Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός παραλληλεπίπεδου. Πλευρική επιφάνεια διαφορετικών πυραμίδων

Κατά την προετοιμασία για τις εξετάσεις στα μαθηματικά, οι μαθητές πρέπει να συστηματοποιήσουν τις γνώσεις τους για την άλγεβρα και τη γεωμετρία. Θα ήθελα να συνδυάσω όλες τις γνωστές πληροφορίες, για παράδειγμα, τον τρόπο υπολογισμού του εμβαδού μιας πυραμίδας. Επιπλέον, ξεκινώντας από τη βάση και τις πλαϊνές όψεις μέχρι ολόκληρη την επιφάνεια. Αν η κατάσταση είναι ξεκάθαρη με τις πλευρικές όψεις, αφού είναι τρίγωνα, τότε η βάση είναι πάντα διαφορετική.

Τι πρέπει να κάνετε όταν βρίσκετε την περιοχή της βάσης της πυραμίδας;

Μπορεί να είναι απολύτως οποιοδήποτε σχήμα: από ένα αυθαίρετο τρίγωνο έως ένα n-gon. Και αυτή η βάση, εκτός από τη διαφορά στον αριθμό των γωνιών, μπορεί να είναι κανονικό σχήμα ή λάθος. Στις εργασίες USE που ενδιαφέρουν τους μαθητές, υπάρχουν μόνο εργασίες με τα σωστά στοιχεία στη βάση. Επομένως, θα μιλήσουμε μόνο για αυτούς.

ορθογώνιο τρίγωνο

Αυτό είναι ισόπλευρο. Ένα στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες και συμβολίζονται με το γράμμα "α". Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας υπολογίζεται από τον τύπο:

S = (a 2 * √3) / 4.

τετράγωνο

Ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού του είναι ο απλούστερος, εδώ το "a" είναι πάλι η πλευρά:

Αυθαίρετο κανονικό n-gon

Η πλευρά ενός πολυγώνου έχει τον ίδιο προσδιορισμό. Για τον αριθμό των γωνιών, χρησιμοποιείται το λατινικό γράμμα n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Πώς να προχωρήσετε κατά τον υπολογισμό της πλευρικής και της συνολικής επιφάνειας;

Δεδομένου ότι η βάση είναι ένα κανονικό σχήμα, όλες οι όψεις της πυραμίδας είναι ίσες. Επιπλέον, καθένα από αυτά είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, αφού οι πλευρικές ακμές είναι ίσες. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε την πλευρική περιοχή της πυραμίδας, χρειάζεστε έναν τύπο που αποτελείται από το άθροισμα των πανομοιότυπων μονοωνύμων. Ο αριθμός των όρων καθορίζεται από τον αριθμό των πλευρών της βάσης.

Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου υπολογίζεται από τον τύπο στον οποίο το μισό γινόμενο της βάσης πολλαπλασιάζεται με το ύψος. Αυτό το ύψος στην πυραμίδα ονομάζεται απόθεμα. Ο χαρακτηρισμός του είναι «Α». Ο γενικός τύπος για την πλευρική επιφάνεια είναι:

S \u003d ½ P * A, όπου P είναι η περίμετρος της βάσης της πυραμίδας.

Υπάρχουν περιπτώσεις που οι πλευρές της βάσης δεν είναι γνωστές, αλλά δίνονται οι πλευρικές ακμές (c) και η επίπεδη γωνία στην κορυφή της (α). Στη συνέχεια, υποτίθεται ότι χρησιμοποιείται ένας τέτοιος τύπος για τον υπολογισμό της πλευρικής περιοχής της πυραμίδας:

S = n/2 * σε 2 sin α .

Εργασία #1

Κατάσταση.Βρείτε το συνολικό εμβαδόν της πυραμίδας αν η βάση της βρίσκεται με πλευρά 4 cm και το απόθεμα έχει τιμή √3 cm.

