμε την αντικατάσταση:

Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων:

Ας αντικαταστήσουμε και στην αρχική ανομοιογενή εξίσωση:

Οι δύο όροι στην αριστερή πλευρά ακυρώνονται, πράγμα που σημαίνει ότι είμαστε στο σωστό δρόμο:

Ας ενσωματωθούμε ανά μέρη. Το νόστιμο γράμμα από τον τύπο ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα περιλαμβάνεται ήδη στη λύση, επομένως χρησιμοποιούμε, για παράδειγμα, τα γράμματα "a" και "be":

Ας θυμηθούμε τώρα την αντικατάσταση:

Απάντηση:κοινή απόφαση:

Και ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 3

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που αντιστοιχεί στη δεδομένη αρχική συνθήκη.

,
(Διαφορά από το Παράδειγμα Νο. 4 του μαθήματος Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης)
Λύση:
Αυτή η ΔΕ είναι γραμμική ανομοιογενής. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών. Ας λύσουμε τη βοηθητική εξίσωση:

Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές και ενσωματώνουμε:

Κοινή απόφαση:
Στην ανομοιογενή εξίσωση κάνουμε την αντικατάσταση:

Ας κάνουμε την αντικατάσταση:

Η γενική λύση λοιπόν είναι:

Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση που αντιστοιχεί στη δεδομένη αρχική συνθήκη:

Απάντηση:ιδιωτική λύση:

Η λύση στο τέλος του μαθήματος μπορεί να χρησιμεύσει ως παράδειγμα για την ολοκλήρωση της εργασίας.

Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών
για μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης
με σταθερούς συντελεστές

Έχω ακούσει συχνά την άποψη ότι η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για μια εξίσωση δεύτερης τάξης δεν είναι εύκολη υπόθεση. Υποθέτω όμως το εξής: πιθανότατα, η μέθοδος φαίνεται δύσκολη σε πολλούς γιατί δεν συμβαίνει τόσο συχνά. Αλλά στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες - η πορεία της απόφασης είναι σαφής, διαφανής και κατανοητή. Και όμορφη.

Για να κυριαρχήσετε τη μέθοδο, είναι επιθυμητό να μπορείτε να λύσετε ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης επιλέγοντας μια συγκεκριμένη λύση με βάση τη μορφή της δεξιάς πλευράς. Αυτή η μέθοδος συζητείται λεπτομερώς στο άρθρο. Ανομοιογενείς ΔΕ 2ης τάξης. Υπενθυμίζουμε ότι μια δεύτερης τάξης γραμμική ανομοιογενής εξίσωση με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή:

Η μέθοδος επιλογής, η οποία συζητήθηκε στο παραπάνω μάθημα, λειτουργεί μόνο σε περιορισμένο αριθμό περιπτώσεων όταν η δεξιά πλευρά περιέχει πολυώνυμα, εκθετικές τιμές, ημίτονο και συνημίτονο. Τι να κάνουμε όμως όταν στα δεξιά, για παράδειγμα, είναι ένα κλάσμα, λογάριθμος, εφαπτομένη; Σε μια τέτοια κατάσταση, η μέθοδος μεταβολής των σταθερών έρχεται στη διάσωση.

Παράδειγμα 4

Βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης

Λύση:Υπάρχει ένα κλάσμα στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης, οπότε μπορούμε να πούμε αμέσως ότι η μέθοδος επιλογής μιας συγκεκριμένης λύσης δεν λειτουργεί. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Δεν υπάρχουν σημάδια καταιγίδας· η αρχή της λύσης είναι εντελώς συνηθισμένη:

Θα βρούμε κοινή απόφασηκατάλληλος ομοιογενήςεξισώσεις:

Ας συνθέσουμε και λύσουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:


– λαμβάνονται συζευγμένες σύνθετες ρίζες, οπότε η γενική λύση είναι:

Δώστε προσοχή στην εγγραφή της γενικής λύσης - εάν υπάρχουν παρενθέσεις, τότε ανοίξτε τις.

Τώρα κάνουμε σχεδόν το ίδιο κόλπο με την εξίσωση πρώτης τάξης: μεταβάλλουμε τις σταθερές, αντικαθιστώντας τις με άγνωστες συναρτήσεις. Αυτό είναι, γενική λύση ανομοιογενούςθα αναζητήσουμε εξισώσεις με τη μορφή:

Οπου - προς το παρόνάγνωστες λειτουργίες.

Μοιάζει με χωματερή οικιακών απορριμμάτων, αλλά τώρα θα τακτοποιήσουμε τα πάντα.

Οι άγνωστοι είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων. Στόχος μας είναι να βρούμε παραγώγους και οι ευρεθείσες παράγωγοι πρέπει να ικανοποιούν τόσο την πρώτη όσο και τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος.

Από πού προέρχονται οι «Έλληνες»; Τα φέρνει ο πελαργός. Εξετάζουμε τη γενική λύση που λήφθηκε νωρίτερα και γράφουμε:

Ας βρούμε τα παράγωγα:

Τα αριστερά μέρη έχουν αντιμετωπιστεί. Τι είναι στα δεξιά;

είναι η δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης, σε αυτήν την περίπτωση:

Ο συντελεστής είναι ο συντελεστής της δεύτερης παραγώγου:

Στην πράξη, σχεδόν πάντα, και το παράδειγμά μας δεν αποτελεί εξαίρεση.

Όλα είναι ξεκάθαρα, τώρα μπορείτε να δημιουργήσετε ένα σύστημα:

Το σύστημα συνήθως λύνεται σύμφωνα με τους τύπους του Cramerχρησιμοποιώντας τον τυπικό αλγόριθμο. Η μόνη διαφορά είναι ότι αντί για αριθμούς έχουμε συναρτήσεις.

Ας βρούμε τον κύριο καθοριστικό παράγοντα του συστήματος:

Αν έχετε ξεχάσει πώς αποκαλύπτεται ο προσδιοριστής δύο προς δύο, ανατρέξτε στο μάθημα Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;Ο σύνδεσμος οδηγεί στον πίνακα της ντροπής =)

Άρα: αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Εύρεση της παραγώγου:

Αλλά δεν είναι μόνο αυτό, μέχρι στιγμής έχουμε βρει μόνο το παράγωγο.
Η ίδια η λειτουργία αποκαθίσταται με την ενσωμάτωση:

Ας δούμε τη δεύτερη συνάρτηση:

Εδώ προσθέτουμε μια «κανονική» σταθερά

Στο τελικό στάδιο της λύσης, θυμόμαστε με ποια μορφή αναζητούσαμε μια γενική λύση στην ανομοιογενή εξίσωση; Σε τέτοια:

Οι λειτουργίες που χρειάζεστε μόλις βρέθηκαν!

Το μόνο που μένει είναι να κάνετε την αντικατάσταση και να γράψετε την απάντηση:

Απάντηση:κοινή απόφαση:

Κατ' αρχήν, η απάντηση θα μπορούσε να διευρύνει τις παρενθέσεις.

Πραγματοποιείται πλήρης έλεγχος της απάντησης σύμφωνα με το τυπικό σχήμα, το οποίο συζητήθηκε στο μάθημα. Ανομοιογενείς ΔΕ 2ης τάξης. Αλλά η επαλήθευση δεν θα είναι εύκολη, καθώς είναι απαραίτητο να βρεθούν αρκετά βαριά παράγωγα και να πραγματοποιηθεί μια δυσκίνητη αντικατάσταση. Αυτό είναι ένα δυσάρεστο χαρακτηριστικό όταν επιλύετε τέτοιους διαχυτές.

Παράδειγμα 5

Να λύσετε μια διαφορική εξίσωση μεταβάλλοντας αυθαίρετες σταθερές

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Μάλιστα, στη δεξιά πλευρά υπάρχει και ένα κλάσμα. Ας θυμηθούμε τον τριγωνομετρικό τύπο· παρεμπιπτόντως, θα πρέπει να εφαρμοστεί κατά τη διάρκεια της λύσης.

Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών είναι η πιο καθολική μέθοδος. Μπορεί να λύσει οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να λυθεί μέθοδος επιλογής μιας συγκεκριμένης λύσης με βάση τη μορφή της δεξιάς πλευράς. Τίθεται το ερώτημα: γιατί να μην χρησιμοποιήσουμε και εκεί τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών; Η απάντηση είναι προφανής: η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης, η οποία συζητήθηκε στην τάξη Ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης, επιταχύνει σημαντικά τη λύση και συντομεύει την εγγραφή - χωρίς φασαρία με ορίζουσες και ολοκληρώματα.

Ας δούμε δύο παραδείγματα με Πρόβλημα Cauchy.