Λύση.Πρέπει να ξεκινήσετε υπολογίζοντας την περίμετρο της βάσης. Δεδομένου ότι αυτό είναι ένα κανονικό τρίγωνο, τότε P \u003d 3 * 4 \u003d 12 εκ. Δεδομένου ότι το απόθεμα είναι γνωστό, μπορείτε αμέσως να υπολογίσετε την περιοχή ολόκληρης της πλευρικής επιφάνειας: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Για ένα τρίγωνο στη βάση, θα ληφθεί η ακόλουθη τιμή περιοχής: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Για να προσδιορίσετε ολόκληρη την περιοχή, θα χρειαστεί να προσθέσετε τις δύο τιμές που προκύπτουν: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Απάντηση. 10√3 cm2.

Εργασία #2

Κατάσταση. Υπάρχει μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα. Το μήκος της πλευράς της βάσης είναι 7 mm, η πλευρική άκρη είναι 16 mm. Πρέπει να γνωρίζετε την επιφάνειά του.

Λύση.Εφόσον το πολύεδρο είναι τετράγωνο και κανονικό, τότε η βάση του είναι τετράγωνο. Έχοντας μάθει τις περιοχές της βάσης και των πλευρικών όψεων, θα είναι δυνατός ο υπολογισμός της περιοχής της πυραμίδας. Ο τύπος για το τετράγωνο δίνεται παραπάνω. Και στις πλευρικές όψεις, όλες οι πλευρές του τριγώνου είναι γνωστές. Επομένως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Heron για να υπολογίσετε τα εμβαδά τους.

Οι πρώτοι υπολογισμοί είναι απλοί και οδηγούν σε αυτόν τον αριθμό: 49 mm 2. Για τη δεύτερη τιμή, θα χρειαστεί να υπολογίσετε την ημιπερίμετρο: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Υπάρχουν μόνο τέσσερα τέτοια τρίγωνα, οπότε κατά τον υπολογισμό του τελικού αριθμού, θα χρειαστεί να τον πολλαπλασιάσετε με το 4.

Αποδεικνύεται: 49 ​​+ 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.

Απάντηση. Η επιθυμητή τιμή είναι 267,576 mm 2.

Εργασία #3

Κατάσταση. Για μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα, πρέπει να υπολογίσετε την περιοχή. Σε αυτό, η πλευρά του τετραγώνου είναι 6 cm και το ύψος είναι 4 cm.

Λύση.Ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε τον τύπο με το γινόμενο της περιμέτρου και του αποθέματος. Η πρώτη τιμή είναι εύκολο να βρεθεί. Το δεύτερο είναι λίγο πιο δύσκολο.

Θα πρέπει να θυμηθούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να θεωρήσουμε ότι σχηματίζεται από το ύψος της πυραμίδας και το απόθεμα, που είναι η υποτείνουσα. Το δεύτερο πόδι είναι ίσο με τη μισή πλευρά του τετραγώνου, αφού το ύψος του πολυέδρου πέφτει στη μέση του.

Το επιθυμητό απόθεμα (η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου) είναι √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε την επιθυμητή τιμή: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Απάντηση. 96 cm2.

Εργασία #4

Κατάσταση.Η σωστή πλευρά της βάσης του είναι 22 mm, οι πλευρικές νευρώσεις είναι 61 mm. Ποιο είναι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας αυτού του πολυέδρου;

Λύση.Το σκεπτικό σε αυτό είναι το ίδιο με αυτό που περιγράφεται στο πρόβλημα Νο. 2. Μόνο εκεί δόθηκε μια πυραμίδα με ένα τετράγωνο στη βάση, και τώρα είναι ένα εξάγωνο.

Πρώτα απ 'όλα, η περιοχή της βάσης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Τώρα πρέπει να μάθετε την ημιπερίμετρο ενός ισοσκελούς τριγώνου, που είναι μια πλευρική όψη. (22 + 61 * 2): 2 = 72 εκ. Απομένει να υπολογίσουμε το εμβαδόν κάθε τέτοιου τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο Heron και, στη συνέχεια, να το πολλαπλασιάσουμε επί έξι και να το προσθέσουμε σε αυτό που προέκυψε για το βάση.

Υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τον τύπο Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Υπολογισμοί που θα δώσουν την πλευρική επιφάνεια: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Απομένει να τα αθροίσουμε για να μάθουμε ολόκληρη την επιφάνεια: 5217,47≈5217 cm 2.

Απάντηση.Βάση - 726√3 cm 2, πλαϊνή επιφάνεια - 3960 cm 2, ολόκληρη η επιφάνεια - 5217 cm 2.

Ο κύλινδρος είναι ένα σχήμα που αποτελείται από μια κυλινδρική επιφάνεια και δύο κύκλους διατεταγμένους παράλληλα. Ο υπολογισμός του εμβαδού ενός κυλίνδρου είναι ένα πρόβλημα στον γεωμετρικό κλάδο των μαθηματικών, το οποίο λύνεται πολύ απλά. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την επίλυσή του, οι οποίες ως αποτέλεσμα καταλήγουν πάντα σε έναν τύπο.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κυλίνδρου - κανόνες υπολογισμού

• Για να μάθετε την περιοχή του κυλίνδρου, πρέπει να προσθέσετε δύο περιοχές βάσης με την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας: S \u003d S πλευρά. + 2 S κύρια. Σε μια πιο λεπτομερή έκδοση, αυτός ο τύπος μοιάζει με αυτό: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός δεδομένου γεωμετρικού σώματος μπορεί να υπολογιστεί εάν είναι γνωστά το ύψος του και η ακτίνα του κύκλου που βρίσκεται στη βάση. Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να εκφράσετε την ακτίνα από την περιφέρεια, εάν είναι δεδομένη. Το ύψος μπορεί να βρεθεί εάν η τιμή της γεννήτριας καθορίζεται στη συνθήκη. Σε αυτήν την περίπτωση, η γεννήτρια θα είναι ίση με το ύψος. Ο τύπος για την πλευρική επιφάνεια ενός δεδομένου σώματος μοιάζει με αυτό: S= 2 π rh.
• Το εμβαδόν της βάσης υπολογίζεται από τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός κύκλου: S osn= π r 2 . Σε ορισμένα προβλήματα μπορεί να μην δίνεται η ακτίνα, αλλά δίνεται η περιφέρεια. Με αυτόν τον τύπο, η ακτίνα εκφράζεται αρκετά εύκολα. С=2π r, r= С/2π. Πρέπει επίσης να θυμόμαστε ότι η ακτίνα είναι το ήμισυ της διαμέτρου.
• Κατά την εκτέλεση όλων αυτών των υπολογισμών, ο αριθμός π συνήθως δεν μεταφράζεται σε 3,14159 ... Απλώς πρέπει να τον προσθέσετε δίπλα στην αριθμητική τιμή που προέκυψε ως αποτέλεσμα των υπολογισμών.
• Επιπλέον, είναι απαραίτητο μόνο να πολλαπλασιάσετε την περιοχή που βρέθηκε της βάσης κατά 2 και να προσθέσετε στον αριθμό που προκύπτει την υπολογιζόμενη περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του σχήματος.
• Εάν το πρόβλημα υποδεικνύει ότι ο κύλινδρος έχει αξονικό τμήμα και αυτό είναι ορθογώνιο, τότε η λύση θα είναι ελαφρώς διαφορετική. Σε αυτή την περίπτωση, το πλάτος του ορθογωνίου θα είναι η διάμετρος του κύκλου που βρίσκεται στη βάση του σώματος. Το μήκος του σχήματος θα είναι ίσο με τη γεννήτρια ή το ύψος του κυλίνδρου. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τις επιθυμητές τιμές και να τις αντικαταστήσετε σε έναν ήδη γνωστό τύπο. Σε αυτή την περίπτωση, το πλάτος του ορθογωνίου πρέπει να διαιρεθεί με δύο για να βρεθεί η περιοχή της βάσης. Για να βρεθεί η πλευρική επιφάνεια, το μήκος πολλαπλασιάζεται με δύο ακτίνες και με τον αριθμό π.
• Μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός δεδομένου γεωμετρικού σώματος μέσω του όγκου του. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξαγάγετε την τιμή που λείπει από τον τύπο V=π r 2 h.
• Δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο στον υπολογισμό του εμβαδού ενός κυλίνδρου. Χρειάζεται μόνο να γνωρίζετε τους τύπους και να μπορείτε να αντλήσετε από αυτούς τις απαραίτητες ποσότητες για τους υπολογισμούς.

Η επιφάνεια της πυραμίδας. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε μαζί σας προβλήματα με κανονικές πυραμίδες. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι μια κανονική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο αυτού του πολυγώνου.