Παράδειγμα 6

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που αντιστοιχεί στις δεδομένες αρχικές συνθήκες

,

Λύση:Και πάλι το κλάσμα και ο εκθέτης βρίσκονται σε ενδιαφέρουσα θέση.
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Θα βρούμε κοινή απόφασηκατάλληλος ομοιογενήςεξισώσεις:



– λαμβάνονται διαφορετικές πραγματικές ρίζες, οπότε η γενική λύση είναι:

Γενική λύση ανομοιογενούςαναζητούμε εξισώσεις με τη μορφή: , όπου – προς το παρόνάγνωστες λειτουργίες.

Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

Σε αυτήν την περίπτωση:
,
Εύρεση παραγώγων:
,

Ετσι:

Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer:
, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Επαναφέρουμε τη συνάρτηση με ενσωμάτωση:

Χρησιμοποιείται εδώ μέθοδος υπαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο.

Επαναφέρουμε τη δεύτερη συνάρτηση με ενσωμάτωση:

Αυτό το ολοκλήρωμα έχει λυθεί μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασης:

Από την ίδια την αντικατάσταση εκφράζουμε:

Ετσι:

Αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να βρεθεί μέθοδος πλήρους τετραγωνικής εξαγωγής, αλλά σε παραδείγματα με διαχυτές προτιμώ να επεκτείνω το κλάσμα μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών:

Βρέθηκαν και οι δύο λειτουργίες:

Ως αποτέλεσμα, η γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης είναι:

Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες .

Τεχνικά, η αναζήτηση λύσης πραγματοποιείται με τυπικό τρόπο, ο οποίος συζητήθηκε στο άρθρο Ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης.

Περιμένετε, τώρα θα βρούμε την παράγωγο της γενικής λύσης που βρέθηκε:

Αυτό είναι τόσο ντροπή. Δεν είναι απαραίτητο να το απλοποιήσουμε· είναι ευκολότερο να δημιουργήσουμε αμέσως ένα σύστημα εξισώσεων. Σύμφωνα με τις αρχικές συνθήκες :

Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές των σταθερών που βρέθηκαν στη γενική λύση:

Στην απάντηση, οι λογάριθμοι μπορούν να συσσωρευτούν λίγο.

Απάντηση:ιδιωτική λύση:

Όπως μπορείτε να δείτε, δυσκολίες μπορεί να προκύψουν σε ολοκληρώματα και παραγώγους, αλλά όχι στον αλγόριθμο της ίδιας της μεθόδου μεταβολής των αυθαίρετων σταθερών. Δεν είμαι εγώ που σε πτόησε, είναι όλη η συλλογή του Kuznetsov!

Για χαλάρωση, ένα τελευταίο, πιο απλό παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 7

Λύστε το πρόβλημα του Cauchy

,

Το παράδειγμα είναι απλό, αλλά δημιουργικό, όταν δημιουργείτε ένα σύστημα, κοιτάξτε το προσεκτικά πριν αποφασίσετε ;-),




Ως αποτέλεσμα, η γενική λύση είναι:

Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση που να αντιστοιχεί στις αρχικές συνθήκες .



Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές των σταθερών που βρέθηκαν στη γενική λύση:

Απάντηση:ιδιωτική λύση:

Ας στραφούμε στην εξέταση των γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων της μορφής

Οπου - την απαιτούμενη συνάρτηση του επιχειρήματος , και τις λειτουργίες



είναι δεδομένες και συνεχείς σε ορισμένο διάστημα
.

Ας εισαγάγουμε υπόψη μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση, η αριστερή πλευρά της οποίας συμπίπτει με την αριστερή πλευρά της ανομοιογενούς εξίσωσης (2.31),

Καλείται εξίσωση της μορφής (2.32). ομοιογενής εξίσωση που αντιστοιχεί στην ανομοιογενή εξίσωση (2.31).

Ισχύει το ακόλουθο θεώρημα για τη δομή της γενικής λύσης της ανομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης (2.31).

Θεώρημα 2.6.Η γενική λύση της γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης (2.31) στην περιοχή

είναι το άθροισμα οποιασδήποτε συγκεκριμένης λύσης του και η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης (2.32) στο πεδίο ορισμού (2.33), δηλ.

Οπου - ειδική λύση της εξίσωσης (2.31),
είναι το θεμελιώδες σύστημα λύσεων της ομογενούς εξίσωσης (2.32), και
- αυθαίρετες σταθερές.

Θα βρείτε την απόδειξη αυτού του θεωρήματος στο.

Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης, θα περιγράψουμε μια μέθοδο με την οποία μπορεί κανείς να βρει μια συγκεκριμένη λύση σε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται Μέθοδος Lagrange μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Ας μας δοθεί λοιπόν μια ανομοιογενής γραμμική εξίσωση

(2.35)

που είναι οι συντελεστές
και δεξιά πλευρά
συνεχής σε κάποιο διάστημα
.