Η πλευρική όψη μιας τέτοιας πυραμίδας είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο.Το ύψος αυτού του τριγώνου, που τραβιέται από την κορυφή μιας κανονικής πυραμίδας, ονομάζεται απόθεμα, το SF είναι ένα απόθεμα:

Στο είδος των προβλημάτων που παρουσιάζονται παρακάτω, απαιτείται να βρεθεί η επιφάνεια ολόκληρης της πυραμίδας ή η περιοχή της πλευρικής της επιφάνειας. Το ιστολόγιο έχει ήδη εξετάσει αρκετά προβλήματα με κανονικές πυραμίδες, όπου τέθηκε το ερώτημα σχετικά με την εύρεση στοιχείων (ύψος, ακμή βάσης, πλευρική άκρη), .

Στα καθήκοντα της εξέτασης, κατά κανόνα, λαμβάνονται υπόψη κανονικές τριγωνικές, τετράγωνες και εξαγωνικές πυραμίδες. Δεν έχω δει προβλήματα με κανονικές πενταγωνικές και επταγωνικές πυραμίδες.

Ο τύπος για το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας είναι απλός - πρέπει να βρείτε το άθροισμα του εμβαδού της βάσης της πυραμίδας και του εμβαδού της πλευρικής της επιφάνειας:

Εξετάστε τα καθήκοντα:

Οι πλευρές της βάσης μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 72, οι πλευρικές ακμές είναι 164. Βρείτε την επιφάνεια αυτής της πυραμίδας.

Η επιφάνεια της πυραμίδας είναι ίση με το άθροισμα των εμβαδών της πλευρικής επιφάνειας και της βάσης:

*Η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από τέσσερα τρίγωνα ίσου εμβαδού. Η βάση της πυραμίδας είναι ένα τετράγωνο.

Το εμβαδόν της πλευράς της πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας:

Έτσι, η επιφάνεια της πυραμίδας είναι:

Απάντηση: 28224

Οι πλευρές της βάσης μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι 22, οι πλευρικές ακμές είναι 61. Βρείτε την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας αυτής της πυραμίδας.

Η βάση μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι ένα κανονικό εξάγωνο.

Η πλευρική επιφάνεια αυτής της πυραμίδας αποτελείται από έξι περιοχές ίσων τριγώνων με πλευρές 61,61 και 22:

Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron:

Άρα το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι:

Απάντηση: 3240

*Στα προβλήματα που παρουσιάστηκαν παραπάνω, η περιοχή της πλευρικής όψης μπορούσε να βρεθεί χρησιμοποιώντας έναν διαφορετικό τύπο τριγώνου, αλλά για αυτό πρέπει να υπολογίσετε το απόθεμα.

27155. Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας της οποίας οι πλευρές βάσης είναι 6 και της οποίας το ύψος είναι 4.

Για να βρούμε την επιφάνεια μιας πυραμίδας, πρέπει να γνωρίζουμε το εμβαδόν της βάσης και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας:

Το εμβαδόν της βάσης είναι 36, αφού είναι τετράγωνο με πλευρά 6.

Η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από τέσσερις όψεις, οι οποίες είναι ίσα τρίγωνα. Για να βρείτε την περιοχή ενός τέτοιου τριγώνου, πρέπει να γνωρίζετε τη βάση και το ύψος του (απόθεμα):

* Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο της βάσης και το ύψος που τραβιέται σε αυτή τη βάση.

Η βάση είναι γνωστή, είναι ίση με έξι. Ας βρούμε το ύψος. Σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (επισημασμένο με κίτρινο χρώμα):

Το ένα πόδι είναι ίσο με 4, αφού αυτό είναι το ύψος της πυραμίδας, το άλλο είναι ίσο με 3, αφού είναι ίσο με το μισό της άκρης της βάσης. Μπορούμε να βρούμε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Άρα το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι:

Έτσι, η επιφάνεια ολόκληρης της πυραμίδας είναι:

Απάντηση: 96

27069. Οι πλευρές της βάσης μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 10, οι πλευρικές ακμές είναι 13. Βρείτε την επιφάνεια αυτής της πυραμίδας.

27070. Οι πλευρές της βάσης μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι 10, οι πλευρικές ακμές είναι 13. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας αυτής της πυραμίδας.

Υπάρχουν επίσης τύποι για την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας. Σε μια κανονική πυραμίδα, η βάση είναι μια ορθογώνια προβολή της πλευρικής επιφάνειας, επομένως:

Π- περίμετρος της βάσης, μεγάλο- αποθέμα της πυραμίδας

*Αυτός ο τύπος βασίζεται στον τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου.

Εάν θέλετε να μάθετε περισσότερα για το πώς προέρχονται αυτοί οι τύποι, μην το χάσετε, ακολουθήστε τη δημοσίευση των άρθρων.Αυτό είναι όλο. Καλή σου τύχη!

Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.

Ο κύλινδρος είναι ένα γεωμετρικό σώμα που οριοθετείται από δύο παράλληλα επίπεδα και μια κυλινδρική επιφάνεια. Στο άρθρο, θα μιλήσουμε για το πώς να βρούμε την περιοχή ενός κυλίνδρου και, χρησιμοποιώντας τον τύπο, θα λύσουμε πολλά προβλήματα για παράδειγμα.

Ένας κύλινδρος έχει τρεις επιφάνειες: μια πάνω, μια κάτω και μια πλευρική επιφάνεια.

Το πάνω και το κάτω μέρος του κυλίνδρου είναι κύκλοι και είναι εύκολο να καθοριστούν.

Είναι γνωστό ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με πr 2. Επομένως, ο τύπος για την περιοχή δύο κύκλων (πάνω και κάτω μέρος του κυλίνδρου) θα μοιάζει με πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Η τρίτη, πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου, είναι το καμπύλο τοίχωμα του κυλίνδρου. Για να αναπαραστήσουμε καλύτερα αυτή την επιφάνεια, ας προσπαθήσουμε να την μεταμορφώσουμε ώστε να αποκτήσει ένα αναγνωρίσιμο σχήμα. Φανταστείτε ότι ένας κύλινδρος είναι ένα συνηθισμένο κουτί από κασσίτερο που δεν έχει επάνω καπάκι και κάτω. Ας κάνουμε μια κατακόρυφη τομή στο πλευρικό τοίχωμα από την κορυφή προς το κάτω μέρος του βάζου (Βήμα 1 στο σχήμα) και ας προσπαθήσουμε να ανοίξουμε (ισιώσει) όσο το δυνατόν περισσότερο το σχήμα που προκύπτει (Βήμα 2).

Μετά την πλήρη αποκάλυψη του προκύπτοντος βάζου, θα δούμε μια γνωστή φιγούρα (Βήμα 3), αυτό είναι ένα ορθογώνιο. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι εύκολο να υπολογιστεί. Αλλά πριν από αυτό, ας επιστρέψουμε για λίγο στον αρχικό κύλινδρο. Η κορυφή του αρχικού κυλίνδρου είναι ένας κύκλος και γνωρίζουμε ότι η περιφέρεια ενός κύκλου υπολογίζεται με τον τύπο: L = 2πr. Σημειώνεται με κόκκινο χρώμα στο σχήμα.

Όταν το πλευρικό τοίχωμα του κυλίνδρου διασταλεί πλήρως, βλέπουμε ότι η περιφέρεια γίνεται το μήκος του παραλληλογράμμου που προκύπτει. Οι πλευρές αυτού του ορθογωνίου θα είναι η περιφέρεια (L = 2πr) και το ύψος του κυλίνδρου (h). Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο των πλευρών του - S = μήκος x πλάτος = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ως αποτέλεσμα, έχουμε αποκτήσει έναν τύπο για τον υπολογισμό της πλευρικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου.

Ο τύπος για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου
S πλευρά = 2 πρω

Πλήρης επιφάνεια ενός κυλίνδρου

Τέλος, αν αθροίσουμε το εμβαδόν και των τριών επιφανειών, παίρνουμε τον τύπο για τη συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου. Η επιφάνεια του κυλίνδρου είναι ίση με την περιοχή της κορυφής του κυλίνδρου + την περιοχή της βάσης του κυλίνδρου + την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου ή S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Μερικές φορές αυτή η έκφραση γράφεται με τον ίδιο τύπο 2πr (r + h).