Ας υποδηλώσουμε με
Και
θεμελιώδες σύστημα λύσεων στην ομογενή εξίσωση

(2.36)

Τότε η γενική του λύση έχει τη μορφή

(2.37)

Οπου Και - αυθαίρετες σταθερές.

Θα αναζητήσουμε τη λύση της εξίσωσης (2.35) με την ίδια μορφή , καθώς και τη γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης, αντικαθιστώντας αυθαίρετες σταθερές με κάποιες διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις του (αλλάζουμε αυθαίρετες σταθερές),εκείνοι.

Οπου
Και
- μερικές διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις από , τα οποία είναι ακόμα άγνωστα και τα οποία θα προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε ώστε η συνάρτηση (2.38) να είναι λύση στην ανομοιογενή εξίσωση (2.35). Διαφοροποιώντας και τις δύο πλευρές της ισότητας (2.38), λαμβάνουμε

Έτσι κατά τον υπολογισμό παράγωγα δεύτερης τάξης του
Και
, το απαιτούμε παντού
πληρούταν η προϋπόθεση

Στη συνέχεια για θα έχω

Ας υπολογίσουμε τη δεύτερη παράγωγο

Αντικατάσταση εκφράσεων για ,,από (2.38), (2.40), (2.41) στην εξίσωση (2.35), παίρνουμε

Οι εκφράσεις σε αγκύλες είναι ίσες με μηδέν παντού
, επειδή Και - επιμέρους λύσεις της εξίσωσης (2.36). Σε αυτή την περίπτωση, το (2.42) θα πάρει τη μορφή Συνδυάζοντας αυτή τη συνθήκη με την συνθήκη (2.39), λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό
Και

(2.43)

Το τελευταίο σύστημα είναι ένα σύστημα δύο αλγεβρικών γραμμικών ανομοιογενών εξισώσεων ως προς
Και
. Η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι η ορίζουσα Wronski για το θεμελιώδες σύστημα λύσεων ,και, επομένως, είναι μη μηδενικό παντού
. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα (2.43) έχει μια μοναδική λύση. Έχοντας το λύσει με οποιονδήποτε τρόπο σχετικά
,
θα βρούμε

Οπου
Και
- γνωστές λειτουργίες.

Πραγματοποίηση ολοκλήρωσης και λαμβάνοντας υπόψη ότι ως
,
θα πρέπει να πάρουμε ένα ζεύγος συναρτήσεων και να ορίσουμε τις σταθερές ολοκλήρωσης ίσες με μηδέν. Παίρνουμε

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (2.44) σε σχέσεις (2.38), μπορούμε να γράψουμε την επιθυμητή λύση στην ανομοιογενή εξίσωση (2.35) στη μορφή

Αυτή η μέθοδος μπορεί να γενικευτεί για να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση στη γραμμική ανομοιογενή εξίσωση -η σειρά.

Παράδειγμα 2.6. Λύστε την εξίσωση
στο
εάν λειτουργεί

σχηματίζουν ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων στην αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση.

Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση σε αυτήν την εξίσωση. Για να γίνει αυτό, σύμφωνα με τη μέθοδο Lagrange, πρέπει πρώτα να λύσουμε το σύστημα (2.43), το οποίο στην περίπτωσή μας έχει τη μορφή
Μείωση και των δύο πλευρών κάθε εξίσωσης κατά παίρνουμε

Αφαιρώντας τον πρώτο όρο της εξίσωσης από τη δεύτερη εξίσωση, βρίσκουμε
και μετά από την πρώτη εξίσωση προκύπτει
Εκτελώντας ολοκλήρωση και μηδενίζοντας τις σταθερές ολοκλήρωσης, θα έχουμε

Μια συγκεκριμένη λύση αυτής της εξίσωσης μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης έχει τη μορφή

Οπου Και - αυθαίρετες σταθερές.

Τέλος, ας σημειώσουμε μια αξιοσημείωτη ιδιότητα, η οποία συχνά ονομάζεται αρχή της υπέρθεσης λύσεων και περιγράφεται από το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 2.7.Αν ενδιάμεσα
λειτουργία
- ιδιαίτερη λύση της συνάρτησης εξίσωσης
μια συγκεκριμένη λύση της εξίσωσης στο ίδιο διάστημα είναι η συνάρτηση
υπάρχει μια συγκεκριμένη λύση στην εξίσωση