Ο τύπος για τη συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r είναι η ακτίνα του κυλίνδρου, h είναι το ύψος του κυλίνδρου

Παραδείγματα υπολογισμού της επιφάνειας ενός κυλίνδρου

Για να κατανοήσουμε τους παραπάνω τύπους, ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την επιφάνεια ενός κυλίνδρου χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

1. Η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι 2, το ύψος είναι 3. Προσδιορίστε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου.

Η συνολική επιφάνεια υπολογίζεται με τον τύπο: πλευρά S. = 2 πρω

S πλευρά = 2 * 3,14 * 2 * 3

S πλευρά = 6,28 * 6

S πλευρά = 37,68

Η πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου είναι 37,68.

2. Πώς να βρείτε την επιφάνεια ενός κυλίνδρου εάν το ύψος είναι 4 και η ακτίνα είναι 6;

Η συνολική επιφάνεια υπολογίζεται με τον τύπο: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

- Πρόκειται για ένα πολυεδρικό σχήμα, στη βάση του οποίου βρίσκεται ένα πολύγωνο και οι υπόλοιπες όψεις αντιπροσωπεύονται από τρίγωνα με κοινή κορυφή.

Αν η βάση είναι τετράγωνο, τότε ονομάζεται πυραμίδα τετράπλευρος, αν το τρίγωνο είναι τριγωνικός. Το ύψος της πυραμίδας τραβιέται από την κορυφή της κάθετα στη βάση. Χρησιμοποιείται επίσης για τον υπολογισμό της περιοχής αποθεμαείναι το ύψος της πλευρικής όψης που έχει χαμηλώσει από την κορυφή της.
Ο τύπος για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας πυραμίδας είναι το άθροισμα των εμβαδών των πλευρικών της όψεων, οι οποίες είναι ίσες μεταξύ τους. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος υπολογισμού χρησιμοποιείται πολύ σπάνια. Βασικά, το εμβαδόν της πυραμίδας υπολογίζεται μέσω της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος:

Εξετάστε ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας μιας πυραμίδας.

Έστω μια πυραμίδα με βάση ABCDE και κορυφή F. AB =BC =CD =DE =EA =3 εκ. Απόθεμα a = 5 εκ. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας.
Ας βρούμε την περίμετρο. Εφόσον όλες οι όψεις της βάσης είναι ίσες, τότε η περίμετρος του πενταγώνου θα είναι ίση με:
Τώρα μπορείτε να βρείτε την πλαϊνή περιοχή της πυραμίδας:

Περιοχή κανονικής τριγωνικής πυραμίδας

Μια κανονική τριγωνική πυραμίδα αποτελείται από μια βάση στην οποία βρίσκεται ένα κανονικό τρίγωνο και τρεις πλευρικές όψεις που είναι ίσες σε εμβαδόν.
Ο τύπος για την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί με πολλούς τρόπους. Μπορείτε να εφαρμόσετε τον συνήθη τύπο για τον υπολογισμό μέσω της περιμέτρου και του αποθέματος ή μπορείτε να βρείτε την περιοχή ενός προσώπου και να την πολλαπλασιάσετε επί τρία. Δεδομένου ότι η όψη της πυραμίδας είναι ένα τρίγωνο, εφαρμόζουμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου. Θα απαιτήσει ένα απόθεμα και το μήκος της βάσης. Εξετάστε ένα παράδειγμα υπολογισμού της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας.

Δίνεται μια πυραμίδα με απόθεμα a = 4 cm και μια όψη βάσης b = 2 cm. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας.
Αρχικά, βρείτε την περιοχή μιας από τις πλευρικές όψεις. Σε αυτή την περίπτωση θα είναι:
Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο:
Δεδομένου ότι σε μια κανονική πυραμίδα όλες οι πλευρές είναι ίδιες, το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας θα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τριών όψεων. Αντίστοιχα:

Η περιοχή της κολοβωμένης πυραμίδας

ΚολοβόςΜια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο που σχηματίζεται από μια πυραμίδα και το τμήμα της είναι παράλληλο στη βάση.
Ο τύπος για την πλευρική επιφάνεια μιας κόλουρης πυραμίδας είναι πολύ απλός. Το εμβαδόν είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των περιμέτρων των βάσεων και του αποθέματος: